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EOQ模型范文

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来源：开心麻花

作者：开心麻花

2025-09-19

EOQ模型范文（精选4篇）

EOQ模型第1篇

关键词：经济定货模型,推导过程,模型修正,应用研究

0 引言

孙润田、魏兰阁在经济订货批量模型的探讨中提出了商品价格变化下EOQ的确定,对于企业实际库存与采购管理具有重要现实意义。但该论文对于EOQ模型中的引用没有考虑存货的费用变化,如果商品价格发生变化,存储成本也会跟着发生变化,因为现实生活中存储成本和商品价格本身是有密切关系的。本文做了一些修正,并且推导出了在价格不规则变化条件下的EOQ公式模型。

1 经济定货批量公式的推导过程及延伸探讨

1.1 经济定货批量公式的推导过程

经济定货批量(EOQ)是指通过平衡采购进货成本和保管仓储成本核算,以实现总库存成本最低的最佳定货批量。经济定货批量一般研究一年内的总库存成本最低值。它需要找到进货成本的平衡点。在研究经济定货批量的公式推导过程需要一定的假设前提:

(1)需求稳定(每年的需求量不变),单位时间内的系统需求恒定。

(2)定货提前期固定不变,连续盘点。

(3)能集中到货并能够瞬间入库,入库时间为零,没有缺货可能性。

(4)每次订货批量不变。

(5)订货成本、单件存储成本和单价固定不变。

(6)需求量稳定消耗或生产且可预测。

在上述条件下本文假设:D为全年需要量(件),Q为每批订货量(件),C为每批订货成本包括:差旅费,文电费等(元/件),H为每件年储存费率(元/件*年),P为每件物品的单价(元)。总库存成本为TC(元)。根据没有缺货成本情况的库存成本由订购成本、采购成本、保管成本构成,即。由于假设前提D*P固定,D/Q=N,N为每年的订货次数,因此为采购成本,每次订货由物料匀速消耗所以在一个订货提前期到下一个订货提前期内平均库存为Q/2,而整个计划期是由N个这样时期构成,所以Q/2为全年的平均库存,为保管成本。在把TC看做应变量,Q看做自变量(其他变量是已知或现实可以给出的常量),因此整个的图形就是一条开口朝上的曲线,因为开口朝上所以曲线有最低点,根据导数的实际性质:表示曲线在该点的斜率,可得的导数在最低点于X轴平行,即等于0,可得:

,由于取Q为负值对本文研究问题没有意义,因此取

1.2 经济定货批量公式的延伸探讨

根据上述经济定货批量的推导过程及思路,。由于上述假设前提D*P固定,D/Q=N,N为每年的订货次数,因此为采购成本,如果每次定货的相邻时间为T,那么在一年之中1/T=N,则:1/T=N=D/Q。每次订货由物料匀速消耗所以在一个订货提前期到下一个订货提前期内平均库存为Q/2,而整个计划期是由N个这样时期构成,所以Q/2为全年的平均库存,为保管成本。则可以转化为在把TC看做应变量,T看做自变量(其他变量是已知或现实可以给出的常量),因此整个的图形就是一条开口朝上的曲线,因为开口朝上所以曲线有最低点,根据导数的实际性质:表示曲线在该点的斜率,可得的导数在最低点于X轴平行,即等于0,可得:

由于取T为负值对本文研究问题没有意义,因此取。由此发现从经济定货批量的推倒过程思路中能够找到一个与之相对应的间隔期。

而由1/T=N=D/Q得到Q=DT,将代入Q=DT得到,可得到,因此可以看到因变量TC和自便量T和Q的关系是:如果TC和Q不变则T也不变,同理如果TC和T不变则Q也不变。

2 在没有商业折扣下的经济定货批量模型修正和扩展应用

二战后由于各国普遍采用凯恩思主义,实行扩张的财政政策,因此货币长期呈现通涨趋势。假设在一段相同的时间里面物料价格上升的比率相同为i,假设基期的价格为P,那么根据上述的公式。可以得到:

其中:N=D/Q,则上述公式可以转化为:

因为式子

可以转化为:

如果依然把TC看作因变量,Q看作自变量,的整个图形就是一条开口朝上的曲线,因为开口朝上,曲线有最低点,根据导数的性质:函数的导数表示曲线在该点的斜率,可得的导数在最低点于X轴平行,即等于0,可得:

求导可得:

可得到Q的值为:由于取Q为负值对本文研究问题没有意义因此取:

如果出现物价下跌,假设在一段相同的时间里面物料价格下降的比率相同为i,假设基期的价格为P,那么根据上述的公式。同理可以得到:

在我们的实际生活中,更多的定货条件下价格的变动是不规律的,有以下可能:

(1)在本文研究或实际定货一个整体时间段的经济周期内,某物料整体上升,但不是均匀上升。或者是在整个过程中有一段时间下降,但整体依然上升。只要计算出它在整个计划期内的平均上升率i,则公式:依然可用。

(2)在本文研究或实际定货一个整体时间段的经济周期内,某物料整体下降,但不是均匀下降。或者是在整个过程中有一段时间上升,但整体依然下降。只要计算出它在整个计划期内的平均下降率i,则公式也依然可用。

3 在有商业折扣下的不同价格区间的经济定货批量探讨

为了促进销售,商家很愿意通过降低价格来提高采购货物的批量,这是实际经济工作中的普遍现象。在这里我们如果假设几种以下的情况:

如果定货批量与价格存在线形关系,假设P=P1-aQ,其中a是正常数,那么将P=P1-aQ代入,得到:

再将TC已经变化的式子进行求导并令其等于0可以得到:

得到一个关于Q的一元三次方程。可以通过卡尔丹公式法和盛金公式法求出Q。

如果仓储费用不和商品的价格成比例的话。并且令其仓储成本为C2则:得到:。即得到:

如果供应商促进销售的商业折扣在不同的批量范围给出不同的价格,可以通过实际案例来探讨在有商业折扣和价格变动条件下的经济定货批量。

4 结论

本文研究了经济定货批量模型在整个库存定货过程中的应用。并且探讨了在价格不断变化过程中经济定货批量模型的修正和扩展应用,折扣和价格区间下经济定货批量的应用探讨和它的敏感性研究,并考虑运输成本下的最优定货批量的产生。本文探讨了经济定货批量模型在一个完整的定货过程的经济性研究,并且注重了现实的可操作性和简便性探讨与定货的经济性共同研究。经济定货批量模型在一个完整的定货过程的经济性研究是不够的,因为现实中企业的供应商是呈现网状的,也就说每个企业有多个供应商。因此,多供应商条件下的EOQ模型应用研究是对经济定货批量研究的趋势。我们将在其他论文中有专文论述。

参考文献

[1]孙润田,魏兰阁.经济订货批量模型的探讨[J].商业研究,2007(12):44.

[2]赵君利.关于经济订货批量法的探讨[J].职业教育,2012(33):51-52.

[3]赵启兰,刘宏志.库存管理[M].北京:高等教育出版社,2005.

基于EOQ的RFID投资收益模型第2篇

目前在全球零售行业中,货物供不应求和产品脱销的平均发生率为8%,其中不少零售商货架上某些种类的产品长期不见踪影,令广大消费者十分不满,零售商的经济损失和市场信誉也遭遇重创。美国零售业巨头沃尔玛因普遍采用电子标签(RFID),建立起高效的配送系统,使其对世界各地供应链管理效率大幅度提高。据统计,沃尔玛采用RFID技术后,每年节省劳动力成本达83.5亿美元,挽回因盗窃而遭受的损失20多亿美元,同时还解决了商品断货和损耗这两大零售业难题。根据科尔尼总结,零售商采用RFID技术带来三方面收益:(1)由于库存减少,一次性节省现金约合总库存额的5%。(2)每年减少仓储和仓库劳动力成本7.5%。(3)减少断货和商品脱销,创造业务连续性带来的增值收益,据统计,零售商年度销售中每10亿美元将产生70万美元的连续性收益[1]。

尽管RFID技术在商业自动化、物流和供应链管理等方面正展现其广泛的应用前景,但由于采用RFID技术的投资成本较高,妨碍了RFID技术的大规模推广[2]。例如,全球日化巨头宝洁曾尝试采用RFID标签进行剃须刀的库存管理,实现产品的全程追踪,但考虑到其成本过高,这一尝试仅限于美国小范围,没有大规模推广。目前一个RFID标签的价格约合人民币2元左右,而一个激光条形码的成本约两分钱,两者相差几乎一百倍。由于RFID需要专用芯片,且短期内芯片成本也无法大幅下降,因此RFID的成本问题并不是短期内能解决的问题[3,4]。

目前全球零售业面临微利或不盈利的困境,零售企业强烈关注自身投入与预计回报之间的比例。新技术的应用有50%的可能性会促进零售商竞争力的增长,但也有50%可能性是失败,导致先期投入付诸东流。另外,由于RFID技术的前期投入太大而且未来收益不确定,零售业的微利之痛直接影响了这项技术的应用进程。如何评价RFID技术的投资回报率,对零售业是否采用RFID具有关键作用,本文基于EOQ模型提出了RFID技术的投资收益模型。

二、问题描述及基本假设

经济订货批量模式(EOQ)是哈里斯(F.W.Harris)[5]于1913年首次提出的,随后该模型被广泛应用于美国制造企业的存货管理,20世纪60年代中期之后,模型的有关假设逐渐放宽,模型得到进一步发展。该模型的主要特点是合理平衡订货成本和存货持有成本,通过设定安全存货储备,应对不确定的供给和需求,并通过综合考虑存货交付周期、存货消耗速度来确定再订货点[6]。

在库存管理中采用RFID技术将提高仓库订货效率以及对市场需求的反映速度,本研究重点考虑采用RFID技术后提高订货效率和对客户的JIT效率这两个方面。模型中涉及的参量及说明如表1。

假设:(1)每个订货周期开始时所需的固定成本是确定的;(2)库存总需求水平是已知的且保持不变;(3)一年的消费速率及相关库存持有成本都可提前估计,并能反映在每年的采购计划之中。

基于以上假设,采用RFID技术之后的最优订货量和总持有成本为:

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总持有成本TC由四个组成部分:订货成本、库存持有成本、订货效率投资成本K、JIT效率投资成本V。下面分别就单因素和双因素作用情况分别讨论采用RFID技术的投资收益。

三、单因素作用分析

(一)基于订货效率的分析

单纯考虑订货效率投资成本,则可得到采用RFID技术后的最优库存持有成本:

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设,因RFID技术提高的订货效率定义为:

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式(4)中,订货效率的数值越小表示效率越高,M表示未采用RFID技术时的最低订货效率,N表示采用RFID技术后可能达到的最高订货效率。

对(3)式求K的一阶偏导数,并令其等于0,则得到:undefined

将式(4)对K求一阶偏导数,得:

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根据式(5)和(6)可得:

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即有undefined

由此可计算出最优订货效率R*和最佳订货量Q*:

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Q*=β(R*-N)OD (8)

由式(4)可求出最小订货效率成本K*。

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了确定一个规划期内订货效率成本的最低水平,令:

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解得:undefined

上式表明,当年需求量大于这一阈值时,采用FRID技术将获得增值收益,否则采用RFID技术的支出成本高于收益。

(二) 基于JIT效率的分析

采用RFID技术后,可以提高库存信息的准确性,跟踪货物的流转,缩短交货时间,降低库存成本。JIT效率I是指采用FRID技术后在何种程度上减少了交付和消费之间的时间差,即I=1-c/d,0I1,其中d是每日交付率,c是每日消费率。

单纯考虑JIT效率投资成本V,则最优库存持有成本表示为:

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设JIT效率定义为如下函数:

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其中JIT效率的最低值U表示未采用RFID技术时的情况,L是采用RFID技术后可达到的最高JIT效率。I等于0表示所有订购的货物一旦交付就立刻被消费,I等于1表示所有订购的商品在每个订单周期开始时实现了交付。

与前述分析方法类似,可计算出最优JIT效率I*:

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同样,可求出最佳订货量Q*:

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并求得最佳JIT效率投资成本V*:

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显然,最优JIT效率I*应小于或等于U(数值越大表示效率越低):

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于是可得:undefined

上式是为获得RFID技术带来的JIT效率的最低年库存需求量。

四、双因素作用分析

事实上订货效率和JIT效率并非相互独立,互不影响。下面综合考虑这两个因素同时作用时RFID技术投资收益模型。

令:undefined

由(4)和(12)可知:

由于λ(I-L)/β(R-N)=I/R

因此,I=(2+λHQL)/λHQ,R=(Q+βODN)/βOD。与前述方法相同,可求出最优订单量Q*:

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同理求出最优订货效率R*和最优JIT效率I*:

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将R*和I*分别代入(4)和(12)可分别求出最优订货效率投资成本K*和最优JIT效率投资成本V*。

五、算例及分析

设某零售商在某地区的库存管理有如下数据:O:每个订单周期的固定订货成本为10 000元;H:单位产品每年的库存持有成本为1 000元;D:年需求量为12万个单位;C:单位产品经营成本为10元。且M=1.0;N=0.3;U=1.0;L=0.2;λ=0.00001;β=0.00002。

根据式(10),可求得年需求量阈值为1 021单位,当需求量水平高于这个值时,由RFID技术带来的订货效率不断增加,并使得库存总持有成本下降。图1显示了采用FIRD技术前后,库存总持有成本的变化情况。由此可见,随着需求水平的增加,采用RFID技术带来的库存持有成本下降愈加明显。

根据式(16)可求得获取JIT效率的最低需求水平为3 125单位,即当需求水平高于这个值时,由RFID技术带来的JIT效率将不断增加,并由此带来总的库存持有成本下降。

在考虑单因素时,当订货效率R提高时,最优订货量不断增加;当JIT效率提高时,最优订货量不断下降,图2列出了在不同的需求水平下,综合考虑订货效率和JIT效率后,采用RFID技术所节约的总持有成本的变化情况。随着需求量的增加,图2也表明采用RFID技术可带来更多的库存成本的节约,进而获得更多的增值效益。

六、结束语

本文在基本EOQ模式的基础上,提出了RFID的投资收益模型,论文重点分析了RFID投资成本与订货效率和JIT效率的关系。事实上采用RFID技术之后,还可以减少库存盘点时的误差,防止商品错位,检验瑕疵品,提高仓库日常运营管理的效率,本文尽管未对运营效率进行讨论,但文中所采用的分析方法同样适用于对运营效率的分析。

参考文献

[1]唐小鹏.物流RFID技术在零售业中的应用[EB/OL].[2010-04-06].国务院发展研究中心信息网.

[2]唐小鹏.电子标签:RFID技术应用与七大特点[EB/OL].[2010-05-12].国务院发展研究中心信息网.

[3]唐小鹏.RFID产业化进程缓慢的四大因素分析[EB/OL].[2010-06-09].国务院发展研究中心信息网.

[4]甄岩李祥珍.RFID技术的研究与应用[J].数字通信,2011(1).

[5]Harris F W.How Many Parts to Make at Once[J].Operations Research,1990,38(6):947-950.

EOQ模型第3篇

信用支付作为一种短期商业信贷方式, 在商品经济活动中是比较常见的。传统EOQ模型假设买者在收到货物的同时立即支付货款。现实中, 卖者允许买者在一定的期限后缴纳货款, 这样买者具有一定的缓冲时间, 通过销售收回部分或者全部的资金占用, 有利于资金回笼, 因此受到了企业的广泛认可。文献[1]首先提出了允许信用支付条件下零售商的EOQ模型, 文献[2]则通过研究了具有指数形式变质率的变质品对文献[1]的模型进行了扩展, 文献[3]和文献[4]进一步考虑了缺货因素, 研究了在信用支付条件下变质产品在允许缺货条件下的订购策略。

价格折扣作为供应商争取零售商的一种促销手段, 在现实交易中也被广泛应用。比较常见的折扣形式主要包括现金折扣、数量折扣、临时价格折扣等形式。现金折扣是指厂商对于按约定日期以现金付款的批发商或零售商, 按原定价格给予一定比例的折扣优惠, 主要用于鼓励买方及早还款。数量折扣是指卖方根据买方购买数量或购买余额的多少, 给予比例大小不同的折扣优惠。买方购买数量、金额越大, 得到的价格折扣比例也越大。数量折扣在实际中又分为两种。

第一种是全单位数量折扣, 指在一定时间内。按买方购货累计达到的数量或金额, 给予大小不同的折扣优惠。这种方法的目的是鼓励顾客长期购买, 成为卖方稳定的客源。

第二种是累进制数量折扣, 指按照买方一次购买数量或购买金额达到一定标准时给予的折扣优惠。当买方的购买量超过这一标准时, 购买量越大, 得到的折扣比例也越高。这种做法在于鼓励买方一次性大量购买。文献[5]研究了价格对需求敏感的分销渠道折扣价格决策问题, 文献[6]建立了临时价格折扣下的库存决策模型。

从实务的角度来看, 供应商在结合价格折扣刺激需求的同时会采取信用支付政策鼓励零售商尽早还款。文献[7]、文献[8]都将信用支付与价格折扣结合起来进行了研究, 文献[9]研究了零售商在供应商给定信用支付 (延期付款) 、现金折扣政策下最优订购策略。本文是在文献[9]的基础上, 研究了在供应商以累进制价格折扣作为主要促销手段、同时提供信用支付的情况下零售商的最优订货策略。

1数学模型

1.1模型假设及符号说明

研究的供应链系统是一个零售商和一个供应商所构成的两阶段配送系统, 零售商采取定期检查补货模式, 零售商在供应商给予的信用支付期和价格折扣政策下决定最优的补货策略。为便于建立模型, 本文给出下列假定:

(1) 供应链系统只考虑一种产品, 不允许缺货, 补充时间极短;

(2) 需求率为常数;

(3) 忽略从发出订货到物品到达的间隔时间;

(4) 每周期终止时刻系统的库存量为零;

(5) 单位库存年支付利息大于单位库存年收益利息 (若单位库存年支付利息小于单位库存年收益利息, 则零售商将为了赚取利息而不会付款, 此与现实不符) ;

模型所用的符号系统:T为补充周期长度;D为需求率为常数;C3为发生一次订货的订货费;C1为单位物品单位时间的存储费;Ik为单位库存年支付利息;Ie为单位库存年收益利息

K (Q) 为货物单价, 为使问题研究简化, 设K (Q) 按三个数量等级变化,

P产品销售价格;假设初始时刻的存贮量为Q, 可以满足周期T时间段的需求, 可得;T时间段的平均存贮量为, ;T时间所需的存储费为;订购费为C3;货物的成本费用K (Q) Q。

1.2建模与求解

1.2.1信用支付期限小于采购周期

这种情形即MT, 见图1。

每一订货周期利息支出

每一订货周期利息收入

则年平均费用为

其中A=

寻优问题转换为求函数的最小值, 则首先应分段求出C1TV (T) 在整个区域D上的最小值。平均每单位所需费用C1TV (T) 如图2所示。

为求C1TV (T) 极小值点, 不考虑定义域的情况下, 分别令解之得,

由于K1>K2>K3, 可知T01>T02>T03。

设经济订货周期为T*, 令T1=Q1/D, T2=Q2/D, 下面就T01、T02、T03的位置分情况加以讨论:

(1) 若0T10、T20、T30<Q1/D计算C 1 (T10) C 2 (T1) 、C 3 (T2) , 由min{C 1 (T01) 、C 2 (T1) 、C 3 (T2) }决定单位货物最小费用的最优订购周期T*, 否则转入 (2) ;

(2) 若Q1/DT01<Q2/D, 0T02、T03<Q1/D, 计算C 2 (T1) 、C 3 (T2) , 由min{C 2 (T1) 、C 3 (T2) }决定单位货物最小费用的最优订购周期T*, 否则转入 (3) ;

(3) 若Q2/DT01, 0T02、T03<Q1/D, 计算C 2 (T1) 、C 3 (T2) , 由min{C 2 (T1) 、C 3 (T2) }决定单位货物最小费用的最优订购周期T*, 否则转入 (4) ;

(4) 若Q1/DT01、T02<Q2/D, 0T03<Q1/D, 计算C 2 (T02) 、C 3 (T2) ,

由min{C 2 (T02) 、C 3 (T2) }决定单位货物最小费用的最优订购周期T*, 否则转入 (5) ;

(5) 若T01≥Q2/D, Q1/DT02、T03<Q2/D, 计算C 2 (T02) 、C 3 (T2) , 由min{C 2 (T02) 、C 3 (T2) }决定单位货物最小费用的最优订购周期T*, 否则转入 (6) ;

(6) 若Q1/DT01、T02、T03<Q2/D, 计算C 2 (T02) 、C 3 (T2) , 由min{C 2 (T02) 、C 3 (T2) }决定单位货物最小费用的最优订购周期T*, 否则转入 (7) ;

(7) 若T10≥Q2/D, Q1/DT20<Q2/D, 0T30<Q1/D, 计算C 2 (T02) 、C 3 (T2) , 由min{C 2 (T02) 、C 3 (T2) }决定单位货物最小费用的最优订购周期T*, 否则转入 (8)

(8) 若T01、T02、T03≥Q2/D, 则由C 3 (T03) 决定单位货物的最小费用订购周期T*, 否则转入 (9) ;

(9) 若T01、T02≥Q2/D, 0T03<Q1/D, 则由min{C 2 (T1) 、C 3 (T2) }决定单位货物的最小费用的最优订购周期T*, 否则转入 (10) ;

(10) 若Q1/DT03<Q2/D, T01、T02≥Q2/D, 则由min{C 2 (T1) 、C 3 (T2) }决定单位货物的最小费用的最优订购周期T*;

(11) 确定最优订购周期T*后, 由Q=DT可以得到相应的经济订货批量Q*。

1.2.2信用支付期限大于采购周期

这种情形即M≥T, 见图3。

每一订货周期利息支出=0

每一订货周期利息收入

则年平均费用为

其中B=[C3+C1T2D/2-PIeDT (M-T/2) ]T-1平均每单位所需费用C2TV如图4表示:

寻优方法同节1.2.2。求导得

又则令

则有极值

设经济订货周期为T*, 令T1=Q1/D, T2=Q2/D, 下面就T0的位置分情况加以讨论:

(1) 若T0≥Q2/D, 显然, 取T*=T0;

(2) 若Q1/DT0<Q2/D, 计算C 5 (T0) C 6 (T2) , 则由min{C 2 (T0) 、C 3 (T2) }决定单位货物的最小费用最优订购周期T*;

(3) 若0T0<Q1/D, 计算C 4 (T0) 、C 5 (T1) 、C 6 (T2) , 则由min{C 4 (T0) , C 5 (T1) , C 6 (T2) }决定单位货物的最小费用最优订购周期T*;

(4) 确定最优订购周期T*后, 由Q=DT可以得到相应的经济订货批量Q*。

2算例

为了说明模型, 下面列举应用算例。

例设定某零售商制定其产品的进货策略, 已知该零售商面临的年需求率D=5 000, 每次订货费用为C3=200, 单位时间单位产品存储费C1=5, 该产品采购价格K1=100, K2=98, K3=95, 产品销售价格p=150, Q1=1 000, Q2=1 500, 单位库存年利息支付Ik=0.15, 单位库存年收益Ie=0.1。供应商给予零售商信用支付期限M=0.3;

根据本文提供计算方法可以求得C 5 (T1) =478 500<C 6 (T2) =482 500<C 4 (T0) =483 824, 则系统最优解为零售商订货周期T*=T1=0.2, 经济订货批量Q*=1 000

3结论

综合考虑了信用支付期限、累进制价格折扣等因素对库存管理的影响, 建立了相应的零售商库存决策模型, 并得出零售商在供应商给定信用支付期、累进制折扣政策下最优订货数量和付款时间的判定方法, 最后通过算例对所建模型进行了说明, 具有一定的现实意义。所建模型还可做进一步研究, 如考虑缺货、随机需求、变质产品等, 但所建模型会更加复杂, 寻优的难度也会增加。

参考文献

[1]Goyal S K.Economic order quantity under conditions of permissible delay in payment.Journal of the Operational Research Society, 1985;36:335—338

[2]Aggarwals P, Jaggic K.Ordering policies of deteriorating items under permissible delay in payments.Journal of the Operational Research Society, 1995;46:658—662

[3]Jamal A M, Sarker B R, Wan G S.An ordering policy for deteriora-ting items with allowable shortage and permissible delay in payment.The Journal of the Operational Research Society, 1997;48 (8) :826—833

[4]Chang HJ, Dye C Y.An inventory model for deteriorating items with partial back logging and permissible delay in payments.Internat ional Journal of Systems Science, 2001;32:345—352

[5]Viswanathan S, Wang Q.Discount pricing decisions in distribution channels with price-sensitive demand.European Journal of Operation-al Research, 2003;149 (3) :571—587

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[7]Chang C T.Extended economic order quantity model under cash dis-count and payment delay.International Journal of Information and Management Sciences, 2002;13 (3) :57—69

[8]Ouyang L Y, Chen M S, Chuang K W.Economic order quantity model under cash discounted payment delay.International Journal of Information and Management Sciences, 2002;13 (1) :1—10

EOQ模型第4篇

经济订货批量[1,2,3]问题是生产、销售和库存管理中的经典问题,随着企业经营环境的日益复杂化,近年来对它的研究无论是广度还是深度上都有了很大的发展,从单个产品到多品,从确定性[4]、不确定性[5,6]条件到模糊条件[10,11,12,13,14],从单级的库存状态到多级库存[7]状态,从单个企业行为延伸到整个供应链企业的共同行为[8]。本文试图在经典的经济订货批量模型基础上,对一类革新性产品,在具有模糊的补偿期限、降价周期和降价幅度的条件下进行分析,建立其扩展的EOQ分段模型,并探讨模型的求解方法。

革新性产品是一类较为特殊的产品,与普通产品相比,它具有产品生命周期短、更新换代频繁、新产品附加值和利润较高、产品的市场价格变动剧烈和频繁等特点;针对此类产品的特殊性,企业需要在采购、生产、销售等各个环节采用有别于普通产品的策略和模式。以手机为例,作为一种典型的革新性产品,其产品生命周期一般仅有6～12个月、更新换代频繁,新款上市手机一般具有高附加值和高额利润,上市后手机降价频繁而剧烈,旧款手机淘汰速度较快。代理式的营销模式是比较典型的手机销售模式,手机的售价一般由厂家统一制定,各地区代理商和经销商按价销售,由于手机市场竞争激烈,替代性产品较多,一般厂家尽量避免市场缺货。区域代理商不定期地向厂家批量进货, 并持有库存; 零售商适时向区域代理商取货,无库存。在零售商按照生产商的动态价格体系进行销售的情况下,区域代理商由于保持库存,因而将要承担随时降价所导致的损失。为了尽量减少代理商可能遭受的降价损失,生产商通常会采用某种补偿机制,即按照一定时间期限来补偿由于产品降价而导致的区域代理商的损失。由于生产商的降价补偿有一定的期限限制,区域代理商的总成本中需要考虑当不在生产商所公布的降价补偿期限内订货时,因无法获得降价补偿而导致的损失。

由于降价和补偿机制的出现,尤其是补偿数量和期限等方面数据的不确定性,使得订货批量的计算变得困难,目前,尚未见有探讨此类EOQ问题的相关文献,本文将针对此类革新性产品的特点,从区域代理商的角度对其经济订货批量模型的分段特点和求解方法进行分析,并通过实例进行验证。

1 具有确定的补偿期限、降价周期和降价幅度的EOQ模型

1.1 假设条件和符号说明

①需求连续均匀,需求率为一常数d,不考虑价格变化对需求的影响;

②允许缺货,缺货后补,考虑单位时间单位货物的缺货成本l;进货时间视为0,即进货补货在瞬间完成;

③每次进货固定费用为a;单位货物进货变动费用为c,假设为产品的进货单价;

④单位货物单位时间内的保管费用为h;

⑤产品的降价周期为T0,降价幅度为∂;

⑥生产商对降价前t0时间内售给区域代理商的产品进行降价补偿,返还区域代理商该部分产品的降价前后的差价,即降价补偿期限为t0;

⑦考虑单产品单周期的情况,并假设区域代理商本次订货时间距离上一次该产品的降价时间为t′;

⑧考虑一个订货周期内仅有一次降价的情况,多次降价情况的求解与此类似;

⑨区域代理商的总成本用Ct表示, Q表示经济订货批量;

(10)考虑某一订货周期,假设该订货周期的订货点为时间的0点, Ta为周期内库存量为0的点, Tb为再订货点, 因而在Ta和Tb期间, 处于缺货状态。

1.2 具有确定补偿期限、降价周期和

降价幅度的扩展EOQ建模

当T0-t0>t′时,订货日期超过补偿期限,该批货物不能获得降价补偿; 否则,表示该批货物在补偿期限之内订货,能获得生产商的降价补偿。考虑区域代理商的总成本由进货费、保管费、缺货费和降价损失费构成,即总成本=进货费+保管费+缺货费+降价损失费,则有:

$C_{t} = {\begin{cases} a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} \\ + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0} + t^{'})^{2} d c \partial}{2}, Τ_{0} - t_{0} > t^{'} (1) \\ a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2}, 否则 (2) \end{cases}$

因此,区域代理商的总成本Ct为时间的分段函数(如图1所示),分别由式(1)和式(2)两个连续函数构成,假设表达式(1)的最优经济订货批量为Q*1,其对应的总成本为C1t;表达式(2)的最优经济订货批量为Q*2,其对应的总成本为C2t; 则区域代理商的最优经济订货批量Q*就是获得最低总成本 $C_{t}^{*} = \min {C_{t}^{1}, C_{t}^{2}}$ 的批量值,是分段函数的全局最优解。

1.3 具有确定补偿期限、降价周期和降价幅度的扩展EOQ模型的求解

①求解Q*2

考虑分段函数 $C_{t} = a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2}$ ,T0-t0t′,求解过程参考文献[16],

$Q_{2}^{*} = d Τ_{b}^{*} = \sqrt{\frac{2 a d (h + l)}{h l}} (3)$

②求解Q*1

考虑分段函数 $C_{t} = a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - u)^{2} d c \partial}{2}, Τ_{0} - t_{0} > t^{'}$ , 为求解方便, 令, 则有

$Q_{1}^{*} = \frac{\sqrt{n^{2} (m - 1)^{2} - (m d l - m^{2}) (2 a d l + d l u n - n^{2})}}{l (m - d l)} (4)$

上述公式中,若假设∂=0,即产品的降价幅度为0,则可得:,此时 $Q_{1}^{*} = \sqrt{\frac{2 a d (h + l)}{h l}}$ ,还原为经典的、不具有价格补偿性的普通产品的经济订货批量模型。

③求解区域代理商的具有确定补偿期限、降价周期和降价幅度的最优经济订货批量Q*

区域代理商的总成本Ct为分段函数,享受降价补偿条件下的最低总成本为:

$\begin{array}{l} C_{t}^{2} = a + c Q_{2}^{*} + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} \\ = a + c \sqrt{\frac{2 a d (h + l)}{h l}} + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} (5) \end{array}$

不享受降价补偿条件下的最低总成本为:

$\begin{array}{l} C_{t}^{1} = a + c \frac{\sqrt{n^{2} (m - 1)^{2} - (m d l - m^{2}) (2 a d l + d l u n - n^{2})}}{l (m - d l)} \\ + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - u)^{2} d c \partial}{2} (6) \end{array}$

因此,最优经济订货批量为:

$Q^{*} = {\begin{cases} Q_{1}^{*}, C_{t}^{1} = \min {C_{t}^{1}, C_{t}^{2}} \\ Q_{2}^{*}, C_{t}^{2} = \min {C_{t}^{1}, C_{t}^{2}} \end{cases} (7)$

2 具有模糊补偿期限、降价周期和降价幅度的扩展EOQ模型

实际的企业经营活动中,由于受到企业自身的经营模式、资源和信息的获取能力、市场环境、客户需求变化以及定价策略等诸多因素的影响,产品的降价周期、降价幅度和供应商所确定的补偿期限通常具有不确定性,比如有些型号的手机由于竞争产品较多或新的替代性产品的出现而导致降价周期缩短、降价幅度加大,另一些型号手机,可能因为款式优势和市场需求稳定而具有相对较长的降价周期和小的降价幅度,区域代理商只能根据以往的经验做出粗略估计和预判,比如降价周期一般为7～15天,而其中9～12天的可能性最大;降价幅度一般为10%～20%,而降价13%～15%的可能性最大。在解决此类不确定环境下的订货批量和库存管理[12,13,15]问题时,模糊数学具有较好的效果,下面将利用模糊理论和相应的解模糊方法进一步探讨革新性产品在具有模糊补偿期限、降价周期和降价幅度的情况下的经济订货批量问题。

2.1 模糊补偿期限、模糊降价周期和模糊降价幅度的隶属函数和解模糊方法

假设补偿期限 $(\tilde{t}_{0})$ 、降价周期 $(\tilde{Τ}_{0})$ 和降价幅度 $(\tilde{\partial})$ 均为模糊集,分别表述为: $\tilde{t}_{0} = [t_{0}^{1}, t_{0}^{2}, t_{0}^{3}, t_{0}^{4}] ‚ \tilde{Τ}_{0} = [Τ_{0}^{1}, Τ_{0}^{2}, Τ_{0}^{3}, Τ_{0}^{4}] ‚ \tilde{\partial} = [\partial^{1}, \partial^{2}, \partial^{3}, \partial^{4}]$ 。以 $\tilde{t}_{0}$ 为例,其隶属函数的几何形状均为梯形(如图2所示), $\tilde{t}_{0}$ 的隶属函数表达式可表示为:

$u_{\tilde{t}_{0}} = {\begin{matrix} 0, & x t_{0}^{1} 或 x \geq t_{0}^{4} \\ \frac{x - t_{0}^{1}}{t_{0}^{2} - t_{0}^{1}}, & t_{0}^{1} x t_{0}^{2} \\ 1, & t_{0}^{2} x t_{0}^{3} \\ \frac{t_{0}^{4} - x}{t_{0}^{4} - t_{0}^{3}}, & t_{0}^{3} x t_{0}^{4} \end{matrix}$

为了对模糊数的大小进行比较,需要对模糊问题进行解模糊处理。本文采用Chen和Hsieh提出的梯级平均综合表示法(graded mean integration representation)进行解模糊计算[15]。设h为任意水平隶属度,且0<h1。对于梯形模糊数 $\tilde{t}_{0} = [t_{0}^{1}, t_{0}^{2}, t_{0}^{3}, t_{0}^{4}]$ ,其解模糊值可表示为:

$\begin{array}{l} Ρ (\tilde{t}_{0}) = \frac{\int_{0}^{1} h [\frac{L^{- 1} (h) + R^{- 1} (h)}{2}] d h}{\int_{0}^{1} h d h} \\ = \frac{t_{0}^{1} + 2 t_{0}^{2} + 2 t_{0}^{3} + t_{0}^{4}}{6} (7) \end{array}$

2.2 对模糊条件下订货时间是否

在补偿期限内的讨论

根据式(1)、式(2), 当补偿期期限、降价周期和降价幅度都为模糊状态时, 首先应该判断区域代理商的订货时间是否在厂商的补偿期限之内, 此时 $\tilde{Τ}_{0}$ 和 $\tilde{t}_{0}$ 为模糊值, 而t′为确定值, 因此需要对 $\tilde{Τ}_{0} - \tilde{t}_{0}$ 的值进行非模糊化处理后, 与t′进行比较, 判断订货时间是否在补偿期限内。 $\tilde{Τ}_{0} - \tilde{t}_{0}$ 的计算结果为一模糊集,其隶属函数为: $μ_{\tilde{Τ}_{0} - \tilde{t}_{0}} (z) = \underset{y - x = z}{\lor} (μ_{\tilde{Τ}_{0}} \land μ_{\tilde{t}_{0}})$ ,隶属函数的几何分布示意图见图3。

$μ_{\tilde{Τ}_{0} - \tilde{t}_{0}} (z) = {\begin{matrix} 0, & z Τ_{0}^{1} 或 z > t_{0}^{4} \\ \frac{z - Τ_{0}^{1}}{Τ_{0}^{2} - Τ_{0}^{1}}, & Τ_{0}^{1} < z Τ_{0}^{2} \\ 1, & Τ_{0}^{2} < z t_{0}^{3} \\ \frac{t_{0}^{4} - z}{t_{0}^{4} - t_{0}^{3}}, & t_{0}^{3} < z t_{0}^{4} \end{matrix} (8)$

采用质心法[16](Sugeno,1985年;lee,1990年)解模糊,可以计算出:

$\begin{array}{l} z^{*} = \frac{\int μ_{\tilde{Τ}_{0} - \tilde{t}_{0}} (z) \cdot z d z}{\int μ_{\tilde{Τ}_{0} - \tilde{t}_{0}} (z) d z} \\ = \frac{(t_{0}^{3})^{2} + (t_{0}^{4})^{2} + t_{0}^{3} t_{0}^{4} - (Τ_{0}^{1})^{2} - (Τ_{0}^{2})^{2} - Τ_{0}^{1} Τ_{0}^{2}}{3 (t_{0}^{3} + t_{0}^{4} - Τ_{0}^{1} - Τ_{0}^{2})} \end{array} (9)$

同理,利用质心法可对 $\tilde{Τ}_{0}$ 进行解模糊,得:

$Τ_{0}^{*} = \frac{(Τ_{0}^{3})^{2} + (Τ_{0}^{4})^{2} + Τ_{0}^{3} Τ_{0}^{4} - (Τ_{0}^{1})^{2} - (Τ_{0}^{2})^{2} - Τ_{0}^{1} Τ_{0}^{2}}{3 (Τ_{0}^{3} + Τ_{0}^{4} - Τ_{0}^{1} - Τ_{0}^{2})} (10)$

利用z*和T*0的值, 可以判断: ①当z*>t′时, 区域代理商的订货时间不在厂商的降价补偿期限范围内,不能享受降价补偿,需要代理商承担这部分降价损失; ②当z*<t′时,订货时间在补偿期限范围内,能享受降价补偿。

2.3 讨论z*>t′时的最优经济订货批量

区域代理商的模糊总成本 $\tilde{C}_{t} = a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - \tilde{Τ}_{0} + t^{'})^{2} d c \tilde{\partial}}{2}$ 可表示为

$\begin{array}{l} \tilde{C}_{t} \\ = [a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0}^{1} + t^{'})^{2} d c \partial^{1}}{2}, \\ a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0}^{2} + t^{'})^{2} d c \partial^{2}}{2}, \\ a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0}^{3} + t^{'})^{2} d c \partial^{3}}{2}, \\ a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0}^{4} + t^{'})^{2} d c \partial^{4}}{2}] \end{array}$

利用式(9)进行解模糊,可求得与模糊总成本贴近的值

$\begin{array}{l} p (\tilde{C}_{t}) \\ = \frac{1}{6} [(a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0}^{1} + t^{'})^{2} d c \partial^{1}}{2}) \\ + 2 (a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0}^{2} + t^{'})^{2} d c \partial^{2}}{2}) \\ + 2 (c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0}^{3} + t^{'})^{2} d c \partial^{3}}{2}) \\ + (a + c Q + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} + \frac{(Τ_{a} - Τ_{0}^{4} + t^{'})^{2} d c \partial^{4}}{2})] \end{array}$

最优经济订货批量为使得总成本 $p (\tilde{C}_{t})$ 最小的订货批量,将Q=dTb代入上式,令 $\frac{\partial (p (\tilde{C}_{t}))}{\partial Τ_{a}} = 0 ‚ \frac{\partial (p (\tilde{C}_{t}))}{\partial Τ_{b}} = 0$ ,从而计算出:

$\begin{array}{l} Τ_{a} = \frac{\begin{matrix} c (6 + \partial^{1} Τ_{0}^{1} + 2 \partial^{2} Τ_{0}^{2} + 2 \partial^{3} Τ_{0}^{3} + \partial^{4} Τ_{0}^{4}) \\ - c t^{'} (\partial^{1} + 2 \partial^{2} + 2 \partial^{3} + \partial^{4}) \end{matrix}}{c (\partial^{1} + 2 \partial^{2} + 2 \partial^{3} + \partial^{4}) - 6 h} \\ Τ_{b} = \frac{\begin{matrix} c (6 + \partial^{1} Τ_{0}^{1} + 2 \partial^{2} Τ_{0}^{2} + 2 \partial^{3} Τ_{0}^{3} + \partial^{4} Τ_{0}^{4}) \\ - c t^{'} (\partial^{1} + 2 \partial^{2} + 2 \partial^{3} + \partial^{4}) \end{matrix}}{c (\partial^{1} + 2 \partial^{2} + 2 \partial^{3} + \partial^{4}) - 6 h} - \frac{c}{l} \end{array}$

得到该条件下的最优经济订货批量为:

$\begin{array}{l} Q_{1}^{*} = d Τ_{b} \\ = \frac{\begin{matrix} d c (6 + \partial^{1} Τ_{0}^{1} + 2 \partial^{2} Τ_{0}^{2} + 2 \partial^{3} Τ_{0}^{3} + \partial^{4} Τ_{0}^{4}) \\ - d c t^{'} (\partial^{1} + 2 \partial^{2} + 2 \partial^{3} + \partial^{4}) \end{matrix}}{c (\partial^{1} + 2 \partial^{2} + 2 \partial^{3} + \partial^{4}) - 6 h} - \frac{d c}{l} \end{array} (11)$

2.4 讨论z*<t′情况下的最优经济订货批量

该条件下,区域代理商可从厂商处获得降价补偿,其经济订货批量与本文前面所讨论的具有确定的补偿期限、降价周期和降价幅度的情况相一致,

$Q_{2}^{*} = d Τ_{b}^{*} = \sqrt{\frac{2 a d (h + l)}{h l}} (12)$

2.5 求解区域代理商具有模糊补偿期限、模糊降价周期和模糊降价幅度的最优经济订货批量Q*

区域代理商的总成本Ct为分段函数,享受降价补偿条件下的最低总成本为:

不享受降价补偿条件下的最低总成本为:

$\begin{array}{l} p (\tilde{C_{t}})^{*} = a + \frac{\begin{matrix} d c^{2} (6 + \partial^{1} Τ_{0}^{1} + 2 \partial^{2} Τ_{0}^{2} + 2 \partial^{3} Τ_{0}^{3} + \partial^{4} Τ_{0}^{4}) \\ - d c^{2} t^{'} (\partial^{1} + 2 \partial^{2} + 2 \partial^{3} + \partial^{4}) \end{matrix}}{c (\partial^{1} + 2 \partial^{2} + 2 \partial^{3} + \partial^{4}) - 6 h} \\ - \frac{d c^{2}}{l} + \frac{1}{2} h d Τ_{a}^{2} + \frac{(Τ_{b} - Τ_{a})^{2} d l}{2} \\ + \frac{d c}{12} [(Τ_{a} - Τ_{0}^{1} + t^{'})^{2} \partial^{1} + 2 (Τ_{a} - Τ_{0}^{2} + t^{'})^{2} \partial^{2} \\ + 2 (Τ_{a} - Τ_{0}^{3} + t^{'})^{2} \partial^{3} + (Τ_{a} - Τ_{0}^{4} + t^{'})^{2} \partial^{4}] (14) \end{array}$

因此,区域代理商的具有模糊补偿期限、模糊降价周期和模糊降价幅度的最优经济订货批量:

$Q^{*} = {\begin{cases} Q_{1}^{*}, p (\tilde{C}_{t})^{*} = \min {p (\tilde{C}_{t})^{*}, C_{t}^{2}} \\ Q_{2}^{*}, C_{t}^{2} = \min {p (\tilde{C}_{t})^{*}, C_{t}^{2}} \end{cases} (15)$

3 算例

假设某革新性产品需求率d=200件/天, 缺货成本l=200元/件; 进货固定费用a=8000元/次; 进货变动费用c=1000元/件, 保管费用h=0.5元/件天, 降价周期为 $\tilde{Τ}_{0} = [15, 25, 35, 45]$ , 降价幅度为 $\tilde{\partial} = [0.1, 0.15, 0.2, 0.3] ‚$ 降价补偿期限为 $\tilde{t}_{0} = [10, 15, 20, 25]$ ; 考虑区域代理商本次订货时间距离上一次该产品的降价时间t′的变化对经济订货批量的影响,本案例利用MATLAB进行演算, 考虑t′的变化范围为[0,50]天, 运行结果如图4、图5所示,取其中[20,40]值段,经济订货批量值按计算, 列于表1。

结果表明:

①在降价周期、降价幅度和降价补偿期限的隶属函数已知的情况下,本次订货距离上一次产品降价的时间间隔值将影响经济订货批量的值,因为该时间间隔值决定了本次订货进入厂家补偿期限的隶属度;

②能否享受厂家所提供的降价补偿,经济订货批量和订货总成本具有不同的表达函数;

③享受降价补偿不一定能获得最低的订货成本;

④经济订货批量值应该是使得订货总成本最低的全局最优解。

4 结束语

本文从区域代理商的角度,对革新性产品的经济订货批量模型进行了分析和研究,讨论了该类产品在具有确定补偿期限、降价周期和降价幅度条件下的经济订货批量模型, 并在此基础上, 进一步探讨了当补偿期限、降价周期和降价幅度为不确定时的经济订货批量的模型和求解方法,揭示了经济订货批量模型的函数具有分段特征和全局最优解从各分段函数的局部最优解中获得,并使用解模糊的方法对模型进行了求解,为相关企业的量化决策提供参考。

由于革新性产品自身的特殊性,并受企业的经营模式、市场环境、客户需求、定价策略等各方面因素的影响,区域代理商对订货批量和库存模式的确定将变得困难,如何进一步在随机和模糊的市场信息环境下探讨其经营方法和策略,是我们的下一步工作方向之一。

摘要：介绍了一类革新性产品,讨论了在确定的补偿期限、降价周期和降价幅度情况下的区域代理商的EOQ模型,在此基础上,重点分析了该类产品在具有模糊的补偿期限、降价周期和降价幅度时的EOQ模型,阐述了在补偿期限的影响下,模型的分段描述形式,并对模型的求解方法进行了论述。