平方和公式范文（精选9篇）

平方和公式 第1篇

关键词：创新教育,裂项公式,推导,平方和公式,立方和公式

创新教育是素质教育的灵魂、 核心. 创新是民族进步的灵魂, 是国家兴旺发达不竭的动力. 创新, 是一个易想而不易实现的工作, 然而创新是未来社会必备的技能之一. 教师被称为“人类灵魂的工程师”, 肩负着下一代的教育工作, 我们培养的学生是下一代的建设者, 为此, 我们必须培养学生的发散思维和创新精神, 实施创新教育, 为他们将来成为适应时代步伐, 促进时代发展的创新型人才做准备.

高中数学课本中对平方和公式、立方和公式只用归纳法证明, 没有给出公式的推导过程. 本文用裂项公式巧妙地推导出了平方和公式、立方和公式, 供读者参考, 并希望读者在学习、研究高中数学时巧用裂项公式, 掌握数学规律, 领悟数学思想, 提高学习效率.

一、常用的裂项公式

二、平方和公式的推导过程

参考裂项公式:

三、立方和公式的推导过程

参考裂项公式:

教无定法. 教师在教学过程中多思考、多研究, 把平时的生活实例与教学内容结合, 这样教师便于讲解、学生易于理解, 课堂导入自然、讲解轻松, 实现高效课堂, 将知识、方法、思想传授给学生. 同学们始终在思考的过程中学习, 始终进行自主探究, 这样才能把书本知识、老师讲解的知识转化为自己学到的知识, 培养学生形成分析问题、解决问题的思路, 培养学生严谨的逻辑思维能力和创新思维能力.

中学生处于创新意识的唤醒期、 创新方法的积累期、创新思维的发展期. 抓住学生创造力培养的关键期, 全面开发生命的创新潜能, 最大化激发生命的创造活力, 老师要以“为学生的终身发展奠基, 为学生的一生幸福负责”为目标, 从学生实际出发, 钻研教材、分析学情、充分备课、认真制作课件、狠抓教学过程、 总结教学经验. 在实际教学中贯彻落实新课程改革理念, 发展创新教育, 培养学生的创新能力, 全面实施素质教育, 实现面向未来的教育.

乘法公式(完全平方公式2) 第2篇

利用乘法公式计算： 1.99

2.(2x5)2(2x1)(12x)

二．教学目标：

1.掌握完全平方公式的推广，学会利用换元思想进行转化； 2.掌握添括号和去括号的法则，并会灵活运用； 3.能根据题目特点选择适当的公式进行计算。

三．指导自学：

问题1：计算(abc)2；

问题2：将(abc)2中的ab看作一个整体，你会计算吗？结果有规律吗？ 问题3：你能利用前面所学的知识灵活计算(x2y3)(x2y3)吗？

四．教师讲解：

归纳公式：(abc)2等于每一项的平方和加上每两项乘积的2倍。例．1.(x2yz)2.(xy1)(xy1)3.(3mnp)(3mnp)

五．当堂训练：

1.(3x5y1)(x2y)(x2y)2.(x2y3z)(x2y3z)六．落实检测：

计算：(a2b3)(a2b3)(2ab1)

小结：1.熟练掌握乘法公式及其推广； 2.注意运算中的符号问题。

布置作业

平方差公式应用 第3篇

例1 计算:(1)(2a+3b)(3b-2a); (2)(2a+2b)(■a-■b); (3)(a+b+c)(a-b-c);

分析:(1)注意本题中“3b”位置上的特点,可以先调整其位置,再应用公式计算。

(2a+3b)(3b-2a)=(3b+2a)(3b-2a)=(3b)2-(2a)2=9b2-4a2

(2)注意本题的系数特点,可以先变化系数再计算。

(2a+2b)(■a-■b)=2(a+b)×■(a-b)=(a+b)(a-b)=a2-b2

(3)题目中的项比较多,不妨先观察各项符号的变化规律,把符号相同的项结合,符号相反的项结合,再计算。

(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-b2-2bc-c2

在一些数字计算中,也可用平方差公式。

例2 计算:(1)1999×2001; (2)20073-2006×2007×2008; (3)1002-992+982-972+…+22-12。

解:(1)1999×2001

=(2000-1)×(2000+1)

=20002-1

=3999999

(2)20073-2006×2007×2008

=20073-2007×(2007-1)×(2007+1)

=20073-2007×(20072-1)

=20073-20073+2007=2007

(3)1002-992+982-972+…+22-12

=(100+99)(100-99)+(98+97)·(98-97)+…+(2+1)(2-1)

=100+99+98+97+…+2+1

=■=5050

例3 设m,n为自然数,且满足:n2=m2+12+22+92+92,求m,n的值。

分析:本题看上去似乎与平方差公式没有联系。但是将m2移到等式的左边,就出现了平方差的形式。

解:由条件可知n2-m2=12+22+92+92,即(n+m)(n-m)=167。

而167是质数,只能分解成167×1,又因为m,n为自然数,

所以n+m=167n-m=1解得m=83,n=84

例4 如图,2005个正方形由小到大套在一起,从外向里相间画上阴影,最外面一层画阴影,最里面一层画阴影,最外面的正方形的边长为2005cm,向里依次为2004cm,2003cm,…,1cm,那么在这个图形中,所有画阴影部分的面积和是多少?

■

分析:每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差。而正方形的面积是其边长的平方,这样就可以逆用平方差公式计算了。(计算方法可参考例2第(3)题)

解:S阴影=(20052-20042)+(20032-20022)+…+(32-22)+1

=2005+2004+2003+2002+…+3+2+1

=2011015(cm2)

浅谈“完全平方公式” 第4篇

(1) (P+1) 2= (P+1) (P+1) =___;

(2) (m+2) 2= (m+2) (m+2) =___;

(3) (p-1) 2= (p-1) (p-1) =___;

(4) (m-2) 2= (m-2) (m-2) =___.

通过计算、探究, 寻找规律, 得出完全平方公式, 原文如下:一般的, 我们有 (a+b) 2=a2+2ab+b2; (a-b) 2=a2-2ab+b2即两数和 (或差) 的平方等于它们的平方和, 加 (或减) 它们积的2倍.教学过程中, 常有学生很容易把符号搞错, 究其原因, 我觉得教材对完全平方公式的语言描述不够恰当, 现提点个人意见与大家交流, 不足之处还请指正.

完全平方公式是根据乘方的意义和多项式与多项式相乘的法则得出的, 而多项式与多项式相乘的法则 (先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加) 中语言描述的核心是“项项”, 项是带有符号的, 这在多项式的概念, 单项式与多项式相乘的法则 (用单项式去乘以多项式的每一项, 再把所得的积相加) , 都用到了“项”、“和”, 并且教学中反复强调, 多项式是单项式的和, 每一项包括它前面的符号, 在计算时一定要注意确定积中各项的符号, 这在学生头脑中已经根深蒂固, 但在完全平方公式语言描述中, 竟然“冒出”差与减来, 有的学生弄不明白了, 特别是对于两“数”, 虽然提醒学生公式中字母a、b可以代表任何一个数, 一个单项式或一个多项式, 但还易出现符号错误, 百思不得其解.例如对于计算 (-a-b) 2有一部分学生就不会直接运用完全平方公式, 而要将其转化为 (a+b) 2后, 才会运用公式, 直接计算的话, 前者出现错误明显高于后者.

当然, 教材的设计由整式的乘法到完全平方公式是一个循序渐进过程, 体现了“螺旋型”课程, 但是其语言描述却违背了奥苏贝尔的同化论学习是否有意义, 取决于新知识与学生已有旧知识之间是否建立了联系, 认知结构中新旧知识的相互作用导致新知识被同化, 从而使新知识获得了意义, 而且旧知识也因此得到了修正而获得新的意义, 新知识中, “减、差”显然不能与旧知识中的“项、和”建立联系.

如果将教材中 (a+b) 2=a2+2ab+b2, (a-b) 2=a2-2ab+b2合二为一即 (a+b) 2=a2+2ab+b2, 因 (a-b) 2=[a+ (-b) ]2, 而语言描述为两项和的平方, 等于各项的平方和, 加上它们两项积的2倍, 运用此描述来计算, 一提到“项”学生自然而然就想到包括它前面的符号, 就可减少出现符号错误, 此时再来计算 (-a-b) 2就显得容易多了, 两项是-a, -b.因此 (-a-b) 2= (-a) 2+2 (-a) (-b) + (-b) 2=a2+2ab+b2, 此基础上推导三项和的平方 (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, 用语言描述为三项和的平方, 等于各项的平方和, 加上它们两两积的2倍.对于n项和的平方 (a1+a2++an) 2=aundefined+aundefined++aundefined+2a1a2+2a1a3++2an-1an.语言描述为n项和的平方, 等于各项的平方和, 加上它们两两积的2倍.

完全平方公式 第5篇

学生活动：学生分组讨论，选代表解答.

练习三

(1)有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里.

甲的计算过程是：原式

乙的计算过程是：原式

丙的计算过程是：原式

丁的计算过程是：原式

(2)想一想， 与 相等吗?为什么?

与 相等吗?为什么?

学生活动：观察、思考后，回答问题.

【教法说明】 练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用.练习三第(l)题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大.通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法.通过完成第(2)题使学生进一步理解 与 之间的相等关系，同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义.

练习四

运用乘法公式计算：

(l) (2)

(3) (4)

学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目.

【教法说明】 这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛.

(四)总结、扩展

这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式.

引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题.

八、布置作业

P133 1，2.(3)(4).

参考答案

平方和公式 第6篇

新旧课程标准对此部分内容的要求对比如下：

①会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。

②能推导乘法公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2；（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

学生对新鲜事物总是充满好奇心和求知欲，有较高的学习兴趣和探求未知世界的积极态度，教师应该尽最大努力爱护、培养和激励学生的学习热情，使学生学会学习，掌握学习的方法，學会自己独立地获取知识；掌握科学研究的方法，学会从不知开始，一步一步地达到问题的核心，直至最终的构建和解决；发展学生的认识力——对世界（客观世界和主观世界）各种事物的认识能力。

本课时教学目标设计如下：

1.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

2.通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释。

3.经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。

体现情感价值的教学环节设计如下：

一、情境创设

师：古埃及、古印度、古巴比伦、古代中国都曾通过图形认识了一个数学公式。

如下图：你能通过不同的方法计算大正方形的面积吗？

你发现了什么？

情感价值一：四个“古”让学生了解了数学历史的古老，调动了学生的学习兴趣，也渗透了德育思想。

二、探索活动

问题一：如何用字母表示上图中大正方形的面积？

生：将上图看成一个大正方形，则面积为（a+b）2。

师：很好，还有没有其他的方法呢？

生：可将上图看成是由两个长方形和两个正方形组成的图形，那么它的面积为a2+2ab+b2。

师：两种方法都求出了大正方形的面积，从而我们可以发现什么呢？

生：（a+b）2=a2+2ab+b2.

问题二：你能用多项式的乘法法则推导公式（a+b）2=a2+2ab+b2吗？

生：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.

师：这个公式称为完全平方公式。

情感价值二：学生了解了公式的几何背景，从“数、形”两方面对完全平方公式的本质内涵有了深刻的认识。让学生也有了种不输古人的自豪感。

三、范例点睛

例1.计算：（a-b）2

生：（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

师：想一想，你还可以运用什么方法？（提示语：减去一个数等于？）

生：（a-b）2=［a+（-b）］2=a2+2a（-b）2-（-b）+a2-2ab+b2.

师：（a-b）2=a2-2ab+b2，这是我们要学习的另一个完全平方公式。

小结完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2.

（a-b）2=a2-2ab+b2.

情感价值三：这里形成知识的正迁移，让学生感受转化的思想以及知识之间的联系。从未知到已知，让学生发现新知识，有成就感，有创新思维的训练。两个完全平方公式的统一，体现了数学的化归思想，让学生的数学思维提高了一个层次，数学能力得到了有效提升。

师：你能用文字语言叙述这两个公式吗？

两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。

师：你能说出这两个公式的特点吗？

生：左边是两数和（差）的平方，右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。

师：按老师以往的经验，很多同学运用这个公式的时候会犯一些错误，但是，听了老师下面这个故事后，就不会再犯公式的计算错误了。开始讲了哦，听好。从前，有个小伙子和一个大姑娘，他们二人相爱了，组成了一个温馨美满的小家庭，过上了二人世界。有同学猜到了，就是（a+b）2。两个人相亲相爱，好像头上戴着一朵漂亮的小花。

生：是a2和b2。

师：同学们继续猜想下面发生了什么？对了，他们有了下一代——你，你的身上各有你爸爸妈妈的一半，是他们二人的结晶，所以就用符号2ab表示。那它前面的正负符号表示什么呢？

生：可以表示性别。

师：对了，让我们对照完全平方公式再想一遍这个小故事。

情感价值四：这个小故事是本节课的亮点，学生们体会着（a+b）2、（a-b）2象征着自己父母用汗水撑起的温馨的小家庭，自己是父母爱的结晶和感情联系的纽带。爱家、爱父母，想到父母对子女的殷切希望，身为学子更体会到了学习之责任。“三口之家，爱的统一体和责任”，这个形象而又感情色彩很浓的比喻，把完全平方公式深深地印在了学生的脑海里。

例2.用完全平方公式计算

（1）（5+3p）2　（2）（2x-7y）2

（3）（-x+2y）2　（4）（-2a-5）2

情感价值五：点评例题的时候，贯穿了“家”的比喻，学生们的情感价值得到了升华。在完成计算的过程中，几乎没有一位同学犯漏项的错误，省去了找错误的环节。

例3.用完全平方公式计算（比比谁算得快），你能出个类似的题目吗？

（1）9982　（2）1012

情感价值六：学以致用，进行简单计算。用比赛的形式，激发学生学习的热情。后面开放式的一问，拓展了学生的思维，让学生在学习中更有创新，数学思维得到训练，实现创新能力的培养。下面是对学生的应用巩固训练。

四、随堂练习

1.用完全平方公式计算

（1）（1+x）2　（2）（y-4）2

（3）（-3x+2）2　（4）（■x-■y）2

2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正。

（1）（x+y）2=x2+y2　（2）（-m+n）2=-m2+n2

（3）（-a-1）2=-a2-2a-1

3.试一试。若一个正方形的边长为acm，如果边长减少6cm，则这个正方形的面积减少了多少？

五、课堂小结

这一节课你学到了什么？让学生试着小结，师再评议。

笛卡儿名言：我所解决的每一个问题都将成为一个范例，用以解其他问题。数学的教育价值，最终取向是育人，是促进人的健康发展，让人们生活得更加幸福。让理性思维、理性文化、理性精神成为人们生活、工作的重要素养之一，也是人们生活得更有尊严、更具幸福的基本条件之一。

因此，我们必须用数学方法、数学思想、数学素养构筑人生的长、宽、高。

本节课的设计发挥出了学生情感价值在学习中的作用，使学生充满了对学习的热情——爱学，特别是“小故事”，将冷的数学公式化成学生火热的情感迸发和热烈的数学思考，笔者认为是一节值得借鉴的好的课堂设计。

《平方差公式》教学设计 第7篇

“平方差公式”是人教版八年级数学 (上册) 15.2.1的教学内容, 是学习了整式的乘法运算后为了简化计算而归纳的一个公式, 是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的归纳、总结;是从一般到特殊的认识过程的范例, 也是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础。它的依据是多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则。

“平方差公式”这一内容属于数学再创造活动的结果, 教材为学生在数学活动中获得数学思想方法、提高能力提供了良好的契机, 它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用, 因此, 是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容, 是让学生感悟换元思想, 感受数学再创造的好教材。

【教学目标分析】

1.会推导平方差公式, 了解公式的几何背景, 并能运用公式进行计算。

2.通过平方差公式的运用, 培养学生运用公式的能力、分析、综合和概括能力。

3.培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的思维能力, 让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦, 培养学生善于观察、大胆创新的思维品质。

【教学重点】

掌握公式的结构特征, 并学会正确运用公式。

【教学难点】

理解平方差公式的结构特征, 灵活运用平方差公式。

【教学问题诊断分析】

1.学生刚学过多项式乘法, 已经具备学习和运用平方差公式的知识结构。

2.多项式相乘的形式复杂多变, 学生较容易被假象所迷惑;学生学习能力也参差不齐, 部分学生对多项式相乘还不够熟练和细心。

3.学生的基础能力存在差异, 在猜想过程中分不同层次, 请学生大胆地猜测出公式, 并对公式有一个直观的认识。

4.为突破难点, 可采用小组合作、先体验后归纳的教学方式, 使学生从中感悟换元和数形结合的数学思想。

5.大部分学生都能通过探索小结出平方差公式的特点, 但在具体的问题中, 还是有些同学会“判断失误”, 关键在于要抓住平方差公式的本质。在完成练习后, 应该及时小结平方差公式应用的前提。

【教学过程设计】

1.创设情境, 提出问题:两个二项式相乘, 合并同类项后, 积可能会是三项吗?积可能是二项吗?乘式具备什么特征时, 积才会是二项式?

做一做:将a、b取一些具体的数值检验, 看猜想是否成立。

【师生活动】教师提出问题, 学生回忆, 一位同学作答, 其他同学补充。学生动脑、动笔进行探讨, 并发表自己的见解。教师根据学生回答, 引导其进行思考。

【设计说明】激发学生的学习兴趣, 使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征, 上升到一定的理论认识, 加以实践检验, 培养学生观察、概括的能力。通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳, 得出:为什么有的两个二项式相乘, 其积为两项?这样得出平方差公式, 讲清这类乘法的实质, 突破难点。

2.讨论探究, 体会公式。

[活动1]归纳平方差公式: (a+b) (a-b) =a 2-b 2用文字语言怎么表述?想一想, 公式中的a、b可以表示什么?

【师生活动】学生分析平方差公式的特点, 并用语言叙述。师生共同订正, 明确平方差公式的特点。

【设计说明】展现成果, 由旧获新, 收获方法, 突出重点, 培养学生的观察概括能力及用字母表示数的能力, 充分发挥学生的主体作用。

[活动2]下列两个多项式相乘, 哪些可以用平方差公式?哪些不能用?

(1) (2x+3y) (2x-3y) (2) (2x-3y) (3y-2x)

(3) (-2x+3y) (2x+3y) (4) (2x-3y) (2x-3y)

(5) (-2x-3y) (2x-3y) (6) (2x+3y) (-2x-3y)

【师生活动】学生分小组讨论, 每组派代表交流结论。教师根据学生回答, 及时总结, 引导学生进一步明确公式的特点。

【设计说明】探索平方差公式的特点, 揭示平方差公式的本质, 强调平方差公式应用的前提。加强对公式结构的认识, 帮助学生总结问题解决过程中的经验教训, 理顺思路, 从而进一步完善学生的认知结构。

3.应用定理, 解决问题。

[活动3]运用平方差公式计算:

(1) (3x+2) (3x-2)

(2) (b+2a) (2a-b)

(3) (-x+2y) (-x-2y)

【师生活动】教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式的特征, 并让学生说出每小题中a、b分别表示什么。

【设计说明】熟悉公式, 加深对公式结构特征的理解, 体会公式在计算中的优越性以及运用公式的注意点。

[活动4]计算:10298; (y+2) (y-2) - (y-1) (y+5)

【师生活动】先让学生独立思考, 然后自主发言, 口述解题思路, 允许学生运用多种算法, 然后通过比较, 优化算法。

【设计说明】通过变式训练, 提高学生的认知水平, 培养其解决问题的能力。

4.面积验证, 渗透思想。

例题:边长为a的正方形纸板缺了一个边长为b的正方形角, 经裁剪后拼成一个长方形。

(1) 你能分别表示出裁剪前后的纸板面积吗?

(2) 你能得到怎样的一个结论?

【师生活动】学生独立思考, 然后讨论交流, 发表见解。一学生解答。

【设计说明】让学生用面积相等来证明平方差公式, 渗透数形结合思想, 培养学生多角度思考问题的习惯, 提高其逻辑思维能力。

5.课堂小结, 作业布置。

归纳、总结:本节课你有哪些收获?

作业:教科书习题15.2, 第1题。

【师生活动】教师引导学生回忆、总结所学的知识、方法和数学思想, 教师予以补充。

【设计说明】总结、归纳学习内容, 梳理知识, 进一步明确平方差公式的特点, 使学生学会正确使用平方差公式解决有关问题。

【对教学设计的反思】

在教学设计时, 突出对平方差公式的推导和应用。根据学生的认知特点和所学知识的特征, 安排了自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动让学生经历数学知识的形成与应用过程, 以促进学生的有效学习。

平方差公式可以这样验证 第8篇

方法一:拼成长方形

如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),然后将阴影部分剪拼成一个长方形,分别计算这两个阴影部分的面积,可验证平方差公式.

验证:从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,则左图的面积可以表示为:a2-b2;将阴影部分拼成一个长方形,则右图的面积可以表示为:(a+b)(ab). 因为这两个阴影部分的面积相等,所以a2-b2=(a+b)(a-b).

方法二:拼成平行四边形

从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形,然后拼成一个平行四边形(如图2). 那么通过计算阴影部分的面积也可以验证平方差公式.

验证:从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形,则左图阴影部分的面积为a2-b2.

∵每个小等腰梯形的高为a-b/2,

∴平行四边形的高等于一个等腰梯形高的2倍,即h=a-b,

∵左图阴影部分的面积与右图平行四边形的面积相等,

∴a2-b2=(a+b)(a-b).

方法三:拼成等腰梯形

如图3,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证了平方差公式.

赵老师点评:在数学活动中,学生分组拼图,在拼出长方形、平行四边形、等腰梯形的情况下都能验证平方差公式,他们通过活动积累了经验,体会了数形结合的数学思想,学会了把面积计算两次(抓住拼图前与拼图后面积相等)列出等式,从而提炼出平方差公式. 让同学们亲身感受到数与形的完美结合,真好!

平方和公式 第9篇

一、创设情境, 让学生主动发现、探究新知

片段1在本节课开头, 教师首先用多媒体展示了一个“帮帮国王”的小故事来创设问题情境:国王要对两个有功的农夫奖赏, 原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他, 第二个农夫说:“我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了.”国王想不通, 问:“你们俩的要求不是一样的吗?”师:同学们, 你觉得两个农夫的要求是一样的吗?哪个农夫要的土地大?生:思考.师:这是一个什么样的数学问题呢?生1:第一个农夫要的土地是a2+b2, 第二个农夫要的土地是 (a+b) 2, 两者不同.师:a2+b2和 (a+b) 2为什么不同呢?生1:用特殊值代进代数式计算可知不同, 如设a=1, b=2, 则a2+b2=5, 而 (a+b) 2=9, 所以a2+b2≠ (a+b) 2.

生2:根据乘方的意义 (a+b) 2= (a+b) (a+b) =a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2, 所以a2+b2≠ (a+b) 2.

生3:画出图形, 显然a2+b2≠ (a+b) 2.

反思兴趣是最好的老师.建构主义理论认为, 学生在学习数学的过程中, 大脑并不是被动地学习和记录输入的信息, 而是主动地对输入的信息进行加工、整理、储存和提取因此, 在数学教学中, 首先应强调的是学生的主动参与, 必须让学生自己动脑、动手、亲自经历这个过程, 才能完成认知的建构.本节课一开始, 教师将抽象、枯燥的数学融入有趣的故事中, 用多媒体展示出来, 情境的引入就能牢牢地吸引学生的注意力, 使其集中精力、全神贯注地投入到学习过程中来, 启发学生从生活情境中抽象出数学问题, 点燃学生积极思维的火花, 使学生情不自禁地展开交流与探究.

二、组织引导, 让学生积极参与、体验过程

片段2通过开头对问题情境的探讨, 学生已经发现完全平方公式: (a+b) 2=a2+2ab+b2的验证过程, 第一种方法是把 (a+b) 2转化成多项式的乘法, 计算即可得完全平方公式;第二种方法把图形分割可知验证公式成立.

师:通过刚才的学习, 你知道如何计算 (a-b) 2吗?

生1: (a-b) 2= (a-b) (a-b) =a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2

生2: (a-b) 2=[a+ (-b) ]2=a2+2a (-b) + (-b) 2=a2-2ab+b2

师:类比 (a+b) 2=a2+2ab+b2, 你能用图形解释 (a-b) 2=a2-2ab+b2吗?

生:思考, 并动手实践, 小组交流展示.

师:同学们回答得非常好, 能把未知的知识向已知的知识进行转化.下面我们总结一下刚才得到的两个公式 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2我们把它们称为完全平方公式.

片段3在得到完全平方公式并把公式进行应用后, 教师进一步引导学生利用已经学过的内容计算探索新的公式, 体会转化和整体思想, 并鼓励学生采用拼图或画图的方法探求公式的几何解释.

师:你会计算 (a+b+c) 2吗?

生3:画出图形即得计算结果.

反思体验是构建知识的桥梁.体验就是强调学生的参与性和实践性, 让学生参与教学全过程, 通过自身的实践活动构建属于自己的知识结构.学生可通过动手做、动眼看、动脑想、动口说, 全身心的参与到教学实践活动中.数学学习是学生主动的活动过程, 学生用自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解, 就应让学生主动探索, 体验知识发生的过程, 这既是为了让学生了解知识的来龙去脉, 又是为了让学生在知识发生的过程中学会思考、创新的方法, 培养数学思维能力, 使他们在学习中学会探究, 探究中得到体验, 体验中得到个体的发展.例如:在推导差的平方公式时, 教师只要扮演组织引导的角色, 把主动权交给学生, 让他们去思考如何解决新的问题, 使学生不仅运用了新的知识, 又加深了对知识的理解, 还发展了学生的类比、转化、数形结合等数学思想.通过学生积极有效参与数学活动, 主动探索, 体验了知识产生的过程, 学生的动手能力、观察能力以及归纳总结能力从中得到了培养.

三、指导点拨, 让学生应用知识、解决问题

片段4在公式运用, 课堂练习环节, 教师让几名学生板演.

计算: (1) (5+3p) 2; (2) (2x-7y) 2; (3) (-2a-5) 2.

操作:让全班学生动手计算, 并板演, 然后请学生点评, 纠正错误并归纳注意点.教师观察一部分学生的计算过程发现以下错误: (1) (3p) 2和 (7y) 2等有的未加括号, 有的未化简; (2) 对于第 (3) 的计算有多种方法, 教师一一作演示.

师:以上解法, 你最喜欢哪一种?

生:第三种!

师: (-2a-5) 2=[- (2a+5) 2]= (2a+5) 2=4a2+20a+25, 从这个解题过程可知: (-2a-5) 2= (2a+5) 2, 请同学们观察一下, -2a-5与2a+5是什么关系?你发现什么规律?

生4:-2a-5与2a+5是互为相反数的关系.

生5:如果两个代数式互为相反数, 那么它们的平方的结果相等.

师:计算 (-2a+5) 2, 然后向大家介绍你的做法.

生6: (-2a+5) 2=[- (2a-5) ]2= (2a-5) 2=4a2-20a+25.

(-2a+5) 2= (5-2a) 2=25-20a+4a2.

师:你们认为哪种做法简单?为什么?

师:总结一下, 按照符号分类, 利用完全平方公式计算的题目有哪几种?你分别怎么解决?

生:小组交流, 各抒己见.

反思在课堂教学中, 教师要根据教学进程和学生反应进行有效的指导与点拨, 教师的点拨适时、必要、有效.如在学生应用完全平方公式计算的过程中, 教师要及时观察学生的各种反应, 分析他们的思维状态和概念水平, 捕捉各种思维现象, 及时纠正学生思路和方法上的错误, 并分析原因, 有针对性地指导学生进行讨论和探究.在完全平方公式的应用中, 要放手让学生操作、比较、争论、分析归纳, 课堂上百家争鸣、百花齐放, 使不同层次的学生都得到了不同的发展.

教师是主导, 学生才是学习的主体, 教师的“导”只有通过学生积极主动地学习才能发挥其应有的作用.教师在课堂教学过程中, 要尽可能地留给学生思考问题的空间, 增加学生独立活动的机会, 对一些问题尽可能地让学生讨论、发表他们的见解, 学生能经过思考回答的问题一定让学生经过思考后回答, 鼓励学生自己提出问题并解决问题, 把学生的学习活动置于教师的启发引导下.由于学生之间存在个体差异, 教学中必然出现各层次学生参与程度、学习效果、所遇困难等不同的现象.因此, 教师在学生独立学习活动中, 应巡回指导检查, 要特别注意“学困生”, 善于捕捉学生的问题, 及时了解不同层次学生对所学内容的理解程度, 获取整体情况, 以便因势利导, 分层施教.

四、总结反思, 让学生加深理解、活跃思维

片段5在公式运用之后, 教师又出了一组题, 让学生进一步熟练公式, 消化巩固, 加深理解.

1. 下列等式是否成立?说明理由.

(1) (4a-3b) 2; (2) (-2x3+5y) 2;

(3) (-4m-n) 2; (4) (-xy-1) (xy+1) .

2. 用完全平方公式计算:9982

3. 合作交流:

(1) 本节课我们学习了什么内容?

(2) 在应用完全平方公式解题过程中我们应注意什么问题?

(3) 从公式的探究到应用过程中你体会到了哪些数学方法和数学思想?请举例说明.

反思在总结反思环节, 教师要引导学生对自己的思维活动过程进行回顾, 以获取学习的经验或教训.教师首先启发、引导学生对本节课进行总结, 然后进行必要的补充.在总结时, 一是要总结出本节课所讲授的概念、定理、公式等理论性的知识, 二是通过知识的发生、发展、应用过程, 体会到其中所用的数学思想、数学解题方法和技巧.学生通过对所学知识的归纳和总结, 可加深对所学知识的理解和完成对所学知识的新建构.

在本节课中, 教师通过创设趣味的教学情境, 使学生围绕某个问题进行探究, 让学生充分动手做、动眼看、动脑想、动口说, 全身心的参与教学活动, 在探究中锻炼思维, 在体验中学习感悟, 在知识应用中解决问题, 从而使学生真正体会到学数学的快乐、做数学的过程和用数学的意义.

总之, 数学教师要在教学过程中引导学生积极参与教学活动, 以科学探究为突破口, 激发学生的主动性和探究意识, 让学生经历知识的形成与应用的过程, 培养学生的数学思维能力, 从而更好地理解数学知识的意义, 掌握必要的基础知识与基本技能, 增强学好数学的愿望和信心.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准.北京:北京师范大学出版社, 2001.

[2]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论.北京:高等教育出版社, 2004.10.

[3][美]布鲁纳教育过程 (邵瑞珍译) .北京:文化教育出版社, 1982.6.

[4]李德梅.发挥学生的主体参与作用, 提高数学课堂教学效率.中学数学教学研究, 2006.