运算公式范文（精选4篇）

运算公式 第1篇

对于数列问题, 我们最熟悉的是等差数列和等比数列.因此, 对于一个陌生的数列, 探求相邻两项之差、之比, 这是我们首先应考虑的.本文就几类递推数列和混合数列的通项问题, 例谈用运算法探求解题途径.

一、an+1=pan+r (p≠1) 型

这类递推数列, 可先探求后一项与前一项之差 an+1-an, 再考察新数列{an+1-an}的特征, 化为熟悉的数列类型.

例1 已知 a1=1, an+1=2an+1, 求 an.

解:将 an+2=2an+1+1与 an+1=2an+1相减, 有

an+2-an+1=2 (an+1-an) ,

即$\frac{a{}_{n+2}-a{}_{n+1}}{a{}_{n+1}-a{}_n}=2$.

可见{an+1-an}是公比为2的等比数列.又该数列的首项是 a2-a1= (2a1+1) -a1=a1+1=2, 所以它的通项是

an+1-an=22n-1=2n.

再将 an+1=2an+1代入上式, 有

(2an+1) -an=2n,

从而 an=2n-1.

二、an+1=pan+rn+s 型

这是类型1的推广, 将原来的常数 r 变为等差数列 rn+s.可先用求差法, 转化为类型1, 再继续求解.

例2 设 a1=1, an+1=2an+ (n-1) , 求 an.

解:将 an+2=2an+1+n 与 an+1=2an+ (n-1) 相减, 有

an+2-an+1=2 (an+1-an) +1.

记 an+1-an=bn, 则上式化为

bn+1=2bn+1.

又 b1=a2-a1=[2a1+ (1-1) ]-a1=a1=1, 可见这就是例1, 可得 bn=2n-1.从而有

an+1-an=2n-1.

再将已知递推式代入此式, 有

[2an+ (n-1) ]-an=2n-1,

从而 an=2n-n.

三、an+1=pan+rqn型

这是类型1的另一种推广, 将原来的常数 r 变为等比数列 rqn.可先在递推式两边同除以 qn+1, 化归为类型1.

例3 设a1=2, an+1=2an+2n, 求 an.

解:递推式两边同除以2n+1, 得

$\frac{a{}_{n+1}}{2{}^{n+1}}=\frac{a{}_n}{2{}^n}+\frac{1}{2}.$

记$\frac{a{}_n}{2{}^n}=b{}_n$, 则上式化为$b{}_{n+1}=b{}_n+\frac{1}{2}$.

这是类型1的特殊情况 (p=1) , 可知{bn}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列.又首项$b{}_1=\frac{a{}_1}{2}=1$, 所以

$b{}_n=1+(n-1)\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}.$

而 an=2nbn, 从而得 an= (n+1) 2n-1.

四、an+1=pan+ (rn+s) qn型

这是类型2和类型3的结合型, 可用求商、求差相结合的方法来探索.

例4 设$a{}_1=\frac{1}{2}‚a{}_{n+1}=2a{}_n+(n-1)2{}^n$, 求 an.

解:两边同除以2n+1, 有

$\frac{a{}_{n+1}}{2{}^{n+1}}=\frac{a{}_n}{2{}^n}+\frac{n-1}{2}.$

记$\frac{a{}_n}{2{}^n}=b{}_n$, 则上式化为

$b{}_{n+1}=b{}_n+\frac{n-1}{2}.$

这是类型2, 可求出 bn, 进而得 an.这里再给出一种利用差式恒等式求通项的方法.

$\begin{array}{l}b{}_n=b{}_1+(b{}_2-b{}_1)+(b{}_3-b{}_1)+\cdots +(b{}_n-b{}_{n-1})\\ =\frac{a{}_1}{2}+\frac{1}{2}[0+1+2+\cdots +(n-2)]\\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}(n-1)(n-2).\end{array}$

则 an=2nbn=[1+ (n-1) (n-2) ]2n-2,

得 an= (n2-3n+3) 2n-2.

五、an+1=f (n) an型

递推式即$\frac{a{}_{n+1}}{a{}_n}=f(n)$.虽然{an}不一定是等比数列, 但利用商式恒等式

$a{}_n=a{}_1\cdot \frac{a{}_2}{a{}_1}\cdot \frac{a{}_3}{a{}_2}\cdot \cdots \cdot \frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}$,

可求出 an.

例5 设 a1=1, an+1=2nan, 求 an.

解:可知$\frac{a{}_{n+1}}{a{}_n}=2{}^n$, 那么由商式恒等式, 有

$\begin{array}{l}a{}_n=a{}_1\cdot \frac{a{}_2}{a{}_1}\cdot \frac{a{}_3}{a{}_2}\cdot \cdots \cdot \frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}\\ =122{}^2\cdots 2{}^{n-1}\\ =2{}^{1+2+\cdots +(n-1)}\end{array}$,

从而得 an=2n (n-1) 2.

以上各例主要是运用求差、求商来探索转化.实际上, 还可以运用其它一些运算来探求.

六、an+1=pa${}_n^r$型

这类递推数列, 可用取对数法, 转化为类型1.

例2 设 a1=2, an+1=2a${}_n^2$, 求 an.

解:已知等式两边取以2为底的对数, 有

log2an+1=2log2an+1.

记 log2an=bn, 上式化为

bn+1=2bn+1.

又 b1=log2a1=log22=1, 这恰是例1, 可知 bn=2n-1.

又 an=2bn, 所以 an=22n-1.

七、$a{}_{n+1}=\frac{pa{}_n}{ra{}_n+s}$型

可用取倒数法, 转化为类型1.

例7 设$a{}_1=\frac{1}{2}‚a{}_{n+1}=\frac{a{}_n}{2-a{}_n}$, 求 an.

解:取倒数, 有

$\frac{1}{a{}_{n+1}}=\frac{2-a{}_n}{a{}_n}=2(\frac{1}{a{}_n})-1.$

记$\frac{1}{a{}_n}=b{}_n$, 上式化为

bn+1=2bn-1. (类型1)

再将 bn+2=2bn+1-1与上式相减, 有

bn+2-bn+1=2 (bn+1-bn) .

因此{bn+1-bn}是公比为2的等比数列, 它的首项是

$\begin{array}{l}b{}_2-b{}_1=\frac{1}{a{}_2}-\frac{1}{a{}_1}=(\frac{2}{a{}_1}-1)-\frac{1}{a{}_1}\\ =\frac{1}{a{}_1}-1=1\end{array}$,

所以 bn+1-bn=2n-1,

即 (2bn-1) -bn=2n-1,

得 bn=2n-1+1.

又$a{}_n=\frac{1}{b{}_n}$, 所以$a{}_n=\frac{1}{2{}^{n-1}+1}$.

八、an与Sn的混合型

这类题目, 就是利用 an=Sn-Sn-1 (n≥2) , 转化为关于 an 的关系式, 或关于Sn的关系式.然后探求方法.

例8 设$a{}_1=\frac{1}{2}‚S{}_n=n{}^{2}a{}_n$, 求Sn.

解法1: (先消去Sn) 当 n≥2时,

$\begin{array}{l}a{}_n=S{}_n-S{}_{n-1}=n{}^{2}a{}_n-(n-1){}^{2}a{}_{n-1}\\ \Rightarrow (n{}^2-1)a{}_n=(n-1){}^{2}a{}_{n-1}\\ \Rightarrow (n+1)a{}_n=(n-1)a{}_{n-1}\\ \Rightarrow \frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}.\end{array}$

因此, 由商式恒等式

$a{}_n=a{}_1\cdot \frac{a{}_2}{a{}_1}\cdot \frac{a{}_3}{a{}_2}\cdot \cdots \cdot \frac{a{}_n}{a{}_{n-1}}=\frac{1}{2}\frac{1}{3}\frac{2}{4}\frac{3}{5}\cdots \frac{n-2}{n}\frac{n-1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}.$

此式对 n=1也适用.

再由Sn=n2an, 得$S{}_n=\frac{n}{n+1}$.

解法2: (消去 an) 已知式即

Sn=n2 (Sn-Sn-1) (n≥2) ,

化为$\frac{S{}_n}{S{}_{n-1}}=\frac{n{}^2}{n{}^2-1}=\frac{n{}^2}{(n-1)(n+1)}$.

再由商式恒等式, 有

$\begin{array}{l}S{}_n=S{}_1\cdot \frac{S{}_2}{S{}_1}\cdot \frac{S{}_3}{S{}_2}\cdot \cdots \cdot \frac{S{}_{n-1}}{S{}_{n-2}}\cdot \frac{S{}_n}{S{}_{n-1}}\\ =\frac{1}{2}\frac{2{}^2}{13}\frac{3{}^2}{24}\cdots \frac{(n-1){}^2}{(n-2)n}\\ \frac{n{}^2}{(n-1)(n+1)}\\ =\frac{n}{n+1}.\end{array}$

上式对 n=1也适用.

所以$S{}_n=\frac{n}{n+1}$.

哈尔滨市第一二二中学

Excel常用运算公式 第2篇

2、用出生年月来计算年龄公式：=TRUNC((DAYS360(H6,”/8/30″,FALSE))/360,0)。

3、从输入的18位身份证号的出生年月计算公式：=CONCATENATE(MID(E2,7,4),”/”,MID(E2,11,2),”/”,MID(E2,13,2))。

4、从输入的身份证号码内让系统自动提取性别，可以输入以下公式：=IF(LEN(C2)=15,IF(MOD(MID(C2,15,1),2)=1,”男”,” 女”),IF(MOD(MID(C2,17,1),2)=1,”男”,”女”))公式内的“C2”代表的是输入身份证号码的单元格。

1、求和： =SUM(K2:K56) 对K2到K56这一区域进行求和;

2、平均数： =AVERAGE(K2:K56) 对K2 K56这一区域求平均数;

3、排名： =RANK(K2，K$2:K$56) 对55名学生的成绩进行排名;

4、等级： =IF(K2>=85,”优”,IF(K2>=74,”良”,IF(K2>=60,”及格”,”不及格”)))

5、学期总评： =K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 假设K列、M列和N列分别存放着学生的“平时总评”、“期中”、“期末”三项成绩;

6、最高分： =MAX(K2:K56) 求K2到K56区域(55名学生)的最高分;

7、最低分： =MIN(K2:K56) 求K2到K56区域(55名学生)的最低分;

8、分数段人数统计：

(1) =COUNTIF(K2:K56,”100″) 求K2到K56区域100分的人数;假设把结果存放于K57单元格;

(2) =COUNTIF(K2:K56,”>=95″)-K57 求K2到K56区域95～99.5分的人数;假设把结果存放于K58单元格;

(3)=COUNTIF(K2:K56,”>=90″)-SUM(K57:K58) 求K2到K56区域90～94.5分的人数;假设把结果存放于K59单元格;

(4)=COUNTIF(K2:K56,”>=85″)-SUM(K57:K59) 求K2到K56区域85～89.5分的人数;假设把结果存放于K60单元格;

(5)=COUNTIF(K2:K56,”>=70″)-SUM(K57:K60) 求K2到K56区域70～84.5分的人数;假设把结果存放于K61单元格;

(6)=COUNTIF(K2:K56,”>=60″)-SUM(K57:K61) 求K2到K56区域60～69.5分的人数;假设把结果存放于K62单元格;

(7) =COUNTIF(K2:K56,”<60″) 求K2到K56区域60分以下的人数;假设把结果存放于K63单元格;

说明：COUNTIF函数也可计算某一区域男、女生人数，

如：=COUNTIF(C2:C351,”男”) 求C2到C351区域(共350人)男性人数;

9、优秀率： =SUM(K57:K60)/55*100

10、及格率： =SUM(K57:K62)/55*100

11、标准差： =STDEV(K2:K56) 求K2到K56区域(55人)的成绩波动情况(数值越小，说明该班学生间的成绩差异较小，反之，说明该班存在两极分化);

12、条件求和： =SUMIF(B2:B56,”男”，K2:K56) 假设B列存放学生的性别，K列存放学生的分数，则此函数返回的结果表示求该班男生的成绩之和;

13、多条件求和： {=SUM(IF(C3:C322=”男”,IF(G3:G322=1,1,0)))｝ 假设C列(C3:C322区域)存放学生的性别，G列(G3:G322区域)存放学生所在班级代码(1、2、3、4、5)，则此函数返回的结果表示求 一班的男生人数;这是一个数组函数，输完后要按Ctrl+Shift+Enter组合键(产生“{｝”)。“{｝”不能手工输入，只能用组合键产生。

14、根据出生日期自动计算周岁：=TRUNC((DAYS360(D3,NOW( )))/360,0)

假设D列存放学生的出生日期，E列输入该函数后则产生该生的周岁。

15、在Word中三个小窍门：

①连续输入三个“~”，按下回车键，可得一条波浪线。

②连续输入三个“-”，按下回车键，可得一条直线。

用除法运算确定诱导公式中的角 第3篇

关键词：诱导公式,教学,确定方法

三角函数的诱导公式，在三角函数式的变形与三角函数值(特别是任意角的函数值)的计算中都起着化繁为简、化难为易的作用，很好的体现了化归的数学思想和方法．同时，公式多、记忆难，学生在使用时容易出错，历来是三角函数教学的重点和难点．尤其是公式中角α的确定，多数教材中都没有给出一个统一的确定方法，直接影响了公式的使用．下面就从公式的内在联系入手，利用除法运算，给出角α的确定方法．

一、立足应用，突出重点，把握难点

1．依据公式间的内在联系，突出重点

诱导公式虽然类型多、数量大，但只要掌握了角2kπ+α(k∈Z)、角-α、角π+α、角与角α的三角函数关系(共4组公式，具体公式在此略)，其余公式可由它们推出，因此，这4组公式是教学的重点和难点．

2．立足公式应用，把握难点

从4组公式的作用看，角-α的诱导公式只起到“化负角为正角”的作用，因此公式应用的重点应当是其余3组公式．其余3组公式中，角π+α或公式中对应的角较小(小于360°或2π)，相对简单;而角2kπ+α(k∈Z)的诱导公式对应的角往往大于360°或2π，并且需要将已知三角函数中的角分解为2kπ+α(k∈Z)的形式，也就是涉及角α的确定，所以角2kπ+α(k∈Z)的诱导公式既是重点，也是难点．

二、利用除法运算，给出角α的确定方法

下面就以2kπ+α(k∈Z)的诱导公式为主，结合实例，利用除法运算，给出角α的确定方法(为突出角α的确定方法，实例中的三角函数对应的角都大于360°或2π)．

例利用诱导公式求下列三角函数值．

1．当给定的角采用度(度数大于360°)表示时

(1)解:用1560°除以360°，即做竖式除法余数120°就是角α，用横式表示就是

在计算tan 120°时，可以通过不同的变形方法，训练学生一题多解的能力．

(2)解:首先使用角-α的诱导公式，化负角为正角，得sin(-810°)=-sin810°;对810°使用竖式除法余数90°就是角α，用横式表示就是:810°=2×360°+90°，即角α=90°，得sin(-810°)=-sin810°=-sin(2×360°+90°)=-sin90°=-1.

方法归纳:当给定的角用度表示且度数大于360°时，可以用除法来确定角α:用给定的角除以360°，余数就是角α．

2．当给定的角采用弧度(弧度数大于2π)表示时

(3)解:利用弧度和度的关系，需把上述除法中的360°换成2π，即做除法余数π就是角α，即7π=3×2π+π．故cos7π=cos(3×2π+π)=cosπ=-1.

(4)解:要计算的值，类比(3)题，学生能想到做除法但由于涉及分数相除，比较困难．可改为:用分母4与2π的乘积做除数，即做除法

归纳:当给定的角用弧度表示且弧度数大于2π时，可以做除法来确定角α:用给定的角除2π，余数就是角α．特别的，当给定的角用弧度表示且弧度数是分数时，可把除数改为2π与分母的积．

我们的体会是:既要注重理论知识的传授，又要注重思想与方法的培养，在把握教学重点和难点的基础上，提高应用知识的能力为主线，将教学内容和学生实际、教学方法有机结合在一起，切实提高数学课堂的教学质量．

参考文献

[1]山东省职业教育教材编写组.数学(第二册)[M].北京:人民教育出版社,2009:24-26.

[2]山东省职业教育教材编写组.教师教学用书数学(第二册)[M].北京:人民教育出版社,2009:11-12.

[3]覃志根.三角函数诱导公式的教学探索[J].中学教学参考,2010,61(9):72-73.

Excel最常用公式运算技巧 第4篇

一、求和： =SUM(K2:K56)——对K2到K56这一区域进行求和；

二、平均数： =AVERAGE(K2:K56)——对K2 K56这一区域求平均数；

三、排名： =RANK(K2，K$2:K$56)——对55名学生的成绩进行排名；

四、等级：“=IF(B2<60,“差”,IF(B2<=80,“中”,IF(B2<=90,“良”,IF(B2>90,“优秀”))))”

五、学期总评： =K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 ——假设K列、M列和N列分别存放着学生的“平时总评”、“期中”、“期末”三项成绩；

六、最高分： =MAX(K2:K56)——求K2到K56区域(55名学生)的最高分；

七、最低分： =MIN(K2:K56)——求K2到K56区域(55名学生)的最低分；

八、统计人数：

1、统计一个班的总人数：=COUNTIF(C3:C34,“<>”“")

2、统计一个班女生的人数：=COUNTIF(D3:D34,”女“)

3、统计一个班考试的人数：=COUNTIF(E3:E34,”>=0“)

4小于30分的人数：=COUNTIF(E4:E35,”<=30“)

5、统计一个班70到80分=COUNTIF(E3:E34,”>=70“)-COUNTIF(E3:E34,”>80“)

九、优秀率： =TEXT(COUNTIF(B2:B40,”>=80“)/COUNTA(B2:B40)*100,”00.00“)&”%“