平行四边形易错题剖析（精选7篇）
平行四边形易错题剖析 第1篇
一、看题不仔细
例1国家级历史文化名城———金华,风光秀丽,花木葱茏. 某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图1),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法中错误的是( ).
A. 红花,绿花种植面积一定相等
B. 紫花,橙花种植面积一定相等
C. 红花,蓝花种植面积一定相等
D. 蓝花,黄花种植面积一定相等
【错解】B
【剖析】审题不清是同学们在做题中经常遇到的问题,本题要求把错误的找出来,而不是正确的.
【正解】C
【点评】根据平行四边形的性质可知GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形,我们知道,一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二,据此可从图中获得S黄=S蓝,S绿=S红,S( 紫+黄+绿)=S(橙+红+蓝),根据等量相减原理知,S紫=S橙,依次就可找出题中的错误说法.
本题考查的是平行四边形的性质,平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分割成两个全等的三角形,两条对角线把平行四边形的面积一分为四,同时充分利用等量相加减原理解题.
二、性质糊涂用
例2如图2,线段BD是平行四边形ABCD的对角线,E、F分别为BC、AD上任意一点,连接EF交BD于点P,判断PE=PF.
【错解】对.
【剖析】平行四边形的对角线互相平分,而此处线段EF不是平行四边形ABCD的对角线.
误用中心对称性质,将P点看作对角线BD的中点(对称中心).
【正解】错.
【点评】本题主要考查同学们能否合理运用平行四边形的性质,熟练掌握中心对称与平行四边形的性质是解决本题的关键. 如果添加AF=CE这一条件,结果又会怎么样呢?请同学们自己思考.
三、考虑不全面
例3如图3,在平行四边形ABCD中 ,∠BAD的平分线分BC为3.5 cm和4.5 cm的两部分,求平行四边形ABCD的周长.
【错解】∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA.
又AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE,
∴平行四边形ABCD的周长为 [3.5+(3.5+4.5)]×2=23(cm).
【剖析】错解错在思维形成定势,忽略了在分成的两部分中,BE可以为3.5cm,也可以为4.5cm,因此本题有两解.
【正解】
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA.
又AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE,
∴平行四边形ABCD的周长为[3.5 +(3.5+4.5)]×2=23(cm)或[4.5+(4.5+3.5)]×2=25(cm).
【点评】本题涉及分类讨论思想,这是数学中的一个重要思想.
例4 在中,BC边上的高为4,AB=5,的周长等于_______.
【错解】20.
【剖析】本题是在未给出图形的基础上解题,首先要画出示意图形来分析、解决问题. 常见的错误是未进行分类讨论,此错误是只考虑一种情况,或者答题者只画了一种情况的图形.
【正解】12或20.
解:如图4所示:
如图5所示:
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识,分类讨论是解题关键,画出清晰的图形是解决问题的基础.
函数易错题剖析 第2篇
一、有关函数定义域问题
例1（1）设f（x）=1+3xa在（-∞，1]上有意义，则a的取值范围是；
（2）若f（x）=1+3xa的定义域是（-∞，1]，则a的取值是.
剖析：两题表述不同，含义也不同.
函数的定义域是使函数有意义的自变量x的取值集合，而函数在某个区间上有意义，则这个区间是定义域的一个子区间，故问题（1）解答是：由x≤1得0<3x≤3，又1+3xa≥0恒成立，所以a≥-13x恒成立，只需a大于或等于-13x的最大值即可，解得a≥-13.
问题（2）解答是：f（x）的定义域是（-∞，1]，则须1+3xa≥0的解是x∈（-∞，1]，若a≥0，恒有1+3xa≥0，此时x∈R，定义域并非是（-∞，1]，故a<0.解1+3xa≥0，即3x≤-1a，取对数有x≤log3（-1a），此时定义域是（-∞，log3（-1a）]，必须且只需log3（-1a）=1，即a=-13.
例2函数f（x）=（1-x）1+x1-x的奇偶性为.
剖析：若作变形f（x）=1-x2，并判断此函数为偶函数就错了.判断函数的奇偶性一定要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称.实际上，此函数的定义域为[-1，1），正确答案为：非奇非偶函数.
二、有关函数定义域、值域为R问题
例3（1）函数y=lg（x2+ax+1）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）函数y=lg（x2+ax+1）的值域为R，求实数a的取值范围.
剖析：常常误认为两题解题方法相同，混淆了“定义域、值域为R”的本质.
问题（1）解答是：因为函数y=lg（x2+ax+1）的定义域为R，即对任意x∈R，x2+ax+1>0恒成立，由于二次函数f（x）=x2+ax+1对应的抛物线开口向上，只需判别式小于零，即a2-4<0，解得-2
问题（2）解答是：函数y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则真数必可取得任意大于零的数，只需判别式大于或等于零，即a2-4≥0，解得a≤-2或a≥2.
三、有关函数轴对称问题
例4（1）设x∈R.函数y=f（1-x）和y=f（1+x）的图像关于直线对称；
（2）函数y=f（x）（x∈R）满足f（1-x）=f（1+x），则y=f（x）的图像关于直线对称.
剖析：常常误认为两题答案相同，其实不然，这是两类不同的轴对称问题.
“函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于直线x=b-a2成轴对称”这是两个函数的图像之间的轴对称关系，故问题（1）答案是x=0.
“函数y=f（x）（x∈R）满足条件f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）的图像关于直线x=a+b2成轴对称”是具有某种性质的一个函数的图像自身的轴对称问题，故问题（2）答案是x=1.
四、有关函数分类讨论的问题
例5解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0.
剖析：研究含有字母系数的二次三项不等式时，首先要研究二次项系数a=0还是a≠0，当a=0时就是一次不等式问题，当a≠0时就是二次不等式问题.
解：（1）若a=0，则原不等式即为-x+1<0，解得x>1.
（2）若a<0，则原不等式可化为（x-1a）（x-1）>0.
解得x<1a或x>1.
（3）若a>0，（x-1a）（x-1）<0.
其解的情况应该由1a与1的大小关系来决定.
当0
当a=1时，无解；
当a>1时，1a 五、有关函数恒成立、能成立问题 例6（1）已知函数f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]时，不等式f（x）>0恒成立，求a的范围； （2）已知函数f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]时，不等式f（x）>0能成立，求a的范围. 剖析：辨析“恒成立、能成立”的含义，这是两个不同的问题. 区间（a，b）使问题恒成立是指这个区间内每个元素都使这个问题成立.故问题（1）解答是：原不等式可化为a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易证g（x）在[1，2]是减函数，则g（x）max=g（1）=-1，a>g（x）max=-1. 区间（a，b）使问题能成立是指这个区间内有元素（不一定是全部元素）使这个问题成立.故问题（2）解答是：原不等式可化为a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易证g（x）在[1，2]是减函数，则g（x）min=g（x）=-32，a>g（x）min=-32. 例7已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）.（1）当a≤12时，讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2-2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围. 剖析：若对x1∈D1，x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等价于f（x）在D1上的最小值不小于g（x）在D2上的最小值即f（x）min≥g（x）min（这里假设f（x）min，g（x）min存在）. 解：（1）略；（2）依题意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）min≥g（x）min，于是问题转化为最值问题. 当a=14时，f（x）=lnx-14x+34x-1，所以f′（x）=1x-14-34x2=-（x-1）（x-3）4x2，则当0 g（x）=x2-2bx+4， ①当b<1时，可求得g（x）min=g（1）=5-2b，由5-2b≤-12得b≥114这与b<1矛盾. ②当1≤b≤2时，可求得g（x）min=g（b）=4-b2，由4-b2≤-12得b2≥92这与1≤b≤2矛盾. ③当b>2时，可求得g（x）min=g（2）=8-4b，由8-4b≤-12得b≥178. 综合①②③得实数b的取值范围是[178，+∞）. （作者：房国新，江苏省前黄高级中学）
函数是高中数学的重点和难点，由于函数有较强的抽象性，常因概念不清，而易混淆，缺乏透彻的理解.通过对函数中易错题的分析和纠错，加深对函数本质及性质的认识.
一、有关函数定义域问题
例1（1）设f（x）=1+3xa在（-∞，1]上有意义，则a的取值范围是；
（2）若f（x）=1+3xa的定义域是（-∞，1]，则a的取值是.
剖析：两题表述不同，含义也不同.
函数的定义域是使函数有意义的自变量x的取值集合，而函数在某个区间上有意义，则这个区间是定义域的一个子区间，故问题（1）解答是：由x≤1得0<3x≤3，又1+3xa≥0恒成立，所以a≥-13x恒成立，只需a大于或等于-13x的最大值即可，解得a≥-13.
问题（2）解答是：f（x）的定义域是（-∞，1]，则须1+3xa≥0的解是x∈（-∞，1]，若a≥0，恒有1+3xa≥0，此时x∈R，定义域并非是（-∞，1]，故a<0.解1+3xa≥0，即3x≤-1a，取对数有x≤log3（-1a），此时定义域是（-∞，log3（-1a）]，必须且只需log3（-1a）=1，即a=-13.
例2函数f（x）=（1-x）1+x1-x的奇偶性为.
剖析：若作变形f（x）=1-x2，并判断此函数为偶函数就错了.判断函数的奇偶性一定要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称.实际上，此函数的定义域为[-1，1），正确答案为：非奇非偶函数.
二、有关函数定义域、值域为R问题
例3（1）函数y=lg（x2+ax+1）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）函数y=lg（x2+ax+1）的值域为R，求实数a的取值范围.
剖析：常常误认为两题解题方法相同，混淆了“定义域、值域为R”的本质.
问题（1）解答是：因为函数y=lg（x2+ax+1）的定义域为R，即对任意x∈R，x2+ax+1>0恒成立，由于二次函数f（x）=x2+ax+1对应的抛物线开口向上，只需判别式小于零，即a2-4<0，解得-2
问题（2）解答是：函数y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则真数必可取得任意大于零的数，只需判别式大于或等于零，即a2-4≥0，解得a≤-2或a≥2.
三、有关函数轴对称问题
例4（1）设x∈R.函数y=f（1-x）和y=f（1+x）的图像关于直线对称；
（2）函数y=f（x）（x∈R）满足f（1-x）=f（1+x），则y=f（x）的图像关于直线对称.
剖析：常常误认为两题答案相同，其实不然，这是两类不同的轴对称问题.
“函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于直线x=b-a2成轴对称”这是两个函数的图像之间的轴对称关系，故问题（1）答案是x=0.
“函数y=f（x）（x∈R）满足条件f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）的图像关于直线x=a+b2成轴对称”是具有某种性质的一个函数的图像自身的轴对称问题，故问题（2）答案是x=1.
四、有关函数分类讨论的问题
例5解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0.
剖析：研究含有字母系数的二次三项不等式时，首先要研究二次项系数a=0还是a≠0，当a=0时就是一次不等式问题，当a≠0时就是二次不等式问题.
解：（1）若a=0，则原不等式即为-x+1<0，解得x>1.
（2）若a<0，则原不等式可化为（x-1a）（x-1）>0.
解得x<1a或x>1.
（3）若a>0，（x-1a）（x-1）<0.
其解的情况应该由1a与1的大小关系来决定.
当0
当a=1时，无解；
当a>1时，1a 五、有关函数恒成立、能成立问题 例6（1）已知函数f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]时，不等式f（x）>0恒成立，求a的范围； （2）已知函数f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]时，不等式f（x）>0能成立，求a的范围. 剖析：辨析“恒成立、能成立”的含义，这是两个不同的问题. 区间（a，b）使问题恒成立是指这个区间内每个元素都使这个问题成立.故问题（1）解答是：原不等式可化为a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易证g（x）在[1，2]是减函数，则g（x）max=g（1）=-1，a>g（x）max=-1. 区间（a，b）使问题能成立是指这个区间内有元素（不一定是全部元素）使这个问题成立.故问题（2）解答是：原不等式可化为a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易证g（x）在[1，2]是减函数，则g（x）min=g（x）=-32，a>g（x）min=-32. 例7已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）.（1）当a≤12时，讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2-2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围. 剖析：若对x1∈D1，x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等价于f（x）在D1上的最小值不小于g（x）在D2上的最小值即f（x）min≥g（x）min（这里假设f（x）min，g（x）min存在）. 解：（1）略；（2）依题意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）min≥g（x）min，于是问题转化为最值问题. 当a=14时，f（x）=lnx-14x+34x-1，所以f′（x）=1x-14-34x2=-（x-1）（x-3）4x2，则当0 g（x）=x2-2bx+4， ①当b<1时，可求得g（x）min=g（1）=5-2b，由5-2b≤-12得b≥114这与b<1矛盾. ②当1≤b≤2时，可求得g（x）min=g（b）=4-b2，由4-b2≤-12得b2≥92这与1≤b≤2矛盾. ③当b>2时，可求得g（x）min=g（2）=8-4b，由8-4b≤-12得b≥178. 综合①②③得实数b的取值范围是[178，+∞）. （作者：房国新，江苏省前黄高级中学）
函数是高中数学的重点和难点，由于函数有较强的抽象性，常因概念不清，而易混淆，缺乏透彻的理解.通过对函数中易错题的分析和纠错，加深对函数本质及性质的认识.
一、有关函数定义域问题
例1（1）设f（x）=1+3xa在（-∞，1]上有意义，则a的取值范围是；
（2）若f（x）=1+3xa的定义域是（-∞，1]，则a的取值是.
剖析：两题表述不同，含义也不同.
函数的定义域是使函数有意义的自变量x的取值集合，而函数在某个区间上有意义，则这个区间是定义域的一个子区间，故问题（1）解答是：由x≤1得0<3x≤3，又1+3xa≥0恒成立，所以a≥-13x恒成立，只需a大于或等于-13x的最大值即可，解得a≥-13.
问题（2）解答是：f（x）的定义域是（-∞，1]，则须1+3xa≥0的解是x∈（-∞，1]，若a≥0，恒有1+3xa≥0，此时x∈R，定义域并非是（-∞，1]，故a<0.解1+3xa≥0，即3x≤-1a，取对数有x≤log3（-1a），此时定义域是（-∞，log3（-1a）]，必须且只需log3（-1a）=1，即a=-13.
例2函数f（x）=（1-x）1+x1-x的奇偶性为.
剖析：若作变形f（x）=1-x2，并判断此函数为偶函数就错了.判断函数的奇偶性一定要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称.实际上，此函数的定义域为[-1，1），正确答案为：非奇非偶函数.
二、有关函数定义域、值域为R问题
例3（1）函数y=lg（x2+ax+1）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）函数y=lg（x2+ax+1）的值域为R，求实数a的取值范围.
剖析：常常误认为两题解题方法相同，混淆了“定义域、值域为R”的本质.
问题（1）解答是：因为函数y=lg（x2+ax+1）的定义域为R，即对任意x∈R，x2+ax+1>0恒成立，由于二次函数f（x）=x2+ax+1对应的抛物线开口向上，只需判别式小于零，即a2-4<0，解得-2
问题（2）解答是：函数y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则真数必可取得任意大于零的数，只需判别式大于或等于零，即a2-4≥0，解得a≤-2或a≥2.
三、有关函数轴对称问题
例4（1）设x∈R.函数y=f（1-x）和y=f（1+x）的图像关于直线对称；
（2）函数y=f（x）（x∈R）满足f（1-x）=f（1+x），则y=f（x）的图像关于直线对称.
剖析：常常误认为两题答案相同，其实不然，这是两类不同的轴对称问题.
“函数y=f（a+x）与y=f（b-x）的图像关于直线x=b-a2成轴对称”这是两个函数的图像之间的轴对称关系，故问题（1）答案是x=0.
“函数y=f（x）（x∈R）满足条件f（a+x）=f（b-x），则y=f（x）的图像关于直线x=a+b2成轴对称”是具有某种性质的一个函数的图像自身的轴对称问题，故问题（2）答案是x=1.
四、有关函数分类讨论的问题
例5解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0.
剖析：研究含有字母系数的二次三项不等式时，首先要研究二次项系数a=0还是a≠0，当a=0时就是一次不等式问题，当a≠0时就是二次不等式问题.
解：（1）若a=0，则原不等式即为-x+1<0，解得x>1.
（2）若a<0，则原不等式可化为（x-1a）（x-1）>0.
解得x<1a或x>1.
（3）若a>0，（x-1a）（x-1）<0.
其解的情况应该由1a与1的大小关系来决定.
当0
当a=1时，无解；
当a>1时，1a 五、有关函数恒成立、能成立问题 例6（1）已知函数f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]时，不等式f（x）>0恒成立，求a的范围； （2）已知函数f（x）=x2-（1-a）x+1，x∈[1，2]时，不等式f（x）>0能成立，求a的范围. 剖析：辨析“恒成立、能成立”的含义，这是两个不同的问题. 区间（a，b）使问题恒成立是指这个区间内每个元素都使这个问题成立.故问题（1）解答是：原不等式可化为a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易证g（x）在[1，2]是减函数，则g（x）max=g（1）=-1，a>g（x）max=-1. 区间（a，b）使问题能成立是指这个区间内有元素（不一定是全部元素）使这个问题成立.故问题（2）解答是：原不等式可化为a>1-（x+1x），令g（x）=1-（x+1x），易证g（x）在[1，2]是减函数，则g（x）min=g（x）=-32，a>g（x）min=-32. 例7已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）.（1）当a≤12时，讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2-2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围. 剖析：若对x1∈D1，x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），等价于f（x）在D1上的最小值不小于g（x）在D2上的最小值即f（x）min≥g（x）min（这里假设f（x）min，g（x）min存在）. 解：（1）略；（2）依题意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）min≥g（x）min，于是问题转化为最值问题. 当a=14时，f（x）=lnx-14x+34x-1，所以f′（x）=1x-14-34x2=-（x-1）（x-3）4x2，则当0 g（x）=x2-2bx+4， ①当b<1时，可求得g（x）min=g（1）=5-2b，由5-2b≤-12得b≥114这与b<1矛盾. ②当1≤b≤2时，可求得g（x）min=g（b）=4-b2，由4-b2≤-12得b2≥92这与1≤b≤2矛盾. ③当b>2时，可求得g（x）min=g（2）=8-4b，由8-4b≤-12得b≥178. 综合①②③得实数b的取值范围是[178，+∞）. （作者：房国新，江苏省前黄高级中学）
剖析一道易错题 第3篇
错解1:传送带消耗的电能等于粮食包克服摩擦力所做的功
错解2:对于粮食包由牛顿第二定律可知
假设粮食包能加速到4m/s得
∵s1
即传送带消耗的电能E=W=μmgS1=175J
错解3:传送带消耗的电能等于粮食包克服摩擦力所做的功和粮食包相对传送带的相对能量之和
错因分析:上述解法, 错误均出在没有正确理解传送带消耗的电能应等于传送带克服摩擦力做的功。具体地说:错解1没有搞清楚SBC的物理意义, 就张冠李戴胡乱套用数据和公式, 虽得到了正确的结果, 但仍是错的;错解2解决的方式是合理的, 但把粮食包的位移当成传送带的位移也错了;错解3更是错得离谱, 居然引入相对能量, 虽然从数学上, 但物理意义根本不对。
正解:对于粮食包由牛顿第二定律可知
假设粮食包能加速到
∴粮食包先做匀加速直线运动, 然后和皮带一起做匀速直线运动。粮食包和传送带受到滑动摩擦力的时间都为
那么传送带在时间内运动的距离为S2=v2t=2m
《算法案例》易错题剖析 第4篇
易错点剖析一：赋值概念的理解错误
例1已知两个单元存放了变量x，y，z的值，试给出一个算法，依次变换x，y，z的值.（x←y←z←x）
错解：Step1： x←y
Step2： y←z
Step3： z←x
错因剖析：没有理解赋值的含义，按上述算法，结果为x=z且为原y的值，y为原z的值.
正如A，B，C三个杯子中分别装有可乐、雪碧、橙汁，若要交换这三种饮料，需要一个空杯子D来存储A中的可乐，这样才能依次将B中雪碧倒入A中，C中的橙汁倒入B中，再将D中可乐倒入A中.
正解：Step1： p←x
Step2： x←y
Step3： y←z
Step4： z←p
易错点剖析二：变量的初始值错误
例2写出一个计算1+2+22+23+…+210的值的程序语句.
错解：如下图
i←1
S←0
While i≤10
S←S+2i
i←i+1
End While
Print S
End
错因剖析：错解中程序语句的功能是计算式子2+22+23+…+210的值，比题目中要求的式子少了一项“1”，将循环体中i的初始值改为0，可以实现题目的要求.
正解：如下图.
i←0
S←0
While i≤10
S←S+2i
i←i+1
End While
Print S
End
易错点剖析三：算法语句顺序错误
例3设计一个求1+2+3+4+…+100的流程图.
错解：如下图
错因剖析：当先执行S←S+n，再判断，而后执行n←n+1，当S加上100时，符合条件，再次进入循环，这样执行的最后结果中多了101.即改变了算法语句的顺序，使得执行的结果发生了变化.
正解：如图1，图2.
变式：用当型循环来设计一个求1+2+3+4+…+100的流程图.
错解：如图1.
错因剖析：当型循环与直到型循环概念不清.当型循环特点是“先判断后操作”，先判断所给条件p是否成立，若成立，再执行操作;若不成立，一次也不执行循环.直到型循环的特点是“先操作后判断”，先执行操作，再判断所给条件p是否成立，若不成立，则再次循环，如此反复，直到条件p成立，循环结束.
正解：如下图.
易错点剖析四：“For”语句结构认识不清
例4设计一个算法，计算1+3+5+…+99，写出伪代码.
错解：如下图，
S←0
For i From 1 To 99
S←S+i
Print S
End For
错因剖析：在“For”语句中，如果省去步长“Step2”，那么循环时，i的值每次只增加1;而且将“Print S”放在循环体内，则每循环一下就输出一个S.
正解：如下图.
S←0
For i From 1 To 99 Step 2
S←S+i
End For
Print S
在含有循环语句的程序中，变量的初始值、语句的顺序和循环条件是关键，它们直接影响程序语句的输出结果，各种循环的结构也不需要认清，实际上例3的变式和例4都是对循环结构的混淆.
易错点剖析五：“If”语句的嵌套结构不了解
例5函数y=2x，x≤4，
8，4<x≤8，
2（12-x），8<x，试写一个求函数的函数值的算法.
错解：
Read x
If x≤4 Then
y←2x
If x>8 Then
y←2（12-x）
Else
y←8
End If
End If
Print y
End
错因剖析：没有使用If语句的嵌套结构.
正解：
Read x
If x≤4 Then
y←2x
Else
If x>8 Then
y←2（12-x）
Else
y←8
End If
End If
Print y
End
易错点剖析六：算法语句选择不当
例6输入3个数a，b，c，如果这三个数能作为三
角形的三边长，那么输出12（a+b+c），否则提示重新输入.试用算法基本语句表示上述过程.
错解：
Read a，b，c
If a+b≤c或a+c≤b或b+c≤a Then
Read a，b，c
Else
p←（a+b+c）2
End If
Print p
End
错因剖析：错解中用的是条件语句，仅仅执行满足条件的那一次，不能反复执行，而题目条件的意思是：只要不满足条件，就要反复执行，因此应该用循环语句.
正解：
Read a，b，c
While a+b≤c或a+c≤b或b+c≤a Then
Read a，b，c
End While
p←（a+b+c）2
Print p
End
上面谈及的问题和所列举的例子，只是算法中的部分常见错误，希望通过这些例子对同学们有所启发.改错是引导同学们辨析正误的重要手段，只要经过努力，每个同学掌握算法这章节的知识不是一件困难的事，而且通过自身努力掌握知识，也就有了把数学学得更好的信心了.
解一元一次方程易错题剖析 第5篇
易错点1:移项没有变号
例1解方程:7-2x=3-4x.
【错因分析】移项是依据等式性质一, 把方程中的某些项改变符号后, 从方程的一边移到另一边, 同时要注意方程中的项要包括它的符号.“-4x”从等号的右边移到等号的左边时没有改变符号, 导致解题错误.
易错点2:系数化成1时错写分子、分母的位置
例2解方程:3x-1=3.
易错点3:括号前有系数, 去括号时没有将系数乘括号里的每一项
例3解方程:4-2 (1-x) =-2.
【错因分析】依据乘法分配律, 把括号前的系数乘括号里的每一项, 达到去括号的目的, 错解中漏乘了第二项.
易错点4:去负括号时, 括号内各项没有都变号
【错因分析】依据去括号法则, 去负括号时括号内各项都要改变符号, 去括号时“-8x”未变号.
易错点5:去分母时, 漏乘没有分母的项
【错因分析】去分母是依据等式性质二, 方程两边同时乘分母的最小公倍数, 达到去分母的目的, 但是部分同学往往只把有分母的项乘分母的最小公倍数, 而忽略了没有分母的项, 出现这样的错误主要还是对去分母的依据理解不透彻.
易错点6:忽视分数线的括号作用
【错因分析】分数线既有除号的作用, 又有括号的作用.去掉分母后, 如果分子是多项式, 要加括号.
平行四边形易错题剖析 第6篇
一、对频率、概率的理解有误
例1如果事件A发生的概率是1/100,那么在相同条件下重复试验,下列叙述中,正确的是( ).
A. 说明做100次这种试验,事件A必发生1次
B. 说明事件A发生的频率是1/100
C. 说明做100次这种试验中,前99次事件A没发生,后1次事件A才发生
D. 说明做100次这种试验,事件A可能发生1次
【错误解答】B.
【错解成因】在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数m称为事件A发生的频数,比值m/n称为事件A发生的频率. 由此可见,频率跟试验的次数有着直接的关系,试验的次数不同,得到的频率也可能是不同的. 故B错误.
【正确解答】只有选项D是正确的,符合频率与概率的意义.
【方法规律】审题时一定要分清频率、概率的意义. 概率是等可能条件下事件发生的可能性大小,它是由该随机事件的本质所决定的,与试验条件及次数无关. 而在相同条件下,如果试验次数足够多,那么试验的频率得到相对稳定的值,可利用这个值来估计该事件发生的概率.
二、对推断、决策的选择有误
例2某商场连续7个月统计了A、B两种品牌冰箱的销售情况,并将获得的数据绘制成折线统计图.
(1)分别求这7个月中,A、B两种品牌冰箱销售量的平均数、中位数和方差;
(2)对该商场今后的进货情况提出你的建议.
【正确解答】建议(2)解答如下:从折线图来看,B型冰箱的月销售量呈上升趋势,若考虑增长势头,进货时可多进B型冰箱.
【方法规律】处理数据时除了要学会分析平均数、中位数、众数外,还要全面观察、分析图形,从而作出正确的推断,特别是折线统计图不但能反映数量的多少,而且能清楚看出数量增减的变化情况.
三、对等可能性的理解有误
例3将一枚骰子先后掷两次,求所得的点数之和为6的概率.
【错误解答】抛掷两枚骰子,所能得到的基本事件(即所得的点数之和)有:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12,共11种情形,而点数之和为6的情况只有1个,所以P(点数之和为6)=1/11.
【错解成因】虽然出现的点数之和确实是只有11种情形,但这些情况不是等可能的,且有些点数之和的情况也不是1个,故上述解法错误.
【正确解答】用列表法如下:
∴共有36种等可能的情况,其中所得的点数之和为6的有5种,∴P (点数之和为6)=5/36.
【方法规律】本题考查的是概率的求法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=m/n. 特别注意,只有在所有等可能事件中才能使用概率计算公式P(A)=m/n进行计算. 而借助树状图、列表法可以不重复不遗漏地列举出所有等可能的情况,可避免犯类似的错误.
四、有无放回问题的理解有误
例4已知红色和蓝色在一起可配成紫色,现有三种颜色红、白、蓝,从中任意取出两种颜色来配紫色,问: 能配出紫色的概率是多大?
【错误解答】用列表法如下:
∴共有9种等可能的情况,能配出紫色的有2种,∴P(配出紫色)=2/9.
【错解成因】没有考虑到:在红、白、蓝三种颜色中,任意取出两种颜色时,不能取出两个相同的颜色,这等同于“无放回问题”,这样导致列举出的等可能事件总数产生错误.
【正确解答】用列表法如下:
∴共有6种等可能的情况,能配出紫色的有2种,∴P(配出紫色)=1/3.
【方法规律】本题需要注意在阅读题目时,要正确获取题中的信息. 在以后解决类似的问题时,需要分清题型是属于“有放回”还是“无放回”问题,在这两种不同的情况下,得到的所有等可能情况是完全不同的.
五、有序与无序的理解有误
例5袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球. 先从袋中摸出1个球后放回,混合均匀后再摸出1个球. 求第一次摸到绿球、第二次摸到红球的概率.
【错误解答1】画树状图得:
∵共有4种等可能的结果,第一次摸到绿球有2种情况,由于放回,第二次摸到红球也有2种情况,
∴P(第一次摸到绿球)=2/4=1/2,P(第二次摸到红球)=2/4=1/2.
【错解成因】审题不清,题目中的“第一次摸到绿球、第二次摸到红球”是指一个事件,不能把它当成两个事件来求.
【错误解答2】画树状图得:
∵共有16种等可能的结果,摸到一绿球一红球的有8种情况,
∴P(第一次摸到绿球、第二次摸到红球)=8/16=1/2.
【错解成因】摸球模型中分有序与无序,不可混淆. 由题目的摸球过程知:摸球的过程是有序的,故第一次摸到绿球、第二次摸到红球与第一次摸到红球、第二次摸到绿球是两种不同的情形,上述解答忽视了摸球的有序性.
【正确解答】画树状图得:
∵共有16种等可能的结果,第一次摸到绿球、第二次摸到红球的情况有4种,
∴P(第一次摸到绿球、第二次摸到红球)=4/16=1/4.
【方法规律】分析题目时要仔细观察,有序关心的是摸的过程,先A后B和先B后A是两个不一样的过程;而无序只关心摸的结果,不必关注先A后B还是先B后A,最终得到的结果都是A和B,不分先后.
小试身手
1. 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( ).
A.1/999B.1/2
C.2/3D. 无法确定
2. 掷一枚均匀的硬币,出现正面朝上的概率为0.5. 小刚将一枚均匀的硬币掷了100次,可是出现正面朝上的次数却不是50次,他很纳闷,请你帮他解释一下为什么.
3. 一个家庭有3个孩子,求这个家庭中有2个女孩和1个男孩的概率.
4. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛,每个月对他们的学习水平进行一次测验,如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图.
(1)分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差;(2) 如果你是他们的辅导教师,应选派哪一名学生参加这次数学竞赛. 请结合所学统计知识说明理由.5. 王强与李刚两位同学在学习“概率”时,做抛骰子(均匀正方体形状)实验,他们共抛了54次,出现向上点数的次数如下表:
王强说:“根据实验,一次试验中出现向上点数为5的概率最大. ”
李刚说:“如果抛540次,那么出现向上点数为6的次数正好是100次. ”
请判断王强和李刚说法的对错.
参考答案
1. B
2.“掷一枚均匀的硬币,出现正面朝上的概率为0.5”,说明掷一枚均匀的硬币,出现正面朝上的可能性为1/2,但并不是说每掷两次就有一次正面朝上. 因此掷100次出现正面朝上的次数不一定是50次.
3. 画树状图:
∴共有8种等可能的情况,其中2个女孩和1个男孩的共有3种,∴P(2个女孩和1个男孩)=3/8.
(2)甲、乙两人成绩的平均数相等,但甲的成绩呈上升趋势,应让甲去更合适.
概率与统计易错题剖析 第7篇
易错剖析一：抽样方法含义理解不清致误
例1学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流量情况，决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？
错解：在这种情况下适合采取系统抽样.
错因分析：这家超市位于学校附近，其顾客很多为学生，客流受到学生作息时间的影响，如周末时，客流量会明显减少，如果用系统抽样来抽取样本，起始点抽到星期天的话，样本代表的客流量会明显偏低，另外，寒暑假也会直接影响超市的客流量.
正解：利用简单随机抽样和分层抽样，可以把一周分为7天，一年分52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本进行调查.
易错剖析二：概率与频率的关系不清致误
例2下列说法：
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；
③频率是不能脱离n次试验的试验结果，而概率是具有确定性的，不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确命题的序号为.
错解：①④.
错因分析：对概率和频率的关系认识不清，导致误判.如对于说法②，认为事件发生的频率就是事件发生的概率，再如对事件发生的概率的确定性认识不清，就可能认为说法③不正确等.
正解：①③④.
易错剖析三：误解基本事件的等可能性致误
例3任意投掷两枚骰子，求出现点数和为奇数的概率.
错解：点数和为奇数，可取3，5，7，9，11共5种可能，点数和为偶数可取2，4，6，8，10，12共6种可能，于是出现点数和为奇数的概率为55+6=511.
错因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此时必须保证每一个基本事件出现的可能性均等，而上述解法点数为奇数、偶数出现的机会显然不均等，则不能用等可能性事件的概率模型来解答.
正解1：出现点数和为奇数，由数组（奇、偶）、（偶，奇）组成共有3×3+3×3=18个不同的结果，这些结果的出现是等可能的，故所求的概率为1836=12.
正解2：若把随机事件的全部等可能结果取为：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶，奇）（偶、偶）.点数和为奇数的结果为（奇、偶）、（偶，奇）两种，故所求概率为24=12.
易错剖析四：几何概型概念的不清致误
例4在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
错解：在AB上取AC′=AC，在∠ACB内作射线CM看作在线段AC′上任取一点M，过C，M作射线CM，则概率为AC′AB=ACAB=22.
错因分析：上述作法好像很有道理，为什么错误呢？值得深思.考查此解法是否满足几何概型的要求，虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，在确立基本事件时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性.
正解：在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任意位置都是等可能的，在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=67.5°，故满足条件的概率为67.5°90°=34.
易错剖析五：互斥与对立事件相混淆致误
例5把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：.（填写“对立事件”、“不可能事件”、“互斥但不对立事件”）
错解：对立事件.
错因分析：本题的错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；互斥的概念适合多个事件，但对立概念只适合于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；两事件对立则表示他们有且只有一个发生.
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰好有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选“互斥但不对立事件”.
易错剖析六：混淆互斥事件与相互独立事件致误例6一个通讯小组有A、B两套通讯设备，只要有一套设备正常工作，就能进行通讯，A、B设备各有2个、3个部件组成，只要其中有1个部件出现故障，这套设备就不能正常工作，如果在某段时间内每个部件不出现故障的概率都为p，试计算在这段时间内能进行通讯的概率.
错解：由题意知：在某段时间内A、B两套通讯设备能正常工作的概率分别为P（A）=p2，P（B）=p3，则在这段时间内能进行通讯即A、B至少有一个能正常工作，故在这段时间内能进行通讯的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=p2+p3.
错因分析：题中A、B两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的，上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率，互斥与独立是不同的两种关系，一般没有必然联系，不能混淆，把互斥结果套用在独立事件中是错误的，只有当A、B中一个是必然事件，另一个是不可能事件时，A、B既是互斥事件，又是独立事件.
正解1（逆向思考）：A、B至少有一个能正常工作的对立事件为：A、B都不能正常工作，A不能正常工作的概率为1-p2，B不能正常工作的概率为1-p3，则在这段时间内能正常进行通讯的概率为1-（1-p2）（1-p3）=p2+p3-p5.
正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
概率与统计部分的定义、公式较多，学习时由于抽样方法混淆、概型错用、互斥事件与独立事件混淆等经常出错，这都是由于基础知识掌握不牢造成的.因此，应更加注重基本概念、基本公式与基本方法的强化训练，总结相应题型的通性通法并不断反思，定能取得理想的成绩.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）endprint
正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
概率与统计部分的定义、公式较多，学习时由于抽样方法混淆、概型错用、互斥事件与独立事件混淆等经常出错，这都是由于基础知识掌握不牢造成的.因此，应更加注重基本概念、基本公式与基本方法的强化训练，总结相应题型的通性通法并不断反思，定能取得理想的成绩.
（作者：朱振华，江苏省海门中学）endprint
正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2·p3=p2+p3-p5.
易错剖析七：忽视公式成立的条件致误
例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn·pk·（1-p）n-k，马上得到答案（B）.
错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：
（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；
（2）每一次试验都彼此独立；
（3）每一次试验出现的结果只有两个.
只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.
正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.
易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.
错因分析：这是古典概率常见的模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.
概率与统计部分的定义、公式较多，学习时由于抽样方法混淆、概型错用、互斥事件与独立事件混淆等经常出错，这都是由于基础知识掌握不牢造成的.因此，应更加注重基本概念、基本公式与基本方法的强化训练，总结相应题型的通性通法并不断反思，定能取得理想的成绩.
