变量读书心得体会（精选13篇）

变量读书心得体会 第1篇

来凑巧，最早是在《逻辑思维》罗胖子的“怂恿”下购买了何帆老师的著作《变量》书籍，今再次翻读。200多页的内容仍然意犹未尽，感慨依旧。现将所读所感与大家分享。

快变量和慢变量

什么是快变量，什么是慢变量。大致可以理解为，快变量是在慢变量的趋势下所发生的变量，它们是因果关系，而慢变量是主因。历史是由快变量决定的，也是由慢变量决定的，但归根结底是由慢变量决定的，慢变量才是牵引历史的火车头。作者似乎想向读者传递的是一种思考方式，那就是从慢变量中寻找一种主导事态发展的小趋势。

慢变量是一种一旦打开就无法合上的趋势，人类发明了电就有了家用电器，大幅减少了妇女家务劳动的时间，导致妇女大规模投入劳动市场。有了电就有了电梯，有了电梯就能盖摩天大楼，才导致了城市人口的密集性。等等一系列连锁反应，都是由慢变量所衍生。随着改革开放，中国的发展非常迅猛。30年前的中国还只有第一产业，但随着工业化的到来，带来了第二产业，城市的发展又带动了第三产业的崛起。快捷支付、快递、外卖、滴滴打车等等都是在变量的趋势中所衍生的产业。

5个变量

快变量只是当今社会迅速发展的一个表象，也是最快可以获得的信息，慢变量才是工业化、城市化、技术革新的始作俑者。找到慢变量才能找到未来的发展方向，找到小趋势才有坚定不移的自信力。书中介绍的5个变量：大国博弈、技术赋能、新旧融合、自下而上、重建社区。这5个变量贯穿整本书的核心。书中依次利用中美贸易摩擦、极客无人机的运用、新旧技术的融合、多核城市的发展、山村小学的建设等等来加以证明5个变量的核心价值。让我们对中国未来的发展充满自信。

顺势而为

这是一个新时代，也是一个旧时代。作者在书中给我们介绍新旧融合的时候用了一个词：老兵不死。在探究城市发展的脉络中，一座城市的发展离不开交通，有路就有车，有车就要驻。临时占道停车行业的出现是城市经济发展中的趋势产物，但面对城市发展迅速城市汽车保有量持续增长的情况，目前南昌市汽车保有量已突破100万辆。停车难的问题已逐渐浮现。

南昌市政停车管理有限公司自成立以来始终投入于解决临时占道停车难的问题，不断探寻有效的解决方法。20停管公司在红谷滩区首先试行了智慧停车系统，投入新型手持PDA收费机，并配套感应地磁。在未来不久电子支付还将取代人工收费。城市的智能化潮流已经到来，临时占道停车行业也将在智能化时代的潮流中自我革新顺势而为。

结语

发展的历程就如书中所说“窥见真相的全貌”的方法是在慢变量中寻找小趋势。身处在科学技术迸发，日新月异的时代，寻找到自己的小趋势就是顺势。

变量读书心得体会 第2篇

1、$0 获得当前脚本的文件名，包括路径，

代码如下:

#写一个测试脚本

vim test.sh

#内容如下

dirname$0

basename$0

#执行一下

bash$(pwd)/test.sh

#输出如下

/home/jane

test.sh

2、$n 获取当前执行脚本的第n个参数，n=1..9，$0，为当前脚本名。如果n大于9，使用${10}

代码如下:

echo‘echo ‘$(seq-s ” $“1 5|sed‘s/1/$1/‘) > test_n.sh

cattest_n.sh

#内容如下

#echo $1 $2 $3 $4 $5

bashtest_n.sh arg1 agr2 arg3

#输出内容：

#arg1 agr2 arg3

3、$* 获取脚本所有参数

代码如下:

echo‘echo $*‘>test_*.sh

cattest_*.sh

#内容如下：

#echo $*

bashtest_*.sh 1 2 3

#输出：

#1 2 3

4、$# 获得脚本所有参数的个数

代码如下:

echo‘echo $#‘>test_j.sh

cattest_j.sh

#内容如下：

#echo $#

bashtest_j.sh 1 2 3

#输出：

使用结构类变量的一点体会 第3篇

在使用VB编程的过程中,如果要处理的一组相关数据类型相同,一般会采用数组的形式来处理;若这组待处理的数据类型不一致,一般会使用结构类变量来处理。对数据类型一致的数据也可以用结构类变量来处理,一般说来,无论使用什么方法去处理,只要算法正确,其结果都是相同的,再加上现在电脑运行速度快,所以很少有人会注意到它们之间的差别。下面通过记录程序的运行时间,说明了在相同的算法下,使用结构类变量的程序比使用数组的程序运行速度快。

2 测试过程

对于要处理的一组数据,一般将其分成若干行,而对它们最常用的操作不外乎排序、查找、清除某一行(列)的内容,以及读取、写入等操作,其中的核心操作是交换某二行(列)的内容,下面设计一个测试其运行速度的相关程序。

2.1 准备工作

建立一个工程,在模块中声明timeGetTime函数,该函数记录程序运行的起止时间,声明一个xsh的结构类,xsh包涵10个类型相同的Double数据,代码为:

最后定义3个变量xx、yy和tt,xx和yy是完全一样的10X10型数表,不同的是xx用结构类变量表示,而yy用二维数组表示,tt用来记录时间,代码为:

2.2 对数表操作

对数表操作,最常见的是交换其中的两行(列)和读写表中数据,下面对表xx和yy进行同样操作,看看其运行时间。

2.2.1 交换xx中两行

不失一般性,只交换xx中的第1和第2行,运行100万次,用一个标签Label1显示运行时间,程序代码为:

将上述代码在acer 4810TZG上反复运行(下同),其每次的运行时间大约为220毫秒。

2.2.2 交换yy中两行

对yy做和xx同样的处理,代码为:

反复运行此段程序,其每次运行时间大约为3700毫秒,使用数组的运行时间是使用结构的(3700/220=)16.8倍。

2.2.3 读写测试

对数组元素和结构成员的读写的测试结果,将aa=xx(1).x1:xx(1).x1=10#对结构变量成员的读写语句运行100万次,运行时间大约为90毫秒;将aa=yy(1,1):yy(1,1)=10#对数组元素的读写语句也运行100万次,运行时间大约为110毫秒;读写结构成员比数组元素快,但优势不明显。

3 存盘处理

对于结构类变量,可以按照结构的长度进行存盘,读取时可以直接读入结构类变量,使用起来非常方便。假设数据文件为xxxx.txt,读取代码为:

上面代码将xx中第一行保存到了xxxx.txt文件的第一条记录中;如果要从xxxx.txt中读取第一条记录,则使用Ge#FileNumber%,1,xx(1)语句,xx(1)的各成员均被读取,使用起来非常方便。如果要存储yy的某一行则要麻烦许多,首先要选择存储格式,读取后还要逐个元素识别,这里不做详细讨论。

4 结语

通过上面的讨论,可以看到,对于那些喜欢编写小程序又不想使用数据库引擎的读者来说,多使用结构类变量,不仅程序运行速度快,而且数据存储也很方便。

摘要：在VB中通过测试使用结构类变量和数组的两组程序的运行时间,证明了在编程中多使用结构类变量会加快程序的运行速度的结论,也举例说明了使用结构类变量可以方便在硬盘上存储成组的数据。

关键词：结构类变量,数组,存储

参考文献

[1]新编中文Visual Basic6.0实用教程.西安:西北工业大学出版社,2003.

物理中自变量和因变量各是什么 第4篇

1、自变量概念

自变量是指研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件，因此自变量被看作是因变量的原因。自变量有连续变量和类别变量之分。如果实验者操纵的自变量是连续变量，则实验是函数型实验。如实验者操纵的自变量是类别变量，则实验是因素型的。

2、因变量概念

实验中由于实验变量而引起实验对象的变化和结果叫做因变量。例如，在探究光照强度对光合速率影响的实验中，由于光照强度不同，使得实验对象的光合速率有所变化，这个光合速率的变化就叫做因变量。

3、因变量种类

1、反应的潜伏期(反应时)：指刺激开始到反应开始间的时间，反应心理过程的速度，可以探测被试记忆保持的状况，也可以分析和测量被试的内部过程。

2、反应的`持续时间：指反应开始到反应结束之间的时间。如完成一定工作所需的时间。

3、反应量：指反应本身的变化量。如条件反射建立的巩固程度，要通过测量狗分泌的唾液量来计算，就是反应量。

4、反应频率：指在一定时限内被试做出反应的次数。

《变量》读后感 第5篇

1.未来30年用最多的精力，最大的热忱来写。

2.采访和观察由他自己和团队完成，写作由他自己完成，写不动了就指定接班人。

3.写平凡人做的不平凡的事。4.尽可能采用第一手资料来做研究。

5.坚持独立的个人观点。

6.保留自己对书稿的最终修改权。

7.书中不含任何植入、商业推广、宣传。

《变量》读后感 第6篇

这是鹰眼的视角。同时他也采用了所有文学著作和历史著作最优的记录方法：展示真相的视角，却能窥见真相的全貌。

本书的观察方法也很特别，采取观察一棵树的方法论来细致观察中国的变化。通过观察嫩芽和新枝，并不管把目光拉回母体，才能更好感知中国这棵大树的生命力。以这样严谨而又独特的方式呈现出的中国历史必然是宏大的、生动而又独特，让人充满惊奇、叹服，又看到中国社会发展的希望，从小趋势里看见到城市和个人发展的方向，是一本鼓舞人心，给人信心的好书。

变量读书心得体会 第7篇

关键词：多变量系统,时滞,关联分析,变量配对

对于多变量时滞控制系统的设计,尽管上层的先进控制已经得到了成功应用,但是底层的常规控制还是很重要。在实际工业中,分散控制在底层常规控制中占据主导地位。对于分散常规控制系统设计,工程人员都是将MIMO系统进行关联分析后分解成多个SISO系统,然后分别设计PID控制器对其进行控制。

对于回路间的关联分析,最早由Bristol E H于1966年提出了相对增益阵(RGA)的关联分析方法[1]。由于RGA只利用了系统的稳态信息,没有结合系统的动态特性,所以有时不能得到正确的配对方案。因此,人们为了克服RGA的缺陷,充分利用系统的动态信息,提出了不少改进的配对方法[2,3,4,5,6,7]。其中,HeMJ等提出了相对正则化增益阵(RNGA)的变量配对方法[8],这种配对方法充分结合了稳态和动态特性,但是RNGA中的平均停留时间(AST)只关注滞后与时间常数的和,而不考虑AST一定时滞后对变量配对的影响,从而对于相对大滞后的过程就可能得不到正确的配对结果。

笔者在时域内基于开环传递函数的阶跃响应,得到一种新的关联分析方法来衡量回路间的关联程度。这种方法充分结合了增益和响应速度,考虑了稳态和动态特性,物理意义明确,能快速得到最优配对结果。最后通过两个实例分析并与其他方法比较,说明了这种方法的有效性。

1 问题的提出

下面先介绍几种比较常见的关联分析方法,最后具体介绍RNGA方法和存在的问题。

RGA变量配对方法是根据传递函数阵的稳态增益来定义的:

其中K=G(j0),表示两个矩阵对应位置的元素相乘。

Niederlinski指数NI是变量配对完成后判断闭环系统是否稳定的准则[9]。如果NI值小于0,说明系统不稳定[10],具体计算式为:

其中分子表示的是稳态增益阵G(0)的行列式,分母表示的是G(0)的对角线上元素之积。

有效相对增益阵(ERGA)关联分析方法是在频域内利用稳态增益和频率来定义一个有效增益[11]。这种方法对于频率的选择有两种:带宽频率和穿越频率。这种方法选择不同的频率将会得到不同的矩阵,从而产生不同的配对结果。具体的定义式如下:

其中

衡量一个输出对一个输入的敏感程度,有两个主要因素:增益和响应速度[12]。RNGA变量配对方法就对这两个因素进行了很好的诠释。RN-GA是在时域内基于传递函数的阶跃响应定义的。它综合考虑了过程的稳态信息和动态特性,所以能较好地衡量回路间的关联程度。

令gij(s)=gij(j0)·g'ij(s),其中gij(j0)是稳态增益,g'ij(s)是gij(s)的正则化的传递函数。假设过程g'ij(s)开环稳定并且输出y'i=g'ij(s)uj,uj为单位阶跃输入信号,则:

其中Aij的数值等于AST的值,记作Tar,ij。从而结合稳态增益定义一个正则化的增益:

与RGA的定义方法类似,定义一个RNGA阵列为:

其中

RNGA变量配对方法的稳态信息通过稳态增益来体现,而动态特性通过平均停留时间来表示。AST越小说明过程响应速度越快。但是,平均停留时间只是时滞和时间常数的加和,而没有考虑时滞大小对变量配对的影响。从控制器设计的角度来看,对于多个对象的控制而言,不希望去控制时滞比较大的对象。以经典的一阶时滞系统为例,平均停留时间Tar等于时滞T和时间常数T。当Tar数值一定时,适当地增大时滞而减小时间常数也不会影响配对的结果。但是从控制的角度来看,对于时滞比较大的对象,就不能有效地对其控制。所以对于这种情况,RNGA得到的配对方案是不可取的。

基于以上对RNGA存在问题的分析,笔者通过增强滞后大小对配对的影响程度,提出一种新的关联分析方法。笔者认为式(5)的分母的形式应为f=aT+T,其中a小于1。下面就分母的形式进行推导论证。

2 能量消耗性能指标

假设系统的模型可以得到,被控对象的传递函数阵如下[13]:

对于传递函数矩阵G(s)的各个单元,一般可以取为一阶时滞系统:

或二阶时滞系统:

式(8)、(9)可以描述工业过程中的大部分过程。

在时域内,表示系统性能的指标有很多,一般来说通常主要采用两类性能指标:以阶跃响应曲线的几个特征参数作为性能指标和偏差积分性能指标。笔者利用偏差积分性能指标中的平方偏差积分(ISE)指标来衡量系统响应过程中能量消耗的大小。笔者所用的偏差是开环时操纵变量给定值与被控变量输出值的差值。ISE描述的是整个响应过程中输入值与输出响应偏差平方的积分,这个积分过程覆盖了整个时域,所以这个指标能更加全面地描述整个动态过程。

令gij(s)=gij(j0)·g'ij(s),其中gij(j0)是稳态增益。假设过程g'ij(s)开环稳定且输出y'i=g'ij(s)uj,uj为单位阶跃输入信号。笔者采用ISE指标来表示输入通道uj到输出通道y'i的能量消耗大小:

于是定义:

其中eij=y'i(∞)-y'i(t)。通过推导,对于过程工业中常见的一阶时滞系统:

二阶时滞系统:

显然,式(12)的值小于τij+Tij,式(13)的值小于τij+a1,ij,验证了前面推断的分母形式。

3 相对能量增益矩阵(REGA)

对于一个多变量控制系统,进行回路间关联分析时,不仅要看稳态增益的影响,还要利用动态因素的作用。本文中,动态特性是通过能量消耗大小来衡量的。能量消耗值越小,说明系统响应速度越快,这一回路受其他回路的关联作用就越小。

影响回路配对的两个参数分别为:稳态增益gij (j0)——操纵变量uj到被控变量yi通道的增益,稳态增益值越大,说明输入uj对输出yi通道的影响越大;能量消耗Eij——操纵变量uj到被控变量yi通道的反应速度,能量消耗值越小,说明输入uj到输出yi通道的响应速度越快。

这种新的关联分析方法是利用上面两个参数来定义一个能量增益(EG)kE,ij:

所以得到了一个能量增益阵:

其中☉表示两个矩阵中对应的元素相除,E=[Eij]n×n。

与定义相对增益矩阵类似,用式(15)中的能量增益阵KE来代替稳态增益阵,可以得到一个相对能量增益:

其中k'E,ij表示当其他回路都闭合时,输入变量uj与输出变量yi间的有效增益。从而,得到了一个相对能量增益矩阵(REGA)Γ=[γij]n×n:

新的变量配对方法在选择配对方案时应遵照以下规则:

a.所有的被选择配对的REGA元素必须是正数;

b.NI指数必须是正数;

c.被选择配对的REGA元素必须接近于1;

d.太大的REGA元素应避免选择配对。

实例分析与讨论

考虑如下2×2过程:

分别计算RGA、ERGA、RNGA和REGA阵列如下:

对于这个例子,RGA和RNGA都不能得到配对结果。ERGA给出的配对结果是1-2/2-1(NI=2),而笔者的方法REGA给出的配对方案是1-1/2-2(NI=2)。为了验证笔者方法的配对结果,依据不同的配对方案,优化各回路的PID控制器参数。控制仿真曲线如图1所示。

从图1可以看出,对角线元素配对表现的闭环性能要比非对角线元素好,所以对角线元素配对方案更合理。

考虑如下3×3过程:

分别计算RGA、ERGA、RNGA和REGA阵列如下:

通过以上矩阵,RGA和RNGA的配对方案是1-2/2-1/3-3 (NI=0.4375)和1-1/2-3/3-2 (NI=0.4375)。而笔者方法和ERGA给出的配对方案为1-1/2-3/3-2(NI=0.4375)。为了验证笔者方法的配对结果,依据不同的配对方案,优化各回路的PID控制器参数。控制仿真曲线如图2所示。

从图2的仿真曲线可以看出,1-1/2-3/3-2配对表现的闭环性能要比1-2/2-1/3-3配对好,所以1-1/2-3/3-2配对方案更合理。

通过以上分析可以看出,笔者提出的REGA能够得到最优的配对结果。RGA只考虑了系统的稳态信息,所以就可能会得到错误的配对结果。ERGA频率计算选择为带宽频率时,不考虑过程的时滞大小,从而可能产生错误的配对结果。RNGA这种方法虽然能够结合系统的稳态信息和动态特性。对于AST一定,滞后相对大的系统,这种方法就不能得到合理的配对结果。

5 结束语

《变量》读后感 第8篇

《变量》是何帆今年出版的书，据他自己说，要写到2049年，对此我表示好奇，也很八卦地准备观察下去，看是否坚持得到30年，也许，很多读者都是这么无聊地基于这个原因看下去。

这本书用了小趋势的概念，小趋势应该不是本书作者先提出来的，按照美国未来学家马克，佩恩的定义，小趋势就是占人口1%的群体出现的变化。但是作者认为，先有大趋势，再有小趋势，发展初期看大趋势，发展后期看小趋势。未来时代，小众才是主流。

变量的心情 第9篇

横坐标，纵坐标，变幻莫测;自变量，因变量，无法琢磨;已知的，未知的，无法预料……随着时光的流逝，我们都在逐渐成长，此刻的你，情绪是坐标，函数，还是变量呢?

宁静的冬夜，窗外突然传来一声响亮的犬吠。

烦恼地丢掉手中的笔，呆呆地望着桌子上那一整摞的文件，还有许多未完成的工作，这就意味着我又要挑灯夜战了。

“汪”，“汪”，“汪”，窗外又传来了那可恶的犬吠声，我深吸了一口气，脸上露出很不耐烦的神情，情绪很抓狂，正准备大叫的时候——

那可恶又令人烦躁的犬吠声突然停止了。

而我的笔，却还安静地躺在冰冷的地面上。

我真的.感觉这天的情绪太变幻莫测了，早上刚醒来的时候，和煦的阳光照射在舒坦的床上，伸伸懒腰，快乐地像一只自由翱翔的小鸟，可到了晚上，因为白天工作上的事情而变得烦躁不安。

上班路上，遇到认识的人，我会不时向他们打招呼问好，情绪也是愉悦，来到办公室也会跟同事们相互问候说早安。午后，手机突然收到一条消息，被通知本该属于我的荣誉要让出来给别人，早上那愉悦的情绪突然间就不翼而飞了，情绪很糟糕，上班也心不在焉的。

情绪，真的有那么重要吗?也许有吧!它真的能够严重影响到一个人的喜怒哀乐。

在生活的平面直角坐标系中，情绪是那个能够操纵你一切喜怒哀乐的主使者，它能够在一瞬间将你的情绪升至最高点，也能够在一刹那将你的情绪拉至最低谷，它所组成的图形能够不断拉长，也能够不断翻转……

我在日记本的首页写下这样一句话：“决心就是力量，信心就是成功，灰心就是衰弱，死心就是失败。”可主宰着决心、信心、灰心、死心的，竟然也是情绪!

在数学中，对函数的定义是这样的：在某个变化的过程中，两个变量X和Y，如果给定一个X值，相应地就确定了一个Y值，那么我们称Y是X的函数。在我看来，这两个变量延伸到生活中，自变量就是情绪，因变量就是喜怒哀乐，我们的每一个表情都在随着情绪的变化而变化，也许这就是情绪的函数吧!

可情绪，它又不能像函数那样简单地去定义。

它是一只诡异的精灵，是来无影去无踪的幽魂。

我找不到一个适宜的词语来描述情绪，它是一个变幻莫测的自变量。

我以前站在三亚的天涯海角，在那海天相接的地方，大声怒吼——情绪，我不要一向受制于你，我要控制你。

当纵坐标改变的时候，横坐标也不必须改变。

情绪是坐标、函数还是变量?我想，此刻能够清楚地给出答案了：

我迷茫了。我困惑了。我混沌了。我不解了。

对于那些稀奇古怪的情绪，我再也不去研究了。研究不透的，就不再那么劳神费力地去浪费时间了。

那什么是我当下最该做的事情呢?那就是不断地学习，充实自己，提升自己。

《变量》教学设计 第10篇

一、教学背景

这是笔者在海门市“学程导航优化课堂”展示活动中的一节公开课，教学内容为：人教版八年级上册第十四章第一节《变量》。本班学生成绩较为平衡，基本没有不合格的现象，不少学生在学习上好胜心强，乐于学习，勇于克服学习上的困难，思维灵活，有较好的学习习惯，课堂参与度高，回答问题积极主动，同时小组合作的意识较强，合作效率高。

二、教材分析与处理

（一）教学目标的确定

本节课虽是一节概念学习课，但绝不仅仅是概念的学习。世界是运动变化的，函数是研究运动变化中数量关系的重要数学模型，而变量是函数学习的开端，让学生通过丰富的问题情境，感受不同事物的变化过程，由此确定第一个教学目标。学习一个新的概念重要的是经历概念的形成过程，体会其中蕴含的思想和方法，由此确定第二个教学目标。在一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系，由此确定第三个教学目标。

（二）教学目标

1.通过丰富的问题情境，感受不同事物的变化过程，了解常量和变量的概念，并能从具体问题情境中识别常量和变量。

2.经历常量和变量的概念形成过程，体验由特殊到一般、由具体到抽象的思维方法，为后续函数的学习奠定基础，并积累概念的学习方法。

3.经历对实际问题中的数量关系和变化规律的探究，进一步认识数学与生活的密切联系，体会数学活动充满探索与创造，进一步激发学习数学的热情。

（三）教学设计思路

教学数学概念，不能把定义直接抛给学生，让他们死记，而必须要重视概念的形成过程，帮助学生建立正确的概念。本节课从生动有趣的故事“乌鸦喝水”引入，让学生体会变化过程中蕴藏的数学道理，体会很多数学概念是从生产和生活实际中抽象出来的；再通过课堂上的交流与讨论，再次经历概念的形成与发展过程，同时设计一些开放式的问题，引导学生多角度、全方位地理解概念的内涵。

（四）教学重点、难点、方法、手段

教学重点：感受不同事物的变化过程和概念的形成过程。教学难点：对不同事物变化过程的认识。

教学方法：以自主探究与合作交流为主，通过小组合作理解常量与变量的含义，体验数学活动中的探索与创造。

教学手段：学习单、多媒体辅助教学。

三、学习单

鼓励学生充分利用课前、课后的时间进行自主学习。课前我使用学习单指导学生预习，要求学生提前了解知识，为课堂上理解、运用知识打下基础。在问题的选择上，尽量选取学生熟悉的、感兴趣的例子，使学生感受到数学就在我们身边，数学来源于生活。学习单内容设计如下：

一、学习内容和要求

内容：书本第93～95页“14.1.1变量”。

要求：①边看、边想，并用红笔划记和圈注重要内容和关键词语。②在学习单右侧写下你的疑惑与感悟。（疑惑与感悟：_________）

二、导学提纲

1.列举生活中一个量随另一个量变化而变化的现象。2．【问题1】 在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律。如果弹簧原长15cm，每2kg重物使弹簧伸长1cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为lcm，怎样用含m的式子表示l？ 先填写下表：

你发现：l=_________。

【问题2】一辆小轿车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系记录如下表：

在这个变化过程中，数值发生变化的是哪些量？他们之间有什么关系？（思考：在这两个问题中，是用怎样的方式来描述变化过程的？）【问题3】小李用一根20m长的绳子围成一个等腰三角形，他发现改变等腰三角形的底边时，等腰三角形的形状也在变化。设等腰三角形的底边长为xm，腰长为ym，那么等腰三角形的腰长y用含x的式子可表示为_________。概括：以上三个问题有什么共同之处？

归纳：在一个变化过程中，_________为变量，_________为常量。应用：问题1中常量是_________，变量是_________。问题2中常量是_________，变量是_________。问题3中常量是_________，变量是_________。

四、教学过程

（一）情境导入

师：请同学们观看乌鸦喝水的视频，并提出要求：

（1）观察瓶中水位的变化过程，请用自己的语言描述这个变化过程。（2）请你举例说一说生活中一个量随另一个量变化而变化的现象。

（设计意图：从学生熟悉的小故事引入，激发学生学习的兴趣，启发学生感受事物之间的互相转化，继而揭示课题）

（二）任务驱动

1.小组交流，内容：学习单中“导学提纲”。

（教师提出讨论要求，然后参与讨论，关注交流情况。在小组合作交流的过程中，培养学生的团队意识）

2.展示：学习单中的【问题1】，先填下表：

你发现：l=_________。【问题2】（题目略）在这个变化过程中，哪些量的数值发生变化？他们之间有什么关系？ 帮助学生总结：在这两个问题中，是用怎样的方式来描述变化过程的？ 并追问：（1）在这个变化过程中，有始终不变的数值吗？（2）说一说你是如何得出s与t的关系式的？

【问题3】等腰三角形的腰长y用含x的式子可表示为_________。追问：有没有其他方式可以描述一个变化过程？

3.讨论：以上三个问题有什么共同之处？（鼓励学生尽量用自己的语言进行描述，教师即时点评，并请其他小组补充）

归纳：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

（本环节设计意图：创造一种环境，让学生能自由表达自己的想法。学生的回答可能较为发散，我们应当肯定学生的各种合理的答案，即使描述不到位，也可以请其他的学生补充，而不能教师包办。在探讨交流的过程中，给学生提供充分的自主学习的时间和空间，并引导学生去探索、创造，比如通过几个问题的分析、即时追问，向学生展示分析问题的基本方法，锻炼学生思维的广阔性）

（三）学习展示

1．小丽去买笔记本，笔记本的总价Q（元）与笔记本的数量x（本）之间的关系记录如下：

则用含x的式子表示Q为：Q= ___________________________。2.在我校秋季田径运动会50米比赛中，我班选手李华的平均速度为（v米/秒），时间为（t秒），那么用含v的式子表示t为________。（设计意图：安排的三道练习都是围绕确立常量与变量之间关系的表达式，但其侧重点不同：题（1）侧重于学生对表格式问题的理解，建立表达式；题（2）侧重于对简单文字形式的理解以及确立表达式；题（3）侧重于在较复杂的2个研究对象的习题中建立表达式，层层递进，使学生更好地理解新知，巩固新知）

（四）拓展延伸

比一比：每个小组在①y=-8x；②y=8x＋3；③y=－8x＋3中选择一个式子，设计一个可以用这个式子表示两个变量之间数量关系的实例。比一比哪个小组设计得既快又好。式子：_________。

实例：__________________。

（设计意图：安排开放题，通过小组合作，培养学生的探索精神和创新意识。教师提示学生可以用不同的方式描述，激发学生的思维）

（五）矫正总结

说一说：1．在一个变化过程中，如何快速而又准确地识别常量和变量？ 2.描述一个变化过程有哪些常用的方式？

想一想：从本节课中，我们发现了列表达式的哪些方法？ 3.通过本节课的学习，你认为应该如何进行概念学习？（设计意图：通过自主思考和小组交流，让学生回顾整节课的学习活动及学到的知识、方法，发挥学生的主体意识，品尝收获的喜悦，促进学生技能的形成，培养学生的语言概括能力，同时让学生树立“既要重视结果，更要重视探索过程”的意识）

（六）课堂作业

1.书本作业。2.按学习单预习《14.1.2函数》。

五、教学反思 1．《数学课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、推理与交流，所以，教学情境的创设要贴近于生活，可以取材于生活中学生熟悉的实例，也可以来源于学生耳熟能详的故事。本节课创设了“乌鸦喝水”的情境，学生都知道这个故事，但从这个故事中提炼出数学知识却是学生没有想到过的，通过这个例子，能让学生感受到数学就在我们身边。

2.课堂中运用独立思考、小组合作学习等方式给学生提供了充分的参与学习的机会，关注到了全体学生的发展，照顾到学生之间的个体差异，允许不同思维方式产生不同的理解和方法。本节课在课前的预习板块、课堂的提问环节都注重了学生之间的共同探讨、合作交流，使学生在活动中学会了合作、交流、倾听，培养了学生多方面的能力。3.教学过程符合学生波浪式前进、螺旋式上升的认识过程。首先是课前的自主学习，让学生初步感知学习内容；然后教师通过课上的交流、讨论和展示，让学生再次经历概念的发展和形成，并适时追问，引导学生反思和总结，使数学思想和方法得以凸显；再通过开放式问题的解答与合作设计，从多个角度实现知识的深层感悟；最后通过全方位的反思，使知识和方法得以内化和升华。

变量读书心得体会 第11篇

精准农业已列入国家S863计划之中, 由中国科学院南京土壤研究所、石家庄农业现代化研究所、地理科学与资源研究所共同承担, 在上海、新疆、吉林等地同时开展精准农业的相关试验研究和技术集成的示范工作, 这是目前为止中国最为系统的研究和技术示范。本项目的研究目的是:在已有18马力小四轮拖拉机配套的精密播种机上实现变量施肥。

1 变量施肥执行机构

1.1 精密播种机选型

本项目选择公主岭市机械制造公司生产的2BFJ—Z型深施肥精密播种机, 此适合吉林省地域, 且价格合理、精密播种度高, 是与18马力小四轮拖拉机配套中耕部件。

1.2 变量施肥执行机构的选择

播种机变量施肥执行机构是变量播种机的重要组成部分。变量施肥执行机构分为:电控机械无级变速器型、电控液压马达型、电机直接驱动型等3种类型。其中, 电机驱动变量施肥执行机构简单, 成本低。本项目采用步进电机驱动变量施肥执行机构来实现小型变量精密播种机的研制, 其组成框图如图1所示。

步进电机是将电脉冲信号转变为角位移或线位移的开环控制元件。在非超载的情况下, 电机的转速、停止的位置只取决于脉冲信号的频率和脉冲数, 而不受负载变化的影响, 即给电机加一个脉冲信号, 电机则转过一个步距角, 这一线性关系的存在, 加上步进电机只有周期性的误差而无累积误差等特点, 使得在速度、位置等控制领域用步进电机来控制变的非常的简单。

2 变量施肥控制系统研究

2.1 控制系统的原理

单片机89C51作为系统中央处理芯片, 将有关施肥地块的土壤养分数据, 通过编程器写到89C51的存储器中, 作为变量施肥的决策数据;同时, 读取地轮转速传感器反馈的施肥机行进速度。将测得的当前机具速度与获取的决策数据综合运算, 得出控制排肥轴转速的控制脉冲, 通过步进电机驱动器驱动步进电机, 从而控制排肥量, 达到变量施肥的目的。

2.2 系统硬件组成

变量施肥微机控制系统由单片机、显示器、复位电路、控制电路、驱动器及步进电机组成, 其组成框图如图2所示。

控制电路采用5个按钮开关, 以完成施肥量个位、十位和百位的输入, 以及电源开关、电机的启动和停止等的操作。复位电路采用上电自动方位方式。显示器采用图形点阵液晶显示模块YM12864R, 可显示汉字及图形, 内置8192个中文汉字 (16×16点阵) 、128个字符 (8×16点阵) 及64×256点阵显示RAM (GDRAM) 。

3 变量施肥的试验研究

3.1 试验方法与材料

试验以硫酸钾镁肥、尿素、硫酸钾和磷酸二铵这四种肥料为主, 分别在不同的排肥轮长度和不同的排肥轮转速下进行比较实验, 在排肥器出口的位置上固定一个肥料接收袋接收排出的肥料, 每次测定排肥器转动的时间为3分钟, 测定完成后对每个肥料接收袋内的肥料进行单独称重, 做好数据分析记录。

3.2 试验数据与分析

通过试验测得4种肥料在不同轮长和转速下的排肥量, 如下面4个表所示:

利用正交试验法, 找出影响排肥量的主要因素为:轮长 (A) 、转速 (B) 、肥料 (C) 。肥料取三水平:硫酸钾镁、硫酸钾、硫酸二铵, 因此选用表1、表3、表4的数据。轮长取二水平:23mm、35mm;转速取三水平:60r/min、75r/min、90r/min。得出因素水平表 (见表5) 。

采用拟水平法分析影响排肥量的主次因素, 把轮长因素23mm重复一次当作三水平, 这个虚拟的水平称为拟水平。应用正交表安排的方案, 如表6所示:

对于拟水平列的A因素, A1、A3水平是相同的, A1水平实际上做了6次试验。所以, KA1应为6个试验指标之和。即:

KA1=y1+y2+y3+y7+y8+y9=13.18

其平均值KA1=2.197而A2水平的yA2仍是3个试验指标值之和。即:

KA2=y4+y5+y6=9.37

其平均值KA2=3.12。以此类推, 得出其它试验指标之和及平均值。采用极差分析法得出较优组合。某因素的极差, 就是某因素的不同水平对应指标平均值的数值最大值与数值最小值之差。RA=KA2-KA1=0.926, RB=KB3-KB1=1.216, RC=KC1-KC3=1.3, RC>RB>RA, 因此, 得出因素的主次排列顺序为:C、B、A。kj1, kj2和kj3中较大值的相应水平为各因素的最优水平, 最终得出较优组合是:C1B3A2, 即第6号试验, 实测结果最好。

4 结 语

农业生产中化肥偏施和过量施肥的现象普遍存在。针对这一问题, 提出了适合吉林省农业、农村生产状况的变量施肥构想, 以小型变量施肥精密播种机为例, 采用步进电机作为变量施肥的执行机构, 利用正交试验法找出影响排肥量的主次因素, 对小型变量施肥机变量施肥系统有了较深刻的研究。该研究的整机组装实验效果良好, 证明通过控制排肥轮转速和排肥轮长度, 可实现控制排肥量, 达到提高肥料利用率的目的。

摘要：采用步进电机作为小型精密播种机变量施肥系统动力。以4种代表性肥料作为试验材料, 以排肥轮长度、排肥轮转速和排肥量为主要因素, 进行正交试验。从中找出最佳方案, 即一定排肥轮转速的范围内, 最佳的排肥轮长度下, 有效完成变量施肥任务, 达到节省肥料的目的, 完成步进电机变量施肥系统研制。试验结果表明, 此变量施肥系统可行。

关键词：步进电机,正交试验,变量施肥

参考文献

[1]蔡德利, 王熙, 等.精准农业变量施肥技术要点及试验初报[J].黑龙江八一农垦大学学报, 2004, 16 (3) :45-48

[2]金继运.精准农业及其在我国的应用前景[J].植物营养与肥料学报, 1998, 4 (1) :1-7

[3]李世成.精准农业变量施肥技术及其研究进展[J].世界农业World Agriculture, 2007, 3 (总335) :57-59

[4]戎恺, 杨星卫, 等.精准农业的研究应用现状和发展趋势 (综述) [J].上海农业学报, 2000, 16:5-8

常量与变量 教案 第12篇

常量与变量 教案

《常量和变量》  学习目标：1、 了解常量、变量的概念; 2、掌握在简单的过程中辨别常量和变量。 3、感受在一个过程中常量和变量是相对地存在 教学过程： 一、课前准备 10月24日,学校组织了学生秋游活动,现知道宋城的门票为80元/人，学生按半价（即40元/人），若前往的学生人数为x人，学生需付门票为y元。则y 与x的关系式为：_________ 根据人数，填表： X（人） … 10 20 30 40 … Y=40x（元） …         … 问题：从这个过程中你发现哪些量是固定不变的，哪些量是不断变化 我们如果用数学的眼光来分析生活中的各种现象时，会发现在某一个过程中，有些量固定不变，有些量不断改变。这节课我们就在生活中，去寻找数学知识，或许会有意思一点。 二、课上探究 （一）自主学习师：现在社会上有很多钟点工，他们按工作时数收取劳动报酬。 1．假设钟点工的工资标准为6元/时,设工作时数为t时,应得工资额为 m元, 则m= . t =__2___时 m=______元 t =__3___时 m=______元 t =__5___时 m=______元 … … … … 在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中,哪些量在改变,哪些量不变? 在一个过程中，我们把不变的量和改变的量简称什么好呢？ 1.在一个过程中,固定不变的量称为  。. 2.在一个过程中,可以取不同数值的量称为  。 我们生活中有很多的常量与变量，接下来我们就一起寻找常量与变量。 （二）有效训练 ⒈某水果店橘子的单价为2.5元／千克，买K千克橘子的总价为S=2.5K元，其中常量是_____________, 变量是_________________ ⒉圆周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是_____， 变量是_____________ 。 ⒊声音在空气中传播的速度v与温度t之间的关系式是v＝331+0.6t 其中常量是_______________，变量是______________ 4.某种报纸每份a元，购买x份此种报纸共需y元，则 y＝ax中的常量是_________，变量是________。 （三）合作探究 1、师：同学们能不能自己举一个常量和变量的实际例子呢？ 生活与数学密切相关，搜集生活中有关常量与变量的实例,与同伴交流 2、数学公式中找 1.圆的面积S与圆的半径r之间的关系式分别是S＝πr2，对于各种不同大小的圆，其中常量是   ，变量是   。 2.关于三角形的面积S= ah（a表示三角形的底边长，h表示三角形的高长），你能确定其中的`常量与变量吗？ 3、在生活中找 10月24日，同学们于8点30分在校门口坐车出发，现在假设汽车的行驶速度为v千米/时，行驶的时间为t小时，汽车离开学校的距离为s千米，请回答下列几个问题： 1.当汽车以60千米/时匀速行驶的过程中,s、 v、 t、哪些是常量？哪些是变量？ 2.当汽车从学校出发到达宋城时,所需的时间t和平均速度v及路程 S之间, 哪些是常量? 哪些是变量? 3.汽车从上午8 点30行驶到9点时,它所行驶的路程S、平均速度v、时间 t 之间，哪些是常量？哪些是变量？ 常量与变量是在一个过程中相对存在的.  （四）合作探究  9月28日17时38分，神舟七号返回舱在内蒙古四子王旗成功着陆，这标志神州七号载人航天飞行任务取得圆满成功。在着陆前的最后48分时间内，它是在耐高温表层的保护下，以7800米／秒的速度冲入100千米厚的地球大气层。在空气阻力的作用下，它在距地球表面10千米左右时，以180米／秒的速度下降 ，此时直径20多米的降落伞自动打开。 问题：“神舟七号”着陆前的最后48分时间内，飞船运动的时间、速度、飞船着陆前48分那时的位置到着陆点的距离，飞船所受地球的引力这些量 ，哪些是常量？哪些是变量？ 在上述过程中,你还能说出哪些常量和变量? 如:在这48分时间内,飞船运动的时间 t(0≤t ≤48),以及所经的路程 s都是变量,在 48分时间内飞船运动的平均速度是常量. （五）归纳梳理，巩固提高 四、课后延伸 让学生说出图形变化过程中，有哪些常量和变量？尽可能多的说。 1、如图，已知△ABC中，AD⊥BC，点E是AD上任意一点，当E在AD上移动时，请你说出哪些量是常量？哪些是变量？ 2、如图，D是等腰直角三角形ABC斜边AB上的中点，AB＝BC＝8cm，点E、F分别从B、C出发，以同样的速度向A、B缓慢移动，在移动的过程中，你能找出图中的常量与变量吗？   3.观察与验证 师：让我们一起来看图形，看看每个变化过程中哪些量产生变化，哪些量没有变化。 ①、观看图形1，让底边固定，三角形高在变化，看面积变化。 ②、观看图形2，让高固定，底边在变化，看面积变化。 ③、观看图形3，底边和高都不变化 ④、观看图形4，底边和高都产生变化  

分离变量法习题 第13篇

utta2uxx0(0xl,t0)0

u(0,t)0,u(l,t)0，其中(x)v00u(x,0)0,u(x,0)(x)t0xccxc cxl解：用分离变量法：设混合问题的非零解函数为u(x,t)X(x)T(t)，则，utt(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)

代入混合问题中的微分方程可得：

X(x)T(t)aX(x)T(t)02X(x)X(x)aT(t)T(t)2

由初始条件可得：u(0,t)X(0)T(t)u(l,t)X(l)T(t)0X(0)X(l)0由此可得，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0(0xl)



若λ<0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1exp(x)c2exp(x)，代入边值条件后可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ=0，则此定解问题的微分方程的通解为

X(x)c1c2x，代入边值条件后仍可得c1c20X(x)0，不符合要求。若λ>0，则此定解问题的微分方程的通解为 X(x)c1cos代入边界条件后可得： X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，2xc2sinx，X(l)c2sinl0,X(x)0sinnxlnl0,n，l所以可取 X(x)Xn(x)sin

(n1,2,)由T(t)所满足的方程可得：

T(t)a22T(t)0T(t)Tn(t)ancosnatlnatlbnsinnatl，所以，原混合问题的微分方程的满足边界条件的分离变量形式解为 u(x,t)un(x,t)Xn(x)Tn(t)(ancosbnsinnatl)sinnxl，设原混合问题的解函数为 u(x,t)n1(ancosnatlbnsinnatl)sinnxl，则由初始条件可得：0u(x,0)n1ansinnxlan0(n1,2,)

 ut(x,t)n1nalbncosnatlsinnxlnxl， (x)ut(x,0)n1natlbnsinbnna2l0(x)sinnxldx，bnna2ccv0sinnxldx2v0lna22(cosn(c)lnxlcosn(c)l)（*）所以，原混合问题的解为 u(x,t)2 求解混合问题

bn1nsinnatlsin，其中的bn由（*）给出。

utta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)E,u(l,t)0

u(x,0)0,u(x,0)0(E为常数）t解：由于边界条件非齐次，需作函数变换如下：设

v(x,t)u(x,t)El(lx)u(x,t)v(x,t)El(lx)，则

vxx(x,t)uxx(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vtt(x,t)utt(x,t)，2vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)0，v(0,t)u(0,t)

v(x,0)u(x,0)ElEl(l0)u(0,t)E0,v(l,t)u(l,t)00，(lx)El(lx),vt(x,0)ut(x,0)0，所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是：v(x,t)是如下混合问题的解：

2vtt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,

v(0,t)0,v(l,t)0Ev(x,0)(lx),vt(x,t)0lt0)

（*）

用分离变量法求解此定解问题，由分离变量法的标准步骤可得：



v(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，代入初始条件可得：，Bn0，An2llEl0(lx)sinnxldx2En(n1,2,)

所以，v(x,t)n12EncosnatlElsinnxl，原混合问题的解函数为u(x,t)3 求解下列阻尼波动问题的解：

(lx)n12Encosnatlsinnxl

utt2huta2uxx0(0xl,t0)

u(0,t)0,ux(l,t)0

u(x,0)(x),u(x,0)(x)t其中，h为正常数，且ha2l。

解：使用分离变量法，设原定解问题的微分方程有如下分离变量形式非零解函数满足边界条件：

u(x,t)X(x)T(t)

则容易算得：uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简可得：

T(t)2hT(t)aT(t)2X(x)X(x)

0u(0,t)X(0)T(t)X(0)0，0ux(l,t)X(l)T(t)X(l)0，T(t)2hT(t)aT(t)0

X(x)X(x)0

，X(0)0,X(l)02由X(x)的非零性可得0，此时，X(x)c1cosxc2sinx，X(0)c1cos0c2sin0c10X(x)c2sinx，取c21得：X(x)sin2n1l0n

2l22x,X(l)cos2n1将代入T(t)所满足的方程可得：T(t)2hT(t)aT(t)0

l

22n12ha0nh2l2(2n1)ah

2l222

ha2l(2n1)a2lnh(2n1)a2hi2l(n1,2,)

从而有：

T(t)Tn(t)eht(AncosntBnsinnt)，2n1a2l22其中

nh(n1,2,)，（1）

设原混合问题的解函数为：



u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，

(x)u(x,0)ln1Ansinl(2n1)2lx，(2n1)xl(1cosdx，0022l2l22l(2n1)xdx(n1,2,)

（2）所以

An(x)sin0l2l而

sin2(2n1)xdx1ut(x,t)n1eht((hAnnBn)cosnt(hBnnAn)sinnt))sin(2n1)x2l



(x)ut(x,0)1n1(hAnnBn)sin(2n1)x2l，Bnn(hAn2ll0(x)sin(2n1)x2ldx)。

（3）

所以，原混合问题的解是u(x,t)n1eht(AncosntBnsinnt)sin(2n1)2lx，其中的 n,An,Bn分别由（1）式、（2）式、（3）式给出。

4 求解混合问题

uxxLCutt(LGRC)utGRu

u(0,t)0,ux(l,t)0GEu(x,0)E,u(x,0)tC(0xl,t0)

其中L、C、G、R为常数，且LG=RC。（提示：作函数变换u(x,t)exp(Rt/L)v(x,t)）

解：记a21LC,bGCRL，混合问题的微分方程两边同除LC，方程可化为

a2uxx(x,t)utt(x,t)2but(x,t)b2u(x,t)，a22x(u(x,t)exp(bt))t22(u(x,t)exp(bt))，设v(x,t)u(x,t)exp(bt)，则有

a2vxx(x,t)vtt(x,t)，而且，vx(x,t)ux(x,t)exp(bt),()0,所以

v(0,t)u(0,t)expbtvt(x,t)ut(x,t)exp(bt)bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)ux(l,t)expbt()0，vt(x,0)ut(x,0)bu(x,0)0，(0)u(x,0)E, v(x,0)u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合问题的解函数，则v(x,t)是如下混合问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,vx(x,t)0v(x,0)E,v(x,t)0t(0xl,t0)

用分离变量法求解此混合问题，设方程的分离变量解形式的满足边界条件的非零解为 v(x,t)X(x)T(t)，则

vx(x,t)X(x)T(t)，vxx(x,t)X(x)T(t),vxx(x,t)X(x)T(t), X(x)X(x)T(t)aT(t)2

由齐次边界条件可得，X(x)为如下定解问题的解：

X(x)X(x)0X(x)c1cosxc2sinx，X(0)0,X(l)0

X(0)0c10，取c21得X(x)sinx，X(l)T(t)aT(t)2(2n1)cosl0n2lnT(t)Tn(t)Ancos(2n1)x2l2(n1,2,)，(2n1)at2l

(2n1)at2lBnsin，X(x)Xn(x)sin(n1,2,)，设

v(x,t)n1(Ancos(2n1)at2llBnsin(2n1)at2l)sin(2n1)x2l

代入初始条件可得：An2l0v(x,0)sin(2n1)x2ldx4E(2n1),Bn0，所以

v(x,t)(2n1)n14Ecos(2n1)at2lsin(2n1)x2l

所以，原题目所给的混合问题的解函数为：

u(x,t)exp(bt)n14E(2n1)cos(2n1)at2lsin(2n1)x2l。用固有函数法求解

utta2uxxg(const),

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)

解：用分离变量法：设原混合问题的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，利用分离变量法的标准步骤可求得： (2n1)

n,2l2X(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)

将f(x,t)g展开成Xn(x)的广义Fourier级数如下：

fn(t)2ll0f(x,t)Xn(x)dx2ll0gsin(2n1)x2ldx4g(2n1)，T(t)a2nT(t)fn(t)16gl(2n1)atT(t)T(t)(1cos)n3322l(2n1)aT(0)0,T(0)02[注：方程T(t)aT(t)fn(t)的通解为

Tn(t)Ancos

(2n1)at2lBnsin(2n1)at2l16gl(2n1)a332，代入初始条件即可得此处的结果。] 所以，题目所给的混合问题的解函数为

u(x,t)Tn(t)Xn(x)n1(2n1)16gl3a32(1cos(2n1)at2lt0))sin(2n1)x2l。

ut(x,t)a2uxx(x,t)06．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)u(const)0(0xl,。

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ut(x,t)X(x)T(t),ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简再由边界条件可得：

T(t)aT(t)2X(x)X(x)T(t)aT(t)0,22X(x)aX(x)0

u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0,ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0X(0)0,X(l)0

2(0xl)

(2n1)解之得 n,2lX(x)Xn(x)sin(2n1)x2l(n1,2,)，2(2n1)a

T(t)na2T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(t)。

2l设原问题的解函数为

u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a，Anexp(t)sin2l2l2由初始条件可得：

u0u(x,0)An1nsin(2n1)x2l4u0，由此可得：

An2ll0u0sin(2n1)x2ldx(2n1)2(n1,2,)，所以，u(x,t)n1(2n1)x(2n1)a exp(t)sin(2n1)2l2l4u0 7 ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,7．求解混合问题u(0,t)0,ux(l,t)u(l,t)0u(x,0)(x)t0)

解：用分离变量法：设混合问题中的微分方程有如下满足边界条件的分离变量形式的非零解函数：u(x,t)X(x)T(t)，则

ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t),ut(x,t)X(x)T(t)，代入方程后化简，并由边界条件可得：

T(t)a2T(t)0,X(x)X(x)0，u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)u(l,t)(X(l)X(l))T(t)0X(l)X(l)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

X(x)X(x)0(0xl)



X(0)0,X(l)X(l)0由u(x,t)是非零解可得：0X(x)c1cos

X(0)0c10X(x)sinxxc2sinx

(letc21)，X(l)X(l)设

tanlcoslsinl0tanl(n1,2,)，则nn

2

n0所以，X(x)Xn(x)sinnx，22((an)t)

T(t)(an)T(t)0T(t)Tn(t)Anexp(n1,2,)，设原混合问题的解函数为

u(x,t)An1nexp((an)t)sinnx，2利用Xn(x)的正交性可求得 An(x)sin0lnxdx(n1,2,)。

[注]：可以证明：Xn(x)具有正交性。

l0sinnxdx2 8 ut(x,t)a2uxx(x,t)08．求解混合问题u(0,t),u(l,t)u(x,0)u0(0xl,t0)，其中，,,u0为常数。

解：作函数变换 v(x,t)u(x,t)(则

ut(x,t)vt(x,t),lx)u(x,t)v(x,t)(l x)，uxx(x,t)vxx(x,t)，u(0,t),u(l,t)v(0,t)0,v(l,t)0，u(x,0)u0v(x,0)u0(lx)

所以，u(x,t)是原混合问题的解的充要条件是v(x,t)是如下混合问题的解： 2vt(x,t)avxx(x,t)0(0xl,（*）

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)u(x)0lt0)

用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

X(x)Xn(x)sinnxl,naT(t)Tn(t)Anexp(t)，l2

v(x,t)Tn1n(t)Xn(x)n1nxna，Anexp(t)sinll2代入初始条件可得：u0(l2lx)v(x,0)ln1Ansinnxlnxl

由Xn(x)的正交性可得：An

An0(u0(nlx))sindx，2n((u0)(1)(u0))(n1,2,)，2所以，v(x,t)n1nxnan((u0)(1)(u0))exp(t)sinnll2

u(x,t)v(x,t)(lx)。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,9．求解 u(x,0)x(xa),limu(x,y)0yu(0,y)0,u(a,y)0y0)。

解：用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下满足齐次边界条件的分离变量形式非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则

uxx(x,y)X(x)Y(y),uyy(x,y)X(x)Y(y)，uxx(x,y)uyy(x,y)X(x)Y(y)X(x)Y(y)0，X(x)X(x)Y(y)Y(y)X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，

u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，u(a,y)X(a)Y(y)0X(a)0，所以，X(x)为如下常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aX(x)Xn(x)sinnyanxa，从而有：Y(y)Yn(y)Anexp(又由另一个边界条件可得：

nya)Bnexp()(n1,2,)

（limun(x,y)limXn(x)Yn(y)0An0Yn(y)Bnexpyynya)，设原定解问题的解函数是u(x,y)n1un(x,y)n1Bnexp(nya)sinnxa，则

u(x,0)x(xa)x(xa)n1Bnsinnxa

Bna2a0x(xa)sinnxandx22aannya333((1)1)n(n1,2,)，所以，u(x,y)10．求解边值问题：

4a23n1(1)1n3exp()sinnxa。

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0xxu(x,0)0,u(x,b)sinaa0yb)。

解： 用分离变量法：设给定的定解问题中的微分方程有如下分离变量形式的满足齐次边界条件的非零解：

u(x,y)X(x)Y(y)，则有：

uxx(x,y)X(x)Y(y), X(x)X(x)Y(y)Y(y)uyy(x,y)X(x)Y(y)，0X(x)X(x)0,Y(y)Y(y)0，u(0,y)X(0)Y(y)0X(0)0，同理 X(a)0，所以，X(x)是如下二阶常微分方程边值问题的解函数：

2X(x)X(x)0nn

,X(0)0,X(a)0aXn(x)sinnyanxa，Y(y)nY(y)0Y(y)Yn(y)Ancoshny，Bnsinha设原定解问题的解为：u(x,y)n1(AncoshnyaBnsinhnya)sinnxa，则

0u(x,0)n1AnsinnxaAn0(n1,2,)，xasinxa2au(x,b)nban1aBnsinhnbasinsinnxadx，所以，Bn(sinh)1xa0sinxanxanb2

sinha11(1)n1(1)n(n1)2(n1)2(n2,3,)

axbxxb

B1(sinh)1sinsindx2sinh0aaaaaa21。

所以，原定解问题的解函数为u(x,y)n1Bnsinhnyasinnxa，其中的Bn由以上式子给出。11．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)k(0xa,

u(0,y)0,u(a,y)0u(x,0)0,u(x,b)00yb)，提示：令u(x,y)v(x,y)w(x),而w(x)满足条件w(x)k,w(0)w(a)0。解：令w(x,y)k2x(xa),v(x,y)u(x,y)w(x,y)，则

vxx(x,y)uxx(x,y)wxx(x,y)uxx(x,y)k，vyy(x,y)uyy(x,y)wyy(x,y)uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)uyy(x,y)kvxx(x,y)vyy(x,y)0，u(0,y)0,u(a,y)0v(0,y)0,v(a,y)0，u(x,0)0,u(x,b)0v(x,0)k2x(xa),v(x,b)k2x(xa)

所以，u(x,y)是原定解问题的解的充要条件是v(x,y)是如下定解问题的解： vxx(x,y)vyy(x,y)0（*）v(0,y)0,v(a,y)0，kkv(x,0)x(xa),v(x,b)x(xa)22用分离变量法求解（*），由分离变量法的标准步骤可得：

v(x,y)X(x)Y(y)X(x)X(x)0,n

n,a2Y(y)Y(y)0，Xn(x)sinnxa,nynyYn(y)Anexp()Bnexp()

aa(n1,2,)，v(x,y)vn(x,y)Xn(x)Yn(y)设（*）的解函数为v(x,y)n1(Anexp(nyak2)Bnexp(nya))sinnxa

则

v(x,0)n1(AnBn)sinnxa1x(xa)，v(x,b)n1(AnDnBnDn)sinnxa，（其中 Dnexp(nba)）

若记

Cna2ak20x(xa)sinnxadx2k2aa2n333((1)1)，31nb)1CnAnexp(ABCannn则有： ，11ADBDCnbnbnnnnnBexp()exp()1Cnnaa 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式给出。而题目所给的定解问题的解函数为

u(x,y)v(x,y)w(x,y)v(x,y)12．求解边值问题

uxx(x,y)uyy(x,y)0(0xa,

u(x,0)0,u(x,b)0u(0,y)y(yb),u(a,y)00yb)k2x(xa)。

解：用分离变量法求解此定解问题：设u(x,y)X(x)Y(y)，由分离变量法的标准过程

nyn可得

n,Yn(y)sinX(x)Y(y)bbX(x)nX(x)0X(x)Xn(x)Anexp(nxb)Bnexp(nxb)(n1,2,)X(x)Y(y)2设原定解问题的解函数为



u(x,y)n1Xn(x)Yn(y)n1(Anexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb，则由关于x的边界条件可得：y(yb)u(0,y)2bn1(AnBn)sinnyb，AnBnb0y(yb)sinnybdy



0u(a,y)nabn1(Anexp(nabnab1b)Bnexp(nab))sinnyb，Anexp(所以

An

Bn2b)Bnexp(2nabb)0，y(yb)sin)1)12b(exp()1)nyb0dy，nybdy，exp(2na)(exp(2nabb0y(yb)sin所以，u(x,y)所以，……。

13.求解混合问题

(An1nexp(nxb)Bnexp(nxb))sinnyb

3x3at2u(x,t)au(x,t)sinsinxxtt2l2l

u(0,t)0,ux(l,t)0u(x,0)0,u(x,0)0t(0xl,t0)。

解：用分离变量法求解此混合问题：设原给定的混合问题中的微分方程对应的齐次方程有如下分离变量形式的满足边界条件的非零解：

u(x,t)X(x)T(t)ux(x,t)X(x)T(t),uxx(x,t)X(x)T(t)，ut(x,t)X(x)T(t),utt(x,t)X(x)T(t)，utt(x,t)a2uxx(x,t)0

X(x)X(x)0, 由边界条件可得：u(0,t)X(0)T(t)0X(0)0，ux(l,t)X(l)T(t)0X(l)0，所以，X(x)是如下边值问题的非零解函数：

X(x)X(x)0



X(0)0,X(l)0X(x)X(x)T(t)aT(t)2

(2n1)求解此问题，可当n时，问题有非零解，其解函数集构成一个

2l2一维线性空间，它的一个基向量函数为X(x)Xn(x)sin令

fn(t)2l(2n1)x2l2lsin，dx，l0f(x,t)Xn(x)dx,fn(t)0,l0sin3x2lsin3at(2n1)x2l则

f2(t)sin3at2l(n1,3,4,5,)

令{Tn(t)}为如下初值问题的解函数： T(t)na2T(t)fn(t)

T(0)0,T(0)0(t0)，（1）

则Tn(t)0(n1,3,4,5,)，对于n=2,可用常数变易法来求：

T(t)2aT(t)0T(t)Acos设（1）的解函数为 T(t)A(t)cos则 T(t)A(t)cos令

A(t)cos3at2lB(t)sin3at2l3at2l3atB(t)sin3a2l2l3at2lBsin3at2l，3at2lB(t)cos3at2l)

(A(t)sin3at2lB(t)sin3at2l0，14 则

T(t)3a2l3a2l(A(t)sin3at2l3atB(t)cos)，2lT(t)(A(t)sin3at2lB(t)cos3a2l3at3at3at3a)B(t)sin)(A(t)cos2l2l2l2l3at2l3at B(t)cos)f2(t)，2l2

T(t)2a2T(t)f2(t)(A(t)sin3at3at(t)cos(t)sinAB02l2l也就是：

，3a3at3at3at(A(t)sinB(t)cos)sin2l2l2l2l求解此线性方程组得：A(t)22l3asin23at2l,B(t)2l3asin23at2lcos3at2l，3atll

A(t)sintc1,l3a3a3atl B(t)cosc2，l3a所以，（1）的解为：

3atl3at3at3atl

T(t)T2(t) tcosc1cosc2sinsin3a2l3a2l2l2l2由初始条件T(0)0,T(0)0可得：c10,2l22lc2，3a3at2l2所以，T2(t)3asin3at2ll3atcos，所以，题目所给的定解问题的解函数为：



u(x,t)14．求解混合问题

n12l23atl3atXn(x)Tn(t)sintcos(3a)22l3a2l3xsin。2l2x2u(x,t)au(x,t)sin(0xl,xxttl

u(0,t)0,u(l,t)03x2xu(x,0)2sin,u(x,0)sintllt0)。

解：作函数变换v(x,t)u(x,t)w(x)，其中w(x)为待定函数，则

vtt(x,t)utt(x,t),vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)w(x)，22

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)a(uxx(x,t)w(x))

utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)，15 设u(x,t)是原定解问题的解函数，2xl取aw(x)sin222xl，则有： 0，即w(x)sinl2a222vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)auxx(x,t)aw(x)sin2xl aw(x)0，2而

v(0,t)u(0,t)w(0)000,3xlv(l,t)u(l,t)w(l)0

v(x,0)u(x,0)w(x)2sin2xl2xl，sin2al2

vt(x,0)ut(x,0)sin，所以，v(x,t)为如下定解问题的解函数： v(x,t)a2v(x,t)0ttxx（*）

v(0,t)0,v(l,t)03xlv(x,0)2sinl2a(0xl,2xsin,l2t0)，vt(x,0)sin2xl用分离变量法求解此定解问题：由分离变量法的标准过程可得： n

n,l2X(x)Xn(x)sinnatlBnsinnatlnxl,，T(t)Tn(t)Ancos设（*）的解函数为

(n1,2,)



v(x,t)n1un(x,t)n1(AncosnatlBnsinnatl)sinnxl，由初始条件可得：2sin3xl2xlv(x,0)sin2al22n1Ansinnxl

l可得： A10,A2,A32,2aAn0(n4,5,)

natllna

vt(x,t)n1nal(AnsinnatlnxlBncos)sinnxl，sin2xlvt(x,0)n1nalBnsinB2,Bn0(n1,3,4,5,)

2atl2at2x3at3xl所以，v(x,t)(，cossin)sin2cossinl2allll2a2所以，题目所给的定解问题的解函数为u(x,t)v(x,t)w(x)。15． 求解混合问题

2x2sinx(0xl,utt(x,t)auxx(x,t)l

u(0,t)t,u(l,t)sintu(x,0)0,u(x,0)(为常数)tt0)。

[注]：此定解问题中的微分方程非齐次项中的sinx应为sint，才能得到书中答案。

解：先将边界条件齐次化：令v(x,t)u(x,t)((sintt)t)，lx则

vtt(x,t)utt(x,t)xlsint,2vxx(x,t)uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则

vtt(x,t)avxx(x,t)utt(x,t)2xl2sintauxx(x,t)

xl22

utt(x,t)auxx(x,t)0lsint0，2tt)t)tt0，v(0,t)u(0,t)((sintt)t)tt0，v(l,t)u(l,t)((sinll

v(x,0)u(x,0)00,vt(x,0)ut(x,0)(xl(cos*0))0，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vtt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0xl,t0)v(x,t)0，所以，原定解问题的解函数为 u(x,t)xl(sintt)t

utt(x,t)a2uxx(x,t)3x2tex16． 求解 ux(0,t)t,ux(l,t)u(l,t)tu(x,0)0,u(x,0)1ext(0xl,t0)。

解：作如下函数变换：v(x,t)u(x,t)t(1ex)u(x,t)ttex，若u(x,t)是原定解问题的解函数，则经验证可得：v(x,t)是如下定解问题的解函数： vtt(x,t)a2vxx(x,t)3x2(1a2)tex

vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0v(x,0)0,v(x,0)0t(0x1,t0)

用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)，T(t)aT(t)2由分离变量法的标准过程可得：

X(x)X(x)X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(1,t)v(1,t)0X(0)0,X(1)X(1)0 由X(x)所满足的方程可得：X(x)c1cosxc2sinx，由边界条件可得：c20,0，取c11，则得X(x)cos

X(1)X(1)0sincos02所以，nn,X(x)Xn(x)cosnxx，ctg，(n1,2,)，其中，n是方程ctg的所有正解。因为

10cosnxdx22100.5(1cos2nx)dx0.5(1sinn)，2令

fn(t)1sinn21sin2210f(x,t)cosnxdx

1n0((3x)(1a)te22x)cosnxdx

4sinn(1sinn)3n22(1a)sinn1sinn222tbncnt

则

f(x,t)n1fn(t)cosnx，设原定解问题的解函数为v(x,t)Tn12n(t)cosnx，则

vttavxx2(Tn1n(t)aT(t))cosnx2nn1fn(t)cosnx，22从而有：

Tn(t)anTn(t)fn(t)(n1,2,)，由初始条件可得：v(x,0)vt(x,0)0Tn(0)Tn(t)0，所以，Tn(t)为如下初值问题的解函数： 22Tn(t)anTn(t)fn(t)

Tn(0)0,Tn(0)0(t0)

22用常数变易法：Tn(t)anTn(t)0Tn(t)AncosantBnsinant，设此边值问题的解为： Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant，A(t)cosatB(t)sinat0nnnn经简单推导得： ，1A(t)sinatB(t)cosatf(t)nnnnnan1A(t)fn(t)sinantnan解此线性方程级：

1Bn(t)fn(t)cosantan积分并利用初始条件可得：

cn1A(t)((bct)cosatb)sinantnnnn23nanan

，cn1Bn(t)(bncnt)sinant(cosant1)23anan

Tn(t)An(t)cosantBn(t)sinant

1anbn2bncnt1an2(bncosantcnansinant)

an21cosantcnan21tsinatn an所以，u(x,t)Tn1n(t)cosnx，其中的Tn(t)、bn、cn和n均由以上各式给定。[注]课本上的答案为此处的a=1。

ut(x,t)a2uxx(x,t)0(0xl,17． 求解 ux(0,t),ux(l,t)u(x,0)A(A,为常数)t0)。

解：设u(x,t)是原定解问题的解函数，作函数变换v(x,t)u(x,t)x，19 则

vt(x,t)ut(x,t),vx(x,t)ux(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vx(0,t)ux(0,t)0,vx(l,t)ux(l,t)0,v(x,0)u(x,0)xAx，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0(0xl,t0)

vx(0,t)0,vx(l,t)0

v(x,0)Ax用分离变量法求解此定解问题：设v(x,t)X(x)T(t)为微分方程的满足齐次边界条件的非零解函数，则将v(x,t)代入方程后化简可得：

T(t)aT(t)X(x)X(x)T(t)aT(t)0,2X(x)X(x)0，vx(0,t)0,vx(l,t)0X(0)0,X(l)0，所以，X(x)为如下边值问题的非零解函数：

2nnX(x)X(x)0(0xl)lX(0)0,X(l)lX(x)X(x)cosnxnl(n0,1,2,)

将n代入T(t)的方程可得：

na

T(t)a2nT(t)0T(t)Tn(t)Bnexp(t)lnxna所以，vn(x,t)Tn(t)Xn(x)Bnexp(。t)cosll22(n0,1,2,)，设

v(x,t)n0nxna，Bnexp(t)cosll2则由初始条件可得：Axv(x,0)1l2ln0Bncosnxl

可得：

B0

Bn)0l(Ax)dxA12l，(n1,2,)，nx2ln(Ax)cosdx(1(1))220lln 20 所以，v(x,t)A

12ln12ln22nxna。(1(1))exp(t)coslln2ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)(0xl,18． 求解 u(0,t)A,u(l,t)B(A,B为常数)u(x,0)g(x)t0)。

解：设F(x)(0xx0f(x)dx)dx，w(x)1a2F(x)(AB)aF(l)al22xA，1a2

v(x,t)u(x,t)w(x)vt(x,t)ut(x,t),vxx(x,t)uxx(x,t)

vt(x,t)a2vxx(x,t)ut(x,t)a2uxx(x,t)f(x)0，1a1a22f(x)，v(0,t)u(0,t)w(0)AF(0)(AB)aF(l)al2220A0，v(l,t)u(l,t)w(l)BF(l)(AB)aF(l)al2lA0，v(x,0)u(x,0)w(x)g(x)w(x)，所以，v(x,t)是如下定解问题的解函数：

vt(x,t)a2vxx(x,t)0

v(0,t)0,v(l,t)0v(x,0)g(x)w(x)(0xl,t0)，用分离变量法可求得：



v(x,t)其中，Ann1nxna，Anexp(t)sinll(g(x)w(x))sin22llnxl20dx(n1,2,)。

所以，u(x,t)n1nxnaAnexp(w(x)。t)sinll21．在扇形区域内求解边值问题

u0(ra,0)

u(r,0)0,u(r,)0。

u(a,)f()解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u2

u0rurrruru0。r22rrrr2用分离变量法求解此定解问题：设u(r,)R(r)()，代入以上微分方程化简后可rR(r)rR(r)R(r)2得

()()2：

()()0,rR(r)rR(r)R(r)0

u(r,0)R(r)(0)0(0)0, u(r,)R(r)()0()0，所以，()是如下边值问题的非零解函数：

2nn()()0

(0)0,()0()sinnxn(n1,2,)，2n/n/Bnr

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)Rn(r)Anr，n/又显然有：R(0)Bn0，也就是：Rn(r)Anr，所以，un(r,)Rn(r)n()Anrn/sinnsin，n设原定解问题的解函数是 u(r,)n1Anrn/n/，由关于r的边界条件可得：f()u(a,)其

n1Anasinn，中

Anan/20f()sinn2d(n1,2,)，n/nr所以，u(r,)f()sindn10asinn。

u0(1r2,0)22 求解边值问题

u(1,)sin,u(2,)0。

u(r,0)0,u(r,)0解：由极坐标下的Laplace算子表达式可知：

1u1u20rurrruru0

ur22rrrr

2用分离变量法求解：设u(r,)R(r)()代入方程中并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()

u(r,0)0,u(r,)0(0)0,()0，()()0

(0)0,()02n2nn()()sinnn(n1,2,)，将nn2代入R(r)所满足的方程可得：

r2R(r)rR(r)n2R(r)0R(r)Rn(r)AnrnBnrn，n设原定解问题的解函数为 u(r,)Rn1(r)n()(An1nrBnrnn)sinn，nn0u(2,)(An2Bn2)sinnn1由r的边界条件可得：

，sinu(1,)(AnBn)sinnn1容易得到：

AnBn0(n2,3,)，11A12A2B10

3，14B11A1B13所以，u(r,)13r43r1sin。2(ra)uxxuyyy23． 求解边值问题  222uraxy,rxy解：作函数变换 v(x,y)u(x,y)112y，24则有：

vxx(x,y)uxx(x,y),vyy(x,y)uyy(x,y)y 此时，有：

vxxvyyuxxuyyyyy0，所以，v(x,y)是如下边值问题的解函数：

222 23 vxxvyy0(ra)

 14222vxyy,rxy12ra将此定解问题由直角坐标改为极坐标：

r2vrrrvrv0(ra)

1424v(a,)acossinasin12(xrcos,yrsin)，用分离变量法求解此定解问题：设v(r,)R(r)F()，由分离变量法的标准步骤rR(r)rR(r)R(r)2容易得到：

F()F()02，rR(r)rR(r)R(r)0F()F()由v(r,)的实际意义可知：F()是以2为周期的周期函数，R(0) 所以

nn2,F()Fn()AncosnBnsinn(n0,1,2)

22nnn

rR(r)rR(r)nR(r)0R(r)c1rc2r,letRn(r)r，n设

v(r,)Rn0(r)Fn()(An0nncosnBnsinn)r

由关于r的边界条件可得：v(a,)112(An04ncosnBnsinn)a，n而

v(a,)acossin

所以，A013213242asin

12412acos219644a412asin21a,B222196acos4，4a,A224,A4，其余的An、Bn的值均为零。所以，v(r,) u(r,)1324132ar(242124acos212212sin2)1964196rcos4，112rsin。

444ar(124acos22sin2)rcos4u0(ra,0)224.求解边值问题 ur(a,)f()。

u(r,0)0,u(r,)02解：因为其自变量的取值区域是扇形区域，所以可在极坐标系下用分离变量法求解此定 24 解问题，因为，u1rrrur1ur2220，设 u(r,)R(r)()，求出其各阶偏导数并代入方程后化简可得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0 ()()()0()(由u(r,)关于的边界条件可得

(0)0,2)0

()()0n4n2所以

(0)0,()0n()sin2n2(n1,2)

r2R(r)rR(r)4n2R(r)0RRn(r)Anr2nBnr2n

u(0,)Rn(0)Rn(r)Anr2n

设原定解问题的解函数为

u(r,)An1nr2nsin2n，则

ur(r,)2nAn1nr2n1sin2n，由边界条件得

f()ur(a,)从而有：

An2na2n12nAn1na2n1sin2n

/20f()sin2nd

（1）

所以，原定解问题的解函数为u(r,)其中的系数由（1）式给出。

An1nr2nsin2n，uxy(ra,0)225．求解边值问题

ur(a,)f()

222u(r,0)0,u(r,)0,rxy2解：设w(x,y)112xy(xy)，作函数变换v(x,y)u(x,y)w(x,y)，22则

vvxxvyyuxxuyy(wxxwyy)0 在极坐标下：

v(r,)u(r,)w(r,)u(r,)124rsin2，25

vr(r,)ur(r,)

vr(a,)ur(a,)经验算得知：

v(r,0)0,v(r,1616rsin2，asin2，332)0，所以，v(r,)为如下边值问题的解函数：

21v1v(r)20v2rrrr13v(a,)f()asin2r6v(r,0)0,v(r,)02(ra,02)

用分离变量法求解，设v(r,)R(r)()代入方程并化简得：

rR(r)rR(r)R(r)2

r2R(r)rR(r)R(r)0，()()()0()由关于的边界条件可得：(0)0,(2)0，(n1,2,)，2由此可得： n4n,n()sin2n222n2n

rR(r)rR(r)4nR(r)0RRn(r)AnrBnr，v(0,)R(0)Rn(r)Anrn2n。

设

v(r,)Rn13(r)n()An1nr2nsin2n，则

f()16asin2vr(a,)22nAn1na2n1sin2n，由可求得： v(r,)An1nr2nsin2na12rsin2，2其中，An2na2n1/20f()sin2nd，124rsin2。