平行线证明练习（精选15篇）
平行线证明练习 第1篇
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证明题练习如图所示，若∠1=52°，问∠Ｃ为多少度时，能使直线AB∥CD？ 2 如图所示，∠1=45°，∠2=135°，l1∥l2吗？为什么？如图所示，∠1=120°，∠2=60°，问直线a与b有什么关系？
Ｅ
A
B
l1 2 l
3C
１题图
D
a３题图
４ 如图，已知直线AB、ＣＤ被直线EF所截且∠AGE=46°，∠EHD=134°，那么AB∥
CD吗？说明理由。如图，已知∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？如图所示，∠EFB=∠GHD=53°，∠IGA=127°，由这些条件你能找到几对平行线？说说你的理由。
E
4题图
F
F
I
B
D 6题图 F
E B
C
5题图
C D如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD，问CD∥AD吗？为什么？ 8 如图，∠1=∠2，能判断AB∥CD吗？为什么？
若不能判断AB∥DF，你认为还需要再添加一个条件是什么？写出这个条件，并说明你的理由？如图，AB∥CD，EF∥GH，CD与EF相交于点I，试探究∠1与∠2的关系，并说明理由。
F C E 7题图
C
D
D F
C
8题图 9题图
平行线证明练习 第2篇
一、基础过关:
1．如图1，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（）
A．两直线平行，同位角相等B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行D．内错角相等，两直线平行
(1)(2)(3)
2．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）
A．互相垂直B．互相平行C．相交D．无法确定
3．如图2，AB∥CD，那么（）
A．∠1=∠4B．∠1=∠3C．∠2=∠3D．∠1=∠
54．如图3，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）
A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180°
C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°
5．如图4，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
图５ C D
(4)(5)
6．如图5，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．
7.如图５，填空并在括号中填理由：
（1）由∠ABD =∠CDB得∥（）；
（2）由∠CAD =∠ACB得∥（）；
（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得∥（）
10．如图８，推理填空：
（1）∵∠A =∠（已知），AC∥ED（）；
（2）∵∠2 =∠（已知），∴AC∥ED（）；
B D
图８
C
（3）∵∠A +∠= 180°（已知），∴AB∥FD（）；（4）∵∠2 +∠= 180°（已知），∴AC∥ED（）；
二、综合创新: 8．（综合题）如图，已知∠AMB=∠EBF，∠BCN=∠BDE，求证：∠CAF=∠AFD．
10．（创新题）（1）如图，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C的度数吗？
（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．
11．（1）如图6，已知AB∥CD，直线L分别交AB、CD•于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（）
A．60°B．70°C．80°D．90°
(6)(7)
（2）已知：如图7，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C•的度数是（）A．135°B．115°C．65°D．35°
三、培优: 12．（探究题）如图，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=•∠5，•延长AB、GF交于点M．试探索∠AMG与∠3的关系，并说明理由．
13．（开放题）已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明你的理由．
一、探索平移的性质
1.(1)在图1中，画图：把线段AB向左平移4格，得到线段A’B’.(2)线段AB与A’B’叫做对应线段，平移后对应线段之间的位置和数量有什么关系？，(3)点A通过平移得到点A’，点A与点A’是一组对应点.同样的，点B与B’ 是另一组
图
1A
B
对应点.用红线画出连结各组对应点的线段AA’与BB’，线段AA’与BB’之间的位置和数量有什么关系？，2.(1)在图2中，画图：把△ABC向右平移4格，得到△A’B’C’.(2)对应线段AB与A’B’、BC与B’C’、AC与A’C’ 之间的数量与位置有什么关系？，(3)点A与A’是一组对应点，点B与B’、点C与C’是对应点.用红线画出连结各组对应点的线段AA’与BB’，线段AA’与BB’之间的位置和数量有什么关系？，；再用红线画出连结各组对应点的线段CC’，线段AA’与CC’之间的位置和数量有什么关系？，；线段AA’、BB’、CC’之间的位置和数量有什么关系？ 结论：如果两条直线平行，那么其中一条直线上的任意两点到的距离相等，这个距离称为.图
2A
B
C
如果两条直线平行，那么其中一条直线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长就是平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.三、应用平移解决实际问题
1.在长40m、宽30m的长方形地块上，修建如下的宽1m的道路，余下部分种菜，求菜地的面积.(1)如图6，有3条道路.(2)如图7，一条道路是平行四边形.(3)如图8，道路弯曲.图6
图
图
解：
两道有关平行线的证明经典题例 第3篇
这个几何事实常常被忽视, 其实大有用处, 有时运用起来妙不可言.下面例举两道经典题供大家欣赏.
例1如图2, 在五边形A1A2A3A4A5中, B1是A1对边A3A4的中点, 连接A1B1, 我们称A1B1是这个五边形的一条中对线.如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分.
求证:五边形的每条边都有一条对角线和它平行.
证明:如图3, 取A1A5中点B3, 连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5.
因为A3B1=B1A4,
所以S△A1A2A3=S△A1B1A4.
又因为四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4B5的面积相等,
所以S△A1A2A3=S△A1A4A5.
同理S△A1A2A3=S△A3A4A5,
所以S△A1A4A5=S△A3A4A5.
所以△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等,
所以A1A3∥A4A5.
同理可证A1A2∥A3A5, A2A3∥A1A4, A3A4∥A2A5, A5A1∥A2A4.
例2如图4, △ABC的面积是10, 点D、E、F (与A、B、C不同的点) 分别位于AB、BC、CA各边上, 而且AD=2, DB=3.如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等, 求这个相等的面积值.
《相交线与平行线》强化练习 第4篇
A.∠1+∠2=180° B.∠2+∠3=180°
C.∠3+∠4=180° D.∠2+∠4=180°
2.如图2，在△ABC和△DBC中，∠2=∠1，∠A=60°，則∠ACD的度数是（ ）.
A. 50° B. 120°
C. 130° D. 无法确定
3.如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得 S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（ ）.
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）
4.如图4，桌面上有木条b、c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0 A.20 B.30 C.70 D.80 5.如图5，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F = _________. 6.小亮将一个直角三角板和一把直尺（如图6所示）叠放在一起，如果∠α=43°，那么∠β是 度. 7.一手扶电梯向上的传送速度为每分钟20m，小红以每分钟16m的速度通过电梯上楼，如果小红用了15秒到达楼上，那么这部电梯的长为_____. 8.如图7，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度数. 9.已知如图8所示，过正方形ABCD的顶点A作对角线BD的平行线，在这条直线上取点E，使BE=BD，且BE与AD交于点F，求证：DE=DF.（答案见下期） BC 2.如图，在中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求 ∠ADE，∠ EDF，∠FDC的度数． 3.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线 AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为 15，AB＝6，那么对角线AC和BD的和是多少？ 4.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形． 5.如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF． 6.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ上的两点，且ＡＥ＝ＣＦ，ＡＦ，ＤＥ相交于点Ｍ，ＢＦ，ＣＥ相交于点Ｎ． 求证：四边形ＥＭＦＮ是平行四边形．（要求不用三角形全等来证） 7.已知：如图，在△ ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 8.如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是 DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 已知：如图，△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＢ的中点，Ｅ是ＡＣ上的一点，ＥＦ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＢＥ． (1)猜想：ＤＦ与ＡＥ间的关系是＿＿＿＿＿＿． 1．两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行。（） 2．如图①，如果直线l1⊥OB，直线l2⊥OA，那么l1与 l2一定相交。（） 3．如图②，∵∠GMB=∠HND（已知）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）（） 二．填空题： 1．如图③ ∵∠1=∠2，∴_______∥________（）。∵∠2=∠3，∴_______∥________（）。 2．如图④ ∵∠1=∠2，∴_______∥________（）。∵∠3=∠4，∴_______∥________（）。 3．如图⑤ ∠B=∠D=∠E，那么图形中的平行线有________________________________。 4．如图⑥ ∵ AB⊥BD，CD⊥BD（已知） ∴ AB∥CD() 又∵∠1+∠2 =180（已知） ∴ AB∥EF() ∴ CD∥EF() 三．选择题： 1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（） A．AD∥BCB．AB∥CD C．EF∥BCD．AD∥EF 2．如图⑧，判定AB∥CE的理由是（） A．∠B=∠ACEB．∠A=∠ECDC．∠B=∠ACBD．∠A=∠ACE 3．如图⑨，下列推理错误的是（） A．∵∠1=∠3，∴a∥bB．∵∠1=∠2，∴a∥b C．∵∠1=∠2，∴c∥dD．∵∠1=∠2，∴c∥d 4.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（） A．①③B．②④C．①③④D．①②③④ 四．完成推理，填写推理依据： 1．如图⑩ ∵∠B=∠_______，∴ AB∥CD（）∵∠BGC=∠_______，∴ CD∥EF（） ∵AB∥CD，CD∥EF，∴ AB∥_______（） 2．如图⑾ 填空： （1）∵∠2=∠3（已知） ∴ AB__________（） （2）∵∠1=∠A（已知） ∴__________（） （3）∵∠1=∠D（已知） ∴__________（） （4）∵_______=∠F（已知） ∴AC∥DF（） 3.填空。如图，∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知） ∴∠CAB＝90°，∠______＝90°（）∴∠CAB＝∠______（）∵∠CAE＝∠DBF（已知）∴∠BAE＝∠______ ∴_____∥_____（）4．已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。 ∵∠1＋∠2＝180°（）又∠2＝∠3（） ∴∠1＋∠3＝180° ∴_________（） 五．证明题 1．已知：如图⑿，CE平分∠ACD，∠1=∠B，求证：AB∥CE 2．如图：∠1=53，∠2=127，∠3=53，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系。 3．如图：已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否确定ED与CF的位置关系，请说明理由。 ．已知：如图，求证：EC∥DF.，且 .5．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4，∠AFE =60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由． 6．如图11，直线AB、CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ． D 图10 F 图 E B P Q D C B A C 7．已知：如图：∠AHF＋∠FMD＝180°，GH平分∠AHM，MN平分∠DMH。 求证：GH∥MN。 8．如图，已知：∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，求证：CD∥BE。 如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.如图，若AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D之间的关系，并证明之。 如图，AB∥CD，∠BEF＝85°，求∠ABE＋∠EFC+∠FCD的度数。 如图，已知ABCD,EAF1EAB,ECF1ECD,求证：AFC3AEC 444AECBDAEDCBF 已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。 在之前的学习中,我们曾运用同位角证明一个十分典型的对边平行的图形———等 腰梯形 . 受这个图形的启发,我制作了平行线校对器. 之所以采用圆形框架,主要是通过圆形的对称性, 可以选择在原线段的上面或者下面作平行线,其次,通过调节半径长短及线段与圆的交点的位置可以控制平行线间的距离. 通过制作这个校对器,我发现学习数学,不仅要能够将所学知识与实际生活相结合,更需要考虑实用性以及它的可操作性,将自己的知识与实践结合,进行创造,这样才是真正的学以致用. 一、由线线平行证明线面平行 证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决. 二、由面面平行证明线面平行 在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的. 点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行. 三、法向量法 由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解. 所以PQ∥平面BMN. 点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN. （责任编辑钟伟芳）endprint 平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律. 一、由线线平行证明线面平行 证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决. 二、由面面平行证明线面平行 在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的. 点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行. 三、法向量法 由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解. 所以PQ∥平面BMN. 点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN. （责任编辑钟伟芳）endprint 平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律. 一、由线线平行证明线面平行 证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决. 二、由面面平行证明线面平行 在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的. 点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行. 三、法向量法 由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解. 所以PQ∥平面BMN. 点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN. MEH E F D A C 图（1） A C 图（2） D 24.如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E（如图2）。 求证：△BPM△CPE； 求证：PM = PN； （2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时 PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。 C C 圖1 圖 2四、【安徽省】 20.如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC。⑴求证：四边形BCEF是菱形 ⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE 23.（本题7分） a a a C 圖 3如图，四形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明 你的结论。D O B G 18．如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD，等边ABE．已知 ∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF． ⑴试说明AC＝EF； A ⑵求证：四边形ADFE是平行四边形． E F B C 第18题图 26.如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.①求证：AG⊥CH; ②当AD=4，DG CH的长。 22.（本题满分8分） E D AG D A HFC D EC 图110 B图1 1C B C 图1 2F分别在线段BC、AB上，如图6，已知△ABC是等边三角形，点D、∠EFB60°，DCEF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形； E A B D 图6 C (2)若BFEF,求证AEAD.24．（9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE； （2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3.请探究：当k为下列三种情况时，四 边形ABPE是什么四边形？①当k= 1时，是；②当k= 2时，是；③当k= 3时，是.并证明．．．k= 2时的结论.21．（本题满分9分） 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积． 24.（10分）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G 是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.24题图24.如图9，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴 的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分 线AC交于点P.E D 0)时，试证明CEEP；（1）当点E坐标为(3，（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t0）”，结论 CEEP是否仍然成立，请说明理由； （3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由.图9 27．（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD ∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数； （2）求证：AB=BC； （3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º． 求 DF FC的值． 图1 C D 图2 班级：姓名：号次： 1.如图，AE∥BC，AE平分∠DAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由。 DA EC B 2.如图，直线AD与CE交于D，且∠1＋∠E = 180°，求证：AB∥EF C AEEA CD 32BF FB 3.如图，若∠A =∠FDB，∠A =∠F，则有AB∥EF，试说明理由。 4.如图，∠ABC =∠BCD，∠ABC＋∠CDG = 180°，求证：BC∥GD 5.已知：AB//CD，AB，求证：DC 6.如图,已知AC∥DE,∠1=∠2.求证AB∥CD.B C A 1 2AC B G B E 7．如图所示，已知：∠1=∠2，求证：∠3+∠4=180°． 8、如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB。求证DC∥AB。 9.如图,已知:DE∥CB,∠1=∠2,求证:CD平分∠ECB.10、如图，AB⊥MN于B，CD⊥MN于D，∠1=∠2，求证∠3=∠ 4B M N 11.如图，已知∠D = 90°，∠1 = ∠2，EF⊥CD问：求证：∠B=∠AEF。 AE DF 2如图，在□ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E，求证：BE＋BC＝CD 3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，过点A、D分别作BC于AB的平行线，并交于点E，连接EC、AD，求证四边形ADCE是矩形。 4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD ⊥BC，垂足为点D，AG是 △ABC的外角 ∠FAC 的平分线，DE ‖AB , 交AG于点E，求证：四边形ＡＤＣＥ是矩形． 5、如图,已知菱形ABCD的边长为2cm,∠BAD＝120°,对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长． 6、如图，G、H是□ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E、F分别是边AB和CD的中点，求证：四边形EHFG 是平行四边形。 7、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H，EK和GH相交于点F。求证：GE与FD互相垂直平分。 8、如图，在△ABC中，∠C＝９０°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证： 这里以人教版一年级下册“找规律”为例, 见下图: 这里的一个“应”字, 就是不妥当的。它意味着找的规律只有一种 (两个一组间隔出现) , 第一排的第10面旗只能是黄色, 即“红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红, 黄”。 小学数学界一向认为, 此题的答案非“黄”不可, 必须让学生无条件地接受“两两间隔”这一规律。这妥当吗? 事实上, 我们可以找到许多其他的规律, 使得第10面旗是“红”。 例1: (9个一组, 周期重复) 于是第9、第10;第18、第19, 连续两面都是红旗, 即: 红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红;红, …… 例2: (10个一组, 最后两面都是红旗) 第9、10、11连续地出现三面红旗, 即: 红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红, 红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红、红;红、黄、红、黄、红、黄、红、黄, 红, 红;红…… 你能说这不是规律吗? 实际上, 找规律问题是一个开放性问题。任何一个有限序列, 都可以生成无限的多种的规律。认为只有一个规律, 推断出“必须是什么”和“应该是什么”, 把开放题封闭成一个唯一答案的题目, 在数学上是不对的。 有人说, 小学生只能找最简单的一种, 多种规律是以后的事情。这可以理解。但问题在于, 小学数学的大量课件、教师用书都没有指出这是一个开放性问题。有些文章在讨论, 重复几次才算“规律”, 更是误导。 怎么办?只要改一个字:把“后面一个应是什么”改成“后面一个会是什么”就可以了。“应”和“会”一字之差, 意义完全不同。苏步青先生在指导中小学教材编写时, 提出“混而不错”的原则。用在找规律的时候是, 如果问“会是什么”, 其答案可以有许多种, 其意义比“应是什么”宽泛许多。至于将来在几年级将它当做一个开放性问题来处理, 可以讨论, 但是必须有这样一步才好。 让我们回到“三角形内角和为180度”的问题上。马建平和戎松魁两位老师的争论点, 在于矩形可否定义为“四个角都是直角的四边形”。马老师认为可以, 于是就认为由此可以证明三角形内角和定理, 而无需平行公理。戎老师认为不可以, 必须用平行四边形定义矩形, 由此说明三角形内角和定理不能绕开平行公理。 笔者认为, 两位老师都有对的部分, 也有不对的部分。马老师觉得矩形可以定义为“有四个直角的四边形”, 这是对的。但是, 以为由此定义出发, 可以避开平行公理来证明三角形内角和为180度, 则是错的。戎老师坚持三角形内角和定理, 必须使用平行公理, 这是对的。但是, 说矩形不能定义为“有四个直角的四边形”, 则是不对的。 实际上, 将矩形定义为“四个角都是直角的四边形”, 完全可以。属和种差式的逻辑定义方法, 并没有规定所从属的“属”必须是其外延最相近的。打个比方, 要定义“杭州人”, 可以说成“居住在杭州的中国人”, 没有错。也就是说, 并非一定要把“杭州人”定义为“居住在杭州的浙江人”, 因为二者是等价的。对于矩形的“四直角”定义, 一旦服从平行公理, 就和“有一个角是直角的平行四边形”定义等价 (如果没有平行公理, 那么两者是不等价的) 。 然而, 如同马建平老师和许多其他文章所说的那样, 可以从“四个角都是直角的四边形”出发, 绕开平行公理就能够直接推出“三角形内角和为180度”, 则是不可能的。理由如下。 依照四个角都是直角的矩形定义, 自然得出矩形的内角和是360度, 这毫无问题。矩形的对角线把矩形分为两个一样的直角三角形, 只要运用平移旋转的刚体运动也可以做到。小学生也知道一点平移、旋转、对称的知识, 可以直观地接受, 严密地逻辑证明需要引用合同公理得出两个三角形三边相等则全等的结论, 逻辑上引用就是了。于是, 得到了如下的结论:“矩形对角线分成的两个直角三角形, 每一个的内角和都是180度。”逻辑的正确性到此为止。问题在于, “任意的直角三角形, 是不是都能成为某一个矩形用对角线分成的直角三角形?”这需要证明, 不能想当然。马老师及许许多多作者都振振有词地把两者混为一谈, 犯了逻辑上的错误。 换句话说, 马老师等作者的所谓证明, 必须从任意的“直角三角形”出发, 作出一个矩形, 使其成为该矩形的一半。但是没有平行公理, 这是作不出来的。那个貌似正确的三角形内角和证明, 这一关过不去, 整个证明的逻辑链条就断裂了。 马建平老师可能会说, 从已知的直角三角形出发, 作一个和自身一样的直角三角形, 两者拼起来就是一个矩形。这是一厢情愿。这样拼起来的四边形只有两个直角;无法证明它有四个直角, 除非引进平行公理。 这就是说, 想从“矩形有四个直角”作为矩形的定义出发, 避开平行公理来证明三角形内角和为180度的企图, 是决然不可能实现的。 1. 下列句子中，是命题的是（ ）. A. AB与CD相等吗 B. 作直线AB⊥CD，垂足为P C. 连接A、B两点 D. 正数大于负数 2. 下列命题中，属于假命题的是（ ）. A. 三角形三个内角的和等于180° B. 两直线平行，同位角相等 C. 平移不改变图形的形状和大小 D. 相等的角是对顶角 3. 下列命题：① 方程2x=x的解是x=1；② 等于4的数是2；③ 同位角相等两直线平行；④ 同旁内角互补.其中真命题有（ ）. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，已知AB∥CD，∠DFE=135°，则∠ABE的度数为（ ）. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 已知下列命题：① 若a>0，b>0，则a+b>0；② 若a≠b，则a2≠b2；③ 非负数的平方为正数；④ 二元一次方程有无数个实数解.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=（ ）. A. 180° B. 60° C. 40° D. 20° 7. 如图所示，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°，则∠AED′等于（ ）. A. 70° B. 65° C. 50° D. 25° 8. 下列命题中：（1） 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（2） 经过一点有且只有一条直线和已知直线平行；（3） 过线段AB外一点P作线段AB的中垂线；（4） 如果直线l1与l2相交，直线l3与l4相交，那么l1∥l3；（5） 如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（6） 两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行；（7） 两条直线与第三条直线相交，如果内错角相等，则同旁内角互补.其中正确命题的个数为（ ）. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、 填空题（每小题2分，计20分） 9. 如图，直线a、b被直线c所截，若要a∥b，需增加条件_______（填一个即可）. 10. 下面的句子：① 我是中学生；② 这花真香啊！③ 对顶角相等；④ 内错角相等；⑤ 延长线段AB；⑥ 明天可能下雨；⑦ 下午打篮球吗？其中是命题的有_______（填序号）. 11. 把“相等两数的倒数相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：_______. 12. 命题“二元一次方程是方程”的逆命题是_______. 13. 命题“当k=2时，二次三项式x2+kxy+y2是完全平方式”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）. 14. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为_______°. 15. “互补的两个角一定是一个锐角与一个钝角”是_______命题，可举出反例：_______. 16. 如图所示，如果BD平分∠ABC，补上一个条件_______作为已知，就能推出AB∥CD. 17. 平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线.若平面内不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为________. 18. 已知图中4个正方形内的数有相同的规律，请找出这一规律后，推断出A=________， B=_______，C=________. 三、 解答题（56分） 19. （本题8分）判断下列命题的真假： （1） 方程2x+y=5的非负整数解有3个； （2） 次数相同的两个单项式是同类项； （3） 平行于同一条直线的两直线平行； （4） 有两个内角互余的三角形是直角三角形. 20. （本题8分）下面的判断是否正确，为什么？ （1） 对于所有的自然数n，n2+n的值都是偶数. （2） 当a≠b时，必有ac2≠bc2. 21. （本题10分）在括号中填上理由： 已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB. 证明：因为DG⊥BC，AC⊥BC（已知）， 所以∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）， 所以DG∥AC（_______）， 所以∠2=_______（_______）. 因为∠1=∠2（已知）， 所以∠1=∠_______（等量代换）， 所以EF∥CD（_______）， 所以∠AEF=∠_______（_______）. 因为EF⊥AB（已知）. 所以∠AEF=90°（_________）， 所以∠ADC=90°（_________）， 所以CD⊥AB（________）. 22. （本题10分）如图，△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. 23. （本题10分）如图，E是BC延长线上的点，∠1=∠2.求证：∠BAC>∠B. 24. （本题10分）（1） 如图，∠1=∠2，∠3=∠B，FG⊥AB于G，猜想CD与AB的关系，并证明你的猜想. （2） 在（1）的证明过程中，你应用了哪两个互为逆命题的真命题？ 参考答案 1. D 2. D 3. D 4. B 5. A 6. A 7. C 8. C 9. ∠1=∠2（或∠3=∠2或∠4+∠2=180°） 10. ①③④ 11. 如果两数相等，那么这两数的倒数相等 12. 方程是二元一次方程 13. 假 14. 70° 15. 假 两个直角互补，它们是相等的角 16. ∠2=∠3 17. 6 18. 6 36 1 080 19. （1） 真 （2） 假 （3） 真 （4） 真 20. （1） 正确 （2） 错误 21. 同位角相等，两直线平行 ∠ACD 两直线平行，内错角相等 ∠ACD 同位角相等，两直线平行 ∠ADC 两直线平行，同位角相等 垂直定义 等量代换 垂直定义 22. 因为∠C+∠ABC+∠A=180°（三角形三个内角的和等于180°），而∠C=∠ABC=2∠A，所以2∠A+2∠A+∠A=180°，所以∠A=36°，所以∠C=72°.又因为BD⊥AC，所以∠DBC=90°-72°=18° 23. 因为∠2=∠B+∠D，所以∠B=∠2-∠D.又因为∠BAC=∠1+∠D，∠1=∠2，所以∠BAC>∠B. 24. （1） 猜想CD⊥AB.理由如下：因为∠3=∠B（已知），所以ED∥BC（同位角相等，两直线平行），所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.因为∠1=∠2，所以∠BCD=∠2，所以CD∥GF（同位角相等，两直线平行），所以∠BDC=∠BGF（两直线平行，同位角相等）.因为FG⊥AB（已知），所以∠BGF=90°（垂直定义），所以∠BDC=90°（等量代换），所以CD⊥AB（垂直定义）；（2）应用了“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等” 两个互为逆命题的真命题 一、选择题 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()． A．l1∥l2B．l1⊥l 2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确 2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是() A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0) C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2) D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2) 35153．已知a＝1，－，b＝－3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 222 2992A.B.C．－D．－ 322 34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()． A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是() A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) 6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()． 62636065A.B.C.D.7777 7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是() A．(1，－1,1)3B.1，3，2 C.1，－3，2 二、填空题 D.－1，3，－ 2 8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则 l1与l2的位置关系是_______． 9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→ ＝0的_______． → 12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________． 三、解答题 13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： → 11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________． → → → → → 10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证： MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直 线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1 则M0，1，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，22→ 1 1于是MN＝，0，2 2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得 x＋y＝0.→ → 取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． → 11 又MN·n＝，0，·(1，－1，－1)＝0，22→ ∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝ 1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面； (2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面 BCC1B1.→→ 证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)． →→ →→→→ 所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→ →→ 2 则GM＝0，－，z，而BF＝(0,3,2)，3 →→ 由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→ 因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． → → 又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→ 所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22 ，0、(0,0,1)． 22→22∴NE＝－，－1.22 2 2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1 22 → 22∴AM＝－，－1.22 →→ ∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22 (2)由(1)知AM＝－，－1，22 → ∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→平行四边形练习证明 第5篇
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