二倍角公式说课稿（精选9篇）

二倍角公式说课稿 第1篇

评xxx老师上 《二倍角的正弦、余弦、正切公式》一课

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中学

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2012年4月12日（星期四），我们备课组有幸听了xxx老师上的课——《二倍角公式》，我们深深地体会到新课程不仅要求教师的观念要更新，而且要求教师的角色要转变，同时新课程要求教师提高素质、更新观念、转变角色，必然也要求教师的教学行为产生相应的变化。xxx老师这节课的教学设计既符合数学的学科特点,也符合学生的心理和思维的发展特点，设计主题鲜明，思路清晰，课堂节奏把握较好，各环节紧扣，层层推进，在教法上，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。在学法上，以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展以及学生的学习体验，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦。具体我认为有以下特点：

1、新课改的核心理念是：以学生发展为本。xxx老师这节课以复习引入——提出问题——探索尝试——启发引导——解决问题——练习巩固.的设计流程，去体现“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式。让学生在由和角公式探究出倍角公式的过程中感受一般化归为特殊的基本数学思想方法，学生的印象是极其深刻的。

2、本节课的重要内容是二倍角公式的应用，故xxx老师设计了该公式的正用、逆用及变形应用，从而让学生在直接正用公式的基础上去发现数学规律，逐步掌握灵活运用的方法，这种引导是否成功是教学的关键所在，经当堂检测效果是非常好的。

3、教学过程中学是中心、会学是目的，本节课通过“探索特殊情形、发现数学规律、主动学习应用”的创新式学习方法，增强了学生的参与意识，使学生真正成为学习的主人，真正体会学习数学的成就感。

4、由于二倍角公式是和角公式的特殊形式，同时，二倍角公式又可以和后面的半角公式联系起来，所以二倍角公式的地位是显而易见的。其次，二倍角公式的应用也比较广泛，在三角函数式的计算、化简、求证及简单应用中都会涉及到。最后，二倍角公式的证明本身就是一种化归的数学思想。但是公式的推导本身相当简单，难点在于公式的应用。它对于学生的思维及能力是一个相当大的挑战。毕竟，公式本身就是符号的集合，抽象是其主要特征。当然也正因为其抽象性，才具有广泛的迁移性及应用。因此，xxx老师的练习设计从简到繁，由易到难，层层推进，全方位、多层次，既遵循了学生的认知规律，又尊重和关注了全体学生，使全班学生都能全面发展。

5、xxx老师在整个课堂教学过程中，始终将教师的指导教学和学生的自主学习有效地结合起来，非常圆满完成了本节内容的教学任务。并且，十分注重讲练结合，提示和点评都能够结合学生的实际情况进行。另外从学生的角度来说，通过二倍角公式的学习和应用，使

他们体会到化归这一基本数学思想在发现和解决问题过程中的作用，也使学生进一步掌握联系变化的观点，并自觉运用它来分析和解决问题；并且他引导学生领悟了寻找数学规律的方法，培养了学生的创新意识以及善于发现、勇于探索的科学精神，学生灵活运用公式及计算能力也得到了加强。

总之，xxx老师节内容的教学是非常成功的，在本堂课中新课程的理念得到了很好的体现，教学方法多样、贴切，教学的过程中体现出“两个过程”，即注意到以数学知识的发生发展过程和学生认识数学知识的思维过程为依据设计教学进程，突出了教学重点，突破了教学难点，另外也展示了教师扎实的基本功和优秀的专业素养。

通过听课，我清醒的认识到：在今后的教学工作中，作为年轻教师，我们需不断总结、反思。一方面要激发学生学习数学的兴趣，让学生感觉到每解决一个数学问题，就有一种成就感；另一方面，更重要的是教师本人要不断提高自己的专业水平。在总结、反思中不断提升自己的教学水平，做一名真正合格的人民教师。

二倍角公式说课稿 第2篇

正弦二倍角公式：

sin2α=2cosαsinα

推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA

拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2]1+sin2A=(sinA+cosA)^2

余弦二倍角公式：

余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：

1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]

2.Cos2a=1-2Sina^2

3.Cos2a=2Cosa^2-1

推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1

二倍角公式说课稿 第3篇

本节内容是三角函数的重要内容之一，而二倍角公式又是三角函数中的重中之重，有着广泛的实际运用，在高考中占有相当大的比例。

二、学情分析

1.学生已有的知识结构：掌握了两角和的正弦、余弦和正切公式；

2.教学对象：高一年级学生，学习兴趣浓厚，具有一定的逻辑思维能力，有较强的分析和解决问题的能力；

3.从学生的认识角度来看：公式推导比较容易，但灵活运用公式难度较大。

三、教学目标

1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，从中探索数学规律的过程。

2.掌握和灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对倍角公式的“倍”的变换、“换元”等体现思维的灵活性，提高学生的推理能力和解决问题的能力。

3.通过一题多变、一题多解的形式，提升课堂气氛，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识和数学情感。

四、教学重点、难点

重点：在掌握两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。

难点：二倍角的灵活运用。

五、教法学法分析

本节课采用了引导式和探索式相结合的教学方法，让老师的主导作用和学生的主体作用得到充分发挥，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，形成完整的数学模型，还课堂以生命力，还学生以活力。

六、课堂设计

复习导入：让学生回忆两角和与差的正弦、余弦和正切公式，思考1：你能利用C（α±β），S（α±β），T （α±β）推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式吗？

1.二倍角公式的作用是用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

2.二倍角公式仅限于2α是α的二倍的形式，形如4α是2α的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，“倍角”的意义是相对的。

3.熟悉“倍角”与“二次”的关系

二倍角公式的变形：

七、教学反思

本节课设计合理，层次分明。教学过程体现以培养学生的观察和探究能力为本，遵循学生现有的认知规律，体现因材施教的教学原则。通过例题的灵活变形，一题多解等方法激发学生的学习兴趣，使学生在问题解决的探索过程中积极主动。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，又注重学生学习方法的指导，加强学生的应用意识，引导学生发现数学公式的美，让学生热爱数学，快乐地学习数学。

二倍角公式及其应用 第4篇

郴州综合职业中专

张文汉

教学目的：

引导学生导出二倍角的正弦、余弦以及正切公式并且能够熟练掌握其应用 教学重点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式 教学难点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式的变换及公式的应用，特别是逆应用公式 引入：

回顾正弦、余弦以及正切的和角公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin

tantantan1tantan

要求：

掌握三个公式的形式与结构并熟记公式 新授：

一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出

在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中

以“”代“”得二倍角的正弦、余弦以及正切公式如下：sin22sincos，cos2cos2sin2，tan22tan1tan2, 另外、根据sin2cos21可得二倍角的余弦的另外两个公式：

cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练 ㈠、公式的正用：

已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132

所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82

cos22cos2123415.8㈡公式的反用：求下列各式的值

12sin22.50cos22.50

2sin150cos150 32cos222.5041sin25212

解1原式sin(222.50)sin45022.解2原式122sin150cos15011112sin300224 解3原式cos(222.50)cos45022.解4原式1212sin2515122cos6

11132cos62cos62234.㈢公式的灵活运用：化简或求值

1化简：21sin822cos8;2求值：cos2417cos17cos17cos817.sin2sin23已知tan222，且0,，求21的值.2cos4解1原式212sin4cos4222cos241

2sin4cos424cos24

2sin4cos42cos42sin42cos4.因为，sin4与cos4皆为负.248coscos1717171717 解2原式24sin17224844823sincoscoscos22sincoscos17171717171717 24sin24sin171788162sincossinsin()sin17171717171.1624sin24sin24sin24sin171717172tan解3：因为tan222,所以22, 21tan24sincoscos整理得：2tan2tan20,解之，得tan2或tan2, 22若0,，则tan，此时222 1sincostan1原式2223;cossintan1212tan121若,，则tan2，此时 原式322.tan1212

三、课堂练习

求下列各式的值：1sin67.50cos67.50;2sin750cos150.四、课堂小结：

1、二倍角公式的导出；

2、二倍角公式的熟练应用；

3、二倍角公式的灵活应用.五、作业：

已知等腰三角形的一个底角的正弦值等于0.6,求这个等腰三角形的顶角的正弦、余弦值.六、课后思考训练



1、求值：sin60sin420sin660sin780;

2、已知sincos2,,,求tan;2

22sinsin2

二倍角公式教学设计方案 第5篇

江门市荷塘职业技术学校 李苑华

教学内容：《数学》（普通高中课程标准实验教科书，高教版），3.1.3节 设计理念：

我们是职业学校，学生上进心很强。不仅要掌握职业技能，还要参加高考，继续深造。他们比一般学生要求更高。然而他们的基础较低，教、学都要付出多倍努力。我所用的教学方法和手段符合学生的认知能力，效果很好。

在和角公式基础上，探讨研究特殊情况：两个角相等，得到“二倍角”公式。例题教学体现了把未知变为已知的转化数学思想。公式的运用，体现了由感性认识上升到理性认识的规律。

学生的求学，好比响鼓，还需重锤敲，特别引用名言勉励学子上进。(一)、教学目标：

1.知识目标：从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目标： 通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力。3.情感、态度与价值观：强化参与意识，培养学生的综合分析能力。

设计意图：让学生在求学路上有得学，听得懂，学得到，用得上。

(二)、过程与方法:

1.过程：推导公式，再综合运用公式。2.方法：用讲授法和探究式教学。

设计意图：运用从普遍性到特殊性的认知规律提，高解题的能力。

（三）、学情分析：

师生都很刻苦教、学，常常进行练习、检测，经过反复的强化、记忆，学生对知识掌握较好，学习相当感兴趣，他们是渴求学习的。

（四）、教材分析：

由和角公式，通过联想，设问特殊况：两个角相等，得出二倍角公式，学生知道和角公式与二倍角公式的联系，由此及彼，由浅入深。

设计意图：培养学生严谨的治学态度，勇于探索新知识的进取精神。

（五）、教学重点与难点分析：

重点：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式推导过程。难点：二倍角公式的综合运用。

设计意图： 职业班学生在他们的专业课中，更多地应用二倍角的知识，发挥本节内容对所学专业起的促进作用

（六）、教学过程

一、复习和角公式：

1、（学生回答）（1分钟）

2、探究设问：当时，公式的变化。（８分钟）

教师推导

二、例题教学 例1 已知sin=5,<α<132,求sin2,cos2,tan2的值.（８分钟）

2设计意图：引导学生开拓思路，找到解题突破口。

方法：先观察题目，找出二倍角关系。

过程：求出cos, cos2和tan2用两种方法求出来。

预期目标：公式学以致用，优选方法，采用计算量最小，最准确的一种。技巧归纳：从条件出发，顺着问题的线索，展开公式的方法。

例2，求下列各式的值（５分钟）

tan22.5（1）sin22°30′cos22°30′(2)sincos

(3)2881tan22.522选题意图：根据本班学生的知识水平，有必要加强公式运用。解题入手：观察系数，符号变化，对比公式。思路点拨：仔细对照比较，设法转化到能应用公式。

预期目标：对公式的正用、逆用，变形用都能举一反三，应用自如。技巧归纳：根据式子结构特点，对公式有一个整体的感知，进行等价变形。

三、练习固巩：（6分钟）

① 已知sin()=,求cos2的值。② 已知tan2=,，求tan

③ 高考接触：（9分钟）（2012年广州二模文科）已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，(1)求函数f(x)的最小正周期。(2)若023513，02，且f(2)12,f(),求sin()的值323

设计意图：教会学生运用转化的数学思想。

① 运用诱导公式，先把角进行化简，就可应用二倍角公式，② 先用平方差公式，就可应用二倍角公式，求出周期。③

把未知的元素变为已知的元素。

预期目标：加深巩固二倍角公式运用，培养学生思维的灵活性。

让学生接触高考题型，扩大知识面，解题融会贯通。

7、感悟小结：（1）、这节课你学到了什么知识，怎么获得这些知识？

（2）、你在推导和应用公式中，用了什么数学思想方法？

设计意图：（1）、让学生懂得归纳本节课的的收获，获取知识的途径。

（2）、让学生总结领悟：好好学习，天天进步。

8、回顾反思的

二倍角公式，技巧性强，只要勤奋好学，熟能生巧。

设计意图：教师时常反省教学，及时反馈，力求不断完善，不断提高。

数学家启迪我们学习的方法：

学习数学要多做习题，边做边思考，知其然，知其所以然。——苏步青

设计意图：应用名人名句激励学生，增强士气。

9、课后作业的设计意图

检查学习质量，查漏补缺，巩固学习成果。

二倍角公式说课稿 第6篇

设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。

教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。

“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。

教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：

1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。

2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。

3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。

学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。

教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形

时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。

教学重点、难点

重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。

难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。

教学过程

一、复习启发、设置情景、引出正题

1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式

（学生回答，教师板书）

2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系

时，公式变为什么形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。

学生板书：

3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果

（学生回答：左边角均为

4、引入正题

师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美

教师板书（放幻灯片），右边角均为，具有“二倍”关系）

二倍角公式简记为

即为我们今天要学习的二倍角公式

【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方法，从而达到“温故知新”的教学目的】

二、引导探究、深化认识

1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联系

2、（探索性提问）对

中的平方联想到，有无其他变式？

：

（学生探索、总结得出两种变式：

3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？

（学生：不能，要注意公式成立的条件）

引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件）

指出：尤其注意

【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】

4、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题（放幻灯片）

（1）填角

成立的条件

【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】

三、巩固公式，学习应用

出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。————放幻灯片

（第一组学生做）例

1、不查表,求下列函数值

【设计意图：通过直接应用公式、间接应用公式、一题多解,巩固二倍角公式】

(第二组学生做)例

2、已知

讲评：此题目中对角，求的值。

有范围限制,做题中应注意什么?仅知道

值时,要灵活应用

值,欲求二倍角正三种等价形式,弦、余弦、正切,先需要知道什么?„ „在求并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据,减少错误的可能性

【设计意图：由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力,教给学生小结解题经验,做后反思】

(第四组学生做)例

4、【设计意图：】

四、提炼总结——放幻灯片

（1）在两角和的三角函数公式角的三角函数公式

（2）

中角

没有条件限制，而

中，只有

中，当

时，就可得到二倍

。说明：后者是前者的特例。

时才成立。

（3）二倍角公式不仅限于是的二倍形式，其他如是的二倍，是的二倍，是的二倍等等都适用，要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的关键。

有三种形式：件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。

【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点，关键进行课后复习巩固】

五、作业布置：

教科书P150习题3.1A组14、1

5【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，插漏补缺】

设计思路：

。要依据条

1、本节公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义，熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算。

2、在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路，设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。

3、我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造新意识，提高数学素养。

4、以公式特殊情形

为主线

板书设计： 以学生发展能力为目的

化简为切入点

二倍角公式说课稿 第7篇

一、基础知识精讲

（一）两角和与差公式

sinsincoscossin coscoscossinsin tantantan1tantan

（二）倍角公式

sin22sincos

cos2cossin2cos112sin tan22222注：倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。1tan2tan2

注：（1）两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。

（2）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。

（3）掌握“角的演变”规律，如2,（4）将公式和其它知识衔接起来使用。

二、例题应用(一)公式正用 例

1、求值

1sin555（=246）

2cot5（=32）12例2(P53)设cos12,0,求cos.,sin,222923分析：观察已知角和所求角，可作出

2，然后利用余弦的倍角

22公式求解。

,解：因为,0,所以

2242422 所以sin2459，cos5，3275所以cos cos22272故cos2cos2(二),公式逆用

239 .172920

0

0 P(53)(双基)sin163sin223+sin253sin313

例3

已知tantantantantan0

34,且cos0,求sin3

分析：涉及与及的正切和差与积，通常用正切公式的变形公式。

tantan1tantantantan34解：原式=

tan

35又cos0,所以为第三象限角，所以sin3sin(三).用用边角关系的公式解三角形

例

4、(P53例2)在三角形ABC中,角A..B.C对边a,b,c

证明:abc222sin(AB)sinC

(四)综合

例

5、(P53例3)(0,2),sinsinsin

coscoscos,求

三、课堂小结

在运用公式时，要注意公式成立的条件，熟练掌握公式的顺用、逆用、变形用，还要注意各种的做题技巧。

二倍角公式说课稿 第8篇

（三）●知识梳理 1.化简要求

（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数.2.化简常用方法

（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）.（2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.3.常用技巧

（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.（3）注意利用角与角之间的隐含关系.（4）注意利用“1”的恒等变形.●点击双基

3+sinαsinβ的一组α、β的值是 213π3πππA.α=，β=

B.α=，β=

124231.满足cosαcosβ=C.α=ππ，β=

D.α=

ππ，β= 36解析：由已知得cos（α+β）=答案：A 2.已知tanα和tan（A.b=a+c

C.c=b+a

3，代入检验得A.2π－α）是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是

4B.2b=a+c D.c=ab

πbbtantan（），π4a解析：∴tan=a=1.cπc4tantan1（），a4a∴－bc=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.aasinxcosx的值域为

1sinxcosx答案：C 3.f（x）=A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［C.（2121，－1）∪（－1，］ 223131，）22第1页（共7页）

D.［2121，］ 22π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，4解析：令t=sinx+cosx=2sin（x+t212121t1则f（x）=2=∈［，－1）∪（－1，］.1t222答案：B 4.已知cosα－cosβ=

11，sinα－sinβ=，则cos（α－β）=_______.2311，（sinα－sinβ）2=.491359.∴cos（α－β）=.3672解析：（cosα－cosβ）2=两式相加，得2－2cos（α－β）=答案：59 72●典例剖析 【例1】 求证：sin（2）sin－2cos（α+β）=.sinsin剖析：先转换命题，只需证sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα =sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.两边同除以sinα得 sin（2）sin－2cos（α+β）=.sinsin评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】 P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1.剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=在△PF1F2中解此三角即可得证.证明：在△PF1F2中，由正弦定理知

2c.2a|PF1||PF2||F1F2|==.sin2sinsin（π3）第2页（共7页）

由比例的性质得|F1F2||PF1||PF2|= sin3sin2sin|F1F2|sincos2cossin2sin3e===

|PF1||PF2|sin2sinsin2sincos2sin（2cos2）2sincos2=

sin（12cos）4cos21==2cosα－1.2cos评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.深化拓展

求cot10°－4cos10°的值.分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值.提示：cot10°－4cos10° =cos10cos102sin20－4cos10°=

sin10sin1031cos20sin202sin20cos（3020）2sin202==2

sin10sin1033cos20sin203sin（3020）2=2==3.sin10sin10答案：3.●闯关训练

夯实基础

1.（2003年高考新课程卷）已知x∈（－A.7 24π4，0），cosx=，则tan2x等于 2B.－

4C.24 7

D.－

7解析：∵cosx=4π33，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.525432tanx2=－3×16=－24.∴tan2x==

2771tan2x1916答案：D 2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是

A.tanC.sin2＜cot＜cos2

B.tanD.sin

2＞cot＞cos

2 2222第3页（共7页）

解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，则tan

2－cot

2sin2－2cos=cos2=－2cos＞0.sinsin2∴tan2＞cot2.答案：B 3.下列四个命题中的假命题是

A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ C.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

D.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得 sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.答案：B 4.函数y=5sinx+cos2x的最大值是_______.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－

5233）+.48∴sinx=1时，ymax=4.答案：4 5.求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值.L解法一：a+b+a2b2=L≥2ab+2ab.∴ab≤.22∴S=

L（22）L23222111ab≤（）2=·［］=L.2422222解法二：设a=csinθ，b=ccosθ.∵a+b+c=L，∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=

L1sincos.sincosL212∴S=csinθcosθ=.22（21sincos）设sinθ+cosθ=t∈（1，2］，t212L2L2L23222t1L222则S=·=·=（1－）≤（1－）=L.22（4444t1t11t）216.（2004年湖南，17）已知sin（2sin2α+tanα－cotα－1的值.ππ1ππ+2α）·sin（－2α）=，α∈（，），求44442第4页（共7页）

解：由sin（α）=ππππ1π+2α）·sin（－2α）=sin（+2α）·cos（+2α）=sin（+4444422111cos4α=，得cos4α=.242ππ5π，），所以α=.4212又α∈（sin2cos22cos2于是2sinα+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+

sincossin25π5π=－（cos2α+2cot2α）=－（cos+2cot）

662=－（－35－23）=22培养能力

3.7.求证：1sin2sin21tan2.2=1tan22（sincos）cossin1sin2222，证明：左边===

coscos2sin2cossin2222sin1cos22=coscos2sinsin2，右边=sin1cos2222∵左边=右边，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值2和△ABC的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.21，∴cos（A－45°）=.22又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=∴tanA=tan（45°+60°）=

1313=－2－3.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC=1AC·ABsinA 2第5页（共7页）

26.4

=2631·2·3·=（2+6）.4242，2解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）2=

①

11.∴2sinAcosA=－.223，2∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=①－②得cosA=6.②

26.426.4∴tanA=

426sinA=·=－2－3.4cosA26（以下同解法一）

探究创新

9.锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠

π，求tany的最大值.2解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany=

sinxcosxtanxtanx2cosxsinxcosx===≤=，4sinxcscx1sinx2sin2xcos2x12tan2x22tanx2时取等号.22.4当且仅当tanx=∴tany的最大值为●思悟小结

1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归

一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asin（ωx+）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.●教师下载中心 教学点睛

1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.2.有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条

第6页（共7页）

件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.3.注意方程思想的应用.拓展题例

【例1】 试证：tan（1sin）sintansin=.tan（1sin）sintansinsin（1sin）sin证明：左边=cos

sin（1sin）sincos1sincos=sincos2sin2sin2coscos22cos22sin22=

cos=

2222=cot，2sin2sinsin1coscos右边==

sinsinsincos2cos22=2sin2cos2=cot2，∴原等式成立.【例2】 已知α、β∈（0，β的值.解：∵4tan

π），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1－tan2.求α+4221.22=1－tan2

2，∴2·tanα=1，tanα=∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β=

二倍角公开课教案 第9篇

江门荷塘高中数学 授课人：李苑华 上课班级：高一（8）班 上课时间：2012-5-16，星期三 课题：二倍角的正弦、余弦、正切公式

（一）、教学目标

1.知识目标：能从两角和公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目标： 通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力。

3.情感、态度与价值观：

引导学生发现数学规律，激发学生的学习兴趣，强化学生的参与意识，培养学生的综合分析能力。(二)、过程与方法: 1.由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想； 2.使学生通过综合运用公式，掌握技巧，提高解题的能力。

（三）、教学重点与难点：

重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式推导。难点：二倍角公式的综合运用。

（四）教学过程 １、复习和角公式：

请同学们回顾两角和的正弦、余弦、正切公式：

cos()coscossinsin sin()sincoscossin

sin2,cos2,tan2的公式。令，推导过程为：

sin2sinsincoscossin2sincos cos2coscoscossinsin

cos2sin2

tantan2tan1tantan1tan2

即：sin22sincos tan2tan()cos2cos2sin2.tan22tan2tantan21tan2 注意1tan2 的定义域是

22k,kz，即4k,kz，2对于 cos2cos2sin2 可利用公式sin2cos21变形为：cos22cos2112sin2 因此，cos2还可以变形为下述表达形式：

cos2cos2sin22cos2112sin2

二倍角的含义：

“二倍角”是描述两个数量之间的相对关系，如2 是的二倍角， 是３、例题教学（公式正用）例1 已知sin=

5,<α<132的二倍角。2tan()tantan

1tantan,求sin2,cos2,tan2的值.2２、二倍角公式的推导

由一般的两角和，设问特殊情况？ 探究推导出

思路分析：求出cos,再用二倍角公式，表达形式多样，求答方法也多样 解:由

<α<,得α为第二象限角 2

又∵sin=5, 13５、练习深化：

3① 已知sin()=,求cos2的值。（方法：用诱导公式化简，再

5sin55122 ∴cos=1sina=1()2.，tancos121313512120

×()=;***方法

1、cos2= 1-2sin22=1-2×()2=；

***22方法

2、cos2cossin=()2()2=；

1313169sin2a120169120方法

1、切化弦：tan2==(-)×=.cos2a169119119

52()2tan12120 方法

2、用二倍角公式：tan251191tan21()212用二角公式求解）

1② 已知tan2=,，求tan

3于是sin2=2sincos=2×

6、高考接触：

已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，求函数f(x)的最小正周期。（2012年广州二模文科）

7、感悟小结：

1、这节课你学到了什么知识，怎么获得这些知识？

2、你在推导和应用这些公式过程中，用到了什么基本的数学思想方法？

（1）、学到了由和角公式，探究推导出二倍角公式，再综合运用公式。思维小结：tan2可用切化弦，或先求tan，再用二倍角正切公式。技巧：从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。４、例题教学（公式变形用）例2，求下列各式的值

（1）sin22°30′cos22°30′(2)sin2（（2）、由一般化归到特殊的数学思想：（）→

8、回顾反思：

）

把未知的元素变为已知元素的转化思想。cossin

8cos28

(3)

tan22.5 21tan22.5（1）二倍角公式变换形式多，技巧性强，有一定的难度，只要抓住关

键：角的关系，才能灵活运用。

（2）三角函数的应用，是高考的常考题，只要勤奋好学，熟能生巧，就能提高运用数学的能力。思路分析：仔细对照比较，设法转化到能应用公式。

12解:（1）sin22°30′cos22°30′=sin45°=

24两位伟大的数学家启迪我们——学习数学的重性和方法：

数学是知识的工具，也是其它知识工具的源泉，所有研究的科学均(2)sin28cos28=－（cos28sin8）cos42和数学有关。——笛卡儿

学习数学要多做习题，边做边思考，知其然，知其所以然。——苏步青

9、课后作业

课本第138面14、15题

优化方案（蓝色本）121面1-6题，优化方案（绿色本）65面1-4题(3)