频率计算范文-盘古文库

频率计算范文

来源：漫步者

作者：开心麻花

2025-09-19

频率计算范文（精选10篇）

频率计算第1篇

基因频率是指一个种群基因库中, 某个基因占全部等位基因数的比率, 公式:基因频率=某基因总数÷某基因和其等位基因的总数 (100%) , 或种群中某基因频率=该基因控制的性状纯合子频率+1/2杂合子频率;基因型频率是指群体中具有某一基因型的个体所占群体内全部个体的比例, 公式:基因型频率=某基因型的个体数÷种群个体总数 (100%) 。

1. 利用种群中个体数求基因频率和各基因型频率

例已知某昆虫翅的绿色 (A) 对褐色 (a) 是显性。在一个有3000只的群体中, 褐色的有360只, 绿色的有2640只, 其中纯体1200只。那么, 在这个昆虫群中A、a基因频率和AA、Aa、aa基因型频率是多少?

解析3000只昆虫中共有基因30002=6000只, 褐色360只含a基因720个, 绿色2640只, 纯合体1200只含A基因2400个, 杂合体1440只含 (2640-1200) 2=2880个基因, 其中A基因1440个, a基因1440个。答案:

A的基因频率= (2400+1440) /6000100%=64%=0.64,

a的基因频率= (720+1440) /6000100%=36%=0.36;

或a的基因频率=1-A的基因频率=1-0.64=0.36

AA的基因型频率=1200÷3000=40%=0.4, Aa的基因型频率=1440÷3000=48%=0.48, aa的基因型频率=360÷3000=12%=0.12

2. 利用基因型频率求基因频率

例在一个种群中随机抽取一定数量的个体, 其中基因型AA的个体占24%, 基因型Aa的个体占72%, 基因型aa的个体占4%, 那么基因A和a频率分别是多少?

答案:A的频率=AA的频率+1/2Aa的频率=24%+1/272%=60%,

a的频率=aa的频率+1/2Aa的频率=4%+1/272%=40%

3. 利用遗传平衡定律求基因频率和基因型频率

遗传平衡指在一个极大的随机交配的种群中, 在没有突变、自然选择和迁移 (迁入或迁出) 的条件下, 种群的基因频率和基因型频率可以世代保持不变。遗传平衡的种群中, 某一基因位点上各种不同的基因频率之和以及各种基因型频率之和都等于1。

3.1 遗传平衡群体中一对等位基因A、a的遗传平衡定律公式

设群体中A的基因频率为p, a的基因频率为q.由于种群中个体的交配是随机的, 而且又没有自然选择, 每个个体都为下代提供了同样数目的配子, 所以两性个体之间的随机交配可以归结为两性配子的随机结合, 而且各种配子的频率就是基因频率。雄性个体产生的配子A频率为p、a配子频率为q, 雌性个体产生的配子频率A频率为p、a配子频率为q。根据基因的随机结合, 用下列式子可求出子代的基因型频率:♂ (p A+qa) ♀ (p A+qa) =p2AA+2pq Aa+q2aa=1, 简化为 (p+q) 2=p2+2pq+q2即AA的基因频率为p2, Aa的基因型频率为2pq, aa的基因型频率为q2。

3.2 遗传平衡群体中伴性基因的遗传平衡定律公式。

以人类的色盲基因遗传为例。因为女性的染色体组成为XX, 男性的染色体组成为XY, Y染色体上无该等位基因, 所以, 在男性群体中:其基因频率与基因型频率相同, 也和表现型频率一样, 设XB的频率为p, Xb的频率为q, 则有XB的频率=XBY的频率=p, Xb的频率=Xb Y的频率=q, 且p+q=1。由于男性中的XB、、Xb均来自于女性, 故在女性群体中:XB的频率也为p, Xb的频率也为q, p+q=1。由于男性女性的XB基因频率相同, 二者的Xb基因频率也一样, 故在整个人群中, XB、Xb的基因频率也分别为p、q。整个人群中男性产生的配子及比例为1/2 (p XB+q Xb) 、1/2Y, 女性产生的配子及比例为p XB、q Xb, 由以下式子可推出子代基因型频率:♂[1/2 (XB+Xb) +1/2Y]♀ (p XB+q Xb) =1/2 p2 (XBXB) +1/2 q2 (XbXb) +pq (XBXb) +1/2p XBY+1/2q XbY。

由上述可知:在整个人群中、男性群体中、女性群体中XB、的频率均为p, Xb的频率均为q。

例据调查, 在人类群体中, 男性中患色盲的概率约为7%, 那么, 在人类色盲基因的频率以及在女性中色盲的患病率各是多少?

解析设色盲基因Xb的频率=q, 正常基因XB的频率=p。已知人群中男性色盲概率为7%, 由于男性个体Y染色体上无该等位基因, Xb的基因频率与XbY的频率相同, 故Xb的频率=7%, XB的频率=93%。因为男性中的X染色体均来自于女性, 所以, 在女性群体中Xb的频率也为7%, XB的频率也为93%。由于在男性中、女性中XB、Xb的基因频率均相同, 故在整个人群中Xb也为7%, XB的频率也为93%。在女性群体中, 基因型的平衡情况是:p2 (XBXB) +2pq (XBXb) +q2 (XbXb) =1。这样在女性中色盲的患病率应为q2=7%7%=0.0049。

答案:在人类中色盲基因的频率是0.07, 在女性中色盲的患病率是0.0049约0.5%。

3.3 遗传平衡群体中复等位基因的遗传平衡定律公式

频率计算第2篇

在学生成绩评定中实现分段频率计算的几种方法

Excel具有强大的`数据运算与数据分析功能,学会Excel,可以使工作自动化,提高工作效率.本文就学生成绩评定中遇到的统计不同分数段人数的问题,介绍Excel的3种处理方法:内置函数COUNTIF的使用方法、内置函数FREQUENCY的使用方法、VBA的使用方法,对Excel进行二次开发.

作者：张珩作者单位：中国矿业大学,江苏,徐州,221000 刊名：科技信息英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 年，卷(期)： “”(7) 分类号：G42 关键词：COUNTIF函数 FREQUENCY函数 VBA ExcelVBA

自然选择对基因频率影响的计算方法第3篇

摘要：主要对教材中自然选择对基因频率影响的计算方法提出质疑，并提出自己的计算方法及其依据。

关键词：遗传平衡定律基因频率自然选择

一、问题来源

人教版高中生物教材必修二《种群基因频率的改变与生物进化》一节，第117页。内容如下：

1870年，桦尺蠖种群的基因频率如下：SS10%，Ss20%，ss70%。在树干变黑这一环境条件下，假如树干变黑不利于浅色桦尺蠖的生存，使得种群中浅色个体每年减少10%，黑色个体每年增加10%。第2～10年间，该种群每年的基因型频率是多少？每年的基因频率是多少？请将计算结果填入表中。

二、对此问题的分析

笔者认为这种计算方法是错误的，下面从四个方面来说明。

（一）桦尺蠖的生活史

桦尺蠖，又名桦尺蛾，学名Biston betularia，属动物界节肢动物门昆虫纲（六足纲）鳞翅目，尺蠖蛾总科尺蠖蛾科（Geometridae）。尺蛾以幼虫过冬，4月左右随寄主复苏，然后取食嫩叶生长发育。6月左右进入化蛹期， 7月左右羽化为成虫。成虫寿命只有10天左右，交配产卵后死亡。随后卵发育成幼虫取食叶肉，10月左右进入休眠。根据尺蛾生活史可以看到它的寿命是一年。

（二）自然选择的对象

因为桦尺蠖的寿命是一年，也就意味着一年后所有的桦尺蠖全部死亡，存活的是它们的后代，那么到了下一年自然选择应该作用于它们的后代，而不是上一代。

（三）教材计算的错误原因

教材中计算第2年桦尺蠖的数量时，是以第1年桦尺蠖的数量作为基数，这显然是错误的，因为到第2年时，第一年的桦尺蠖已经全部死亡，不可能以它们作为计算的基数。

三、正确的算法

要正确计算第2年的数量，要考虑很多因素。比如，被淘汰的个体有没有留下后代？多少后代？后代中各种类型比例如何？但笔者认为，在高中范围内应根据遗传平衡定律进行计算，并假定自然选择中被淘汰的个体在繁殖前死亡而且不再产生后代，而没有被淘汰的其它个体则随机交配，且繁殖能力相同。那么第二年的算法应该如下：

参考文献：

[1]周善平，孙悦泽.女贞尺蛾的生活史与防治研究.植物保护，1990，（01）：30.

振动体系固有频率计算公式分析第4篇

在结构振动体系问题的研究中,计算系统的各阶固有频率,尤其是基本固有频率,是十分重要的。相应的计算多自由度振动系统的固有频率方法有很多种,主要有矩阵迭代法、瑞利法、邓柯莱法、传递矩阵法、变换法(Jacobi法、Givens法、QR法)、子空间迭代法、模态综合法等[1]。由于计算机和有限元软件的快速发展,虽然目前我们可以借助于它们计算很复杂的结构,但是在某些场合基频的计算仍使用一些简单的方法。比如,在实用中经常需要迅速得到近似结果,作为初步设计和精确计算的依据。因此,寻求简捷而又具有一定精度的近似计算方法具有十分重要的实际意义。

1 计算公式分析

1.1 瑞利法[2]

瑞利法是根据能量守恒定律建立起来的,故也称能量法。如果体系上有n个集中质量m,设以U(xi)表示i点的振幅,则振型函数可表示为:

其中,EI为抗弯刚度;ω为固有频率。由上式计算固有频率时,仅涉及到积分和求和,所以比直接求解自由振动微分方程方便得多。用瑞利法求固有频率,必需知道振型函数U(x),而精确的U(x)事先往往不知道,所以必须先假定一个U(x)来进行计算,由此得到的结果就有一定的近似性。一般来说,很难精确地假设出高阶振型函数,故利用假设高阶振型的方法用上式求得的高阶频率,往往误差较大,因此瑞利法通常只计算基本频率。通常情况下可以取结构在某种静荷载作用下的挠曲线(弹性曲线)作为振型曲线。

1.2 邓柯莱法

邓柯莱法主要用于计算系统的第一频率,对于n个自由度体系,邓柯莱公式的一般形式为[3]:

其中,δii为系统的柔度系数。动力分析中常常要求在改变体系的质量、刚度参数时,对系统的基频做出迅速的估算,邓柯莱公式对此给出方便的计算。设原多自由度体系的基频为ω1,各质点质量的增量为Δmi,则按邓柯莱公式质量增加后体系的基频ω'1为:

从上式可以看出,邓柯莱公式是在左端略去高频项得到的,因而它给出的基频将低于实际值。

1.3 文献[4]计算方法

该种计算系统固有频率方法的表达式如下[4]:

其中,ki,i为刚度矩阵的对角元素;di,i为系统柔度矩阵的对角元素;n为自由度。这种方法同时需要刚度矩阵和柔度矩阵的对角元素,因而使用起来不是很方便。虽然当刚度矩阵和柔度矩阵均为已知时,乘法运算量为2n+1个,但是从刚度矩阵变到柔度矩阵或者相反过程,其计算量都很大。

1.4 文献[5]计算方法

通过查阅文献[5],可以得到计算系统固有频率的计算公式如下[5]:

其中,di,j为系统柔度矩阵的元素;mi为系统在第i个节点的质量,mi=mi,i。用此公式计算基频时,不要选择基频振型,也不要对挠度矩阵求逆,它所需要的计算量为n2+n+1。

1.5 文献[6]计算方法

文献[6]提供的算法是基于瑞利法而导出的计算多自由度系统振动基频的新算法,计算公式如下[6]:

其中,为系统柔度矩阵的元素;mi为系统在第i个节点的质量,mi=mi,i。估计系统基频时首先计算Ti,然后代入上式进行计算。不计算最后一个开方,它所需要的计算量为n2+n+1。这种方法具有计算简便,无需假定振型的优点,特别适用于容易得到柔度矩阵的情形。

1.6 文献[7]计算方法

文献[7]是对多自由度无阻线性正定系统固有频率的特征方程利用根与系数的关系,推导出来的一个计算多自由度系统n阶固有频率的简便公式,其表达式为[7]:

其中,p为系统的固有频率;kij为系统刚度矩阵的元素;mi为质量矩阵的元素,其中质量阵为一对角阵,刚度阵为一对称阵。上式根号前取正号为n阶,根号前取负号为n-1阶。当n=2时即为二自由度振动系统固有频率的精确计算公式。当n=3时,利用上式可以计算出二、三阶固有频率。

2 算例分析与讨论

如图1所示为简支梁,在四等分处有三个圆盘,质量分别为m,2m,3m。已知轴长为l,弯曲刚度为EI,忽略轴质量和圆盘转动惯量,求梁横向振动的基频。

由题目可以算得振动系统的质量矩阵[m]、柔度矩阵[d]、刚度矩阵[k]分别为:

将上面所得的结果代入上述各公式,分别求得系统的固有频率,如表1所示。

从表1的计算结果可以看出,以上所列的计算公式都能很好的计算出系统的振动频率,其中文献[5]和文献[6]所计算的结果非常接近实际,误差范围在0.05%以内。瑞利法以及文献[4]和文献[7]所示的计算方法也能较好的算出系统的频率,误差范围在1%左右。邓柯莱法的误差稍微大点,但也没有超过3%。因此,我们在实际工程中可以运用以上所列的各种计算方法来估算振动系统的固有频率。

3 结语

通过对以上几个计算公式的分析以及计算结果的对比,我们可以得到以下结论:

1)每种计算方法各有其特点。瑞利法需要假设振型函数,所得的计算结果都比精确值偏大,这是能量法的一个特点;邓柯莱法公式是略去了高频项得到的,计算结果低于实际值;文献[4]计算公式同时需要刚度矩阵和柔度矩阵的对角元素,计算量比较大;文献[5]计算基频时不要选择基频振型,也不要对挠度矩阵求逆;文献[6]的计算公式特别适用于容易得到柔度矩阵的情形;文献[7]的计算公式可以计算多阶自由振动系统的固有频率。

2)用以上的计算公式计算系统的固有频率,所得的结果都很接近实际情况,虽然有些公式计算起来比较麻烦,但也是在可以接受的范围之内。

3)从以上的计算结果我们还可以看出,尽管存在一定的误差,但相对而言,文献[5]和文献[6]所计算的结果非常接近实际情况,尤其是文献[6]计算的结果误差更小,精度很高。

摘要：在总结以往理论研究成果的基础上,分析了几个计算振动体系固有频率的计算公式,并且结合实际例题进行对比,得出了有一定优越性的计算公式,对实际工程中振动体系固有频率的计算有重要的意义。

关键词：振动体系,固有频率,计算公式

参考文献

[1]郑兆昌.机械振动(上册)[M].北京:机械工业出版社,1980:188-310.

[2]刘晶波.结构动力学(土木工程研究生系列教材)[M].北京:机械工业出版社,2005.

[3]徐赵东,马乐为.结构动力学[M].北京:科学出版社,2007.

[4]张春良.一种计算固有频率的新方法[J].机械,1995,12(5):24-27.

[5]郭志勇,鹿洪禹,李建安,等.计算基频的一个简便公式[J].西安矿业学院学报,1999,19(4):368-370.

[6]陈奎孚,张森文.估计多自由度系统振动基频的一个算法[J].机械强度,2003,25(2):141-143.

频率对比法在桥梁频率分析中的应用第5篇

关键词：频率对比法；桥梁频率分析；装配式板桥；动荷载试验；自振频率；梁格法文献标识码：A

中图分类号：U448 文章编号：1009-2374（2015）15-0056-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.15.028

桥梁的动力特性（频率、振型和阻尼比）是评定桥梁承载力状态的重要参数，随着我国公路桥梁检验评定制度的推行，桥梁动载试验越来越受到重视。在实桥动荷载试验中，桥梁的结构自振频率测定是动载试验中的一个基本的参数，通过实测自振频率与桥梁设计时采用的对应理论自振频率比较，往往用于评价桥梁的整体刚度。对不同的结构，我们关心的频率往往不同的，如简支梁关心的是梁下缘受拉振型对应的最低阶竖向自振频率，连续梁关心的是梁下缘受拉振型对应的最低阶竖向自振频率以及梁支点上缘受拉振型对应的最低阶竖向自振频率，如表1所示三跨等高度等跨连续梁的第I阶和第Ⅲ阶振型所对应的频率即该桥型所需要测得的基频。但随着跨径和界面高度的变化，振型的阶数并不是固定的。而且实际上各传感器会测到多阶频率，那么如何来区分测到的频率是否就是目标频率？最根本的方法即将结构的振型和对应的频率均测量出来，根据振型来区分结构的频率，但无疑费时、费力。对于结构较为简单的装配式梁桥也可以通过在不同位置布置传感器，分析各传感器测得的频率构成，与理论频率进行对比分析，来确定各阶频率，以下通过简支梁桥的简单实例来说明。

表1 基频f1、f2的定义

自振频率有限元计算频率值振型序号振型形状

f14.116I

f27.701III

1 工程概况

某桥引桥上部结构为1×16m（钢筋混凝土空心板），桥面总宽13m，横向布置为2m（人行道）+9m（车行道）+2m（人行道），主梁横向由13块空心板组成（见图1），计算跨径为15.6m，主梁采用C30混凝土。试验时采用加速度传感器、NI信号采集系统及相关信号分析软件进行观测，并分析桥梁结构的动力特性，并采用环境随机激振方法。由图1可见，加速度传感器在横断面上的布置于路缘石边缘处。

图1 跨中断面图及加速度传感器布置图

2 试验前理论模态分析及传感器布置

在进行试验前，必须对桥梁进行理论分析，通过有限元理论分析计算处各阶频率，根据其振型布置传感器。有时为了简化工作量，会将装配式简支梁当作一根单梁来进行计算，很显然这种方法与梁格模型在计算后得到的各阶振型是有区别的，如图2～图8所示。

（a）振型轴侧图（b）振型立面图

图2 梁格模型一阶模态理论计算结果（f=5.110Hz）

（a）振型轴侧图（b）振型横断面图

图3 梁格模型二阶模态理论计算结果（f=7.432Hz）

（a）振型轴侧图（b）振型横断面图

图4 梁格模型三阶模态理论计算结果（f=11.958Hz）

（a）振型轴侧图（b）振型横断面图

图5 梁格模型四阶模态理论计算结果（f=17.259Hz）

（a）振型轴侧图（b）振型立面图

图6 梁格模型五阶模态理论计算结果（f=19.922Hz）

图7 单梁模型一阶模态轴侧图（f=5.020Hz）

图8 单梁模型二阶模态轴测图（f=19.590Hz）

通过分析可以看出，单梁模型二阶模态即为竖向反对称振型，而相对应的梁格模型为五阶模态，通过对其振型和频率进行对比，显然，单梁模型较梁格模型缺失三阶振型。针对该桥的结构特点，我们关心的只是其最低阶竖向自振频率，因此，根据理论分析结果，本试验时，在结构L/4及跨中截面处布置竖向加速度传感器。

3 试验数据分析

试验后，通过对试验数据进行分析后，得到两个传感器测量得到的结构频率如表1所示。从表中可以看出，L/4处传感器测得了前5阶频率，而L/2处传感器仅测得了前3阶频率，结合传感器布置位置及图2～图6的理论振型结果，可以看出，这是由于第四、五阶振型，在D1加速度传感器所在位置处，梁体未发生位移；这也从侧面印证了桥梁实际振型阶数与理论分析结果是相同的，同时印证了梁格理论分析模型的正确性。从表2中可以看出，各阶实测频率均大于对应的理论频率，可见，结构整体刚度满足规范要求。

表2 频率测量结果表

频率L/4处传感器（Hz）L/2处传感器（Hz）对应的理论频率（Hz）

f16.3356.3355.110

f29.6689.6687.432

f316.58016.58011.958

f422.900/17.259

f525.200/19.922

图9 L/4处传感器测得的频率结果

图10 L/2处传感器测得的频率结果

4 结语

通过本文研究，得到以下结论：（1）频率对比法可以应用于常规桥梁上，如连续梁桥，简支梁桥、拱桥等；（2）对于装配式梁桥，特别是连续梁桥在进行结构理论频率计算时，须建立和实际结构一致的梁格模型，而不能采用如单梁模型，否则将造成理论计算时，部分振型缺失，在应用频率对比法时，产生无法分辨频率对应阶数的困惑；（3）通过D1和D2传感器所测得的频率进行对比，并结合理论振型考虑即可区别出所测得的各阶频率与哪一阶理论频率相对应。同时，为了成功测得所需要的结构自振频率，合理布置传感器是关键，应在振型位移最大的位置布置传感器。

参考文献

[1] 章关永，胡大琳.桥梁结构试验[M].北京：人民交通出版社，2001.

[2] 王建华，孙胜江.桥涵工程试验检测技术[M].北京：人民交通出版社，2004.

[3] 谌润水，胡钊芳.公路桥梁荷载试验[M].北京：人民交通出版社，2003.

[4] 王国鼎，袁海庆，陈开利.桥梁检测与加固[M].北京：人民交通出版社，2003.

作者简介：李功文（1982-），男，湖南邵东人，招商局重庆交通科研设计院有限公司工程师，研究方向：桥梁检测、加固设计。

计算延时线的最大工作频率第6篇

对于一个固定延迟的延时线电路, 在计算所允许的最大输入信号频率时需要考虑的关键参数是输入信号的最小脉冲宽度。对于占空比为50%的周期性信号, 脉冲宽度为周期的一半。但有些周期性的低频输入信号的占空比低于50%。这种情况下, 输入信号瞬变之间的最小持续时间决定了最小脉冲宽度, 如图1。许多器件中, 将最小输入脉冲宽度规定为100%的最大输出延迟时间 (如果没有特别说明的话) 。反过来说, 这些器件的最大输出延时为最小输入脉冲宽度。

2 可编程延时线的最高输入频率

在延时线数据资料中可以找到以下与延时线相关的指标:

(1) 零步进延时 (tPHL_MIN或tPLH_MIN) 。

(2) 最小输入脉冲宽度 (tWI_MIN) 。

通常, 数据手册中会明确规定最小输入脉冲宽度, 但有时会给出相对于输出延时的数据。任何情况下, 为了计算最小输入脉冲宽度, 需要考虑可编程的最小延时, 该数值与零步进延时相同。数据手册通常提供在整个温度、电压变化范围内的指标误差, 应该将该误差添加到零步进延时中, 将其作为最大零步进延时。最大零步进延时需要考虑基本的最小脉冲宽度 (tWI_MIN) , 最高输入频率 (fIN_MAX) 可以根据最小输入脉宽, 按照式 (1) 计算:

fIN_MAX=12tWI_MIN (1)

表1给出了部分Maxim延时线所允许的最高输入信号频率, 计算方法同样适用于其他厂商提供的延时线。

3 固定延时线的最高输入频率

对于固定延迟的延时线, 可以考虑以下指标, 这些指标通常在数据手册中可以找到:

(1) 最大抽头位置处的延时。

(2) 最小输入脉冲宽度 (tWI_MIN) 。

最小输入脉冲宽度对应于最大延时抽头位置, 需要将误差增加到最大抽头位置的最大延时中, 利用所得到的数据计算输入信号的最小脉冲宽度 (tWI_MIN) 。然后根据最小脉宽, 按照式 (1) 计算所允许的最高输入频率。表2列出了一些Maxim延时线所允许的最高工作频率, 可以按照相同方式获得其他供应商的延时线参数。

4 针对具体应用计算最高输入频率

对于可编程延时线:如果所要求的延时大于器件的最小延时, 则可以按照下面公式计算所允许的最小脉冲宽度:

最小脉冲宽度=最大零步进延时+可编程延时

然后, 利用式 (1) 计算最高输入频率。

可编程延时线举例:

(1) 使用器件:DS1020-100

所要求的延时:25 ns

最小脉冲宽度=25 ns+12 ns=37 ns

最高输入频率=1/ (237 ns) =18.52 MHz

(2) 使用器件:DS1023-500

所要求的延时:60 ns

最小脉冲宽度=22 ns+60 ns=82 ns

最高输入频率=1/ (282 ns) =6.1 MHz

变截面梁横向振动固有频率数值计算第7篇

众所周知,伯努利-欧拉等截面梁的振动的固有频率,可由四阶常系数线性齐次振动微分方程和边界条件求出解析解;变截面梁振动固有频率的计算方法有理论法、实验法[1]、数值计算法.实验法基于Buckinghumπ定理的理论分析并结合实验确定待定系数,从而反算各阶频率,显然其计算精度取决于实验过程.理论法由于对应的振动方程是四阶变系数微分方程,梁横向振动问题很难得到解析解,对大部分问题都只能求得近似解[2,3],且分析中忽略剪切变形引起的截面绕中性轴的转动所产生的横向位移,因而不具有通用性且计算精度低[4,5].用数值计算法是一种广泛采用的方法.文献[6]通过位移插值函数求解质量矩阵和刚度矩阵,并利用有限元法求出各阶固有频率,但将单元体刚度视为常数,忽略了梁的形状特性;文献[7]以节点广义位移为状态变量建立传递矩阵,通过边界条件求出各阶固有频率,但不适用于连续变化的变截面梁;文献[8]通过构造矩形变截面梁动力单元和传递函数法,采用摄动法和Laplace变换获得梁振动频率的各阶渐近解.

数值计算不仅要算法简单通用,更重要的是计算精度要高.本文以简支梁的跨度、截面形状及尺寸、材料性能、边界条件等作为系统参数,采用连续体力学模型,根据梁的内力和变形的协调条件,对四阶变系数振动微分方程降阶,利用边界条件形成关于挠度和弯矩的二阶非显式递推变系数微分方程组;然后采用有限差分法建立梁的刚度矩阵和截面矩阵方程组,研究了变截面简支变截面梁横向振动固有频率的数值计算方法及精度.

1 固有频率的数值计算

1.1 数值计算理论

变截面梁横向振动的振动方程为[9]

式中,ω为振动频率,Y(x)为振动挠度,El(x),m(x)分别为所取微段的截面抗弯刚度和梁单位长度的质量.

对于长为l的等截面均匀简支梁,由于EI(x),m(x)为常数,则式(1)为四阶常系数线性齐次振动微分方程,求出其通解后根据边界条件,可确定各阶固有频率为[10]

由于变截面简支梁的EI(x),m(;x)不再为常数,则式(1)为四阶变系数微分方程,理论和常规的数值计算方法已很难计算梁的固有频率,但由梁横向振动的内力和变形的协调条件可得[7]

式中,θ(x),M(x)和Q(x)分别为梁计算截面处的转角、弯矩和剪力.

对于简支梁,由于在两端点处Y(x)=M(x)=0(即挠度和弯矩为已知量),故可将式(1)及式(3)可转化为不显含θ(x)和Q(x)的方程组

式(4)实质是通过降阶将式(1)转化为挠度和弯矩的二阶递推非显式变系数微分方程组,对其采用有限差分法求解是非常容易的.

1.2 数值计算算法

图1给出了有限差分的格式,设计算步长为a,将坐标原点o置于简支梁的一端点,则对梁的n段等划分可形成n+1个节点xi.显然当划分长度能使计算精度满足实际要求时,划分后的各段梁的固有频率则可按等截面梁来计算.

对于简支梁的端点x0及xn处,Y(x0)=Y(xn)=0,M(x0)=M(xn)=0.利用此边界条件、采用有限差分法在节点xi(i=1,2,,n-1)上对式(4)进行差分.Y(xi),M(xi)取节点处的值,EI(xi)及m(xi)采用半步长法,即EI(xi)=E[I(xi+1/2)+4I(xi)+I(xi-1/2)]/6,m(xi)=ρ[S(xi+1/2)+4S(xi)+S(xi-1/2)]/6,ρ为梁的密度,S(xi)为计算节点处梁的横截面面积.

因而可得到下面的差分方程组

式中,A为节点系数矩阵;B1,B2分别为梁的刚度矩阵和截面矩阵;Y为挠度列向量;M为弯矩列向量.

令进一步由式(5)可得

于是问题转化为计算A,B矩阵的n-1个广义特征值.显然n段划分可以得到n-1阶固有频率的数值解.

1.3 数值计算精度的控制

理论上n∞,数值解就是精确值,但大型稀疏矩阵在计算过程易产生误差的传递和积累,使数值计算不稳定.方程的特征值只依赖于方程的系数,随着n的增大,解的精度逐步提高[11,12].因此合理选取n,可使数值解达到预期的精度.

由上述计算方法可知,第i段划分(i=1,2,,n)的第j阶固有频率的数值解的绝对误差Δi满足

第j阶固有频率数值解的绝对误差Δ满足

第j阶固有频率数值解的相对误差s满足

实际工程中变截面梁多采用圆形或矩形渐变截面,预期计算误差s不超过ε,则由式(9)可得圆形变截面梁数值计算中n应满足

式中,d1,d2分别为小端面和大端面的直径.

同理可得矩形变截面梁数值计算中n应满足

式中,h1,h2分别为小端面和大端面的梁高.

可进一步定义k为渐变梁横截面竖向渐变率,令k=(d2-d1)/d1或k=(h2-h1)/h1,则n,ε,k间的关系为

式(12)给出了对于给定的渐变截面简直梁,在一定误差(精度)要求下合理确定n值的方法.显然计算精度取决于计算步长的数目和梁横截面竖向渐变率,与梁宽和梁长无关;对于给定的计算步长或数目,可以估算数值计算的精度;对于给定的精度要求,可以确定合理的计算步长或数目.

2 计算算例

2.1 等截面均匀梁的固有频率的数值解

混凝土矩形等截面简支梁,l=4m,bh=20 cm20 cm,E=20GPa,p=2.5103 kg/m3.设第j阶固有频率的数值解为,表1给出了该梁前6阶与解析解ωj的比较.

(Hz)

由表1可见:数值解的精度随n的增加而提高,数值解不断逼近解析解,但当n较大后该趋势已不明显,而且计算耗时明显增加;低阶频率的数值解比高阶频率的数值解的精度高,数值解的总体精度非常高.因此该数值计算方法可靠、计算精度高.

2.2 变截面梁的固有频率的数值解

2.2.1 梁长l对数值计算误差ε的影响

两渐变圆截面钢性简支梁,E=210GPa,ρ=7.8103kg/m3,具有相同的端面尺寸(k相同)但梁长不同,d1=5cm,d2=7cm,梁Ⅰ:l=2m,梁Ⅱ:l=4m.要求ε<1‰,由式(12)可得,n≥400.表2给出了不同n对应的两梁前6阶固有频率数值解的比较.

由表2可见:当n≥400时,固有频率数值解的误差ε均小于1‰;在两相同n间,两梁同阶固有频率的数值解的误差ε基本相同.因此在其他条件相同下,可以认为梁长l对数值计算的误差ε无影响.

(Hz)

2.2.2 梁宽b对数值计算误差ε的影响

两渐变矩形截面混凝土简支梁,横截面竖向渐变率k=0,且具有相同的梁长、梁高和不同梁宽,l=4m,E=20GPa,ρ=2.5103 kg/m3,梁Ⅲ:b11h11=20 cm20 cm,b12h12=40 cm20 cm;梁Ⅳ:b21h21=30 cm20 cm,b22h2=50 cm20 cm.表3给出不同n对应的两梁前6阶固有频率数值解的比较.

(Hz)

由表3的结果进一步验证了式(12).可以看出在两相同n间,两梁同阶固有频率的数值解的误差ε基本相同.因此在其他条件相同下,可以认为梁宽b对数值计算的误差ε无影响.

2.2.3 梁高h对数值计算误差ε的影响

渐变圆形截面钢性简支梁V:E=210GPa,ρ=7.8t/m3,l=2m,d1=6cm,d2=9cm;渐变矩形截面混凝土简支梁Ⅵ:l=4m,E=20GPa,ρ=2.5103 kg/m3,b1h1=20 cm20 cm,b2h2=40cm30cm.表4给出了不同n对应的两梁前6阶的数值解.

比较表4中梁Ⅴ与梁Ⅵ,表4中梁V与表2中梁Ⅰ和梁Ⅱ,表4中梁Ⅵ与表3中梁Ⅲ和梁Ⅳ的计算结果,可以看出:h对ε的影响规律符合式(12),计算精度取决于计算步长的数目和梁横截面竖向渐变率,与梁宽和梁长无关.

(Hz)

3结论

(1)采用降阶的有限差分法计算变截面梁横向振动固有频率的算法简单,通用性强,能计算各种约束条件如自由端点、固定端点的变截面梁的固有频率.

(2)计算精度取决于计算步长的数目和梁横截面竖向渐变率,与梁宽和梁长无关;对于给定的计算步长或数目,可以估算数值计算的精度;对于给定的精度要求,可以确定合理的计算步长或数目.

(3)为提高其抗震性能,在横向振动变截面梁的结构设计中,应进一步研究横截面尺寸变化对固有频率的影响,来控制振动固有频率.

摘要：根据边界条件对变截面梁横向振动四阶变系数微分方程降阶,形成关于挠度和弯矩的二阶非显式递推变系数微分方程组;利用有限差分法,研究了变截面简支梁横向振动固有频率的数值计算方法及其精度.理论分析和正交计算的算例表明:数值计算算法简单,计算精度取决于计算步长的数目和梁横截面竖向渐变率,与梁宽和梁长无关;对于给定的计算步长或数目,可以估算数值计算的精度;对于给定的精度要求,可以确定合理的计算步长或数目.

关键词：变截面梁,横向振动,固有频率,数值计算,精度

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频率计算第8篇

根据目前HHT理论和应用发展的最新情况, 本文主要研究HHT的三种基于经验模态分解 (EMD) 的瞬时频率计算方法:希尔伯特变换 (HT) 法、归一化希尔伯特变换 (NHT) 法和直接正交 (DQ) 方法。通过研究希尔伯特变换与Bedrosian定理和Nuttall定理关系, 对这三种方法进行了详细的论述分析, 指出它们各自的局限性, 总结比较了它们之间的优缺点, 并给出相应的数值仿真来验证结论, 为进一步完善和研究瞬时频率的计算方法提供参考。

(一) 瞬时频率和经验模态分解

1. 瞬时频率的定义

目前对于瞬时频率的定义还存在很大的争议, 还没有统一的定义。HHT中的瞬时频率定义公式是Ville于1948年提出的, 目前在学术界最为常用且得到普遍认可。

设s (t) 为时域内的一个连续信号, 一般可以表示为s (t) =a (t) cosφ (t) , 其中a (t) 表示信号的幅值信息, φ (t) 表示信号的相位信息。通过希尔伯特变换 (Hilbert Transform, HT) 可求得s (t) 的共轭信号sH (t)

其中P.V表示柯西主值积分, 由信号s (t) 和s H (t) 可构成一个复共轭对, 得到解析信号

Ville给出的瞬时频率的定义为:f (t) =2πdt1d[φ (t) ] (3)

该瞬时频率定义是基于Hilbert变换构造的复解析信号的相位的导数, 而基于Hilbert变换的的瞬时频率经典定义具有明确的物理意义, 能满足人们在很多情况下的直观感知, 且解析信号与原实信号的频谱完全相同, 因此得到了广泛的应用和认可。

2. 经验模态分解

从物理学角度而言, (3) 式的定义却存在歧义。根据信号的物理本质, 可将信号分为单分量信号和多分量信号, 单分量信号在任何一个时刻只有一个频率, 而多分量信号可以有多个频率。由 (3) 式可见, 对任意信号得到的仅是一个频率值, 因此该定义仅适合于单分量信号, 而对多分量信号讨论单一频率是没有物理意义的。为了解决这个问题, HHT假设任何信号都由基本信号固有模态函数 (Intrinsic Mode Function, IMF) 组成, IMF相互重叠便形成复合信号。

定义一个信号是IMF, 如果满足下面两个条件:

1) 整个信号中过零点数目与极值点数目之多相差一个;

2) 信号上任何一点, 由局部极大值点和局部极小值点分别确定的上、下包络线均值为零, 即信号关于时间轴局部对称。

有了IMF的定义, 我们来介绍产生IMF的分解算法经验模态分解 (Empirical Mode Decomposition, 简称EMD) , 其步骤是:

(1) 对任意分析信号s (t) , 将其所有极大值点和所有极小值点找出;

(2) 对极大值点和极小值点分别用三次样条曲线拟合分别得到上、下包络线, 并求出均值m (t) ;

(3) 令h (t) =s (t) -m (t) , 则h (t) 为一个近似IMF;

(4) 将h (t) 视为新的s (t) , 重复上述 (1) (2) (3) 步操作, 当h (t) 满足IMF的条件时, 就得到s (t) 的第一个IMF, 记为c1 (t) ;

再令r (t) =s (t) -c1 (t) , 将r (t) 视为新的s (t) , 重复上述步骤, 依次得第二个IMF, 记为2c (t) , 第三阶IMF记为3c (t) , -----最终得到分解式:

其中r (t) 称为残余函数, 代表信号的平均趋势。

(二) 瞬时频率的计算方法

1. 通过希尔伯特变换的瞬时频率计算方法

1998年E.N.Huang等人首次提出HHT分析时, 认为IMF是瞬时频率唯一的信号, 且其瞬时频率可以通过希尔伯特变换计算, 即假设c (t) 是一个IMF, 对c (t) 做希尔伯特变换:

从而得到c (t) 的解析信号:z (t) =c (t) +j H[c (t) ] (5) 根据解析信号c (t) 可以表示成:c (t) =a (t) cosφ (t) (6) 其中a (t) 为包络函数:a (t) =c2 (t) +H2[c (t) ] (7) φ (t) 为相位函数:φ (t) =arctan (cH[c (t () t) ]) (8) 根据 (3) 式求得瞬时频率:fHT (t) =21πd[φdt (t) ] (9)

分析:根据上述的瞬时频率计算过程可以看出, 要求任何一个IMF都可以表示为 (6) 的形式, 并且局部时间内a (t) 的波动频率要比φ (t) 的波动频率低, 因而具有物理意义的瞬时频率仅仅取决于相位函数φ (t) , 即等于有

然而, 这等式并非无条件成立的, 因为两个函数乘积的希尔伯特变换要受到Bedrosian定理的约束。根据Bedrosian定理:设f (x) , g (x) ∈L2 (-∞, +∞) 是复函数, x是实变量, F (u) 是f (x) 的傅里叶变换, G (u) 是g (x) 的傅里叶变换, 如果:

(1) F (u) =0对u>a, G (u) =0对u0; (如果f (x) 和g (x) 是实函数)

(2) F (u) =0对u<-a, G (u) =0对u0; (如果f (x) 和g (x) 是复函数)

那么H[f (x) g (x) ]=f (x) H[g (x) ]

因此, (10) ) 式成立的条件是:a (t) 的傅里叶频谱和cosφ (t) 的傅里叶频谱在频域中的完全不相交的, 并且cosφ (t) 的频谱比a (t) 的频谱高。但是对于一般的函数来说, 很少能够同时满足这两个条件的, 所以对于直接对IMF进行希尔伯特变换得到的解析函数, 再由它求得的相位函数不一定是真实的相位函数, 从而由其求得的瞬时频率不一定是信号的真实频率。

2. 通过归一化希尔伯特变换的瞬时频率计算方法

2005年E.N.Huang提出了一种基于经验的归一化方案, 可以地把IMF的调幅 (AM) 分量和调频 (FM) 分量分离。归一化方案如下:

(1) 使用EMD对数据筛选出IMFs;

(2) 对IMF c (t) 取绝对值后找出其所有极大值点;

(3) 对极大值点使用样条函数构造出样条包络线e1 (t) ;

(5) 如果1f (t) 的绝对值都小于1, 则停止;否则, 对1f (t)

fn (t) 的所有绝对值都小于或等于1, 其中ej (t) 的通过fj-1 (t) 来求得的;

IMFc (t) 的经验调频分量定义为:F (t) =fn (t) (11) IMF c (t) 的经验调幅分量定义为:A (t) =Fc ( (t t) ) (12) 通过归一化希尔伯特变换计算瞬时频率的过程如下:

(1) 直接对F (t) 进行希尔伯特变换得到:H[F (t) ]

(2) 使用反正切函数求得相位函数:

(3) 根据 (3) 可以求得该IMF的瞬时频率:

分析:由图1可以看出, 归一化方案实际是把一个IMF的振幅变化部分 (即调幅分量) 消除, 仅仅保留了频率变化部分 (即调频分量) 不变, 从而使得IMF的调幅分量和调频分量分离开。根据分析, 我们知道一个IMF的瞬时频率是由其相位函数决定的 (也即是它的调频分量) , 而经过归一化方案得到IMF的经验调频分量F (t) , 有效地消除了振幅的振动对相位函数的影响, 我们可以直接对其进行希尔伯特变换求出相应的相位函数, 不再对两个函数 (即调幅和调频) 的乘积进行希尔伯特变换, 从而不必再受到Bedrosian定理条件的限制。

然而, 从希尔特别变换的公式 (1) 我们可以看出, 它是全局的积分, 而瞬时频率反映的是局部时变特征, 这样用全局的积分计算来描述局部特征是互相矛盾的;再者, 根据Nuttall定理:对任意的函数x (t) , 有个乘积qx (t) 和Hilbert变换hx (t) , 那么

其中qF (ω) 的qx (t) 的频谱。该定理指出了并非任何一个函数的希尔伯特变换必定是它的正交函数, 两者是存在着一定的误差, (15) 式是计算两者的误差公式。这就是说, 上面归一化得到的经验调频分量 (11) 式, 它希尔伯特变换不一定就是它的正交函数 (即90o的相移) , 即F2 (t) +H2[F (t) ]≠1。那么由其进行希尔伯特变换计算相位函数并不是真实的相位函数。

3. 通过归一化直接正交的瞬时频率计算方法

2008年N.E.Huang等人基于归一化方案提出直接正交方法计算瞬时频率, 其计算过程如下:

(1) 利用上面的归一化方案得到的经验调频分量F (t) ;

(2) 由F (t) 直接求其正交函数:Y (t) =1-F2 (t) (16)

(3) 利用反正切函数求其相应的相位函数:

(4) 从而求得瞬时频率:fDQ (t) =ddφt (t) (18)

分析:从上面的瞬时频率计算的过程可以看出, 该方法不用希尔伯特变换, 而在直接根据归一化得到的经验调频分量求其正交函数, 然后利用反正切函数求其相位函数, 从而求得相应的瞬时频率。这样完全绕开了由于使用希尔伯特变换而受到Bedrosian定理和Nuttall定理的限制。然而, 根据奈奎斯特 (Nyquist) 定理, 需要足够高的采样频率, 才能使采集的信号数据不失真, 从而计算出比较精确的瞬时频率。

(三) 三种瞬时频率计算方法的比较和数值验证

根据上述三种瞬时频率计算方法的介绍和分析, 我们在此总结比较它们各自的优缺点:

1. 直接希尔伯特变换的瞬时频率计算方法, 由于同时受

到Bedrosian定理和Nuttall定理的限制, 因此其计算得到的瞬时频率与真实瞬时频率存在比较大的误差, 不利于对非线性非稳定信号的时频分析;

2. 归一化希尔伯特变换的瞬时频率计算方法, 由于是通

过对IMF数据进行了归一化, 消除了振幅波动对相位函数的影响, 从而绕开了Bedrosian定理的限制, 对非线性非稳定信号提供局部化、稳定的、详细的瞬时频率;但是仍然受到Nuttall定理的限制, 还是跟真实频率有一定的误差;

3. 归一化直接正交的瞬时频率计算方法, 由于不使用希

尔伯特变换, 因此没有受到Bedrosian定理和Nuttall定理的限制, 能够计算比较精确的瞬时频率, 误差最小。

为了验证上述的比较结论, 使用MATLAB软件对上述三种瞬时频率计算方法进行数值实验。在此选取比较有代表性的非线性非稳定的Duffing方程做比较实验:

x (t) =e-t256sin[32πt+0.3sin (32πt) ], 其中取t=1:1:1024

实验结果如下面几个图形所示:

Duffing方程的真实瞬时频率, 蓝色曲线表示平均值为零的波动的瞬时频率, 绿色曲线表示平均值为2的波动的瞬时频率

由上面的图2和图3可以看出, 由希尔伯特变换计算方法计算的瞬时频率的曲线与真实瞬时频率的曲线无论是形状还是数值大小都存在较大的误差, 即瞬时频率的计算失真比较严重。

由图4和图5可以看出, 归一化希尔伯特变换方法计算的瞬时频率跟真实瞬时频率的周期一样, 只是图形波动幅度相对偏低, 所以其误差比较大;而归一化直接正交方法计算的瞬时频率的图形几乎和真实瞬时频率的图形重合, 比较能真实地反映真实的瞬时频率, 它们的误差非常小。

实验结果和上述的比较结论一致。

(四) 结束语

本文根据近年来HHT研究的最新情况, 针对其中的瞬时频率计算方法不断得到改进和发展, 进行了统一的比较研究, 简单介绍了这三种计算方法, 使用相应的理论依据分析了它们的局限性, 并作了简单的比较和例证, 为今后进一步研究提供必要的参考, 也为工程领域的应用提供相应的分析依据。同时我们应该认识到由于目前HHT的基本理论框架还没有完全建立, 其中的IMF的只给出了描述性的定义;EMD也是建立在经验上的, 还没有严格的理论论证其分解的IMF是否能真实反应信号的瞬时特征;归一化方案把IMF的调频分量和调幅分量分离, 只用调频分量来计算瞬时频率是否就能真实反应信号的真实瞬时频率也缺乏严格的理论论证等等, 这些问题都亟需解决, 值得我们更加深入的研究。

摘要：经验模态分解 (EMD) 是希尔伯特-黄变换 (HHT) 分析的核心, 是有效计算瞬时频率的必要的前提条件。为了进一步研究和应用HHT, 文章对其中的三种瞬时频率计算方法:希尔伯特变换 (HT) 、归一化希尔伯特变换 (NHT) 和直接正交 (DQ) 法, 进行了统一的理论分析和论证, 指出它们的局限性, 并对这三种方法进行比较, 给出相应的数值实验来验证结论。

关键词：瞬时频率,经验模态分解,希尔伯特变换,归一化希尔伯特变换,直接正交法

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结构自振频率的几种计算方法第9篇

1 振动计算的简化处理

1.1 单跨梁的质量化为均布质量的方法

该方法主要是运用能量法原理,即根据能量守恒定理,结构体系在振动过程中,如果不计阻尼的影响,则任何时刻位能与动能之和始终为一常数[1]。如果体系在平衡位置时的位能为零,其动能为最大Umax,而体系在极限位置(最大位移)时的动能为零,其位能为最大Wmax,则有:

Umax=Wmax (1)

以mu表示梁在单位长度上的质量,mj为梁在j点的集中质量,j=1,2,…,n。梁自由振动时截面的横向位移为:

y(x,t)=y(x)sin(ωt+ϕ)。

自由振动时的动能为:

$U = \frac{1}{2} ω^{2} \cos^{2} (ω t + ϕ) \int_{0}^{L} m_{u} y_{(x)}^{2} d x + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} m_{j} ω^{2} \cos^{2} (ω t + ϕ) y_{j}^{2}$ 。

其中,yj为集中质量mj处的振型曲线值;ω2cos2(ωt+ϕ)为梁的跨度。

梁自由振动时的最大动能则为:

$U_{\max} = \frac{1}{2} ω^{2} (\int_{0}^{L} m_{u} y_{(x)}^{2} d x + \sum_{j = 1}^{n} m_{j} y_{j}^{2})$ 。

最大位能为:

$W_{\max} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} E Ι (\frac{d^{2} y_{(x)}}{d x^{2}})^{2} d x$ 。

由式(1)得:

$ω^{2} = \frac{\int_{0}^{L} E Ι (\frac{d^{2} y_{(x)}}{d x^{2}})^{2} d x}{\int_{0}^{L} m_{u} y_{(x)}^{2} d x + \sum_{j = 1}^{n} m_{j} y_{j}^{2}}$ (2)

对于仅具有均布质量 $\bar{m}$ 的梁,振动时最大动能为:

$U_{\max} = \frac{1}{2} ω^{2} \int_{0}^{L} \bar{m} y_{(x)}^{2} d x$ 。

最大位能为:

$W_{\max} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} E Ι (\frac{d^{2} y_{(x)}}{d x^{2}})^{2} d x$ 。

同样由式(1)得:

$ω^{2} = \frac{\int_{0}^{L} E Ι (\frac{d^{2} y_{(x)}}{d x^{2}})^{2} d x}{\int_{0}^{L} \bar{m}_{u} y_{(x)}^{2} d x}$ (3)

令式(2)和式(3)的自振频率相等,即有:

对标准振型:

1.2 单跨梁的质量集中到梁上任一点的方法

需要计算梁上动力机器作用处的振动位移时,为便于自由振动和强迫振动分析,质量集中到动力机器作用处是必要的。集中到梁上任一点的方法仍是采用能量法原理[2]。

具有均布质量和集中质量梁的自振频率表达式即为式(2)。

假定把梁的质量集中于a点,集中后的质量为ma,这样就简化为以质量为ma的单自由度体系,振动最大动能为:

$U_{\max} = \frac{1}{2} ω^{2} m_{a} y_{a}^{2}$ 。

其中,ya为a点的振型值。

最大位能为:

$W_{\max} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} E Ι (\frac{d^{2} y_{(x)}}{d x^{2}})^{2} d x$ 。

同时假定Umax=Wmax得:

$ω^{2} = \frac{\int_{0}^{L} E Ι (\frac{d^{2} y_{(x)}}{d x^{2}})^{2} d x}{m_{a} y_{a}^{2}}$ (6)

令式(2)与式(6)的固有频率相等,由此得:

1.3 将连续梁的质量化为均布质量的方法

在此仅介绍各跨刚度相同的等跨连续梁。把梁上的集中和均布质量化为均布质量的换算公式的形式同式(4),即:

$\bar{m} = m_{u} + \frac{1}{n L} \sum_{j = 1}^{n} m_{j} Κ_{j}$ 。

其中,n为连续梁的跨数,其他符号同前。

计算两端简支边界条件下的多连续梁第1频率时,Kj值可取两端简支梁ω1对应的Kj值。αj为集中质量j离左边支座距离xj与梁的跨度L之比,对于中间跨内集中质量的x值,仍为集中质量离本跨左边支座的距离。计算第2,3,…,n频率的集中质量换算系数Kj时,首先确定连续梁第2,3,…,n振型集中质量作用处的值yj,然后按式(5)计算Kj[3]。

2 算例分析

计算图1等截面悬臂梁的自振频率和振型,截面尺寸为500 mm×500 mm。

采用理论计算,算出各阶自振频率理论值为:

采用ANSYS计算,结果见表1,图2。

3 结语

通过以上算例表明,运用本文的方法计算梁的自振频率和振动形式与ANSYS计算结果基本一致。

摘要：从实际工程出发,介绍了把梁上分布复杂的质量等效地化为均布的或者集中到任一点和“特定”位置上的质量的方法,通过算例表明,运用这些方法计算梁的自振频率和振动形式与ANSYS计算结果基本一致。

关键词：自振频率,复杂质量,振型,均布质量

参考文献

[1]赵光恒.结构动力学[M].北京:中国水利水电出版社,1996:23-24.

[2]钱陪风.结构动力学[M].北京:中国工业出版社,1966:31-32.

[3]张子明.结构动力学[M].南京:河海大学出版社,2001:44-45.

RC移相式振荡器振荡频率计算第10篇

在正弦波振荡电路中,RC振荡电路产生1MHz以下的低频信号,常用的电路主要有桥式、移相式和双T网络式等。然而,在测量技术中,常常采用简单经济的RC移相式振荡器以产生200kHz以下的低频信号。RC移相式振荡电路又有超前型和滞后型两种电路,图1是超前型RC移相振荡电路,它是由一个反相放大器和一个移相反馈网络组成的,其中的反馈网络由三节RC移相电路组成。

桥式RC正弦波振荡器的分析方法比较简单,一般的参考文献都有详细的分析。而对于移相式振荡器,文献却鲜有介绍。即使介绍,也只是给出一些结论,甚至不同的文献有时会给出不同的结论,例如文献[1]给出电路的振荡频率,文献[2,3]给出的振荡频率等,这无疑会给读者的正确理解和使用带来不便。

本文根据正弦波发生器的工作原理,对RC移相式振荡器进行了详细的分析,给出了电路发生正弦波振荡时晶体管电流放大系数应满足的条件,给出了电路振荡频率表达式,为正确使用电路提供了参考依据。

1 RC移相式振荡器的环路增益

根据正弦波发生器的工作原理知,电路发生正弦波振荡的必充条件是:

假定放大电路工作于小信号之下,画出图1所示电路的微变等效电路如图2所示。图中:

式中,rbe为晶体管的输入电阻。

通常RB1//RB2>>rbe,所以Ri≈rbe。

图中,基本放大电路的电压放大倍数

反馈网络的反馈系数

式中

故电路的环路增益

将Z、Z1、Z2代入式(5),并整理得: