二数学随机事件及其概率教学计划（精选9篇）

二数学随机事件及其概率教学计划 第1篇

3.1随机事件的概率

（二）问题提出

1.概率的定义是什么？

对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率.2.频率与概率有什么区别和联系？

① 频率是随机的，在实验之前不能确定；

② 概率是一个确定的数，与每次实验无关；

③ 随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率；

④频率是概率的近似值，概率是用来度量事件发生可能性的大小.探究

（一）： 概率的正确理解

思考1：连续两次抛掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？

“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，“一次正面朝上，一次反面朝上”.思考2：抛掷—枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概率都是0.5，那么连续两次抛掷一枚硬币，一定是出现一次正面和一次反面吗？

答：这种说法是错误的，抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，它是大量试验得出的一种规律性结果，对具体的几次试验来讲不一定能体现出这种规律性，在连续抛掷一枚硬币两次的试验中，可能两次均正面向上，也可能两次均反面向上，也可能一次正面向上，一次反面向上.思考3：试验：全班同学各取一枚同样的硬币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向.将全班同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率.你有什么发现？随着试验次数的增多，三种结果发生的频率会有什么变化规律？

“两次正面朝上”的频率约为0.25，“两次反面朝上” 的频率约为0.25，“一次正面朝上，一次反面朝上” 的频率约为0.5.思考4：若某种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1000张的话是否一定会中奖？

答：不一定中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票都可能中奖也可能不中奖.买彩票中奖的概率为1/1000，是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖.思考5：围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑子吗？说明你的理由.不一定.摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的.可能有两次或两次以上摸到黑子，也可能没有一次摸到黑子，摸到黑子的概率为1-0.910≈0.6513.归 纳:

随机事件在一次实验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：

即随着实验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率.探究

（二）：概率思想的实际应用

思考1：在一场乒乓球比赛前，必须要决定由谁先发球，并保证具有公平性，你知道裁判员常用什么方法确定发球权吗？其公平性是如何体现出来的？

思考2:某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，1班必须参加，另外再从2至12班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？

不公平，因为各班被选中的概率不全相等，七班被选中的概率最大.思考3：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？如何解释这种现象？

这枚骰子的质地不均匀，标有6点的那面比较重，会使出现1点的概率最大，更有可能连续10次都出现1点.如果这枚骰子的质地均匀，那么抛掷一次出现1点的概率为

1，连6续10次都出现1点的概率为这是一个小概率事件，几乎不可能发生.如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法.如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大，这种判断问题的方法在统计学中被称为似然法.思考4：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨？你认为应如何理解？

降水概率≠降水区域；明天本地下雨的可能性为70%.思考5：天气预报说昨天的降水概率为 90％，结果昨天根本没下雨，能否认为这次天气预报不准确？如何根据频率与概率的关系判断这个天气预报是否正确？

不能，概率为90％的事件发生的可能性很大，但“明天下雨”是随即事件，也有可能不发生.收集近50年同日的天气情况，考察这一天下雨的频率是否为90％左右.思考6：奥地利遗传学家孟德尔从1856年开始用豌豆作试验，他把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年，他把第一年收获的黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是圆形的.第二年，他把第一年收获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形豌豆，又有皱皮豌豆.类似地，他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎的豌豆.第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆.试验的具体数据如下：

豌豆杂交试验的子二代结果

性状显性隐性绿色2001子叶的黄色 6022颜色

圆形皱皮种子的18505474 性状 茎的高度长茎短茎277787

你能从这些数据中发现什么规律吗？ 孟德尔的豌豆实验表明，外表完全相同的豌豆会长出不同的后代，并且每次试验的显性与隐性之比都接近3︰1，这种现象是偶然的，还是必然的？我们希望用概率思想作出合理解释.思考7：在遗传学中有下列原理：

（1）纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特征因子组成，下一代是从父母辈中各随机地选取一个特征组成自己的两个特征.（2）用符号AA代表纯黄色豌豆的两个特征，符号BB代表纯绿色豌豆的两个特征.（3）当这两种豌豆杂交时，第一年收获的豌豆特征为：AB.把第一代杂交豌豆再种下时，第二年收获的豌豆特征为： AA，AB，BB.（4）对于豌豆的颜色来说．A是显性因子，B是隐性因子.当显性因子与隐性因子组合时，表现显性因子的特性，即AA，AB都呈黄色；当两个隐性因子组合时才表现隐性因子的特性，即BB呈绿色．在第二代中AA，AB，BB出现的概率分别是多少？黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少？

P(AA)111;224P(BB)111111;P(AB)1;224442

黄色豌豆(AA，AB)︰绿色豌豆(BB)≈3︰1（1）概率与公平性的关系：

利用概率解释游戏规则的公平性，判断实际生活中的一些现象是否合理.（2）概率与决策的关系：

在“风险与决策”中经常会用到统计中的极大似然法：在一次实验中，概率大的事件发生的可能性大.（3）概率与预报的关系：

在对各种自然现象、灾害的研究过程中经常会用到概率的思想来进行预测.课堂小结

1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大.2.孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴.3.利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.作业：

<习案>作业三十.

二数学随机事件及其概率教学计划 第2篇

1、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X表示”取到的白球个数”,即

X= 0,当取到红球时, 1,当取到白球时, 求随机变量X的概率分布.例

二数学随机事件及其概率教学计划 第3篇

1. 教材及内容分析

《随机事件及其概率》是苏教版高中必修三第七章《概率》的第一小节内容，学生们在初中阶段已经对概率有过初步的认识，这节课是初中和高中概率知识的承接点，也是学生系统的学习概率的开始。

2. 教学过程

(1)创设生活情境，引入主题。上课之初，教师向学生展示一组生活中有关概率的图片，利用多彩与贴近生活的图片，向学生发问：一块石头会在一天就风化吗?王义夫这一枪会击中十环吗?我扔下一枚硬币它能出现正面的可能性有多大呢?让我们通过本节课的学习揭开这个谜底吧。

(2)创设问题情境，深化概念。教师向学生展示以下问题，让学生思考这些事件能否发生，有什么特点。如：“地球不断自西向东转动”“投一枚硬币出现正面”“在标准大气压下温度在零度以上时，雪结冰”学生在这些问题下，思考出了事情的必然发生、不可能发生、可能发生也可能不发生等情况。教师趁热打铁，引导学生总结随机事件、必然事件、不可能事件的概念。

(3)小组合作探究，发现概率的规律。教师引导学生以小组为单位，进行抛硬币的记录填表，观察其得出的结果并进行频率的计算，最后总结规律。根据这次试验，学生们得出了这样的结论“当抛掷的硬币的次数尽可能多的时候，硬币出现正面或者反面的频率值在常数值0.5左右，并且这一频率值是稳定的。因此，教师由特殊到一般引入概念：“一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大的时候，我们可以把发生的频率m/n，作为事件A发生的概率的近似值。填表记录如下：

(4)引导学生创设例题，对知识进行运用。在学生对随机事件、必然事件、不可能事件的概念有了一定掌握的基础上，教师引导学生相互间进行创设与本节课相关的事件，学生们创设的问题如下：在一个物品袋里装有一角、五角、一元的硬币，随机拿出一枚是五角;在同一时间抛掷的两颗骰子，点数同时为六;在标准大气压下，水在89℃沸腾

(5)将所学习的数学知识，应用于历史事件。在本节课的最后，教师引入以下典故，让学生进行思考。一次，梅累和朋友投掷骰子，每个人押的赌注是32个金币，梅累如果投掷出三次6点，朋友投掷三次4点就算对方赢，但是当梅累投掷两次6点，朋友投掷一次4点的时候，其中一人突然有事要离开，请问这两个人应该怎样分64枚金币才算合理?

3. 教学反思

在本节课的第一个环节，教师让学生回归生活，通过贴近生活的图片让学生感受到了身边存在着的数学问题，激发了学生学习的兴趣。在学生刚刚对所学知识感兴趣的时候，笔者采取了第二个环节，创设问题情境，让学生主动思考。学生通过思考生活中的常识性问题，通过主动思考发现了这些时间中存在着的随机事件、必然事件、不可能事件。而第三个环节则是本节课的亮点，教师并没有直接讲出概率是怎样得出的，而是让学生小组为单位，通过亲自动手，小组间的合作，探究出概率得出的过程以及呈现的规律，这个过程充分尊重了学生的主体性地位，让学生主动参与，主动探索，主动思考，得出结论。

二数学随机事件及其概率教学计划 第4篇

1教材及内容分析

《随机事件及其概率》是苏教版高中必修三第七章《概率》的第一小节内容，学生们在初中阶段已经对概率有过初步的认识，这节课是初中和高中概率知识的承接点，也是学生系统的学习概率的开始。

2教学过程

(1)创设生活情境，引入主题。上课之初，教师向学生展示一组生活中有关概率的图片，利用多彩与贴近生活的图片，向学生发问：一块石头会在一天就风化吗?王义夫这一枪会击中十环吗?我扔下一枚硬币它能出现正面的可能性有多大呢?让我们通过本节课的学习揭开这个谜底吧。

(2)創设问题情境，深化概念。教师向学生展示以下问题，让学生思考这些事件能否发生，有什么特点。如：“地球不断白西向东转动”“投一枚硬币出现正面”“在标准大气压下温度在零度以上时，雪结冰”学生在这些问题下，思考出了事情的必然发生、不可能发生、可能发生也可能不发生等情况。教师趁热打铁，引导学生总结随机事件、必然事件、不可能事件的概念。

(3)小组合作探究，发现概率的规律。教师引导学生以小组为单位，进行抛硬币的记录填表，观察其得出的结果并进行频率的计算，最后总结规律。根据这次试验，学生们得出了这样的结论“当抛掷的硬币的次数尽可能多的时候，硬币出现正面或者反面的频率值在常数值0.5左右，并且这一频率值是稳定的。因此，教师由特殊到一般引入概念：“一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大的时候，我们可以把发生的频率m／n，作为事件A发生的概率的近似值。”填表记录如下：

(4)引导学生创设例题，对知识进行运用。在学生对随机事件、必然事件、不可能事件的概念有了一定掌握的基础上，教师引导学生相互间进行创设与本节课相关的事件，学生们创设的问题如下：在一个物品袋里装有一角、五角、一元的硬币，随机拿出一枚是五角；在同一时间抛掷的两颗骰子，点数同时为六；在标准大气压下，水在89℃沸腾……

(5)将所学习的数学知识，应用于历史事件。在本节课的最后，教师引入以下典故，让学生进行思考。一次，梅累和朋友投掷骰子，每个人押的赌注是32个金币，梅累如果投掷出三次6点，朋友投掷三次4点就算对方赢，但是当梅累投掷两次6点，朋友投掷一次4点的时候，其中一人突然有事要离开，请问这两个人应该怎样分64枚金币才算合理?

3教学反思

在本节课的第一个环节，教师让学生回归生活，通过贴近生活的图片让学生感受到了身边存在着的数学问题，激发了学生学习的兴趣。在学生刚刚对所学知识感兴趣的时候，笔者采取了第二个环节，创设问题情境，让学生主动思考。学生通过思考生活中的常识性问题，通过主动思考发现了这些时间中存在着的随机事件、必然事件、不可能事件。而第三个环节则是本节课的亮点，教师并没有直接讲出概率是怎样得出的，而是让学生小组为单位，通过亲自动手，小组间的合作，探究出概率得出的过程以及呈现的规律，这个过程充分尊重了学生的主体性地位，让学生主动参与，主动探索，主动思考，得出结论。

学生主体参与课堂教学的方式对于整个教学活动是十分重要的。学生通过主动参与，积极性和自身的归属感都得到了落实，同时学生在这个过程中对知识有了更好的记忆与掌握，增强了学生的创新能力与运用知识的能力，同时学生之间的交流也得到了提高。

二数学随机事件及其概率教学计划 第5篇

(备课资料)

一、参考例题

［例1］先后抛掷3枚均匀的一分，二分，五分硬币.(1)一共可能出现多少种不同的结果？

(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？(3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？

分析：(1)由于对先后抛掷每枚硬币而言，都有出现正面和反面的两种情况，所以共可能出现的结果有2×2×2=8种.(2)出现“2枚正面，1枚反面”的情况可从(1)中8种情况列出.(3)因为每枚硬币是均匀的，所以(1)中的每种结果的出现都是等可能性的.解：(1)∵抛掷一分硬币时，有出现正面和反面2种情况, 抛掷二分硬币时，有出现正面和反面2种情况, 抛掷五分硬币时，有出现正面和反面2种情况, ∴共可能出现的结果有2×2×2=8种.故一分、二分、五分的顺序可能出现的结果为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3个，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).(3)∵每种结果出现的可能性都相等，∴事件A“2枚正面，1枚反面”的概率为P(A)=

3.8［例2］甲、乙、丙、丁四人中选3名代表，写出所有的基本事件，并求甲被选上的概率.分析：这里从甲、乙、丙、丁中选3名代表就是从4个不同元素中选3个元素的一个组合，也就是一个基本事件.解：所有的基本事件是：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁选为代表.∵每种选为代表的结果都是等可能性的，甲被选上的事件个数m=3, ∴甲被选上的概率为

3.4［例3］袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球.(1)共有多少种不同结果？

(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？(3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？(4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率.分析：(1)设从4个白球，5个黑球中，任取3个的所有结果组成的集合为I，所求结果种数n就是I中元素的个数.(2)设事件A：取出的3球,2个是白球，1个是黑球，所以事件A中的结果组成的集合是I的子集.(3)设事件B：取出的3球至少有2个白球，所以B的结果有两类：一类是2个白球，1个黑球；另一类是3个球全白.(4)由于球的大小相同，故任意3个球被取到的可能性都相等.故由P(A)=

card(A),P(B)=

card(I)card(B)，可求事件A、B发生的概率.card(I)解：(1)设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果组成的集合为I, ∴card(I)=C39=84.∴共有84个不同结果.(2)设事件A：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A, ∴card(A)=C4·C15=30.∴共有30种不同的结果.(3)设事件B：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B, ∴card(B)=C4+C4·C15=34.∴共有34种不同的结果.(4)∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同, ∴事件A发生的概率为3223053417,事件B发生的概率为.841484

42二、参考练习

1.选择题

(1)如果一次试验中所有可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率

A.都是1

B.都是 C.都是

D.不一定 答案：B(2)抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，它落地时向上的数都是3的概率是 31C.2A.B.1 D.1 6答案：D(3)把十张卡片分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9后，任意搅乱放入一纸箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字不小于3的概率是 105C.10A.答案：D 107

D.B.(4)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率为 33C.5A.22 D.B.答案：D(5)甲袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从2个袋内各摸出一个球，那么

5等于 12A.2个球都是白球的概率

B.2个球中恰好有一个是白球的概率 C.2个球都不是白球的概率 D.2个球都是白球的概率 答案：B(6)某小组有成员3人，每人在一个星期(7天)中参加一天劳动，如果劳动日可任意安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为

3730C.49A.351 D.70 B.答案：C 2.填空题

(1)随机事件A的概率P(A)应满足________.答案：0≤P(A)≤1(2)一个口袋内装有大小相同标号不同的2个白球，2个黑球，从中任取一个球，共有________种等可能的结果.答案：4(3)在50瓶饮料中，有3瓶已经过期，从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概率是________.答案：3 50(4)一年以365天计，甲、乙、丙三人中恰有两人在同天过生日的概率是________.2C33641092解析：P(A)=.22365365答案：1092 2365(5)有6间客房准备安排3名旅游者居住，每人可以住进任一房间，且住进各房间的可能性相等，则事件A：“指定的3个房间各住1人”的概率P(A)=________；事件B：“6间房中恰有3间各住1人”的概率P(B)=________；事件C：“6间房中指定的一间住2人”的概率P(C)=________.A31解析：P(A)=33；

6363C356A3P(B)=； 6392C355P(C)=.3672答案：155

369723.有50张卡片(从1号到50号)，从中任取一张，计算：(1)所取卡片的号数是偶数的情况有多少种？(2)所取卡片的号数是偶数的概率是多少？ 解：(1)所取卡片的号数是偶数的情况有25种.(2)所取卡片的号数是偶数的概率为P=

251=.502●备课资料

一、参考例题

［例1］一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在此楼的同一单元的概率.分析：因为李明住在此楼的情况有6种，王强住在此楼的情况有6种，所以他们住在此楼的住法结果有6×6=36个，且每种结果的出现的可能性相等.而事件A：“李明和王强住在同一单元”含有6个结果.解：∵李明住在这栋楼的情况有6种，王强住在这栋楼的情况有6种, ∴他们同住在这栋楼的情况共有6×6=36种.由于每种情况的出现的可能性都相等, 设事件A：“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A所含的结果有6种, ∴P(A)=61.3661.6∴李明和王强住在此楼的同一单元的概率为评述：也可用“捆绑法”，将李明和王强视为1人，则住在此楼的情况有6种.［例2］在一次口试中，要从10道题中随机选出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格.某考生会回答10道题中的8道，那么这名考生获得及格的概率是多少？

3分析：因为从10道题中随机选出3道题，共有C10种可能的结果，而每种结果出现的可能性都相等，故本题属于求等可能性事件的概率问题.解：∵从10题中随机选出3题，共有等可能性的结果C10个.设事件A：“这名考生获得及格”，则事件A含的结果有两类，一类是选出的3道正是他能回答的3题，共有C8种选法;另一类是选出的3题中有2题会答，一题不会回答，共有11232·C2种选法，所以事件A包含的结果有C8+C8·C2个.C8321C8C8C214∴P(A)=.3C101533∴这名考生获得及格的概率为

14.15［例3］7名同学站成一排，计算：(1)甲不站正中间的概率；

(2)甲、乙两人正好相邻的概率；(3)甲、乙两人不相邻的概率.分析：因为7人站成一排，共有A77种不同的站法，这些结果出现的可能性都相等.解：∵7人站成一排，共有A77种等可能性的结果, 设事件A：“甲不站在正中间”； 事件B：“甲、乙两人正好相邻”； 事件C：“甲、乙两人正好不相邻”； 事件A包含的结果有6A66个； 事件B包含的结果有A66A2个;

2事件C包含的结果有A55·A6个.26A66(1)甲不站在正中间的概率P(A)=76.A772A626A6(2)甲、乙两人相邻的概率P(B)=.7A772A555A6(3)甲、乙两人不相邻的概率P(C)=.A777［例4］从1，2，3，„，9这九个数字中不重复地随机取3个组成三位数，求此数大于456的概率.分析：因为从1，2，3，„，9这九个数字中组成无重复数字的三位数共有A39=504个，且每个结果的出现的可能性都相等，故本题属求等可能性事件的概率问题.由于比456大的2三位数有三类：(1)百位数大于4，有A15·A8=280个;(2)百位数为4，十位数大于5，有1·A1A47=28个;(3)百位数为4，十位数为5，个位数大于6有2个,因此，事件“无重复数字且比456大的三位数”包含的结果有280+28+3=311个.解：∵由数字1，2，3，„，9九个数字组成无重复数字的三位数共有A39=504个，而每种结果的出现的可能性都相等.其中，事件A：“比456大的三位数”包含的结果有311个, ∴事件A的概率P(A)=

311.504∴所求的概率为311.5041，求该班男生、女生的人数.2［例5］某班有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选的可能性都相等，若选出的2人性别相同的概率是分析：由于每人当选的可能性都相等，且从全班36人中选出2人去完成一项任务的选2法有C36种，故这些当选的所有结果出现的可能性都相等.解：设该班男生有n人，则女生(36-n)人.(n∈N*,n≤36)

2∵从全班的36人中，选出2人，共有C36种不同的结果，每个结果出现的可能性都相2等.其中，事件A：“选出的2人性别相同”含有的结果有(C2n+C36n)个, 2C21nC36n∴P(A)=.2C362∴n2-36n+315=0.∴n=15或n=21.∴该班有男生15人，女生21人，或男生21人，女生15人.评述：深刻理解等可能性事件概率的定义，能够正确运用排列、组合的知识对等可能性事件进行分析、计算.二、参考练习1.选择题

(1)十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为 158C.15A.457 D.B.答案：D(2)将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是 23C.4A.41 D.B.答案：A(3)从数字0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率等于 2516C.25A.2524 D.B.答案：B(4)盒中有100个铁钉，其中有90个是合格的，10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个不合格铁钉的概率为 A.0.9

B.1 9C.0.1

C10090D.10 C100答案：D(5)将一枚硬币先后抛两次，至少出现一次正面的概率是 23C.4A.B.4 D.1 答案：C 2.填空题

(1)从甲地到乙地有A1，A2，A3，A4共4条路线，从乙地到丙地有B1，B2，B3共3条路线，其中A1B1是甲地到丙地的最短路线，某人任选了一条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率为________.答案：1 12(2)袋内装有大小相同的4个白球和3个黑球，从中任意摸出3个球，其中只有一个白球的概率为________.答案：12 35(3)有数学、物理、化学、语文、外语五本课本，从中任取一本，取到的课本是理科课本的概率为________.答案：3 5(4)从1，2，3，„，10这10个数中任意取出4个数作为一组，那么这一组数的和为奇数的概率是________.答案：10 21(5)一对酷爱运动的年轻夫妇,让刚好十个月大的婴儿把“0,0,2,8,北,京”六张卡片排成一行,若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”,则受到父母的夸奖,那么婴儿受到夸奖的概率为________.解:由题意，知婴儿受到夸奖的概率为P=

21.A61806A22(6)在2004年8月18日雅典奥运会上,两名中国运动员和4名外国运动员进入双多向飞蝶射击决赛.若每名运动员夺得奖牌(金、银、铜牌)的概率相等,则中国队在此项比赛中夺得奖牌的概率为________.C3A314解:由题意可知中国队在此项比赛中不获得奖牌的概率为P1=3(或4.)6C6A65则中国队获得奖牌的概率为P=1-P1=1-

14.553.解答题

(1)在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中任取2枝，求： ①恰好都取到正品的概率；

②取到1枝正品1枝次品的概率； ③取到2枝都是次品的概率.2C828解：①2.C10451C1168C2②.2C1045C212③2.C1045(2)某球队有10人，分别穿着从1号到10号的球衣，从中任选3人记录球衣的号码，求：

①最小的号码为5的概率； ②最大的号码为5的概率.2C51解：①3.C1012C214②3.C1020(3)一车间某工段有男工9人，女工5人，现要从中选3个职工代表，求3个代表中至少有一名女工的概率.2213C1CCCC109595解：5.3C1413(4)从-3，-2，-1，0，5，6，7这七个数中任取两数相乘而得到积，求：

①积为零的概率； ②积为负数的概率； ③积为正数的概率.C12解：①6； 2C771C133C3②； 2C7722C3C32③.2C77(5)甲袋内有m个白球，n个黑球；乙袋内有n个白球，m个黑球，从两个袋子内各取一球.求：

①取出的两个球都是黑球的概率； ②取出的两个球黑白各一个的概率； ③取出的两个球至少一个黑球的概率.解：①nm;2(nm)m2n2②;2(mn)m2n2mn③.2(mn)●备课资料

一、参考例题

［例1］一个均匀的正方体玩具，各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6.求：(1)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和是6的概率.(2)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和小于5的概率.分析：以(x1,x2)表示先后抛掷两次玩具朝上的面的数，x1是第一次朝上的面的数，x2是第二次朝上的面的数，由于x1取值有6种情况，x2取值也有6种情况，因此先后两次抛掷玩具所得的朝上面数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现都是等可能性的.解：设(x1,x2)表示先后两次抛掷玩具后所得的朝上的面的数，其中x1是第一次抛掷玩具所得的朝上的面的数，x2是第二次抛掷玩具所得的朝上的面的数.∵先后两次抛掷这个玩具所得的朝上的面的数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现的可能性都相等.(1)设事件A为“2次朝上的面的数之和为6”，∵事件A含有如下结果：

(1，5)(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，∴P(A)=5.36(2)设事件B为“2次朝上的面上的数之和小于5”，∵事件B含有如下结果：

(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个，∴P(B)=61.366［例2］袋中有硬币10枚，其中2枚是伍分的，3枚是贰分的，5枚是壹分的.现从中任取5枚，求钱数不超过壹角的概率.分析：由于从10枚硬币中，任取5枚所得的钱数结果出现的可能性都相等.记事件A：“取出的5枚对应的钱数不超过壹角”，∴事件A含有结果有：

①1枚伍分，1枚贰分，3枚壹分共C2·C3·C5种取法.②1枚伍分，4枚壹分，共C2·C5种取法.111342③3枚贰分，2枚壹分，共C33·C5种取法.23④2枚贰分，3枚壹分，共C3·C5种取法.4⑤1枚贰分，4枚壹分，共C13·C5种取法.⑥5枚壹分共C55种取法.***1261C1CCCCCCCCCCC35253535355.∴P(A)=2=52522C10［例3］把10个足球队平均分成两组进行比赛，求两支最强队被分在：(1)不同组的概率；(2)同一组的概率.分析：由于把10支球队平均分成两组，共有结果的可能性都相等.(1)记事件A：“最强两队被分在不同组”，这时事件A含有

15C10种不同的分法，而每种分法出现的2142C8A2种结果.214C8A2252∴P(A)=.159C10235(2)记事件B：“最强的两队被分在同一组”，这时事件B含有C8C2C25种.3C84.∴P(B)=15C1092［例4］已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8}在平面直角坐标系中，点(x,y)的坐标x∈A, y∈A,且x≠y,计算：

(1)点(x,y)不在x轴上的概率；(2)点(x,y)正好在第二象限的概率.2分析：由于点(x,y)中，x、y∈A,且x≠y,所以这样的点共有A10个，且每一个结果出现的可能性都相等.解：∵x∈A,y∈A,x≠y时，点(x,y)共有A10个，且每一个结果出现的可能性都相等，(1)设事件A为“点(x,y)不在x轴上”，1∴事件A含有的结果有A19·A9个.2∴P(A)=999.10910(2)设事件B为“点(x,y)正好在第二象限”，∴x＜0,y＞0.1∴事件B含有A15·A4个结果.1A125A4∴P(B)=.2A109［例5］从一副扑克牌(共52张)里，任意取4张，求：

(1)抽出的是J、Q、K、A的概率；(2)抽出的是4张同花牌的概率.4解：∵从一副扑克牌(52张)里，任意抽取4张，共有C52种抽法.每一种抽法抽出的结果出现的可能性都相等,(1)设事件A：“抽出的4张是J，Q，K，A”, ∵抽取的是J的情况有C14种, 抽取的是Q的情况有C14种, 抽取的是K的情况有C14种, 抽取的是A的情况有C14种, ∴事件A含有的结果共有44个.76842∴P(A)=4=.C52812175(2)设事件B：“抽出的4张是同花牌”，4∴事件B中含C4·C13个结果.4C110544C13∴P(B)=.4C52416

51二、参考练习

1.选择题

(1)某一部四册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左的顺序恰好为第1，2，3，4册的概率等于 81C.12A.161 D.B.答案：C(2)在100件产品中，合格品有96件，次品有4件，从这100件产品中任意抽取3件，则抽取的产品中至少有两件次品的概率为

1C2CA.4396

C100

3C2C B.434

C10013C24C96C4C.3C100

C3 D.34

C100答案：C(3)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选3台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是 54C.5A.109 D.B.答案：D(4)正三角形各顶点和各边中点共有6个点，从这6个点中任意取出3个点构成的三角形恰为正三角形的概率是 44C.17A.55 D.B.答案：D(5)在由1，2，3组成的不多于三位的自然数(可以有重复数字)中任意抽取一个，正好抽出两位自然数的概率是 132C.15A.32 D.B.答案：A 2.填空题

(1)设三位数a、b、c,若b＜a,c＞a,则称此三位数为凹数.现从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个数字，组成三位数，其中是凹数的概率是________.答案：2 5(2)将一枚硬币连续抛掷5次，则有3次出现正面的概率是________.3C5答案：5

2(3)正六边形的各顶点和中心共有7个点，从这7个点中任意取3个点构成三角形，则构成的三角形恰为直角三角形的概率是________.解：P=62123.C3332873 8答案：(4)商品A、B、C、D、E在货架上排成一列，A、B要排在一起，C、D不能排在一起的概率是________.222261A22A2A3解：P===.5543215A5答案：1 5(5)在平面直角坐标系中，点(x,y)的x、y∈{0,1,2,3,4,5}且x≠y,则点(x,y)在直线y=x的上方的概率是________.111151C15C4C3C21解：P===.2652A6答案：1 23.解答题

(1)已知集合A={a,b,c,d,e},任意取集合A的一个子集B，计算： ①B中仅有3个元素的概率;②B中一定含有a、b、c的概率.3C55解：①P=5.216C1111.②P=2528(2)某号码锁有六个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数号码(开锁号码)时，锁才能打开.如果不知道开锁号码，试开一次就能打开锁的概率是多少？如果未记准开锁号码的最后两位数字，在使用时随意拨下最后两位数字，正好把锁打开的概率是多少？

1.61011②P=2.10100解：①P=(3)9国乒乓球队内有3国是亚洲国家，抽签分成三组进行预赛(每组3队)，试求： ①三个组中各有一个亚洲国家球队的概率； ②三个亚洲国家集中在某一组的概率.解：①P=［CCC262422］÷［

339C39C6C3］=.328A333131C339C6C3②P=C6·C3÷［］=.3228A3(4)将m个编号的球放入n个编号的盒子中，每个盒子所放的球数k满足0≤k≤m,在各种放法的可能性相等的条件，求：

二数学随机事件及其概率教学计划 第6篇

第86课时：第十章 排列、组合和概率——随机事件的概率

一．课题：随机事件的概率 二．教学目标：

1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；

2．掌握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题；

三．教学重点：等可能事件的概率的计算． 四．教学过程：

（一）主要知识：

1．随机事件概率的范围 ； 2．等可能事件的概率计算公式 ；

（二）主要方法：

1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的； 2．等可能事件的概率P(A)m，其中n是试验中所有等可能出现的结果（基本事n件）的个数，m是所研究事件A中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算m,n的关键是抓住“等可能”，即n个基本事件及m个基本事件都必须是等可能的；

（三）基础训练：

1．下列事件中，是随机事件的是（C）

（A）导体通电时，发热；（B）抛一石块，下落；（C）掷一枚硬币，出现正面；（D）在常温下，焊锡融化。2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为（C）

(A)1124(B)(C)(D)23353．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为（C）

(A)1111(B)(C)(D)345104．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两个数之和为偶数的概率为（C）

(A)11n1n1(B)(C)(D)22n2n12n

1（四）例题分析：

例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：

（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色；

解：基本事件有3327个，是等可能的，3A32（1）记“三次颜色各不相同”为A，P(A)；

279（2）记“三种颜色不全相同”为B，P(B)2738； 279232315；（3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C，P(C)279例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。解：掷两次骰子共有36种基本事件，且等可能，其中点数之和为6的有

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5种，所以“所得点数和为6”的概率为

5。36例3．某产品中有7个正品，3个次品，每次取一只测试，取后不放回，直到3只次品全被测出为止，求经过5次测试，3只次品恰好全被测出的概率。

5解：“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有A10种等可能的基本事件，“3只次品恰好全被测出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次

224C7C3A41品，共有CCA种，所以所求的概率为。5A1020272344

例4．从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务，这里任何人当选的机会都是相同的，如果选出的2人有相同性别的概率是，求这个班级中的男生，女生各有多少人? 解： 设此班有男生n人(n∈N,n≤36)，则有女生(36-n)人，从36人中选出有相同性别的2人，只有两种可能，即2人全为男生，或2人全为女生.从36人中选出有相同性别的2人，共有(Cn2+C36-n2)种选法.22CnC36n因此，从36人中选出2人，这2人有相同性别的概率为 2C36221CnC36n依题意，有＝ 22C3612经过化简、整理，可以得到 n2-36n+315＝0.所以n＝15或n＝21，它们都符合n∈N，n<36.答：此班有男生15人，女生21人；或男生21人，女生15人.五．课后作业：

1．100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品.以上四个事件中，随机事件的个数是()(A)3(B)4(C)2(D)1 2．5人随意排成一排，其中甲不在左端，且乙在中间的概率为（）

(A)3334(B)(C)(D)5201025

3．抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于()(A)1131(B)(C)(D)

3842

4.将8个参赛队伍通过抽签分成A、B两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为()(A)4123(B)(C)(D)

7725

5.袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为()(A)1245(B)(C)(D)

33331133

6．将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是()(A)111(B)(C)(D)97

3694

７.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号

码1、2、3，现在从中任取三面，它们的颜色和号码均不相同的概率为。

8.9支球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽2队进行比赛，则两洲各有一队的概率是.9.接连三次掷一硬币，正反面轮流出现的概率等于.10.在100个产品中，有10个是次品，若从这100个产品中任取5个，其中恰有2个次品的概率等于.11.4位男运动员和3位女运动员排成一列入场；女运动员排在一起的概率是 ；男、女各排在一起的概率是 ；男女间隔排列的概率是.12.从1，2，3，……，9这九个数字中随机抽出数字，如依次抽取，抽后不放回，则抽到四个不同数字的概率是 ；如依次抽取，抽后放回，则抽到四个不同数字的概率是.13．20个零件中有3个次品，现从中任意取4个，求下列事件的概率：（1）4个全是正品；（2）恰有2个是次品。

14.从1，2，3，4，5这五个数字中，先任意抽取一个，然后再从剩下的四个数字中再抽取一个，求下列事件的概率：

（1）第一次抽到的是奇数；（2）第二次抽到的是奇数；（3）两次抽到的都是奇数；（4）两次抽到的都是偶数；（5）两次抽到的数字之和是偶数．

15．6名同学随意站成一排，求下列各种情况发生的概率：

随机事件的概率教学设计 第7篇

河南省周口市项城一高：王丽

2016年7月

《随机事件的概率》

河南省周口市项城一高：王丽

一、教学内容解析：

1.本节课是人教版必修三第三章第一节第一课时（§3.1.1）。

2.《随机事件的概率》是学生学习《概率》的入门课，也是学习后续知识的基础。让学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；让学生澄清生活中的一些对概率的错误认识，进一步体会频率的稳定性和随机思想；让学生感受到概率就在身边，从而深化对概率定义的认识。就知识的应用价值上来看:概率是反映自然规律的基本模型。概率已经成为一个常用词汇,为人们做决策提供依据。就内容的人文价值上来看：研究概率涉及了必然与偶然的辨证关系，是培养学生应用意识和思维能力的良好载体。

二、学生实际情况分析

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上第一次对一个函数进行全方位系统的研究.因此学生在学习初期会有一定的困难，但指数函数的总体难度不大，随着学生数学思想的建立和对函数知识系统的学习，大部分学生均可熟练掌握.一、本课数学内容的本质、地位、作用分析

三、设计思想

1.为了突出重点，突破难点，本节课采用列表法、图象法、解析法及图形计算器的实际操作等让学生从不同的角度去研究指数函数，对其有一个全方位的认识，从而达到知识的迁移运用.2.在教学过程中通过自主探究、生生对话、师生对话，培养学生“体会－总结－反思”的数学思维习惯，提高数学素养，激发学生勇于探索的精神.四、学习目标

课程标准对本节课的教学要求是：

理解并掌握指数函数的概念；能借助计算器或计算机画出具体指数函数图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.学习目标：

1.通过具体实例，经合作交流活动得到指数函数的概念，由学生自主归纳总结并对指数函数的概念进行分析.2.借助计算器画出具体指数函数的图象，探索、猜想、归纳指数函数的单调性与特殊点.3.学生在数学活动中感受数学思想之美、体会数学方法之重要，培养学生主动学习、合作交流的集体意识.五、教学重点与难点

教学重点：指数函数概念的产生过程；

教学难点：用数形结合的方法，从具体

到一般概括出指数函数性质.《随机事件的概率》教学设计说明

二、教学目标分析

首先要通过丰富实例让学生了解日常生活中的事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件等概念。然后让学生经历抛掷硬币试验，由此激发学生的学习兴趣和求知欲。通过抛硬币试验，学生获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高。同时让学生明确概率与频率的区别和联系，理解利用频率估计概率的思想方法。让学生亲历试验过程，培养学生观察、动手和总结的能力，以及同学之间的交流合作能力；培养学生把实际问题与数学理论相结合的能力，提高学生的探究能力；强化辨证思维，通过数学史渗透，培育学生刻苦严谨的科学精神。但随机现象大量存在于学生周围，让学生通过观察分析，去发现生活中随机现象的例子，从而更好的理解概率的概念，熟练的去应用概率解决问题。通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受必然性与偶然性的辩证统一思想。

三、教学问题诊断

本堂课的特点是概率统计定义的概念教学。根据学生的心理特征和认知规律，学生在日常生活中，对于概率可能有一些模糊的认识，但学生思维比较灵活，有较强的动手操作能力和较好的实验基础。因此我采取学生动手试验的教学法。高中数学概率部分的定位就是使学生对随机现象的概率有个初步的认识，我力求引导学生从以下几个角度来认识随机现象。

1.随机现象是指在相同条件下，做重复试验出现的不确定现象。强调重复试验和试验结果的随机性。并不是所有的不确定性都是概率研究的对象，凡是不能重复观测或重复试验的现象，即结果不确定，也不是概率论研究的对象。

2.频率是随机的，是n次试验中的频率，换另外n次试验一般来说频率将不同，而概率是一个客观存在的常数。

3.概率反映的是多次试验中频率的稳定性，学生常会错误理解抛两次硬币一定是一正一反。

4.出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。在概率的教学中，对一些学生容易产生误解的地方，可以采用试验的办法帮助学生理解，例如讨论抽签与抽取顺序无关时，就可以用试验模拟。

四、本节课的教法特点以及预期效果分析

始终贯彻以学生为中心的教育理念。关注学生的认知过程，重视学生的合作与讨论，随时发现、肯定学生的闪光点，让学生及时享受成功的愉悦。同时，结合学生暴露出的思想或方法上的问题，给予适时点拨。在教学设计中，我突显了教学的有效性：引导学生积极、主动地参与学习；使教师与学生、学生与学生之间保持有效互动的过程；为学生的自主建构创设平台，鼓励学生参与讨论、表述思想、展示自我，形成对知识真正的个性化的理解；关注学习者对自己以及他人学习的反思，及时分享学习感想，使学生获得对该学科的积极体验与情感．

抛币试验是取是舍？再三权衡，笔者认为，抛币试验是本节课的精华，唯有亲历随机过程，体会其随机性与规律性，才能真正理解概率概念；才能真正让学生体会频率稳定于概率的过程与一般极限过程的区别，在频率稳定于概率的过程中可能会出现偏差大的情形。要求学生根据所画的频率图，观察随着试验次数的增加，出现正面向上的频率在常数附近摆动幅度是否一定越来越小，让学生结合频率图来观察。一般来说正面向上的频率，在常数附近摆动的幅度不一定是单调递减的，但随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势。

希望通过这节课的教学，能使学生感受到随机现象有趣的一面，纠正生活中一些错误常识，更客观的看待一些“偶然”情况；能使学生在紧张而活泼的教学环节中，亲历随机性和规律性的统一过程；能使学生初步理解随机性，并感受利用统计方法处理随机性中的规律性——随机性是表象，规律性才是我们研究的主题．当然，课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如模拟抛掷骰子试验，航空意外险理赔等学生感兴趣的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生更充分地感受到数学知识在生产、生活、娱乐、服务等方面的广泛应用。

以上是我本人对于本节课设计的一些想法，由于水平有限，难免有许多的不足之处，恳请各位专家批评指正！

小议随机事件及其概率的教学 第8篇

在随机事件与概率的教学中, 采用由具体到抽象、由简单到复杂、由特殊到一般的方法, 能使学生清楚地理解随机事件与概率的直观意义, 从而归纳出随机事件概率的本质特征。

对于随机事件的概念, 教材中是这样说的:“在一定的条件下, 可能发生也可能不发生的事件, 叫做随机事件。”在教学中必须反复强调4点: (1) 在相同的条件下做试验或观察; (2) 可以重复地做大量试验或观察; (3) 每一次试验或观察的结果不一定相同, 且无法预测下一次试验或观察的结果是什么; (4) 将必然事件与不可能事件看作随机事件的特殊情形。

对于事件概率的概念, 教材中先给出了统计定义:“一般地, 在大量重复进行同一试验时, 如果事件A发生的频率m/n总是接近于某个常数, 在它附近摆动, 这时, 就把这个常数叫做事件A的概率, 记作P (A) 。”然后在等可能性的基础上给出了古典定义:“如果一次试验中共有n种等可能出现的结果, 其中事件A包含的结果有M种, 那么事件A的概率是P (A) =m/n。”这两个定义都是有局限性的。

古典定义基于“等可能”的概念, 在逻辑上是有缺点的, 而且不能应用到许多没有这种“等可能”的事件上去。同时, 试验的结果只限于有限种, 而不能应用到试验次数可无限重复但结果又不止有限种问题中去。

统计定义虽然突破了“等可能”的束缚, 可以应用于一般事件上, 也容易理解、接受, 但逻辑上也是不严密的, 因为它又以“频率稳定性”的事实为前提, 借助与“在大量重复进行同一试验时, 如果事件A发生的频率m/n总是接近于某一个常数, 在它的附近摆动”的事实。这样描述性的说明是不确切的, 也无法得到“频率的变化呈现稳定”, 其科学抽象却是一个常数 (概率) 。历史上虽然也有一些科学家企图把概率定义为:当试验次数趋于∞时频率的极限, 但这是不严谨的。实际上, 试验次数无法做到∞次, 也无法证明频率的极限一定存在。

严谨的定义是概率的公理化定义, 但考虑到中专生的知识基础与接受能力, 在中专数学教材中只需要学习概率的初步知识, 不宜追求纯数学的严密、完整。因此, 还是应该以现行教材的安排为好, 从直观易懂的统计定义出发, 在等可能假定下学习古典概率, 并以常见的古典概率问题为主。

在学习概率的统计定义时, 要强调以下几点: (1) 事件的频率与概率有本质的区别, 不可混为一谈, 频率是随着试验次数的改变而改变的, 概率却是一个常数, 它是频率的科学抽象 (当试验的次数越来越大时频率向概率逐渐靠近) ; (2) 在实际应用中, 只在试验的次数足够大时, 所得的频率就近似地当作该事件的概率; (3) 概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律, 这与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的, 也就是说单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性, 才是概率意义下的“可能性”, 而日常所说的“可能性”多是指某一次结果的不肯定性, 并不是概率意义下的“可能性”。

二数学随机事件及其概率教学计划 第9篇

一、概率论的基本概念与特点概述

在一定条件下,可能发生也可能不发生的试验结果称为随机事件,简称事件,用A、B、C…表示。随机事件有两个特殊情况,即必然事件(在一定条件下,每次试验都必定发生的事件)和不可能事件(在一定条件下,各次试验都一定不发生的事件),分别记为Ω和Φ。

随机事件在一次试验中是否发生,固然是无法事先肯定的偶然现象,但当进行多次重复试验时,就可以发现其发生的可能性大小的统计规律。具体说来,如果在相同条件下进行n次重复实验,事件A出现了n次,那么事件A在n次试验中出现的频率,/m当n无限增大时呈现稳定性。这一统计规律性表明事件发生的可能性大小是事件本身所固有的、不以人们主观意志改变的一种客观属性。事件A发生的可能性大小称为事件A的概率,记作P(A)。当试验次数n足够大时,可用事件的频率近似地表示该事件的概率,即P(A)≈m/n。这一定义被称为概率的统计定义。简而言之,这个定义就是“概率是频率的稳定值”。

设一个随机试验(不能事先准确地预言它的结果,而且在相同条件下可以重复进行的试验)只有有限个不同的基本事件ω1,ω2…ωn(基本事件也是一种事件,一般的事件总是由几个基本事件共同组成的),每个基本事件都是等可能的,基本事件的全体记作Ω,称它为基本事件空间。如果事件A由k(k≤n)个不同的基本事件组成,那么规定A的概率为P(A)=k/n。这一定义被称为概率的古典定义。

随机事件的本质特点是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。

按古典概率定义算得的事件A的概率P(A),只是理论上的数值,少量的试验中事件A的频率与之通常会有较大的差异。但当试验次数n足够大时,其频率将在概率P(A)附近摆动。这个事实表明:概率的统计定义与古典定义是相通的、统一的。

二、对教材和教师教学用书中若干瑕疵的分析

1.对概率的统计定义理解有误

概念是理论的基石。小学数学教材中尽管只用“可能性”来代替“概率”,但教师对概率的定义应有清晰、正确的认识和理解。须特别指出的是,教师不能尽信教师教学用书上的表述。

例如,在论及抛硬币活动的有关问题时,人民教育出版社出版的五年级上册《教师教学用书》第173页有如下表述:“当试验的次数增大时,正面朝上的频率和反面朝上的频率都越来越逼近1/2。这实际上就是概率的统计定义思想。”与概率的统计定义比较,可明显看出这一表述中的错误。事实上,频率“呈现稳定性”只是说,随着试验次数n的增大,频率将会在某个常数附近摆动,并不意味着频率向这个常数“越来越逼近”。举个简单的例子,某人在做抛硬币试验时,很可能第一次是正面朝上,第二次是反面朝上。这时正面朝上的频率和反面朝上的频率就已经都是1/2。但随着n从2增大到3,这两个事件的频率必定有一个是2/3,而另一个是1/3,这能算是“越来越逼近1/2”吗?

再如,五年级上册教材第102页练习二十一第1题为:“桌上摆着9张卡片,分别写着1~9各数。如果摸到单数小明赢,如果摸到双数小芳赢。(1)这个游戏公平吗?(2)小芳一定会输吗?(3)你能设计一个公平的规则吗?”

由于1~9这9个数中有5个奇数、4个偶数,所以小芳赢的概率只有4/9,而输的概率却为5/9,游戏显然有失公平。可是,五年级上册《教师教学用书》第177页中对此题的解答作了如下建议:“虽然游戏规则对小芳不利,但是在一次或有限次试验中,小芳却不一定会输。因为这里的5/9和4/9都是一个理论值,是在大量重复试验下抽到单数和双数的频率的极限。”

这段表述中有两处错误:

其一,对“有限”的理解有误。“有限”是相对于“无限”而言的,“有限次”并非只表示“少数几次”。“有限”也可以表示很多,如1万次、1亿次、1万亿次……只要次数是一个确定的常数,都可称为“有限次”。所以只能说“在一次或少数几次的试验中,小芳不一定输”,而不能说“在有限次试验中,小芳不一定会输”。因为当试验进行了1万次或1亿次时,规律应能显现:小芳在总体上必输无疑。

其二,对概率的统计定义的理解有误。概率并非“频率的极限”。为弄清其中的道理,我们不妨把进行了n次试验时,事件A出现的频率记为xn,x1,x2,x3…xn…就组成一个无穷数列xn。如果认定xn以概率P(A)为极限,就可写成“xn=P(A)”。而按照数列极限的“?着-N”定义,这个式子就要等价于以下表述:“对于每一个预先给定的无论怎么小的正数?着,总存在一个正整数N,使得对于大于N的一切正整数n,都有xn-P(A)< ?着。”而事实上,我们是找不到这样的N的。原因很简单,当n无限增大时,频率只是呈现出稳定性,而不是向概率P(A)无限接近。

综上所述,无论是“频率越来越逼近概率”还是“概率是频率的极限”,都是对频率与概率关系的错误认识,是对概率的统计定义的错误理解。

2.对随机事件的本质认识不清

随机事件的本质属性是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。教师在教学中应以通俗的语言、形象的描绘向学生传播这一基本思想。令人遗憾的是,由于教材和教师教学用书中存在不少瑕疵,导致了教师对随机事件的本质属性认识不到位。

(1)三年级上册教材第108页练习二十四第6题:“全班每人掷一次(硬币),正面朝上的有人,反面朝上的有人。”此题的编排意图是什么?如果说是为了让学生明白总会出现“正面朝上”或“反面朝上”两种结果的话,那笔者以为学生对此早有体验,实无必要。难道是为了验证这两个随机事件的概率都是1/2?带着这个问题,笔者查阅了三年级上册《教师教学用书》。该书第163页写道:“让全班一起掷一次,是为了使试验次数足够多以减少误差。由于实验结果与理论概率存在的差异,也可能得不到预期的结果,可以再让学生掷几次,增加试验的总次数,尽量使实验结果接近理论概率。”果不其然,只可惜把问题想得太简单了!

历史上不少数学家都进行过大量的抛币试验,而教师教学用书却认为“让全班一起掷一次”试验次就“足够多”了,科学性方面显然有所缺失。其实,即或“再让学生掷几次”也算不上“足够多”,很难达到“使实验结果接近理论概率”的目标。

(2)三年级上册教材第107页第5题如下:下表是从纸袋中摸20次的结果(摸出一个棋子后再放回去)。纸袋里的黄棋子多还是红棋子多?

此题是要学生根据频率反推出纸袋中两种棋子的多少。只试验了20次,凭什么来推断?推断“红棋子多”固然有道理,但有可能两种棋子同样多,也有可能黄棋子比红棋子更多。在试验次数较少的情况下,这种“倒挂”的现象完全有可能发生。

(3)五年级上册教材第100页练习二十第1题:“正方体的各面分别写着1、2、3、4、5、6,掷出每个数的可能性都是……”五年级上册教师教学用书第175页对此题的教学作了如下建议:“第一题因为正方体各部分很均匀和规则,所以在投掷后6个面朝上的可能性相等,都是1/6。教学时可让学生先说说自己的看法,再让他们动手试验。最好多投几次,并作好记录,以发现其中的概率规律。”

笔者认为,如果真的要让学生“发现其中的概率规律”,就不能仅仅建议“最好多投几次”,而应要求学生“必须投掷多次”。否则,只让学生试验个百十来次,还不如不做。因为不做学生还信,做后学生反而不信,岂不是自找麻烦?

三、对小学概率教学的几点建议

笔者不揣浅陋,愿就如何提高小学概率教学实效提几点建议,供同仁参考。

1.要向学生传播概率论的基本思想

在教学中,教师要着重向学生传播以下基本思想:

(1)大千世界,确定性事件毕竟只是少数,而随机事件却大量存在。随机事件的普遍性决定了概率论应用的广泛性。

(2)等可能性来自事物天然的对称性。硬币和骰子质地均匀、构造对称,转盘上各扇形面积相等都是这种对称性的表现。

(3)对等可能事件,可按其对称性算出其概率,这种算法虽说只是推理的结果,但其合理性与正确性已被前人通过大量试验的统计所验证。这也说明了“实践是检验真理的唯一标准”。

(4)随机事件的特点是:一次试验,结果不定;多次试验,呈现规律。这就表明“偶然中寓有必然”,这就是对立统一的辩证思想。

2.不要轻易让学生通过动手操作试验验证概率

对于古典概率的数值,只要向学生说明其合理性即可,不要轻易让学生通过动手操作试验去验证。因为次数多了,时间不够;次数少了,又往往事与愿违。教师应灵活处理教材中的相关例题和习题。在学生按教材的安排去尝试做验证性的试验前,教师应预先告知他们:只做少量的试验,结果未必理想,这正是随机事件偶然性的表现,不必感到奇怪。要想结果比较理想,应当在课外去完成大量的试验,次数通常不应少于1 000次,而且多多益善。

3.允许学生对一些问题有自己的独立见解

概率论研究的对象是随机事件。随机事件的发生与否存在着诸多偶然性因素。不同的人、不同的视角往往会得出不同的看法,因此,应当允许学生在思考时有自己的见解。

某校六年级曾出过下面的测试题:“学校举行乒乓球比赛,在决赛前公布了参加决赛的两个同学的资料(如下表)。

(1)决赛中( )获胜的可能性大。

(2)如果学校要推选1个选手参加校际比赛,应该推荐( )比较合适。

大多数学生在第一个括号里填“小明”,在第二个括号里填“小强”。但几个数学成绩一贯拔尖的学生都不约而同地在两处都填了“不确定”三个字。这件事在教师中引起了争议:有的教师认为这几个学生是“别出心裁”,也有的教师认为应当尊重学生的意见。笔者也持后一种态度。就按(1)小题而言,莫说这两人过去的成绩不相上下,即便是水平相差较大,决赛的胜负仍然难以预料,因为以弱胜强之事在诸多体育比赛中屡见不鲜。至于第(2)小题,依我愚见,推荐谁都不合适。因为体育比赛应当崇尚公平竞争、“更高、更快、更强”,任何诸如民主推荐、长官圈定之类的做法,都是与奥林匹克精神背道而驰的。

三年级上册教材第108页练习二十四第1题,要求对“花是香的”“月亮绕着地球转”“石狮子在天上飞”3个事件用“一定”“不可能”“可能”进行选择填空。笔者认为,除“月亮绕着地球转”应填“一定”外,其余两个事件均应填“可能”。理由很简单:花儿品种繁多,其中一种名为“尸臭花”不仅没有香味,反而其臭无比;而当龙卷风袭来时 ,“石狮子在天上飞”的奇景也未必不可能出现。(作者单位:江西省南昌师范高等专科学校)

作者简介:全国优秀教师、江西省劳动模范、江西省特级教师,自1994年10月起享受国务院特殊津贴,江西省教育学会小学数学教学专业委员会副理事长,江西省教育厅中小学教材审查委员会成员。在全国四十多种报刊上发表论文四百余篇,出版了《怎样上好小学数学课》《小学教坛漫思录》等专著。