方程分析法范文（精选12篇）

方程分析法 第1篇

一、行程问题

例1 (湖南湘西) 吉首城区某中学组织学生到距学校20 km的德夯苗寨参加社会实践活动, 一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走, 半小时后, 其余学生沿319国道乘汽车前往, 结果他们同时到达 (两条道路路程相同) , 已知汽车速度是自行车速度的2倍, 求骑自行车学生的速度.

【分析】行程问题涉及三个基本量:路程、速度和时间, 它们之间的基本关系是:路程=速度×时间, 在这三个基本量中, 已知两个可以求出第三个.本题中涉及两种交通方式, 包含的等量关系有: (1) 速度关系:汽车的速度=自行车速度的2倍; (2) 时间关系:坐汽车所用的时间=骑自行车的时间-半小时.

如果以 (2) 等量关系列分式方程, 则需要设速度为未知数, 即设骑自行车学生的速度为每小时x千米, 可以设计4行3列的表格, 把题目中有关的量填入表格如下:

本题还可以以 (1) 为等量关系列分式方程, 则需要设时间为未知数, 同学们可以试一试.

解:设骑自行车学生的速度为x km/h, 则汽车的速度为2x km/h, 根据题意得:

解得:x=20.经检验, x=20是原方程的解.

答:骑自行车学生的速度为20 km/h.

二、销售问题

例2 (湖北仙桃) 某文化用品商店用1 000元购进一批“晨光”套尺, 很快销售一空;商店又用1 500元购进第二批该款套尺, 购进时单价是第一批的倍, 所购数量比第一批多100套.

求第一批套尺购进时单价是多少?

【分析】销售问题涉及三个基本量:总价、单价和数量, 它们之间的基本关系是:总价=单价×数量, 在这三个基本量中, 已知两个可以求出第三个.本题中涉及两个批次的进货, 包含的等量关系有: (1) 单价关系:第二批套尺购进单价=第一批套尺购进单价的倍; (2) 数量关系:第二批所购数量=第一批所购数量+100套.

如果以 (2) 等量关系列分式方程, 则需要设单价为未知数, 即设第一批套尺购进单价为x元, 可以设计4行3列的表格, 把题目中有关的量填入表格如下:

本题还可以以 (1) 为等量关系列分式方程, 则需要设数量为未知数, 同学们可以试一试.

解: (1) 设第一批套尺购进时单价是x元/套.

经检验:x=2是所列方程的解.

答:第一批套尺购进时单价是2元/套.

三、工程问题

例3 (2013·四川德阳) 一项工程, 甲队单独做需40天完成, 若乙队先做30天后, 甲、乙两队一起合做20天恰好完成任务, 请问乙队单独做需要多少天才能完成任务?

【分析】本题是虚拟类工程问题, 工作总量通常看作单位1, 工程问题涉及三个基本量:工作总量、工作效率和工作时间, 它们之间的基本关系是:工作总量=工作效率×工作时间, 在这三个基本量中, 已知两个可以求出第三个.本题中涉及两个人工作, 涉及工作总量的等量关系为:甲的工作总量+乙的工作总量=1.

如果以工作总量为等量关系列分式方程, 则需要设乙的工作时间为未知数, 即设乙队单独做需要x天才能完成任务, 可以设计4行3列的表格, 把题目中有关的量填入表格如下:

解:设乙单独做需要x天完成, 由题意得

解得x=100.

经检验x=100是原方程的解,

答:乙单独做需要100天完成.

“函数与方程思想”案例分析 第2篇

——“函数与方程思想”案例

一．主题

函数与方程是中学数学的重要概念，他们之间有着密切的联系；函数与方程的思想是中学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值，解（证）不等式，解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是历年高考的重点和热点。

1.函数的思想

用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识。

2.方程的思想

在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。

3.函数的思想与方程的思想的关系

在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决。对于函数，当

时，就转化为方程，也可以把函数

看作二元方程，函数与方程可相互转化。

4.函数与方程的思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，当

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

（2）数列的通项与前

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决。这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

（4）立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切。

二．背景

此案例的背景主要是：这是一堂与函数与方程思想有关的中学数学课，虽然本节教材是实施新的课程改革，但是这节内容与老教材的内容基本一致。选用此案例的原因是虽然该案例的授课老师授课时是一节平常课，采用的上课方式是组讨论式，但是该授课老师以前曾有过用此节内容开公开课的经历，当时采用的上课方式是普通的启发式教学。通过此案例我们可以将其进行分析比较，进而得到结果。

三．情景描述

四．教学反思研究

方程分析法 第3篇

【关键词】实际问题 表格分析 等量关系 方程

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）08-0228-02

方程类实际问题是初中数学课本中的一个重要教学内容，是培养学生分析问题、解决问题能力的最佳载体，也是初中数学的一个教学难点。在教学中，方程类实际问题阅读量大，学生总是被题目中的文字表述搞得头昏脑胀，理不清各种数量关系，最终列不出方程，而造成“望洋兴叹”的局面。

本人在教学过程中，通过不断的摸索与实践，创新出一种模块化、操作性强的解题方法——表格分析法，能将学生无法依据实际问题的题意列出方程，这一难点有效破解，让学生能循序渐进找到突破口，从而顺利地得到方程。现将此方法作如下论述。

方程模型分析与研究 第4篇

关键词：方程模型,数学模型,应用题

引言

方程模型是一种数学具体模型分析方法, 是数学模型的重要组成部分, 对解决实际数学问题以及生活中所遇到的一些数字化、逻辑化问题有实际的意义和帮助。方法作为一种解决问题的途径, 只有掌握了其运用的方式与理念, 才能真正用于实际问题的解决, 否则只会南辕北辙。方程模型作为数学分析的重要模型, 对于恰当的解决问题, 提高学科的纵深化发展具有重要的作用。

一、数学模型与方程模型基本概念

1、数学模型

数学模型是数学教学过程中常见的变量分析模型, 是以某种参照物为对象并对变量之间关系进行表达的形式化数学符号性语言, 是一种数学结构的体现。广义上的数学模型是指一切涉及到数学理论、数学概念、数学公式、数学算法或者方程模型的内容;狭义的数学模型即反映特定的数学问题或者特定事物之间数学变量关系的模型[1]。目前在应用数学教学与研究的过程中, 更多的采用的是狭义的数学模型。

2、方程模型

方程模型是以方程为基本构成要素的综合关系形式。学会采用方程及方程组的形式解决数学问题, 是有效提高数学学习能力的基础。

方程模型, 简单来讲即通过列方程组来解数学问题, 在初中数学课本中可以发现方程求解的应用范围相对广泛, 很多数学问题基本上都是采用方程模型来解决的。用未知变量来表达相关关系解答实际问题。下面以初中数学为例分析常见的六类方程模型[2]:

二、以初中数学为例分析方程模型

1、初中数学应用题教学研究

方程模型在数学应用题目解题过程中发挥着重要的作用, 可以说如何列方程组解答题目是有效采用方程模型的基本思想来解决实际中所遇到的问题的重要研究内容, 学会列方程组解决实际问题对于提高学生对问题的认识与分析、解决能力具有关键性的作用。方程模型的思想是数学教学的重点内容, 同时也是教学的难点所在。

本文以初中数学教学为例, 分析方程模型在数学应用题中的应用。通过对初中数学课本进行研究可以发现, 在代数中, 共有五类方程组求解题目, 分别是一元一次方程、二元一次方程组、可化为一次方程的分式方程、一元二次方程、可化为一元二次方程的分式方程。

在对一元一次方程或者二元一次方程组进行解答的过程中, 通常包括七个部分, 分别为分析题目中的关键变量, 包括已知量与未知量以及二者之间的联系;设未知数;用未知数来表示题目中变量之间的关系, 并形成代数式;根据变量关系列出相应的方程;对方程进行求解;对答案进行验证;写出答。

上述对题目进行分析的过程中, 前三部分是有效解题的关键部分, 即要在仔细对题目进行分析的基础上, 分清题目中的已知量、未知量及二者之间的关系, 并列出正确的关系式。通常对于一些相对复杂的题目来讲, 还可以采用画图表的方式来辅助分析[3]。另外还需要重视代数式的表达步骤, 在明确题目中基本的变量关系之后, 正确的利用未知数与已知变量来列出方程式, 并对方程式进行正确求解, 以解决实际问题。

2、案例分析

以课本中一道例题为例, 对方程模型进行分析。

案例:甲对乙说, 像乙这么大那一年, 乙的岁数是今年甲岁数的一般, 当乙到甲今年的岁数时, 甲的岁数又是乙的岁数的二倍减7, 问今年甲乙各多大岁数?

对上述案例进行方程思想的分析。假设甲乙两人今年的岁数分别为x、y, 则当甲年龄为乙时, 即甲的岁数为y时, 乙的年龄为甲目前岁数的一半即x/2, ;在乙到甲今年的岁数即x岁时, 甲的年龄是 (2y-7) , 则根据此两点, 构建方程组如下:

上述两个方程构成的方程组即为本体的数学模型体现, 也就是方程模型。通过对上述方程组求解, 得出甲乙二人今年岁数分别为28岁、21岁。

下面对此题进行规范性解答:

解:设甲乙两人今年岁数分别为x、y, 则甲的年龄为乙今年年龄y时, 乙的年龄为x/2, 乙到甲今年的岁数x时, 甲年龄为2y-x。根据上述题意, 得出:

答:今年甲为28岁, 乙为21岁。

从方程模型的角度对上述案例进行分析可以发现, 很多题目的考察点均是学生对题目本身所提供的情境的一种数学化理解方式, 即数学模型的构建, 这种数学思想应该在数学教学中予以认真思考, 突出方程模型在解题中的应用。

三、结论

在中学数学的教学过程中, 可以发现, 应用方程模型的案例相对较多, 方程模型的实际解题思路相对新颖, 很多数学问题基本上都可以采用方程模型的方法予以分析与解答。教师在实际教授过程中应积极引导学生用方程模型的理解与分析方法来认识数学问题。突出方程模型在数学教学中的广泛应用。

参考文献

[1]孙永红:《论初中数学中方程模型与应用题教学》, 《课堂内外:教师版》, 2012, (1) :29-30。

[2]丁学廉:《方程模型与应用题教学》, 《中国校外教育 (理论) 》, 2011, (z3) :412。

二元一次方程 的应用案例分析 第5篇

【课堂实录】

【案例评析】

二元一次方程组的应用是在学生学习了列一元一次方程解应用题和二元一次方程组解法的基础上学习的一个新的内容，它在实际生活中有着广泛的应用。

在本节课的教学中，老师重视引导学生认真审题，注意找出题目中的已知数、未知数和表示应用题全部含义的相等关系。在教学中，注重转化思想的渗透：实际问题转化为数学问题，二元转化为一元。在第一环节“引入新课”中，老师首先演示学生上次春游的相片，“同学们还记得上次春游的欢乐时光吧！春天的脚步越来越近，同学们对春游的盼望也越来越急切，今天就让我带领大家提前走进春游活动，看看春游活动中发生了什么有趣的事情吧！”此情境的创设，引发学生的注意力，营造学习气氛，激发学生的探索热情。

在第二环节“探究新知”中，老师以“租车”、“坐车途中讲故事”、“到达欢乐谷后同学们自由活动打扑克”、“买水果”、“买奖品”等 5 个不同实际问题为背景设置了 5 个例题，引导学生主动地参与教学活动，发扬教学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力，发展多角度思考问题的能力 , 培养学生严谨的思维方式和良好的学习氛围。在学习活动中获得成功感，树立自信心，并进一步形成对数学知识的理解，培养数学应用意识，体会将实际问题转化为数学问题和将二元方程组转化为一元方程的过程。我认为本节课有以下三个特点：

1.教学目标明确、具体，符合《课程标准》的要求和学生的实际水平本节课

老师确定了三个教学目标：

（1）能正确分析实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型并能解决实际问题。

（2）经历把实际问题抽象为数学方程组的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意。

（3）在探究学习中培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的精神，通过合作交流，养成学生的合作互助意识，提高数学交流和数学表达能力。

教学目标的确定体现了《课程标准》对学生在知识与技能、过程与方法方面的要求，也体现了《课程标准》对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。教学目标全面、具体、明确，符合《课程标准》、教材的要求和学生的实际。本节课的教学，老师紧紧围绕教学目标设计教学过程，紧密联系生活实际，精心设计问题情境，以学生亲身经历的学习生活中的实际问题为背景编制应用题，引导学生将实际问题转化为数学问题，将二元一次方程组转化为一元一次方程，用学过的知识加以解决。使所有学生既能参与，又有一定的拓展、探索的余地，全体学生在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的体验。整个教学过程围绕教学目标层层展开，步步深入。从教学效果看，达到了预定的教学目标。

2.教师营造了宽松和谐的学习氛围，使学生得到了良好的学习和情感体验 为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，在教学方法上，老师采用了启发讲授、小组讨论、合作探究相结合的教学方式。在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想。通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程。

在教学手段方面，选择多媒体课件辅助教学的方式，生动、有趣的多媒体课件一方面为学生在课堂教学中进行自主探究和发现新知提供了技术支持，另一方面为教师进行教学演示提供了平台，二者有机结合，协调发挥作用，使信息技术与教学内容有机整合，真正为教学服务。3.注重数学思想方法的渗透 本节课的教学，老师始终有意识地渗透转化的思想方法，引导学生体验将“未知”转化为“已知”，将“实际问题”转化为“数学问题”的过程。在研究问题时，从开始就抓住问题中的已知数和未知数，把未知数放在与已知数平等的地位去分析研究，通过列方程组、解方程组，使未知数转化为已知数，这是列方程组解应用题的意义。使学生初步认识列方程组解应用题有时比列方程解应用题更有优越性。4.注重学法指导

围绕本节课所学知识，设置有现实意义的、具有挑战性的问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验，学会探索，提高解决问题的能力，培养一定的创新意识和实践能力。通过课堂小结，增强学生学习过程中的反思意识，培养他们良好的学习习惯。【教学设计】

二元一次方程组的应用

教学目标：

1.能正确分析实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型并能解决实际问题。

2.经历把实际问题抽象为数学方程组的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识。

3.在探究学习中培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的精神，通过合作交流，养成学生的合作互助意识，提高数学交流和数学表达能力。教学 重点：

让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型。教学 难点：

在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组；根据实际意义，确定分类的原则和未知数的取值范围。教学过程：

一、引入新课

（教师演示学生上次春游的相片）同学们还记得上次春游的欢乐时光吧！春天的脚步越来越近，同学们对春游的盼望也越来越急切，今天就让我带领大家提前走进春游活动，看看春游活动中发生了什么有趣的事情吧！

（情境创设，引发学生注意力，营造学习气氛，激发探索热情。）

二、探究新知

例 1 初一年级准备组织师生外出春游，现向某租车公司租车，这个出租公司有 42 座和 60 座两种客车，42 座客车的租金每辆为 320 元，60 座客车的租金每辆为 460 元.若初一年级同时租用这两种客车 9 辆，恰好 9 辆客车都坐满了，共付租金 3720 元，请你帮助计算一下这次共有多少人参加春游活动吗？ 解法 1 ： 设 42 座客车的有 x 辆，则 60 座客车的有（9-x）辆.由题意，得 320x+460(9-x)=3720 解得 x=3 初一师生总人数为 32*3+60*6=456（人）答：这次共有 456 人参加春游。

解法 2 ： 设 42 座客车的有 x 辆，60 座客车的有 y 辆.由题意，得，解得，初一师生总人数为 32*3+60*6=456（人）

答：这次共有 456 人参加春游活动。

早上 8 点，初一全体师生快快乐乐的出发了，数学罗老师坐在初一（6）班的车上，同学们一路上欢歌笑语，大家正在轮流讲故事，轮到罗老师了，她给大家讲了这样一个故事： 例 2 《群鸦栖树》 栖树一群鸦，鸦树不知数； 三个坐一棵，五个地上落； 五个坐一棵，闲了一棵树； 请你动脑筋，鸦树各几何？

大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦。请问乌鸦和树各多少？

解：设乌鸦有 x 只，树有 y 棵.由题意，得 答：乌鸦有 20 只，树有 5 棵。，解得.说明：古今中外流传着许多歌谣趣题，题目新颖别致，魅力无限，不仅内容朗朗上口，而且需要具有一定的解题能力。个多小时后，大家终于到达了春游的目的地----欢乐谷。下车后班主任吴老师将同学们集合在一起，一是强调安全问题和集合时间，二是请大家把游玩中优美的风景和有趣的画面用手中的数码相机记录下来，要进行一个班级摄影比赛。

同学们分成不同的小组开始自由活动，有一个小组玩累了在公园的石桌石椅上打起牌来，不会玩牌的一位同学拿着大家出过的牌在石桌摆起了图形：

例 3 八张扑克牌恰好可拼成一个大的长方形(图 1)，用同样的这八张牌可拼成一个大正方形，但中间留下一个边长为 2cm 的小正方形(图 2)。你能算出每张扑克牌的长和宽吗？

解法 1 ： 设 扑克牌的宽为 x 厘米，长为 y 厘米。

由题意，得，解得.答： 扑克牌的宽为 6 厘米，长为 10 厘米。

解法 2 ： 面积法： 设 扑克牌的宽为 x 厘米，长为 y 厘米。

由题意，得

由第二个方程得： 8xy=4x2 +4xy+y2-4 ； 4x2-4xy+y2 = 4 ；（2x-y）2 =22，有图中可知： 2x 〉 y，所以 2x-y=2，下面的过程和解法 1 相同。

初一学生目前还没有学习一元二次方程的解法，教师可以引导学生列方程组，但不解方程组。

说明：通过三个例题的分析后，引导学生发现解决问题的方法，把实际问题转化为二元一次方程组解决.同时请对比用二元一次方程组或一元一次方程解应用题的区别和联系。

整整玩了一天，到了返回学校的时间了.大家恋恋不舍的离开了欢乐谷，回来的车上，我们班的生活委员李骥琪和雷明阳开始给同学们分发用班费购买的水果--香蕉，杨宏业同学还挺关心班级的事务，一边吃一边问：“买了多少斤香蕉啊？花了多少班费啊？” 生活委员一看提问的是特喜欢数学的他，准备考考他，就把购买的经过大致说了一遍，要求杨宏业在 5 分钟内回答下面问题： 例 4 表格信息型：某水果批发市场香蕉的价格如下表：

购买香蕉数（千克）每千克价格

不超过 20 千克 6 元 千克以上但

不超过 40 千40 千克以上

克 5 元 元

千克（第二次多于第一次），共付款 264 元，请问生活委员第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？

解：设生活委员第一次购买香蕉 x 千克，第二次购买香蕉 y 千克.由题意可知 0 ＜ x ＜ 25。

（1）当 0 ＜ x ≤ 20，y ≤ 40 时，由题意得，解得

（2）当 0 ＜ x ≤ 20，y ＞ 40 时，由题意得

解得（不合题意，舍去）。

（3）当 20 ＜ x ＜ 25，25 ＜ y ＜ 30 时，此时生活委员用去的款项为 5x+5y=5(x+y)=5 × 50=250 ＜ 264.（不合题意，舍去）。

综合（1）、（2）、（3）可知生活委员第一次购买香蕉 14 千克，第二次购买香蕉 36 千克。说明：本题利用表格给出相关数据，代替了繁琐的语言叙述，同学们可以简捷直观地获取信息，寻求等量关系，设出未知数，建立方程组求解.通过 加深问题难度，巩固应用一元一次不等式二元一次方程组解决实际问题的方法，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生分类讨论的数学思想。

香蕉吃完了、生活委员出的数学问题也解决了，学校也快到了。班主任吴老师提醒大家回家把今天拍的照片整理整理，下个星期交上来进行一个“欢乐春游行”的班级摄影评比活动，获奖同学不但有奖品，他们的作品还将推荐参加学校艺术节的摄影比赛.买奖品的任务落在了班长陈斯的身上：

例 5 初一（6）班计划用 100 元购买单价分别为 4 元、3 元、1 元的甲、乙、丙三种奖品，作为“欢乐春游行”的班级摄影评比活动的奖品。如果甲种奖品不得少于 10 件，乙种奖品比甲种奖品多 3 件，并且购买甲种奖品的总金额不得超过 50 元，那么适合以上要求的购买方案有几种？请你协助班长陈斯制订购买奖品的方案。

提示：设甲 x 件，乙 y 件，丙 z 件，根据题意得，其中 x，y，z 为正整数。

共有三种方案：

方案 1 ：甲 10 件，乙 13 件，丙 21 件； 方案 2 ：甲 11 件，乙 14 件，丙 14 件； 方案 3 ：甲 12 件，乙 15 件，丙 7 件。通过设置统一情境下 5 个不同方面的实际问题，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力，发展学生多角度思维能力, 培养学生严谨的思维方式和良好的学习氛围，在学习活动中获得成功感，树立自信心，并进一步形成对数学知识的理解，培养数学应用意识，体会将实际问题转化为数学问题的过程。

三、课堂小结 本节课—— 我学会了……

使我感触最深的是…… 我感到最困难的是……

学生各抒己见，谈出自己本节课的收获、感想。让学生在学习中体会学习方法，体验成功，改进不足，以便今后更好地学好数学。

教师在学生发言的基础上归纳总结 利用二元一次方程组解决实际问题的过程：

通过师生共同完成知识整合的过程，体会把实际问题转化为数学方程组的过程，感受方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，问题转化思想和分类讨论思想.生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多的生活实际问题。

四、布置作业

课本第 52 页习题 6-3 第 4--6 题。

通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，知识延伸，使学生能力得以提高。板书设计：

初中一元二次方程教学策略研究分析 第6篇

关键词：初中数学；一元二次方程；教学策略

一元二次方程是初中九年级的内容，初中生在刚刚进入初一的时候就学习了一元一次方程和二元一次方程，因此，方程的学习对于初中生而言并不十分陌生，但是与过去学习的方程相比一元二次方程的未知数求解次数是两次，与过去只需要求解一次未知数比，学生学习的难度在无形中加大了，而且方程的解也不唯一。一元二次方程的这些特点，加大了教师的教学难度，也使得学生在学习的时候对其产生了畏惧心理。因此，针对一元二次方程，采取有效的措施教学，是当前初中数学教学的一个重点。

一、一元二次方程教学存在的问题

1.学生容易混淆一些公式定理，不能活学活用

一元二次的解法有“直接开平方法”“配方法”“公式法”等，初中生在学习这些知识的时候，面对不同的题型，如果在读题的时候不够仔细，十分容易将题型弄混，最后在解题时得出错误的结论。而且不同于一元一次方程和二元一次方程只有一个解，一元二次方程往往是有两个解的，有些学生在做题的时候，可能已经将教师讲解的知识都理解了，但是到了实际做题的时候，因为粗心大意，学生可能会只写一个解，将另一个解漏写，在解题的时候，不能将自己学习的知识灵活地运用。

2.教师的教学方法死板僵硬

进入初三以后，教师的教学任务较重，学生的学习负担也增多了。教师在教学时需要以较快的速度完成教学。因此在教学时，教师不可能深入实际去关心班上学生是不是都掌握了教师讲解的知识。一元二次方程有较多的公式和定理，所以教师在教学时往往会更加注重学生是否将公式定理记熟，在检验学生的学习效果时也较多地采用题海战术，教学方法死板僵硬，使得学生对一元二次方程的学习兴趣低下。

二、一元二次方程的教学策略

1.打好基础

空中不可能有楼阁产生，楼阁的建立必须要有地基做基础，同样学生在学习的时候如果没有一定的学习基础，不能理解教师讲解的知识，那么即使教师在教学时采用再好的教学方法也毫无意义，因此，在教学时，教师必须要帮助学生打好基础，只有学生的基础打好了，才能为后面的学习做准备。

一元二次方程的教学虽然有一定的难度，但它也并不是天书，教师在教学时要学会运用方法，帮助学生打基础。比如说在教学之前，将学生之前学习过的一元一次和二元一次方程组找出来，将几种不同的方程进行对比，让学生掌握一元二次方程的特点，在学习的时候，有针对性地学习。同时，教师还应当让学生充分地理解几种解法的特点，找到解题的突破口，比如说在学习公式法解题时，让他们掌握ax2+bx+c=0（a≠0）的根，最后会出现三种不同的情况，为他们的学习打好基础。

2.讲清问题

学生学习一元二次方程，为的就是解决他们在生活中遇到的数学问题，提升自己解决问题的能力，所以教师在教学时必须要讲清问题，让学生对于各种解题的方法明白透彻。但是，在实际教学中，教师却经常将问题讲得含糊不清，有时候教师觉得一些问题太过简单，在教学时，只进行大致的讲解，然而一些在教师看来十分简单的问题，也许对于学生来说，就不简单了。

因此，在教学时，教师必须要多与学生沟通，了解他们在学习的时候有哪些不懂的问题，在讲解的时候将学生不懂的问题讲清楚。还是ax2+bx+c=0（a≠0）为例，教师必须要让学生明白在三种不同的情况下即b2-4ac>0时，有几个根；当b2-4ac<0时，有几个根；当b2-4ac=0时，有几个根，教师在讲解时，将问题讲清楚了，解决了学生的疑惑，就是最好的教学策略。

3.立足实际

数学的学习就是为了解决实际问题，为实际问题服务的。一元二次方程可以帮助人们讲解较大的生活应用问题，教师在学生掌握了一元二次方程的基本技法之后，可以设置一些生活中的实际问题来让班上的学生求解，提升他们用数学思维解决生活问题的能力。例如，这样的一个问题，一块长方形菜地的面积是150平方米，如果它的长减少5米，那么它就成为正方形菜地，求这个长方形菜地的长和宽。学生在解决这个问题的时候，肯定不可能去实际的测量，但是利用学生学习的知识就可以顺利地求解。因此在教学中，教师也要学会立足实际，讲解一元二次方程。

方程与不等式难点分析 第7篇

一、分母中含有小数的方程

利用分数的性质,使分数的分子和分母同时扩大相同的倍数,将小数化为整数.

例1.

分析 分数线有“除法”和“括号”的双重含义,分数的基本性质与等式的基本性质不能混淆,例如本例中分子分母同时乘10或100而右边的1保持不变,注意与去分母的区别.

解:方程可化为,

去分母,得30x-7(17-20x)=21,

解得x=14/17.

二、解含字母系数的方程

解含字母系数的方程时,一般化为最简形式ax=b,再分类讨论进行求解.

例2解关于x的方程:1/3m(x -n)=1/4(x+2m).

分析 这个方程化为标准形式后,未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的,所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系.

解:原方程可化为:

(4m-3)x=4mn+6m.

当m≠34时 ,原方程有 唯一解;

当m=3/4,n=-3/2时,原方程有无数个解;

当m=3/4,n≠-3/2时,原方程无解.

三、含参数的二元一次方程组

对于某些含有三个未知数的方程组,可以把某个未知数看作已知数,其他的未知数都用这个字母表示,代入所求的关系式,从而达到求解的目的.

例3已知x、y、z适合方程 组,,求的值.

分析 把z看作已知数.

解:,解之得

所以.

四、不等式的性质

当不等式的两边都乘(或除以)同一个数时,可以根据所乘数的符号合理应用不等式的基本性质,但当不等式的两边都乘(或除以)同一个式子时,如果式子的符号可以确定,只要根据基本性质判断是否需要改变不等号的方向即可,若式子的符号不确定,则需要分类讨论.

例4比较5a和4a的大小.

分析 由于a是一个字母,符号不确定,因此判断5a与4a的大小关系时要根据a的符号情况进行分类讨论.

解:当a>0时,5a>4a;

当a=0时,5a=4a;

当a<0时,5a<4a.

五、一元一次不等式的特殊解

一元一次不等式的特殊解是指在一元一次不等式的解集中找出满足特殊条件的解,常见的有整数解、自然数解、最小(大)整数解等,解决这类问题一般先解出一元一次不等式,然后在不等式解集范围内找出特殊解,必要时可以利用数轴.

例5若不等式2(x+1)<3(x-1)+9的最小整数解是方程1/3x-5=mx的解,求代数式m2-2m+4的值.

分析 首先解 出不等式2(x+1)<3(x-1)+9的解集,找出最小整数解,代入方程1/3x-5=mx中求出m的值,最后把m的值代入代数式求值.

解:解原不等式得x>-4,

则原不等式的最小整数解是x=-3.

把x=-3代入方程1/3x-5=mx,解得m=2.

当m=2时,m2-2m+4=4.

六、含字母常数的不等式组解集的讨论与确定

由于字母常数的不确定性,所以确定解集比较困难,解决这类问题先根据解不等式组的一般步骤解出各个不等式,然后利用数轴分析. 注意在数轴上表示各个不等式解集时要充分考虑到字母常数的位置特征,必要时需要分类讨论,数形结合思想是解决这类问题的关键.

例6解答下列各题:

(1) 若不等式组,无解,求a的取值范围;

(2) 已知关于x的不等式组,的整数解共有3个,求a的取值范围.

分析 (1)不等式组无解,依据“大大、小小无解集”或利用数轴可得a+1≥3a-1,解不等式可得a的取值范围;(2) 解不等式组可得,由于不等式组有解,所以解集应为a<x<1,而在该范围内有三个整数解,应该是-2,-1和0,因此可得a的取值范围是-3和-2之间,能取到-3不能取到-2.

解:(1) a≤1.(2) -3≤a<-2.

七、方程应用中的间接设未知数

在某些应用题中,如果对未知数直接设元,可能无法与题中的已知量、未知量建立联系,则需要间接设元,通过相关未知量来寻找等量关系列方程求解,从而解决问题.

例7从甲地到乙地,先下山后走平路. 某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山,而以每小时9千米的速度通过平路,到乙地55分钟,他回来时以每小时8千米的速度通过平路,而以每小时4千米的速度上山,回到甲地用了1.5小时. 求甲、乙两地的距离.

分析 直接设甲、乙两地距离为未知数,则无法与题中的已知量、未知量建立联系,因此考虑间接设元,设山路长为x千米,利用等量关系“去时所走平路长=回时所走平路长”建立方程,解决问题.

解:设山路长为x千米,由题意,得:

解得:x=3,所以平路长,甲、乙两地的距离为6+3=9(千米).

天然气状态方程评价分析 第8篇

天然气在低压时的PVT性质可用理想气体定律来描述, 而当天然气被压缩压力上升, 与理想气体的性质产生偏差, 称为压缩因子Z。

理想气体在低温低压的情况下准确度可满足实际工程要求, 但在高压或很低温度时则不然[1]。目前应用的状态方程多是实测数据, 用经验或半经验方法建立的。这些方程一般相当复杂, 且适用范围有限。在常规情况下, 真实气体基本上满足理想气体的条件, 完全可以按照公式进行温压补偿。但是, 如果气体温度太低, 很容易液化, 从而不遵守理想气体状态方程。同样, 压力过大导致单位体积内的气体分子数变大, 气体分子间的相互作用力越来越显著而不能忽略;且由于分子之间距离的缩小, 分子本身的体积也不能被忽略, 这样气体的转换便不能再按理想气体状态方程进行计算。天然气状态方程有多种, 都只能在一定的范围或一定的条件下达到一定的准确度。针对天然气状态方程的特点, 在对所有状态方程的研究上, 分析各种状态方程计算压缩系数的适用范围。

2 压缩系数计算公式和方法

2.1 Redlich-Kwong方程

Redlich-Kwong[2]于1949年所提出的两参数状态方程的形式如下:

式中:R气体常数, 8.314kJ/ (kmolK) ;p气体压力, kPa;T气体温度, K;Ωa=0.4274802;Ωb=0.0866403。

2.2 Soave-Redlich-Kwong方程

Soave-Redlich-Kwong[2]方程是对RK方程的改进。SRK方程在不失RK方程的形式简单的情况下, 大大改善了计算气液相逸度的效果。Soave对RK方程的改进着眼于使之能准确地描述纯组分的饱和蒸汽压 (即纯组分的气-液平衡) , 并推断这将会导致对混合物气-液平衡描

述结果的改进。据此Soave方程将RK方程中的a/T0.5一项改用较具普遍意义的温度函数a (T) 来代替:

SRK方程相比较于RK方程准确性有一定的提高, 但是其在预测液体密度时欠准确。对烃类组分 (甲烷除外) , 预测的液相密度普遍较实验数据小。

2.3 Peng-Robinson方程

Pe0.n2g7-pRprob=i n1s+o (nA1指-出A2, -SRA33K) ρ方pr程+ (对A4液+相A5密) ρ度的预ρ测prT欠pr准确, 对烃Tpr类组Tpr分 (甲烷除外Tpr) 预测的液相密度普遍小于实验数据。选择适当的函数形式可使临界压缩因子的预测值更接近于实验值:

PR方程作为两参数立方型方程, 它的精度比范德瓦尔斯方程提高了许多, 比SRK方程精确, 其温度函数系数是利用烃类物质从正常沸点到临界点的蒸汽压数据求得的, 并与偏心因子相关联。虽然在某些情况下计算精度不如多参数方程如BWRS方程, 但是PR方程参数数目比BWRS方程的11个参数少, 参数确定简洁, 并且计算方便简单, 基础数据容易获得, 计算起来节省很多时间, 即使在电子计算机上应用, 也可节省时间和计算费用, 又便于用小容量的计算机计算。PR方程在化工、石油、动力等领域的工程计算中得到广泛的应用。

2.4 BWRS方程

为了扩大应用范围及提高在高温低压下的精确度, Benedict-Webb-Rubin提出了能适应气液的8个参数的BWR方程。该方程在预测轻烃及其混合物的热力学和容积数据具有很高的准确性。但对非烃类气体含量较多的混合, 较重的烃组分以及较低的温度 (Tr0.6) 适应性较差。因此Starling和Han对BWR方程进行修正, 提出的一个具有11个常数的状态方程, 其目的是拓宽BWR方程的应用范围[2]。

BWRS方程能达到较高的准确度, 其适用范围广, 准确度高, 误差小, 因此当计算要求较高, 有完整的实验数据或BWRS方程常数时, 通常考虑选用BWRS方程。

2.5 DPR方程

该方程使用最普遍, 其采用1500个原始的Standing-Kate图板上数据点以保证精度, 使SHBWR状态方程与Z=f (Pr、Tr) 面相拟合, 将偏差因子转换为对比温度和对比压力的函数, 再将表达式替换为8个系数的BWR状态方程[3]。

2.6 DAK方程

该方法主要针对对比温度小于1.0的情况。方法与DPR法基本相同, 所不同的是其状态方程采用了更复杂的11个系数的StalingCarnahan状态方程。由于在拟合偏差因子时有更大的自由度, 使计算结果的精度最好[3]。

3 计算结果

通过对天然气状态方程RK、SRK、PR、BWRS、HTP、DAK、DAP、LKP的研究, 给定实测数据, 通过计算机编程计算得出常规天然气的压缩因子系数图, 采用牛顿迭代法进行压缩系数的计算。得到了以下一些结论:

(1) RK法求得的Z普遍偏大, 仅仅在1.50

参考文献

[1]李长俊.天然气管道输送.北京:石油工业出版社, 2008.23-40

[2]郭天民.多元气—液平衡和精馏.北京:石油工业出版社, 2002.37-129

选修“圆锥曲线与方程”教材分析 第9篇

一、对教材处理的建议

(一) 明确解析几何的基本思想方法。

解析法 (坐标法) ;突出用方程研究曲线, 用代数方法研究曲线的几何性质;强调解析几何解决问题数形结合的重要性;自始至终贯穿曲线与方程、方程与曲线的关系。

解析几何的基本思想方法是解析法 (坐标法;突出用方程研究曲线, 用代数方法研究曲线的几何问题。在《普通高中课程标准实验教科书数学2》A版中首先建立直线、圆这两种平面上最简单的非封闭图形与封闭图形的方程, 然后通过它们的方程, 研究它们的几何性质。从大的范围看, “曲线与方程”“方程与曲线”的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系, 它用数及其运算为工具, 在平面直角坐标系下, 用代数方法研究几何问题, 是数形结合的重要方面。

(二) 抓住轨迹问题的本质变化过程中的不变量, 建立曲线的方程。

轨迹是由动点运动形成的曲线 (或几何图形) , 其特点是, 动点在运动变化过程中, 始终有保持不变的量, 由此我们建立轨迹的方程。通过轨迹的方程, 判断轨迹的形状, 研究轨迹的几何性质。

三种圆锥曲线的几何特征明显。在椭圆的学习过程中, 我们从圆出发, 给出“探究”栏目, 通过把细绳的两端分开, 让学生观察轨迹的形状, 建立与已有知识的联系与区别。由画图的过程, 探究形成轨迹的动点满足的几何条件, 展现曲线的典型几何特征。在此基础上, 给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称椭圆。通过观察椭圆的形状, 引导学生建立适当的直角坐标系, 用点的坐标表示距离, 建立椭圆的标准方程。其他两种圆锥曲线:双曲线与抛物线, 虽然它们的几何特征与椭圆不同, 但其引入过程及标准方程的建立过程, 都是与椭圆相类比展开的。

(三) 注重实际背景和应用。

实际上, 圆锥曲线与人类生活、生产及科研有着紧密的联系。本章引言说明三种圆锥曲线都是用不垂直与圆锥的轴的平面截圆锥面得到的。改变截面与圆锥轴的夹角, 可以得到椭圆、双曲线、抛物线。这种引入, 目的是使学生了解“圆锥曲线”名称的由来。另外在教材的正文中, 还多次提到行星运行轨道、发电厂冷却塔的外形、抛物运动轨迹、探照灯的镜面, 等等。

在教材的拓展栏目中, 还安排了“探究与发现为什么截口曲线是椭圆”;“阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用”。安排了大量的实例, 注重实际背景和应用的目的是让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的重要作用。

(四) 重视信息技术工具的作用。

信息技术工具在解析几何的学习中有较大的支持作用, 发挥的空间也比较大。在教材中, 安排了很多“信息技术应用”的内容。

(1) 利用信息技术工具向学生演示平面截圆锥的过程, 通过改变截面与圆锥曲线的夹角, 得出不同的圆锥曲线。信息技术工具的使用可以加深学生对圆锥曲线的直观认识。

(2) 运用信息技术工具的“运动变化过程中保持几何关系不变”的特点, 非常容易探索动点轨迹的形状。一方面, 信息技术工具为我们创造了一个实验、发现、猜想的环境, 在动态演示中, 观察轨迹形成的原因、轨迹的形状, 发现结论、形成猜想。另一方面, 当我们求出轨迹的方程后, 可以用信息技术工具帮助我们进行直观验证轨迹的形状, 加深对方程所表示的曲线形状的理解。比如在教学中, 对双曲线渐近线的研究是难点。从直观上看, 双曲线的两支是向外无限延伸的, 始终在渐近线形成的一组对顶角中, 不会越过它的渐近线。教材通过“信息技术应用”栏目, 让学生通过观察, 发现双曲线的这一性质。正文中并没有给出严格证明, 拓展性栏目“探究与发现为什么的渐近线”给出了严格的证明, 但不作为教学要求。渐近线的概念比较抽象, 学生对它的理解需要一个过程。

二、值得注意的问题

(一) 注意整个“解析几何”知识的前后衔接, 准确把握教学要求。

必修《数学2》中的直线与方程、圆与方程, 以及 (文) 选修1-1, (理) 选修2-1中的圆锥曲线与方程, 系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程”一起构成了经典的平面解析几何内容的主干。要注意知识内容的衔接, 把相关内容放在平面解析几何内容的通盘考虑, 切实把握每部分的教学要求。特别注意的是新课程标准规定的教学要求中, 椭圆的内容要求“理解”, 双曲线的内容只作“了解”, 抛物线的内容理科要求“理解”而文科要求“了解”。

准确地把握教学要求包括两个方面, 第一是把握好新课标的精神, 第二是把握好学生的实际。根据新课标的精神, 圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容, 但目前由于考试的影响, 这一部分教学的要求比较高, 题目的难度很大。如何控制教学要求是个难点。高中的教学时间有限, 全体学生都必须掌握的重点课程应以最基础的知识和最基本的技能为主, 要使学生切实把基础打好, 不要过分重视技巧性很强的难题。从学生的学习规律来说, 训练不能一次完成, 要循序渐进, 打好基础才能有较大的发展余地, 急于求成是不可取的;学生的基础、兴趣、志向是不同的, 要根据学生的实际提出恰当的教学要求, 这样学生才有学习的积极性, 才能使学生达到预定的教学要求。

(二) 圆锥曲线的第二定义、圆锥曲线的统一定义, 以及非标准形式的圆锥曲线方程不作教学要求。

教学中, 老师经常说到圆锥曲线的“第二定义”、圆锥曲线的离心率与统一方程, 尽管是非常经典的内容, 但不作为基本的教学要求。考虑到它们的意义, 椭圆、双曲线的“第二定义”在教材的相关部分的例题有所体现, 但没有明确给出它们的“第二定义”。在拓展性栏目“信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆”和“信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:双曲线”虽然给出了上述两种圆锥曲线的“第二定义”, 但是不作要求。

在教材中安排了一个拓展性栏目“探究与发现圆锥曲线的离心率与统一方程”, 供学有余力的学生学习参考。但是这些大纲明确说明不作为基本要求, 不要给学生补充这方面的内容。不然就给学生增加了难度, 也增加了老师的负担。

结构方程模型下的因子分析 第10篇

因子分析是从研究原始变量相关矩阵内部结构出发, 把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多元统计方法, 平常在利用SASSPSSMINITAB等软件对数据做因子分析时, 利用的基本思想都是寻找公共因子以达到降维的目的。但对于公共因子要提取几个, 我们在分析数据之前并不知道, 而一般做法是通过软件分析出的方差解释的信息来确定。

对于公共因子个数的确定通常有两种方法[1]:一是根据具体问题的专业知识来确定, 而是采用主成分分析中选取主成分个数的方法。对于因子选取几个好, 没有唯一的定论。而在文献[2]中给出了主成分的个数m如何选取常用的标准有两个:一个是按累计贡献率达到一定程度 (80%以上) 来确定m, 另一个是先计算S和R的p个特征值的均值λ, 取大于λ的特征值个数m。当变量个数p<20时, 大量实践表明, 第一个标准容易取太多的主成分, 而第二个标准容易取太少的主成分, 故最好将两者结合起来使用, 同时还要考虑m个主成分对Xi的贡献率。对于选取的公共因子的没有利用任何先验信息, 故通过SPSS等软件所做的分析为探索性的因子分析。

验证性因子分析是充分利用了先验信息, 在已知因子的情况下检验所搜集的数据资料是否按事先预定的结构方式产生作用。而结构方程模型下的因子分析是根据已有的先验信息对变量的关系进行构建模型并对未知的因子载荷等参数进行估计, 即结构方程模型的测量模型是检验的观测变量与潜变量的假设关系, 是结构方程模型最基础的测量部分, 因此在结构方程模型下的因子分析是验证性因子分析。

对于探索性因子与验证性因子分析在理论上的不同参考文献[3]给出了具体的比较。本文的主要工作是通过一个具体的实例给出了结构方程模型下的验证性因子分析的操作步骤, 并把通过SPSS软件进行的探索性因子分析 (EFA) 结果与结构方程模型下的验证性因子分析 (CFA) 的结果进行了比较, 得出结构方程模型下的验证性因子分析出的因子载荷比探索性因子分析出的因子载荷高。

1验证性因子分析的具体操作步骤

(1) 提出一个有待检验的因子结构模型; (2) 进行模型的识别, 即将欲检验的测量模型转换成符合结构方程模型分析的模型, 以便结构方程模型软件对其识别; (3) 执行结构方程模型分析, 进行参数估计与模型检验; (4) 进行结果分析; (5) 模型的修正; (6) 完成结构方程模型分析, 并做出报告。其中模型的修正是非常重要的一步, 因为我们刚开始给出的模型假设不一定是很好的模型假设, 所以我们要根据软件运行出的结果做进一步的修正[4]。

2实例分析

考虑电视台对某一栏目收视情况进行调查的问题。节目策划部门决定下个季度某个节目是否继续开办, 是否开办的关键主要由下个季度该节目的收视率所决定。该部门设计了一个调查表, 希望能通过该调查表中的统计数据得到关于下个季度仍收看该节目的可靠原因。

调查表中包括7个项目, 问题为:如果满足给定的项目, 下个季度您是否观看该节目。给出的7个项目为:没有其他任何原因、没有其他流行节目、外界评论仍然很好、有人仍观看该节目、仍是原班编剧、仍是原班导演、仍是原班演员。

要求被访者对每一项目选择“是”或“不是”, 数据文件中“是”记为1, “不是”记为0。共收到906份有效问卷。本例把906份有效的问卷统计的数据平均的分为两部分, 每部分有453个统计数据, 首先我们先利用第一部分数据, 利用SPSS软件先做探索性因子分析。其次, 对另外的453个统计数据, 我们在结构方程模型下作因子分析即作验证性因子分析。

对于第一部分453个数据利用SPSS15.0软件进行分析给出的相关矩阵为R1 (由于是对称阵只给出了下三角的部分) (原始数据来源于参考文献[5]) 。

对原始数据的前453个数据用SPSS15.0进行分析得方差解释如表1。

提取方法:主成分分析法

由表1知, 前2个标准化样本主成分累计贡献率已达到80.422%, 且前两个特征值都大于1, 故可取前2个主成分进行分析

对此题的数据进行KMO和球形Bartlett检验结果如表2。

由于KMO值为0.875, 根据KMO度量标准可知原变量适合进行因子分析

故对其数据做因子分析得到的旋转后因子载荷阵为表3。

提取方法:主成分分析法, 旋转方法:方差最大正交旋转法

根据表3可得出节目是否继续开办调查的因子分析模型如下 (特殊因子忽略不计) :

从因子模型可知:第一个主因子这四个指标所决定, 这四个指标在主因子上的载荷均在0.85以上, 它代表着节目是否继续开办的外因, 而且主因子的方差贡献已达48%之多, 所以更说明是节目是否继续开办的一个重要原因, 所以可以把解释为节目是否继续开办的外因, 即外因很重要的。

第二个主因子三个指标所决定, 并且这三个指标在主因子上的载荷均达到了0.8以上, 它代表着节目是否继续开办的内因, 而且主因子的方差贡献已达33%之多, 说明是节目是否继续开办的另一个重要原因, 所以可以把f解释为节目是否继续开办的内因。

因此根据以上SPSS软件进行的探索性因子分析可以把影响节目是否继续开办的调查项目分为两个项目, 一个是外因, 一个是内因, 从而可以把原来的七个变量降为两个变量来分析。

下面对后453个数据用结构方程模型来分析, 即对此数据做验证性因子分析。

第一步根据前453个统计数据进行SPSS分析的结果可以做出如下的模型假设为:变量来反映潜在因子为外因变量来反映潜在因子为内因。

第二步根据后453个数据由SPSS软件分析产生出的相关矩阵为R2 (由于是对称阵只给出了下三角的部分) 。

第三步利用相关矩阵R2经LISREL软件给出的验证性因子分析各参数估计路径图为图1。

第四步对LISREL软件运行出的结果进行分析 (即建立结构方程模型中的测量模型) 结构方程测量模型的理论为:对于指标与潜变量间的关系通常写成如下测量方程:x=Λxξ+δ y=Λyη+ε, 其中x:外源指标组成的向量;y:内生指标组成的向量; ξ:外源潜变量;η:内生潜变量;Λx:外源指标与外源变量之间的关系, 是外源指标在外源潜变量上的因子载荷矩阵;Λy: 内生指标与内生潜变量之间的关系, 是内生指标在内生潜变量上的因子载荷矩阵; δ:外源指标x的误差项;ε:内生指标y的误差项, 此例题只用到外源指标与外源潜变量的关系模型。

通过上面的参数估计路径图可以给出节目是否继续开办调查的验证性因子分析模型 (结构方程模型的测量模型) 忽略外源指标的误差项如下:

从图1知因子f1与f2的相关系数是0.56, 故1-0.56=0.44可以表示变量中被f1解释而未被f2解释的部分或被f2解释而未被f1解释的部分故根据图1可以给出结构方程模型下的因子分析模型为

x1=0.90f1+0.40f2;x2=0.91f1+0.40f2;x3=0.89f1+0.39f2; x4=0.90f1+0.18;x5=0.39f1+0.88f2;x6=0.37f1+0.81f2;x7=0.32f1+0.72f2。

从结构方程模型的测量模型可知x1、x2、x3、x4这四个指标在f1上有较高的因子载荷, x5、x6、x7三个指标在f2上有较高的载荷。

第五步对本例结构方程模型的评价如下:

根据LISREL软件运行出的结果知χ2/df=15.47/13=1.19<2所以模型比较理想。RMSEA=0.02<0.06表示此模型是一个好的模型。

CFI=1, 表示能够有效改善非中央性的程度, 用来评估模型拟合度十分稳定。

GFI=0.99, AGFI=0.98都大于0.9表示具有理想的拟合度。

探索性因子分析与验证性因子分析结果的比较:

通过二者之间的模型表达式计算出的共同度可知:验证性因子分析比探索性因子分析提取的原始变量的信息多且因子载荷也高。在对数据进行探索性因子分析时, 分析出的结果中, 对于分析出的因子载荷我们很重视, 往往我们通过因子载荷来对因子进行解释或命名, 同样在结构方程模型下的验证性因子分析中, 因子载荷也尤为重要, 其实通过结构方程模型获得参数估计与传统的因子载荷估计程序没有什么不同。但是, 在验证性因子分析中, 参数估计可以排除测量残差的影响, 也可以让同一个测量变量受到两个因素的影响, 所以, 结构方程模型下的验证性因子分析结果中的因子载荷多较比探索性因子分析中的因子载荷要高。

通过对结构方程模型下的验证性因子分析的模型评价知, 通过利用后453个统计数据对探索性数据分析的结果的验证得到了满意的结果, 说明了在做探索性因子分析时取前两个因子对原始数据进行因子分析是较合理的.从而验证了外因和内因对数据的拟合程度也比较好。

3结论

(1) 本文通过利用收集到的906个调查数据, 并把数据分开为两部分, 一部分进行了探索性因子分析, 另一部分进行了验证性因子分析, 通过对比两种分析结果发现, 验证性因子分析是在探索性因子分析的指导下进行的, 并且用验证性因子分析出的因子载荷多较比用探索性因子分析出的因子载荷要高。其主要原因是, 在验证性因子分析中, 参数估计可以排除测量残差的影响, 故结构方程模型下的验证性因子分析结果中的因子载荷多较探索性因子分析中的因子载荷要高。

(2) 结构方程模型下的验证信息分析应用了先验的信息, 比探索性因子分析更具有说服力, 从而也为因子个数的选取方法提供了一个新的思路, 如果想要验证一下在对数据进行因子分析时所选取的因子个数是否可以代替原始的变量对数据进行分析, 可以用结构方程模型进行验证。

(3) 本文利用LISREL软件对结构方程模型进行验证性因子分析, 还突出了LISREL软件分析的一个优点:LISREL软件不但可以给出各参数的估计值, 还可以将各项数据以路径图的形式给出, 不但很直观, 而且还免除了人为制图的麻烦。

(4) 探索性因子分析和验证性因子分析是因子分析的两个重要组成部分。在实际的应用中只有将探索性因子分析和验证性因子分析结合起来使用, 才能够说明研究问题方法的严谨性、科学性。

参考文献

[1] 向东进, 李宏伟, 刘小雅.实用多元统计分析.武汉:中国地质大学出版社, 2005:157—166

[2] 高惠璇.应用多元统计分析.北京:北京大学出版社, 2006:266—320

[3] 王松涛.探索性因子分析与验证性因子分析比较研究.兰州学刊, 2006;5:155—156

[4] 邱浩政, 林碧芳.结构方程模型的原理与应用.北京:中国轻工业出版社, 2009:91—194

方程分析法 第11篇

坐标系与参数方程命题的重点是两种形式方程的转化以及直线和圆、直线与椭圆的位置关系，这主要包括特殊曲线的极坐标方程的求解以及极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化等，这也是高考命题的主要热点.

二、知识整理

1.极坐标

（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引出一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一极坐标系.设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ，有序数对（ρ，θ）叫做点M的极坐标，记作M（ρ，θ）.

（2）极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标为（ρ，θ），则它们之间的关系为x=ρcosθ，y=ρsinθ，又可得到关系式：ρ2=x2+y2，tanθ=yx.

2.直线的极坐标方程

（1）若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin（θ-α）=ρ0sin（θ0-α）.

（2）几个特殊位置的直线的极坐标方程

θ=α（ρ∈R）表示过极点且与极轴成α角的直线（如图①）;ρcosθ=a表示过（a，0）且垂直于极轴的直线（如图②）;ρsinθ=b表示过（b，π2）且平行于极轴的直线（如图③）.

3.圆的极坐标方程

（1）若圆心为M（ρ0，θ0），半径为r的圆方程为ρ2-2ρ0ρcos（θ-θ0）+ρ20-r2=0.

（2）几个特殊位置的圆的极坐标方程

ρ=r表示圆心在极点，半径为r的圆（如图④）.

ρ=2rcosθ表示圆心在（r，0），半径为r的圆（如图⑤）.ρ=2rsinθ表示圆心在（r，π2），半径为r的圆（如图⑥）.

4.曲线的参数方程

在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点坐标x，y都是某个变量t的函数x=f（t）

y=g（t）并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数.

5.一些常见曲线的参数方程

（1）过点P0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数），设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量.

（2）圆的方程（x-a）2+（y-b）2=r2的参数方程为x=a+rcosθ

y=b+rsinθ（θ为参数）.

（3）椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）的参数方程为x=acosθ

y=bsinθ（θ为参数）.

（4）抛物线方程y2=2px（p>0）的参数方程为x=2pt2

y=2pt（t为参数）.

二、复习指导

（1）准确把握一个区别：极坐标系与直角坐标系是两种不同的坐标系，不能把直角坐标系中的公式直接应用到极坐标中，如直角坐标系中的两点间距离公式就不能在极坐系中使用.

（2）熟练掌握两个转化：一是参数方程向普通方程转化的基本方法就是消参数法，但要注意参数的取值范围对普通方程中变量的限制;二是极坐标与直角坐标的转化，要准确记忆相应公式，这是转化的基础.

（3）灵活应用一个性质，即在解决直线和圆的位置关系时，要注意灵活利用几何性质——即平面几何中有关圆的结论来求解，减少运算量，提高解题的速度和准确度.

三、典例全解

1.求解参数方程相关问题的简便方法

例1 将参数方程x=3t-5

y=-2t+1（t为参数），化成普通方程，并判断它是什么曲线？

分析：参数方程中的两个方程都是关于t的一次方程，由其中任意一个都可以解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程即可，也可以将两个方程分别乘上某个数，把t的系数化成相同，然后两式相减即可.

解析：法一：由x=3t-5，得t=x+53，把t=x+53代入y=-2t+1，得y=-2·x+53+1，整理得2x+3y+7=0，即所求曲线的普通方程为2x+3y+7=0，它是一条直线.

法二：参数方程可变形为2x=6t-10

-3y=6t-3，消去t，得2x+3y+7=0，即所求曲线的普通方程为2x+3y+7=0，它是一条直线.

点评：代入消参法与加减消参法是解决参数方程化为普通方程最常用的两种方法，本例的解法一就是代入消参法，从参数方程中选出x=3t-5，解出参数t=x+53，然后把参数t的表达式代入y=-2t+1，消去参数t，即可把已知参数方程化为普通方程;解法二采用的是加减消参法，将参数方程中的两个方程分别乘上某个常数，把t的系数化相同，然后两式相减即可.注意：不是所有的参数方程都可以化成普通方程，化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，这种消参的过程不能增加或减少曲线上的点，即要求参数方程和普通方程是等价的，因此在消参时要注意以下两个方面：（1）根据参数条件，明确x，y的取值范围;（2）消去参数后，普通方程要与原参数方程的取值范围保持一致，为了防止转化过程中出现范围的变化，也可以先由参数方程讨论出x，y的变化范围，再对方程进行转化.

2.参数方程与极坐标方程的综合问题

例2 已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是x=-35t+2

y=45t（t为参数），（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值.

分析：第（1）问利用极坐标公式x2+y2=ρ2，y=ρsinθ把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;第（2）问的方法比较多，可以利用数形结合法求解，可以通过圆的参数方程求解，也可以利用参数法、极坐标法或整体代换法求解.

解析：（1）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.

（2）法一（几何法）将直线l的参数方程转化为普通方程，得y=-43（x-2），令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0），又由（1），知曲线C为圆，圆心C的坐标为（0，1），半径r=1，所以|MC|=5，利用数形结合，可知|MN|≤|MC|+r=5+1，即|MN|的最大值为5+1.

法二（参数法）由（1）知曲线C即圆x2+y2-2y=0的标准方程为x2+（y-1）2=1，圆的参数方程为x=cosα

y=1+sinα（α为参数），N为曲线C上一动点，设N（cosα，1+sinα），由直线l的参数方程是

x=-35t+2

y=45t，知直线l过点M（2，0），所以

|MN|=（cosα-2）2+（1+sinα）2

=6+2（sinα-2cosα）=6+25sin（α-φ）

≤6+25=5+1，

即|MN|的最大值为5+1.

法三（极坐标法）由直线l的参数方程是

x=-35t+2

y=45t，知直线l过点M（2，0），在极坐标系中，M（2，0），N（ρ，θ）且ρ=2sinθ，由余弦定理可得

|MN|2=ρ2+4-2×2ρcosθ=（2sinθ）2+4-4×2sinθcosθ=4sin2θ+4-4sin2θ=2-2cos2θ-4sin2θ+4=6-2（2sin2θ+cos2θ）=6-25sin（2θ+φ）≤6+25=（5+1）2，（其中tanφ=12），所以|MN|的最大值为5+1.

点评：圆上的动点到定点距离的最值问题可用代数法或几何法求解，代数法就是设圆上动点的坐标，利用圆的方程以及距离公式建立目标函数，转化为函数的最值问题求解，如本例第（2）问中的解法二就是利用圆的参数方程，将其转化为求解三角函数的最值问题;而解法三直接利用圆的极坐标方程和余弦定理建立关于极角的目标函数求解最值.几何法就是利用圆的性质直接判断最值，如本例中第（2）问中的解法一直接利用圆心到定点的距离和圆的半径表示最值，显然利用几何法求解更为简捷直观.

3.巧选“定点” 妙用参数方程的典例赏析

过定点P0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数）有着广泛的应用，深刻理解参数t的几何意义，恰当选择方程中的“定点”，是灵活运用直线参数方程解题的关键，下面例说巧妙选择定点的几种常见路径.

（1）选已知点为定点

如果直线或直线系经过已知点，那么可尝试以该已知点为方程中的“定点”.

例3 如图，已知焦点在x轴上的椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=42，过椭圆焦点F1作一直线交椭圆于两点M、N，设∠MF1F2=α（0≤α<π），当α为何值时，|MN|等于椭圆短轴的长？

解析：建立如图所示的坐标系，则椭圆方程为

x29+y2=1，F1（-22，0），设MN：x=-22+tcosα

y=tsinα

（t为参数），将其代入椭圆方程得：

（cos2α+9sin2α）t2-42tcosα-1=0，

由|MN|=（y2-y1）2+（x2-x1）2=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1·t2=61+8sin2α及|MN|=2，得sinα=±12，∵α∈[0，π），∴α=π6或α=5π6.

（2）选动弦的中点为“定点”

如果以动弦的中点为方程中的“定点”，那么由参数t的几何意义可得t1+t2=0，用好这一关系式常可使求解大为简化.

例4 已知椭圆C：x24+y23=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，C上有不同两点关于l对称.

解析：设两对称点为A、B，线段AB的中点为M（x0，4x0+m），则AB：x=x0+tcosα

y=4x0+m+tsinα（t为参数），将其代入x24+y23=1，得（3cos2α+4sin2α）t2+2[3x0cosα+4（4x0+m）sinα]t+3x20+4（4x0+m）2-12=0，∵tA+tB=0，∴3x0cosα+4（4x0+m）sinα=0，又∵AB⊥l，∴tanα=-14，代入上式得3x0+4（4x0+m）（-14）=0，即x0=-m ①，由tA·tB<03x20+4（4x0+m）2-12<0，将①代入上式，得3m2+4·9m2-12<0，解得m∈（-21313，21313）.

（3）选弦的定比分点为“定点”

如果以弦AB的定比分点P（λ=APPB）为方程中的“定点”，那么由t的几何意义可将定比条件转化为相应参数间的关系式tAtB=λ.

例5 已知椭圆C：x24+y23=1，若过C的右焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），（其中y1>y2），且|AF||BF|=2，求直线l的方程.

解析：F（1，0），设l的方程为x=1+tcosα

y=tsinα（t为参数，α为钝角），将其代入C的方程，得（3cos2α+4sin2α）t2+6tcosα-9=0，设A、B对应参数为t1，t2，则

t1+t2=-6cosα3cos2α+4sin2α ①，

t1·t2=-93cos2α+4sin2α<0 ②，

又|AF||BF|=|t1t2|=-t1t2=2，即t1=-2t2 ③，

将③分别代入①、②，得t2=6cosα3cos2α+4sin2α，2t22=93cos2α+4sin2α，∴8cos2α=3cos2α+4sin2αtanα=±52，由y1>y2，得tanα<0，

故l的方程为y=-52（x-1）.

（4）选所求点为“定点”

如果选取所求点为方程中的“定点”，那么可将该点所满足的几何性质直接用相应的参数t去刻划.

例6 已知直线y=x+m与曲线x2+2y2+4y-1=0交于A、B两点，P是这条直线上的点，且|PA|·|PB|=2，求当m变化时，点P的轨迹方程.

解析：设P（x0，y0），直线y=x+m的参数方程为x=x0+22t

y=y0+22t（t为参数），代入曲线方程，得32t2+2（x0+2y0+2）t+x20+2y20+4y0-1=0（），

由|PA|·|PB|=|t1t2|=2，得

2（x20+2y20+4y0-1）3=2，

或2（x20+2y20+4y0-1）3=-2.

即x206+（y0+1）23=1，或x0=0，y0=-1.

又方程（）中Δ≥02（x0-y0）2+4（y0-x0）-7≤0，由y0=x0+m，代入上式得2m2+4m-7≤0，

即-322-1≤m≤322-1，

故P点的轨迹是椭圆x26+（y+1）23=1界于两条直线y=x-1+322与y=x-1-322之间的部分及点（0，-1）.

从上述各例可以看出，直线参数方程中的“定点”蕴含着“动”与“静”的辩证性，若能根据问题的特点及参数t的几何意义，适当选取方程中的“定点”，灵活运用直线参数方程，对简化解题过程、开阔解题思路大有裨益.

有关微分方程的振动准则分析 第12篇

一、微分方程的定义

(1) 微分:微分是指设函数f在点x0的某个领域中有定义, 如果存在一个与Δx无关的常数a (或者存在Δx的某个线性函数aΔx) , 使得当Δx0时能够将Δx所引起的函数改变量Δy=f (x0+Δx) -f (x0) 表示成Δy=f (x0+Δx) -f (x0) =aΔx+o (Δx) , 则称为函数f在点x0处可微, 同时称Δx的线性函数aΔx是函数f在点x0的微分, 其中常数a称作微分系数, 函数f在点x0处的微分可记作df (x0) 或者dy (x0) .

(2) 微分方程:微分方程 (differential equation) 则是指用来表示出未知函数的导数与自变量间的相互关系的方程, 属于常微分方程与偏微分方程的总称.定义式为f (x, y', y″, , y (n) ) =0.

(3) 二阶非线性常微分和滞微分方程:二阶非线性常微分方程为

二阶非线性滞微分方程为

其中t≥t0. (1) (2) (3) 方程中的最终不恒为0的非常数解, 就称为正常解 (proper solutions) , 若一个正常解具有任意大的零点, 则称其为振动, 反之, 称为非振动.若一个方程中所有的正常解皆为振动, 则认为该方程是振动的.

(4) 振动准则:近年来, 据Rogovchenko Y.V., Hamedani G.G., Grace S.R.等研究指出, (1) (2) (3) 方程的振动性有新的一些振动性准则, 本研究中主要是通过将Rogovchenko Y.V.提出的准则中关于的限制, 并对s的偏导数不一定非正的H (t, s) k (s) 型的函数进行研究分析, 总结新的一些振动准则.

二、二阶非线性微分方程的振动准则分析

定理1假设 (A1) p∈C (I, R0) , p (t) 最终不恒为0, I=[t0, +∞], R0=[0, +∞], R+= (0, +∞) ;

(A2) f∈C (R, R) , xf (x) >0 (x≠0) ;

(A3) g∈C (R, R) , g (y) ≥C>0 (y∈R) , C是常数;

(A1) - (A3) 满足

K是常数;

D0={ (t, s) :t>s>t0}, D=P{ (t, s) :t≥s≥t0}, 并且设h∈C (D0, R) , H∈C (D, R) 和ρ, k∈C1 (I, R+) , 同时满足

(1) 在D0上H (t, s) 对s具有连续并且非正的偏导数;

(2) 在D0上t≥t0, H (t, t) =0, H (t, s) >0;

具体以定理1为例, 证明如下:

如果 (1) 方程中存在有一个非振动的解x (t) , 那么就存在充分大的T0≥t0, 同时满足t均≥T0, x (t) ≠0, 将所有的t≥T0, x (t) >0定义为:, 并对其求导数, 同时根据方程1和定理中的条件, 得出t≥T0,

并由此可得, 在t≥T0, 有

从而得出在t≥T0, 有

因此得证.

其余相关振动的原理及推论如下:

推论1若定理1中的 (A4) 被替换成为在R上 (A4) 'f (x) 可微并且f' (x) ≥k>0 (x≠0) , 则认为 (1) 方程振动.

推论2若定理1中的 (A4) 被替换成为

, 则认为 (1) 方程振动.

推论3假设满足 (A1) - (A4) , 如果存在ρ∈C1 (I, R+) , 同时整数n>2, 得出

认为 (1) 方程振动.

定理2如定理1中假设的ρ, k, H, h, (A1) - (A3) 和 (A4) '皆满足 (A5) τ' (t) =0, 同时则认为 (2) x″ (t) +p (t) f (x (t) , x (τ (t) ) g (x' (t) ) =0振动.

定理3如定理1中假设的ρ, k, H, h, (A1) - (A5) 满足在常数r∈ (0, 1) , 同时, 则认为 (2) 方程振动.

推论4假设满足 (A1) - (A3) , 如果存在ρ∈C1 (I, R+) , 同时τ' (t) >0和整数n>2, 得出

则认为 (2) x″ (t) +p (t) f (x (t) , x (τ (t) ) g (x' (t) ) =0振动.

定理4如定理1中假设的ρ, k, H, h, 且 (A1) , (A3) , (A5) , 且以下 (B0) 若x与y同号, 则f (x, y) 与x, y同号且f (x, y) ≥f1 (x) f2 (y) , 其中f1 (x) 与f2 (y) 满足: (B1) f1 (x) ≥K1>0, x∈R, 其中K1为常数; (B2) f2 (y) /y≥K2>0, (y≠0) , 其中K2为常数.

满足在常数r∈ (0, 1) , 同时

推论5假设满足 (A1) , (A3) , (A5) 和 (B0) - (B2) , 如果存在ρ∈C1 (I, R+) , 同时满足在常数r∈ (0, 1) 和整数n>2, 得出

振动.

三、小结

随着科学技术的飞速发展, 经济学、医学、生物学、自动控制、种群动力学、物理学等自然科学及边缘学科均提出了许多通过微分方程进行描述的具体的数学模型, 如较为著名的组合拓扑学、李群、复变函数等概念, 皆对常微分方程的发展及推动产生极为深刻的影响, 加之后期计算机的高度发展, 更是为将常微分方程的理论与实践应用相结合提供方便.上述的关于微分方程的振动准则是据Rogovchenko Y.V., Hamedani G.G., Grace S.R.等研究总结的, 能体现应用在图像处理、机械失真等方面, 具有重要的实际价值.

参考文献

[1]程崇高, 胡永珍.Euler, 方程的解与二阶微分方程的振动性[J].内蒙古师范大学学报 (自然科学汉文版) , 2002 (4) .

[2]Lin Wen-xian.Forced oscillation of high order neutral equations[J].Pure and Applied Mathematics, 2002 (3) .