欧拉公式的证明和应用（精选9篇）

欧拉公式的证明和应用 第1篇

欧拉公式

eicosisin的证明方法和应用

i摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式ecosisin，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数

1.欧拉公式意义简说

在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被ecosisin这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当时，有e1，即e10，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i、e、联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]。它们在数学中各自都有发展的方面。因是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”

此e+1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。

iiii

2.欧拉公式的证明简述

在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。

2.1幂级数展开式的证明法

引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式ecosisin，2.2复指数定义法

用复指数定义ee

2.3类比法求导法

通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造f(x)

ixzxiyie(cosyisiny)，证明欧拉公ecosisin xiixcosxisinx，f(x)0用lagrange微分中值定理推论[3]，从而证明f(x)1,使得ecosxisinx

2.4分离变量积分法

假设zcosxisinx，求导得dzdziz，通过分离变量得idx,，然后两边取积分得dxz

Lnzix，所以得ecosxisinx.3.欧拉公式的证明方法

3.1幂级数展开式的证明方法：

3.1.1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ： ix

sin(z)z3!355!

4(1)n12n2n1(zn1)!n, cos(z)122!24!(1)(2n)!, 3.1.2指数函数的“麦克劳林级数”：[1]

e

ez1z2!nn!, 当用iz代替 z时，那么 iz(iz)1iz2!2(iz)n!n

(12

2!4

4!)i(z3!355!)

coszisinz

当z时，得到ecosisin。

3.2复指数定义法：

对于任何复数zxiy(x,yR)，有

ii（证完）ezexiye(cosyisiny)[2]，当x=0时，另xy,有ecosisin（证完）

3.3类比求导法：

3.3.1构造函数f(x)

3.3.2计算导数

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ixixixcosxisinx xR,i为虚数 ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x

3.3.3lagrange微分中值定理的推论 0

若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)的导数恒等于0，x属于I，则f(x)为I上的一个常量函数[3]。根据这推论，所以有f(x)c,c为常量，又因为f(0)1, 所以f(x)1,有

eixcosxisinx.（附件②）（证完）

3.4分离变量积分法

dzicosxsinxi(cosxisinx)iz，分离变量得： dx

dz1idx, 所以两边同时积分得idx，即Lnzixc，当取x=0时，zz假设zcosxisinx, 难么

zco0sisin01，Lzl1i0c0nn，所以c0,所以Lzixn，Lnzzcosxisinxix，所以ixcosxisinx。（证完）eee

4.欧拉公式在数学中的应用

在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。

4.1公式证明和应用

4.1.1 证明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnxisinnx(cosxisin

证明：由欧拉公式ecosxisinx可知：ixx)n； ix(cosxisinenx)即n

einxcosnxisinnx，所以有cosnxisinnx(cosxisinx)n

4.2.2用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：e

e

zxcosacos(xsina)cosna;n0n!nxcosasin(xsina)sinnanon!n； 证明：令zcosaisina,由欧拉公式可知 ee

xz(cosaisina)ecosaeisinaecosa(cos(sina)isin(sina))xcosa即ee

ex(cosaisina)excosaeixsinae(cos(xsina)isin(xsina))xcosacos(xsina)e

nnxcosaisin(xsina))又由于：

exzn0(xz)n!(cosnaisinna)

n0

n!cosnansinnanin!xn!xn0n0

比较实部和虚部的到 

e

excosacos(xsina)cosna;n0n!nn

sin(xsina)sinna

non!

4.2定义证明和应用

4.2.1证明复数z 的正弦函数和余弦函数 xcosa

sinziz2iiz,coszixiz2iiz.[2] 证明：由欧拉公式eixecosxisinxcosxisinx可得，，ixecosxisinx

ixixcosx2从而得到.对于任意的实数x成立，这两个公式中的x代以任意复数z后，ixixsinx2i

由eezxiye(cosyisiny)，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：

izx

sinziz2i,cosziz2iiz.4.2.2求sin(12i)的值[2]：

解：

sin(12i)



i(12i)2ii(12i)2(cos1isin1)(cos1isin1)2i

22 222

cosh2sin1isinh2cos1

此式为复数解正弦函数（附件③）sin1i22cos1

5.综合总结

ix对于欧拉公式ecosxisinx，在这里用了四种不同的方法证明其的成立，也举了几个

列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，在这里，主要是提供给学生一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，我所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。我在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于e1i

也就不那么陌生了。

6.考文献

[1] 数学分析 下册 第三版 华东师范大学数学系 编 第十四章 幂级数 2001

[2] 复变函数论 第三版 钟玉泉 编 第二章 解析函数 2004

[3] 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 第六章微分中值定理及应用 2001

[4] 数学分析 下册 华东师大第三版 同步辅导及习题全解 2006

[5] 生活与科学文库 e的奥秘 1991

7.附件

7.1附件① 因为对于实函数ae，dxaxaxd(cosxasinx)sinxacosxdxa为常数，所以对于复函数有ie,dxixixd(cosxisinx)i(cosxisinx)dx

7.2附件②对于构造的函数f(x)ix

cosxisinx是有意义的，因为

|cosxisinx|

有意义的。因为f(x)

ixcos2xsinx1所以cosxisinx0。因此，函数f(x)2ixcosxisinx是ixcosxisinx所以 ix

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x0

又根据lagrange中值定理可得 f(x)cc 为实常数，又因为f(0)i0

cos0isin0=1则有

f(x)1，所以有f(x)ix

cosxisinx1，所以ecosxisinx

7.3附件③复函中规定：sinhz

zix2z,coshzz2z

欧拉公式的证明和应用 第2篇

遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法，平移法等数学方法。注重考查转化与化归的思想。

立体几何证明的向量公式和定理证明

关于抛物线几个公式的证明和应用 第3篇

已知抛物线y2= 2px ( p > 0) 的焦点为F, 过焦点的直线与抛物线交于两点A, B. 求证:

证明 ( 1) :Ⅰ. 当直线AB⊥x轴时, 有sin290° = 1, | AB | = 2p, 显然成立.

二、公式的应用

( 一) 与焦点弦长有关的问题

例1 ( 2013年全国新课标Ⅱ文10) 设抛物线C: y2=4x的焦点为F, 直线l过F且与C交于A, B两点. 若| AF | =3 | BF | , 则l的方程为 () .

( 二) 与焦点夹角的问题

例2 ( 2004年全国卷Ⅱ) 给定抛物线C: y2= 4x, F是C的焦点, 过点F的直线l与C相交于A, B两点. ( 1) 设l的斜率为1, 求夹角的大小; ( 2) 略.

欧拉公式在三角函数中的应用 第4篇

注：此论文系云南省应用基础研究计划青年项目（编号：2012FD060）与国家自然科学基金项目（编号：11426037）的成果.

摘要：欧拉公式形式众多，在数学方面的应用很广，但是教材中较少涉及，本文总结了欧拉公式在证明三角恒等式、求解三角表达式的值、求解三角方程、解决一些方程根的问题的应用，从而避免了复杂的三角变换简化证明和计算。

关键字：欧拉公式；；三角函数 ；三角级数

【中图分類号】G642

参考文献：

[1] 裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》[M].北京：高等教育出版社.

1984，135-140.

[2] 辛华.欧拉公式在三角恒等变换中的推广应用[J].雁北师范学院院报.2000，

16（2）：94-96.

[3] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社.2003：10-15.

[4] 王玉华.欧拉公式的推论与应用[J].辽宁广播电视大学报.2009，

3（13）：236-237.

[5] 薛金星.高中数学五星级题库[M].北京：北京教育出版社.2011：387-389.

作者简介：1、杨国翠（1984-），女（汉族），云南临沧人，硕士研究生，讲师，主要从事基础数学方面的研究

2、李自美（1984-），女（汉族），云南保山人，硕士研究生，讲师，

Taylor公式的证明及应用 第5篇

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师李文明

作者张彦莉

摘要:文章简要介绍了泰勒公式的证明方法及几个常见函数的展开式,针对泰

勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值求行列式的值.关键词: 泰勒公式;极限;不等式;级数;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;行

欧拉公式的证明和应用 第6篇

一，教师教学方式的转变。

传统教学是注入式教学，基本方式是“输入信息——反馈信息——补充和纠正信息”。“两角和公式的证明”的推导，基本上都是由教师来完成的，学生作为被动的、重视的听众。将公式背下来，会利用其解题就可以了。未经自己分析、概括、比较，对知识缺乏深入理解和领会。结果是：学生对数学知识记不牢，更不能灵活运用。

而新课程改革方案明确提出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、合作交流与自主探究是学生学习数学的重要方式。而今年高考命题思维的转变，是对新课程改革的最好诠释。教师应该换主动权与学生。

二，学生学习方式的转变。

课堂教学中教师应致力于探索激发学生学习兴趣的课堂形式，创设真实的问题情境，提供学生探索与交流的时间与空间。反对过去僵化的为“高分”而解题，反对题海战术。学生应在学习活动中，培养自己的创新精神和实践能力。让学生的学习成为“研究性学习”的模式。构建一个以情景为基础，提出问题与解决问题相互引发共同并进的“情景——问题”学习链。

三，教学理念的转变。

新课程标准要求学生真正成为课堂的主人，成为知识的“发现者”的“创造者”。使教学过程成为学生主动获取知识、启迪智慧、发展能力、体验数学的过程。教师成为学生学习的合作者、引导者，教师与学生是平等的关系。高考命题的转变，对我们提出了新的要求，立足新课标，认真钻研教材，探索新方法。

四，教学过程设计的转变。

在我今后的教学“两角和公式的证明”时，我想应该做到以下几点。1，创设学生生活中熟悉而感兴趣的数学情境。2，启发学生将现实问题转化、抽象、概括成数学问题。3，学生为了解决提出的数学问题，自主探索、合作交流、估算猜测，教师启发诱导，师生共同归纳总结。4，在“师生”与“生生”双边互动中，展示学生的数学思维建构的过程。培养学生推理、证明的能力。5，让学生用自己“发明”的“两角和的公式”来解决相关问题。体验数学来源于生活，又服务于生活的道理。

五，教学课堂的转变。

传统的教学课堂，要求“堂堂清”，对本堂课的知识点、内容完全掌握是最高境界。而新课程标准要求，学生不能仅仅停留在课堂的探索上。而要引导学生课后继续探究，把课堂延伸到课外。两角和的公式探索方法很多。可以利用单位圆中的三角函数线，可以利用不同角度探索公式„„这些探索证明方法的建构，都有着丰富的数学思想方法。让学生产生“欲罢不能”的求知欲望，惊声振奋地投入学习。从而使其获得良好的学习效果。

试析欧拉公式在高等数学中的作用 第7篇

欧拉公式eix= cosx + isinx有广泛而重要的应用, 关于该公式的证明方法目前有如下六种: 首先, 欧拉本人是从数学中两个重要极限出发, 采用初等方法“推导”出这个公式的; 其次是复指数函数定义法[1]; 另外从对数函数特征性质dlnx/dx=1/x或dex/dx= ex出发[2], 利用微分方程分离变量积分法; 再者采用复数幂级数展开式法来验证[3]; 再其次采用变上限积分法验证; 最后利用Lagrange中值定理的推论来证明[3].

1. 极限法

当x =0时, 欧拉公式显然成立;

由棣莫弗公式得

而

由 ( 1) 、 ( 2) 两式得

eix= cosx + isinx.

此外, 由指数函数定义法和分离变量积分法也可获证.

二、欧拉公式在高等数学的应用举例

欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外, 在高等数学中也有极为广泛的应用, 分以下几个方面各举一个例子来说明.

1. 求高阶导数

根据欧拉公式, 有

分离其实部和虚部, 即可得所求之结果

cosx + ( 26x + 5) sin3x]+ c

分离实部和虚部 ( 上式中c为任意复数, c1和c2分别为其实部和虚部)

此外, 欧拉公式在求高阶线性常系数齐次微分方程的通解和求函数的级数展开式等方面也有广泛的应用.

三、总结

以上证明和几个方面的实例表明, 欧拉公式eix= cosx +isinx可以将高等数学中的许多知识点联系起来, 形成知识链.掌握欧拉公式及其广泛应用, 对于掌握有关数学思想、增强数学审美意识、提高高等数学审美意识、提高高等数学的学习质量具有重要意义. 有必要对欧拉公式的应用进行更深入的探讨.

参考文献

[1]傅钟鹏.数学英雄欧拉[M].天津:新蕾出版社, 2001.

[2]张楚廷.数学文化[M].北京.高等教育出版社, 2000.

[3]李劲.欧拉公式的几种证明及其在高等数学中的应用[J].河西学院报, 2008, 24 (5) :1-6.

欧拉公式的证明和应用 第8篇

要证明压杆稳定欧拉公式(下文简称“欧拉公式”)出处错误,必须证明其出处EIυ″=-M(x)不适用于压杆。为此,本文从纯弯曲的基础理论开始,步步求证。

本文第2、3章节的内容摘自孙训方等主编的1979年版高等学校试用教材《材料力学》的第5、6、10各章,其余为本文作者的求证。

2 EIυ″=-M(x)的来历及有关关系式

2.1 纯弯曲梁中一些量之间的关系

从纯弯曲梁开始研究。设某等截面梁仅受一对力偶M作用,梁上除此之外再无其他外力(如图1所示)。

图1(a)的梁在M的作用下弯曲如图1(b)所示,在x位置上取一微段dx研究如图1(c)所示。梁受弯后,dx段上部受压缩短,下部受拉伸长,中间必有一层既不缩短也不伸长,此层称为中性层。中性层与截面的交线Z即为中性轴,要确定中性轴的位置,先要确定一些量之间的关系。

如图1(c)所示,ρ是dx变弯后中性层的曲率半径,dθ是dx变弯后梁截面的转角,y是截面上的面积微元dA到中性轴的距离,它们之间有如下关系:

式中ε是材料的应变。由虎克定律σ=εE得到梁截面上各点的应力:

2.2 研究弯曲问题的基本公式

在图1所示纯弯曲状态下研究梁正截面上的弯矩:对外而言,梁中任一截面上的弯矩M(x)等于外力偶M;对内而言,梁中任一截面上的弯矩M(x),等于截面上各面积微元应力对中性轴微力矩之和。于是得到纯弯曲梁上任一截面的弯矩值:

式中A为截面面积,表示在截面上作积分。令I=y2dA为截面的惯性矩,于是得到M(x)=EI/ρ,

这就是研究弯曲问题的基本公式。导出欧拉公式的挠曲线近似微分方程将由此式导出。

2.3 中性轴的位置

式(2-3)中的I=y2dA是截面的惯性矩,它是一个纯粹的几何量。力学界把I抽象出来,认为I与研究对象受力状态无关,在任何受力状态下皆为常量。因此欧拉把它用在压杆上导出欧拉公式。

本文认为欧拉的错误就出在I之上,为此,必须找出I赖以存在的中性轴,确定中性轴的位置,这是本文的关键所在。

如2.1所述,I=y2dA中的y是面积微元dA到中性轴的距离。那么,在纯弯曲状态下,y的起点即中性轴在何处?这个问题是要解决的。

在图1所示的纯弯曲状态下,梁的轴向外力为零。所以:梁任一截面上的轴向内力N=0;梁任一截面上都存在应力,但这些应力的合力必等于零,于是得到纯弯曲梁上任一截面的轴向内力值:

式中,Sz=ydA是截面的面积矩,E/ρ≠0,只有Sz=0。Sz=0即截面的面积矩为零。面积只有对自己的形心轴之矩为零,对其它轴之矩都不为零,所以可以确定:在纯弯曲状态下,y的起点在截面形心轴,即中性轴与截面形心轴重合(如图1(c)所示,中性轴Z即为截面形心轴);如果不是纯弯曲并且N≠0,就无中性轴与截面形心轴重合的结论。并且当N≠0(即S≠0)时,中性轴必定不在截面形心轴位置。

2.4 纯弯曲梁的挠曲线近似微分方程

式(2-3)左端的1/ρ是纯弯曲梁中性层的曲率,它的精确表达式是:

略去微量(υ′)2。

得到1/ρ≈υ″(2-5)

将其代入式(2-3),得υ″=M(x)/EI。

在图1的坐标系中,使梁向下挠的弯矩为正,而与之相对应的曲率为负,所以得:

这就是纯弯曲梁的挠曲线近似微分方程,欧拉公式是由此方程导出的。

3 欧拉公式的推导过程

3.1 压弯与失稳

在客观世界里,压杆的破坏形式是压弯破坏,即杆受偏心压力作用变弯曲,弯曲后偏心距加大,弯曲加剧,偏心距再加大,如此恶性循环下去直至破坏。压弯是不可避免的,这是因为材料不均匀(缺陷)及加工精确度有限,致使杆的形心轴与质心轴不重合,加上加载时压力作用线与质心轴不重合等原因,使得偏心受压的因素无法消除;压弯又是不能用统一的公式表达的,因为各杆的偏心情况不同。

但压弯问题又是必须要解决的。于是欧拉设想一理想直杆受压,杆的质心轴与形心轴严格重合,压力作用线又与质心轴严格重合。在不断加大的压力下,如此直杆只会被压扁而不会变弯曲。于是欧拉又设想某一干扰因素使得杆端偏离原位δ(如图2所示):若压力小于某一临界力Per,杆处于平衡状态,干扰因素消除后杆端回弹原位,此状态称为稳定平衡;若压力略大于Per,杆仍处于平衡状态,但干扰因素消除后杆端不会回弹原位,此状态称为不稳平衡;若压力等于Per,杆的平衡状态处于稳定平衡与不稳平衡的临界点,称为临界状态,Per称为临界压力又简称为临界力。当P=Per时杆件由稳定平衡状态过渡到不稳平衡状态,欧拉称其为失稳,由失稳引起的破坏称为失稳破坏。可见,压弯破坏是真实的破坏形式,失稳破坏是设想的破坏形式。

3.2 临界力欧拉公式的推导

本节以图2所示临界状态下的理想直杆为例,考察临界力欧拉公式的推导过程。

欧拉借用梁在纯弯曲状态下的挠曲线近似微分方程:

注意,这里欧拉未经证明,在压弯状态下就使用了纯弯曲状态下的公式。下文将证明这个未经证明的“借用”是错误的借用。

由图2得

代入式(2-6),得:

令K2=Per/EI,代入式(3-2),

式(3-3)的通解为:

式(3-4)取一阶导数,得

边界条件在x=0处:υ=0,υ′=0;在x=L处:υ=δ。

将边界条件分别代入式(3-4)、式(3-5),得:A=0,B=-δ。

再代入式(3-4),得:

令coskL=0,使式(3-7)成立,解出:

取最小解:k=π/2L

由于设定k2=Per/EI,所以:

于是得到一端固定另一端自由的压杆临界力欧拉公式:

同样可求出各种约束条件下的压杆临界力,用统一表达式表达:

这便是压杆临界力欧拉公式的一般表达式。

4 EIυ″=-M(x)不适用于压杆,欧拉公式出处错误

3.2中提到,欧拉在未经证明的情况下,借用在纯弯曲状态下得到的梁挠曲线近似微分方程式(2-6)推导欧拉公式,3.2展示了欧拉公式导出的全过程。欧拉认为式(2-6)中的I是与受力状态无关的常量,本章证明I在微弯压杆中不是常量,从而得出欧拉公式出处错误的结论。

4.1 微弯理想压杆截面的中性轴不在截面形心位置

图2为某等截面微弯理想压杆,在任一截面x处,可写出截面上压应力合力N的表达式:

式中S是微弯压杆上x截面对截面中性轴的面积矩。

因为N的值等于杆端压力Per,而所研究的Per是一个不为零的值。于是有:

可见,在欧拉所研究的微弯理想压杆中,有S≠0的问题存在。此问题隐含着另一个欧拉无法解决的问题。

从2.3可知,S≠0表明中性轴不在截面形心位置,其位置未知,余下的问题是:(1)中性轴到底在何处;(2)沿杆长x各截面的中性轴(即压杆的中性层)到截面形心轴的距离r是常数还是变量?

为此,作示意图3:图中A为截面面积,r为截面形心轴到中性轴(压杆的中性层)的距离。此处先假设压杆的中性层与x轴平行,即假设r为常数(微弯状态下杆的挠曲很小,略去υ的值)。

4.2 以轴向内力形式表达的微弯理想压杆挠曲线近似微分方程

从式(4-1),得ES/ρ=N,

将式(2-5)代入上式得:

这就是以轴向内力形式表达的微弯理想压杆挠曲线近似微分方程,是真正从微弯压杆导出的方程式。研究微弯理想压杆,应该用此方程式。

4.3 微弯理想压杆截面的中性轴位置

欧拉借用式(2-6)推导欧拉公式,并认为式中的I是常量,而式(2-6)本身并不能证明I在微弯理想压杆中是不是常量,这是因为式(2-6)不是在微弯理想压杆中导出的。此问题可以用式(4-3)求证获得解决。

仿照欧拉导出欧拉公式的方式,将式(4-3)在x轴上作积分(积分的坐标系见图2)。欧拉对式(2-6)积分时把I当作常量处理,此处对式(4-3)积分时也把S当作常量处理(在4.1中,因为假设r为常数,所以S也被假设为常量)。对式(4-3)作第一次积分得:

作第二次积分得:

边界条件(见图2)为:

当x=0时,υ′=0(υ′=θ为截面转角),代入式(4-4),得A1=0;

当x=0时,υ=0,代入式(4-5),得B1=0。于是得到:

S是截面对中性轴的面积矩,如图3所示,有:S=rA,将上式代入式(4-6),得:

式中r是截面形心轴到中性轴的距离(见图4),r是一个沿x轴以2次方作变化的变量,即中性轴位置沿压杆杆长是变化的(图3中假设的中性层位置实际上不是直线,而是2次曲线)。并且,因为r=r(x)是变量,从而S=rA=r(x)A亦为变量。可见,本节把S=S(x)当作常量来处理是不对的。实际上,因为S是变量,对式(4-3)作2次积分根本就不可行,图4所表达的r曲线并不是r沿x变化的真实图形。但本节的求证表明,r肯定是变量,而变化规律未知。

4.4 在微弯理想压杆中I是变量

中性轴位置沿压杆杆长变化,即表明截面惯性矩也沿压杆杆长变化:

可见力学界所说与受力无关的、在任何受力状态下皆为常量的截面惯性矩,只有在纯弯曲状态下,即式(2-4)中N=0的情况下才存在,在微弯理想压杆中不存在。在微弯理想压杆中I=I(x)是变量,并且从式(4-7)中可知,无论杆的挠曲有多小,只要υ≠0,r=r(x)皆为变量,所以不要用挠曲很小I就是常量之类的理由来搪塞。

4.5 EIυ″=-M(x)不适用于压杆,欧拉错用了方程式

把式(4-8)代入式(2-6),得

式(4-9)是以弯矩形式表达的微弯理想压杆挠曲线近似微分方程,欧拉应该用此式来研究微弯理想压杆。而借用式(2-6)是错误的,因为式(2-6)中的I是常量,与微弯理想压杆中I是变量的实际情况不符。换言之,欧拉应该用式(4-9)来推导欧拉公式,而不应使用式(2-6)来推导。

4.6 欧拉公式出处错误,欧拉公式是错误的

如上所述,研究微弯压杆,就要用微弯压杆的微分方程,不能借用纯弯曲梁的微分方程。于是用式(4-9)代替式(2-6)推导欧拉公式,按欧拉的方法,对式(4-9)作2次积分,有:因I(x)的变化规律未知(r=r(x)的变化规律未知),此积分不能实现。

可见,欧拉之所以能实现上述积分,是因为他把I当作常量来处理。一旦还I以变量的真面目,欧拉是无法作上述积分的。换言之,欧拉根本无法从式(4-9)中导出欧拉公式,现在呈现在世人面前的欧拉公式是在不应该使用的式(2-6)中导出的,出处是错误的,所以欧拉公式实际上并不存在。

有些蛋是孵不出鸡来的,对于欧拉公式来说,式(2-6)就是这样的蛋。欧拉公式从来就没有出生过,所以它不应该存在。

5结语

欧拉并未在理论上解决压杆的弯曲问题,他所提出的稳定和失稳概念,不能代替压杆的压弯概念。压弯就是压弯,压弯破坏是因偏心受压和杆件缺陷所导致的弯曲突然加剧所致。就算其他条件相同,但各杆的缺陷部位和缺陷程度不同,破坏极限荷载也不一样,并不存在统一的临界力。研究压弯问题,还须回到实验室去。

摘要：压杆稳定欧拉公式是从纯弯曲梁的挠曲线近似微分方程EIυ″=-M(x)导出的。本文证明EIυ″=-M(x)并不适用于压杆,进而得出压杆稳定欧拉公式因出处错误而实际上并不存在的结论。

欧拉公式的证明和应用 第9篇

结合新课程改革, 中职数学教学一方面要为学生学习专业课提供必要的数学工具, 使学生具有学习专业知识的基础和能力, 另一方面要在初中文化的基础上, 进一步提高学生自身学习数学的素质。中职数学教学要根据教材的特点, 结合学生自身的数学能力, 按照课程目标的要求, 做好教学设计, 使学生能在生活中学会应用数学知识解决实际问题。结合笔者近几年的教学实践和经验, 谈一谈“定理、公式的推理与简单应用”课型的教学设计。

“定理、公式的推理与简单应用”的课型, 主要内容是对前面学过的简单概念、定义作出进一步的探究, 并能根据探究教学内容解决一些实际问题, 它一般是通过“思考观察—实验演示—推理证明—新知运用”的过程进行教学的, 具体操作流程如下:

一、导入学习内容, 揭示研究课题 (1~2分钟)

(一) 目的

引入课题, 展示目标。

(二) 过程

1. 巧妙导入。2.板书课题。

(三) 要求

1. 导入问题要简单、直接, 知识衔接自然顺畅。2.情境创设要形象、生动, 能激发学生的学习兴趣, 引起学生积极思考。

二、新知探究

(一) 目的

使学生获得一定知识与技能, 寻找到解决问题的思路和方法。

(二) 步骤

1. 出示探究问题, 或演示必要的实验背景。

(1~2分钟) 2.引导学生独立思考问题或实验操作。 (2~3分钟) 3.学生分组讨论交流。解决相关问题或根据实验操作猜想一定结论, 并归纳总结, 教师参与学生活动, 引导学生积极思考归纳。 (2~3分钟) 4.提问个别小组成员口述相关结论, 其他小组作出评议, 并上升为理论, 教师板书所归纳的结论。 (1~2分钟) 5.引导学生继续合作交流, 寻求说明或推理证明所得出的结论正确性的方法与过程, 并作出解答。 (5~9分钟) 6.引导学生分析说明定理、公式的用途。 (约2分钟)

(三) 要求

1. 思考问题与所得结论联系要紧密, 或演示实验要直观形象。

2.学生分组讨论一般6人一组, 好、中、后进搭配, 选两名组长以小老师的身份帮助学困生解决疑难, 检查解答情况。3.个别提问以学困生为主, 让他们尽可能暴露问题, 引起其他学生注意。4.在得出定理公式时, 学生一般用文字语言表述, 教师引导学生用图形、符号语言相结合叙述, 并明确出处和用途。

三、新知应用 (10分钟)

(一) 目的

通过典型例题巩固所学知识, 及时发现学生掌握知识情况, 查缺补漏。

(二) 过程

1. 展示典型例题, 学生独立读题。

2.引导学生分小组讨论寻求解题方法。3.个别学生在解决问题的过程中口头阐述解决问题的思路, 其他学生参观教师的练习册, 了解独立的答案, 回答, 及时发现典型的错误, 并写在黑板上。4.学生口述评价, 若有误, 引导学生分析错误原因并加以更正。5.鼓励学生表达不同意见, 推广多个解决方案, 培养学生的参与意识和创新能力。6.针对出现的典型问题进行点拨校正归纳, 小结解决问题的方法与规律。

(三) 要求

1. 题目数量为2道至3道, 且能直接引用相关定理、公式解决问题, 综合性较低, 问题较简单。

2.解题完毕后, 及时引导学生归纳方法, 总结经验, 为进一步训练打好基础。

四、反馈练习 (约10分钟)

(一) 目的

进一步加强巩固所学知识, 运用相关知识解决问题;检测教学目标实现情况。

(二) 过程

1. 布置课本练习题或作业题。

2.学生独立思考完成, 困难的学生可寻求帮助, 个别学生板演。3.各小组组长负责检查组员解答情况。4.师生共同订正答案, 进一步归纳渗透的思想和方法。

五、课时小结: (约2分钟)

(一) 目的

明确本节课学生知识点并梳理课程框架, 总结解题方法与规律。

(二) 过程

1. 合上课本, 回忆知识要点。2.谈谈本节课有哪些收获。

六、布置作业

(一) 目的

通过独立完成作业, 巩固本课所学的知识要点和解决问题的思路和方法。

(二) 要求

1. 布置作业要适度、适量, 操作性要强。2.对不同层次的学生布置不同层次的作业。3.作业解答要步骤齐全, 格式正规。

世界上没有统一的教学方法, 用单一的教学方法完成复杂的教学是不可能的。古人讲“教有法而无定法”, 说明了各种行之有效的教学方法都是有科学依据的, 但没有一个固定的模式。要达到较高的教学境界必须是在了解和掌握各种教学方法的特点的基础上, 熟练使用各种教法, 通过长时间的教学实践才能达到的。