函数单调性与导数（精选14篇）

函数单调性与导数 第1篇

课后反思

1.本节课的亮点：

教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从而到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推广到一般这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想方法,培养了学生的探索精神，积累了探究经验。

2.不足之处：

教学引入时间较长，致使整堂课时间安排显得前松后紧； 在引导学生探讨如何把导数与函数的单调性联系起来时，列举的函数有点多；学生对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练。

3.改进的思路：

①选取函数时应简单，易懂

②在引导学生提问时，问题要简明扼要 ③多进行公开课，锻炼自己的胆量和语言表达能力。

函数单调性与导数 第2篇

1、学生对函数的单调性有所遗忘，不会求单调区间。

2、学生对导数的几何意义不能深入理解。

3、学生对求导公式掌握不够熟练，求导出现错误。

4、教师所设计的问题难度偏大，练习题目过少。

5、学生的讨论与参与不够主动。补救措施：

“函数的单调性与导数”教学设计 第3篇

现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变, 本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间, 让学生能主动地去观察、猜测、发现、验证, 积极地动手、动口、动脑, 使学生在学知识的同时形成思想、方法.

整个教学过程突出了三个注重:1.注重学生参与知识的形成过程, 体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣.2.注重师生、生生间的互相协作、共同提高.3.注重知能统一, 让学生获得知识的同时, 掌握方法, 灵活应用.

二、教案

三、小结

第2讲 函数单调性与最值 第4篇

函数单调性是函数的一个重要性质，在研究函数时是一个重要手段，函数最值在处理函数综合问题用途很多. 高考中经常以一道小题直接考查，就是5分，当然，还会在综合题中用到相关知识，那样，分值就更大.

命题特点

结合这几年高考题，函数单调性主要有如下一些命题特点：（1）考查求函数单调性和最值的基本方法. （2）利用函数的单调性求单调区间. （3）利用函数的单调性求最值和参数的取值范围. （4）函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值、比较大小、解不等式等相关问题. （5）结合具体函数单调性求最值.多以选择填空题形式出现，也有与最值，参数范围等结合在解答题中出现.下面以例题来体现高考特点.

1. 单调性的判断是基础

例1 下列函数中，在[0，+∞]上为增函数的是 （ ）

A. [y=lnx+2] B. [y=-x+1]

C. [y=12x] D. [y=x+1x]

解析 直接利用基本初等函数和复合函数单调性来判断.

答案 A

例2 求函数[y=log12（x2-3x+2）]的单调区间.

解析 令[u=x2-3x+2]，则原函数可以看作[y=log12u]与[u=x2-3x+2]的复合函数.

令[u=x2-3x+2>0]，则[x<1]或[x>2].

∴函数[y=log12（x2-3x+2）]的定义域为（-∞，1）∪（2，+∞）.

又[u=x2-3x+2]的对称轴[x=32]，且开口向上.

∴[u=x2-3x+2]在（-∞，1）上是单调减函数，

在（2，+∞）上是单调增函数.

而[y=logu]在（0，+∞）上是单调减函数，

∴[y=log12（x2-3x+2）]的单调减区间为（2，+∞），

单调增区间为（-∞，1）.

点拨 复合函数单调性必须注意两点：（1）定义域优先；（2）分清内外层函数的结构及各自的单调性. 要熟悉基本初等函数性质，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，还要注意优先考虑定义域.

2. 利用单调性求参数范围

例3 若函数[fx=x2+ax+1x]在[12，+∞]上是增函数，则[a]的取值范围是（ ）

A. [[-1，0]] B. [[-1，+∞）]

C. [[0，3]] D. [[3，+∞）]

解析 通过求导转化为导数非负恒成立，再分离变量求解.

答案 D

例4 已知函数[f（x）=logax （x≥1），-ax2+（2a+1）x-3（x<1），][（a>0]且[a≠1）]，如果对任意[x1≠x2]，都有[（x1-x2）[f（x1）][-f（x2）]>0]成立， 则[a]的取值范围是 .

解析 分段函数的单调性要注意每段单调和端点处比较，即[loga1>-a+（2a+1）-3].

答案 [1

点拨 分段函数是高考重点，另外本题还给出了单调函数的其它表示形式[（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0].导数与单调性结合是高考热点，尤其是和求参数范围结合的题目更是高考“宠儿”，分离参数这一常见方法更应重视.

3. 与不等式结合是常见题型

例5 已知偶函数[f（x）]在区间[[0，+∞）]上单调递增，则满足[f（2x-1）

解析 （1）当[x>1]时.由[f（x）]在[[0，+∞）]上增函数及[f（2x-1）

解得，[x<23]，所以[12

（2）当[x<12]时.由偶函数[f（x）]在[[0，+∞）]上是增函数知，[f（x）]在[（-∞，0）]上是减函数，

所以[f（2x-1）-13].

解得[x>13]，故[13

综上，[x]的范围是[（13，12）∪（12，23）]

答案 [（13，12）∪（12，23）]

点拨 本题将原不等式等价为[|2x-1|<13]，更为方便.函数型不等式通常就是利用单调性去掉函数符号，转化为一般不等式求解.

4. 函数单调性与最值

例6 已知函数[f（x）=x2+2x+ax]，[x∈][1，+∞）.

（1）当[a=12]时，求[f（x）]的最小值；

（2）若对任意[x∈[1，+∞），f（x）>0]恒成立，求实数[a]的取值范围.

解析 （1）当[a=12]时，[f（x）=x+12x+2].

设[x1>x2≥1]，则[f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+12x1+12x2]

=[（x1-x2） ·2x1x2-12x1x2].

∵[x1>x2≥1]，

∴[f（x1）>f（x2）]，

∴[f（x）]在[1，+∞）上为增函数.

∴[f（x）≥f（1）=72]，即[f（x）]的最小值为[72].

（2） ∵[f（x）>0]在[x∈[1，+∞）]上恒成立，

即[x2+2x+a>0]在[1，+∞）上恒成立，

∴[a>[-（x2+2x）]max].

∵[t（x）=-（x2+2x）]在[1，+∞）上为减函数，

∴[t（x）max=t（1）=-]3， ∴[a>-]3.

nlc202309032056

∴[f（x1-x2）<0]，即[f（x1）

∴[f（x）]在[R]上为减函数.

点拨 求函数最值通常利用函数单调性求，在处理时必须先判断函数单调性，再确定最值点.函数最值和值域是高中考查重点，利用单调性求最值是重要方法，遇到这类问题，可以先判断一下函数单调性，再直接求其最值.

备考指南

（1）函数单调性的定义与判断是解决单调性的基础，要求熟练掌握基本初等函数的单调性、复合函数单调性判别方法.

（2）重点理解单调性的意义，注意单调函数的等价性，即函数[f（x）]单调增有[f（x1）>f（x2）?x1>x2]，[f（x）]单调减就有[f（x1）>f（x2）?x1

（3）会利用转化与化归思想解决恒成立问题，注意分离变量等常见处理方法.

限时训练

1. 已知函数[f（x）=loga|x|]在（0，+∞）上单调递增， 则 （ ）

A. [f（3）

C. [f（-2）

2. 下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数是 （ ）

A. [y=x2] B. [y=|x|+1]

C. [y=-lg|x|] D. [y=2|x|]

3. 函数[f（x）=ln（4+3x-x2）]的单调递减区间是 （ ）

A. （-∞， [32]] B. [[32]，+∞）

C. （-1，[32]] D. [[32]，4）

4. 设函数[fx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0，][g（x）=x2?f（x-1）]，则函数[g（x）]的递减区间是 （ ）

A. （-∞，0] B. [0，1）

C. [1，+∞） D. [-1，0]

5. 若函数[f（x）=loga（x+1）（a>0，a≠1）]的定义域和值域都是[0，1]，则[a]等于 （ ）

A. [13] B. [2]

C. [22] D. 2

6. 定义在[R]上的函数[f（x）]在区间（-∞，2）上是增函数，且[f（x+2）]的图象关于[x=0]对称，则 （ ）

A. [f（-1）f（3）]

C. [f（-1）=f（3）] D. [f（0）=f（3）]

7. 设函数[y=f（x）]在（-∞，+∞）上有定义，对于给定的正数[K]，定义函数[fK（x）=f（x），f（x）≤K，K，f（x）>K，]取函数[f（x）=2-|x|]，当[K=12]时，函数[fK（x）]的单调递增区间为 （ ）

A. （-∞，0） B. （0，+∞）

C. （-∞，-1） D. （1，+∞）

8. 已知函数[f（x）]的导函数为[f（x）=4+3cosx，][x∈（-1，1）]，且[f（0）=0]，如果[f（1-a）+f（1-a2）<0]，则实数[a]的取值范围是 （ ）

A. （1，[2]） B. （0，1）

C. （-∞，1）∪（2，+∞） D. （-∞，-2）∪（1，+∞）

9. 已知函数[f（x）=log2x-2log2（x+c）]，[c>0]. 若对任意的[x∈（0，+∞）]，都有[f（x）]，则[c]的取值范围是 （ ）

A. [（0，14]] B. [[14，+∞）]

C. [（0，18]] D. [[18，+∞）]

10. 已知函数[fx=x2-2a+2x+a2，gx=-x2][+2a-2x-a2+8.]设[H1x=maxfx， gx， H2x=][minfx，gx，maxp，q]表示[p，q]中的较大值，[minp，q]表示[p，q]中的较小值，记[H1x]得最小值为[A，][H2x]得最小值为[B]，则 （ ）

A. [a2-2a-16] B. [a2+2a-16]

C. [-16] D. [16]

11. 函数[f（x）=2xx+1]在[1，2]上的最大值和最小值分别是 .

12. 设函数[y=x2-2x，x∈[-2，a]]，若函数的最小值为[g（a）]，则[g（a）]= .

13. 已知[t]为常数，函数[y=|x2-2x-t|]在区间[0，3]上的最大值为2，则[t=] .

14. 已知函数[f（x）=e-x-2，x≤0，2ax-1，x>0，][a]是常数且[a>0]. 对于下列命题：①函数[f（x）]的最小值是-1；②函数[f（x）]在[R]上是单调函数；③若[f（x）>0]在[12，+∞]上恒成立，则[a]的取值范围是[a>]1；④对任意的[x1<0，x2<0]且[x1≠x2]，恒有[f（x1+x22）

15. 已知[f（x）=xx-a（x≠a）].

（1）若[a=-2]，试证[f（x）]在（-∞，-2）上单调递增；

（2）若[a>0]且[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求[a]的取值范围.

16. 已知函数[f（x）]在（-1，1）上有定义，[f12]=-1，当且仅当[0

（1）[f（x）]为奇函数；

（2）[f（x）]在（-1，1）上单调递减.

17. 函数[f（x）=x2+x-14].

（1）若定义域为[0，3]，求[f（x）]的值域；

（2）若[f（x）]的值域为[-12，116]，且定义域为[[a，b]]，求[b-a]的最大值.

18. 定义：已知函数[f（x）]在[[m，n]（m

（1）判断函数[f（x）=x2-2x+2]在[1，2]上是否具有“DK”性质，说明理由.

（2）若[f（x）=x2-ax+2]在[[a，a+1]]上具有“DK”性质，求[a]的取值范围.

函数的单调性与极值教案 第5篇

目的要求

1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.2.弄清函数极值与最值的区别与联系.3.养成整体思维的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.内容分析

1.教科书结合函数图象，直观地指出函数最大值、最小值的概念，从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的.3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a，b]上有定义，是为了保证函数在[a，b]内有最大值和最小值;在(a，b)内可导，是为了能用求导的方法求解.4.求函数最大值和最小值，先确定函数的极大值和极小值，然后，再比较函数在区间两端的函数值，因此，用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.5.有关函数最值的实际应用问题的教学，是本节内容的难点.教学时，必须引导学生确定正确的数学建模思想，分析实际问题中各变量之间的关系，给出自变量与因变量的函数关系式，同时确定函数自变量的实际意义，找出取值范围，确保解题的正确性.从此，在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法求导法.依教学大纲规定，有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数，而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.教学过程

1.复习函数极值的一般求法 ①学生复述求函数极值的三个步骤.②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.2.提出问题(用字幕打出)

①在教科书中的(图2-11)中，哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?

②x=a、x=b是不是极值点?

③在区间[a，b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?

④一般地，设y=f(x)是定义在[a，b]上的函数，且在(a，b)内有导数.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，你认为应通过什么方法去求解?

3.分组讨论，回答问题

①学生回答：f(x2)是极大值，f(x1)与f(x3)都是极小值.②依照极值点的定义讨论得出：f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.③直观地从函数图象中看出：f(x3)是最小值，f(b)是最大值.(教师在回答完问题①②③之后，再提问：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢?)

④与学生共同讨论，得出求函数最值的一般方法：

i)求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);

ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.4.分析讲解例题

例4 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值.板书讲解，巩固求函数最值的求导法的两个步骤，同时复习求函数极值的一般求法.例5 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积为多少?

用多媒体课件讲解：

①用课件展示题目与水箱的制作过程.②分析变量与变量的关系，确定建模思想，列出函数关系式V=f(x)，xD.③解决V=f(x)，xD求最值问题的方法(高次函数的最值，一般采用求导的方法，提醒学生注意自变量的实际意义).④用几何画板平台验证答案.5.强化训练

演板P68练习

6.归纳小结

①求函数最大值与最小值的两个步骤.②解决最值应用题的一般思路.布置作业

教科书习题2.5第4题、第5题、第

利用导数求函数的单调性解读 第6篇

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1．f(x)axax（a0且a1）；

2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）； 3．f(x)bx(1x1,b0)． 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解：

1．函数定义域为R．

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数． 当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数． 2．函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0，3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数；

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0，3∴函数f(x)在，上是减函数； 13清华园教育网

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当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数； 若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数． 说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1．f(x)x2x3； 2．f(x)2xx2； 3．f(x)x42b(b0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

4解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1．

∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)； 令f(x)0，得x1或0x1，清华园教育网

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）． 2．函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0，得0x1． ∴函数f(x)的递增区间为（0，1）； 令f(x)0，得1x2，∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0，得xb或xb．

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)； 令f(x)0，得bxb且x0，∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1).1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式；

2．设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1.∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21.2．(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)． 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0，即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立． ∴2(2)4x2,x1,4x24.∴2(2)4，解得4．

又函数(x)在（－1，0）上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立，∴2(2)4x,1x0,44x0.∴2(2)4，解得4．

故当4时，(x)在,1上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)．

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa． bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0.b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数． ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0，∴blnaalnb,ab.证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)，即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数． 又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba.ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是（）x清华园教育网

清华园教育网

A．增函数，且y0

B．减函数，且y0

C．增函数，且y0

D．减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令u11，且x(0,),u1，x则ylog1u0，排除A、B．

2由复合函数的性质可知，u在(0,)上为减函数．

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C． 在(0,)上为增函数，x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1（x(0,)），故y在(0,)上是增函数． 由解法一知y0．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

清华园教育网

导数与函数的单调性的教学反思 第7篇

第一、教学上应突出数学思想方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂的主体，必须把课堂时间交给学生。本节课通过复习二次函数的单调性，让学生动手发现探究原函数的单调性与其导数符号的关系，最后归纳出结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则导函数的符号与函数的单调性之间具有如下关系：

1)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的。

2)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的。

优点：

1、从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前学过的确定函数单调性的方法，使知识学习有连贯性。

2、由不熟悉的三次函数单调性的确定问题，使学生体会到，用定义法太麻烦，而图像又不清楚，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性。

3、从简单的、熟悉的二次函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。再用代数法求出导数进行验证。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般，同时体会数形结合的思想方法。

4、学生分组探讨，用导数的几何意义和代数法两种方法探讨，每组选出中心发言人，将本组讨论的结果公布出来，从而抽象概括一般性的结论。这个过程充分体现了学生的合作学习、自主学习、探究学习。

第二、例题和变式练习体现层次性、思想性。例题设计的两重用意：一是利用已知的二次函数的知识再次体验归纳结论的正确性，前面得到的是通过归纳得到的结论，没有严格的证明，这样处理有利于培养学生严谨的数学思想;二是对于二次以下的多项式函数，不仅可以通过用导数求单调性，也可以用图像法和定义法，都比较简单，也为了突出再求三次、三次以上的多项式函数或图像比较难画时的函数的单调性，应用导数的优越性。

1.通过例题让学生总结导数法求函数的单调区间的步骤，体会算法思想。

2、定义域的强调：对于求导，学生容易急于求成，往往忽略了定义域，让学生去讲例题，学生之间发现问题，他们印象会更深刻。

3、时刻注意学生基本功，学生的计算能力一直是薄弱点，每节课刻意去强调这些基本功，这样到高三就不会在这些方面费太多时间。

第三、教学中让学生“形成知识还是形成思想?”数学思想方法是以知识为载体，依附在具体的数学知识之中，是数学教学的隐形知识体系，但具体教学知识的教学不能代替数学思想方法的教学。数学思想方法将零散、具体的数学知识串起来，优化知识结构、、迅速构建学生的认知结构，从而对学生的数学思维产生深刻而持久的影响。相对而言，知识的有效性是短暂的，思想方法则是潜在的，持久的。因此，方法的掌握、思想的形成，才能使知识转化为能力，才是数学教学教育的最终目标。

导数与函数的单调性 第8篇

1.求单调区间

令f' (x) <0, 得0<x<1,

所以函数的单调递减区间为 (0, 1) .

2.已知单调区间求参数范围

例2已知函数f (x) =x3-ax+6在区间 (1, +∞) 上递增, 求a的取值范围.

解因为f' (x) =3x2-a,

且f' (x) ≥0在 (1, +∞) 上恒成立,

所以3x2-a≥0在 (1, +∞) 上恒成立,

解得a≤3.

3.存在单调区间求参数范围

且函数存在单调减区间, 所以

f' (x) <0有解,

所以g (x) 在 (0, 1) 递减, 在 (1, +∞) 递增, g (x) min=g (1) =-1,

故a>-1.

4.给定区间上的不单调问题

例4若函数f (x) =x3-12x在区间 (k-1, k+1) 上不是单调函数, 求k的取值范围.

令f' (x) =0, 得x=±2,

因为函数f (x) 在区间 (k-1, k+1) 上不是单调函数, 所以

或k-1<2<k+1,

解得-3<k<-1, 或1<k<3.

例5若函数f (x) =x3+ (1-a) x2-a (a+2) x在 (-1, 1) 上不单调, 求a的取值范围.

解由f' (x) =0, 得

又f (x) 在 (-1, 1) 上不单调,

所以a的取值范围是

如何利用导数研究函数的单调性 第9篇

利用导数研究函数单调性，方法不一，选择恰当的方法，简洁明了；反之，虽然也可以进行到最后，但是需要大量的计算.本文将各类方法进行了总结，并点明了注意问题，分析了各方法的优点、缺点、适用范围.

一、 正用

例1求函数y=3x2-2lnx的单调递增区间.

解析：函数的定义域为（0，+∞）

∵ f′(x)=6x-2x=2(3x2-1)x

∴ 令f′(x)＞0，结合x＞0，得x＞33

∴ f(x)的单调递增区间为33,+∞

【方法总结】用导数方法求函数单调区间：首先，求函数定义域、求导f′(x)；然后令f′(x)＞0得到函数的递增区间，令f′(x)＜0得到函数的递减区间.

二、 逆用

例2已知函数f(x)=x2+mx(常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，求m的取值范围.

【方法一】若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的；若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的.恒成立问题可以转化成求最值问题.

解析：∵ 函数f(x)=x2+mx（常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，

∴ f′(x)=2x3-mx2≥0在x∈［2，+∞）上恒成立

∴ m≤2x3在x∈［2，+∞）上恒成立

∴ m≤（2x3）min，x∈［2，+∞)

∵ 当x∈［2，+∞）时，y=2x3是增函数

∴ （2x3）min=16∴ m≤16

当m=16时，f′(x)≥0且f′(x)=0的点是孤立的（只有f′(2)=0），∴ m=16合题

∴ m的取值范围为（-∞，16］

适用性分析：这是解决“逆用”问题的基本方法.注意检验f′(x)=0的点是否孤立.

例如：（1） 已知函数g(x)=ax+1在［1，2］上是减函数，则a的取值范围是a＞0（a=0时，经检验不合题）.

（2） 若函数f(x)=cosx+px+q在x∈R上是减函数，则p的取值范围是p≤-1（p=-1时，f′(x)=0的点有无数个，但这些点是孤立的，故p=-1合题）

【方法二】首先用m表示出f(x)的单调递增区间（a,b），然后根据关系［2，+m）(a,b)得出m的取值范围.

解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}

∵ f′(x)=2x3-mx2，令f′(x)＞0，得x＞3m2

∴ f(x)的单调递增区间为（3m2，+∞）

∵ f(x)在x∈［2，+∞）时单调递增

∴ 3m2≤2解得m≤16

∴ m的取值范围为（-∞，16］

适用性分析：该法思路清晰、简单明了，但有时涉及解无理不等式，需要分类讨论，运算量大.例如（例3）：已知函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减，求m的取值范围.利用该法需要解不等式组-a-a2-33≤-23

-a+a2-33≥-13，诸多不便.

那么，象上面的例3，该怎样解决呢？

【方法三】二次函数法，结合二次函数性质，寻求使得导数恒≥0（或恒≤0）成立的充要条件.

解析：∵ 函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减

∴ f′(x)=3x2+2mx+1≤0在x∈-23，-13上恒成立

∴ f′-23≤0

f′-13≤0即73-4m3≤0

43-2m3≤0解得m≥2

∴ m的取值范围是［2，+∞）

适用性分析：（1） 适用面窄，只有当f(x)是三次函数（此时，其导数为二次函数）时，才可用该法；（2） 列出的条件容易不充分（少条件）或不必要（多条件），需要进行严谨的分析.一般的解决二次函数问题可以从以下四个方面入手：① 开口方向② 对称轴③ 判别式④ 端点处函数值.

函数单调性与导数 第10篇

ax11ax

xf(x)，所以f(x)为奇函数。（1）f(x)xa1a1

ax1(ax1)221（2）f(x)x，a1ax1ax1

因为a0，所以a11，所以0

所以f(x)的值域为(1,1).（3）任取x1,x2R，且x1x2，则 xx22，ax1

ax11ax2122f(x1)f(x2)x1x2x2x1 a1a1a1a1

2(ax11)2(ax21)2(ax1ax2) x1(ax11)(ax21)(a1)(ax21)

xx因为a1，x1x2，所以a1a2，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

函数单调性与导数 第11篇

2、在结论得出后，继续引导学生思考，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。

3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开始引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾呼应。

4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深刻。

5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切机会去实施，在例1的教学中，我让学生先熟练法则，再从形上分析，加深印象，这样在后面紧接的高考题中（没有给解析式），学生会迎刃而解。

函数单调性与导数 第12篇

第一课时 单调性

【教学目标】

1.知识与能力目标

（1）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义。（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质.。

（3）理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别。2.过程与方法目标

（1）逐步借助图像、表格、自然语言和数学符号语言，建立增（减）函数的概念。（2）学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养，借助函数图象的直观性得出函数的最值，（3）培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力。3.情感态度与价值观目标

（1）通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯.（2）通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣；学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习的信心。【教学重点难点】

重点：函数的单调性和最值及其几何意义．

难点：增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 【教学过程】 导入新课

如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

图1-3-1-8 随x的增大，y的值有什么变化？ 引导学生回答，点拨提示，引出课题.设计意图:创设情景，引起学生兴趣.推进新课 新知探究 提出问题

问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=化规律.如图1-3-1-9所示:

1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变x 1

图1-3-1-9 问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知.问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+和减函数吗？

2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数x

图1-3-1-10 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？

设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.学生的困难是难以确定分界点的确切位置.问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在［0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上 y随x的增大而减小.(3)函数y=

1，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增x大而减小.②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.③不能.④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.(3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x1

例1课本P29页例1.思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.图象法求函数单调区间的步骤: ①画函数的图象；

②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.答案：略.变式训练

课本P32练习4.例2课本P32页例2.思路分析：按题意，只要证明函数p=

k在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明.V点评：本题主要考查函数的单调性.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（定义法）①任取x1、x2∈D，且x1

③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）.易错分析：错取两个特殊值x1、x2来证明.答案：略.变式训练

判断下列说法是否正确： ①已知f(x)=1,因为f(-1)

课本P32练习2.拓展提升 试分析函数y=x+1的单调性.x活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.答案：略.课堂小结

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.(3)数学思想方法：数形结合.(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.【作业】

函数单调性与导数 第13篇

一、教材分析

本节的教学内容属于导数的应用, 是学生在学习了导数的概念、运算、几何意义的基础上学习的内容, 学好它既可加深对导数的理解, 又可获得解决函数单调性相关问题的重要方法, 同时也为后面研究函数的极值和最值打好基础。

二、学情分析

通过前面的学习, 学生对导数的相关知识已经有了初步的认识。但学生的学习基础还存在较大的分化, 而且在没有学习过极限知识的情况下, 学生对导数概念的理解不是很透彻, 对于瞬时速度及导数的几何意义也只停留在比较浅显的认识上。

三、目标分析

(一) 知识与技能目标

1. 能应用函数的单调性与导数的关系求单调区间;

2. 能解决函数的单调性以及单调性与导数关系逆推的问题。

(二) 过程与方法目标

1. 培养学生观察、分析、归纳的能力;

2. 培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论数学思想的运用。

(三) 情感态度与价值观目标

通过在教学过程中让学生多观察、勤思考、善总结, 培养学生的探索精神, 引导学生养成自主学习的好习惯。

四、教学重点和难点

教学重点:利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。

教学难点:函数单调性与导数关系的形成过程。

五、教法分析

1.教学方法的选择:引导探究发现式

2.教学手段的利用:多媒体

六、教学过程

(一) 复习、提问、引入新课

问1:瞬时速度和导数的几何意义。

问2:函数单调性定义和判断函数单调性的方法。

问3:如何判断f (x) =x2-3x-2的单调性。

设计意图:通过完成以上三个问题对已学知识进行复习巩固, 并从已学过的判断二次函数的单调性入手, 引导学生思考能不能用导数来研究函数的单调性, 以此引起学生的求知兴趣, 进而逐步浮现本节课的探讨任务。

(二) 探究思考、问题解决

探究:函数的单调性与导数的关系

情形1:瞬时速度

通过多媒体演示竖直上抛一个小球的运动过程, 让学生观察在每一个时刻小球的瞬时速度与其上升高度之间的关系, 即v (t) 与h (t) 的关系。

情形2:导数的几何意义

通过多媒体展示二次函数图象, 学生可以观察到切线斜率为正数时, 倾斜角小于90度, 曲线呈上升状态;切线斜率为负数时, 倾斜角大于90度, 曲线呈下降状态。

情形3:原函数图象与导函数图象的联系

通过多媒体展示两类对应函数的图象, 让学生观察两类函数图象之间的关系。

设计意图:从具体实例出发, 结合函数图象和导数的物理意义、几何意义来考查函数的单调性与导数的关系。这样比较直观, 学生也容易接受, 不仅能丰富学生的感性认识, 也能进一步地让学生理解函数单调性的定义。

情形4:函数单调性定义与导数定义的关系

单调递增函数, 即函数的平均变化率大于0.

单调递减函数, 即函数的平均变化率小于0.

事实上, 斜率, 即函数的平均变化率, 而导数正是函数平均变化率的极限, 所以我们从对应的数学定义中找到了函数单调性与导数的本质关系。

得出结论:

设函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内可导, f' (x) >0⇒f (x) 在区间 (a, b) 内递增, f' (x) <0⇒f (x) 在区间 (a, b) 内递减。

思考:上述结论的逆命题是否成立?

利用导数判断函数单调性的充要条件:

设f (x) 在区间 (a, b) 内可导, 则f (x) 在区间 (a, b) 内单调递增 (单调递减) 对一切x (a, b) 有f' (x) ≥0 (f' (x) ≤0) , 且在 (a, b) 的任意子区间上f (x) 不恒等于0.

(三) 例题讲解

例1:试判断下列函数的单调性:

(1) f (x) =2x-3x-12x+1

(2) f (x) =3x-2Inx

为了让学生在具体的应用中深化对结论的理解, 我共设计了三个小题, 通过 (1) 、 (2) 小题引导学生归纳出利用导数求单调区间的步骤, 并让学生与原来判断单调性的方法进行比较, 体会导数在研究函数单调时的优越性。第 (3) 小题由学生自己巩固练习。然后利用导数的有关信息引导学生画出每个函数的大致图象, 目的是利用数形结合的思想方法使学生的认识更加直观。

利用导数求函数单调区间的步骤: (1) 求定义域;

(2) 求f' (x) ;

(3) 解不等式f' (x) >0, 得函数f (x) 的递增区间;解不等式f' (x) <0, 得函数f (x) 的递减区间。

例2:设a

例2是在完成例1的基础上, 从图象角度来考查函数的单调性与导数的关系。此类题目的图象形状不唯一, 需要抓住单调性与导数的本质联系进行选择。

(四) 课堂小结

1. 知识点: (1) 函数单调性与导数的关系; (2) 利用导数判断函数单调性的步骤。

2. 思想方法:数形结合思想, 转化思想。

七、教学反思

1.导数与单调性的关系影响到后面函数与极值、最值的求法, 所以对学生要强调此内容对后续学习有着重要地位, 是基础中的重点。

2.注重例题逐步深化, 对学生要求逐步提高。

函数单调性与导数 第14篇

【关键词】参数；单调性；分类讨论；二次函数；判别式；方程的根

导数是研究函数的重要工具，而利用导数来判断函数的单调性也是高考重点考查的内容之一。用导数来判断函数的单调性，其一般步骤为：

1.确定函数y=f（x）的定义域；

2.求导函数f'（x）；

3.在函数f（x）的定义域的范围内解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0；

4.根据3的结果确定函数f（x）的单调区间。

例1：求函数 的单调区间。

解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）=x2-2x-3，解不等式f'（x）＜0，得-1＜x＜3；解不等式f'（x）＞0，得x＜-1或x＞3。所以f（x）的单调递减区间为（-1，3），单调递增区间为（-∞，-1）（3，+∞）。当我们遇到含参数函数时，基本上也要按照这个步骤进行。

例2：求函数的单调减区间。

解：函数f（x）的定义域为R， f'（x）=x2-（2a+1）x+2a，解方程f'（x）=0，得x1=1，x2=2a，只需解不等式f'（x）＜0即可，但需要对x1，x2之间的大小关系进行讨论。

若x1＞x2，即时，f'（x）＜0的解集为：（2a，1）；

若x1＜x2，即时，f'（x）＞0的解集为：（1，2a）。

所以，当时，f（x）的单调递减区间为（2a，1）； 当时，f（x）的单调递减区间为（1，2a）。

通过例2可以发现，含参数函数问题，往往需要分类讨论，而且有的时候，含参数类问题的讨论并不仅仅像例2那样，只是对两个根之间大小关系的讨论，其讨论的过程会更加复杂，运算会更加繁琐。不少同学解答起来会感觉很混乱，无从下手。下面，就对上述问题进行一些探讨和研究。看看如何才能在这个混乱的“局面”中找到解题的思路，做到“乱中有序”。

先看一个例题：

例3：设函数f（x）=mx2-ln（x+1），其中m∈R，求f（x）的单调区间。

分析：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

这里通过通分的方法，得到，这样做的好处是显而易见的，因为x+1＞0，所以只需判断好2mx2+2mx-1的符号。不妨设，则，不等式f'（x）＞0等价于 ，不等式f'（x）＜0等价于，看来问题可以得到解决了，但是在解决的过程中，有一些确是不容回避的：

1.是否为二次函数？这需要通过对m=0或m≠0来加以讨论；

2.若 为二次函数，则是否恒为正（负）？这一点，可以通过判别式△来判断。

3.若△＞0，则方程=0的两个解x1，x2之间的大小关系是否确定？x1，x2是否在定义域（-1，+∞）内？如不确定需要分类讨论，这也直接关系到不等式 或 的解集。

看来这个问题涵盖了三个层次的分类讨论，当它们叠加在一起的时候，需要我们有很好的分析问题和解决问题的能力，同时还需要有一定的耐心。具体解答如下：

解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

设=2mx2+2mx-1，①m=0时， ，此时 ，

∴f（x）在区间（-1，+∞）单调递减，②m≠0时，=2mx2+2mx

-1为二次函数，其中△=4m2+8m。

1.若△≤0，即-2≤m＜0时，函数=2mx2+2mx-1的图像是开口向下的抛物线，故≤0恒成立，此时在定义域x∈（-1，+∞）上也恒成立。

∴f（x）在区间（-1，+∞）单调递减

2.若△＞0，即m＞0或m＜-2时，=0的两个根分别为

，。

①当m＞0时，，故在

上 ＜0，此时；在上 ＜0，此时。

∴f（x）在区间 单调递减，在区间（，+∞）上单调递增。

②当m＜-2时，由于m＜-2，

，所以-1＜x2＜-，故在区间（，）上 ＞

0，此时f'（x）＞0，在区间上＜0，此时f'（x）＜0，∴f（x）在区间 单调递增，在区间

上单调递减。

综上可得：当m＜-2时，f（x）的单调递增区间为： ，单调递减区间为： ；当-2≤m≤0时，f（x）的单调递减区间为（-1，+∞），无单调递增区间；当m＞0时，f（x）的单调递增区间为： ，单调递减区间为：（-1， ）。

通过解答的过程，我们可以发现，像这样的，导函数f'（x）可以转化成二次函数的题型，其解答的一般步骤为：

1.确定函数f（x）的定义域，求导函数f'（x），并将f'（x）转化成用二次函数，（可设为 ）来表示；要注意两点：①若f'（x）本身就是二次函数，则无需转化；②若 的二次项系数不确定，需再加一步讨论。

2.先讨论二次函数的判别式△，一般是分△≤0和△＞0。因为当△≤0时，往往 恒为正（负），此时，f'（x）的符号就可以较为容易的判断出来，先将这一部分问题解决后，再解决△＞0时的部分；

3.当△＞0时，对应方程=0有两个不同的根，需要进一步讨论x1，x2。这一块主要讨论两点：①x1，x2之间的大小关系；②x1，x2是否在定义域或题目条件指定的区域中。这一部分运算往往比较繁琐，讨论容易出现混乱，解答时思路要清晰，还要有耐心。

解答这类问题时，要严格按照上面的步骤和要求，有序进行，解答的过程才能更加全面和彻底，不会有遗漏。

仿照例3，按上述的步骤和要求，再来训练一个题目。

例4：已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值。

分析：需要确定函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，按步骤进行。

解：第一步：确定函数f（x）的定义域，求导函数f'（x），并将f'（x）转化成用二次函数来表示。

函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ，

设=2x2-（2a+1）x+a，则 ，

第二步：讨论二次函数 的判别式△。

因为这里的△=（2a+1）2-8a=4a2-4a+1=（2a-1）2恒大于等于0，所以不需要再讨论，直接求出方程 =2x2-（2a+1）x+a=（2x-1）

（x-a）=0的根： 。

第三步：讨论x1，x2之间的大小关系，x1，x2是否在区间[1，e]上。

=（2x-1）（x-a），x∈[1，e]时，

1.当a≤1时， =（2x-1）（x-a）≥0对任意x∈[1，e]恒成立，此时 ≥0对任意x∈[1，e]也恒成立，

∴f（x）在区间[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=-2a

2.当1＜a＜e时，

若x∈[1，a]时，则 =（2x-1）（x-a）＜0，此时 ＜0

若x∈[a，e]时，则 =（2x-1）（x-a）＞0，此时 ＞0

∴f（x）在区间[1，a]上单调递减，在区间[a，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（a）=a（lna-a-1）

3.当a≥e时，=（2x-1）（x-a）≤0对任意x∈[1，e]恒成立，此时 ≤0对任意x∈[1，e]也恒成立，

∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=e2-e（2a+1）+a

综上可得：a≤1时，f（x）min=f（1）=-2a；

1＜a＜e时，f（x）min=f（a）=a（lna-a-1）

a≥e时，f（x）min=f（e）=e2-e（2a+1）+a

第三步可以通过绘制草图或列表格来辅助完成。