二项式定理的基本应用-盘古文库

二项式定理的基本应用

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来源：漫步者

作者：开心麻花

2025-09-18

二项式定理的基本应用（精选12篇）

二项式定理的基本应用第1篇

一、平面向量的基本定理及拓展

1.平面向量的基本定理

如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数λ1, λ2, 使a=λ1e1+λ2e2.其中, 不共线的向量e1, e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.

注 (1) 基底:不唯一, 共面不共线;

(2) 基底确定, 对于平面内的每个向量来说, 实数对λ1, λ2的值唯一确定.

2.平面向量基本定理的拓展

若undefined不共线, O为平面内任一点, 则A, B, P三点共线的充要条件是undefined, 其中λ, μ∈R且λ+μ=1.

undefined

注 (1) 条件undefined且λ+μ=1也常写成undefined的形式.

(2) 当P是AB的中点时, undefined, 即undefined

undefined

二、平面向量的基本定理及拓展应用

例1 (2007年全国卷Ⅱ) 在△ABC中, 已知D是AB边上一点, 若undefined, 则λ等于 ( ) .

undefined

解析由平面向量的基本定理的拓展, undefined不共线且A, D, B三点共线undefined且undefined.答案:A.

例2 (2008年广东数学理科高考) 在▱ABCD中, AC与BD交于点O, E是线段OD的中点, AE的延长线与CD交于点F, 若undefined, 则undefined等于 ( ) .

undefined

解析如右图, 过点A作向量undefined, 则C, F, G三点共线.

由平面向量的基本定理的拓展, undefined且λ+μ=1.

由已知, 得undefined.又undefined, 且undefined, 即undefined.答案:B.

例3 (2009年安徽高考) 在▱ABCD中, E和F分别是边CD和BC的中点.若undefined, 其中λ, μ∈R, 则λ+μ=.

undefined

又undefined,

即undefined.答案:undefined

例4 (2010年全国卷Ⅱ) △ABC中, 点D在边AB上, CD平分∠ACB.若undefined, 则undefined等于 ( ) .

undefined

解析如图所示, A, D, B三点共线, 由平面向量的基本定理的拓展, undefined, 且λ+μ=1.

undefined

引导学生将平面向量基本定理进行拓展并自觉地在解决有关问题中加以应用, 可以使学生将所学知识由“点”成“线”, 再成“网”, 分层次组成一个知识系统, 从而改进和完善学生的认识结构, 也可使学生在解决一个问题时, 能思考一类问题, 达到举一反三的功效, 有利于提高学生的应变能力, 也有利于培养学生的发散性思维.

总之, 对一些数学命题适当进行引申推广, 是一项富有挑战性和创造性的活动, 它不仅有利于培养学生的创新思维能力, 而且对培养学生的思维品质和数学素质起着不可低估的作用.

摘要：平面向量是高中数学的一个重要考点, 特别是对平面向量基本定理的应用更是常考的内容.该定理是联系平面向量几何运算和代数运算的纽带, 它能将平面图形中任何向量表示为任意两个不共线向量的线性组合, 是进行向量几何运算的基础和重要途径.本文意将该定理加以适当的拓展, 并结合近几年高考题型阐述它的应用, 有利于学生深化对该定理的理解, 也有利于学生系统、全面地理解和掌握平面向量相关的基础知识.

初中数学基本定理总结第2篇

52、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2

67、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h

83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果 ad=bc ,那么a:b=c:d

84、(2)合比性质：如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85、(3)等比性质：如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),

那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

88、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

91、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

94、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

二项式定理的基本题型与思想方法第3篇

一、基本题型

基本题型1求二项展开式中指定项或指定项的系数

例1已知在（3x-123x）n的展开式中，第6项为常数项.

（1）求n;

（2）求含x2的项的系数;

（3）求展开式中所有的有理项.

解析：（1）通项公式为

Tr+1=Crnxn-r3（-12）rx-r3

=Crn（-12）rxn-2r3，

因为第6项为常数项，所以r=5时，有n-2r3=0，即n=10.

（2）令n-2r3=2，得r=12（n-6）=12×（10-6）=2，∴所求的系数为C210（-12）2=454.

（3）根据通项公式，由题意得10-2r3∈Z，

0≤r≤10，

r∈Z.

令10-2r3=k（k∈Z），则10-2r=3k，即r=5-32k，

∵r∈Z，∴k应为偶数.∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8.

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210（-12）2x2，C510（-12）5，C810（-12）8x-2.

点评：①解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）;第二步是根据所求的指数，再求所求解的项;②求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致.

基本题型2二项式系数的性质

例2二项式（2x-3y）9展开式中，求

（1）二项式系数之和;

（2）各项系数之和;

（3）所有奇数项系数之和;

（4）系数绝对值的和.

解析：设（2x-3y）9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.

（1）二项式系数之和为：C09+C19+C29+…+C99=29.

（2）各项系数之和为：a0+a1+a2+…+a9.

令x=1，y=1，得a0+a1+a2+…+a9=（2-3）9=-1.

（3）由（2）知a0+a1+a2+…+a9=-1.①

令x=1，y=-1，得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=（2+3）9=59.②

①+②得a0+a2+a4+a6+a8=59-12，即为所有奇数项系数之和.

（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…+a8-a9=59.

点评：二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值均成立.因此，可将a，b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令a，b等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，-1，0”，有时也取其他值.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f（x）展开式的各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为f（1）+f（-1）2，偶数项系数之和为f（1）-f（-1）2.

基本题型3二项式定理的应用

例3（1）试判断7777-1能否被19整除.

（2）证明：32n+2-8n-9是64的倍数.

解析：（1）由于76是19的倍数，可将7777转化为（76+1）77用二项式定理展开.

7777-1=（76+1）77-1

=7677+C177·7676+C277·7675+…+C7677·76+C7777-1

=76（7676+C1777675+C2777674+…+C7677）.

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除.

（2）∵32n+2-8n-9

=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9

=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82+Cnn+1·8+1-8n-9

=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82+8（n+1）+1-8n-9

=8n+1+C1n+1·8n+…+Cn-1n+1·82

=（8n-1+C1n+1·8n-2+…+Cn-1n+1）·64，

∴32n+2-8n-9是64的倍数.

点评：利用二项式定理解决整除性问题时，关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来处理.

二、思想方法

1.函数与方程思想

例4已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，

若a1+a2+…+an-1=29-n，求n.

分析：二项式系数求和问题可用赋值法.

解析：a0=1+1+…+1=n，an=1.令x=1，

则2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+an，

∴a1+a2+…+an-1=2（1-2n）1-2-a0-an

=2（2n-1）-n-1=2n+1-n-3，

∴2n+1-n-3=29-n，∴n=4.

点评：二项式定理的应用中，求系数的取值总是列出方程，通过赋值求解，把二项展开式看作x的函数f（x），其系数问题与函数值f（1）的展开式相联系.

2.构造思想

例5已知（3x+x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992，求在（2x-1x）2n的展开式中，

（1）二项式系数最大的项;

（2）系数的绝对值最大的项.

分析：首先根据题设条件解出n的值，再根据题设条件进行求解.

解：由题意22n-2n=992，解得n=5.

（1）（2x-1x）10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T6=T5+1=C510（2x）5（-1x）5=-8064.

（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，则Tr+1=Cr10（2x）10-r（-1x）r=（-1）rCr10210-rx10-2r，

在此，就需构造如下不等式组，以获得系数的绝对值最大的项对应的r值.

∴Cr10210-r≥Cr-110210-r+1

Cr10210-r≥Cr+110210-r-1，得Cr10≥2Cr-110

2Cr10≥Cr+110，

即11-r≥2r

2（r+1）≥10-r，

∴83≤r≤113，∴r=3，故系数的绝对值最大的是第4项.

点评：在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负，当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关.

3.转化思想

例6若（x+1x-2）n的展开式的常数项为-20，求n.

分析：本题中x≠0.当x>0时，把三项式（x+1x-2）n，转化为（x+1x-2）n=（x-1x）2n，当x<0时，同理（x+1x-2）n=（-1）n（-x+1-x）2n，然后运用通项公式写出通项，令含x的幂指数为零即可.

解：当x>0时（x+1x-2）n=（x-1x）2n，其通项为

Tr+1=Cr2n（x）2n-r（-1x）r=（-1）rCr2n

（x）2n-2r，

令2n-2r=0得n=r，故展开式的常数项为（-1）nCn2n;

当x<0时（x+1x-2）n=（-x+1-x）2n，同理可知，展开式的常数项为（-1）nCn2n.

无论哪一种情况，常数项均为（-1）nCn2n.

令（-1）nCn2n=-20，以n=1，2，3，…逐个代入，得n=3.

点评：这种把三项式转换为两项式然后利用二项式定理把二项式展开求值的思路，在二项式问题中是一种常见处理方法，也包括把四项式转换为两项式.这就是说当我们遇到三项式或四项式时就要先试一试是不是能转换为两项式，然后再用二项式定理解决问题.

二项式定理的基本应用第4篇

关键词：范数,向量,算子

引言

随着人们认识世界的不断升华, 数量的概念从一维的数、二维的平面向量、三维的空间向量已经发展到n维乃至无穷维线性空间中的向量, 后者虽然是抽象, 但在其理论指导下的实际应用却十分广泛, 例如由向量刻画的线性方程组的解在规划问题、有限元设计问题中的价值就是十分基本的。为了对线性空间及其向量实施拓扑结构与代数结构的研究, 赋予它一个“距离”概念 (或是准“距离”概念十分重要) , 这就是范数 (及拟范数、准范数) 的由来, 由此导出的线性赋范空间或线性准赋范空间为近现代科学的发展提供了坚实的基础。范数是满足一定条件的可以用于度量向量和向量间关系的特征量, 对于不同的问题, 对于研究向量的不同方面, 可以再满足条件的基础上选择或构造范数。其中有些范数是基本的, 有些则可充分发掘问题内涵加以构造, 结合范数的相关性质定理得到需要的结论, 甚至为新理论的产生做出推动。比较范数这样的线性空间中有着丰富内涵和特点的数量关系和我们对基本的低维空间的认识, 我们会看到在诸多科学问题中, 前者更阐明了问题的核心, 指向了问题的本质。在一些普遍问题或特有的建模问题中, 提供了更好的解决方案。

1 范数定义和范数选取条件的讨论

范数 (标记为‖‖) 是线性赋范空间中基本与重要的概念, 对于向量范数, 基于以下的定义, 人们一般认为它是欧氏空间中距离概念的推广:

(1) 正定性:对任意向量x, ‖x‖≥0, 当且仅当x=0时‖x‖=0;

(2) 正齐性:对任意向量x, α∈R, 有‖αx‖=|α|‖x‖; (3) 三角不等式:对任意向量x, y, ‖x+y‖‖x‖+‖y‖。而对于线性赋范空间上的映射算子 (标记为T) , 可以构造如下的算子范数: (对于向量范数‖‖*, 如此定义的算子范数‖‖*称为由向量范数导出的算子范数) 。由此推出, 算子范数的以下几点性质是基本的:

(1) 正定性:当T≠θ时, ‖T‖>0, 当T=θ时, ‖T‖=0; (定义θ (x) =0)

(2) 正齐性:设c为实数, 则‖c T‖=|c|‖T‖;

(3) 三角不等式:‖T1+T2‖‖T1‖+‖T2‖;

出于上述要求, 可以在满足定义条件的基础上, 按照需要构造范数, 结合范数的连续性和等价性定理, 得到一些美妙的结论。尤其在向量序列收敛的情况下, 适当选取的范数比传统的欧氏距离理论具有更大的适定性, 也有更好的应用价值。

要使向量或算子的某个特征能成为范数, 必须经过以上定义中几点的检验, 例如对于任意的向量x= (x1, x2, , xn) , 最基本的向量范数‖x‖∞=max (|x1|, |x2|, |xn|) , ‖x‖1=|x1|+|x2|+|xn|, ‖x‖2= (x12+x22++xn2) 1/2就是满足向量范数定义三条件的。但并非任意构造范数都是满足定义的, 下面就算子的一个特征量不能成为范数给出例子:

例设Tx=Ax, 其中x是任意n维向量, A是n阶矩阵, 设λi是矩阵A的特征值, 定义ρ (T) =max|λi|是算子T的谱半径, 证明ρ (T) 不能成为T的范数。i

证明:显然, 对任意n维向量x, Ax是n维向量, Tx=Ax是n维赋范线性空间的算子,

举反例说明ρ (T) 不能成为T的范数,

设

则ρ (T1) =ρ (T2) =0, 而ρ (T1+T2) =1, 不满足三角不等式ρ (T1+T2) ρ (T1) +ρ (T2) ,

由此例可以看出ρ (T) 不能成为T的范数。

2 范数的几个基本重要性质及其推论

定理1 (范数连续性) :范数‖x‖是x的连续函数, 即当xnx时‖xn‖‖x‖。

推论:当且仅当xn0时, ‖x‖0, 进而对于任何有界算子,

定理2 (范数等价性) :向量 (或算子) 的一切范数都是等价的, 即对任意两种范数‖‖α, ‖‖β, 存在和K (表示向量或算子) 无关的常数m, M, 使得对一切非零向量 (或算子) K, 恒有0

推论:对任何的算子范数‖T‖α, ‖T‖β, 有

定理3 (压缩映像原理) :设由迭代格式x (k+1) =Tx (k) +g, 设算子T的某种范数‖T‖<1, 则此迭代格式收敛。进而对于由此格式求解的任何方程或方程组, 有惟一解α, 并有误差估计式‖x (k) -α‖‖T‖k‖x (0) -α‖。

3 范数基本定理应用举隅

3.1 线性方程组迭代解法收敛速度的检验

对于较复杂线性方程组的求解, 尤其当它的系数矩阵是大型稀疏矩阵时, 各类基本迭代法的应用是极其广泛的。它的思想是“步步为营”, 对于任意给定的n维初始向量x (0) (基于压缩映像原理, 初始向量选择的好坏并不重要) , 构造迭代格式x (k+1) =Gx (k) +g (G∈Cnn, 称为迭代矩阵) , 使序列{x (k) }收敛, 即对于预定的精度ε, 有|x (k+1) -x (k) |<ε, 根据压缩映像原理, 易证此时x (k) x> (解向量) 。

对于方程组Ax=b, 我们可以看到算子作用的迭代矩阵应有怎样的构成, 我们将A进行A=M-N的分裂, 则有Mx>+Nx>+b, 从而由迭代格式两边取极限, 得到x>=Gx>+g可知G=M-1N, 从而压缩映像原理揭示出, 迭代格式的收敛和对A进行不同的分裂有关。

在确认了各种迭代法的敛散性后, 人们想比较的是对于那些收敛的迭代法, 谁的收敛速度快、效率高。这里让我们考察一下在迭代法收敛速度的比较中范数所起的作用, 并进一步研究范数的相关性质定理会带给我们怎样的更好的审敛手段。

3.1.1 矩阵范数与迭代格式的审敛法

左乘矩阵作为线性赋范空间向量间的一种映射, 其范数具有算子范数的一般特征, 另外矩阵有几个基本的特殊范数‖‖∞ (行和范数) 、‖‖1 (列和范数) 、‖‖2 (谱范数) 。‖A‖2是ATA的最大特征值的平方根。

设迭代格式x (k+1) Gx (k) +g收敛, 定义绝对误差向量ε (k) =x (k) -x, 则递推得到ε (k) =Gε (k-1) ==Gkε (0) , >, 所以。对于向量, ‖x‖∞=max (|x1|, |x2|, |xn|) , ‖x‖1=|x1|+|x2|+|xn|, ‖x‖2= (x12+x22+x32) 1/2, 比较定义可知, 为了比较收敛性, 考察误差向量ε (k) , 取‖‖2是最合理的。由

我们的结论是: (1) 迭代法收敛即‖ε (k) ‖2‖ε (0) ‖2的充分条件是‖G‖2<1;

(2) 当‖Gk‖2η时, 必有‖ε (k) ‖2η‖ε (0) ‖2。

关于得到精度使绝对误差的模不大于原来的η倍时所需的迭代步, 我们有估计式如下:, 分母即我们由范数等价性导出的式子的自然对数值。

3.1.2 矩阵谱半径和收敛速度的更好的度量

定义:设A为任一n阶复方阵, λi是矩阵A的特征值, 把实数ρ (A) =miax|λi|称为矩阵A的谱半径。 (上文已证, 谱半径不可能是一个矩阵的范数。)

引理1对于任何由向量范数导出的矩阵范数‖‖, 有ρ (A) ‖A‖。

引理2给定任一正数ε, 必定存在一种向量范数‖‖*, 使得由此而导出的矩阵范数‖‖*, 满足条件:‖B‖*ρ (B) +ε。将G用其若当标准型替换, 可得到结论:, 结合范数等价性定理的推论, 得到

推论:对于任意矩阵范数‖‖, 。

这个推论是重要的, 在前文提及的迭代步的预估中, 结论受到k本身的影响, 不具有一致性, 而在这里, 我们却可以用ρ (G) 把, 用-lnρ (G) 把替换掉, 从而

定义:设迭代格式x (k+1) =Gx (k) +g收敛, 则称R (G) =-lnρ (G) 为迭代格式的收敛率。在此基础上, 得到新的迭代步的估计式k≈-lnη/应R (该G) 指。出, 上述的用ρ (G) 代换是有条件的, 此时迭代步k较大, 精度要求较高, 但我们仍然可以肯定地说, ρ (G) 越小, 收敛率将越大, 收敛也将越快。

3.2 多参数对象分类与马哈拉诺比斯 (Mahalanobis) 距离法

在上述用迭代法求解线性方程组收敛速度的讨论中, 我们充分运用了向量范数、矩阵范数的重要定理, 看到了适当选取范数不仅可以较好地讨论问题, 也可以为进一步更好地讨论问题, 引入新的工具提供理论基础。在线性赋范空间中, 范数及其选取、范数性质的重要性可见一斑。

下面我们还将引入一个更加生动的例子, 从而理解范数并不是死板的而是可以在满足定义三条件的基础上科学地构造的, 这个例子中我们将比较传统的欧式距离与马哈拉诺比斯 (Mahalanobis) 距离, 看到在应用层面上, 适当选取范数的有效性、适定性。

3.2.1 问题的给出:

考古学家试图根据骨骼架的身高和腿长的差异, 对两种远古人群的种族进行分类 (分别称作A族和B族) , 已测得如图所示的9副A族与6副B族的有关数据, 具体要求是:

(1) 根据如上资料, 制定一种方法, 正确地区分两个种族;

(2) 另有三副类别未知的骨骼标本, 已知其身高和腿长, 用所得的方法加以识别。

3.2.2 欧式距离法对问题的分析:

以腿长为横轴、身高为纵轴建立平面直角坐标系, 则每一副骨骼样本对应了平面直角坐标系中的一个点。

设μ (1) = (μ1 (1) , μ2 (1) , ) , μ (2) = (μ1 (2) , μ2 (2) , ) 分别是两个种族对应样本总体分布的几何重心, 当能正确地划分出两个种族的差异时, μ (1) , μ (2) 显然是平面直角坐标系中两个不同的点。

我们可以引入这样的思考, 对于任意给定的一个样本x= (x1x2) , 只需要检验它到底离哪个分布的几何重心的距离更近, 即分别计算它与μ (1) , μ (2) 的欧式距离:

把x归入‖x-μ (k) ‖2,

k=1, 2小的一类。在实际计算中, μ (1) , μ (2) 用样本估计值代替, 即分别计算两类已知样本身高与腿长的平均值, 对于μ (k) , k=1, 2中的分量, 取已知样本身高和腿长的平均值。

当特征量的个数不只两个, 乃至可以推广到n个时, 这里每个样本点就成为n维空间上的一个向量, 向量范数‖x‖2= (x12+x22++xn2) 1/2就提供了这样一种指标, 度量每个随机向量对样本平均水平的迫近情况, 从而将样本归为欧式距离‖x-μ (k) ‖2较小的种群。但这样的划分是有问题的, 它首先忽略了样本中的每项特征参数作为随机变量的分布情况, 因为在不同的分布中概率随欧氏距离的变化情况是不一样的, 其次它也没有考虑各项参数间分布水平的差异, 在不同参数方向上定义了相同的尺度。从而这种欧氏距离的分类显得粗糙, 有时甚至存在这样的可能, 因为某些种群本身是向善的, 另一些种群则是向恶的, 粗糙的分类可能带来很不好的结果, 例如在判断患者的肿瘤是良性还是恶性的问题上。

作为距离概念的推广, 我们能不能选用其他的向量范数更科学地面对分类问题, 将样本总体本身的分布情况考虑进来, 从而得到改进的结果呢?下面的方法给出了肯定的答案。

3.2.3 马哈拉诺比斯 (Mahalanobis) 距离法对分类问题的讨论:

这里我们根据向量的多参数特征, 得出样本的总体分布, 它的均值向量为μ, 协方差矩阵为Σ, 若x (1) , x (2) 是属于总体的随机变量, 则定义向量x (1) , x (2) 的马哈拉诺比斯距离如下:

显然, (1) 协方差矩阵的阶数等于样本向量中分量的个数, 在我们讨论的双参数问题中是2;

(2) 当Σ是对角阵, 则‖x1-x2‖M是加权的欧式距离, 对于二维向量x (k) = (x1 (k) , x2 (k) ) , 其权重σi-1, i=1, 2是各参数总体分布的方差的倒数, 在其作用下, 无论参数分布地离散还是紧密, 可将其尺度正规化, 即对于“离得近”的理解, 范围与方差成正比, 这是对欧式距离的重要改进;

(3) 特别的, 当协方差矩阵为单位矩阵时, 马哈拉诺比斯距离就是欧式距离。

可以验证, 在n维向量空间上, 马氏距离

是满足范数定义中正定性与三角不等式, 同时满足了距离公理中的对称性的, 而对于正齐性, 则有结论

在这点上存在一个问题, 即马哈拉诺比斯距离是不满足范数定义中的正齐性的, 为此补充定义:当对任意向量x, α∈R, 不满足‖αx‖=|α|‖x‖, 但满足连续性, 即当xxn时, ‖αx-αxn‖0, 则当向量范数的其他两个条件满足时, 称这种关系为准范数。

不难证得, 对上文提及的范数基本性质定理准范数也是满足的, 此处并不影响行文论证。

事实上, 由此进一步地, 我们恰能由此发现另外一个马氏距离在度量上比欧式距离更科学的地方, 即它不受量纲的影响, 两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。

和利用欧氏距离进行度量和分类一样, 在我们具体进行试验时, 用样本的均量μ (k) 代替某个总群内在的均值向量μ (k) 。对于任意给定的随机样本x, 令其到μ的马氏距离为在我们讨论的问题中, x, μ均为二维向量。而在结论中, 我们将样本x归为马哈拉诺比斯距离较小的一类。通过进一步的分析可以知道, 理论上不同种群的分界线应是一条二次曲线。

4 结语

通过上文的论述, 我们看到在线性赋范空间中, 合理地构造向量范数或算子范数的重要性。实际上, 这里的使用或构建是比较自由的, 因为范数中一些重要的性质定理都是从基本的定义推出的, 即这里的适定具有较低的要求, 也即更广泛的价值, 而对于更弱一点的要求, 我们还可以构造拟范数与准范数, 在很大程度上, 范数的重要性质还是能得到较好的应用。

参考文献

[1]李广民, 刘三阳.应用泛函分析原理[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2003.

[2]雷功炎.数学模型讲义[M].北京:北京大学出版社, 1999.

平面向量基本定理(教学设计) 第5篇

教学设计

平面向量基本定理教学设计

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习习近平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习习近平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的应用；教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法

1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导

1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程

针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。第一环节：问题导学自主学习

首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境导入课题

进入新课，引入课题采用问题情境的办法。通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。

第三环节：分组讨论合作探究

提出问题，进入探究阶段。采用分组讨论，合作探究的方法，先让学生回顾知识-向量加法的平行四边形法则。进入小组讨论，共同讨论两个问题。

问题1：向量a与向量e1，e2共起点，向量a是同一平面内任一向量，e1与e2不共线，探究向量a与e1，e2之间的关系.问题2：向量e1与e2是同一平面内不共线的两个向量，向量a是同一平面内任一向量，探究向量a与e1，e2之间的关系.设计意图：各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.第四环节：成果展示归纳总结

小组讨论完毕，由几个小组展示研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知识—平面向量基本定理。在定理中重点补充强调以下几点说明：（1）基底e1,e2不共线，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，实数1，2唯一；（3）1e1e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.第五环节：问题解决巩固训练

引入定理后，应用定理解决学案例题与练习。例题1重在考查基底的概念，引导学生思考向量作为基底的条件，将问题转化为两个向量的共线问题。讲解完例题1之后，通过一个练习，巩固所学。通过两个问题，让学生认识理解基底的概念，把握基底的本质，突出重点——平面向量基本定理的应用。在例题2中继续强化对基底概念的理解，采用分组讨论，合作探究的教学方法，共同探讨解法，并由小组板演解题过程，最后强调解题步骤；此后，给出例2的一个变式题，让学生进一步深刻理解基底，体会基底的重要作用。解决本节难点——平面向量基本定理的理解，通过例题3对平面向量基本定理综合应用，解决三点共线问题。采用先启发引导后学生探究的方法，解决学生的困惑。例题讲解完毕后，对本题结论适当拓展，得到“当t11，点P是AB的中点，OP=（OAOB）”的重要结论。通过探究22本题，可以使学生深化对平面向量基本定理的理解，培养学生综合运用知识的能力.为了加强对定理的应用，在学案中设计了几个巩固练习，在课堂上当场完成，并及时纠错，巩固本节所学。

第六环节：拓展演练反馈检测

为了攻克难点，检测效果，最后设计了几道课后习题进行拓展延伸，培养学生的综合能力。通过这些设计，可以增强教学的针对性，提高教学效果。在本节尾声，让学生回顾本节主要内容，完成小结，并在小结中强调转化的数学思想及方法。最后是布置课后作业及时间分配与板书设计。

六、评价感悟

本节教学设计在“学本课堂”的教学模式下，采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，引导学生自主学习，发现问题，小组讨论，合作探究，解决问题。在教学过程中，学生处于主体地位，教师充分发挥学生的积极性，力求打造高效课堂。

微积分基本定理第6篇

一、定理学习

1. 定理产生的必要性

由定积分定义我们可以求积分：[01xdx]，[12x3dx]，但求解过程繁锁，同学们出错可能性大，有没有简便易行的方法呢？再说我们对求定积分[121xdx]，[02exdx]时，用我们现有的求和知识几乎求不出，有没有可求的方法呢？

2. 定理推导过程的理解要把握的几个点

①要清楚函数[y=y(t)]是质点运动位移和时间的函数关系，函数[y=v(t)]即[y=y′(t)]是质点的瞬时速度，这一点可由导数的物理意义得到，这两个函数的意义要明了. 明了意义后，就知道质点在时间[[a，b]]内位移为[y(b)-y(a)]，也就是定理右端的雏形.

②要体会为什么对区间[[a，b]]进行分割，分割是为了便于运用我们已经掌握定积分的定义知识来解决位移问题，分割也是为了进一步“局部以直代曲”运用导数知识来解决位移问题.

③两个“近似”要理解好：在区间[[ti-1，ti]]上，可认为物体近似以速度[v(ti-1)]作匀速直线运动；另外，质点总位移[S]近似为[i=1n ][v(ti-1)][△t]. 同学们可能认为这么多近似，位移的近似值与真实值肯定有很大差距，这种处理靠得住吗？我们分割得越细，也就是[n]越大，[△t]就会越小，误差就会越小.当分割细得不能再细，也就是[n→∞]时，误差就为零了.所以当[n→∞]后，这种处理是靠得住的.刘微在《割圆术》中说“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”. 所阐述的也正是这种思想，也就是微积分的基本思想——极限.

3. 定理的认识与推广

通过分析得到[abv(t)dt=y(b)-y(a)]，进而可推广为一般情况

[abf(x)dx=F(b)-F(a)]，其中[F'(x)=f(x).]

二、定理运用

1. 通过例题熟悉定理

例1 求下列定积分（1）[121xdx]；（2）[01exdx]；（3）[13(2x-1x2)dx]；（4）[02sinxdx].

对（3）解答如下：

∵[(x2)′=2x，][(1x)'=-1x2]

∴[(x2+1x)'=2x-1x2].

∴[13(2x-1x2)dx=(x2+1x)|31=223].

2. 在练习找出运用技巧

通过练习，同学们认识到用定理求[abf(x)dx]的关键就是要找到[F(x)]，即哪个函数的导数为[f(x)]，[F'(x)=f(x)]. 这里要注意逆向思维的运用，当然也可总结一些常见模型，总结如下：

3. 通过本节学习我们要体会到几个重要思想

①通过对质点运动的位移的探究，再推广到一般情况.这种从特殊到一般的归纳思想；

②推导过程中数形结合的思想；

《平面向量基本定理》教学设计第7篇

本节课以问题为载体, 以学生的活动为主线, 分层探究, 让学生经历平面向量基本定理的发现和形成过程, 充分领悟类比转化、数形结合的数学思想方法, 提高数学思维能力.本节课的教学设计总体思路:创设情境来引题, 自主探索得定理, 动手动画添情趣, 抽象问题变具体.

二、教材分析

1.地位和作用

平面向量基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合, 它是在学生学习了向量的线性运算及共线向量定理的基础上为了进一步研究向量方便而引入的一个新定理.它既是前面知识的深化和应用, 又是后面学习向量坐标表示的基础;它是平面图形中任一向量都可以由两个不共线向量量化的依据, 是搭建向量的几何运算和代数运算的桥梁, 同时又为空间向量的学习奠定基础.因此它具有承前启后的作用.

2.重点和难点

重点:引导学生了解平面向量基本定理的形成过程以及理解定理的意义和作用.

难点:平面向量基本定理的发现和形成过程以及所涉及的思想方法的渗透.

三、目标分析

知识目标:理解平面向量基本定理, 掌握“平面内任何一个向量都可以用两个不共线的向量表示”是应用向量解决问题的重要思想方法.

能力目标:通过探索平面向量基本定理, 培养学生提出问题、发现问题的能力, 渗透类比转化、数形结合的数学思想, 加强学生思维能力训练.

情感目标:营造愉悦的课堂氛围, 创设问题情境, 激发学生的学习兴趣, 培养学生的探索精神, 让学生体会学习的乐趣.

四、教学过程设计

(一) 创设情境 (物理背景)

情境1:运动的分解 (导弹发射:斜上抛运动) .

情境2:力的分解.

[设计意图]:数学的结论往往是抽象的, 而对这些抽象结论的理解需要一些具体的熟悉的背景支撑.通过物理实例, 让学生产生感性认识, 体会研究向量分解的必要性, 调动学生已有的知识经验, 让学生在熟悉的情境中研究向量的分解, 同时渗透从具体到抽象、从特殊到一般的思维方式.

(二) 合作探究

1. 复习向量的线性运算并思考下列问题.

问题1:如图1所示, →AB=e1, →AD=e2, 试用e1、e2表示→AC, →BD, →OA, →OB.

问题2:已知e1, e2, 求向量3e1+2e2, e1-2e2.

2. 思考与探究:设e1、e2是平面内的非零向量, a是此平面内给定的一向量, 可以用e1, e2表示a吗?

探究一:设e1, e2是平面内两个不共线的向量, a是此平面内给定的一向量, 研究a与e1、e2的关系.

受问题1的启发, 引导学生动手作图 (如图2) , 同时利用计算机进行动画演示:

(1) 平移———将三向量平移到同一起点;

(2) 构造———构造平行四边形;

(3) 共线———共线定理.

探究二:将“给定的向量a”换成“此平面内任一向量”, 情形如何? (学生动手作图, 计算机动画演示)

让学生交流讨论, 归纳结论, 具体如下:

平面向量基本定理:如果e1, e2是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数λ1, λ2, 使a=λ1e1+λ2e2, 不共线的向量e1, e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底 (base) .

思考1:为什么强调e1, e2不共线?

思考2:一个平面内所有向量的基底有多少组? (无数组)

思考3:基底不同, 表示同一向量的实数对λ1, λ2是否一定不同?

[设计意图]:建构主义学习观认为, 学生的学习不是被动接受教师传授知识的一个过程, 而是在自己已有知识经验的基础上对新知识的同化、顺应、重建, 进而形成新的知识结构的过程.这一环节设计中, 让学生动手作图, 动画演示, 积极思考, 自主探索, 大胆概括, 主动构建, 符合新课程“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”的理念.

(三) 解释应用

【例1】如图3, 已知梯形ABCD, AB∥CD且AB=2 DC, M、N分别是DC、AB的中点, 请以为基底, 表示向量

【例2】已知平行四边形ABCD中, E、F是对角线AC上的两点, 且AE=FC=14AC, 试用向量的方法证明四边形DEBF也是平行四边形.

[设计意图]:例1是为了巩固平面向量基本定理.例2是平面向量基本定理的简单应用, 让学生初步体会基底的作用, 以深化对平面向量基本定理的认识.练习题由简单到复杂、由单一到综合, 循序渐进地进行, 是对本节课内容进行检测.为了摒除“一步到位”的做法, 故把拓展题留作课后思考题, 为学生课后提供一个思考的空间.

(四) 归纳总结

师生共同小结:本节课学到了哪些知识?

学到的知识:一个定理———平面向量基本定理;两个依据———平行四边形法则及共线定理;两种思想———类比归纳和数形结合思想.

(课后思考题2) :如果将基底“特殊化”———e1⊥e2并将平面向量基本定理与熟悉的直角坐标系联系起来, 你有什么新的发现?

[设计意图]:帮助学生理清本节课的知识、方法、思想.不仅能让学生很快地掌握要点, 而且有利于学生站在系统的高度把握知识.设置思考题, 提出正交分解和坐标表示的研究任务, 激发学生继续研究的兴趣, 是本节课的延伸、下节课的伏笔.

(五) 课后作业

练习2:设e1与e2是两个不共线向量, a=3e1+4e2, b=-2e1+5e2, 若实数λ, μ满足λa+μb=5e1-e2, 求λ, μ值.

代数基本定理在高维数空间之证明第8篇

从《复数的多元数》可以获悉, 极坐标复数是球坐标三元数的特例, 球坐标三元数又是广义球坐标无穷元数的特例.一个无穷元数可以一一对应于一个点、一个有序数组或一个起点在原点的向量, 对于实系数一元n次方程, 代数基本定理成立, 方程至少有一根.

人们自然会提出下述问题:对于一般系数的一元n次方程, 代数基本定理是否成立?

本文从数与向量的一一对应关系和初等函数的连续性出发, 利用函数图形的无限相似原理, 对上述问题作出了肯定的回答.

二、基本概念与重要引理

定义1 设x表示一个变量, x∈A∝, x=x0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ xnin, i $_{n}^{2}$ =-1, x0, xn∈R, n∈N, 则

y=f (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x+an (n∈N) . (1)

称为无穷维数空间的一元多项式, 其中无穷元数a0, , an称为f (x) 的系数, an-kxk称为f (x) 的k次项, k=n, , 0, an-k称为f (x) 的k次项系数, f (x) 的零次项也称做f (x) 的常数项, 系数全等于零的多项式称为零多项式, 记作0.

定义2 给定多项式 (1) , 无穷元数a0=a11+ $\sum_{n = 2}^{\propto}$ a1nin, a1n∈R, a1n≠0, n∈N, 一一对应于一个无限阶矩阵A, A称做数a0的基本矩阵, A的行列式|A|称做数a0的基本值.依无穷元数定义, $\sum_{n = 1}^{\propto}$ a $_{1 n}^{2}$ =r2<∝.据高数知识, a11≠0时, 将第k列乘以 $- \frac{a_{1 k}}{a_{11}} ‚ k = 2 ‚ \dots$ , 再将从第二列开始的可数无穷列全部加到第1列得

$\begin{array}{l} | A | = | \begin{matrix} a_{11} & - a_{12} & - a_{13} & \dots & - a_{1 n} & \dots \\ a_{12} & a_{11} & 0 & \dots & 0 & \dots \\ a_{13} & 0 & a_{11} & \dots & 0 & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & \dots \\ a_{1 n} & 0 & \dots & 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix} | \\ = | \begin{matrix} \sum_{k = 1}^{\propto} a_{1 k}^{2} / a_{11} & - a_{12} & - a_{13} & \dots & - a_{1 n} & \dots \\ 0 & a_{11} & 0 & \dots & 0 & \dots \\ 0 & 0 & a_{11} & \dots & 0 & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & \dots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & a_{11} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix} | \\ = a_{11}^{n - 2} r^{2} ‚ (n \propto) . (2) \end{array}$

据矩阵理论, |A|≠0时, 可求得矩阵A的伴随矩阵A*和逆矩阵A-1 (AA*=A*A=|A|E) .

$A^{*} = [\begin{matrix} a_{11}^{n - 1} & a_{11}^{n - 2} a_{12} & a_{11}^{n - 2} a_{13} & \dots & a_{11}^{n - 2} a_{1 n} & \dots \\ - a_{11}^{n - 3} a_{12} a_{11} & a_{11}^{n - 3} (r^{2} - a_{12}^{2}) & - a_{11}^{n - 3} a_{12} a_{13} & \dots & - a_{11}^{n - 3} a_{12} a_{1 n} & \dots \\ - a_{11}^{n - 3} a_{13} a_{11} & - a_{11}^{n - 3} a_{13} a_{12} & a_{11}^{n - 3} (r^{2} - a_{13}^{2}) & \dots & - a_{11}^{n - 3} a_{13} a_{1 n} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & \dots \\ - a_{11}^{n - 3} a_{1 n} a_{11} & - a_{11}^{n - 3} a_{1 n} a_{12} & - a_{11}^{n - 3} a_{1 n} a_{13} & \dots & a_{11}^{n - 3} (r^{2} - a_{1 n}^{2}) & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}] (n \propto) . (3)$

$A^{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |} = \frac{1}{a_{11} r^{2}} [\begin{matrix} a_{11}^{2} & a_{11} a_{12} & a_{11} a_{13} & \dots & a_{11} a_{1 n} & \dots \\ - a_{12} a_{11} & r^{2} - a_{12}^{2} & - a_{12} a_{13} & \dots & - a_{12} a_{1 n} & \dots \\ - a_{13} a_{11} & - a_{13} a_{12} & r^{2} - a_{13}^{2} & \dots & - a_{13} a_{1 n} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & \dots \\ - a_{1 n} a_{11} & - a_{1 n} a_{12} & - a_{1 n} a_{13} & \dots & r^{2} - a_{1 n}^{2} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}] (n \propto) . (4)$

显然, 不论n∝, 还是n<∝为有限项, 以上各式均正确, 有限阶矩阵是无限阶矩阵的特例, 有限元数是无穷元数的特例.易知a11=0, n=2时, |A|=a $_{11}^{2}$ +a $_{12}^{2}$ =r2=a $_{12}^{2}$ . (5)

若a12≠0, 可求得 $A^{*} = [\begin{matrix} 0 & a_{12} \\ - a_{12} & 0 \end{matrix}] ‚ A^{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |} = \frac{1}{a_{12}^{2}} [\begin{matrix} 0 & a_{12} \\ - a_{12} & 0 \end{matrix}] (6) a_{11} = 0 ‚ n \geq 3 ‚ n \in Ν$ 时, |A|=0. (7)

定义3 在多项式 (1) 中, 如果a0的基本值|A|≠0, 则a0xn就称为多项式 (1) 的首项, a0称为多项式 (1) 的首项系数, n称为多项式 (1) 的次数, n=2时, |A|≠0⇔a $_{11}^{2}$ +a $_{12}^{2}$ =r2≠0⇔a0≠0, 与复数理论一致;n≥3时, |A|≠0⇔a11≠0.特别地, 即使在实数域中研究, n=1时, 定义一阶行列式|A|=|a11|=a11, 仍有|A|≠0⇔a11≠0成立.

在《复数的多元数》中, 曾经用初等数学的方法研究了无穷元数的除法:两个无穷元数b=b0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ bnin, a=a0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ anin (i $_{n}^{2}$ =-1, in, im=0, n≠m, n, m∈N) 做除法运算, 可依无穷元数相等的定义与乘法公式列线性方程组求得.

设x=x0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ $x_{n} i_{n} = \frac{b}{a}$ , 则有ax=b, 即 (a0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ aiin) (x0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ xnin) =b0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ bnin, 展开得

${\begin{matrix} x_{0} a_{0} & - x_{1} a_{1} & - x_{2} a_{2} & - x_{3} a_{3} & \dots = b_{0} & (1) \\ x_{0} a_{1} & + x_{1} a_{0} & + 0 & \dots & \dots = b_{1} & (2) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{0} a_{n - 1} & + x_{n - 1} a_{0} & + 0 & \dots & \dots = b_{n - 1} & (n) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ & ⋮ \end{matrix}$

用 (1) a0, (2) a1, , (n) an-1, , 各等式两边分别相加消去所有含xi (i∈N) 的项, 得x0 $\sum_{n = 0}^{\propto}$ a $_{n}^{2}$ = $\sum_{n = 0}^{\propto}$ anbn, 先解出:x0= $\frac{\sum_{n = 0}^{\propto} a_{n} b_{n}}{\sum_{n = 0}^{\propto} a_{n}^{2}}$ (a≠0) (c) , 将 (c) 代回方程组, 可依次解出xi= $\frac{b_{i} \sum_{n = 0}^{\propto} a_{n}^{2} - a_{i} \sum_{n = 0}^{\propto} a_{n} b_{n}}{a_{0} \sum_{n = 0}^{\propto} a_{n}^{2}}$ (a0≠0) , i∈N;a0=0, n=2, a1≠0时, 得 $x_{0} = \frac{b_{1}}{a_{1}} ‚ x_{1} = - \frac{b_{0}}{a_{1}} .$

从高等数学的观点来看, 含n个未知数的n个线性方程所组成的方程组在n∝时的解当然也可以利用矩阵理论或克莱姆法则求得, 先将线性方程组写成矩阵方程:AX=B, 如果|A|≠0, 那么A可逆, 矩阵方程有唯一解X=A-1B, 这也是无限元线性方程组的解.据定义2中的公式 (4) , (6) , 将 $A^{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |}$ 代入乘出, 即得

a0≠0时, $x_{0} = \frac{a_{0}^{2} b_{0} + a_{0} a_{1} b_{1} + a_{0} a_{2} b_{2} + \dots}{a_{0} r^{2}} =$ $\frac{\sum_{n = 0}^{\propto} a_{n} b_{n}}{\sum_{n = 0}^{\propto} a_{n}^{2}}$ ; (8)

a0≠0时, xi= $\frac{b_{i} r^{2} - a_{i} \sum_{n = 0}^{\propto} a_{n} b_{n}}{a_{0} r^{2}}$ = $\frac{b_{i} \sum_{n = 0}^{\propto} a_{n}^{2} - a_{i} \sum_{n = 0}^{\propto} a_{n} b_{n}}{a_{0} \sum_{n = 0}^{\propto} a_{n}^{2}}$ , i∈N; (9)

a0=0, n=2, a1≠0时, $x_{0} = \frac{a_{1} b_{1}}{a_{1}^{2}} = \frac{b_{1}}{a_{1}} ‚ x_{1} = - \frac{a_{1} b_{0}}{a_{1}^{2}} = - \frac{b_{0}}{a_{1}}$ . (10)

当然, 将 $A^{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |}$ 代入矩阵方程后乘出来, 其实也正是将克莱姆法则应用到此线性方程组 (n∝) , 然后计算 $x_{i} = \frac{D_{i + 1}}{D} (D = | A | = a_{0}^{n - 2} r^{2} ‚ n \propto)$ 后所得到的结果.

无穷元数一一对应于一个有序数组或一个向量, 无穷维数空间A∝对于数的加法和实数乘积构成实线性空间, 数空间和与之对应的实数列空间或实向量空间线性同构, 定义向量x的范数‖x‖为数x的模‖x‖=r=|x|, 得到赋范实线性欧氏空间, 再由ρ (x, y) =‖x-y‖=|x-y|引入两点间的距离, A∝即成为实线性度量空间.数可以用来表示一个点、一个实数列或一个实向量, 本文将不加区别的使用数的这几种含义.

无穷元数的乘法y=ax本质上是通过仿射变换把无穷维数空间中的一个点映射成另一个点, 限制a的基本值|A|≠0, 仿射变换成为可逆线性变换, $x = \frac{y}{a}$ 唯一可求.特别地, 在复数域中, 复数a的基本值|A|=r2=a $_{0}^{2}$ +a $_{1}^{2}$ ≠0⇔a≠0, 初等数学中一般规定0不作除数正是|A|≠0的特例.

研究无穷维空间里点集与点集之间的映射是泛函分析中的内容, 在泛函分析中通常把映射或映照称为算子, 而定义域为实数或复数的算子称为泛函数, 简称为泛函.现在延拓泛函数的定义, 将取值于无穷元数的算子称为泛函, 线性算子称为线性泛函.

引理1 一般地, 线性泛函y=ax (x∈A∝, |A|≠0) 将超球面|x|=r映射成一个超椭球面, 存在一个正交变换, 超椭球面方程可化成规范形.

证明设a=a11+ $\sum_{n = 2}^{\propto}$ a1nin, x=x1+ $\sum_{n = 2}^{\propto}$ xnin, y=y1+ $\sum_{n = 2}^{\propto}$ ynin, ra=|a| (a1n, xn, yn∈R, n∈N) , 依无穷元数定义, i $_{n}^{2}$ =-1, inim=0, n≠m, n, m∈N, ra<∝, 据定义3中公式 (8) , (9) 有x1= $\frac{\sum_{n = 1}^{\propto} a_{1 n} y_{n}}{\sum_{n = 1}^{\propto} a_{1 n}^{2}}$ , xi= $\frac{y_{i} \sum_{n = 1}^{\propto} a_{1 n}^{2} - a_{1 i} \sum_{n = 1}^{\propto} a_{1 n} y_{n}}{a_{11} \sum_{n = 1}^{\propto} a_{1 n}^{2}}$ , i∈N, i≥2, 代入|x|=r, 得 $\sum_{n = 1}^{\propto}$ x $_{n}^{2}$ = $\frac{(\sum_{n = 1}^{\propto} a_{1 n} y_{n})^{2}}{r_{a}^{4}}$ + $\frac{\sum_{i = 2}^{\propto} (y_{i} r_{a}^{2} - a_{1 i} \sum_{n = 1}^{\propto} a_{1 n} y_{n})^{2}}{a_{11}^{2} r_{a}^{4}}$ =r2, 展开整理得无限元二次型方程

f (y1, y2, ) =c11y $_{1}^{2}$ +c12y1y2++c1ny1yn++c21y2y1+c22y22++c2ny2yn++cn1yny1+cn2yny2++cnny2n+= $\sum_{i = 1}^{\propto} \sum_{j = 1}^{\propto}$ cijyiyj=a $_{11}^{2}$ r2ar2. (11)

将 (11) 中左边的系数cij排成一个系数矩阵C, 并把整理后各项的实际值代入得实对称矩阵

$\begin{array}{l} C = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & \dots \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & \dots \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} & \dots \\ c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a_{11}^{2} & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & r_{a}^{2} - a_{12}^{2} & - a_{12} a_{13} & - a_{12} a_{14} & \dots \\ 0 & - a_{13} a_{12} & r_{a}^{2} - a_{13}^{2} & - a_{13} a_{14} & \dots \\ 0 & - a_{14} a_{12} & - a_{14} a_{13} & r_{a}^{2} - a_{14}^{2} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}] . (12) \end{array}$

令YT=[y1y2y3y4 ], (11) 可写成矩阵形式

f (y1, y2, ) = $\sum_{i = 1}^{\propto} \sum_{j = 1}^{\propto}$ cijyiyj=YTCY=a $_{11}^{2}$ r2ar2. (13)

设Y=TX, 有XT (TTCT) X=XTAX, 下面研究如何选取T, 使TTCT=A为对角矩阵.研究实对称矩阵λE-C, cij≠0时, 将cij除以a1i乘以a1j, 再把从第三列开始的可数无穷列全部加到第二列, 最后将第二行乘以-1后加到以下各行得

|λE-C|=

$| \begin{matrix} λ - a_{11}^{2} & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & λ - (r_{a}^{2} - a_{12}^{2}) & a_{12} a_{13} & a_{12} a_{14} & \dots \\ 0 & a_{13} a_{12} & λ - (r_{a}^{2} - a_{13}^{2}) & a_{13} a_{14} & \dots \\ 0 & a_{14} a_{12} & a_{14} a_{13} & λ - (r_{a}^{2} - a_{14}^{2}) & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix} | =$

$| \begin{matrix} λ - a_{11}^{2} & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & λ - (r_{a}^{2} - a_{12}^{2}) & a_{13}^{2} & a_{14}^{2} & \dots \\ 0 & a_{12}^{2} & λ - (r_{a}^{2} - a_{13}^{2}) & a_{14}^{2} & \dots \\ 0 & a_{12}^{2} & a_{13}^{2} & λ - (r_{a}^{2} - a_{14}^{2}) & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix} | =$

$\begin{array}{l} | \begin{matrix} λ - a_{11}^{2} & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & λ - a_{11}^{2} & a_{13}^{2} & a_{14}^{2} & \dots \\ 0 & λ - a_{11}^{2} & λ - (r_{a}^{2} - a_{13}^{2}) & a_{14}^{2} & \dots \\ 0 & λ - a_{11}^{2} & a_{13}^{2} & λ - (r_{a}^{2} - a_{14}^{2}) & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix} | = \\ | \begin{matrix} λ - a_{11}^{2} & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & λ - a_{11}^{2} & a_{13}^{2} & a_{14}^{2} & \dots \\ 0 & 0 & λ - r_{a}^{2} & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & λ - r_{a}^{2} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix} | = \\ (λ - a_{11}^{2})^{2} (λ - r_{a}^{2})^{n - 2} (n \propto) . (14) \end{array}$

|λE-C|=0⇔λ=a $_{11}^{2}$ 或λ=r $_{a}^{2}$ , 方程有一个二重根a $_{11}^{2}$ 和一个可数无限重根r $_{a}^{2}$ , 取λ1=a $_{11}^{2}$ , λ2=a $_{11}^{2}$ , λ3=r $_{a}^{2}$ , λ4=r $_{a}^{2}$ , , 构造一个无限阶矩阵P, P-1CP=diag[λ1λ2 λi ], 用P1, P2, , Pi, 表示P的可数无穷个列向量, 将P表示成分块矩阵P=[P1P2 Pi ], 题设条件等价于CP=Pdiag[λ1λ2 λi ]⇔CPi=λiPi (i∈N) , 设PTi=[c1c2 ci ].

将特征值λ=a $_{11}^{2}$ 代入CPi=λiPi (i∈N) 乘出得无限元线性方程组

${\begin{matrix} 0 c_{1} & + 0 c_{2} & + 0 c_{3} & + 0 c_{4} & + \dots & = 0 \\ 0 c_{1} & + (a_{11}^{2} + a_{12}^{2} - r_{a}^{2}) c_{2} & + a_{12} a_{13} c_{3} & + a_{12} a_{14} c_{4} & + \dots & = 0 \\ 0 c_{1} & + a_{13} a_{12} c_{2} & + (a_{11}^{2} + a_{13}^{2} - r_{a}^{2}) c_{3} & + a_{13} a_{14} c_{4} & + \dots & = 0 \\ 0 c_{1} & + a_{14} a_{12} c_{2} & + a_{14} c_{13} c_{3} & + (a_{11}^{2} + a_{14}^{2} - r_{a}^{2}) c_{4} & + \dots & = 0 \\ 0 c_{1} & + a_{15} a_{12} c_{2} & + a_{15} a_{13} c_{3} & + a_{15} a_{14} c_{4} & + \dots & = 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix} (c_{i j} \neq 0 \Leftrightarrow a_{1 i} a_{1 j} \neq 0) .$

将第i行的方程两边除以a1i, 然后将第二个方程与以后的各方程两两相减, 即得到方程组的解c1∈R, c2∶c3∶c4∶=a12∶

a13∶a14∶, 解得基础解系:P1, P2, PT1=[1 0 0 0 ], PT2=[0 a12a13a14 ].

故属于a $_{11}^{2}$ 的特征向量α=k1P1+k2P2, k1, k1不全为0, k1, k2∈R.

将特征值λ=r $_{a}^{2}$ 代入CPi=λiPi (i∈N) 乘出得无限元线性方程组

${\begin{matrix} (r_{a}^{2} - a_{11}^{2}) c_{1} & + 0 c_{2} & + 0 c_{3} & + 0 c_{4} & + \dots & = 0 \\ 0 c_{1} & + a_{12}^{2} c_{2} & + a_{12} a_{13} c_{3} & + a_{12} a_{14} c_{4} & + \dots & = 0 \\ 0 c_{1} & + a_{13} a_{12} c_{2} & + a_{13}^{2} c_{3} & + a_{13} a_{14} c_{4} & + \dots & = 0 \\ 0 c_{1} & + a_{14} a_{12} c_{2} & + a_{14} c_{13} c_{3} & + a_{14}^{2} c_{4} & + \dots & = 0 \\ 0 c_{1} & + a_{15} a_{12} c_{2} & + a_{15} a_{13} c_{3} & + a_{15} a_{14} c_{4} & + \dots & = 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix} (c_{i j} \neq 0 \Leftrightarrow a_{1 i} a_{1 j} \neq 0) .$

方程组可化为:

${\begin{cases} (r_{a}^{2} - a_{11}^{2}) c_{1} + 0 c_{2} + 0 c_{3} + 0 c_{4} + \dots = 0 \\ a_{12} c_{2} + a_{13} c_{3} + a_{14} c_{4} + a_{15} c_{5} + \dots = 0 \end{cases} \Leftrightarrow$

${\begin{cases} c_{1} = 0 ‚ \\ a_{12} c_{2} + a_{13} c_{3} + a_{14} c_{4} + a_{15} c_{5} + \dots = 0 ‚ \end{cases}$ 得c1=0, a12c2=-a13c3-a14c4-a15c5-, 依次用 (a12, 0, 0, 0, ) , (0, a12, 0, 0, ) , , 代替自由未知量 (c3, c4, c5, c6, ) , 解得基础解系P3, P4, P5, , PT3=[0 -a13a12 0 0 0 ], PT4=[0 -a14 0 a12 0 0 ], PT5=[0 -a15 0 0 a12 0 ],

故属于r $_{a}^{2}$ 的特征向量β=k3P3+k4P4+k5P5+, ki不全为0, ki∈R, i≥3, i∈N.将矩阵P写出:

$Ρ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & a_{12} & - a_{13} & - a_{14} & - a_{15} & \dots \\ 0 & a_{13} & a_{12} & 0 & 0 & \dots \\ 0 & a_{14} & 0 & a_{12} & 0 & \dots \\ 0 & a_{15} & 0 & 0 & a_{12} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}] .$

P去掉第一行与第一列后, 得到与数的基本矩阵形式相同的矩阵, 据定义2结论, 矩阵P的伴随矩阵与可逆矩阵可求, 易知P=[P1P2 Pi ]中的可数无穷个列向量线性无关, 组成一个极大线性无关组, 恰好与可数无穷个特征向量一一对应, $Ρ_{i} \overset{一一}{\leftarrow} \overset{对应}{} λ_{i} ‚ i \in Ν$ , 矩阵C～diag[λ1λ2 λi ].据Gram-Schmidt定理, 利用施密特正交化方法, 依次将P=[P1P2 Pi ]中的可数无穷个列向量正交化, 再单位化, 便得到无限阶正交矩阵T=[T1T2 Ti ], TT1=[1 0 0 0 ], TT2= $\frac{[0 a_{12} a_{13} a_{14} \dots]}{\sqrt{\sum_{n = 2}^{\propto} a_{1 n}^{2}}}$ , $Τ_{3}^{Τ} = \frac{[0 - a_{13} a_{12} 0 \dots]}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} ‚ \dots$ , 显然, 正交矩阵T中各个列向量所组成的正交单位向量组与矩阵P中各个列向量所组成的极大线性无关组等价.正交矩阵T满足TTT=E, |T|=±1, T-1=TT, 令Y=TX, 代入后得T-1CT=TTCT=A=diag[λ1λ2λ3λ4 ], 矩阵C化为对角矩阵, 原无限元二次型化为规范形:

f (y1, y2, ) = $\sum_{i = 1}^{\propto} \sum_{j = 1}^{\propto}$ cijyiyj= $\sum_{i = 1}^{\propto}$ λ2ix $_{i}^{2}$

=a $_{11}^{2}$ x $_{1}^{2}$ +a $_{11}^{2}$ x $_{2}^{2}$ + $\sum_{i = 3}^{\propto}$ r2ax $_{i}^{2}$ =a $_{11}^{2}$ r2ar2, (15)

整理得 $\frac{x_{1}^{2}}{r_{a}^{2} r^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{r_{a}^{2} r^{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{a_{11}^{2} r^{2}} + \frac{x_{4}^{2}}{a_{11}^{2} r^{2}} + \frac{x_{5}^{2}}{a_{11}^{2} r^{2}} + \frac{x_{6}^{2}}{a_{11}^{2} r^{2}} + \dots = 1 ‚ (a_{11} \neq 0)$ . (16)

(15) 给出了二次型的规范形, (16) 将规范形改写成标准超椭球面方程, 引理得证.

最后指出:有限元二次型是无限元二次型的特例, 如果a1n中a11以后的各项中有一项或一些项为0, (15) 结论仍成立, 去掉一些等于零的项后不难得到与 (16) 类似的标准超椭球面方程, 过程略.

特别地, 当a1n≠0, n=3时, 有如下结论:

$\begin{array}{l} Τ_{1}^{Τ} = [1 0 0] ‚ Τ_{2}^{Τ} = \frac{[0 a_{12} a_{13}]}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} ‚ \\ Τ_{3}^{Τ} = \frac{[0 - a_{13} a_{12}]}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} . \\ Τ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a_{12}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} & - \frac{a_{13}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} \\ 0 & \frac{a_{13}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} & \frac{a_{12}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} \end{matrix}] ‚ \end{array}$

二次型正交变换为Y=TX, 即

$\begin{array}{l} y_{1} = x_{1} ‚ y_{2} = \frac{a_{12}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} x_{2} - \frac{a_{13}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} x_{3} ‚ \\ y_{3} = \frac{a_{13}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} x_{2} + \frac{a_{12}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} x_{3} . \end{array}$

将上式代入到 (15) a $_{11}^{2}$ y $_{1}^{2}$ + (a $_{11}^{2}$ +a $_{13}^{2}$ ) y $_{2}^{2}$ + (a $_{11}^{2}$ +a $_{12}^{2}$ ) y $_{3}^{2}$ -2a12a13y2y3=a $_{11}^{2}$ r2ar2中, 整理得

$\frac{x_{1}^{2}}{r_{a}^{2} r^{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{r_{a}^{2} r^{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{a_{11}^{2} r^{2}} = 1 (a_{11} \neq 0)$ . (17)

(17) 表示一个长半轴为rar、短半轴为|a11|r的三维椭球面, 取 $\cos θ = \frac{a_{12}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}} ‚ \sin θ = \frac{a_{13}}{\sqrt{a_{12}^{2} + a_{13}^{2}}}$ , 不难发现正交变换y1=x1, y2=x2cosθ-x3sinθ, y3=x2sinθ+x3cosθ正是初等数学中的转轴公式.保持x轴不动, 将椭球面绕x轴旋转 $\arctan θ = \frac{a_{13}}{a_{12}}$ 后即得到 (17) .当a12, a13中有一个为0时, 不需正交变换, 方程即已是规范形, 故一般只需讨论a1n≠0, n∈N时情况即可.

在《复数的多元数》中, 曾用初等数学的方法证明了模律定理, 两个无穷元数a=a0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ anin, a0≠0, |a|=r1, x=x0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ xnin, |x|=r2≠0, n∈N, a为常量, x为变量, 其积p=ax的模r, 当且仅当两个无穷元数在同一个超数平面上时, 得到最大值rmax=r1r2;当且仅当x $_{0}^{2}$ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ a $_{n}^{2}$ =0且 $\sum_{n = 1}^{\propto}$ anxn=0时, 得到最小值rmin=|a0|r2.现在据引理1可得到更为精细的结论:一般地, 线性泛函y=ax (x∈A∝, |A|≠0) 将超球面|x|=r映射成一个超椭球面, 该超椭球面半轴有且只有r1r2和|a0|r2两个值, 存在一个正交变换, 一般位置的超椭球面方程可化成规范型.

定义4 在多项式y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x (n∈N) 中, |A|≠0, 自变量x取超球面|x|=r, y1=xn=rn (cosnθ+T∝sinnθ) =rn[cosnθ+sinnθ ( $\sum_{n = 1}^{\propto}$ incosφn) ], θ依次取 $[0 ‚ \frac{2 π}{n}] ‚ [\frac{2 π}{n} ‚ \frac{4 π}{n}] ‚ \dots ‚ [\frac{2 (n - 1) π}{n} ‚ \frac{2 n π}{n}]$ , 倾角T∝取任意值, y1被映射成一个n重的半径为rn的超球面, 其中每一个超球面又被y2=a0y1=a0xn映射成一个超椭球面, n重超球面被映射成n重超椭球面.y0=f0 (x) 可写成y0=g (x) +r (x) , 其中g (x) =a0xn称为主项, r (x) =a1xn-1++an-1x称为余项.自变量超球面r∝时, 泛函y2=a0xn的图形是半轴趋于无穷大的n重超椭球面, 不论g (x) , r (x) 的方向如何, 只要r (x) 的模远小于g (x) 的模, y0=g (x) +r (x) 的图形便主要由g (x) 确定.易知随r∝余项的绝对偏差增加, 但相对偏差逐渐减小趋于 $0 ‚ h (x) = \frac{| r (x) |}{| g (x) |} = \frac{| a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |}$ 称y0的偏形系数, k (x) =1+h (x) 称y0的相似系数, 如果r∝时, h (x) 0, k (x) 1, 就称y0=f0 (x) 与y2=g (x) =a0xn的图形无限相似, 记作:y0y2, 读作:y0无限相似于y2.自变量超球面趋于无穷大时, 映射得到的超椭球面亦趋于无穷大, 对于无穷大超椭球面比较与其相似的图形形状的相对偏差已无意义, 可认为r∝时, 两泛函图形最终趋于相同.无限相似符号“”比初等几何中的全等符号“≌”少一道横线, 要注意无限相似符号不同于矩阵理论中的合同符号“”, 全等符号“≌”也不同于线性空间理论里的同构符号“≅”.

二、代数基本定理在无穷维数空间之证明

证明在多项式y=f (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x+an中, x为变量, |A|≠0, x, a0, ak∈A∝, ak=ak0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ aknin, ak0, akn∈R, |ak|=rk, x=x0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ xnin, |x|=r, k, n∈N, 据向量理论、模律定理及重要引理:

$\begin{array}{l} r \propto 时 ‚ h (x) = \frac{| r (x) |}{| g (x) |} = \\ \frac{| a_{1} x^{n - 1} + a_{2} x^{n - 2} + \dots + a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |} \\ \frac{| a_{1} x^{n - 1} | + | a_{2} x^{n - 2} | + \dots + | a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |} \\ \frac{| a_{1} | r^{n - 1} + | a_{2} | r^{n - 2} + \dots + | a_{n - 1} | r}{| a_{00} | r^{n}} = \\ \frac{r_{1} r^{n - 1} + r_{2} r^{n - 2} + \dots + r_{n - 1} r}{| a_{00} | r^{n}} \end{array}$

$\frac{r_{1} r^{n - 1} + r_{2} r^{n - 1} + \dots + r_{n - 1} r^{n - 1}}{| a_{00} | r^{n}} =$ $\frac{\sum_{k = 1}^{n - 1} r_{k} r^{n - 1}}{| a_{00} | r^{n}} .$

设 $\frac{\sum_{k = 1}^{n - 1} r_{k}}{| a_{00} |}$ =k1, 原式化为 $h (x) \frac{k_{1}}{r}$ , 显然r∝时, $\frac{k_{1}}{r} 0 \Rightarrow h (x) 0$ , 有k (x) =1+h (x) 1, y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1xy2=a0xn.

r=0时, 自变量为0, y0=f0 (x) =0, 泛函将0点映射为0点, 0点是泛函的一个不动点, 给定x=x0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ xnin=r (cosθ+T∝sinθ) =r[cosθ+sinθ ( $\sum_{n = 1}^{\propto}$ incosφn) ], $\sum_{n = 1}^{\propto}$ cos2φn=1, 设y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x=X0+ $\sum_{n = 1}^{\propto}$ Xnin, Xi∈R, 则Xi的值由正弦函数、余弦函数及幂函数复合后确定, 因为这三种函数均为连续函数, 故随r∝, 自变量从0点连续变化为无穷大的超球面, y2=a0xn的图形从0点连续变化为n重的无穷大超椭球面, y0=f0 (x) 的图形也从0点连续变化, 最终与y2=a0xn的超椭球面无限相似, 下面给出具体的分析过程:

$\begin{array}{l} | y_{0} | = | f_{0} (x) | = \\ | a_{0} x^{n} | (\frac{| a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |}) \\ | a_{0} x^{n} | (\frac{| a_{0} x^{n} | + | a_{1} x^{n - 1} | + \dots + | a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |}) \\ r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r}) ‚ \\ | y_{0} | = | f_{0} (x) | = \\ | a_{0} x^{n} | (\frac{| a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |}) \geq \\ | a_{0} x^{n} | (\frac{| a_{0} x^{n} | - | a_{1} x^{n - 1} | - \dots - | a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |}) \geq \\ | a_{00} | r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) . \end{array}$

其中 $\frac{\sum_{k = 1}^{n - 1} r_{k}}{| a_{00} |}$ =k1, 故

$| a_{00} | r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) | y_{0} | = | f_{0} (x) | r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r})$ . (18)

据模律定理, |a00|rn|a0xn|r0rn, 泛函y2=a0xn的图形是一个n重的超椭球面, 给定x, 其泛函的模一般在最大模与最小模之间.据 (18) , 泛函y0=f0 (x) 的图形在两个超球面 $R_{1} = | a_{00} | r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) ‚ R_{2} = r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r})$ 所形成的球带之间, 自变量x确定了一个函数带, x给定, r为定值, 两个超球面所形成的球带唯一确定.r∝, 必远大于k1, 泛函y2=a0xn的图形n重的超椭球面趋于无穷大.

$\begin{array}{l} R_{1} = | a_{00} | r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) = | a_{00} | r^{n - 1} (r - k_{1}) \propto ‚ \\ R_{2} = r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r}) = r_{0} r^{n - 1} (r + k_{1}) \propto . (19) \end{array}$

球带的上下界均趋于无穷大, 球带的绝对宽度亦趋于无穷大, 但球带的相对宽度 $Δ R = \frac{k_{1}}{r}$ 无限减小并趋于0, 偏形系数 $h (x) \frac{k_{1}}{r}$ 精确描述了两泛函图形的偏差程度, 随 $r \propto ‚ h (x) \frac{k_{1}}{r} 0$ , 相似系数k (x) =1+h (x) 1, 泛函y0=f0 (x) 的图形与y2=a0xn的图形n重的超椭球面无限相似.

显然, 不论点-an位于何处, 球带必经过-an而趋于无穷, 即y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x的图形随r∝至少要经过-an点一次, 故方程a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0至少有一解, 代数基本定理得证.

代数基本定理在无穷维数空间得到证明后, 只需令n=3, 2, 即可得到定理在三维数空间和复平面上的证明, 本质上并无区别, 只是复平面是倾角为0的数平面, 自变量取|x|=r得到的是一个圆而不是在三维及更高维数空间的一个球面或超球面.由于代数基本定理在复域内证明的经典重要性, 下面简单给出具体的证明过程.

在复域内:多项式y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x (n∈N) 中, |A|≠0⇔a0≠0, 自变量x变为取圆|x|=r, y1=xn=[r (cosθ+isinθ) ]n=rn (cosnθ+isinnθ) , θ依次取 $[0 ‚ \frac{2 π}{n}] ‚ [\frac{2 π}{n} ‚ \frac{4 π}{n}] ‚ \dots ‚ [\frac{2 (n - 1) π}{n} ‚ \frac{2 n π}{n}] ‚ y_{1}$ 被映射成一个n重的半径为rn的圆, 设a0=a+bi=r0 (cosθ0+isinθ0) , 其中每一个圆又被y2=a0y1=a0xn=r0rn[cos (nθ+θ0) +isin (nθ+θ0) ]映射成半径为r0rn的圆, 圆旋转θ0形状不变, 正交变换是仿射变换的特例.y0=f0 (x) 可写成y0=g (x) +r (x) , 其中g (x) =a0xn称为主项, r (x) =a1xn-1++an-1x称为余项.自变量圆r∝, 函数y2=a0xn的圆是半径趋于无穷大的n重的圆, 不论g (x) , r (x) 的方向如何, 只要r (x) 的模远小于g (x) 的模, y0=g (x) +r (x) 的图形便主要由g (x) 确定.

r∝时,

$| a_{0} x^{n} | (\frac{| a_{0} x^{n} | + | a_{1} x^{n - 1} | + | a_{2} x^{n - 1} | + \dots + | a_{n - 1} x^{n - 1} |}{| a_{0} x^{n} |}) =$

$\begin{array}{l} r_{0} r^{n} (1 + \frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} r_{i}}{r_{0} r}) = r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r}) ‚ \\ | y_{0} | = | f_{0} (x) | = \\ | a_{0} x^{n} | (\frac{| a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |}) \geq \\ | a_{0} x^{n} | (\frac{| a_{0} x^{n} | - | a_{1} x^{n - 1} | - \dots - | a_{n - 1} x |}{| a_{0} x^{n} |}) \geq \end{array}$

$| a_{0} x^{n} | (\frac{| a_{0} x^{n} | - | a_{1} x^{n - 1} | - | a_{2} x^{n - 1} | - \dots - | a_{n - 1} x^{n - 1} |}{| a_{0} x^{n} |}) =$

$r_{0} r^{n} (1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} r_{i}}{r_{0} r}) = r_{0} r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) .$

其中 $\frac{\sum_{k = 1}^{n - 1} r_{k}}{r_{0}}$ =k1, 故

$r_{0} r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) | y_{0} | = | f_{0} (x) | r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r})$ . (20)

复域内, |a0xn|=r0rn, 函数y2=a0xn的图形是一个n重的圆, 据 (20) , 函数y0=f0 (x) 的图形在两个圆 $R_{1} = r_{0} r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) ‚ R_{2} = r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r})$ 所形成的圆带之间, 自变量x确定了一个函数带, x给定, r为定值, 两个圆所形成的圆带唯一确定.r∝, 必远大于k1, 函数y2=a0xn的图形n重的圆趋于无穷大.

$\begin{array}{l} R_{1} = r_{0} r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) = r_{0} r^{n - 1} (r - k_{1}) \propto ‚ \\ R_{2} = r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r}) = r_{0} r^{n - 1} (r + k_{1}) \propto . (21) \end{array}$

圆带的上下界均趋于无穷大, 圆带的绝对宽度亦趋于无穷大, 但圆带的相对宽度 $Δ R = \frac{k_{1}}{r}$ 无限减小并趋于0, 偏形系数 $h (x) \frac{k_{1}}{r}$ 精确描述了两函数图形的偏差程度, 随 $r \propto ‚ h (x) \frac{k_{1}}{r} 0$ , 相似系数k (x) =1+h (x) 1, 函数y0=f0 (x) 的图形与y2=a0xn的图形n重的圆无限相似.使用计算机很容易实现函数图形无限相似的过程, 取r∝, 用MATLAB软件作图, 计算机上得到越来越趋于重合的两个n重的大圆, 很快肉眼即识别不出两个n重大圆的实际差别.

显然, 不论点-an位于何处, 圆带必经过-an而趋于无穷, 即函数y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x的图形随r∝至少要经过-an点一次, 故方程a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0至少有一解, 代数基本定理得证.

证明代数基本定理只需确定随自变量r∝, 函数图形从0点连续变形为与无穷大n重的大圆相似的图形必经过复平面内任一点至少一次即可.在高维数空间更一般的说法是:随自变量r∝, 泛函图形从0点连续变形为与无穷大n重的椭球面或超椭球面相似的图形必经过数空间内任一点至少一次.

为得到更为精细的结论, 现在再来研究一下函数在0点附近的情形, 显然, r0, 必远小于1.

在复域内, 对于多项式y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x (n∈N) , |A|≠0⇔a0≠0, 假设an-1≠0.

$\begin{array}{l} r 0 时 ‚ | y_{0} | = | f_{0} (x) | = | a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x | | a_{0} x^{n} | + | a_{1} x^{n - 1} | + \dots + | a_{n - 1} x | | a_{0} | | x^{2} | + | a_{1} | | x^{2} | + \dots + | a_{n - 2} | | x^{2} | + | a_{n - 1} | | x | = r_{n - 1} r (1 + \frac{\sum_{k = 0}^{n - 2} r_{k}}{r_{n - 1}} r) = r_{n - 1} r (1 + k_{2} r) ‚ \\ | y_{0} | = | f_{0} (x) | = | a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x | \geq | a_{n - 1} x | - | a_{n - 2} x^{2} | - \dots - | a_{1} x^{n - 1} | - | a_{0} x^{n} | \geq | a_{n - 1} | | x | - | a_{n - 2} | | x^{2} | - \dots - | a_{1} | | x^{2} | - | a_{0} | | x^{2} | = r_{n - 1} r (1 - \frac{\sum_{k = 0}^{n - 2} r_{k}}{r_{n - 1}} r) = r_{n - 1} r (1 - k_{2} r) . \end{array}$

其中 $\frac{\sum_{k = 0}^{n - 2} r_{k}}{r_{n - 1}} r$ =k2, 故

rn-1r (1-k2r) |y0|=|f0 (x) |rn-1r (1+k2r) . (22)

在复域内, |an-1x|=rn-1r, 自变量取一个圆|x|=r, 函数y2=an-1x的图形也是一个圆, 设函数y0=f0 (x) =g (x) +r (x) , 其中y2=g (x) =an-1x称为函数的主项, r (x) 称为函数的余项, 只要r (x) 的模远小于g (x) 的模, 函数的图形便主要由g (x) 确定, 在0点附近, g (x) 的模远大于r (x) 的模, $h (x) = \frac{| r (x) |}{| g (x) |} = \frac{| a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 2} x^{2} |}{| a_{n - 1} x |}$ 称为y0的偏形系数, k (x) =1+h (x) 称y0的相似系数, 如果r0时, h (x) 0, k (x) 1, 就称y0=f0 (x) 与y2=g (x) =an-1x的图形无限相似, 记作:y0y2.自变量圆趋于0时, 映射得到的圆亦趋于0, 对于无穷小的圆比较与其无限相似的圆的相对偏差已无意义, 可认为r0时, 两函数图形最终趋于相同.

函数y0=f0 (x) 的图形在两个圆R1=rn-1r (1-k2r) , R2=rn-1r (1+k2r) 所形成的圆带之间, 自变量x确定了一个函数带.r0, 函数y2=an-1x的图形趋于无穷小的圆.圆带的上下界均趋于0, 圆带的绝对宽度亦趋于0, 圆带的相对宽度ΔR=k2r无限减小也趋于0, 偏形系数h (x) k2r精确描述了两函数图形的偏差程度, 随r0, h (x) k2r0, 相似系数k (x) =1+h (x) 1, 函数y0=f0 (x) 的图形与y2=an-1x的图形一个单圆无限相似.使用计算机很容易实现函数图形无限相似的过程, 取r0, 用MATLAB软件作图, 计算机上得到越来越趋于重合的两个小圆, 很快肉眼即识别不出两个小圆的实际差别.

综合以上可知, 函数y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x (n∈N) , |A|≠0⇔a0≠0, 假设an-1≠0, 自变量r从0趋于无穷大, 函数的图形在0点附近无限相似于一个无穷小的圆, 这个圆将0点围在其中;r∝时, 函数的图形无限相似于一个n重的大圆, 随r变化自变量取到整个复平面, 函数值也取到整个复平面, y0=f0 (x) 至少有一次经过-an点, 故方程a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0至少有一解.在高维数空间更一般的说法是:自变量r从0趋于无穷大, 泛函的图形在0点附近无限相似于一个无穷小的椭球面或超椭球面, 这个椭球面或超椭球面将0点围在其中, r∝时, 泛函的图形无限相似于一个n重的椭球面或超椭球面, 随r变化自变量取到整个数空间, 泛函值亦取到整个数空间, y0=f0 (x) 至少有一次经过-a0点, 故方程a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0至少有一解.0点是泛函的一个不动点, r=0, y0=f0 (x) =0.如果an-1=0, an-2≠0, 则在0点附近, 函数图形会无限相似于一个无穷小的2重的圆 (在高维数空间是2重的椭球面或超椭球面) , 以此类推, 本文不再一一讨论.更一般的, 可给出以下命题:

命题1 方程a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0 (|A|≠0) 至少有一解的条件等价于:泛函y0=f0 (x) =a0xn+a1xn-1++an-1x (n∈N) 的自变量与因变量有相同的取值范围.

在复平面上证明代数基本定理, 采用的方法是:自变量取一系列半径从0趋于无穷大的圆充满整个复平面, 然后研究因变量的图形是否也是从0开始充满整个复平面;在更高维的数空间采用的方法是自变量取一系列半径从0趋于无穷大的球面或超球面充满整个数空间, 然后研究因变量的图形是否也是从0开始充满整个数空间, 这种带有度量性质的研究方法一般称为空间度量法.

用空间度量法来研究a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0 (a0≠0) 在实域内的情形依然有效, 函数图形的无限相似原理也依然成立, 此时y=f0 (x) 的图形就是平面直角坐标系中的平面曲线.不过自变量从原点开始沿直线取值只能有两个方向, r∝被分成r+∝和r-∝, 先取半根数轴[0, +∝) , 再取另半根数轴[0, -∝) , 自变量以一个点的形式充满整个数轴, 然后研究函数的因变量是否也能充满整根的数轴, r0时, rn-1r (1-k2r) |y0|=|f0 (x) |rn-1r (1+k2r) , 其中 $\frac{\sum_{k = 0}^{n - 2} r_{k}}{r_{n - 1}}$ =k2, an-1≠0, y0=f0 (x) y2=an-1x;r±∝时, $r_{0} r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) | y_{0} | = | f_{0} (x) | r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r})$ , 其中 $\frac{\sum_{k = 0}^{n - 1} r_{k}}{r_{0}}$ =k1, a0≠0, y0=f0 (x) y2=a0xn.从函数图形可以直观看出, 函数带将y0=f0 (x) 夹在中间.在0点附近, 函数y0=f0 (x) 的图形在端点|y1|=rn-1r (1-k2r) , |y2|=rn-1r (1+k2r) 所形成的线段之间.自变量x确定了一个函数带, r0, 函数y2=an-1x趋于0, 线段的上下端点均趋于0, 线段的绝对长度趋于0, 线段的相对长度Δy=k2r无限减小也趋于0, 偏形系数h (x) k2r精确描述了两函数图形的偏差程度, r0, h (x) k2r0, y0=f0 (x) y2=an-1x;r∝, 函数y0=f0 (x) 的图形在两个端点 $| y_{1} | = r_{0} r^{n} (1 - \frac{k_{1}}{r}) ‚ | y_{2} | = r_{0} r^{n} (1 + \frac{k_{1}}{r})$ 所形成的线段之间, 自变量x确定了一个函数带, r±∝, 函数y2=a0xn的图形也趋于无穷, 线段的上下端点均趋于无穷, 线段的绝对长度趋于无穷, 线段的相对长度 $Δ y = \frac{k_{1}}{r}$ 无限减小趋于0, 偏形系数 $h (x) \frac{k_{1}}{r}$ 精确描述了两函数图形的偏差程度.随 $r \pm \propto ‚ h (x) \frac{k_{1}}{r} 0 ‚ y_{0} = f_{0} (x) ⋍ y_{2} = a_{0} x^{n}$ , 不难得出以下结论:

1.对于最高次是奇数次的一元n次方程, 代数基本定理成立;

2.对于最高次是偶数次的一元n次方程, 由于自变量取整根的数轴, 因变量只是数轴的一部分, 故当且仅当点-an在函数值域内时, 代数基本定理成立, 否则无解.

对于偶数次方程, r±∝, y0=f0 (x) y2=a0xn+∝ (a0>0) , 据函数的连续性, 在 (-∝, +∝) 上, y0=f0 (x) 没有一点可以是-∝, 故函数图形必有最低点.利用分析学知识, 首先求出函数的最小值, 然后就可以根据-an是否在函数值域内判定出方程是否有解.

综上所述, 便可得出代数基本定理在一维数轴、n维数空间乃至无穷维数空间里各种情形的所有结论, 空间度量法与无限相似原理等数学方法的运用也获得了最大的自然与完整.

四、代数基本定理的简单应用与综合评论

一元n次方程a0xn+a1xn-1++an-1x+an=0至少有一根等价于一类非线性代数方程组必然有实数解, 所以代数基本定理的证明首先是解决了该类方程组实数解的存在性.下面研究一个有趣的三元二次方程组:

${\begin{cases} a_{0} (x^{2} - y^{2} - z^{2}) - 2 a_{1} x y - 2 a_{2} x z + b_{0} x - b_{1} y - b_{2} z + c_{0} = 0 ‚ \\ a_{1} (x^{2} - y^{2} - z^{2}) + 2 a_{0} x y + b_{1} x + b_{0} y + c_{1} = 0 ‚ \\ a_{2} (x^{2} - y^{2} - z^{2}) + 2 a_{0} x z + b_{2} x + b_{0} z + c_{2} = 0 . \end{cases}$ $\begin{array}{l} (1) \\ (2) \\ (3) \end{array}$

其中a0≠0, 所有字母均表示实数.一般地, 方程组的解表示三个双曲面的交集, 需要首先确定方程组解的存在性, 然后求出各种解的分类.一般的处理方法是先利用结式理论消元, 再根据数学机械化理论中一元n次方程的判别系统, 采用数学软件来判断解的存在性, 最后求解.

如果方程组解的个数有限, 据Bezout定理方程组至多有222=8八组解存在, 数学机械化权威杨路教授指出, 利用北京大学夏壁灿教授计算机自动推理的方法应该可以得出结论, 但程序显然将极为繁琐.数学所姚勇研究员曾用作数学实验的方法给出了方程组有解的几个例证.

现在利用新理论, 构造一元二次方程:

(a0+a1i+a2j) X2+ (b0+b1i+b2j) X+c0+c1i+c2j=0. (23)

其中X=x+yi+zj, 所有小写字母均表示实数, a0≠0, 据定义将各项乘出, 就得到上述三元二次方程组, 由于代数基本定理成立, 故方程组实数解的存在性就成为显然.这个方程组实际已将一元二次方程在复域内的情形作为特例包含在内, 求出解的各种分类不仅重要而且饶有趣味, 华东理工大学陆元鸿教授利用计算机作出了自变量取任意一个球面X=r[cosθ+ (icosφ+jsinφ) sinθ], r为定值时, 函数y= (a0+a1i+a2j) X2+ (b0+b1i+b2j) X的有趣的空间图形, 但限于篇幅, 本文不予给出更多的讨论.

研究数学史得知:复数被数学界接受远非一蹴而就, Gauss以后, 复数才逐渐获得了合法地位, 这主要是因为Gauss利用复数证明了代数基本定理, Gauss的巨大影响力最终战胜了一切非议.复数的术语正是源于Gauss, 为了纪念Gauss, 复平面有时被称为“Gauss平面”, 复数z=a+bi, 当a, b为整数时被称为Gauss复数.1849年, 在纪念Gauss获得博士学位50周年的庆典上, 人们在祝辞中纷纷向他致意:正是您使得不可能成为了可能!大家高度评价Gauss 1799年证明了复域内的代数基本定理, 却大都忽略了Gauss在撰写博士论文时其实还有着更深刻的想法.Gauss确信:复数可以有无穷多个等级, 即复数不可能是最终的完备的数系.他把那些比复数还要复数的数称为:“vera umbrae umbra”, 可译作“虚之又虚的数”.1819年Gauss撰写了三元数论文, 尝试建立能够描述空间三个方向位移的新数系.同时Gauss指出:保持复数基本性质的数系扩张是不可能的.天才的Gauss并未在复平面前止步不前, 相反多年中他对空间数系进行了认真的研究, 且已取得了初步成果.在“宁可少些, 但要成熟”思想的影响下, Gauss没有公开发表他的见解, 这对Gauss个人而言或许无可厚非, 但如此后人要了解他完整的数学思想就成为难题.

Gauss就是Gauss, 百年以后, 人们仍需仰望这位数学巨人!Gauss确信:复数会有无穷多个等级, 无穷元数就真的发现了;Gauss宣称:一元n次方程至少有一解, 即使在无穷维数空间Gauss也依然正确;Gauss断言:不存在保持复数基本性质的数系扩张.1898年, Hurwitz证明:复数 (含实数) 、实四元数和Clifford拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数.如要求满足域结构, 符合条件的确只有复数, 距1799年Gauss证明代数基本定理恰好百年.

Gauss肯定明白:当域结构不满足时, 就应该去寻找更为一般的代数结构.新理论表明:数空间由无数个数平面分层组成, 每一层数平面上的数都构成数域, 实轴是所有数平面的公共轴.整体来看, 他们形成比数域更为一般的一种分层的代数结构, 可称为“层域”.

从现代数学的观点来看:数可以表示一个标量, 也可以表示一个向量, 还可以一部分表示标量, 一部分表示向量, 数具有标量与向量的二象性, 无穷维数空间也可看作赋范的实线性欧氏度量空间.

下面给出无穷元数内积的定义, 此时向量的范数就是数的模长, $∥ x ∥ = | r | = \sqrt{(x ‚ x)} = | x | .$

定义1 对于A∝中任意两个无穷元数x=x0+ $\sum_{k = 1}^{\propto}$ xkik, y=y0+ $\sum_{k = 1}^{\propto}$ ykik, x0, y0, xk, yk∈R, k∈N, 定义x, y的内积为 (x, y) =x0y0+ $\sum_{k = 1}^{\propto}$ xkyk.

有了内积的概念, 无穷维数空间就成为实内积空间, 利用内积可以研究向量的夹角、正交和投影等, 然后可以建立起无穷维欧氏空间几何学.一个无穷元数就是无穷维数空间中的一个点, 一一对应于一个平方可和的实数序列, 由于无穷元数模的平方r2= $\sum_{k = 0}^{\propto}$ x $_{k}^{2}$ <∝, 数空间中每个基本点列都收敛, 从而数空间成为完备的度量空间.完备赋范线性空间又称Banach空间.建立内积概念后, 完备的内积空间称为Hilbert空间, 无穷维数空间又成为Hilbert空间.

数学上常常用有向线段来表示向量, 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.在三维数空间中, 以数p1为起点、p2为终点的有向线段所表示的向量一般记作 $\overset{}{p_{1} p_{2}}$ , 向量也可以用一个粗体字母或用一个上面带箭头的字母来表示.在三元数的代数形式中, 可以把数的单位元写成粗体或加上箭头来表示向量, 这样当数表示向量时, 数的内积或数量积可记作:

xy= (x01+x1i+x2j) (y01+y1i+y2j) = (x, y) =x0y0+ $\sum_{k = 1}^{\propto}$ xkyk. (24)

在三维数空间, 由于物理学上的需要, 还可以引入三元数的外积或向量积.

定义2 对于A3中任意两个三元数x=x0+x1i+x2j, y=y0+y1i+y2j, x0, y0, xk, yk∈R, k∈N, 定义x, y的外积为

p= (x*y) = (x1y2-x2y1) + (x2y0-x0y2) i+ (x0y1-x1y0) j. (25)

利用三阶行列式, 外积又可写成:

$(x * y) = | \begin{matrix} 1 & i & j \\ x_{0} & x_{1} & x_{2} \\ y_{0} & y_{1} & y_{2} \end{matrix} |$ . (26)

当三元数表示向量时, 外积或向量积的公式可改写为:

xy= (x01+x1i+x2j) (y01+y1i+y2j) = (x1y2-x2y1) 1+ (x2y0-x0y2) i+ (x0y1-x1y0) j. (27)

外积当然也可写成单位元为黑体的三阶行列式的形式, 设θ表示向量x与y之间的夹角, 据数空间中两点间距离公式和余弦定理知:

(x, y) =x0y0+x1y1+x2y2=|x||y|cosθ. (28)

在三维数空间, 外积p= (x*y) 的模

$| p | = \sqrt{(x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})^{2} + (x_{2} y_{0} - x_{0} y_{0})^{2} + (x_{0} y_{1} - x_{1} y_{0})^{2}} = | x | \cdot | y | {1 - [\frac{(x ‚ y)}{| x | \cdot | y |}]^{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= | x | \cdot | y | (1 - \cos^{2} θ)^{\frac{1}{2}} = | x | \cdot | y | \sin θ$ . (29)

这当然恰好就是向量p=xy的范数.根据需要, 数可以表示标量, 也可以表示向量, 还可以一部分表示标量, 一部分表示向量.从数学的观点来看, 物理学上向量的数量积和向量积不过是数的内积与外积的不同写法, 单位元1, i, j本身其实并没有真正参加运算, 所谓数量积与向量积可看作是为了实用引入了数x与y的两种函数.通过引入新的函数, 数的理论可以无限延伸, 数的内涵也可无限丰富.1843年Hamilton在爱尔兰皇家科学院宣读了他的四元数的发明, 他提出的四元数p=a+bi+cj+dk, a是一个标量, 其余部分表示向量, 并给出了单位元间有点复杂的运算法则.从新的理论来看:把四元数写成这样只不过是取其a表示标量、bi+cj+dk表示向量后的另一种记法.两个四元数相乘, 只有数与数相乘、数与向量数乘、两个向量取向量积等三种情形.作为数, i, j, k之间只有一种统一的运算法则;作为单位元, 对其实数系数引入不同的函数就定义出了新的运算.令a=0, 即得到形式上完全相同的经典向量理论.Hamilton的定义相当于对向量取向量积, 两者完全等价, 本质上并无任何不同.从形式上来看, 物理上行之有效的原向量理论全部保留, 运算过程也一切如旧;但从本质上来看, 向量理论就成为数理论中不可或缺的一部分.

对数学的研究愈是深入, 便愈是能发现数学在整体上的统一性和简单性.数具有标量与向量的二象性、数空间由数平面旋转而成、椭球面可以无限相似等数学思想极其简单, 从简单的想法出发, 最终却导出了极深刻的数学结论.一方面与Gauss一样, 本文并没有去研究如何具体解出方程的根, 而是根据泛函图形从0点连续变形为与无穷大超椭球面相似的图形必然会遍历整个数空间的性质, 严格论证了方程根的存在;另一方面与Gauss又有所不同, 本文在0点附近和无穷远处利用简单的只含两项的多项式函数具体构造出了泛函的函数带, 这种方法又并非全然是一个存在性的证明.在0点附近泛函的函数带当0r<1时也成立, 在无穷远处泛函的函数带当r>1时均正确, 函数带是自变量x模r的分段函数.当r=1时函数带一般不连续, 应用时可以首先检查r=1时方程是否有解, 然后根据-an的模rn, 分析函数带的上下界等于rn时自变量x的模r的值, 这样即可确定出在数空间的哪些球带区域内方程才可能有解.构造函数带的方法不仅可以证明方程有解, 而且可以确定出在哪些区域内方程有解, 再利用逼近的方法即可逐步求出方程的根.

实际上, 不论如何高深的数学理论, 都必源自基础数学, 本文只用了初等函数y=kx与 $y = \frac{k}{x}$ 就已足够精确地描述出了函数图形的无限相似过程;同时, 许多初等数学中的问题, 只有从高等数学的观点来看, 才能获得最终的解决与最简的理解.高等数学与基础数学互相融合、密不可分.数学大树由代数、几何、分析等共同组成, 基础数学是所有主干共同的根.主干愈是向高空发展, 根就愈是需要向地下延伸.在数学王国中, 没有一个点可有可无, 没有一个数无足轻重, 点与数, 数与形, 和谐统一, 浑然天成.

德国大数学家F.Klein早就指出:从事基础数学教育的老师其实更需要具有广博的视野与高端的视角.师范院校和中学教师不仅是学生走向数学之路的启蒙者和引路人, 其中的一小部分学者型教师肯定还需要自身具有一流的从事科研的本领.在数学研究中, 无论如何强调基础数学的重要性都毫不过分.

中国海洋大学常晋德老师提供了研究超复数的重要资料, 全国初数会副理事长、华南师大吴康教授在论文的写作中曾给予了热情的鼓励与支持, 在此谨致谢意!

摘要：本文从数与向量的一一对应关系和初等函数的连续性出发, 利用函数图形的无限相似原理, 在高维数空间证明了代数基本定理.

关键词：多项式,代数方程,根,线性变换,无限相似

参考文献

[1]白烁星, 韩江燕.复数的多元数[J].中学数学杂志高中版 (优秀论文专刊) , 2010 (6) , 60-66.

[2][美]罗特曼.高等近世代数[M].章亮译.北京:机械工业出版社, 2007.

[3]夏道行, 吴卓人, 等.实变函数论与泛函分析[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[4]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 1995.

[5][德]菲利克斯.克莱因.高观点下的初等数学[M].舒湘芹, 等译.上海:复旦大学出版社, 2008.

[6][美]保罗.J.纳欣.虚数的故事[M].朱惠霖译.上海:上海教育出版社, 2008.

[7][美]莫里斯.克莱因.古今数学思想[M].江泽涵, 石生明, 等译.上海:上海科学技术出版社, 2002.

勾股定理的逆定理应用探究第9篇

一、利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状

例1:已知在三角形中, a、b、c分别是它的三边, 并且a+b=10, ab=18, c=8, 判断三角形的形状。

分析:由于题目中涉及两边之和与两边的积, 所以先结合完全平方公式得出a2+b2的值, 再检验a2+b2与c2的大小, 就可以得出相应的结论。

所以, 凡是给出三角形的三边或者边之间的关系判断三角形的形状, 都应考虑应用勾股定理的逆定理来进行判断。

变式训练:如图l所示, 已知:在△ABC中, AB=13, BC=l0, BC边上的中线AD=12。求证:△ABC是等腰三角形。

二、利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合计算图形的面积

例2:如图2所示, 已知在四边形ABCD中, ∠ABC=90°, AB=3, BC=4, AD=12, CD=13。求四边形ABCD的面积。

分析:由于这是不规则的四边形, 所以不能直接计算面积, 可根据题目所给数据特征, 联想勾股数, 先连接AC, 转化成两个三角形的面积之差, 并判断两个三角形的形状, 就可以实现四边形向三角形转化, 得出相应的结论。所以, 计算不规则的四边形的面积, 一般要通过构造直角三角形再利用三角形的面积的和或差进行计算。

变式训练:如图3所示, 已知四边形ABCD中, ∠B=90°, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13, 求四边形ABCD的面积。

以上我们讨论了利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状以及利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合的方式计算图形的面积的问题, 利用这种方法应该说是一种比较简捷、有效的方法。我们在引导学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题时, 一定要让学生进行变式训练, 并进行一题多解、一题多练, 从而达到举一反三、触类旁通的目的。同时, 我们还要注意发挥学生的主体作用, 让学生主动地去发现问题、探究问题进而解决问题, 从而培养学生的思维能力和创新能力。《课标》指出:“教师要处理好讲授与学生自主学习的关系, 引导学生独立思考、主动探索、合作交流, 使学生理解和掌握基本的数学知识与技能, 体会和运用数学思想与方法, 获得基本的数学活动经验。”让学生掌握基本的数学知识和基本的数学技能不是最根本的目的, 最根本的目的是通过数学学习, 训练学生的思维能力, 提高他们的创新性和创造性。

在学习和应用勾股定理的逆定理过程中, 我们可以结合“综合与实践”课给学生灌输“生活数学”的思想。《课标》指出:“综合与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题, 培养学生的问题意识、应用意识和创新意识, 积累学生的活动经验, 提高学生解决现实问题的能力。”我们要遵循《课标》的要求和教学理念, 灵活地应用勾股定理的逆定理, 把勾股定理的逆定理的应用同实际生活紧密地联系在一起。我们要让学生明白:数学知识来源于生活, 但又要应用于生活。没有生活就没有数学知识, 数学知识如果不应用于生活, 也就失去了数学知识的价值。

勾股定理及其逆定理的应用第10篇

关键词：勾股定理,逆定理,应用

勾股定理,又称毕达哥拉斯定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,在许多数学分支、建筑以及测量等方面,有着广泛的应用,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.这一著名的定理,是每年中考命题的必选内容,命题形式变化多端.现举几例,供大家赏析.

例1如图,已知AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,BC=12,求四边形ABCD的面积.

点评本题考查了勾股定理及逆定理的运用,求证△ABC是直角三角形是解题的关键.

例2如图所示,圆柱的高等于16 cm,底面半径等于4 cm.在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A相对的C点的食物,需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少(π取整数3)?

解将圆柱体展开,连接A,C,△ABC是直角三角形,根据两点之间线段最短,AC为所求最短路程.根据题意可得:

点评本题是一道趣味题,将圆柱体展开,得到一个矩形,运用勾股定理解答即可.

例3如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知CE=3 cm,AB=8 cm,则图中阴影部分面积为多少?

解∵CE=3,AB=8,∴EF=DE=5,从而CF=4,设BF=x,则AF=AD=BC=x+4,在直角三角形ABF中,由勾股定理,得82+x2=(x+4)2,解得x=6,故阴影部分的面积

点评在折叠前后,折痕两边能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应线段相等、对应角相等.找到直角三角形利用勾股定理建立一元一次方程解决.

例4如右图是“水浒影视城”的圆弧形门,张帆同学到影视城游玩,很想知道这扇门的相关数据.于是她从景点管理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=20 cm,BC=200 cm,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮助张帆同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少.

答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度为520 cm.

点评本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形,进而运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.

例5 如图所示,在一次夏令营活动中,小亮从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点.

(1)求A,C两点之间的距离.

(2)确定目的地C在营地A的什么方向.

解(1)过B点作BE∥AD,如图,∴∠DAB=∠ABE=60°,∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°,即△ABC为直角三角形.

由勾股定理可得:AC2=BC2+AB2,

(2)在Rt△ABC中,∵BC=500 m,AC=1000 m.

∴∠CAB=30°,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=30°,即点C在点A的北偏东30°的方向.

点评本题是一道利用方位角的实际题目,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形,利用勾股定理是解决问题的关键.本题还涉及平行线的性质的知识及直角三角形中30°的判定.

勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形中的三边之间的数量关系,是从“形”到“数”的飞跃,是几何计算、证明的重要工具.中考中单纯考查勾股定理的题目不多,它是解决含有直角三角形或能构造直角三角形的题目的主要方法,所以同学们一定要牢固掌握并熟练运用.

参考文献

[1]吴敏.位置与数量关系:几何入门教学的用力点——以七年级“相交线”教学设计为例[J].中学数学,2015(18).

[2]赵尔书,陈昌.浅议数量关系在数学问题解决中的地位、作用及教学[J].教育革新,2015(12).

[3]田载今.整式、分式可以表达同一数量关系[J].中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),2015(12).

[4]朱亚邦.说说余角和补角[J].中学生数理化(七年级数学)(配合人教社教材),2015(11).

微积分基本定理教学新探第11篇

关键词：微积分基本定理数学史发现式教学法

定积分作为一种和式的极限按照极限计算的方法求值是十分困难的.即使对于最简单的函数，按照定积分定义计算和式极限也是困难和复杂的，因此必须找到计算定积分和式极限的一般方法.在17世纪后期，两位天才的数学家牛顿和莱布尼兹分别找到了计算方法——微积分基本定理.正是由于微积分基本定理的发现，才诞生了对近代社会产生巨大影响的微积分.

教学中可通过两个特殊的例子，引导学生猜想.

一、观察

1669年，牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子.其中，牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且证明了面积可以由变化率的逆过程得到.因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的，所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到，这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理.在1675年11月的一篇手稿中，莱布尼兹已深刻认识到？蘩与d的互逆关系，在笔记中断言：作为求和过程的积分是微分的逆.实际上已初步给出了微积分基本定理，在1686年莱布尼兹在《博学学报》上发表了微积分历史上第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，论述了积分与微分的互逆关系.

五、微积分基本定理的表述

微积分的基本定理是牛顿、莱布尼兹发现的，但都没有给出严格的证明.事实上在当时的历史条件下，也不可能给出严格的证明.关于微积分基本定理的严格证明及表述直到一百多年后，才由柯西（Augustin Lonis Cauchy ， 1789—1857）完成.数学知识的形成与发展是一种渐进累积但不是线性发展的过程.

六、微积分基本定理的应用

牛顿-莱布尼茨公式给出了计算定积分无穷和的一般方法，对某些无穷和的极限也可考虑将其转换为积分和，再利用牛顿-莱布尼茨公式计算.由于定积分计算转化为了不定积分运算，不定积分的运算法则也可转换为相应的定积分运算法则.但在应用微积分基本定理时要特别注意适用条件——被积函数在积分区间上连续.

七、结语

高等数学的教学改革无论是在理论层面还是在实践层面都有许多问题没有解决.本文对微积分基本定理的教学做了一些教学探索，希望对广大教师有所启迪.

参考文献：