定积分不等式的证明范文第1篇

在数学中，闵可夫斯基不等式(Minkowski不等式)表明Lp空间是一个赋范向量空间

。设是一个 度量空间

，

，那么

如果，等号成立

当且仅当，

或者

，我们有：

闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

对所有

实数 ，这里

是的维数;改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果以变为。

积分形式的证明 ，

，则可

我们考虑

的次幂：

(用三角形不等式展开

)

用 赫尔德不等式(见下文) 继续运算可得

(利用

，因为)

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到

:

因为，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德(Holder)不等式

设ai,bi1in是2n个正实数，

0,0,1,

n

a则

i1



i

bi





aibii1i1

n

n

i

n



n



.

[证明] 令Aa

i1

,B

b

i1

i

那么



n

A



B



a

i1



i

bi



aibi

i1AB

n



lg

aiA

lg

biB

lg



ailg

bi

lg



ai

bi







aibi

利用Jensen不等式有AB

n



aiA



bi

B成立



i1

aibi

AB

n







n

i

aA

i1





n

i

bB

i1

1



即

a

i1



i

bi



AB



aibi

,得证。

i1i1

n



n

定积分不等式的证明范文第2篇

在高中新课程改革体系中, 定积分是新课标教材新增的内容, 主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用等。由于定积分在实际问题中应用广泛, 且难度较大, 在教学中我们必须充分调动学生的学习积极性, 注重学生的能力培养, 以收到学以致用的功效。由于高中数学教材中对定积分的内容只是作入门式介绍, 在平时教学中难以满足部分同学对定积分内容进一步深入学习的需要, 所以本文在结合高中学习定积分的基础上, 对定积分在不等式证明和因式分解中的应用作进一步分析与探讨。

2 定积分在不等式证明中的应用

不等式是高中阶段一个重要的学习内容, 在不等式证明过程中, 没有学定积分之前, 一般都是采用基本不等式变换, 归纳总结等方法, 但学习了定积分之后, 我们在教学中就可以将定积分应用的范围拓宽, 介绍定积分在不等式证明中的应用。

2.1 定积分在不等式证明中应用的原理

定积分在不等式证明中所依据的原理是:若在区间[a, b]上, 连续函数f (x) , g (x) 满足, 其中不等号至少对于[a, b]中某一点处成立, 则有。

2.2 定积分在不等式证明中应用举例

在熟练掌握定积分证明不等式的基本原理之后, 我们就可以将以前用其它方法证明不等式的题目用定积分原理来证明。

例1设00, 求证:。

证明:在区间[a, b]上, 我们构造函数和

由m>0

两边取定积分

积分得

即

所以。

例2证明:当时, 有

。

证明:当a=3时, 显然成立。当a>3时, 构造函数和, , 有不等式

成立, 则, 两边取定积分,

即,

所以。

综上所述, 当时,

成立。

例3若

证明:当1-

两边取定积分

即

化简得,

当x>0时, 有x+1>1, 又且, 所以有, 两边取定积分,

即。

综上所述, x>-1且x≠0, 且时, 成立。通过上述例题的阐述, 可以总结出定积分在证明不等式应用中的基本步骤及方法:首先需要判断题目中函数或者所构造的函数是否具备连续性;其次, 要结合题干中待证不等式特征, 构造函数f (x) , 这其中需要考虑被构造函数的定义域要与题干要求符合, 如上文中例2和例3;最后, 根据定积分性质求积分, 得到要证明的不等式。

3 定积分在因式分解中的应用

我们在初中就已经学习过因式分解, 但是由于知识的局限性, 只能分解比较简单的整式。学完定积分后, 定积分在因式分解中也具有十分重要的应用。

3.1 定积分在因式分解中应用的原理

我们熟知对于一元多项式函数f (x) 有:, 那么同样针对多元多项式函数, 对于某个都有:

, 而多项式中必不含xi项, 因此只要多项式与多项式有公因式, 就可以对多项式进行因式分解, 这是基于以下一个引理:

该引理对于定积分在因式分解中应用的意义在于, 针对构造的函数f (x) , 只要存在一点某个xi, 使得与有公因式, 则可以判断可以进行分解因式, 由于篇幅限制, 该定理的证明在此忽略。,

3.2 定积分在因式分解中应用举例

例1分解因式:

。

解:将c看做变量, a, b看做常量, 构造函数f (c) , 得

当c=0时, ,

∴f` (c) 与f (0) 有公因式。

故可以利用定积分进行因式分解:

例2分解因式:。

解:将y看做变量, x看做常量, 构造函数f (y) , 得

,

对f (y) 求导,

当y=0时, ,

∴f` (y) 与f (0) 有公因式 (1-x) (1+x) 。

故可以利用定积分进行因式分解:

即:

例3分解因式:

。

解:将Z看做变量, x, y看做常量, 构造函数f (z) , 得

当Z=0时, ,

∴f` (y) 与f (0) 有公因式。

故可以利用定积分进行因式分解:

通过上述例题的阐述可以总结出定积分在因式分解中应用的基本步骤和方法:首先构造函数, 一般都是把被分解的因式中某一个字母, 看作变量, 其他字母看作常量, 具体选择根据具体题目而定;其次是对构造的函数进行求导, 然后找出一点xi, ss确定与有公因式;最后将构造的函数写成:根据求积分的方法分解因式。,

4 定积分在不等式证明与因式分解中应用的教学

通过以上例题可以看出, 定积分在不等式证明及因式分解中应用的要求较高, 既要求对定积分的基本概念, 基本性质定理能充分理解掌握, 还要求在实际应用中能灵活运用。因此, 在定积分应用的课堂教学中, 可以充分运用以下策略。

4.1 运用多种方式, 注重定积分概念的导入与理解

在定积分具体概念教学中, 教师可以利用定积分产生的历史来创设定积分的教学情景, 以此来激发学生学习定积分的浓厚兴趣。定积分的产生, 源于描述曲边梯形的面积和变速直线运动的路程等问题。早在两千多年前, 古希腊的阿基米德就已经解决了求抛物线、弓形的面积问题, 积分概念开始的萌芽。直到牛顿和莱布尼兹在总结前人工作的基础上, 建立了微积分基本公式, 发现积分问题是微分问题的反问题, 才使微积分成为一个新的数学分支。这种定积分概念的导入方法既让学生对定积分概念有了一个总体认识, 又对定积分这种思想有了深刻的理解。

4.2 渗透新课程理念, 注重自学探究能力的培养

《高中课程标准》明确指出, “学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习, 高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性, 使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造“过程”。定积分的内容比较抽象, 直接转入新知识的学习, 效果并不好。

在这种情况下, 就需要充分调动学生的自学探究能力。以上述例题中的定积分在因式分解中应用的例3为例, 在对该式进行因式分解的时候是不是必须要将x、y看作是常量, 将z看作是变量呢?能不能将x或者y看作变量, 而其他的看作常量来进行因式分解呢?这时就可以充分调动学生的探究能力, 让学生亲自动手实践, 探讨能不能按照这个思路去解题。

4.3 注重定积分应用的解题步骤与解题技巧的讲解

上文中所叙述的定积分在不等式证明以及因式分解中应用就是其中很重要的部分, 教师应该重点强调对解题步骤与解题技巧的掌握。例如上文中, 在教学定积分在不等式证明中应用时, 需要学生按照基本解题思路与解题技巧一步一步的来, 首先是构造函数, 其次是确定恰当的定义域, 必要时还需要根据构造的函数进行适当的变化;最后才是利用定积分的性质得到待证结论。

5 结语

在高中定积分的教学中, 让学生掌握定积分的一些基本应用, 既开阔了视野, 又深化了学生对定积分部分知识点的掌握。

摘要：定积分是高中新课程体系中一个新增加的重要内容, 很多教师在该部分内容的教学时都与高中其他知识点割裂开来, 殊不知, 定积分在高中阶段解题中具有广泛的应用, 本文以定积分在不等式证明和因式分解中应用为例, 探讨定积分在高中解题中的应用。

关键词：定积分,不等式证明,因式分解

参考文献

[1] 王建华.定积分应用拓宽[J].吕梁高等专科学校学报, 2003 (3) .

[2] 余明荣.浅谈定积分在不等式证明中的应用[J].数学教学通讯, 2004 (3) .

定积分不等式的证明范文第3篇

2018考研高数定积分复习的三大要点

2018考研初试时间临近，积分是考研数学中非常重要的考点也是容易丢分的部分。本文就和考生来说说最后这段时间要怎么复习定积分。

我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。很多同学把不定积分与定积分搞混淆。其实不定积分是导数的逆运算，本质还是导数的延伸。而真正的积分部分是定积分。在此，向考生提出如下学习建议，供考生参考。

1.复习知识体系

在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。

2.深刻回顾知识点

在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。首先是定积分的定义及性质。大家需要深刻理解定积分的定义。我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。比如说从定义中体现的思想：微元法。同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。所以希望引起大家的足够重视。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法 第 1 页 共 1 页

为学生引路，为学员服务

线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式;换元积分法(凑微分法和换元积分法);分部积分法。其中换元积分法和分部积分法是重点。大家要理解换元积分法的思想。即我们通过复合函数求导公式推出了凑微分法;通过三角代换，根式代换等提出了换元积分法。而我们通过相乘函数的导数公式推出了分部积分法。所以大家只有知道这些方法是怎么来的才能更好的使用这些方法。接着大家要注意变限积分求导了，最好请大家自己证明下。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，同学们一定要掌握微元法的思想。

3.大量做题

在大家理解了重点知识以及明确了考试重点后就需要做题巩固了。关键是做真题，反复做真题，反复练习。

定积分不等式的证明范文第4篇

关于求曲线所围成区域的面积的方法一般的表述是 (图1) :

(1) 分割, 把[a, b]分成n个小区间。

(2) 近似代替

(3) 求和

(4) 取极限, 当λ→0时, 曲边梯形的面积

这种表述中的前三个步骤学生理解起来相对容易。在第四个步骤中“近似与精确”之间的鸿沟通过极限来跨越, 但是缺乏感性的认识, 学生难以理解定积分的本质, 只能是机械的加以记忆。定积分思想的萌芽源于先驱者们大量的探索、积累工作。阿基米德用无穷逼近的方法求出了一些曲线 (例如圆和抛物线) 所包围的面积和一些曲面 (例如球面) 所包围的体积, 这其中就包含了积分概念的萌芽!历史上数学家们的一些朴素的想法和所解决过的一些相对简单的问题极具教育上的价值。从特殊到一般也更符合人的认知规律, 为了帮助学生理解和掌握定积分的思想和其本质我们重新设计引例如下。

例1:计算由抛物线y=x2, 直线x=1和x轴所围成的图形的面积。

(1) 分割, 把[0, 1]等分成n个小区间经过各分点作平行于y轴的直线段, 把所求的图像分割成n个曲边梯形。

(2) 近似代替, 对每一个曲边梯形分别作如图2所示的内接矩形和外接矩形。

(3) 求和 (图3) ,

(4) 取极限

上例中我们引入了上界与下界, 在上下界定逼近过程中利用极限求得了所求面积的真实值。“近似与精确”之间的跨越显得贴切而自然, 也体现了极限这个工具的巨大威力。并且也为即将要学习的达布 (Darboux) 大和小和做好了铺垫。在这里我们重复前人的工作, 让学生有充分的感性认识, 在此基础上把特定问题的解决方法一般化顺畅的引出定积分的概念。

摘要：将定积分的发展与教学有机结合。设计了新的引例来重新组织教学

关键词：定积分,教学,引例

参考文献

[1] 陈跃.从历史的角度来讲述微积分[J].高等数学研究, 2005, 8 (6) :47～53.

定积分不等式的证明范文第5篇

(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000)

摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.

关键词：定积分 曲线积分 二重积分

英文部分

引言：

微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.

1、 定积分

1(12333n3); 4nn

1、1利用定积分求极限：lim

解：lim1333(123n) nn4

112n=lim()3()3()3 nnnnn

i1=lim()3 nni1nn

设f(x)x3，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取xi1i,i为区间nn

i1ixi1,xi,的右端点,i=1,2,n.所以上式为函数f(x)x3在区间[0,1]nn

上的一个积分的极限，从而有

111411333lim4(12n)xdxx. 0nn40

4回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用

1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.

解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).

1则BC的方程为：x+20y-50=0.即y=5-x. 10

由于在相同深度处水的静压力相同gx,故当x很小时，闸门上从深度x到x+x 这一狭条A上受的静压力为

1x)xxgdx. 10

20202011pdp2(5x)xxgdx(10x2x3)dx 000105

=14373.33(kN).

1、3 设有半径为r的半圆形导线，均匀带点电荷密度为，在圆心处有一单位E电荷，试求它们之间作用力的大小.

解：同样考虑坐标，取所对应的一段导线，电荷电量为drd.，它圆心处电荷E在垂直方向上的引力为

srsinksFksin rr2pdp2yxdxxg2(5

则导线与电荷作用力为

0ksin2k rr

回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，

另外对于定积分我们还应注意以下几点：

⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

⑵定积分存在的两个条件：

①积分区间有限;②被积函数有界

⑶对于定积分f(x)可积，则加上绝对值也一定可积，若其绝对值可积，但去掉绝对值却不一定可积.

2、 曲线积分

2、1第一型曲线积分

2、

1、1证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),t[,]上连续,则存在点((x0,y0)L使得f(x,y)dsf(x0,y0)L l

其中L为L的弧长 证明：因为f(x,y)dsf(x(t),y(t))x(t)2y(t)2dt l

记F(t)f(x(t),y(t)),G(t)x(t)2y(t)2

由已知条件知F(t)在,上连续,G(t)在,上连续且非负(不变号)，则根据推广的定积分第一中值定理知，存在t0,,对应点(x0,y0)(x(t0),y(t0)), 使f(x,y)dsf(x(t0),y(t0))lx(t)2y(t)2dtf(x0,y0)L

回顾分析:运用推广的定积分第一中值定理是证明此题的关键.2、2第二型曲线积分

2.2.1求y2dxz2dyx2dz ，其中，L是维维安尼曲线x2y2z2a2，L

x2y2ax(z0,a0)若从轴正向看去，L是沿逆时针方向进行的.

解：选择好参数方程确定好积分区域正是解此题的关键.

将 x2y2z2a2表示为 2a2 ，x2y2ax

表示为r2ax 或 rax

令 xacos2 则 yasincos,zacos2asin ，

于是L:xacos2,yasincos,zacos2



2

2,所以

Ly2dxz2dyx2dz



2[a2sin2cos2(2acossin)a2(1cos2)a(cos22

sin)acosacossin(1cos)]d

224212

2a32(sin2cos2sin4)d0

3351a3[(,)(,)]2222



4a

3通过以上实例分析可知，曲线积分有着较为广泛和重要的作用.因此对于曲线积分，我们应注意以下几点：

⑴第一型曲线积分：第一型曲线积分上限、一定要大于积分下限; ⑵第二型曲线积分：

①曲线和有方向，方向改变后第二型曲线积分二值就要反向，即变号;

②第二型曲线积分的计算，在化为定积分时，积分上限可以小于积分下限，起点即为下限，终点即为上限.

⑶曲线积分是定积分的推广.

⑷对ds,即表示L的弧长，即f(x,y)=1. l

3.二重积分

3、1计算(xy)2d，其中D0,10,1.，

D

解：应用定理即：设f(x,y)在矩形区域Da,bc,d.上可积，且对每个xa,b积分d

cf(x,y)dy存在，则累次积分

bdbadxf(x,y)dy也存在，且cdf(x,y)ddxDacf(x,y)dy 有f(x,y)ddx(xy)2dx

D00117 6

回顾分析：对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算. 称平面点集D{(x,y)y1(x)yy2(x),axb}为x型区域

称平面点集D{(x,y)x1(y)xx2(y),cyd}为y型区域.

3、2关于x型区域的实例

3、

2、1计算二重积分d，其中D为由直线y=2x,x=2y及x+y=3所围的三角

D

形区域.

解：把D看作x型区域时，相应的

2x,0x1x ,y1(x), y2(x)23x,1x2

dxdddxxdydxxdy DD1D2021212x23x

12xx(2x)dx(3x)dx0122

333x23xx2412401

23、

2、2关于x,y混合型区域的实例

求由坐标平面x=2,y=3,x+y+z=4所围二角柱体的体积.

解：

Vzdxdy(4xy)dxdy

DD

dx(4xy)dydx0011324x0(4xy)dy

55

6回顾分析：

对于二重积分应注意以下几点：

⑴ 二重积分化为累次积分，积分上限一定要大于积分下限.

⑵ 二重积分的许多性质与定积分的几乎完全相同.

⑶ n(n2)重积分的计算都是转化为定积分的计算.

⑷ 掌握型区域和型区域的二重积分的计算是计算一般平面上二重积分的基础. ⑸ 解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.参考文献：

【1】 华东师范大学数学系编. 数学分析(上、下) [M]. 第三版.北京:高等教育出版社.2001

定积分不等式的证明范文第6篇

1 由截面面积求立体体积的计算公式

设有一立体, 它夹在垂直于x轴的两个平面x=a, x=b之间 (包括只与平面交于一点的情况) , 其中a

过微段[x, x+dx]两端作垂直于x轴的平面, 截得立体一微片, 对应体积微元dV=A (x) dx。因此立体体积:V=∫b adxx A) ( (1)

2 应用

例1[1]:经过一椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面, 可截得圆柱体一块楔形块 (如图2) , 求此楔形块的体积Vㄢ

解:据图, 椭圆方程为

过任意x[-2, 2]处作垂直于x轴的平面, 与楔形块截交面为图示直角三角形, 其面积为, 应用公式 (1)

例2[3]:直角坐标系下二重积分的计算。

(1) 积分区域为X型曲边梯形。

二重积分的积分区域D, 是由x=a, x=b (a

其特点为:在xOy上与y轴同向平行线从y=ϕ1 (x) 穿入D, 从y=ϕ2 (x) 穿出。

据二重积分的几何意义, , (表示以D为底, 以曲面z=f (x, y) 为顶、母线平行于z轴的z向柱体的体积V。

根据由截面面积求立体体积的计算公式, 我们知道:要求柱体的体积V, 关键是要求用任意垂直于x轴的平面去截它, 所得的截交面Σ的面积A (x) 。

从图3中我们看出:截交面Σ在x处平面上是一个曲边梯形, 它的底边为线段ϕ1 (x) ≤y≤ϕ2 (x) , 曲边是 (注意现在的x被暂时固定) , 由定积分知识, 可得

代入公式 (1) , 得

(2) 积分区域为Y型曲边梯形。

二重积分, (的积分区域D是由y=c, y=d (c

其特点为在xOy上与y轴同向平行线y=ψ1 (x) 从穿入D, 从y=ψ2 (x) 穿出。与X型曲边梯形类似, 用任意垂直于y轴的平面去截它, 所得的截交面Σ的面积A (y) 。

由定积分知识, 可得:

代入公式 (1) , 得:

3 推广

我们前面所求的立体, 它们的截面取法是通过垂直于x轴或y轴的平面去截该立体所得。但并不是所有的立体的截面都通过该方法得到。有时, 我们要根据不同的立体, 选取不同的方法得到截面。

我们知道对于旋转体, 特别是X型平面图形绕x轴旋转, 或Y型平面图形绕y轴旋转, 求它们的体积, 我们有现成的公式:。这些公式的得到也是根据公式 (1) , 它们所得的截面是通过垂直于旋转轴的平面去截得到的, 而且截面都是圆。

但是, 如果旋转体是X型平面图形绕y轴旋转, 或Y型平面图形绕x轴旋转, 这时它们的体积该如何求呢?如果我们还是用垂直于旋转轴的平面去截的化, 我们发现, 这些截面都是圆环, 而这些圆环的面积求起来相当困难。这时我们要用其它的一些方法选取截面。

摘要：本文根据由截面面积求立体体积的方法求一些不常见的立体的体积, 并得到一些好的结论。

关键词：定积分,立体体积,截面面积

参考文献

[1] 张国昌.高等数学 (第一册) [M].苏州大学出版社, 2003:190～191.

[3] 卢崇高.高等数学 (第二册) [M].苏州大学出版社, 2003:128～129.