判断函数单调性的方法-盘古文库

判断函数单调性的方法

资料大全

来源：开心麻花

作者：开心麻花

2025-09-19

判断函数单调性的方法（精选9篇）

判断函数单调性的方法第1篇

判断函数单调性的常用方法

一、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.【例1】证明：当x0时，xln(1x)。

f(x)11x0 1x1x证明：令f(x)xln(1x)所以，当x0时，f(x)0，所以f(x)为严格递增的

f(x)f(0)0ln(10)0，所以xln(1x)。

二、性质法

除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；

⑵ f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；

⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；

三、同增异减法

是处理复合函数的单调性问题的常用方法.对于复合函数y＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t＝g(x)，则三个函数 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.设单调函数yf(x)为外层函数，yg(x)为内层函数(1)若yf(x)增，yg(x)增，则yf(g(x))增.江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

(2)若yf(x)增，yg(x)减，则yf(g(x))减.(3)若yf(x)减，yg(x)减，则yf(g(x))增.(4)若yf(x)减，yg(x)增，则yf(g(x))减.例1.求函数f(x)2x2x2的单调区间.教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法.解题过程：

ty2外层函数： 2内层函数：txx2

y1x[,]2内层函数的单调增区间： 1x[,]2 内层函数的单调减区间：

12x由于外层函数为增函数

1x[,]2所以，复合函数的增区间为： 1x[,]2 复合函数的减区间为：

四、求导法

导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点

求函数值域的常用方法 1．观察法

用于简单的解析式。

y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法

多用于二次(型)函数。

y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3.换元法

多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√(x-1)+2 令t=√(x-1), 则t≤0, x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].4.不等式法

用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1),(01/(e-1), y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5.最值法

如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6.反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7.单调性法

若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为 [f(b), f(a)].8.数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像法求函数的值域.例1 已知函数取值范围.解: f(x)4xax223x(xR)1,13在区间上是增函数,求实数a的江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函

'f(x)0f数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则(x)0”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.2f(x)x1ax,其中a0,求a的取值范围,使函数f(x)类型题1: 设函数在(0,)上是单调函数.2kxyxe在(0,1)上单调递增,求实数k的取值范围.类型题2: 函数

例2讨论下列函数单调性（1）f(x)kxb（2）

f(x)kx

江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

322f(x)xaxbxc其中a,b,c为实数）类型题1: 函数，当a3b0时f(x)是（）

A、增函数 B、减函数 C、常数 D、既不是增函数也不是减函数

kxf(x)xe(k0)．求函数f(x)的单调区间；类型题2: 设函数

1.下列函数中,在区间

上为增函数的是().A．

C．

2．函数

A．

3．A．

4．当是（）

B．

D．的增区间是（）。

B．

C．在

B．时，函数

C．

D．

上是减函数，则a的取值范围是（）。D．的值有正也有负，则实数a的取值范围江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

A．

填空题

1．在或减)．

2．函数减函数,则

3．已知为_______．

4．函数是_______．

5．若函数 B． C． D．

都是减函数,则在上是____函数(填增,当

．

时,是增函数,当时是

是常数),且 ,则的值

在上是减函数,则的取值范围

在区间上是减函数，则实数的取值范围是__________．

6．已知函数的单调性：

①

②（为常数）是___________；（为常数）是___________；在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列

③

7．设是____________；

④，是增函数，和，是__________．是减函数，则是_______函数．是_______函数；

解答题

1．判断一次函数 2．证明函数的单调性.在

是________函数；

单调性.上是增函数，并判断函数

在

上江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

3．判断函数

4．求函数

5．函数的单调性.的单调递减区间.对于，有意义，且满足条件是非减函数，（1）证明，；（2）若

成立，求的取值范围．

6．函数

7．求证：，在，求函数

上不是单调函数．

在

上是减函的单调区间．

8．根据函数单调性的定义，证明函数数． 9．设是定义在

上的增函数，的x的取值范围.，且，求满足不等式

课后习题答案江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

1．D 2．A 3．A 4．C

1．减 2．13 3．1 4．减函数；②增函数；③增函数；④减函数 7．减；减；增 1．一次函数，即

时，一次函数

是减函数.；当的定义域是R.设

.时，是增函数；当，即

5． 6．①，且，∴当

时，则

.综上，当

时，一次函数

2．设，则由已知，∴，有，即在

.∴函数

在

上是增函数.，即

在

上都是增函数，∴

上是增函数.3．函数的定义域是

上是减函数，∴

4．由

得

„①.令在

只需求

.∵函数在或

在上是增函数，在

上是减函数（“同增异减”）..∴函数的定义域是，则

化为的单调递减区间，即满足①.上是增函数，∴求的单调递减区间，且满足的单调递减区间是的单调递减区间是

5．解：（1）在，又，„②.由①和②知，函数

中令

．，则有江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

（2），利用为非减函数，有，解之，得

6．解：设

①当增减性，由

当

②当增减性，由

当

综上所述，调减区间是

7．解：设和时，即时，时，时，即时，时，是增函数，这时得

或是增函数，是减函数，是减函数，这时得

是减函数，是增函数，的单调增区间是，则

与与

具有相同的为增函数；为减函数；

具有相反的为增函数；为减函数；

和，单

于是，当

故在

时，①，则①式大于0；

上不是单调函数江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

8．解：设

则

，且，那么，且在与中至少有一个不为0，不妨设

其它证法：设

则

，故，在，且

上为减函数，的符号

下面讨论

若

综上可知函数.9．依题意，得，则，则，则

；

；，故

在

上是减

又，于是不等式

.∴x的取值范围是

化为.由得江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

江北观音桥步行街阳光城16楼A3/A4 Tel：67867713 89312123 89312125

判断函数单调性的方法第2篇

函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。

一、证明方法步骤为：

① 在给定区间上任取两个自变量x1、x2且x1＜x2 ② 将fx1与fx2作差或作商（分母不为零）

③ 比较差值（商）与0（1）的大小 ④ 下结论，确定函数的单调性。

在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。

二、常见的类型有两种：

（一）已知函数的解析式：

1例1：证明：函数fx=在x∈（1，+∞）单调递减

1例2：证明：函数fx=x+x+1在x∈R时单调递增

3[1，+）时单调递增例3：证明：函数fx=x-1在x∈2

例4：讨论函数fx=x+

1在（1，+）的单调性，并求最小值 x-1

例5：求函数fx= x+2的单调区间 x-1+）单调递增练习：

1、证明函数fx=x+（a＞0）在（a，2、讨论函数fx=1+x-x的单调性

2ax

（二）fx抽象函数的单调性：

抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例：

例1：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞0时，＞0.证明：f(x)在R上单调递增.例2：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.例3：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，1.若f(x)0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.练习：

1、已知函数

fx对于任意的x、y∈R，fx+fy=fx+y，且当x＞0时，fx＜0；f1=-23.f(x)＞f(x)＞总有（1）求证：fx在R上是减函数

（2）求fx在[-3，3]上的最大值与最小值

2、已知函数fx的定义域为R，且m、n∈R，恒有fm+fn=fm+n+1，且f-＞-1=0，当x21时，fx＞0.2（1）求证：fx是单调递增函数（2）求fx在[-2,2]的最大值与最小值.3、定义在R上的函数fx恒为正，且满足fx+y=fxfy，当x＞0时，fx＞1.（1）证明：fx在R上单调递增.2（2）若函数fx的定义域为[-1,1]时，解不等式fx-1＞f2x



4、函数fx的定义域为R，对于任意的a、b∈R皆有fa+fb=fa+b+1，且x＞0时，fx＞1（1）求证：fx是R上的增函数

2（2）若f4=5，解不等式f3m-m-2＜3

试论复合函数单调性的判断方法第3篇

①y=f (u) , u=φ (x) 都是增函数或都是减函数的, 则y=f[φ (x) ]为增函数;

②若y=f (u) , u=φ (x) 一个是增函数另一个是减函数, 则y=f[φ (x) ]为减函数.

证明:①若y=f (u) , u=fφ (x) 都是增函数, 在所讨论的区间里任意选取x1和x2, 且x1<x2, 因为u=φ (x) 是增函数, 所以φ (x1) <φ (x2) , 即u1<u2, 又因为是增函数y=f (u) , 所以f (u1) <f (u2) , 即f[φ (x1) ]<f[φ (x2) ], 从而y=f[φ (x) ]是增函数.用类似的方法可以证明若y=f (u) , u=φ (x) 都是减函数时, y=f[φ (x) ]也是增函数.

②若y=f (u) 是增函数, u=φ (x) 是减函数, 在所讨论的区间里任意选取x1和x2, 且x1<x2, 因为u=φ (x) 是减函数, 所以φ (x1) >φ (x2) , 即u1>u2, 又因为y=f (u) 是增函数, 所以f (u1) >f (u2) , 即f[φ (x1) ]>f[φ (x2) ], 从而y=f[φ (x) ]是减函数.用类似的方法可以证明若y=f (u) 是减函数, u=φ (x) 是增函数时, y=f[φ (x) ]也是减函数.

例1.求函数y=arcsin (sinx) 的增减性.

解析:该函数的定义域是-∞<x<+∞, y=arcsinu是增函数, u=sinx在 $(- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π)$ 上是增函数, 在 $(\frac{π}{2} + 2 k π, \frac{3 π}{2} + 2 k π)$ 上是减函数.由定理1可知:

y=arcsin (sinx) 在 $(- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π)$ 上是增函数, 在 $(\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{3 π}{2} + 2 k π)$ 上是减函数.

例2.求函数y=2cosx+cos2x的增减性和极值.

解:该函数的定义域是-∞<x<+∞, f (x) =2cosx+cos2x=2cos2x+2cosx-1由y=2u2+2u-1和u=cosx复合而成, -1≤u≤1.

因为f (x+2π) =2cos2 (x+2π) +2cos (x+2π) -1=2cos2x+2socx-1=f (x)

所以f (x) 是周期函数, 其周期是2π, 则只需要在[-π, π]的区间讨论.

$y = 2 u^{2} + 2 u - 1 = 2 (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{3}{2}$ 在 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ 上是减函数, 在 $[- \frac{1}{2}, 1]$ 上是增函数.

u=cosx在[-π, 0]上是增函数, $- π \leq x \leq - \frac{2}{3}, - 1 \leq U \leq - \frac{1}{2}$ ;

所以f (x) 在 $[- π, - \frac{2}{3} π]$ 上是减函数, $- \frac{2}{3} π \leq x \leq 0, - \frac{1}{2} \leq u \leq 1$ ;

f (x) 在 $[- \frac{2}{3} π, 0]$ 上是增函数.

u=cosx在[0, π]上是减函数, $0 \leq x \leq - \frac{2}{3} π, - \frac{1}{2} \leq u \leq 1$ ;所以f (x) 在 $[0, \frac{2}{3} π]$ 上是减函数, $\frac{2}{3} π \leq x \leq π ‚ - 1 \leq u \leq - \frac{1}{2}, f (x)$ 在 $[\frac{2}{3} π, π]$ 上是增函数.

f (x) 在x=±π, x=0时取极大值, f (±x) =-1, f (0) =3, 在 $x = \pm \frac{2}{3} π$ 时取极小值, $f (\pm \frac{2}{3} π) - \frac{3}{2}$ , 由周期性f (x) 在 $[- π + 2 k π, - \frac{2}{3} π + 2 k π]$ 上是减函数, 在 $[- \frac{3}{2} π + 2 k π, 2 k π]$ 上是增函数, $[2 k π, \frac{3}{2} π + 2 k π]$ 上是减函数, 在 $[\frac{2}{3} π + 2 k π, π + 2 k π]$ 上是增函数.当x=2kπ±π时, f (x) 取极大值-1, 当x=2kπ时, 取极大值3, 当 $x = 2 k π \pm \frac{2}{3} π$ 时, f (x) 取极小值 $- \frac{3}{2} (k \in Ζ) .$

定理推广:设y=fn{fn-1[Λf1 (x) ]}由n个函数f1 (x) (i=1, 2, 3, Λ, n) 复合而成.①若fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, n) 中减函数的个数是偶数, 则y=fn{fn-1[Λf1 (x) ]}为增函数;②若fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, n) 中减函数的个数是奇数, 则y=fn{fn-1[Λf1 (x) ]}为减函数;

证明:①当n=2时, 由判断定理可知命题成立;假设当n=k时命题成立.

如果fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, k+1) 中减函数的个数是偶数, 构成的复合函数是:

y=fk+1{fk[Λf1 (x) ]}, 若y=fk+1 (u) 是增函数, 则fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, k) 中减函数的个数仍是偶数.由归纳假设u=fk{fk+1[Λf1 (x) ]是增函数, 由判断定理可知:

y=fk+1{fk[Λf1 (x) ]}是增函数.若y=fk+1 (u) 是减函数, 则fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, k) 中减函数的个数仍是奇数.由归纳假设u=fk{fk-1[Λf1 (x) ]}是减函数, 由判断定理可知:

y=fk+1{fk[Λf1 (x) ]}也是增函数.

同理可证:fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, k+1) 中减函数的个数是奇数, 那么, y=fk+1{fk[Λf1 (x) ]}是减函数.这说明n=k+1时命题成立.由数学归纳法可知命题对n>2的一切自然数都成立.

由定理的推广得到:在所讨论的区间里, 复合函数的单调性, 可以通过构成复合函数的各函数中减函数的个数来确定.

例3.f (x) =ax (0πaπ1) , y=aaΛax由n个f (x) 复合而成, 讨论其增减性.

解析:该函数的定义域是-∞<x<+∞, f (x) =ax (0πaπ1) 是减函数.如果n是偶数, 那么, y=aaΛax在 (-∞<x<+∞=上是增函数;如果n是奇数, 那么, y=aaΛax在 (-∞<x<+∞=上是减函数.

例4.求函数 $y = 1 g \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8}$ 的增减性和最大值.

解析:函数的定义域是-x2+2x+8ϕ0, 即 $- 2 π x π 4 ‚ y = 1 g \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8} y = 1 g u, u = \sqrt{v} ‚ v = - x^{2} + 2 x + 8$ 复合而成.y=1gu和 $u = \sqrt{v}$ 都是增函数, v=-x2+2x+8=- (x-1) 2+9, 在 (-2, 1]上是增函数, 在[1,4]上是减函数.

所以 $y = l g \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8}$ 在 (-2, 1]上是增函数, [1,4]在上是减函数.

函数在x=1时有最大值, y最大值=1g3.

从这个定理我们可以看出, 对于比较复杂的复合函数的单调性, 可以将其分解为只要讨论简单的基本函数的单调性就可以了, 这种思路清楚、方法简单, 特别是对于中学生很管用。

摘要：对于复合函数, 判断其单调性是数学中的一个重点知识, 也是一个难点问题.要判断一个复合函数的单调性往往使学生感到困惑.笔者从多年的教学实践中发现, 出现这个问题的主要原因是, 没有真正地理解单调函数和复合函数, 认为减函数与减函数复合还是减函数, 增函数与增函数复合还是增函数;再则没有掌握一定的判断方法.本文主要探讨如何化繁为简, 把复合函数的单调性问题化为基本函数的单调性问题.

关键词：复合函数,单调性,判断方法

参考文献

[1]汪浩.数学分析.上海科技出版社, 2001.6.

[2]傅海伦.数学教育概论.北京科学出版社, 2004.

[3]侯建军.谈高职数学教学中应用能力的培养.职业教育研究, 2006.5.

浅谈函数单调性的应用第4篇

1．函数单调性应用的常见几类问题

1．1 定义证明函数的单调性

利用函数单调性定义来判定函数的单调性，能更深刻的理解概念

例1 讨论f(x)=1-x2在区间［-1,1］上的单调性

解：设x1,x2∈［-1,1］且x1＜x2即-1≤x1＜x2≤1

则f(x1)-f(x2)=1-x21=1-x21-(1-x22)1-x21+1-x22=(x2-x1)(x2+x1)1-x21+1-x22

当x1＞0，x2＞0时x1+x2＞0那么f(x1)＞f(x2)

当x1＜0，x2＜0时x1+x2＜0那么f(x1)＜f(x2)

故f(x)=1-x2在区间［-1,0］上为增函数f(x)=1-x2在区间［0,1］上为减函数

1．2 利用函数单调性比较大小

比较两个含有幂指数的大小，往往显得比较复杂，把其转化为函数，利用函数的单调性就显的比较容易.

例2 比较20062007与20072006的大小

解:经过归纳，我们可以发现，当n=1,2时nn+1＜(n+1)n当n=3,4,5时nn+1＞(n+1)n因此可以猜测当n＞3时nn+1＞(n+1)n下面构造函数f(x)，利用函数的单调性证明nn+1＞(n+1)n

构造函数f(x)=xx+1(x+1)x(x≥3)则有

f(x+1)-f(x)=(x+1)x+2(x+2)x+1-xx+1(x+1)x=(x+1)2x+2-［x(x+2)］x+1(x+2)x+1(x+1)x=(x2+2x+1)x+1-(x2+2x)x+1(x+2)x+1(x+1)x＞0

所以函数f(x)在［3,+∞)∩Z上单调增加

因为f(3)=3443=8164＞1 故当n＞3时，f(n)=nn+1(n+1)n＞1

即nn+1＞(n+1)n 所以20062007＞20072006

1．3 求函数最值

根据函数单调性的增加（或减少）的性质，来解决函数的最值问题，问题显的更加简洁，容易解决

例3 已知数列{an}中，a1=1且点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

（1）求数列{an}的通项公式

（2）若f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N,n≥2)求f(n)的最小值

解:（1）因为点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

所以an+1-an=1 由{an}是首项和公差为1的等差数列故an=n

（2）因为f(n)=1n+1+1n+2+…+12n

f(n+1)-f(n)=1n+2+1n+3+…+12n+2-1n+1+…+12n

=12n+1+12n+2-1n+1=1(2n+1)(2n+2)>0

所以f(n)为增函数由f(n)≥f(2)=12+1+12+2=712则f(n)min=712

1．4 函数单调性在不等式中的应用

不等式是数学中重要组成部分，在实际应用中，最为简捷的方法，利用函数单调性来解决不等式中的问题.

例4 a,b∈R+ a+b=1,求解a+1ab+1b的最值.

解由a+1ab+1b=ab+2ab+2而0＜ab≤a+b22=14

令ab=x0＜x≤14构造函数f(x)=x+2x+2则f′(x)=1-2x2

显然当0＜x＜2时，f′(x)＜0又f(x)在x∈(0,2］上为严格单调减函数,f(x)在x∈0,14为减函数当x∈0,14时,f(x)≥f14则x+2x+2≥14+8-2=254

所以ab+2ab-2≥254即a+1ab+1b≥254

1．5 利用单调性解决数列问题

数列{an}中的an是以n为自变量的函数，所以在解决有关数列的最值问题时，可考察其单调性.

例5 已知an=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N+),

若an＞2b-5恒成立,且b为自然数.求b的最大值

解因为an=1n+1+1n+2+…+13n+1 an+1=1n+2+1n+3+…+13n+4

则an+1-an=13n+2+13n+3+13n+4-1n+1=13n+2+13n+4-23n+3

=23(n+1)(3n+2)(3n+4)＞0

所以an+1>an所以数列｛an｝是递增数列

{an}min=a1=12+13+14=1312

则由2b-5＜1312可解得b＜7324

2. 函数单调性在高考中的应用

函数是高中数学的重要内容,是高考重点考察的对象，也是常考不衰的考点不但考察函数单调性的概念，而且更主要的是考察其思想.

例6 （2005年全国卷Ⅱ）设函数f(x)=2｜x+1｜-｜x-1｜，求f(x)≥22使的取值范围？

解:要求f(x)≥22即2｜x+1｜-｜x-1｜≥22

又y=2x是增函数所以｜x+1｜-｜x-1｜≥32 (1)

1. 当x≥1时｜x+1｜-｜x-1｜=2时(1)恒成立

2. 当-1＜x＜1时｜x+1｜-｜x-1｜=2x(1)式化为2x≥32得x≥34

即34≤x＜134≤x＜1

3. 当x≤-1时｜x+1｜-｜x-1｜=-2 (1)式无解

综上x取值范围34,+∞

复合函数的单调性的证明第5篇

例

1、已知函数yf(x)与yg(x)的定义域都是R，值域分别是0,与,0，在R上f(x)是增函数而g(x)是减函数，求证:F(x)f(x)g(x)在R上为减函数.分析：证明的依据应是减函数的定义.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则F(x1)F(x2)f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)

f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)g(x2)g(x2)f(x1)f(x2)

f(x)是R上的增函数，g(x)是R上的减函数，且x1x2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)即f(x1)f(x2)0，g(x1)g(x2)0.又f(x)的值域为0,，g(x)的值域为,0，f(x1)0,g(x2)0.F(x1)F(x2)0即F(x1)F(x2)

高中数学函数单调性的教学探讨第6篇

崔兴清

(陕西省汉台中学)

摘要：众所周知，在我国的高中教育中，数学教学占据了重要的地位。高中数学有其教学的复杂性，因此，只有在教学中运用正确的教学方法才能取得事半功倍的效果。高中数学教学中函数的单调性问题让许多学生感到头疼，学生无法对这一知识点进行掌握和理解。但是，函数的单调性问题又在生活和生产中有着很多用途。因此，在高中数学教学中，老师应该根据学生学习的特性，采取合适的方法进行函数单调性的教学。

对数函数的单调性、奇偶性的运用第7篇

张军丽

一、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1

当0loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则

所以，b1

所以，b1>b2，即举一反三：

【变式1】（2011 天津理 7）已知

A．

解析：另

B．，C．，则（）

D．，令b2=loga5.9，则

.当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9

当0

又∵为单调递增函数，∴

2.证明函数

故选C.上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设

举一反三：

【变式1】已知f(logax)=的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

则

又∵y=log2x在即f(x1)

上是增函数.上是增函数

∴函数f(x)=log2(x2+1)在∵ 01，∴ f(t1)

解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥

=-2，即函数的值域为[-2，+∞.(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即

再由：函数y=-1

二、函数的奇偶性

4.判断下列函数的奇偶性.(1)

(2)

.t(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数

是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由

以函数的定义域为R关于原点对称

即f(-x)=-f(x)；所以函数

所

又

.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用

5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现：使u能取遍一切正数的条件是

.的解集为R，解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有∴ a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数

a>1.a=0或

0≤a≤1，∴ a的取值范围为0≤a≤1.6．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；

(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函数y=log2x

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函数，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0(1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+

<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)

判断函数单调性的方法第8篇

复合函数的概念在中学数学课本中未曾提及, 但很多考题中都涉及到复合函数的单调性的问题.可见, 了解复合函数的概念, 理解复合函数的性质, 掌握复合函数求单调区间的方法是十分必要的.

一般的说, 若函数y=f (u) 的定义域为U, 而函数u=g (x) 的定义域为X, 值域为U*, 并且U*包含在U内, 也就是说, 函数u=g (x) 的值域不超出函数y=f (u) 的定义域U的范围, 那么对于X内的每一个值x, 经过中间变量u, 相应地得到唯一确定的一个值y, 于是y经过中间变量u而成为x的函数, 即为y=f (g (x) ) , 这种函数称为复合函数.从整个定义来看, 函数u=g (x) 的值域要充当函数y=f (u) 的定义域, 因此, 函数u=g (x) 的值域 U*不能超出函数y=f (u) 的定义域U, 这是极其重要的.因为它限定了复合函数单调区间的范围.

在了解了复合函数的定义后, 结合复合函数的定义, 我们得到一种求复合函数单调性的方法“同增异减法”.

对于复合函数y=f (g (x) ) , 设u=g (x) , 则y=f (u) .

(1) 当x∈X1时, u=g (x) 在X1上单调递增, 且u∈U1, 而y=f (u) 在U1上单调递增, 则y=f (g (x) ) 在上X1单调递增.

(2) 当x∈X2时, u=g (x) 在X2上单调递减, 且u∈U2, 而y=f (u) 在U2上单调递减, 则y=f (g (x) ) 在X2上单调递增.

(3) 当x∈X3时, u=g (x) 在X3上单调递减, 且u∈U3, 而y=f (u) 在U3上单调递增, 则y=f (g (x) ) 在上X3单调递减.

(4) 当x∈X4时, u=g (x) 在X4上单调递增, 且u∈U4, 而y=f (u) 在U4上单调递减, 则y=f (g (x) ) 在上X4单调递减.

下面, 我们证明 (1) , 其余同理可证.

设x1, x2∈X1, 且x1<x2.

因为u=g (x) 在X1上单调递增, 所以g (x1) <g (x2) , 即u1<u2.

又因为y=f (u) 在U1上单调递增, 且u1, u2∈U1, 所以f (u1) <f (u2) , 即y1<y2.

所以当x∈X1时, y= (g (x) ) 在X1上单调递增.

综合 (1) , (2) , (3) , (4) 可知, f (u) 与g (x) 单调性相同时, f (g (x) ) 就是单调递增的;单调性相反时, 则f (g (x) ) 递减.简单的说, 就是“同增异减”.

我们来看下面两个例题, 分解“同增异减法” 的解题步骤, 并强调其注意事项.

例1 求函数y=lg (x2-5x+6) 的单调区间.

解令u=x2-5x+6, 则y=lg u, 其中u>0, 即x2-5x+6>0, 解得:x<2或x>3.

所以函数y=lg (x2-5x+6) 的定义域是 (-∞, 2) ∪ (3, +∞) .

作出函数y=lg u与u=x2-5x+6的图像如图1所示.

由图1可知, 当x<2时, u=x2-5x+6单调递减且u>0, 此时, lg u单调递增, 则y=lg (x2-5x+6) 在 (-∞, 2) 上单调递减;

当x>3时, u=x2-5x+6单调递增且u>0, 此时lg u单调递增, 则y=lg (x2-5x+6) 在 (3, +∞) 时单调递增.

由上可见, 求复合函数单调性时, 设出中间变量, 求出复合函数的定义域, 然后在定义域内, 分别讨论内外函数的单调性, 最后由“同增异减”综合得到复合函数的单调区间.易错点在于不顾及函数的定义域, 孤立的讨论内外函数的单调性, 而后机械地合并在一起.常见错解如下:

当 $x < \frac{5}{2}$ 时, u=x2-5x+6单调递减, y=lg u单调递增, 所以y=lg (x2-5x+6) 单调递减;

当 $x ＞ \frac{5}{2}$ 时, u=x2-5x+6单调递增, y=lg u单调递增, 所以y=lg (x2-5x+6) 单调递减.

例2 已知f (x) = (x-1) 2, g (x) =x2-2, 求f (g (x) ) 的单调区间.

首先, 我们来看下面的解法.

解作出函数g (x) =x2-2和f (x) = (x-1) 2的图像如图2所示.

当x<0时, g (x) 单调递减, f (x) 单调递减, f (g (x) ) 单调递增;当0<x<1 时, g (x) 单增, f (x) 单减, f (g (x) ) 单减;当x>1时, g (x) 单增, f (x) 单增, f (g (x) ) 单增.

但是, 上述做法是错误的.原因有二:其一, 对于复合函数f (g (x) ) 而言, g的自变量是x, 但f的自变量是中间变量g, 即g的值域是f的定义域.这里明显将x与中间变量混为一体, 故错;其二, 没有考虑到g的值域在充当f的定义域时, 它所在单调区间的变化.正确解答如下:

令u=g (x) =x2-2, 则

y=f (u) = (u-1) 2

如图2, 当u1 时, y = (u-1) 2单调递减, 此时x2-21, 解得 $- \sqrt{3} x \sqrt{3}$ ;当u>1时, y= (u-1) 2单调递增, 此时x2-2>1, 解得 $x ＜ - \sqrt{3}$ 或 $x ＞ \sqrt{3} .$

对于函数u=x2-2而言:

(ⅰ) 当 $- \sqrt{3} x 0$ 时, u单调递减且-2u1, 此时, y= (u-1) 2单调递减, 所以y=f (g (x) ) 在 $(- \sqrt{3}, 0)$ 上单调递增;

(ⅱ) 当 $0 ＜ x \sqrt{3}$ 时, u单调递增且-2u1, 此时, y= (u-1) 2单调递减, 所以y=f (g (x) ) 在 $(0, \sqrt{3}]$ 上单调递减;

(ⅲ) 当 $x ＜ - \sqrt{3}$ 时, u单调递减且u>1, 此时, y= (u-1) 2单调递增, 所以y=f (g (x) ) 在 $(- \infty, - \sqrt{3})$ 上单调递减;

(ⅳ) 当 $x ＞ \sqrt{3}$ 时, u单调递增且u>1, 此时, y= (u-1) 2单调递增, 所以y=f (g (x) ) 在 $(\sqrt{3}, + \infty)$ 上单调递增,

总结以上例题可知, 用“同增异减法”求复合函数单调性时, 一要注意函数的定义域, 因为一切单调区间必取自定义域;二要分清中间变量的值域作为该函数的定义域时, 所在的单调区间.

高中数学函数单调性的解法分析第9篇

关键词：高中数学；函数单调性；解法

【分类号】G634.6

前言：在近几年的高考当中，对于函数单调性、单调区间、最值和极值等方面知识的考察十分的重视，数学试卷中关于函数单调性的题目所占比例也在不断的增加。由于高考对于函数单调性的考察多种多样、十分灵活，所以学生在平常的学习中，一定要充分理解函数单调性的概念和特点，掌握扎实、牢固的函数相关基础知识。同时教师在课堂教学中要对相关知识点进行深入的剖析和详尽的讲解，尽量的让学生掌握更多的函数单调性解题方法，从而应对高考中的各类相关试题。

1.函数单调性的定义和应用

1.1函数单调性的定义

高中数学教材中，对函数单调性的定义是：设函数y=f（x）的定义域为A，且区间I?A。对于区间I内的任意两个值x1和x2，如果当x1f（x2），那么y=f（x）在区间I中就是单调减函数，区间I就是函数y=f（x）的单调减区间。如果y=f（x）在区间I中是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I中具有单调性。在函数的单调区间内，如果是單调增函数，其函数图像是上升的，如果是单调减函数，则其图像是下降的。

1.2函数单调性的作用

在初中时，我们学过一次函数和二次函数，通过对其图像的分析，对函数的增减性有了一个初步的了解。进入高中之后，系统的对函数单调性的知识进行了学习，通过数形结合的方式进一步了解了函数单调性的含义[1]。函数单调性是对自变量变化的研究，学生在以后学习不等式和导数等其它数学知识的时候，都会用到运用函数单调性的相关知识，在考试做题中，也会大量的用到函数单调性。

2.函数单调性的解法

2.1利用函数单调性的定义的解法

利用函数单调性的定义是一种比较直接、有效的解题方法。要想解析函数的单调性，首先就要确定其区间范围。其次要注意对于带有无理式的函数，在利用定义解题的过程中，要注意无理式的有理化。

例如：已知函数f（x）=根号下（x2+1）-ax（a>0），证明当a=1时，函数f（x）在R上是减函数。在解答这道问题的时候，就要用到无理式的有理化。由题可知，当a=1时，f（x）=根号下（x2+1）-x=（根号下（x2+1）-x）*（根号下（x2+1）+x）/（根号下（x2+1）+x）=1/（根号下（x2+1）+x）。当x递增时，f（x）递减，因此，函数f（x）在R上是减函数。

2.2利用函数图像数形结合的解法

在函数的图形中，在特定区间内，如果y随着x的增加而增加，那么函数在此区间内单调递增。如果y随着x的增加而减少，那么函数在此区间内单调递减。试题当中对于函数单调性的考察虽然比较灵活，但究其根本也只是对一些简单的基础知识进行结合[2]。因此，高中生在平时的学习当中，要充分的理解和掌握函数单调性相关的基础知识，并且学会将其融合在一起进行分析和理解。

对于函数f（x）=5/x，它的函数图像是关于原点对称的奇函数图像，因此，在对称区间内，其单调性是一致的。而函数f（x）=x2，由于其是偶函数，因此，在对称区间内，其单调性是相反的。

例如：已知函数f（x）=x（1/（2x-1）+1/2）且x>0，判断函数f（x）的奇偶性并求证f（x）>0。在解答这道题的时候，通过画出函数图像，可以简单的判断出该函数为偶函数。在求证f（x）>0时，因为x>0，所以2x>1，所以2x-1>0。由此可以得出1/（2x-1）+1/2>0，又因为x>0，所以x（1/（2x-1）+1/2）>0，因此可得出当x>0时，函数f（x）>0。

2.3利用复合函数的解法

在高中数学当中，对于复合函数的定义是：函数y=f（g（x））是由函数y=f（t）和函数t=g（x）两部分组成的。其中t=g（x）是其内层函数，y=f（t）是其外层函数。根据定义，如果内层函数和外层函数的单调性不一致，该复合函数就单调递减[3]。如果内层函数和外层函数的单调性一致，该复合函数就单调递增。

例如：判断函数f（x）=3的（x2+1）次平方的单调性。在解题时，应先将该复合函数分解成外层函数f（t）=3t和内层函数t=x2+1。由于内层函数t=x2+1的是关于y轴对称的偶函数，因此在区间（-∞，0）中单调递减，在区间（0，+∞）中单调递增。而由于外层函数f（t）=3t是指数函数，因此其在（-∞，+∞）中单调递增。根据复合函数的定义，可知，在区间（-∞，0）中，函数f（x）=3x2+1为单调递减。在区间（0，+∞）中，函数f（x）=3x2+1为单调递增。

2.4利用导数的解法

导数是解决函数单调性问题的一个十分有效的数学工具，它为解答函数单调性问题提供了很多新的思路。如果函数y=f（x）在区间（a，b）中可导，且其导函数大于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递增。如果其导函数小于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递减[4]。

在实际应用中，利用导数法解决函数单调性的问题，可以做到步骤明确、思路清晰，十分简便和容易。例如：设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数。如果f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，且g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，求实数a的取值范围。这道题在解题时，由题目可知，f（x）=1/x-a=（1-ax）/x。由于函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，可以得出a>0。设f（x）<0，则x>1/a，因此f（x）在（1/a，+∞）中单调递减。又因为f（x）在（1，+∞）中单调递减，所以（1，+∞）?（1/a，+∞），可得出1/a≤1，因此a≥1。设g（x）=0，可得出x=lna。如果xlna，g（x）>0，g（x）单调递增。由于g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，所以lna>1，可得出a>e。综上所述，可得出a的取值范围为（e，+∞）。

总结：高中数学离不开函数单调性，对函数单调性的研究和解析更是高考当中的重点。对于函数单调性的解法有很多，只有充分的掌握函数单调性的基础知识，熟知其各种解法，才能在实际中应用，应当根据题目的特点，有针对性的选择合适的解法，从而轻松解决函数单调性的问题。

参考文献：