排列组合的解题策略（精选12篇）

排列组合的解题策略 第1篇

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明:1) 占位子问题例1:将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中, 要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同, 问有多少种不同的方法?

(1) 仔细审题:在转换题目之前先让学生仔细审题, 从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手, 清楚这是一个“排列问题”, 然后对题目进行等价转换。

(2) 转换题目:在审题的基础上, 为了激发学生兴趣进入角色, 我将题目转换为:让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上 (已准备好放在讲台前) , 要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同, 问有多少种不同的坐法?

(3) 解决问题:这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子 (学生争着上台, 积极性已经得到了极大的提高) , 班上其他同学也都积极思考 (充分发挥了学生的主体地位和主观能动性) , 努力地“出谋划策”, 不到两分钟的时间, 同学们有了统一的看法:先选定符合题目特殊条件"两个学生与其所坐的凳子编号相同"的两位同学, 有C种方法, 让他们坐到与自己编号相同的凳子上, 然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法, 最后根据乘法原理得到结果为2×C=20 (种) 。这样原题也就得到了解决。

(4) 学生小结:接着我让学生之间互相讨论, 根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。 (课堂气氛又一次活跃起来)

(5) 老师总结:对于这一类占位子问题, 关键是抓住题目中的特殊条件, 先从特殊对象或者特殊位子入手, 再考虑一般对象, 从而最终解决问题。

2) 分组问题例2:从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数, 问这样的五位数有几个?

(本题我是先让学生计算, 有很多同学得出的结论是P×P)

(1) 仔细审题:先由学生审题, 明确组成五位数是一个排列问题, 但是由于这五个数来自两个不同的组, 因此是一个“分组排列问题”, 然后对题目进行等价转换。

(2) 转换题目:在学生充分审题后, 我让学生自己对题目进行等价转换, 有一位同学A将题目转换如下:从班级的第一组 (12人) 和第二组 (10人) 中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛, 问有多少种不同的选法?

(3) 解决问题:接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说:先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛, 有P×P种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法;最后由乘法原理得出结论为 (P×P) × (P×P) (种) 。 (这时同学B表示反对)

同学B说:如果第一组的3个人先选了3门科目, 那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P。 (同学们都表示同意, 但是同学C说太繁)

同学C说:可以先分别从两组中把5个人选出来, 然后将这5个人在5门学科中排列, 他列出的计算式是C×C×P (种) 。 (再次通过互相讨论, 都表示赞赏)

这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P (种) 。

(4) 老师总结:针对这样的“分组排列”题, 我们多采用“先选后排”的方法:先将需要排列的对象选定, 再对它们进行排列。

排列组合的解题策略 第2篇

让学生成为“演员”——也谈排列组合的解题策略

排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”.针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。

笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：

1、占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

① 仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

② 转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

③ 解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。这样原题也就得到了解决。

④ 学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

⑤ 老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

2、分组问题例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

用心

爱心

专心 1

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P）

① 仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

② 转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

③ 解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P ×P 种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P ×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P ×P）×（P ×P）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P ×P.（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C ×C ×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C ×C ×P（种）。

④ 老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。

用心

爱心

排列组合问题的解题技巧与策略 第3篇

一、特殊元素的优先安排法

对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排.操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”.

例1.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）

二、相邻问题的捆绑法

对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看做一个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.

例2.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）

A.60 B.48 C.42 D.36

解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记做A，（A共有6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记做甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端.则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求），此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有12×4=48种不同排法.

三、不相邻问题的插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.

例3：马路上有编号为1、2、3…9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？

解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有种.

四、顺序固定问题的选位不排法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数.或先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列.也可先放好顺序一定元素，再一一插入其他元素.

例4：5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？

六、分排问题的直排法

把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法处理.

例6：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法.

解：7个人，可以在前后两排随意就座，没有其他的限制条件，故两排可以看成一排处理，所以不同的坐法有.

七、允许重复排列的住店法

解决允许重复排列的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复.把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法”.

例7：7名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是多少种.

解：因同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将7名学生看成7家“店”，五项冠军看成5名“客”，每个客有7种住宿方法，由分步计数原理得N=八、分配问题的先分堆再排列法

对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入.

排列组合的常用解题策略 第4篇

一、分类分步要弄清

【例1】 由1、2、3、4可组成多少个自然数 (数字可以重复, 最多只能是四位数)

解析:组成的数可分为以下四类:

第一类:一位数, 共有4个;

第二类:二位数, 可以分为两步来完成, 先取出十位上的数字, 再取出个位上的数字, 共有4×4=16个;

第三类:三位数, 可以分三步来完成, 共有4×4×4=64个;

第四类:四位数, 可以分四步来完成, 共有4×4×4×4=256个.

综上, 共可组成4+16+64+256=340个自然数.

评注:合理的分类与分步是两个基本原理——分类计数原理和分步计数原理最直接的体现, 是解决排列组合问题的最原始的方法.

二、优先法

【例2】 用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字组成的无重复数字的四位数中, 有多少个偶数?

解析: (1) 若末位排0, 则有A${}_5^3$个; (2) 若末位不排0, 则末位有A${}_2^1$种排法.再排首位, 有A${}_4^1$种, 再排中间两位, 有A${}_4^2$种, ∴末位不是0的有A${}_2^1$A${}_4^1$A${}_4^2$个.

由 (1) (2) 知, 共有A${}_5^3$+A${}_2^1$·A${}_4^1$·A${}_4^2$=156 (个) .

评注:元素分析法和位置分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主, 需先安排特殊元素, 再处理其他元素;若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理其他位置.若有多个约束条件, 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件.

三、间接法

【例3】 正六边形的中心和顶点共7个点, 以其中3个点为顶点的三角形共有多少个?

解析:从7个点中取3个点的取法有C${}_7^3$种, 但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线, 不能组成三角形, 有3条对角线, 所以满足条件的三角形共有C${}_7^3$-3=32个.

评注:对有限制条件的问题, 先从总体考虑, 再把不符合条件的所有情况去掉.当从正面直接考虑比较困难、分类较多时, 往往会考虑事情的对立面, 用间接方式考虑问题.

四、先选后排

【例4】 将4名教师分配到3所中学任教, 每所中学至少一名教师, 则不同的分配方案共有 ( ) 种.

A.12 B.24 C.36 D.48

解析:可分两步进行:第一步, 先将4名教师分为三组, 有C${}_4^2$种分法, 第二步, 将这三组教师分派到3种中学任教, 有C${}_3^3$种方法.由分步计数原理得不同的分派方案共有C${}_4^2$C${}_3^3$=36种方案.

评注:对于排列组合的综合应用题, 可采取先选取元素, 后进行排列的策略, 这是乘法原理的典型应用.这一点充分体现了CmnA${}_m^m$=A${}_n^m$的实质, 先组合后排列, 从而避免了不必要的重复与遗漏.

五、插空法与捆绑法

【例5】 男同学4名, 女同学3名站成一排. (1) 3名女同学必须站在一起, 有多少种不同的排法? (2) 任何两名女同学彼此不相邻, 有多少种不同的排法?

解析: (1) 由于3名女同学必须排在一起, 可以把她们视为一个整体与男同学一起排队, 这时是5个元素的全排列, 有A${}_5^5$种排法, 再把这3名女同学内部进行重新排列, 共有A${}_3^3$种排法, 根据分步计数原理可得, 有A${}_3^3$A${}_5^5$=720种不同的排法.

(2) 先将男生排好, 共有A${}_4^4$种排法, 再在这4名男生中间及两头的5个空位插入3个女生, 有A${}_5^3$种方法, 故符合条件的排法共有A${}_4^4$A${}_5^3$=1440种不同的排法.

评注:某些元素要求相邻的问题, 常用“捆绑”的办法:把相邻或要求在一起的元素捆在一起或看成一个元素与其他元素排列;然后再松绑, 即内部再排列.某些元素要求不相邻的问题, 常用“插空”的办法:即先排其他元素, 然后在其形成的空位中选出空位排要求不相邻的元素.

六、消序法

【例6】 由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7七个数字组成无重复数字的七位数, 其中偶数字的顺序一定, 有多少种不同的排法?

解析:本题要求“偶数字的顺序一定”.先设符合要求的七位数为x种, 再对每一个数中的2、4、6交换位置有A${}_3^3$种方法.由此可得无“顺序一定”之限制的数有x·A${}_3^3$种;另一方面又知, 无“顺序一定”之限制的数有A${}_7^7$种.这样就有x·A${}_3^3$=A${}_7^7$, 从而可以解得$x=\frac{A{}_7^7}{A{}_3^3}=840.$

评注:当某些元素次序一定时, 常用“除法”消序:先将n个元素进行全排列有A${}_n^n$种, m (m≤n) 个元素的全排列有A${}_m^m$种, 由于要求m个元素次序一定, 因此只能取其中的某一种排法, 可以利用除法起到消序的作用, 即若n个元素排成一列, 其中m个元素次序一定, 则有$\frac{A{}_n^n}{A{}_m^m}$种排列方法.

七、分配与分组问题

【例7】 有8本不同的书. (1) 平均分给甲、乙、丙、丁四个人, 有几种分法? (2) 平均分成四堆, 有几种分法? (3) 分给甲一本, 乙三本, 丙、丁各两本, 有多少种分法? (4) 分给一人1本, 一人3本, 剩下两人各2本, 有多少种分法?

解析: (1) 把甲、乙、丙、丁四个人看成有固定次序的四个位置, 这样就可以从8本书中依次取书分给这四个位置, 即符合要求分法有C${}_8^2$C${}_6^2$C${}_4^2$C${}_2^2$=2520种.

(2) 没有 (1) 的那种次序, 因此, 可从有序与无序的关系入手考虑.设符合 (2) 的条件的分法有x种, 则得xA${}_4^4$=C${}_8^2$C${}_6^2$C${}_4^2$C${}_2^2$, 解得$x=\frac{C{}_8^{2}C{}_6^{2}C{}_4^{2}C{}_2^2}{A{}_4^4}=105$种分法.

(3) 与 (1) 的思考方法类似, 容易求得有C${}_8^1$C${}_7^3$C${}_4^2$C${}_2^2$=1680种分法.

(4) 先考虑分成无序的四堆, 有$C{}_8^{1}C{}_7^3\cdot \frac{C{}_4^{2}C{}_2^2}{A{}_2^2}$种方法;再考虑分给四人, 有A${}_4^4$种方法;于是可得$C{}_8^{1}C{}_7^3\cdot \frac{C{}_4^{2}C{}_2^2}{A{}_2^2}\cdot A{}_4^4=20160$种分法.

评注:把若干物品 (或人) 分给几个人 (或几个地方) 的问题是分配问题.把若干人分成几组或把若干物品分成几堆, 而分成的组或堆都无区别标志的问题, 是分组问题.

八、隔板法

【例8】 把10本相同的书分给三个学生阅览室, 每个阅览室至少有一本, 共有多少种不同分法?

解:将10本书排成一排, 书之间有9个空隙, 将2块隔板插入9个空隙内, 每一种插法, 对应一种分法, 故共有C${}_9^2$种分法.

评注:将个相同的元素分成m份 (n, m为正整数) , 每份至少一个元素, 可以用m-1块隔板, 插入n个元素排成一排的n-1个空隙中, 所有分法数为C${}_{n-1}^{m-1}$种.

九、穷举法

【例9】 将数字1、2、3、4填在标号为1、2、3、4的四个方格里, 每格填上一个数字, 且每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有几种?

解析:此题的背景是学生所不熟悉的错排问题, 不好利用计数原理解之.由于数字个数比较少, 我们可把符合题意的填法一一列举出来.它们是:

由上面的树图可知, 共有9种填法.

评注:对于条件比较复杂的排列组合问题, 元素的个数较少的, 不妨将所有满足条件的排列与组合逐一列举出来.

十、住店法

【例10】 七名学生争夺五项冠军, 每项冠军只能由一人获得, 获得冠军的可能的种数有______.

解析:因同一学生可以同时夺得n项冠军, 故学生可重复排列, 将七名学生看作7家“店”, 五项冠军看作5名“客”, 每个“客”有7种住宿法, 由乘法原理得75=16807种.

评注:解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复.另一类不能重复, 把不能重复的元素看作“客”, 能重复的元素看作“店”, 再利用乘法原理直接求解.

十一、探索法

【例11】 设{an}是等差数列, 从{a1, a2…, a20}中任取3个不同的数, 使这三个数仍成等差数列, 则这样不同的等差数列共有 ( ) 个.

A.90 B.120 C.180 D.200

解析:3项相邻的有 (a1, a2, a3) , (a2, a3, a4) , …, (a18, a19, a20) 18个;相隔一项的有 (a1, a3, a5) , (a2, a4, a6) , …, (a16, a18, a20) 16个;同理, 相隔二项的有 (a1, a4, a7) , (a2, a5, a8) , …, (a14, a17, a20) 14个;…;相隔8项的有 (a1, a10, a19) , (a2, a11, a20) 2个, 共有18+16+14+…+2=90个;又由于上述每个数列中的第一、第三项可以互换, 如 (a1, a2, a3) 变为 (a3, a2, a1) 也满足要求, 故共有90×2=180个.

评注:对于复杂的情况, 不易发现其规律的问题, 需要认真分析, 从特殊到一般, 再给予解决.

十二、等价命题转化法

【例12】 圆周上有n个点, 过每两点连一条弦, 设这些弦没有三条共点的.问这些弦在圆内有多少个交点?

解析:两条弦在圆内可能有交点, 也可能没有交点, 由此很难直接从弦与弦的交点入手来考虑.换一个角度, 如果两条弦在圆内有交点, 必涉及圆周上四个点, 这四个点构成圆的一个内接四边形, 这个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点.一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点, 于是问题就转化为圆周上的n个点可以确定多少个不同的四边形, 显然有C${}_n^4$个.

评注:将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题, 这是解数学题的主要思想方法之一, 也是解较难的排列、组合题的重要策略.

高考数学排列组合问题解题技巧 第5篇

排列组合有关的题型主要从以下三个方面去考查考生：

1、掌握分类计数原理和分步计数原理及其简单应用;

2、理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质及其简单应用;

3、掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。

与排列组合相关的高考题，它的知识背景与生活息息相关，考查的形式主要基于“基础知识+思想方法+数学能力”这三种方式结合的模式。排列组合相关知识内容并不难，但主要难在解题方法上面。

排列组合典型例题分析一：

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)选其中5人排成一排;

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人;

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾;

(4)全体排成一排，女生必须站在一起;

(5)全体排成一排，男生互不相邻;

(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人;

(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面;

(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.

解析：(1)从7个人中选5个人来排，是排列.有A75=76543=2 520(种).

(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73A44=5 040(种).事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.

(3)(优先法)

方法一：甲为特殊元素，先排甲，有5种方法;其余6人有A66种方法，故共有5A66=3600种;

方法二：排头与排尾为特殊位置，排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A55种方法，共有A62A55=3600种。

(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44A44=576种.

(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，

故共有A44A53=1 440种.

(6)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有A22种方法;第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A53种;第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法.故共有A22A53A33=720种.

(7)(消序法)A77/2=2 520.

(8)(间接法)A77-2A66+A55=3 720.

位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类.

常见的求解排列组合题的主要方法有以下这么几种：

插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。

转化法：对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解。

剩余法：在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可转化为求剩法。

对等法：在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。

排异法：有些问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除。

排列组合典型例题分析二：

用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个(用数字作答).

解析 依题意按分类计数原理操作：

(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有A54=120个(或C54A44=120个);

(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有C41C53A44=960.故由分类计数原理得这样的四位数共有N=120+960=1080个。

一些考生容易在此块内容丢分，主要是由于排列组合试题知识相互交错，综合性强，思路灵活，解答时往往容易将二者的概念混淆，理不清，辨不明是排列问题，还是组合问题，进而造成解题失误。

考生要想拿到排列组合的分数解题时应注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧，使看似复杂的问题迎刃而解。

排列组合问题作为高考数学常考内容，其考查形式大部分都以选择题、填题等形式出现，在一些省份的高考数学中会以解答题形式考查考生，试题的难度一般以中档题为主。

★ 《数学广角》教案

★ 数学广角重叠问题教学设计

★ 《数学广角的重叠问题》的评课稿

★ 小学五年级数学广角教学反思

★ 三年级数学广角搭配问题的教学反思

★ 三年级数学广角教学反思

★ 《数学广角》第二课时教案设计

★ 五年级上册数学广角知识点

★ 数学广角说课教案设计

排列、组合中常见的解题思路与方法 第6篇

一、分组（堆）问题

分组（堆）问题的6个模型：①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分;④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.

处理问题的原则：

（1）若干个不同的元素“等分”为n堆，要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以n！;

（2）若干个不同的元素局部“等分”有k个均等堆，要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以k！;

（3）非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积;

（4）要明确堆的顺序时，必须先分堆后，再把堆数当作元素个数进行全排列.

例1 有4项不同的工程，要分包给3个工程队，要求每个工程队至少分到一项工程，共有多少种不同的分包方式？

解：要完成分包这件事，可以分为两个步骤：

①先将4项工程分为3“堆”，有C24C12C11A22=6种分法;

②再将分好的3“堆”依次分给3个工程队，有3！=6种分法.所以，共有6×6=36种不同的分包方式.

二、不相邻元素“插空法”

解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素，然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.

例2 7人排成一排，甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？

解：分两步进行：

①把除甲乙以外的其他5人排列，有A55=120种排法;

②将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中（插空），有A26=30种插入法.

所以，共有120×30=3600种排法.

注意：几个元素不能相邻时，先排一般元素，再让特殊元素插空.

三、相邻元素“捆绑法”

相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.

例3 6人排成一排，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？

解：可分两步进行：

①把甲乙排列（捆绑），有A22=2种捆法;

②把甲乙两人的捆看作一个人与其他的4人排队，有A55=120种排法.

所以，共有2×120=240种排法.

注意：几个元素必须相邻时，先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.

四、消序法（留空法）

几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序，或者先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.

例4 5个人站成一排，甲总是站在乙的右侧有多少种站法？

解法1：将5个人依次站成一排，有A55种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数A22，所以甲总站在乙的右侧站法总数为A55A22=A35=60.

解法2：先让甲乙之外的3人从5个位置选出3个站好，有A35种站法，留下的两个位置自然给甲乙，有1种站法.所以，甲总站在乙右侧的站法总数为A35×1=A35.

五、隔板法

n个相同小球放入m（m≤n）个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同的小球穿成一串，从间隙里选m-1个结点剪截成m段.

例5 某校准备参加今年高中数学联赛，把16名选手名额分配到高三年级的1～4个教学班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有    种.

解：问题等价于把16个相同的小球放入4个盒子里，每个盒子里至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球穿成一串，截为4段有C315=455种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有455种.

变式：某校准备参加今年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4个数学班，每班的名额不少于该班序号数，则不同的分配方案共有多少种？

解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把剩余的10个相同小球放入4个盒子里，每个盒子至少有一个小球的方法种数问题.将10个小球穿成一串，截为4段，有C39种截法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共C39=84种.

六、错位法

编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子里放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列.

例6 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里，每个盒子放一个小球，其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有多少种？

解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有C26=15种，其余4组球与盒子需错位排列有9种方法.故所求方法有：15×9=135种.

七、剔除法

从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性.

例7 以正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？

解：正方体8个顶点从中每次取4个，理论上可构成C48种四面体，但6个表面和6个对角面的4个顶点共面就不能构成四面体.所以四面体实际有C48-12=58个.

变式：某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有    种.

解法1：分两类：①A类选修课2门，B类选修课1门，有C23×C14种;②A类选修课1门，B类选修课2门，有C13×C24种.故共有C23×C14+C13×C24=30种.

解法2：从7门中任意选修3门，有C37种，减去3门同时在A类选修课（C33）或B类选修课（C34）中，故共有C37-C33-C34=30种.

八、圆排问题线排法

n个元素圆排列数有n！n种.

例8 5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同的站法？

解：根据乘法原理，分两步：第一步是把5对姐妹看作5个整体，进行排列有5！种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圆圈，就会产生5个重复，因此实际排法只有5！5=24种.第二步每一对姐妹之间又可以相互交换位置，也就是说每一对姐妹均有2种排法，共有25=32种.所以应有24×32=768种站法.

九、可重复的排列求幂法

重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数.

例9 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有    种.

解：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能.因此共有83种不同的结果.

排列组合的解题策略 第7篇

在数学问题的解决中, 我们常常会通过数学转化, 通过变更命题的形式、条件、背景等等, 促使问题更加熟悉、更加简捷、更加方便解决。这里希望通过对一些具体的排列组合应用题的解决来体会数学转化策略的应用, 以使我们在解决此类问题时能更加具有灵活和有针对性。

一、运用模型, 转化问题背景

问题模型化, 常常可以使问题更加系统, 容易解决。这里我们先看看以下的模型 (黑白球的排列问题) 。

(1) 5个不同的白球、3个不同的黑球, 排成一排, 有多少种排列方法?

(2) 5个相同的白球、3个不同的黑球, 排成一排, 有多少种排列方法?

(3) 5个相同的白球、3个相同的黑球, 排成一排, 有多少种排列方法?

不难发现他们的结果各不相同, 本质区别在于白球、黑球是否可辨别 (即视为相同还是不同) 。下面我们看看以下的两个例题。

例1: (熄灯问题) 某城市新建的一条道路上有12只路灯, 为节约用电而不影响照明, 可以熄灭其中三盏灯, 但是两端的灯不能熄灭, 也不能熄灭相邻的两盏灯, 熄灯方法共有 () 种。

A.C312B.C38C.C39D.C311

例1中, 直接考虑比较困难, 但我们稍加变化, 即能转化成我们熟悉的问题, 即, 9个相同的A和3个相同的B排成一列, 要求B不排在两端, 也不相邻, 此时只需将B插入到9个A中即运用插空法可解决。本例反映出问题背景的转化, 常常能变陌生为熟悉, 大大增强我们解题的信心, 也能够使我们所学习的知识更加系统有序。

二、适当引参, 转化问题结论形式

很多问题是我们熟悉的问题变化所产生的, 如果能够变更问题的结论形式, 使他们与以前所学习的问题联系起来, 常常会起到事半功倍的效果。

例2:先看这么两个问题:

问题1, 求方程x+y+z+w=10的正整数解的个数。

问题2, 求不等式x+y+z<10的正整数解的个数。

问题1可以联系到模型:“将10个相同的小球放入4个不同盒子”。这个模型可以运用挡板法解决。即用3个挡板插入到10个球中将其分开。但问题2就很难想到解决方法, 可能最容易想到的就是列举法了, 但列举法解决的问题毕竟有限, 数字稍微变大, 就麻烦了。此时, 如果考虑引进参数, 即设w=10-x-y-z (w>0) , 这时问题2也就是问题1了, 因为他们是一一对应的。

问题3, 小明有10颗糖 (不可辨) , 每天至少吃一颗, 只至吃完, 那么有多少种吃法?

问题正面分类, 考虑分几天吃, 那么问题就很复杂。转化考虑方式, 即10颗糖排成一列, 每两颗之间加一挡板, 则分为两天。不加挡板, 即在一天吃完。因此, 问题转化为, 九个间隔位置上是否加挡板。即吃法有N=299。

所以, 在转化时, 通过对问题结论形式的变化, 往往可以化繁为简, 化生为熟, 有效解决问题。

三、运用集合语言, 转化问题叙述形式

例3: (跑步问题) 6名运动员参加4100接力赛, 要求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒, 有多少种安排方法?

本题在解决时, 如果从集合角度来看问题, 叙述成集合语言形式, 可以更加明确、严密。比如, 记A:甲跑第一棒, B:乙跑第四棒。所求就是6人参加4100中, 既不满足A也不满足B的安排方法。对应解法:card (C1A∩C1B) =card (I) -card (A) -card (B) +card (A∩B) 。

即安排方法数为A64-A53-A53+A42=252。也可以这样:记A为甲不跑第一棒, B跑第四棒, 即:card (A∩C1B) =card (A) -card (A∩B) =5A53-4A42=252。可见, 同样是运用集合语言, 解决方法也不尽相同。但可以肯定的是, 运用集合语言, 常常可以使问题更加简洁、具有普遍性。

四、正难则反, 转换问题解决角度

解题犹如攻城, 必须知己知彼, 正面的敌人多, 相应的反面自然会少。这里我们看如下的问题:

例4:取正方体的8个顶点中的4个可以构成多少个三棱锥?

本题在解决时, 由于正面情况不共面的四点组比较复杂, 因此容易产生重复或者遗漏。然而, 从反面考虑, 即共面的四点组则比较少。即C84-12=58。

正难则反的策略在题目中出现“至少”或者“至多”时常常会起到避实就虚的功效。

五、运用对应思想, 变换命题结论形式

在解决问题时, 如果能和已解决过的问题建立起联系, 那么问题就会变得更加方便解决。

例5:取正方体的棱和面对角线、体对角线可以组成多少对异面直线?

如果真的直接考虑直线有几条, 再考虑异面直线有几对, 问题就会非常复杂, 原因在于重复太多。此时, 如果能和例5联系起来, 即不共面的四点组对应于3对异面直线。则容易得到:3 (C84-12) =174。

这里关键在于将四点组和异面直线建立了对应关系。应用对应思想, 能够灵活转化命题结论, 正如“化敌为友”。

排列组合问题的解题技巧 第8篇

一、合理分类与准确分步法

解含有约束条件的排列组合问题, 应按元素的性质进行分类, 按事件发生的连续过程分步, 做到分类标准明确, 分步层次清晰, 不重不漏。

例1用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给 (如图1) a、b、c、d的四个区域染色, 若相邻的区域不能用相同的颜色, 试问不同的染色方法有多少种?

解析1:整体分类, 局部分步。

(1) a、d不同色, 即用4种颜色给a、b、c、d四个区域染色有A54种方法; (2) a、d同色, 即用3种颜色给a、b、c、d四个区域染色有A53种方法。所以不同的染色方法共有A54+A53=180种。

解析2:整体分步, 局部分类。

按“abcd”的顺序给四个区域染色, 第一步给a区域染色有5种方法, 第二步给b区域染色有4种方法, 第三步给c区域染色有3种方法, 第四步给d区域染色应分两类: (1) a、d不同色时, d区域有2种染色方法; (2) a、d同色时, d区域有1种染色方法。

所以不同的染色方法共有543 (2+1) =180种。

二、特殊元素 (或位置) “优先安排法”

对于特殊元素的排列组合问题, 一般先考虑特殊元素, 再考虑其他元素的安排, 针对具体问题, 有时“元素优先”, 有时“位置优先”。

例2一生产过程有4道工序, 每道工序需要安排1人照看。现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲、乙2名工人中安排1人, 第四道工序只能从甲、丙2名工人中安排1人, 则不同的安排方案共有 () 。

A.24种B.36种

C.48种D.72种

解析1:“特殊位置优先”。

(1) 第一道工序是乙, 第四道工序是甲或丙, 则不同的安排方案有2A42种;

(2) 第一道工序是甲, 第四道工序是丙, 则不同的安排方案有A42种。

所以一共有2A42+A42=36种。

三、相邻元素“捆绑法”

解决某几个元素相邻问题时, 先“捆绑”再整体考虑, 即将相邻元素视作“一个”元素, 再与其他元素一起排列, 同时要注意“捆绑”元素内部的排列。

例3 8人排成一排, 甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁, 有多少种排法?

解析:先把这3个人 (相邻元素) “捆绑”在一起, 看做1个人, 有A22种排法, 再与其余5个人排成一排, 有A66种排法, 所以一共有A22A66=1 440种排法。

四、不相邻元素“插空法”

元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排列, 再把不相邻元素插入中间或两端。

例4排一张有8个节目的演出表, 其中有3个小品, 要求小品不能排在第一位, 也不能有两个小品排在一起, 有多少种排法?

解析:先排5个非小品 (无要求的元素) 的节目, 有A55种排法, 它们之间以及最后一个节目之后一共有5个空位, 将3个小品 (要求不相邻的元素) 插入这5个空位, 有A53种排法, 所以一共有A55A53=7 200种排法。

五、分排问题“直排法”

把元素排成几排的问题, 可按一排考虑, 再分段处理。

例5 8人排成前后两排, 每排4人, 甲、乙排在前排, 丙排在后排, 有多少种排法?

解析:前后两排可看成一排, 甲、乙排在前排有A42种排法, 丙排在后排有A41种排法, 其余5人排在剩余位置上有A55种排法, 故共有A42A41A55=5 760种排法。

六、“小团体”排列, “先团体后整体法”

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时, 可先按制约条件“组团”并视为一个元素, 再与其他元素排列。

例6用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数, 其中恰有两个偶数在1、5之间, 这样的五位数有多少个?

解析:先把1、5、2、4当做一个小集团与3排列共有A22种排法, 再排小集团内部共有A22A22种排法, 由分步计数原理共有A22A22A22=8种排法。

七、平均分堆问题用“除法”

不同元素平均分成n堆, 不管它们的顺序如何, 都是一种情况, 所以分堆后一定要除以Ann (n为均分的堆数) , 避免重复计数。

例7现有不同的书A、B、C、D、E、F, (1) 平均分给甲、乙、丙3人, 有多少种分法? (2) 平均分3堆, 每堆2本, 有多少分法? (3) 分给甲1本、乙1本、丙4本, 有多少分法? (4) 分成3堆, 分别为1本、1本、4本, 有多少分法?

解析: (1) 平均分给甲、乙、丙3人, 用乘法原理知有C62C42C22种分法。

(2) “平均分给甲、乙、丙3人”与“平均分3堆, 每堆2本”的区别举特例说明 (如表1) :

前者有序, 后者无序, 故有种分法。

(3) 分给甲1本、乙1本、丙4本, 用乘法原理知有C61C51C44=30种分法。

(4) “分成3堆, 分别为1本、1本、4本”与“分给甲1本、乙2本、丙4本”的区别举特例说明 (如表2) :

故有种分法。

八、排列组合混合问题, “先分堆后排列法”

例8有5个不同的小球, 装入3个不同的盒内, 每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法?

解析:5个不同的小球, 装入3个不同的盒内分两类:

(1) 先将5个球分成“1、1、3”三堆, 有C53种分法, 再将这3堆小球装入3个盒内, 有C53A33=60种装法;

(2) 先将5个球分成“1、2、2”三堆, 有种分法, 再将这3堆小球装入3个盒内, 有种装法。

故共有60+90=150种装法。

九、“两类元素”的排列, 用“组合选位法”

例9 10级楼梯, 要求7步走完, 每步可跨一级, 也可跨两级, 问有几种不同的跨法?

解析:由题意知, 完成这件事需有4步跨一级, 3步跨两级, 所以只要在这7步中任意选3步跨两级即可, 故共有C73=35种跨法。

例10沿图2中的网格线从顶点A到顶点B, 最短的路线有几条?

高中数学排列组合的多样解题思路 第9篇

一、直接法和间接法的应用

例1:同寝室的四个人都写了一张圣诞节贺卡, 由寝室长先把他们集中起来, 然后每人再从中取出一张别人送出的圣诞节贺卡, 那么共有多少种不同的分配方式呢?

解:设四个人分别是A, B, C, D, 则这道题有多种不同的解题思路。

解法一:分别举例法:可将取贺卡情况按照, A分别拿B, C, D的情形可分成三类, 即:

A拿B的贺卡, 有三种不同的分配方法;

A拿C的贺卡, 有三种不同的分配方法;

A拿D的贺卡, 有三种不同的分配方法。

由此可见, 贺卡的分配方式总共有3+3+3=9种。

解法二:可以从组合数或者排列数的公式的角度, 这时便存在着正向和逆向两种不同的思考途径, 也就有直接法和间接法两种不同的解题方法。

正向思考, 即直接法:先从A从B, C, D制作的贺卡当中取出一张, 则有三种取法, B的取法有3种, 剩下的两个人C, D的取法就只剩下一种, 则贺卡的分配方法总共有:33=9种。

逆向思考, 即间接法:从四个人取出四张不同贺卡中的所有取法减去其中只有一人取的是自己制作的贺卡, 有两个人取的是自己制作的贺卡, 四个人取的都是自己制作的贺卡这三种情况, A44-42-6-1=24-8-6-1=9种。

例2:从十个男同学和八个女同学当中选出五个代表来参加学校的辩论赛, 其中:

(1) 若女同学A和男同学甲都不可能当选, 则总共有几种选择方法?

(2) 若至少有一个女同学参加学校的辩论赛, 则总共有几种选择方法?

(3) 若至多有三个男同学参加学校的辩论赛, 则总共有几种选择方法?

解: (1) 直接方法:A和甲都不可能当选, 也就意味着要从剩下的九个男生和七个女生当中选出五个代表来参加学校的辩论赛, 由于是组合问题, 因此就有C516=4368.

间接方法:若不考虑A和甲则总共有C518种选择方法, A和甲都参加了学校的辩论赛, 就是从剩下的十六个同学当中选择三个参加的选择方法有C316种, 则A和甲都不参加的方式有C518-C316=4368种.

(2) 直接法:C81C410+C82C310+C83C210+C84C110+C85=8613;间接法:C518-C510=8613.

(3) 直接法:C310C82+C210C83+C110C84+C85=6636;间接法:C518- (C410C81+C510) =6636.

然而如果要选出五个人来参加学校的辩论赛, 变成担任五种不同的工作又要怎么解呢?这就从组合问题变成了排列问题。下面我们用一个类似的问题向大家阐述一下碰到这种类型的排列问题的不同的解题思路。

二、排列问题中多种解题方式

例3:假期到了, 有六个同学去勤工俭学, 经理给他们安排了六种不同的工作, 每人只能担任一个工作, 并且A因为身体问题不能担任其中的两项工作, 问这六个同学共有几种不同的分配工作的方法?

本题是一个典型的特殊元素处理的问题, 然而这种问题的解决方法有很多, 下面将会一一讲述, 希望会对同学们有所启示。

解法一 (元素分析法) :首先要先满足特殊的元素A, A能够担任的工作共有四种, 先分配A, 然后余下还有五种工作由其余五人分担, 共有A55种分配方式, 因此分配方式共有4A55=480种。

解法二 (位置分析法) :要先满足A这一个特殊的位置, 因为A不能担任其中的两项工作, 先由除A之外的五人当中任选两人担任A不能担任的某两项工作共有A52种分配方式, 然后由剩下的四个人包括A来分担余下的四项工作, 有A44种方法, 因此分配方法共有A52A44=480种。

解法三 (元素分析排除法) :先不考虑A这个限制条件, 每人分担一种工作, 一共可以有A66种方法, 但是其中却包含了A担任了他实际上不能担任的工作当中的任意一种, 而其余的五个人分担剩下工作共有A21A55种情况, 因此分配方法总共有A66-A21A55=480种。

解法四 (位置分析排除法) :每个人分担一种工作, 则总共有A66种分配方法, 而除了A以外的其余五人, 每次任选四人分别担任A能够胜任的四种工作, 剩下的包含A的两人担任剩下的A不能担任的工作, 则有A54A22种方法, 因此分配方法总有:A66-A54A22=480种。

解法五 (利用概率论的思想) :每个人分担一种工作总共有A66种方法, 而A担任每一种工作的几率是相等的, 都是1/2, 因此分配方法总共有种。

三、一些特殊问题的特殊处理方法

1. 表格法

例4:有红, 黄, 蓝颜色的球各五只, 分别标有A, B, C, D, E五个字母, 现在从中取出五只球, 要求每个字母都有而且三种颜色也都有, 则总共有多少种不同的取法?

2. 重排的问题

例5:要把六名实习生分配到七个车间进行实习, 共有多少种不同的分配方法?

解:允许重复排列的问题的特点是以元素为研究对象, 元素不受位置的约束, 可以逐个安排各个元素的位置, 一般的N个不同的元素没有限制地排在M个位置上共有MN种排列方法。

把第一名实习生分配到车间共有七种不同的分法, 把第二名实习生分配到车间也有七种不同的分法, 以此类推, 共有76种不同的排列方法。

同种类型的例题还有:一栋大楼共有八层, 在一楼的时候电梯里面上来了八名乘客, 他们到各自的一层下电梯, 那么下电梯的方法总共有78种。

四、总结

排列组合的解题方式还有很多, 绝不仅仅局限于以上所说那些方法。本文仅仅是一个参考, 希望大家在平常的学习当中能够多加留心, 多总结一些更好的办法, 这样在考试的时候才会游刃有余。

参考文献

[1]涂风琴.如何对高中生进行数学一题多解思维训练[J].华章. (教学探索) .

[2]苏文斌.高中数学教学中培养学生思维能力的探索[J].内蒙古师范大学学报 (教育科学版) .

排列组合问题解题方法综述 第10篇

一、利用加法及乘法原理

加法、乘法原理是计数的两条基本原理,全部计数公式的推导都基于这两个原理,所以常被用于排列组合的应用题中。除此以外,单独用加、乘原理来解题也有独到之处。

例1某少先队小队有10位同学,现每2人组成一个互帮互学小组,共有多少种分组方法?

解:将10位同学排成一横排,先由最左端的同学挑选一个伙伴,共有9种选法,再由剩余的8位同学中最左端的人挑选一个伙伴,有7种选法,,一直下去,由乘法原理知共有9753l=945种分组方法。

二、分类法

将要计数的集合按同一标准划分成若干个两两不相交的子集,即把整体分成若干个局部,使每一局部便于计数,在分类时必须做到既不重复也不遗漏。

例2有11位翻译,其中5人只会英语,4人只会日语,2人既会英语又会日语。现从11位翻译中选4名英文翻译和4名日文翻译,组成一个翻译小组,共有多少种选法?

解:以5位英语翻译为标准进行分类:

在选派的4名英文翻译中

(1)4人都只会英语,共有C54C64种。

(2)有3人只会英语,1人会英、日语,共有C53C21C54种。

(3)有2人只会英语,2人会英、日语,共有C53C21C54种。

所以,总选法有C54C64+C53C21C54+C53C21C54=185种。

三、排除法

排除法的基本思想就是:若集合A=B∪C,且B∩C=φ,则|B|=|A|-|C|.(|A|表示集合A的元素个数)

例3集合A=(-3、-2、-1、1、2、3、4)a、b∈A,Z=a+bi所表示的幅角主值大于45°的不同复数共有多少个?

解:显然幅角主值大于45°的复数比幅角主值小于等于45°的复数要多。现求0arg Z45°的复数个数,因为0arg Z45°的充要条件是045°的复数共有72-10=39个。

四、优限法

通过优先安排受限制的特殊元素和特殊位置的方法.

例4分配6人担任6种工作,某甲不担任其中某两种工作,共有多少种不同的分工方法?

解法一:优先安排特殊元素甲,我们从甲可担任的4种工作中选一种结果有C41种,再安排其余的5人有A55种,由乘法原理知共有C41A55=480种分工方法。

解法二:优先安排特殊位置“某两种工作”,我们从除甲外的5人选2人出来担任甲不能担任两种工作,共有A52种,再给余下的4人担任余下的4种工作,共有A44种,由乘法原理知共有A52A44=480种分工方法。

五、大元法

对于若干个元素要在一起的问题,通常是将这几个元素看成是一个大元素,再与其余的元素一起参加排列组合,这种方法就称为大元法。

例5把n个不同的球放入n个不同的匣子中,求恰有一个空匣子的放法?

解:先从n个不同的球中选出2个球,有Cn2种选法,并把选出的这两个球视为一个大元,与其余的有n-2个球一起放入n个匣子中,有Ann-1种放法,此时必有一个空匣,由乘法原理知,总的放法数为Cn2Ann-1种。

六、插空法

所谓插空法就是将一类元素或符号插入另一类元素的空档中,使之互不相邻的方法。

例6将8个“+”号和6个“-”号排成一排,求这些符号恰好变化5次后的排列种数。

解:先将6个“-”号排成一排,并从中间的5个空档中选出2个插入两块隔板“|”,将其任意分成有顺序的3组,这时,有C52种分组方法,其次再将8个“+”排成一排,这时有9个空档,我们将上述分成3组的6个“-”号中的前两组插入“+”中间7个空档中的2个,再把剩下的一组数放到首尾的空档中的一个,这时,有C72C21种插法,且这些符号恰好变化5次,故总的排法种数为C52C72C21=420种。

七、集合法

设集合Ai有ni个元素(i=1、2、、r),则从每一个集合各取一个元素的所有不同取法有n1n2ni种,这种方法称之为集合法。

例7某体育室现有相同的篮球5个,排球3个,足球2个,一个学生去借这些球一次借n个不限,问共有多少种借法?

解:因为篮球有不借、借1个、、借5个共6种借法,我们把这些借法用集合A={0、1、2、3、4、5}表示,同理排球和足球的借法分别用集合B={0、1、2、3}和C={0、1、2}记之,由集合法知不同的借法为643=72种。由于在集合A、B、C中都取0表示不借应排除,故满足题设的不同借法为72-l=71种。

八、配对法

配对法主要是基于配对原理:设集合A、B,若A与B能建立起一一对应关系,则|A|=|B|。

例8在装有号码为1、2、、N的球的球箱中,有放回地摸了n次球,依次记下其号码,试求这些号码按严格上升次数排列的可能种数。

解:一个从N个元素中选n个元素的组合对应一种从N个元素中选n个元素的严格上升排列,反之亦然。所以二者之间有一一对应关系。由于N个元素中选n个元素的组合有CNn种。故按严格上升次序的排列数也应有CNn种。

九、对称法

根据某事件或元素的对称地位来计数的方法。

例9从a、b、c、d、e、f中选4个作排列,求字母a在b前面的排法有多少种?

解:因为a、b以同等机会排在4个位置上,所以a排在b前面的排法与b排在a前面的排法种数一样多,又由于包含a、b在内的4个元素的排列,共有C42A 44种,所以a排在b前面的排法共C42A 44/2=72种。

十、递推法

所谓递推法就是利用递推关系找出计数方式的方法.

例10 5个方格排成一行,用红、黄、蓝3种颜色上色,但相邻两格不能同时涂上红色,求这5个方格有多少种上色方式。

解:用an表示这n个方格上色的种数。如果第一个方格涂红色,则第二个方格只能有黄色或蓝色两种选择,这时,后面的n-2个方格有an-2种上色方式,如果第一个方格涂黄色或蓝色,这时后面n-1个方格有an-1种上色方式,由此得递推式:

易求得当n=1时,a1=3;当n=2时,a2=8.

由递推式,a5=16a2+12a1=164,所以5个方格共有164种上色方式。

高中数学排列组合解题方法研究 第11篇

关键词：高中数学；排列组合；解题方法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）16-100-01

高中数学教学大纲将排列组合加入到高中数学教材中，该部分内容与学生的生活有紧密的联系，且具有较强的抽象性与灵活性，这也是学生学习起来比较难以掌握的地方。排列组合概念十分简单，而运用到实际解题中学生却容易出错。随着近几年高考题着重考察学生的抽象思维能力的变化，排列组合越来越受到高考题的青睐，往往会在选择、填空、应用题中出现，学生们往往一看见排列组合的题，就会心生畏惧，对解题形成了很大的心理障碍，以致于在这方面失分。这就要求教师在平时的教学中应教给学生解题策略，使学生掌握解题技巧，从而能够无所畏惧地进行解题。现结合多年的教学经验，对高中数学中排列组合的解题方法浅谈以下几点：

一、认真区分排列与组合，提高解题正确率

乍一看排列与组合的概念十分相似，许多同学对于这两个概念根本没弄清楚。因此，在平时的教学中教师就应该向学生讲解排列与组合概念的区别，让学生明白排列是有顺序的排列，而组合是无顺序的组合。让学生不仅对概念有更深层次的了解，在解题的过程中也能够充分运用好。若在解题过程中忽视了排列与组合的区别，容易得出错误的结果。如：将完全相同的4个红帽子和6个黑帽子排成一排，共有多少种不同的排法？在解这道题时有的同学没有认真读题，错误地认为是将10个相同的帽子进行排列，所以得出了 种排列方法。得出这样结果的同学在读题中未注意到完全相同的4个红帽子和6个相同的黑帽子，颜色相同的帽子即使发生了位置的变化，排法也是同一种。因此，应这样分析：10个帽子对应着10个位置，在10个位置中选择4个红帽子的位置，剩下的位置留给黑帽子，又因为4个红帽子是完全相同的，所以属于是组合的问题，因此得出的排法应该是 种。

在平时的教学中教师应指导学生多进行练习，并能够举一反三，让学生再次遇到类似的问题能够轻而易举地得出答案。

二、引导学生掌握常用的基本解题方法

1、插空法。

插空法在排列组合题目中较为常用，是指题目中要求某些元素不相邻，使用其他元素隔开，先将其他元素进行排列，再将题目中要求不相邻的元素插入到其他元素的空隙及两端。这一方法在“男女生座位”中更为多用。如：班级座位的一个纵列有7名女生和4名男生，要想将4名男生分开，任何2名男生不能前后相邻，问有多少种排法？通过分析可知7名女生不同排法有 种，7名女生中间的空隙及两端共有8个位置将4名男生插进去，共有A84种，因此，任何2名男生不得前后相邻共有 种排法。在平时的学习中应向学生灌输该方法的优点，让学生活学活用。

2、特殊优先法。

特殊优先法就是在解题过程中优先考虑有限制条件的元素，该方法在“小球排列”中较为多用。如：共有12个小球，其中1个白球，5个红球，6个蓝球，要求相同颜色的小球必须排在一起，且不能将白球放在两边，问共有多少种排法？在解这类题目时应将三种颜色的球看作一个整体，而白球受到了限制不能放在两边，所以应该优先考虑，其他两种颜色的球又各自全排列，因此，得到的结果是 种。

3、捆绑法。

指的是在解决要求某几个元素相邻问题时，可将相邻元素整体考虑。如：将7把椅子排成一列，其中a、b两把椅子必须排在一起，问共有多少种排法？类似于这样的题目可以使用捆绑法解决，将a、b两把椅子看成一个整体，与其余的5把椅子进行全排列共有 ，而a、b两把椅子的排列有 种，因此可得出共有 种排法。

在实际的教学中教师应指导学生以上以上三种常见的方法相结合，并能灵活运用。

三、引导学生进行实际操作，激发学生学习排列组合的兴趣

在排列组合的教学中教师若只是枯燥地讲解，或是留给学生大量的练习题，而并不是结合学生的实际进行操作，一来学生提不起学习的兴趣，二来不能提高做题效率。因此，在教学中教师应从实际出发，寻找与学生贴近的题目，如颜色球的排列、帽子的排列、油画的排列、占位子等等很多有趣的题目。教师可以利用这些题目让学生进行实际的操作，这样不仅激发了学生的学习兴趣，也间接提高了学生们的动手能力。例：占位子的问题，有五个从1-5编好号的同学，有5把同样编号的椅子，要求，只有两名同学坐在与其编号相同的椅子上，有多少种不同的方法？这样具有现实意义的题型，教师完全可以让学生亲自来体验，将五名同学和五把椅子编号，让学生在教师指导下，自己完成多种座位的方法，这样不仅调动了学生们学习的积极性，又活跃了课堂气氛，对学生们排列组合的学习是有极大益处的。

总之，在高中数学教学中，教师应注重排列组合的教学，多结合生活实际进行讲解，使学生根据不同类型的题目掌握不同的解题方法，以为后面概率的学习打下坚实的基础。而排列组合的解题方法不止上文提到的三种，在具体的教学中教师还应根据题目要求，选择合适的解题方法，有时候不同的解题方法间可结合运用，最终以学生掌握解题技巧为目的。

参考文献：

[1] 赵家林.排列组合在数学解题中的技巧探讨[J].数学学习与研究，2014（03）

[2] 王 庶.例析排列组合的常见题型[J].高中生学习（高二版），2014年11期

浅谈排列、组合的解题思路与方法 第12篇

1 分组 (堆) 问题

分组 (堆) 问题的6个模型: (1) 无序不等分; (2) 无序等分; (3) 无序局部等分; (4) 有序不等分; (5) 有序等分; (6) 有序局部等分.

处理问题的原则:

(1) 若干个不同的元素“等分”为n个堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以n!;

(2) 若干个不同的元素局部“等分”有n个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以n!;

(3) 非均分堆问题, 只要按比例取出分完再用乘法原理作积;

(4) 要明确堆的顺序时, 必须先分堆后, 再把堆数当作元素个数作全排列.

例1有4项不同的工程, 要发包给3个工程队, 要求每个工程队至少要分到一项工程, 共有多少种不同的发包方式?

解要完成发包这件事, 可以分为两个步骤.

(1) 先将4项工程分为3“堆”, 有.=6种分法

(2) 再将分好的3“堆”依次给3个工程队, 有3!=6种给法.

所以共有66=36种不同的发包方式.

2 插空法

解决一些不相邻问题时, 可以先排“一般”元素, 然后插入“特殊”元素, 使问题得以解决.

例2 7人排成一排, 甲、乙两人不相邻, 有多少种不同的排法?

解分两步进行.

第1步, 把除甲乙以外的一般人排列:有A55=120种排法.

第2步, 将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中 (插空) :有A62=30种插入法.

所以共有12030=3600种排法.

(几个元素不能相邻时, 先排一般元素, 再让特殊元素插空)

3 捆绑法

相邻元素的排列, 可以采用“局部到整体”的排法, 即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素, 然后再进行整体排列.

例3 6人排成一排, 甲、乙两人必须相邻, 有多少种不同的排法?

解可分两步进行.

第一步, 把甲乙排列 (捆绑) 有A22=2种捆法.

第二步, 把甲乙两人的捆看作一个元素与其它的排队有A55=120种排法.

所以共有2120=240种排法.

(几个元素必须相邻时, 先捆绑成一个元素, 再与其它的进行排列)

4 消序法 (留空法)

几个元素顺序一定的排列问题, 一般是先排列, 再消去这几个元素的顺序, 或者先让其它元素选取位置排列, 留下来的空位置自然就是顺序一定的了.

例4 5个人站成一排, 甲总站在乙的右侧有多少种站法?

解法1将5个人依次站成一排, 有A55种站法, 然后再消去甲乙之间的顺序数A22.所以甲总站在乙的右侧站法总数为.

解法2先让甲乙之外的3人从5个位置选出3个站好, 有A53种站法, 留下的两个位置自然给甲乙有1种站法.所以甲总站在乙右侧的站法总数为A531=A53.

变式如图1所示, 有5横8竖构成的方格图, 从A到B只能上行或右行共有多少条不同路线?

解如图2所示, 将一条路径抽象为如图的一个排法 (5-1) + (8-1) =11格.其中必有4个↑和7个组成.所以从A到B共有C5-1 (5-1) + (8-1) =C411条不同的路径.

也可以看作是1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, (1) , (2) , (3) , (4) 顺序一定的排列, 有种排法.

5 剪截法 (隔板法)

n个相同小球放入m (mn) 个盒子里, 要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同的小球穿成一串, 从间隙里选m-1个结点剪截成m段.

例5某校准备参加今年高中数学联赛, 把16名选手名额分配到高三年级的1-4个教学班, 每班至少一个名额, 则不同的分配方案共有_______种.

解问题等价于把16个相同的小球放入4个盒子里, 每个盒子里至少有一个小球的放法种数问题.

将16个小球穿成一串, 截为4段有C315=455种截断法, 对应放到4个盒子里, 因此, 不同的分配方案共有455种.

变式某校准备参加今年高中数学联赛, 把16个选手名额分配到高三年级的1-4个数学班, 每班的名额不少与该班序号数, 则不同的分配方案共有多少种?

解问题等价于先给2班1个, 3班2个, 4班3个, 再把剩余的10个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的方法种数问题.

将10个小球穿成一串, 截为4段有C93=84种截断法, 对应放到4个盒子里.

因此, 不同的分配方案共84种.

6 错位法

编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里, 每个盒子里放一个小球, 要求小球与盒子的编号都不同, 这种排列称为错位排列.

特别当n=2, 3, 4, 5时的错位数各为1, 2, 9, 44.

例6编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里, 每个盒子放一个小球, 其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有多少种?

解选取编号相同的两组球和盒子的方法有C93=15种, 其余4组球与盒子需错位排列有9种方法.

故所求方法有:159=135种.

7 剔除法

从总体中排除不符合条件的方法数, 这是一种间接解题的方法.

排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系, 从而增加了问题的综合性, 解答这类应用题时, 要注意使用相关知识对答题进行取舍.

例7一正方体的顶点为顶点的四面体有多少种?

解正方体8个顶点从中每次取4个, 理论上可构成C84种四面体, 但6个表面和6个对角面的4个顶点共面就不能构成四面体, 所以四面体实际有C84-12=58个.

8 圆排问题线排法

n个元素圆排列数有种.

例8 5对姐妹站成一圈, 要求每对姐妹相邻, 有多少种不同的站法?

解首先让5对姐妹站成一圈, 共有A44种, 然后再让妹妹插入其间, 每位均可插入其姐姐的右边或左边, 有2种方式, 不同的安排方式有2425=768种.

9 可重复的排列求幂法

重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复, 另一类不能重复, 把不能重复的元素看作“客”, 能重复的元素看作“店”, 则通过“住店法”可顺利解题, 在这类问题使用住店处理的策略中, 关键是在正确判断哪个是底数, 哪个是指数.

例9 8名同学争夺3项冠军, 获得冠军的可能性有 () .

(A) 83 (B) 38 (C) A38 (D) C38