例题拓展范文（精选8篇）

例题拓展 第1篇

一、三角形的中位线可以看作是梯形中位线的特殊情况

将梯形ABCD的顶点D沿与BC平行的直线l向左移动至A点, 即可得到三角形的中位线, 如图1和图2.

图1:梯形的中位线EF∥BC, EF=1/2 (BC+AD) ;

图2:三角形的中位线EF∥BC, EF=1/2BC, 可以看作梯形中位线AD=0时的特殊情况.

沿续上面的思路, 让D点在与BC平行的直线l上继续向左或向右运动, 我们可以得到图3和图4.

图3:EF=1/2|BC-AD|, 特别地, 当AD=BC时, E, F重合, EF=0.

图4:四边形ABCD是平行四边形, EF∥BC, EF=BC=AD, 也可以看作EF=1/2 (BC+AD) .

思维不能就此停滞不前!

如果把直线l改为与BC不平行, 结论又是什么呢?如图5, 图6所示:

可以引导学生观察、猜测结论, 然后证明.

可以证明图5, 图6中结论:1/2|BC-AD|

二、梯形中位线性质的证明可以“转化”为三角形中位线解答

1. 梯形中位线性质的证明可以转为三角形的中位线, 一般有如下几种转化方法, 如图所示:

图7:连接AF并延长交BC的延长线于点G.

图8:过点D作BC的平行线分别交EF, BC于点M, H.

图9:连接AC交EF于点N.

图10:将梯形ABCD绕点F旋转180°.

2.“X”图形转化为三角形中位线解答, 如图所示:

图11:连接AC交EF的延长线于点K;

图12:连接AF并延长交BC于点L;

图13:过点A作AN∥BC, 分别交EF, BC的延长线于M, N.

3. 当AD与BC不平行时, 解答方法仍是转化为三角形中位线解答, 如图14、图15所示.

过F作AD的平行线FG, 交线段AC于点G, 连接EG.

三、教学思考

1. 上述几道题目都可以转化为三角形中位线解答, 体现了数学“转化”的思想.

2.前面的题目虽然比较丰富, 但是仅局限于四边形对边中点, 如果把思维再放开些, 我们可以得到什么结论呢?可以提出更加开放的问题留给学生思考, 例如可以设置如下题组:

(1) “中点四边形”, 四边形ABCD, E, F, G, H分别是四边的中点, 四边形EFGH称为四边形ABCD的中点四边形, 试判断四边形EFGH的形状, 并判断四边形EFGH于四边形ABCD的关系.

(2) 如图16, 正方形ABCD, E, F分别是线段CD, AD上任意一点, G, H, P, Q分别是线段AB, BE, EF, FA的中点, 试判断四边形GHPQ的形状.

3.数学的解题教学应该抓住题目的本质、揭示知识间的联系, 这样我们的解题教学才能够“举一反三”, 而不是落入简单堆砌的“题海”中.

例如, 几何中有一个结论“同角的余角相等, 同角的补角相等”, 在进行这个结论的教学时, 我们若能解读其中的数学本质, 将有利于学生建立数学知识间的联系.

这个结论的证明过程中用到了等式的性质, 如果在教学中能够适当拓展, 将达到“举一反三”的效果.我们可以对这个等式性质的本质进行如下的挖掘:

以下面几道题目为例:

题1已知:等边△ABC, E, F, D分别是三边上的点, 且∠FED=60°.求证:△AFE∽△BED.

在题目的证明中, 说明一组对角相等就用到了上述等式的性质.

题2已知:正方形ABCD, E, F, G分别是边上的点, 且∠EFG=90°.求证:△BFE∽△CGF.

在题目的证明中, 说明一组对角相等还是用到了上述等式的性质.

上述例题可以推广到一般情况:正n边形, 留给同学去思考.

题3 (南京市2007年中考试题, 第26题) 梯形ABCD中, AD∥BC, AB=BC=AD=6, ∠ABC=60°, 点E, F分别在线段上AD, DC上 (点E与点A, D不重合) , 且∠BEF=120°, 设AE=x, DF=y. (1) 求y与x的函数表达式; (2) 当x为何值时, y有最大值, 最大值是多少?

题目在证明相似关系时就用到了这个等式, 它的本质就是等式的性质.

立足例题拓展提升学习能力 第2篇

1. 圆周角、圆心角是本章中最基本、最常见的角.

圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.

例1 （2014·湖北宜昌）如图1，点A、B、C、D都在⊙O上，AC、BD相交于点E，则与∠ABD相等的是（ ）.

A. ∠ACD B. ∠ADB

C. ∠AED D. ∠ACB

【解析】∵⊙O中，圆周角∠ABD所对弧是弧AD，而弧AD所对的圆周角还有∠ACD，∴选项A正确.

例2 （2013·江苏无锡）如图2，A、B、C是⊙O上的三点且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（ ）.

A. 35° B. 140°

C. 70° D. 70°或140°

【解析】∵⊙O中，∠ABC、∠AOC分别是弧AC所对的圆周角、圆心角，∴∠AOC=2∠ABC，∴选项B正确.

变式1 （2014·江西南昌）如图3，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）.

A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°

【解析】∵⊙O中，圆周角∠B所对弧是弧AC，∴要用圆周角定理必须找弧AC所对的圆周角或圆心角，∴连接OC，则∠AOC就是弧AC所对的圆心角.

∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，

∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=70°，

∴∠DOC=40°，∴∠AOC=110°，

∴∠B=55°. ∴选项D正确.

【点评】以上三题考查圆周角定理，同学们要注意掌握同弧或等弧所对的圆周角相等且等于它所对弧上圆心角度数的一半.中考中圆周角定理经常出现，但单独考查它的题目不多，大多隐含在其他知识点中.

变式2 （2013·湖南张家界）如图4，⊙O的直径AB与弦CD垂直且∠BAC=40°，则∠BOD=________.

【解析】∵⊙O中，∠BAC是弧BC所对的圆周角，而∠BOD是弧BD所对的圆心角，由垂径定理可得弧BC、弧BD是等弧，∴∠BOD=2∠BAC，∴∠BOD=80°.

变式练习 （2014·内蒙古赤峰）如图5，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC是（ ）.

A. 25° B. 50°

C. 130° D. 155°

变式3 （2013·江苏南通）如图6，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是弧AB的中点，CD与AB的交点为E，则CE∶DE等于（ ）.

A. 4 B. 3.5C. 3 D. 2.5

【解析】Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，可知Rt△ABC斜边（⊙O的直径）为5. D是弧AB的中点，可知“弧AD”、“弧BD”是等弧. 问题“CE∶DE”提醒我们要找含CE、DE在内的相似三角形.

【点评】本章的知识覆盖面较大，这就要同学们不仅能掌握圆的基本知识，还能综合运用圆与直线型图形的知识解决相关问题.对于这一类综合性比较强的数学问题，同学们要抓住已知条件进行联想，得到一些结论，同时也要把未知向已知转化，这样就能一步步突破.

2. 直线与圆的位置关系有3种.

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则

直线与圆相交？圳0≤d

直线与圆相切？圳d=r，

直线与圆相离？圳d>r.

其中，相切是3种位置关系中最特殊的一种，下面就切线的性质和判定作进一步学习与拓展.

【解析】连接OA，∵PA是⊙O的切线，我们可得△OAP是直角三角形，由勾股定理得OA=10 cm，

∴⊙O的周长为2πr=20π，

∴选项C正确.

【点评】运用切线的性质来进行计算或说理的常见辅助线是连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

例4 如图9，AD平分∠BAC，P是AD上一点，过点P作PE⊥AC于点E，以P为圆心，PE长为半径画圆，请判断AB与⊙P的位置关系并说明理由.

【解析】AB与⊙P相切.

例5 （2013·山东菏泽）如图11，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P.试说明：AP是⊙O的切线.

【解析】如图12，由于A在圆上，那么我们可以连接OA，说明∠OAP=90°，即OA⊥AP，则AP是⊙O的切线.

理由：连接AC、AO，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，∠CAD=90°，

∵在△ADC中，∠CAD=90°，E为CD的中点，

∴AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，

∴∠EAC+∠OAC=∠ECA+∠OCA，即∠OAE=∠OCE.

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，即∠OCE=90°，

∴∠OAE=90°，即OA⊥AP且AP过半径OA外端A，

∴AP是⊙O的切线.

【点评】例4、例5都是考查圆的切线，但思路完全不同.例5：已知直线和圆的交点A，则连接圆心和交点，说明“垂直”即可；例4：没有直线和圆的交点，则要过圆心作此直线的垂线段，说明这条垂线段的长（即圆心到这条直线的距离d）等于这个圆的半径r.

变式4 （2015·辽宁大连）如图13，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F.试说明：EF与⊙O相切.

【解析】如图14，由于点D在⊙O上，要说明EF与⊙O相切，只要连接OD，说明OD⊥EF即可.

变式练习 （2015·江苏泰州）如图15，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.试说明：DF是⊙O的切线.

圆是中心对称图形、轴对称图形，圆还具有绕圆心旋转任意角度都能与它自身重合的性质.利用圆的这些性质，可以得到本章很多的结论，本文重点研究了“圆周角定理”和“直线与圆的位置关系——相切”两个重要的结论，同学们只有熟练掌握了这些基本的性质，才能灵活运用它们解决圆的性质及其他知识的综合题.

立足例题拓展提升学习能力 第3篇

例1在一个不透明的口袋中,装着10个大小和外形完全相同的小球,其中有5个红球,3个蓝球,2个白球,把它们搅匀以后,请问:下列哪些事件是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件?

(1)从口袋中任意取出一个球,它刚好是白球.()

(2)从口袋中一次取出3个球,它们恰好全是蓝球.()

(3)从口袋中一次取出9个球,恰好红、蓝、白三种颜色全齐.()

(4)从口袋中一次取出6个球,它们恰好是1个红球,2个蓝球,3个白球.()

【解答】(1)随机事件;(2)随机事件; (3)必然事件;(4)不可能事件,因为白球一共只有2个.

变式拓展1:现有5个红球,3个蓝球, 2个白球,这10个球除颜色外,其余特征完全相同,请你在盒子里放入若干个球,设计一个游戏方案,使得从盒子里一次摸出三个球,可能是两个红球,一个白球.

【解答】从盒子里一次摸出三个球,可能是两个红球,一个白球这个事件是随机事件,因此在设计游戏方案时,只要保证盒子里至少有4个球,其中必须有两个红球,一个白球.

变式拓展2:现在有5个红球,3个蓝球,2个白球,这10个球除颜色不同外,其余完全相同,请你在盒子里放入若干个球, 设计一个必然事件.

【解答】答案不唯一,比如:盒子里只放红球,任意摸一个球,摸到的球是红球;比如盒子里放10个球,一次性取出9个球, 红、蓝、白三个颜色全齐等.

【说明】本例及变式拓展主要是对随机事件、必然事件和不可能事件进行理解. 随机事件即在一定条件下,我们事先无法确定它会不会发生的事情;必然事件即在一定条件下,事先能肯定它一定会发生的事情;不可能事件即在一定条件下,事先能肯定它一定不会发生的事情. 理解这三个概念应从两个方面入手,即要注意:①在一定条件下;②事先能不能确定事件发生. 本例主要是已知在一定的条件下,并且给出某个事件,判断其是什么事件;变式拓展1则是条件未知,要求同学们根据事件来设计条件;变式拓展2则更为开放,条件和事件都未知,要求同学们既要设计条件又要设计问题. 这样设计的目的旨在引导同学们深入理解剖析必然事件、不可能事件和随机事件的概念,并知道这三种事件是在一定的条件下才成立的,一旦条件发生变化,这三种事件也有可能互相转化,培养思维的灵活性和深刻性.

例2一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同, 搅匀后从中任意摸出一个球,某同学说,摸出的球不是白球就是红球,所以摸出白球和摸出红球这两个事件可能性大小相等, 你认为他的说法正确吗?如果不正确,哪一种可能性大?为什么?

【解答】一只不透明的盒子装有2个红球和1个白球,由于这3个球除颜色外都相同,所以搅匀后从中任意摸出1个球,摸到每一个球的可能性是相同的. 红球有2个,把它们编号为红球1、红球2;那么,搅匀后从中任意摸出1个球有3种可能的结果:红球1、红球2、白球,因此任意摸出1个球,摸到红球的可能性大.

【说明】本例首先要理解每次摸到的球的颜色是不确定的,摸到每一个球的可能性是相同的,因为红球的数量与白球的数量不等,可以把两个红球编上号码为红球1、红球2,因而摸到红球与摸到白球机会不均等,即摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性. 通过本例同学们要理解:①事件发生的可能性大小是由发生事件的条件来决定的;②可能性的大小与数量的多少有关:数量多则可能性大,数量少则可能性小.

例3在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球,其中2个为白球,1个为红球,1个为蓝球,每次从袋中摸出一球,然后放回搅匀再摸,小刚在摸球实验中得到下列表中部分数据.

(1)请将数据表补充完整;

(2)画出折线图;

(3)观察上面的图表可以发现:随着实验次数的增大,出现红色小球的频率 ______.

(4)如果按此题中的方法再摸球300次,并将这300次实验获得的数据也绘成折线图,那么这两幅图会一模一样吗?为什么?

(5)请估计,当实验次数很大时,出现红色小球的频率将会接近多少?

(6)假如你去从袋中摸出一球,你摸得红球的成功率约是多少?

【解答】(1)上排(频数)答案分别为: 18,60,72,下列(频率)答案分别为:20%, 25.8%,23.9%,26.2%,24.1%.

(2)折线图如图所示.

(3)逐渐稳定.

(4)不太可能一模一样,因为出现红色小球的频率是随机的.

(5) 约 25%.

(6) 约 25%.

例题拓展 第4篇

[关键词]例题；功能；挖掘与拓展

随着社会经济的发展，改革的前进，要求进入社会的人们有更多的数学意识与更强的数学能力。强调数学应用是社会的需要，更是数学本身的需要。数学教学与数学教育应源于现实，用于现实，否则数学将是无源之水，无本之本。随着科学技术的发展，在当前数学学科的发展进程中，其应用特征日益突出并受到社会的重视，数学教学不仅要让学生掌握一定的数学知识，更重要的是要让学生理解蕴涵在这些知识中的丰富的数学思想，数学思想方法对学生思考问题、解决问题更具有普遍性与指导性及一般性意义，因此对学生而言更为重要，例题的教育价值是否能够充分发挥出来，完全取决于例题中的数学思想是否被教师充分的挖掘与展现。认真研究这些例题，从不同方面对这些例题进行挖掘与拓展，使教材的教育功能得到最大的发挥。现以人教版全日制普通高级中学教科书《数学》各册中的几道例题为例，说明如何对教材中的例题进行拓展。

一、分析发的应用

数学问题的一题多解是常谈常新的话题，对学生进行一题多解的训练，可以培养学生思维的灵活性与广阔性，不同的方法对同一题来说也许难简各异，但它们却可应用于不同的背景之下，对某题来说较难的方法，在另一题的背景之下也许会成为通法甚至是唯一方法，而且多解常常沟通了数学中多方面的知识甚至其它学科的知识，这对夯实学生的基础也是非常有利的。

例：求证

教材中的基本证法是分析法，利用分析法证明之后，可让学生再利用综合法及平方后作差比较的方法进行证明，完成后，教师继续提示学生，在有关二次根式的问题中，除了可通过平方进行转化，还可怎样转化，引导学生发现分子有理化的方法：

由于，所以成立，故原不等式成立

之后，教师引导学生观察根号下各数的关系，可发现它们成等差数列，于是原不等式可变形成为：，由此学生又发现此题还可利用前一节课习题中的均值不等式（当且仅当a=b时，取“=”）进行证明。

在课外兴趣小组活动中，教师承接以上方法，引导学生探究这种方法的数学本质，发现这种方法与函数的凹凸性有关（函数的凹凸性在前面已结合高一上册教材中第二章复习参考题B组第三题在课外兴趣小组向学生介绍过），因此只要证明了该函数的凹凸性，也就能够证明原不等式成立，这样学生又掌握了利用函数凹凸性证明不等式的方法。

二、联系拓展的作用

辩证唯物主义认为事物是普遍联系的，在数学中，不同的数学分支间也都具有这种联系性，有的显而易见，有的则较为隐蔽，数学教学的一个功能就是要向学生揭示这种关系，这个揭示关系的过程，可以使学生的知识体系得到整合，并逐渐对数学中的各种思想方法如转化、数形结合等思想产生较为清晰的认识。对数学解题方法的拓展其实也是一种联系性的拓展，但数学教学中的联系性拓展还不仅局限于此，它还包括对数学教学内容之间的前后串联、课本例题的深化引申、课后习题的整合统一等。

例：如图，与不共线，（t∈R），用，表示

這是平面向量的一个重要例题，例题的结论是平面向量基本定理的一种特殊形式，由例题可得：=x+y（其中x+y =1），解决例题后，教师要引导学生探究其逆命题：“如果与不共线，对于点P满足关系式=x+y（其中x+y =1），那么P、A、B三点共线。”是否成立。学生通过探究，发现此命题是成立的。但对例题的拓展并不仅限于此，在学习空间向量时，教师可以再一次向学生呈现这个例题，并通过类比的方法，将此例题的结论引向空间，得到一个新的问题：已知、、不共面，=m+n（m∈R，n∈R），试用，，表示。经思考，学生可以得到结论：=x+y+z（其中x+y+z=1），这是空间向量基本定理的一种特殊形式，由于学生经历了平面向量中的探究过程，他们必然会思考这个命题的逆命题是否成立，而其逆命题恰好是教材中有关空间向量内容的一道例题：“对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式=x+y+z（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？”如果教师不如此引导，学生由于遗忘等原因，是不可能将两道例题联系起来的，而现在通过教师的拓展引导，两道不同章节的例题在学生的知识体系中建立了联系，这种联系并不是形式上的联系，而是在数学思想层面上产生的联系，因为后面的命题是前面命题在空间上的类比物，教师通过这种拓展，既对学生的知识体系进行了整合，又让学生经历了一次通过类比发现问题的过程，从而使他们的数学思维又一次向纵深发展。

课本中每一个例题、习题的设置都有其目的和作用，体现着本节知识应达到的能力要求. 我们不仅要紧扣课本，认识到认真钻研课本的重要性，突出课本基础知识的作用，突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，也要重视课本习题潜在功能的挖掘与利用. 指导学生回归课本，依“纲”固“本”，挖掘课本的潜在功能，对课本典型问题进行引申、推广，发挥其应有作用，这与高考命题的“源于课本，高于课本”的理念是相吻合的.师生共同挖掘出这道例题的函数背景，同时也通过对背景的思考，学生又获得了利用函数单调性证明不等式的方法。激发了学生的学习兴趣，也丰富了学生的视野，例题的教育功能得到了最大的发挥。以上是笔者对于课本例题如何拓展结合自己多年的实践所进行的一些思考，虽然文中按照五个方面进行了阐述，但实际对例题进行拓展时，这五个方面往往是相互融合的。

参考文献：

[1]《数学课程标准》（北京师范大学出版社2001.7）.

[2] 吴和贵，朱维宗，陈静安.数学通报.新课标下的课堂教学过程的 优化.18页. 《数学通报》编辑部，2007，3.

[3]彭光焰.中学数学教学参考.课本例题的价值在拓展中提升.37、38页.2007，1-2.

一道经典例题的解法探究及拓展 第5篇

在一次购物抽奖活动中, 假设某20张券中有一等奖券1张, 可获价值100元的奖品;有二等奖券2张, 每张可获价值50元的奖品;有三等奖券5张, 每张可获价值20元的奖品.某顾客从20张券中任抽2张, 求该顾客获得的奖品总价值的数学期望.

从而顾客获得的奖品总价值的数学期望为

点评:以上解题思路是先求出X的所有可能取值, 再根据离散型随机变量X服从超几何分布, 并结合离散型随机变量X的数学期望的求解方式得出相应结果, 整个计算过程的复杂程度适中.

二、例题拓展

如果将以上例题的条件“某顾客从20张券中任抽2张”改为“某顾客从20张券中任抽3张”, 其他条件不变, 这时该顾客获得的奖品总价值X的数学期望是多少?

解析:如果顾客从20张券中任抽3张, 那么此时X的所有可能取值为0, 20, 40, 50, 60, 70, 90, 100, 120, 140, 150, 170, 200.同上可求得X的分布列为

从而顾客获得的奖品总价值X的数学期望为

点评:通过以上对比分析, 我们可以得知:若顾客从20张券中任抽2张, 获得的奖品总价值X的所有可能取值有8种;若顾客从20张券中任抽3张, 获得的奖品总价值X的所有可能取值有13种.同时, 离散型随机变量在这两种情况下都服从超几何分布, 所以, 我们都可以根据X的不同分布列求出相应的数学期望.随着抽取张数的增加, 我们可以发现:获得的奖品总价值X的所有可能取值种数也随着增加, 计算量也越来越大, X的分布列也变得越来越复杂, 从而使计算X的数学期望的难度也逐渐增加.

三、例题反思

在离散型随机变量X服从超几何分布的条件下, 当X的所有可能取值种数较少时, 计算X的数学期望相对比较容易;而当X的所有可能取值种数较多时, 计算X的数学期望相对比较复杂.对此, 我们可以提出这样的问题:是否有一种比较简单的方法能解决这样的问题?

解析:离散型随机变量X的数学期望所表示的意义, 在于反映离散型随机变量X取值的平均水平, 由此我们产生一种新的思路, 建立一种新的解法.因为20张券总的价值为100×1+50×2+20×5=300 (元) , 所以, 每张券的奖品平均价值为300/20=15 (元) .因此, 当顾客从20张券中任抽2张, 获得的奖品总价值X的数学期望为E (X) =15×2=30 (元) ;当顾客从20张券中任抽3张, 获得的奖品总价值X的数学期望为E (X) =15×3=45 (元) .

点评:根据离散型随机变量X的数学期望所表示的意义, 分别求解顾客从20张券中任抽2张、任抽3张获得的奖品总价值X的数学期望, 所得的结果与前面利用超几何分布求出的数学期望是相符的.利用这种思路去探究类似的问题, 有助于简化解题过程.在解答一些选择题、填空题时, 这种解法也有助于为考生节省更多的时间.

参考文献

[1]课程教材研究所, 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3[M].北京:人民教育出版社, 2009.

对教材例题“开发与拓展”的研究 第6篇

一、尊重原教材内容

尊重原教材内容是对教材例题“二次开发”的首要原则教材是经过专家们不断推敲和研究编写出来的, 教材中的任何一道例题或练习都不是随随便便编排的, 教材是知识的提炼和精华所在.教材中的例题都是通过精挑细选的, 围绕教学目标的实现来编写的.因此, 教师在对教材例题进行“二次开发”的时候, 不能舍弃原教材中的内容, 而是要以原教材中的例题为基础进行开发, 如果擅自篡改例题或自编例题, 那都是舍本求末的做法.在教学中首先要围绕教材例题来展开教学, 要先讲完教材中的例题之后, 再对例题进行拓展和开发, 这样的方法才是最有效的.

二、对例题中的数字进行拓展

在一些有关运算的学习内容中, 教材中的例题不可能把每一种不同的运算都列举出来, 只会列举出一些比较有代表性的题目.比如说在学习有理数的加减法时, 两个数相加或两个数相减, 再假设出两个数的正负情况, 一共就可以组合成8种加减的不同情形.教材例题也没有把这样不同的8种情形列出来.因此, 教师在教学中就可以对例题中的一些数学进行改动, 得到更多不同形式的加减例题, 反复让学生练习, 这样学生在计算的时候才能得心应手, 提高学习的自信心.

三、对例题中的背景进行延伸

为了激发学生在课堂上的活力, 营造活跃的课堂气氛教师在对例题的讲解时也可以对例题中的背景进行优化和延伸, 根据实际生活来为学生创造一个更加真实的知识体验比如说在讲抛物线的时候, 可以用当地出名的桥或桥拱、隧道顶来做例子, 改动原题数据, 创造一个真实的问题情境.又比如说在学习三角函数的时候, 可以用生活中一些真实存在的山或建筑物来进行讲解, 学会用三角函数来进行测量.这样学生更加容易进入学习的状态, 提高学习的积极性.因为学生对身边熟悉的事物更容易接受, 把这些生活中的事物与数学结合到一起, 能让课堂气氛更加活跃, 学生更加积极参与到课堂中, 数学知识也变得更加具体和形象, 学生的学习兴趣无形之中也会得到提高.

四、对例题中的题设和结论进行变换

教师还可以通过对例题中的题设和结论的变换来达到二次开发的目的, 教材中的例题一般是具有代表性的, 为了训练学生的思维能力, 加强学生对知识的理解, 就可以采用这样的方法来提高课堂的效率.特别是在几何类的证明题当中, 变换题设或结论, 可以很好地达到训练学生思维的目的比如在这样一道题中:如图1, △ABDD

和△AEC是正三角形, A, B, C三点在HE同一直线上, 连接BE和CD, 求证:GF

BE=CD.BAC

在这里, 可以把“A, B, C三点在同图1

一直线上”这部分改成“△ABD和△AEC分别绕点A旋转”或者可以把两个正三角形改成等腰三角形.在结论部分, 可以改成求∠BHD的度数.

五、对例题的知识范围进行扩充

一般说来, 教材上的例题中所涉及的知识点都是本单元本节中所学习的知识点, 因为教材上的例题是针对某个知识点的学习和讲解来进行编排的, 所以知识点范围会显得相对窄一些.但是在实际的考试以及运用过程中, 题目的考查方式往往是非常综合的, 也就是一道题目会涉及几个不同的知识点, 这就要求学生要有综合使用不同知识点进行解决问题的能力.所以, 在例题教学中, 教师可以对例题中的知识范围进行一定的扩充, 对例题进行拓展, 把相关的一些知识点以及常见的考查方式融合到例题中, 让学生掌握综合使用不同知识的能力.比如在学习三角函数的时候, 可以把前面学习过的相似三角形的知识结合到一起, 通过三角函数的运用以及相似三角形的运用来进行测量.把反比例函数与一次函数结合到一起进行对比和学习.通过对例题的知识范围继续扩充, 加强了知识之间的联系, 对帮助学生形成相关知识的网络也是非常有利的.

综上所述, 在初中数学的教学中, 教师要充分理解和把握教材以及教材中的例题, 在例题教学的基础上对例题再次开发和拓展可以帮助学生巩固所学知识, 强化知识之间的联系, 活跃课堂气氛, 提高学生的学习积极性和自信心.因此, 对教材例题的开发和拓展是教师所必须具备的一项能力.在平常的教学中, 教师也要不断研究例题以及例题的教学, 也可以在原例题的基础上加以创新, 让学生立足于原例题, 获得更多的知识和能力.

摘要：数学教材是开展数学课堂的最根本依据, 所以教材不断改版就是为了给教学提供更好的参考和素材.作为教师, 领悟教材的编写意图, 掌握教材的使用方法也是非常重要的.只有真正懂得使用教材的老师, 才能在课堂上带给学生更多精彩的内容, 提升课堂的实际成效, 全面发展学生综合素质和能力.

关键词：初中数学,教材使用,例题拓展,数学资源开发

参考文献

[1]张继海.初中数学教材中例题、习题的演变方法[J].中国数学教育:初中版, 2012 (12) .

[2]黄振球.初中数学如何优化例题教学[J].中学时代:理论版, 2012 (4) .

例题拓展 第7篇

一、由“一棵树”想到“一片森林”

如图1,AD是△ABC的中线,AD =24,AB =26, BC=20,求AC.(课本第87页例2)

【分析】在△ABD中, 已知AB、AD及BD的长可以判定△ABD为直角三角形,从而根据中垂线的定义可判断AD即为线段BC的中垂线,再由中垂线性质可得AC=AB.

【知识点】本题运用了勾股定理的逆定理,中垂线的定义及性质.——— 一棵树

【知识面】本题的目的是体会直角三角形与等腰三角形之间的密切联系,把研究等腰三角形转化为研究直角三角形.

———几棵树

【知识体】本题放入直角三角形中求线段的长.事实上初中阶段求线段长“放入” 直角三角形是通法,不仅是勾股定理,还有三角函数.———一片森林

二、由“一棵树”繁衍“几棵树”

变式一如图2,在等腰△ABC中,AB=AC= 26,BC=20,求BC边上的中线AD的长.

【变式依据】将原题中的一个已知与结论互换.

【变式目的】(1)感受变中不变. 虽然题目有变化,但解决问题的脉络不变.

(2)加强知识点与知识面之间的联系.通过该题明晰“等腰三角形与直角三角形间的密切关联———高线”.

变式二如图3, 在△ABC中,AB=17, AC =10,BC =21,AD是BC边上的中线. 求AD的长.

【分析】要求线段AD的长,可以将它“放入”一个直角三角形, 利用勾股定理求得.那么是过A点还是D点构造直角三角形呢?若过D点构造,发现很难与已知条件建立联系,若过A点构造, 则容易与已知产生关联,因此,先尝试过点A作AE⊥BC,构造直角三角形.

如图4,发现可在Rt△ABE和Rt△ACE中利用勾股定理建立方程,(设CE=x,则BE=21-x,在两个直角三角形中表示出AE2, 得172-(21 -x)2=102- x2,化简解得x=6),从而可求出线段AE、线段DE,最后再在Rt△ADE中利用勾股定理求出AD的长.

【变式依据】由特殊情况向一般情况转化.

【变式目的】(1)感受勾股定理的强大, 在直角三角形中已知任意两边可求第三边.

(2)拓展思维,将特殊向一般转化;形成解题策略,构造直角三角形求线段长是常用方法.

这种方法不仅在勾股定理的应用上有价值,亦能影响后续三角函数的学习.

对于学习,我们有着美好的愿望———一通百通.正如吴承恩《西游记》:“这猴王也是他一窍通时百窍通,当时习了口诀,自习自练,将七十二般变化,都学成了.”若要想“百窍通”,那么就要先“一窍通”,若要 “一窍通”,有效的方法是通过例题变式深入理解其精髓,掌握其数学思想方法,最终实现“活学活用”.

三、自己“种树”, 试一试,变一变

1. 如图5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC= 9,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.求AE、EC的长.

【分析】首先连接BE, 如图6,根据线段垂直平分线的性质,可得AE=BE, 然后设AE=x,由勾股定理可得方程:x2=92+(12-x)2, 继而求得答案.

解:连接BE,

∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,

∴AE=BE,设AE=x,则BE=x,EC=AC- AE=12-x,

∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,

∴x2=92+(12-x)2,解得:x=75/8,

∴AE=75/8,CE=21/8.

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理.此题难度不大,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

2. 感悟分享

尝试精神:尝试能成功,成功能创新. 前面的路,不论是一马平川还是千山万壑都要自己去走、去闯、去试,才使我们的生命更有意义. 那么先从上一题的变式拓展开始尝试吧!

3. 我的变式分享

【悟空七十二变之一】

如图7,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AC的垂直平分线交BC于D,若BC=12,求BD的长.

例题拓展 第8篇

若圆O内的两条相交弦AB, CD相交于点P, 则|PA||PB|=|PC||PD|.

在人教版的选修4-4中有这样一道例题 (课本第38页例4) :

如图1所示, AB, CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦, 交点为P, 两弦AB, CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1, ∠2, 且∠1=∠2.求证:|PA||PB|=|PC||PD|.

证明如图2建立平面直角坐标系, 设椭圆的长轴、短轴的长分别为2a, 2b, 则椭圆的方程为

设∠1=θ, 点P的坐标为 (x0, y0) , 则直线AB的参数方程为

将 (2) 代入 (1) 并整理, 得到

由于a2cos2θ+b2sin2θ≠0, 因此方程 (3) 有两个根, 设这两个根分别为t1, t2, 容易得到

同理, 对于直线CD, 将θ换为π-θ, 即得到

由 (4) , (5) , 得到

验证后发现结论对椭圆成立.追问:结论对双曲线、抛物线是否成立呢?于是, 笔者又对此经行了一番探究

拓展1已知AB, CD是中心为点O的双曲线的两条相交弦, 交点为P, 两弦AB, CD与双曲线实轴的夹角分别为∠1, ∠2, 且∠1=∠2, 求证:|PA||PB|=|PC||PD|.

证明设双曲线的方程为

设∠1=θ, 点P的坐标为 (x0, y0) , 则直线AB的参数方程为

将 (2) 带入 (1) 并整理, 得到

由于b2cos2θ-a2sin2θ≠0, 因此方程 (3) 有两个根, 设这两个根分别为t1, t2, 则

同理, 对于直线CD, 将θ换为π-θ, 即得到

由 (4) , (5) , 得到

故结论对于双曲线也是成立的.

拓展2已知AB, CD是中心为点O的抛物线的两条相交弦, 交点为P, 两弦AB, CD与抛物线的对称轴的夹角分别为∠1, ∠2, 且∠1=∠2, 求证:

证明设抛物线的方程为

设∠1=θ, 点P的坐标为 (x0, y0) , 则直线AB的参数方程为

将 (2) 带入 (1) 并整理, 得到

由于sin2θ≠0, 因此方程 (3) 有两根, 分别设为t1, t2, 则

同理, 对于直线CD, 将θ换为π-θ, 即得到

由 (4) , (5) , 得到

故结论对于抛物线也是成立的.

因此, 我们可以得出这样一个结论:

在圆锥曲线中, 如果有两条相交直线, 且他们与焦点所在直线所成的锐角相等, 则被交点分成的两条线段长的乘积相等.