二次函数的最值专题（精选6篇）

二次函数的最值专题 第1篇

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

专题六 二次函数的最值问题 【要点回顾】

1．二次函数yaxbxc(a0)的最值．

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况 24acb2b当a0时，函数在x处取得最小值，无最大值；

4a2a4acb2b当a0时，函数在x处取得最大值，无最小值．

4a2a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：yaxbxc在mxn（其中mn）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0； 第二步：讨论：

[1]若a0时求最小值或a0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0m，即对称轴在mxn的左侧；

②对称轴mx0n，即对称轴在mxn的内部；

③对称轴大于n即x0n，即对称轴在mxn的右侧。[2] 若a0时求最大值或a0时求最小值，需分两种情况讨论： 2mn，即对称轴在mxn的中点的左侧； 2mn②对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的右侧；

2①对称轴x0说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x3x5；（2）yx3x4．22

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专题六

二次函数的最值问题

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例2当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

2125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125解：函数yxx的对称轴为x1．画出其草图．

22125(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymintt；

22125(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时： 当x1时，ymin113；

22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：当xt1

151ymin(t1)2(t1)t23．

222例4当txt1时，求函数y

122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t122例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点． 2

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专题六

二次函数的最值问题

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2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

5．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

222专题六 二次函数的最值问题 参考答案

22例1分析：由于函数y2x3x5和yx3x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．

334949 因为y2x23x5=2(x)2，所以当x时，函数y2x23x5有最小值是．

48482（2）因为二次函数yx3x4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线yx23x4有最高点，即函数有最大值．

因为yx23x4=(x2532253，所以当x时，函数yx23x4有最大值．)4242例2解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

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专题六

二次函数的最值问题

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例3解：作出函数yx(2x)x2x在x0内的图象．

可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1． 例5解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，那么m件的销售利润为ym(x30)，又m1623x． y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x54

(2)由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，ymax3422252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

l22311．4 14或2，2．m 3．a2,b2． 4．a或a1．

16245．当t0时，ymax22t，此时x1；当t0时，ymax22t，此时x1．

二次函数的最值专题 第2篇

雷州市第一中学 徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

利用二次型求一类多元函数的最值 第3篇

二次型作为线性代数中最重要的内容之一, 一直以来都是学界研究的焦点问题。二次型理论的研究最早可追溯至18世纪, 当时学者们为了解决几何学中二次曲线和二次曲面的分类问题, 并将其化为标准型, 决定重新划分坐标轴, 以简化方程, 提高运算效率。目前, 二次型理论已被广泛应用至各个学科领域, 如工程学、物理学、化学、分子力学等, 并取得了一系列进展。本文主要介绍了二次型的基本概念, 并通过示例分析, 研究了二次型在一类多元函数最值求解中的应用。

2 二次型基本概念

定义2.1称f (x1, x2, …, xn) =x′Ax为二次型, 也称上式为二次型的矩阵形式, 称A为二次型的矩阵, 称A的秩为二次型f的秩。

3 在求一类多元函数中的应用

3.1 当A半正定时

(1) 若r=n, 则f存在最小值。

(2) 若r<n, 一次项所含新变数都出现在平方项中, f有最小值。

(3) 若r>n, 一次项所含新变数至少有一个不出现在平方项中, f不存在最值。

3.2 当A半负定时

(1) 若r=n, f存在最大值。

(2) 若r<n, 一次项所含新变数都出现在平方项中, f有最大值。

(3) 若r>n, 一次项所含新变数至少有一个不出现在平方项中, f不存在最值。

3.3 A不定, f没有最值

证明: (1) 令X= (x1, x2, …, xn) ′, A= (aij) n×n, B= (b1, b2, …, bn) , 将f改写为:X′AX+2BX (3.1)

a当r=n, P′AP=En, 此时 (3.2) 变为:

当yi=-ci (i=1, 2, 3, …, n) 时等号成立, 这时将yi=-ci代入X=PY得唯一X的解, 即所得最值。

当一次项所含新字母都在平方项里出现, 至少有cr+1=cr+2=…=cn=0, (3.3) 可变为r个数的完全平方数与一个常数之和, 有最小值。

c一次项所包含的新字母中, 至少有一个不在平方项当中, cr+1, cr+2, …, cn中最少有一个不等于零, 不妨假设cr+1>0, 这时 (3.3) 变成,

令y1=…=yr=yr+2=…=yn=0, yr+1取负值, 但绝对值很大, 上式的数值很小, 没有最小值;当yr+1取正值, 但绝对值很大, 上式的数值会很大, 没有最大值。

(2) A半负定, -A=- (-aij) n半正定, 利用 (1) 可以得到 (2) 的结论。

令y2=…=yn=0, y1为任意的数, 上式的数值大于任何正数, 不存在最大值。令y1=…=yr=yr+2=…=yn=0, yr+1等于任何大数, 上式的数值小于任意给定的负数, 没有最小值。

4 示例讨论

解将上式的矩阵A写出, 对A作合同变换得到

我们可以看到上述矩形阵中, 主对角线的位置有一个零, 而对角线上其余的非零数字均为正数, 由此可知A半正定矩阵, 而是否存在极值, 则需经过一系列替换后方能确定。作线性替换X=PY, 此时原多项式中二次齐次项目部分就变为一次项部分为2y1+2y2-2y3。所含字母y1, y2, y3均在平方中出现, 属于定理3.1中的情况, 存在最小值。对变换后的多项式配方, 得

参考文献

二次函数的最值问题研究 第4篇

一、 定轴动区间

点评：通过以上两个例题发现：区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值.那为什么求最值有时分三种情况讨论，有时候分两种情况讨论呢？通过观察发现：二次函数的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取到.在例1中，二次函数开口向上，最值在两个端点或函数顶点都可能取到，所以分三种情况讨论；而在例2中，最大值不可能在函数顶点时取得，只有可能在两个端点处取得，所以通过端点与区间中点距离的远近分两种情况来讨论.

点评：在例4中，是二次函数的开口方向和对称轴都在变化，区间不变的最值问题；在例5中，先转化为分段函数，两题都是再根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可.在求最值时，分类是关键，结合图形去确定最值比较直观，但对学生的画图能力要求较高.在求二次函数动轴定区间的最值问题时，本质还是研究对称轴与区间的位置关系.

三、 动轴动区间

反思：本题是变轴变区间的类型，仍然从轴与区间的位置关系入手展开讨论.

通过以上几个例题，对于可化为二次函数在某区间上的最值问题，基本分为动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间，三种题型解题思路都可以从二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系来进行讨论.讨论时要理清思路，必要时画出草图，借助数形结合，可以清晰地进行分类并解决问题.

二次函数在区间上的最值 第5篇

教学目的：1.根据函数的概念和函数的单调性研究二次函数 在区间的最值；

2.进一步掌握数形结合相思和分类讨论思想.教学重点：二次函数在区间上的最值问题 教学难点：含参问题的讨论.教学过程：

一、复习引入

1.二次函数的概念和性质； 2.单调函数的概念.二、例题 例1.求函数y3x212x15当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值.（1）xR;(2)0x3;(3)1x1.例2.求函数yx22x3在区间[0,a]上的最值，并求时x的值.例3关于x的方程x2(k2)xk23k50有两个实根α，β，求α2+β2的最值.例4.已知函数2x22ax3在区间[-1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的表达式；(2)求g(a)的最大值.三、作业

1.函数yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.112.关于x的不等式9x26axa22a60在[,]上恒成立，求实数a

33的取值范围.3.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；

写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

二次函数的最值(教学设计) 第6篇

习题课：二次函数的最值

教学分析：二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。二次函数的最值又与不等式等有着密切的联系，二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题是我们高中的常见题型，也是高考必备的能力要求。课堂目标:

（1）知识与技能

1.掌握二次函数的在闭区间上的最值情况；

2．学会通过参数的分类讨论动函数与动区间下的最值与值域问题。（2）过程与方法

在利用函数的单调性解决二次函数的最值过程中，让学生经历从定到动，从常数到变数，从特殊到一般，通过数与形的结合，经历观察，分析，类比的学习体验过程。

（3）情感态度与价值观

在学习过程中感受类比的学习方法，体验函数思想方法，感受数与形结合的美感。教学重点：二次函数在给定区间上的最值。教学难点：求二次函数在给定区间上的最值时给学生渗透分类讨论及数形结合等数学思想方法； 教学过程：

抓基础，自主学习理教材，双基自主测评

【回顾】 问题1：已知函数y=x2+2x-3且x∈[0,2]，求函数的最值；

问题2：已知函数y=x2+2x-3且x∈[-3,-2]，求函数的最值；

问题3：已知函数y=x2+2x-3且x∈[-2,2]，求函数的最值；

总结：

勤思考，探索新知 学方法，能力提升 【动轴定区间型的二次函数的最值】

例1：求函数y=x2+2ax-3在x∈[-2,2]，时函数的最值？

总结：

【定轴动区间型的二次函数的最值】

例2：求函数y=x2+2x-3在x∈[k,k+2]时函数的最值？

【课堂练习】

练习1：求函数y=x2-2x-3在x∈[-2,m]时函数的最值？

练习2：求函数y=x2-2ax-3在x∈[0,3]时函数的最值？

练习3：求函数y=x2+2x-3在x∈[m,3]时函数的最值？

思考：二次函数开口向下时，此时又怎样解决？

总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值或值域的一般方法是：（1）检查x0=-b是否属于 [ m，n]； 2a（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值；

（3）当x0[m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值,较小者是最小值；

【课堂小结】

本节课学习了解决二次函数在闭区间上的最值问题的基本方法，渗透了数形结合、分类讨论的思想方法。