二次函数练习答案-盘古文库

二次函数练习答案

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来源：火烈鸟

作者：开心麻花

2025-09-18

二次函数练习答案（精选8篇）

二次函数练习答案第1篇

练习

【动动手、动动脑，让我们课堂更精彩！】

1.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点，与y轴交于D点.直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

(1)填空：A点坐标为（，）;B点坐标为（，）;D点坐标为（，）、对称轴为；直线AC的函数表达式为.(2)P是线段AC上的一个动点，其横坐标为m，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点.①线段PE长为（用含m的代数式表示）；

②是否存在实数m，使△ACE的面积最大？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.(3)若动点P在直线AC上运动，以PE为直径的圆与y轴相切时，求点P的坐标.y

l l xAOxB AOBP

D CDCE E

备用图

【问1】：在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使QA+QD最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【拓展问1】：抛物线的对称轴上是否存在一点M，使|MA-MD|最大？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.【问2】：点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．．．【问3】：在本题的背景下，你还能提出什么问题来解答？

二次函数练习答案第2篇

1、当x=1时，二次函数y=3x2-x+c的值是4，则C=_________

2、二次函数y=x2+c经过点（2，0），则当x=-2时，y=____________

3、抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线____________，它必定经过_____________和_____________

4、一个正方形的面积为16cm2，当把边长增加x cm时，正方形面积为y cm2，则y关于x的函数为____________。

5、如果抛物线y=1

2x2-mx+5m2与x轴有交点，则m___________

B、2 C、3 D、4

6、下列变量之间是二次函数关系的有（）个．A、17、函数y=2x2-x+3经过的象限是（）

A、一、二、三象限B、一、二象限C、三、四象限D、一、二、四象限

8、函数y=-x2+4x+1图象顶点坐标是（）

A、（2，3）B、（-2，3）C、（2，1）D、（2，5）

9、已知二次函数y=(k2-1)x2+2kx-4与x轴的一个交点A(-2,0)，则k值为（）

A、2 B、-1 C、2或-1 D、任何实数)

10、已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过（Ａ、一二三象限 B、一二四象限 C、一三四象限 D、一三四象限

11、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0，△ <0，画出函数的大致图象。

12、已知y=x2+(m2+4)x-2m2-12，求证，不论m取何实数图象总与x轴有两个交点。

13、甲乙两船航行于海上，甲船的位置在乙船北方125km，以15km/h的速度向东行驶，乙船以20km/h的速度向北行驶，则多久两船相距最近？最近距离多少？

二次函数练习答案第3篇

1. 铺垫式练习:

求y=x2-3x+2的图像与y轴的交点坐标.

师:函数图像与y轴的交点是一个几何特征, 能否直接由图得到?

生:不能准确地得到.

师:那可否由函数解析式用代数方法得到?

生:可以, y轴上的点满足条件x=0, 因此将x=0代入可得y=2, 从而函数图像与y轴交点坐标为 (0, 2) .

师:从本题可以看出, 当函数图像的几何特征用几何方法难以求出时可以用函数表达式借助代数方法来解决, 函数图像本身是满足函数关系式的 (x, y) 所对应点的集合, 这时必须清晰它们之间的转化.

【点评: (1) 通过铺垫问题解决探究的过程引导, 渗透了函数问题解决中的数形结合思想, 这在二次函数教学中也是一个重要任务; (2) 辅助理解, 分散难点.相对函数图像与x轴的交点来说, 函数图像与y轴的交点较易理解, 有了这样的铺垫, 借助正迁移能帮助学生解决理解函数图像与x轴交点这一难点.】

2. 例题练习:

求y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标.

师:上题中函数图像与x轴交点转化为函数y=x2-3x+2中当x取0时对应的y值, 那么类比上题, 函数图像与x轴交点是什么?

生:同样由图像难以得到, 由于x轴上的点满足y=0, 故对应于函数y=x2-3x+2中当y取0时的点.

师:那如何求?

生:和上面类似, 将y=0代入得x2-3x+2=0, (x-1) (x-2) =0, 解得x1=1, x2=2, 从而得到所求交点为 (1, 0) , (2, 0) .

师:本题的解决包含了哪些转化问题?

生:与上题一样有几何到代数的转化, 还有是函数到方程的转化.

【点评:有前面问题解决做铺垫, 学生容易理解函数图像与x轴交点即为纵坐标 (函数值) 取0时所对应的点, 又有上题的转化铺垫, 学生也自然想到将问题转化为代数解方程来解决, 后面的引导性问题渗透了数学思想的运用.】

3. 理解性变式练习:

求y=x2-3x+2的图像与直线y=2的交点坐标.

师:此问题与上题有何关系?

生:就是将上题的y=0改为y=2, 因此转化也是类似的, 即是函数y=x2-3x+2图像中函数值 (纵坐标) 取2时对应的点.

师:具体如何求呢?

生:将y=2代入转化为方程x2-3x+2=2, 即x2-3x=0, 方程的解为x=0, x=3, 因此函数图像与x轴的交点为 (0, 0) , (3, 0) .

【点评:通过将函数图像与x轴的交点变式为与直线y=2的交点, 更从一般意义上让学生理解到函数图像上的具体点即是纵 (横) 坐标已知下求横 (纵) 坐标, 从而将几何问题转化为代数问题, 将函数转化为方程来解决.】

4. 探究式变式练习:

求y=x2-3x+3的图像与x轴的公共点个数.

师:如何求与x轴公共点个数呢?

生1:与x轴公共点即满足y=0, 也就转化为先求方程x2-3x+3=0的解.

生2:方程是无解的, 因为b2-4ac=-3<0.

师:对, 那公共点个数怎么样?

生2:应该是没有公共点的.

师:不错, 从这里我们知道了利用方程的工具来解决函数问题.那么你能否得到y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴的公共点个数?

生3:同样可转化为方程ax2+bx+c=0的根的个数, 得到b2-4ac>0时有两个公共点, b2-4ac=0时有一个公共点, b2-4ac<0时有没有公共点.

【点评:通过变式问题的探究过程, 更突出了函数图像与x轴公共点即为函数值为0时对应方程的根的问题, 并且能全面地认识函数图像与x轴公共点的情况.】

5. 拓展化变式练习:

(1) 下列命题:若b2-4ac>0, 则二次函数y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3, 该命题正确吗?

【分析:题中条件可以推出方程有两个不等实数根, 对应到函数的图像则与x轴有两个公共点, 再加上它与y轴的公共点得到结论成立.】

(2) y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与坐标轴的公共点个数?

【分析:在分类讨论中把握二次函数图像与坐标轴的公共点问题.】

(3) 利用图像解一元二次方程x2+x-3=0时, 我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3, 两图像交点的横坐标就是该方程的解.利用图像解一元二次方程x2+x-3=0, 也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线y=____和直线y=-x, 其交点的横坐标就是该方程的解.

【分析:两个函数图像的交点即为两个函数图像上纵坐标相等时所对应的同一横坐标, 此即为代数形式中的方程.方程x2+x-3=0的解可以将其转化为函数y=-x和y=-x2-3的图像交点的横坐标.】

(4) 已知二次函数y1=ax2+bx+c (a≠0) 与一次函数y2=kx+m (k≠0) 的图像相交于点A (-2, 4) , B (8, 2) (如下图所示) , 则能使y1>y2成立的x的取值范围是____.

【分析:即使将A、B两点坐标代入也不能求出其中二次函数解析式, 但观察图像可直接得到不等式的解为x<-2或x>8.】

二次函数练习答案第4篇

对数函数、指数函数、幂函数、二次函数是基本初等函数家族中的重要成员,新高考模式下的这四年江苏卷,函数部分的考题比例很大,知识点集中在函数的概念、图象与性质,函数模型及其应用,导数的工具性应用等,指数函数与对数函数为必考内容。考题涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想；以上也是函数部分的重点。难点主要包括：①含参变量的分段函数问题；②与数列、不等式等知识交汇的问题；③恰当构建函数模型问题；④分类讨论思想的应用。

本文就近几年各类函数的常考题型,进行讲解与评析,带领同学们一起感受这部分考题是怎么设计的,帮助同学们在复习时明确复习目标。

二、典例评析

(一) 考查函数定义域、值域

【例1】若集合已知A=｛x｜2≤22-x≤8,x∈Z},B=｛y|y=|log2x|+1,x∈R｝,则集合A∩(

瘙綂 RB)=．

解析由题意得：1≤2-x≤3,得-1≤x≤1,又x∈Z,故集合A=｛-1,0,1｝,集合B是函数的值域,故B=［1,+∞),

瘙綂 RB=(-∞,1),于是A∩(

瘙綂 RB)=｛-1,0｝.

点评集合的交、并、补,这是高考每年必考的题型,本题集合A的代表元素是x,并且有x∈Z的条件；集合B的代表元素是y,故集合B是函数的值域,这是需要审清楚的,有的同学会这样想：A的元素是x,B的元素是y,交集中哪有公共元素,填,这种理解是错误的,事实上,这两个集合实质是数集,这是要注意的,最后的结果是集合,不要写成-1,0。

(二) 考查函数单调性、奇偶性

【例2】已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为．

解析 a=5-12∈(0,1),函数f(x)=ax在R上递减.由f(m)>f(n)得：m

点评指数函数f(x)=ax的底数分为01两类,估算出底数a=5-12属于哪一类,利用指数函数的单调性,是解决本题的关键。

【例3】函数f(x)=lg|x|+lg1|x|(x≠0)是函数.(填奇偶性)

解析由对数运算性质得,f(x)=lg1=0(x≠0),图象是x轴(去掉原点),它既关于y轴对称,又关于原点对称,故函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

点评遇到这类题,既要考虑函数的定义域(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提),还要看能否化简,分析函数的本质,这是解决这类题的关键。

(三) 考查函数运算性质及应用

【例4】设函数f(x)=1+lgx1-x,定义an=f1n+f2n+…+fn-1n,n∈N*,则a2 011=．

解析 ∵f1n+fn-1n=2+lg1n1-1n×1-1n1n=2+lg1=2,将an倒序写成an=fn-1n+fn-2n+…+f1n,两式相加得2an=2(n-1),an=n-1,∴a2 011=2 010．

点评观察题目的特点,抓住对数运算的性质,是本题的关键,倒序再求和比首尾搭配更简洁,因为首尾搭配要考虑是奇数项还是偶数项。

想一想：若求a2 012=.这样做,是不是比首尾搭配好？答案：2 011．

(四) 考查分段函数图象的应用

【例5】函数f(x)=2-x,x∈(-∞,1］,

log9x,x∈(1,+∞).

使f(x)=12的x的集合为．

解析在直角坐标系中,画出分段函数f(x)的图象(如图),由2-x=12,得x=1；由log9x=12,得x=3；故满足条件的x构成的集合为1,3．

点评分段函数是一个函数,这类问题,只需先画出函数的图象,再利用数形结合思想,可迅速解题；结果是集合,填1,3是不妥的,应该注意。

(五) 过定点、平移等基本不等式的综合应用

【例6】函数y=loga(x+2)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为  ．

解析 ∵函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),它向左平移2个单位,再向下平移1个单位,就得到函数y=loga(x+2)-1的图象,∴定点A(-1,-1)；∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴m+n=2,又mn>0,∴m>0,n>0,1m+1n=12(m+n)1m+1n=122+nm+mn≥2,(当且仅当m=n=1时取等号),于是1m+1n的最小值为2．

点评学过平移问题后,要熟记“左加右减”的平移法则,与y分别在“=”两侧加减的常数,法则是“上加下减”；得到m+n=2并判断出m>0,n>0后,1m+1n乘上1不改变结果,12(m+n)1m+1n中的12不能漏,别因为疏忽导致错误。

迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。——祖冲之

(六) 建立函数模型问题(二次函数型)

【例7】如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D,

设CP=x,△CPD的面积为f(x),则f(x)的最大值为．

解设∠DCP=θ,∵CP=x,AC=2,,∴PB=PD=6-x,在△CDP中,由余弦定理,得(6-x)2=22+x2-4xcosθ,cosθ=3-8x,

sin2θ=1-cos2θ=-8+48x-64x2,

S2△CPD=12×2xsinθ2=-8(x2-6x+8),当x=3时,S2△CPD取得最大值8,∴f(x)=S△CPD的最大值为22．

点评表示三角形的面积,有两种选择：①S=12•底•高,②S=12ab•sinθ(θ为a,b两边的夹角),本题自变量x已经给出,由“同圆的半径相等”,可用数字或含x的代数式表示△CPD的三边,由正弦定理又可以建立三角形的边角关系,故②较理想。

(七) 考查二次函数、恒成立及函数与方程、分类讨论思想

【例8】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象C经过点A(1,0),曲线C在点A处的切线与直线x-6y=0垂直,又当x=4时,函数f(x)有最小值．

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 若不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立,求正整数m的值．

解 (1) ∵图象C经过点A(1,0),∴a+b+c=0…①；又f′(x)=2ax+b,则f′(1)=2a+b=-6…②,-b2a=4…③,联立①②③,解得a=1,

b=-8,

c=7.∴f(x)=x2-8x+7；

(2) 不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立可化为(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m)≥0恒成立,令g(x)=(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m),

①当m-1<0时,抛物线g(x)开口向下,不满足条件；

②当m-1=0时,直线g(x)=12x+63也不满足条件；

③当m-1>0时,抛物线g(x)开口向上,由m-1>0,

Δ≤0即m-1>0,

3m2-19m+28≤0,

解得73≤m≤4,∵m为正整数,∴m=3或4．

点评函数与方程经常需要相互转化,用到数形结合思想。当二次项系数含有字母常数时,往往要用到分类讨论思想,经常见到同学讨论时,前面给出分类条件,后面解不等式后,却把前面的条件忘了,采用上面m-1>0

Δ≤0的格式可有效避免这类错误。

实战演练

1. 已知幂函数f(x)=k•xα的图象过点12,22,则k+α=.

2. 若一系列函数的解析式、值域都相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.已知函数解析式为f(x)=2x2,值域为0,8,18,这样的“孪生函数”共有个．

3. 设α∈-1,1,-12,12,3,则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有．

4. 已知集合A=x13<3x≤3,B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=.

5. 函数f(x)=2x+x-2的零点是x0,若x0∈k-12,k+12,则整数k=．

6. 用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min2x,x+2,10-x(x≥0),则f(x)的最大值为.

7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2x,x≤0

f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)=  ．

8. 函数f(x)=|lg|x||(x≠0),

0(x=0),则方程f2(x)-f(x)=0的不等实数解共有个．

无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特

【参考答案】

1. 由幂函数的定义,得k=1,又函数f(x)=xα的图象过点12,22,∴12α=22,

得α=12,于是k+α=32．

2. 显然,x=0时,y=0；x=±2时,y=8,x=±3时,y=18；由映射、函数定义,定义域分别为｛0,2,3｝,｛0,-2,3｝,｛0,2,-3｝,｛0,-2,-3｝,｛0,2,-2,3｝,｛0,2,-2,-3｝,｛0,2,3,-3｝,｛0,-2,3,-3｝,｛0,2,-2,3,-3｝均满足,故这样的“孪生函数”共有9个．

3. 1或3

4. 由13<3x≤3得：-11,所以c=1．

5. 由f(x)=2x+x-2=0,得2x=-x+2,设g(x)=2x,h(x)=-x+2,∵h(0)>g(0),h(1)

6. 在同一直角坐标系中,画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)=2x；当2<x≤4时,f(x)=x+2；当x>4时,f(x)=10-x；故f(x)在x=4时取得最大值6.

7. 由已知得f(-1)=12,f(0)=1,f(1)=f(0)-f(-1)=12,f(2)=f(1)-f(0)=-12,f(3)=f(2)-f(1)=-12-12=-1,f(4)=f(3)-f(2)=-12,f(5)=f(4)-f(3)=12,f(6)=f(5)-f(4)=1,f(7)=f(6)-f(5)=12,…,可以发现：当x>0时,6为一个循环周期,得f(2 011)=12．

二次函数解析式专项练习第5篇

一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标

两根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式yax2bxc，然后解三元方程组求解；

例.已知二次函数图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式yaxhk求解。2例.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

三、已知抛物线与x轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式ya(xx1)(xx2)。

例．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

综合练习：

1.已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式． 2.已知抛物线顶点坐标为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

3.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

4.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

5.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．

二次函数的练习题第6篇

1.我们已经学过了一次函数，它是怎么下定义的?你能用类比的方法给二次函数下定义吗?例举几种你认为形式不同的二次函数.

2.函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，问当a,b,c满足什么条件时：

(1)它是二次函数;(2)它是一次函数;(3)它是正比例函数我达标

1. 在下列函数关系式中，不是二次函数的是( )

A. y=-2x2 B. y=2(x-1)2+3 C. y=(x+3)2-x2 D. y=a(8-a)

2. 在一定条件下，若物体运动的路程s(m)与时间t(s)的关系式为s=5t2 +2t,则当t=4s时，该物体运动的路程为( )

A. 28m B. 48m C. 68m D. 88m

3. 函数y=-(x-2)2+2化为y=ax2+bx+c的形式是其中二次项系数是 ,一次项系数是 , 常数项是 .

4. 请写出一个y关于x的二次函数，使得函数的二次项系数为1，且当x=1时，y=2.

5. 有n

系式是 . 6. (1)二次函数y=ax2 +c中,当x=3时，y=26;当x=2时，y=11.

(2)二次函数y=ax2 +bx+c中,当x=0时，y=2;当x=1时，y=3;当x=-1时，y=-5.

7.若函数 y?(m2?1)xm

8.观察下面的表格：

求a,b,c的值，并在表格内的空格中填上正确的数.

二次函数习题及答案第7篇

一、选择题:

1.(2003•大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是（）.A.直线x=-3

B.直线x=3

C.直线x=-2

D.直线x=2

2.(2004•重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在（）.A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;

D.第四象限

3.(2004•天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有（）.A.b2-4ac>0

B.b2-4ac=0

C.b2-4ac<0

D.b2-4ac≤0

4.(2003•杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有（）.A.b=3,c=7

B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3

D.b=-9,c=21 5.(2004•河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）.6.(2004•昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,•图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是（）.A.4+m

B.m

C.2m-8

D.8-2m

二、填空题

1.(2004•河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.2.(2003•新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.3.(2003•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.4.(2004•武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.5.(2003•黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.6.(2002•北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:

甲:对称轴是直线x=4;

乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:

三、解答题

1.(2003•安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).(1)求这个函数的解析式;

(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.(2004•济南)已知抛物线y=-x2+(6-)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.(1)求m的值;

(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.(2004•南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y•轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,•请用约定的方法一一表示出来;

(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.能力提高练习

一、学科内综合题

1.(2003•新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,•与y轴交于A点.(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,•求这个二次函数的解析式.二、实际应用题

2.(2004•河南)•某市近年来经济发展速度很快,•根据统计:•该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005•年该市国内生产总值将达到多少?

3.(2003•辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,•公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)•刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:

(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?

4.(2003•吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

三、开放探索题 5.(2003•济南)•某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少 ,纵坐标增加 ,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加 ,纵坐标增加 ,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;

(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;

(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,•你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.6.(2004•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,•点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(-a,0)且与OE平行.现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,•设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,•请求出最大值;若没有,请说明理由.答案: 基础达标验收卷

一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C

二、1.(x-1)2+2

2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)3.y=-x2+2x+

4.如y=-x2+1 5.1

6.y= x2-x+3或y=-x2+ x-3或y=-x2-x+1或y=-x2+ x-1

三、1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2)，∴9+3b-1=2,解得b=-2.∴函数解析式为y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.图象略.图象的顶点坐标为(1,-2).(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2.∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.2.(1)设A(x1,0)B(x2,0).∵A、B两点关于y轴对称.∴

∴

解得m=6.(2)求得y=-x2+3.顶点坐标是(0,3)

(3)方程-x2+(6-)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:

①抛物线AEC;②抛物线CBE;③抛物线DEB;④抛物线DEC;⑤抛物线DBC.(2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交.设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c.将D(-2,),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得

解这个方程组,得a= ,b=-,c=1.∴抛物线DBC的解析式为y= x2-x+1.【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2,),得a= 也可.】

又将直线AE的解析式为y=mx+n.将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得

解这个方程组,得m=-3,n=-6.∴直线AE的解析式为y=-3x-6.能力提高练习

一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.又∵对称轴在y轴的左侧, ∴-<0,∴b>0.又∵抛物线交于y轴的负半轴.∴c<0.(2)如图,连结AB、AC.∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0).又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°，∴OC=OA•cot60°= ,∴C(,0).设二次函数的解析式为

y=ax2+bx+c(a≠0).由题意

∴所求二次函数的解析式为y= x2+(-1)x-3.2.依题意,可以把三组数据看成三个点:

A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)

设y=ax2+bx+c.把A、B、C三点坐标代入上式,得

解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.即所求二次函数为

y=0.014x2+0.29x+8.6.令x=15,代入二次函数,得y=16.1.所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c 由题意得

或

解得

∴s= t2-2t.(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.解得t1=0,t2=-6(舍).答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5;

把t=8代入,得s= ×82-2×8=16.16-10.5=5.5.答:第8个月公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm，则D(5,-h),B(10,-h-3).∴

解得

抛物线的解析式为y=-x2.(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60.∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.5.略

6.解:(1)当0≤t<4时，如图1,由图可知OM= t,设经过t秒后,正方形移动到ABMN，∵当t=4时,BB1=OM= ×4= a，∴点B1在C点左侧.∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG，其面积为:

“二次函数”测试卷第8篇

1.下列函数中,图像一定经过原点的函数是().

A.y=3x-2 B.y=1/x C.y=x2+2x D.y=x2+1

2.二次函数y=-x2+1的图像大致为().

3.在同一坐标平面内,图像能由二次函数y=2x2-4x+1的图像通过平移变换得到的函数是().

4.二次函数y=kx2-6x+3的图像与x轴有公共点,则k的取值范围是().

A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0

5.不论m取任何实数,二次函数y=a(x+m)2-m(a≠0)的顶点都().

A.在直线y=x上B.在直线y=-x上

C.在x轴上D.在y轴上

6.如果某铅球运动员某次掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式近似于二次函数,则该铅球运动员此次掷铅球的成绩是().

A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m

7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的图像如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是().

8.已知二次函数y=a(x-m)2+k的图像经过(0,4)、(6,5)两点.若a<0,0<m<6,则m的值可能为().

A.1 B.2 C.3 D.4

9.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)=2的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是().

A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b

10.如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图像中能表示y与x之间的函数关系的是().

二、填空题(每小题2分,计20分)

11.当x=______时,函数是二次函数.

12.抛物线y=3x2+6x-3的顶点坐标是_______.

13.将抛物线y=3(x+2)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为_________________.

14.顶点为(-2,-5)且过点(1,4)的抛物线的解析式为__________________.

15.在二次函数y=2x2-4x+8的图像上取三点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3),若x1<x2<0<x3<2,比较y1、y2、y3的大小:__________________.(用“<”连接)

16.抛物线y=-x2-2x+m,若其顶点在x轴上,则m=_______.

17.抛物线y=-2x2+4x+6与x轴的两个交点之间的距离是_______.

18.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是________________.

19.已知:当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则m的值是_______.

20.二次函数y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图像如图,则以下结论:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.其中正确的结论是___________.(填序号)

三、解答题(共60分)

21.(6分)已知二次函数y=ax2+(b-1)x-3的图像的对称轴是x=4,且顶点在直线上,求这个二次函数的表达式.

22.(8分)已知二次函数y=x2-4x+1.

(1)用配方法求其图像的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;

(2)求函数图像与x轴的交点A、B的坐标及△ABC的面积.

23.(8分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图像上的一对对称点,一次函数的图像过点B、D.

(1)求二次函数的解析式,并直接写出D点的坐标;

(2)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

24.(8分)已知二次函数y=-x2-2kx-k2-5(k是常数).

(1)求证:不论k为何值,该函数的图像与x轴没有公共点;

(2)把该函数的图像沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的函数的图像与x轴只有一个公共点?

25.(9分)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):

由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是关于温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.

(1)请选择其中一种函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;

(2)温度为多少时,这种植物每天高度的增长量最大?

(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.

26.(9分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.

(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;

(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元,且每天的总成本不超过7 000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)

27.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,-2).

(1)求该抛物线的表达式,并写出其对称轴;

(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点,点F在对称轴上,如果△CEF和△CEA的面积相等,求点F的坐标;

(3)点D为该抛物线的顶点,设点P(t,0),且t>3,如果△BDP和△CDP的面积相等,求t的值.

参考答案

一、选择题

1.C提示:把x=0代入函数解析式时y=0,则该函数图像一定经过原点.

2.B提示:二次函数y=-x2+1的图像开口向下,顶点是(0,1).

3.D提示:平移变换不改变二次函数的形状和开口方向,因此a=2不变.

4.D提示:首先二次函数要求二次项系数k≠0,在此前提条件下,图像与x轴有公共点要求Δ≥0.

5.A提示:二次函数y=a(x+m)2-m(a≠0)的顶点坐标是(-m,-m).

6.C提示:令y=0,解一元二次方程

7.B提示:由二次函数的图像与y轴的交点位置知c<0,对称轴的位置知

8.D提示:根据a<0和(0,4)、(6,5)两点在抛物线上,画出抛物线的大致图像和抛物线的对称轴直线x=m,由图像直观感知,点(0,4)到对称轴的距离大于点(6,5)到对称轴的距离,所以m-0>6-m,由此解得m>3.

9.A提示:依题意画出函数y=(x-a)(x-b)图像草图,根据二次函数的增减性求解.

10.A提示:当0<x≤1时,根据正方形的面积公式得到y=x2;当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2(x-1)2,配方得到y=-(x-2)2+2,再根据二次函数性质对各选项进行判断.

二、填空题

11.-1提示:根据二次函数的定义,m-1≠0且m2+1=2.

12.(-1,-6)提示:配方y=3(x+1)2-6.

13.y=3(x+1)2提示:抛物线平移后的顶点是(-1,0),开口方向和大小不变.

14.y=(x+2)2-5提示:设抛物线的顶点式.

15.y3<y2<y1提示:画出抛物线的草图观察.

16.-1提示:配方,求出顶点,令纵坐标为0.

17.4提示:求出抛物线y=-2x2+4x+6与x轴的两个交点坐标.

18.a<0且b2-4ac<0提示:画出抛物线的草图观察分析.

19.2或提示:分类讨论并检验是否符合要求:当m<-2时,即x=-2时有最大值4,代入得,不符合;当-2≤m≤1时,即x=m时有最大值4,代入得或,但不在-2≤x≤1范围内,不符合,所以;当m>1时,即x=1时有最大值4,代入得m=2,符合.

20.②③④提示:由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.

三、解答题

21.解:由x=4代入,顶点坐标是(4,13),

设y=a(x-4)2+13,即y=ax2-8ax+16a+13,与已知y=ax2+(b-1)x-3比较:

22.解:(1)y=x2-4x+1=x2-4x+4-3=(x-2)2-3,

所以顶点C的坐标是(2,-3),抛物线开口向上,对称轴为x=2.

当x≤2时,y随x的增大而减少;当x>2时,y随x的增大而增大.

(2)解方程x2-4x+1=0得:

即A点的坐标是,B点的坐标是,过C作CD⊥AB于D,

23.解:(1)将A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c,

所以二次函数的解析式为y=-x2-2x+3,D点坐标为(-2,3).

(2)由图像知:一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x<-2或x>1.

24.(1)证明:∵Δ=(-2k)2-4·(-1)·(-k2-5)=4k2-4k2-20=-20<0,