欧拉公式证明范文（精选11篇）

欧拉公式证明 第1篇

欧拉公式

eicosisin的证明方法和应用

i摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式ecosisin，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数

1.欧拉公式意义简说

在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被ecosisin这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当时，有e1，即e10，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i、e、联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]。它们在数学中各自都有发展的方面。因是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”

此e+1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。

iiii

2.欧拉公式的证明简述

在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。

2.1幂级数展开式的证明法

引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式ecosisin，2.2复指数定义法

用复指数定义ee

2.3类比法求导法

通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造f(x)

ixzxiyie(cosyisiny)，证明欧拉公ecosisin xiixcosxisinx，f(x)0用lagrange微分中值定理推论[3]，从而证明f(x)1,使得ecosxisinx

2.4分离变量积分法

假设zcosxisinx，求导得dzdziz，通过分离变量得idx,，然后两边取积分得dxz

Lnzix，所以得ecosxisinx.3.欧拉公式的证明方法

3.1幂级数展开式的证明方法：

3.1.1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ： ix

sin(z)z3!355!

4(1)n12n2n1(zn1)!n, cos(z)122!24!(1)(2n)!, 3.1.2指数函数的“麦克劳林级数”：[1]

e

ez1z2!nn!, 当用iz代替 z时，那么 iz(iz)1iz2!2(iz)n!n

(12

2!4

4!)i(z3!355!)

coszisinz

当z时，得到ecosisin。

3.2复指数定义法：

对于任何复数zxiy(x,yR)，有

ii（证完）ezexiye(cosyisiny)[2]，当x=0时，另xy,有ecosisin（证完）

3.3类比求导法：

3.3.1构造函数f(x)

3.3.2计算导数

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ixixixcosxisinx xR,i为虚数 ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x

3.3.3lagrange微分中值定理的推论 0

若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)的导数恒等于0，x属于I，则f(x)为I上的一个常量函数[3]。根据这推论，所以有f(x)c,c为常量，又因为f(0)1, 所以f(x)1,有

eixcosxisinx.（附件②）（证完）

3.4分离变量积分法

dzicosxsinxi(cosxisinx)iz，分离变量得： dx

dz1idx, 所以两边同时积分得idx，即Lnzixc，当取x=0时，zz假设zcosxisinx, 难么

zco0sisin01，Lzl1i0c0nn，所以c0,所以Lzixn，Lnzzcosxisinxix，所以ixcosxisinx。（证完）eee

4.欧拉公式在数学中的应用

在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。

4.1公式证明和应用

4.1.1 证明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnxisinnx(cosxisin

证明：由欧拉公式ecosxisinx可知：ixx)n； ix(cosxisinenx)即n

einxcosnxisinnx，所以有cosnxisinnx(cosxisinx)n

4.2.2用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：e

e

zxcosacos(xsina)cosna;n0n!nxcosasin(xsina)sinnanon!n； 证明：令zcosaisina,由欧拉公式可知 ee

xz(cosaisina)ecosaeisinaecosa(cos(sina)isin(sina))xcosa即ee

ex(cosaisina)excosaeixsinae(cos(xsina)isin(xsina))xcosacos(xsina)e

nnxcosaisin(xsina))又由于：

exzn0(xz)n!(cosnaisinna)

n0

n!cosnansinnanin!xn!xn0n0

比较实部和虚部的到 

e

excosacos(xsina)cosna;n0n!nn

sin(xsina)sinna

non!

4.2定义证明和应用

4.2.1证明复数z 的正弦函数和余弦函数 xcosa

sinziz2iiz,coszixiz2iiz.[2] 证明：由欧拉公式eixecosxisinxcosxisinx可得，，ixecosxisinx

ixixcosx2从而得到.对于任意的实数x成立，这两个公式中的x代以任意复数z后，ixixsinx2i

由eezxiye(cosyisiny)，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：

izx

sinziz2i,cosziz2iiz.4.2.2求sin(12i)的值[2]：

解：

sin(12i)



i(12i)2ii(12i)2(cos1isin1)(cos1isin1)2i

22 222

cosh2sin1isinh2cos1

此式为复数解正弦函数（附件③）sin1i22cos1

5.综合总结

ix对于欧拉公式ecosxisinx，在这里用了四种不同的方法证明其的成立，也举了几个

列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，在这里，主要是提供给学生一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，我所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。我在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于e1i

也就不那么陌生了。

6.考文献

[1] 数学分析 下册 第三版 华东师范大学数学系 编 第十四章 幂级数 2001

[2] 复变函数论 第三版 钟玉泉 编 第二章 解析函数 2004

[3] 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 第六章微分中值定理及应用 2001

[4] 数学分析 下册 华东师大第三版 同步辅导及习题全解 2006

[5] 生活与科学文库 e的奥秘 1991

7.附件

7.1附件① 因为对于实函数ae，dxaxaxd(cosxasinx)sinxacosxdxa为常数，所以对于复函数有ie,dxixixd(cosxisinx)i(cosxisinx)dx

7.2附件②对于构造的函数f(x)ix

cosxisinx是有意义的，因为

|cosxisinx|

有意义的。因为f(x)

ixcos2xsinx1所以cosxisinx0。因此，函数f(x)2ixcosxisinx是ixcosxisinx所以 ix

f(x)

i(cosxisinx)(sinxicosx)(cosxisinx)2ix(icosxsinxsinxicosx)

cos2xisin2x0

又根据lagrange中值定理可得 f(x)cc 为实常数，又因为f(0)i0

cos0isin0=1则有

f(x)1，所以有f(x)ix

cosxisinx1，所以ecosxisinx

7.3附件③复函中规定：sinhz

zix2z,coshzz2z

欧拉公式证明 第2篇

由于ln(1+1/n)<1/n（n=1，2，3，…）

于是调和级数的前n项部分和满足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)

将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.5772***86060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）

=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）

-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

欧拉常数发现的历史

著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De

试析欧拉公式在高等数学中的作用 第3篇

欧拉公式eix= cosx + isinx有广泛而重要的应用, 关于该公式的证明方法目前有如下六种: 首先, 欧拉本人是从数学中两个重要极限出发, 采用初等方法“推导”出这个公式的; 其次是复指数函数定义法[1]; 另外从对数函数特征性质dlnx/dx=1/x或dex/dx= ex出发[2], 利用微分方程分离变量积分法; 再者采用复数幂级数展开式法来验证[3]; 再其次采用变上限积分法验证; 最后利用Lagrange中值定理的推论来证明[3].

1. 极限法

当x =0时, 欧拉公式显然成立;

由棣莫弗公式得

而

由 ( 1) 、 ( 2) 两式得

eix= cosx + isinx.

此外, 由指数函数定义法和分离变量积分法也可获证.

二、欧拉公式在高等数学的应用举例

欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外, 在高等数学中也有极为广泛的应用, 分以下几个方面各举一个例子来说明.

1. 求高阶导数

根据欧拉公式, 有

分离其实部和虚部, 即可得所求之结果

cosx + ( 26x + 5) sin3x]+ c

分离实部和虚部 ( 上式中c为任意复数, c1和c2分别为其实部和虚部)

此外, 欧拉公式在求高阶线性常系数齐次微分方程的通解和求函数的级数展开式等方面也有广泛的应用.

三、总结

以上证明和几个方面的实例表明, 欧拉公式eix= cosx +isinx可以将高等数学中的许多知识点联系起来, 形成知识链.掌握欧拉公式及其广泛应用, 对于掌握有关数学思想、增强数学审美意识、提高高等数学审美意识、提高高等数学的学习质量具有重要意义. 有必要对欧拉公式的应用进行更深入的探讨.

参考文献

[1]傅钟鹏.数学英雄欧拉[M].天津:新蕾出版社, 2001.

[2]张楚廷.数学文化[M].北京.高等教育出版社, 2000.

[3]李劲.欧拉公式的几种证明及其在高等数学中的应用[J].河西学院报, 2008, 24 (5) :1-6.

欧拉公式在三角函数中的应用 第4篇

注：此论文系云南省应用基础研究计划青年项目（编号：2012FD060）与国家自然科学基金项目（编号：11426037）的成果.

摘要：欧拉公式形式众多，在数学方面的应用很广，但是教材中较少涉及，本文总结了欧拉公式在证明三角恒等式、求解三角表达式的值、求解三角方程、解决一些方程根的问题的应用，从而避免了复杂的三角变换简化证明和计算。

关键字：欧拉公式；；三角函数 ；三角级数

【中图分類号】G642

参考文献：

[1] 裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》[M].北京：高等教育出版社.

1984，135-140.

[2] 辛华.欧拉公式在三角恒等变换中的推广应用[J].雁北师范学院院报.2000，

16（2）：94-96.

[3] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社.2003：10-15.

[4] 王玉华.欧拉公式的推论与应用[J].辽宁广播电视大学报.2009，

3（13）：236-237.

[5] 薛金星.高中数学五星级题库[M].北京：北京教育出版社.2011：387-389.

作者简介：1、杨国翠（1984-），女（汉族），云南临沧人，硕士研究生，讲师，主要从事基础数学方面的研究

2、李自美（1984-），女（汉族），云南保山人，硕士研究生，讲师，

数列求和公式证明 第5篇

数学归纳法可以证

也可以如下做 比较有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消项]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

设n为奇数,1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

设n为偶数,请你自己证明一下！

所以，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

设an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

数列求和的几种方法

1.公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=（a1+an)n/

24.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求数列an=1/n(n+1)的前n项和.解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）

则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明： 当n=1时，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并项）

欧拉公式证明 第6篇

重庆市合川区农委，重庆市合川区（401520）

E-mail ：hcnw631@163.com

摘要：本文推导证明了和与差的对数公式，丰富了对数公式体系。

关键词：和差对数公式

中图分类号：O122.6

1.引 言

对数产生于十七世纪前二十五年。对数方法是苏格兰的皮纳尔独立决发现的，在其对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，布里格斯继承纳皮尔的未竟事业，发表了《奇妙对数规则的结构》详细阐述了对数计算和造对数表的方法。十八世纪，欧拉发现了指数与对数的本质联系。

经典对数理论已发现系列对数公式，幂积商等对数公式发现已久，但没有查询到和与差的对数公式。本文运用对数理论，推导证明了和与差的对数公式。

2.和的对数公式推导证明 设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

所以 aaxlogaax

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

将Map，Naq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的和(M+N)以a为底的对数。

3．差的对数公式推导证明 设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

a

所以

loga(MN)loga(apaq)xalogaax

loga(alogaa

palogaaq)将MapNaq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的差(M-N)以a为底的对数。

4．结论 综上所述，除存在幂积商等对数公式外，也存在和与差的对数公式。

（1）和的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

（2）差的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

参考文献

[1]数学手册。

[2] 百度百科。

作者简介: 张先胜，男，籍贯重庆市合川区，一九八五年四川农业大学毕业，科学爱好者。通讯地址：重庆市合川区南津街南园路35号合川农业委员会

邮编：401520

三角函数公式及证明 第7篇

（本文由hahacjh@qq.com 编辑整理 2013.5.3）

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于；

B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；

（由 三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积 可得：

sinatana（02））

2.正切：

tansincos

基本定理

1.勾股定理： sin2cos21 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R为三角形外接圆半径）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.诱导公试:

cosAbca2bc222

2k

sincostancot

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式: ①sin(②cos(

)sincoscossin)coscossinsin

推导结论

1.基本结论

(sincos)221sin21cos2

tan1

2.正切和差公式：

tan()sin()sincoscossin

cos()coscossinsintantan1tantan

3.二倍角公式（包含万能公式）：

2sincos2tansin22sincos222sincos1tan2222

1tan21tan2cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos2tan2sin2cos22tan1tan2

sin221cos221cos22tan1tan22

cos

4.半角公式：（符号的选择由

2所在的象限确定）sin21cos21cos21cos1cos sin221cos21cos2 1cos 1cos2sin22 cos2 cos222cos22tan2sincossincos2coscossinsin21cossin222sin1cos2

22

1sin(cos2sin2)2cos2sin2

5.积化和差公式：

sincos121sin()sin()cossin12sin()sin()coscos2cos()cos() sinsin12cos()cos

6.和差化积公式：

①sin③cos sin2sin2cos22 ②sin ④cossin2cos22sin22 cos2cos2coscos2sinsin7.三角形面积公式

S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(pa)(pb)(pc)(海伦公式，证明见下文)(其中p 12(abc), r为三角形内切圆半径)定理结论的证明

1.勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷 命题47.2.正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题20.直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题31.3.余弦定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷 命题12,13.4.诱导公式的证明：

同理可证

sin(cos(3232)sin()cos(2)sin(2)cos)sin

2)cos(2本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:

sin()sin(())可得sin()的结论

本证明选自人教版高中数学教材.5.海伦公式的证明:

欧拉函数φ(n)倒数的渐近公式 第8篇

定理1

定理证明

将欧拉函数倒数求和,得

下面,我们就逐一讨论(*)中的每一项.

参考文献

[1]Melvyn B Nathanson.Additive Number Theory[M].Graduate Texts in Mathematics 164,Springer.

海伦公式证明之史海钩沉 第9篇

海伦公式即三角形面积公式：S△=s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s=12(a+b+c)，a,b,c是三角形三个边的长，这个公式远在古希腊阿基米德就知道，后由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的“度量表”章中首先证明了这一公式，还举了求边为13，14，15之三角形面积一例. 在与世隔绝的中国南宋时期（约公元1247年），数学家秦九韶在他的《数书九章》中独创地讨论到它，名为“三斜求积术”，大斜，中斜，小斜分别表示三角形三边，求面积. 把他的结论用现代算式表示是S△=14［b2c2-(b2+c2-a2)2)］2，せ简后与海伦公式是等价的，故它又被命名为海伦——秦九韶公式.

现行教材对公式没加论证就使用了，本文按照历史的顺序给出关于海伦公式的证明方法，以消除在教学中对公式的疑惑.

1 海伦的证明

海伦（Heron），古希腊数学家，力学家，机械学家，生活于欧几里得（Euclid）之后约350年左右，主要活跃于亚历山大里亚. 海伦注重数学的实际应用，这从他留传下来的著作中可以发现，如《测量术》（metrica），《屈光学》（dioptra）等. 海伦公式出自《测量术》一书，这本书被认为是一本实用的测量手册方面的代表作. 在《测量术》第一卷中，海伦讨论了给定三边长的三角形面积求法，即海伦公式，下面是海伦的证明方法.

如图1，△ABC的三边长分别为a,b,c，I为△ABC的内心，OD=OE=OF=r为△ABC内切圆半径长，令s=a+b+c2，延长BC至H，使CH=AF，则有s=BH，因S△=s•r,即S△=BH•OD，作CK⊥BC,OK⊥BO，有∠BOK=∠BCK,故B,O,C,K四点共圆，∠CBK=∠3，因圆O内切于△ABC，有∠1+∠2+∠4=90°，在△BOC中，OK⊥BO，得∠1+∠2+∠3=90°，所以∠CBK=∠4，得△OAF∽△CBK，BCCK=AFOF=CHOD，又OD⊥BC,CK⊥BC，即OD∥CK，CKOD=CLLD，得BCCH=CKOD=CLLD，由合比性质BHCH=CDLD，BH2CH•BH=CD•BDLD•BD，而OD2=LD•BD，即BH2CH•BH=CD•BDOD2，BH=CH•BH•CD•BDOD2，S△=BH•OD=CH•BH•CD•BD，ビ肅H=AF=s-a,BH=s,CD=s-c,BD=s-b代入即得S△=s(s-a)(s-b)(s-c).

2 梅文鼎的证明

ッ肺亩 (1633-1721) 生于明末，长于清初，27岁时拜师学习天文历法，五年后完成了他的第一部创作，从此开启了对算学的兴趣. 他终其一生致力于中西知识的汇通工作，在融会贯通之际，以自己的见解及理念编写了数十本天文及数学著作，催生了这一时期数学上的兴盛. 康熙14年（1675），梅文鼎完成《平三角举要》一书，是历史上第一本三角学专著. 梅文鼎对海伦公式的证法，并非他所独创. 在明末由耶稣会士罗雅谷撰写，汤若望校订，徐光启督修的《测量全义》第四卷中即已出现，但其证法中出现不足之处. 梅文鼎则是将此证法加以补正修改，略作改良后，编入《平三角举要》，卷４“或问”第12页，证明过程如下.

如图2所示，I为△ABC的内心，ID=IE=IF=r为△ABC内切圆半径长，则易推出BD=BF,CD=CE,AE=AF. 分别延长AB，AC,取BH=CE,CK=BF，则AK=AH=s为△ABC周长之一半，延长AI至G，使GK⊥AK，连结HG，则可推得△AHG≌△AKG,HG=KG.

取CM=CK，则BM=BH，延长AK至N，使KN=BH，延长AH至P，使HP=CK，则CN=BP=BC，连结CG,BG,NG,PG，则△CKG≌△PHG,CG=PG，同理△NKG≌△BHG，NG=BG,因此，△NCG≌△BPG≌△BCG，∠BPG=∠BCG连接MG，又HP=CD=CM,CG=PG故△PHG≌△CMG，又△CKG≌△PHG，则△CMG≌△CKG.

在四边形MCKG,DIEC中，由于四角对应相等，故四边形MCKG,DIEC相似，推得△IEC∽△CKG軮E∶CE=CK∶GK，推得CE•CK=IE•GK(1)，又△AKG∽△AEI軮E∶GK=AE∶AK，推得IE2∶(IE•GK）=AE∶AK(2)，结合(1) (2)可知，IE2∶（CE•CK）=AE∶AK，即r2∶(s-b)(s-c)=(s-a)∶s，推得sr2=(s-a)(s-b)(s-c)輘2r2=s(s-a)(s-b)(s-c)，故△ABC的面积S△ABC=sr=s(s-a)(s-b)(s-c)，公式得证.

3 李善兰的证明

ダ钌评迹1811－1882），号秋纫，别号壬叔，浙江海宁人，清代著名数学家，中国数学现代化的先驱. 李善兰自小就展露数学才华，十岁时接触到《九章算术》，此后就对数学发生了极大兴趣.李善兰和伟烈亚力（A . Wylie，1855－1887）合译《几何原本》后九卷，又合译棣莫甘 (De Morgan, 1806－1871) 的《代数学》、罗密士 (E. Loomis, 1811－1899) 的《代微积拾级》. 他还与艾约瑟 (Joseph Edkins) 合译了《圆锥曲线》和《重学》. 李善兰本身也有相当杰出的成就，例如：“尖锥术”、“垛积术”等，其中又以“李善兰恒等式”最为有名.有关海伦公式证明的详细过程，见之于李善兰的《天算或问》.

如图3，I为△ABC的内心，ID=IE=IF=r为△ABC内切圆半径长，令AE=AF=x，BF=BD=y,CD=CE=z,高AH=h，过I点作AB,BC的平行线，分别交BC于B′,C′. 不难证明△ABH∽△IB′D,△ACH∽△IC′D，根据相似三角形的性质和比例的有关性质，可得(AB+BH)∶(IB′+B′D)=h∶r，(AC+CH)∶(IC′+C′D)=h∶r,进而推得（AB+BH）∶(AC+CH)=(IB′+B′D)∶(IC′+C′D)(*)，过I作BC的平行线分别交AB于M，交AC于N. 由∠MBB′=∠IB′D,∠IFM=∠IDB′,IF=ID=r,故△IFM∽△IDB′，推得IM=IB′，可知四边形BMIB′为菱形，故IB′+BD=BB′+B′D=BD,IC′+C′D=CC′+C′D=CD，再由上述（*）式，(AB+BH)∶(AC+CH)=(IB′+B′D)∶(IC′+C′D)=BD∶CD=y∶z，此式改写为AB+BHy=AC+CHz輈+BHy=b+CHz=hr，故可得yz(c+BH)(b+CH)=r2h2（**），又h2=c2-BH2=b2-CH2，推得(c-BH)(c+BH)=(b-CH)(b+CH)，即b+CHc-BH=c+BHb-CH. ソ酉吕蠢钌评贾っ鱞+CHc-BH=c+BHb-CH为一定值. 在他看来，比例式b+CHc-BH=c+BHb-CH的成立具有一般性，不局限在上图所呈现的三角形中. 这样的想法也呈现在他的论证之中，他先举相等情况（b+CH=c+BH）为例，再说明不等情形（b+CH≠c+BH）也会成立，但这样的情形不可能出现在同一个三角形的边长上. 这也说明李善兰虽然采用几何形式论证，但由于他掌握更多三角形边长比例关系的一般性，使得他对于几何图形的使用，不同于海伦和梅文鼎. 有关b+CHc-BH=c+BHb-CH为一定值的证明在这里从略，结论为b+CHc-BH=c+BHb-CH=sx（s=12(a+b+c)），详细的证明请参阅台北《HPM通讯》第九卷第四期.

接下来由sx=b+CHc-BH=(c+BH)(b+CH)(c+BH)(c-BH)=(c+BH)(b+CH)h2，再结合上述（**）式，可得yzr2=(c+BH)(b+CH)h2=sx，推得yzr2=sx，即xyz=sr2，进而推得，(s-a)(s-b)(s-c)=sr2，两边同乘s，得s(s-a)(s-b)(s-c)=s2r2，故S△=sr=s(s-a)(s-b)(s-c)，公式得证.

4 《八线备旨》中海伦公式的证明

ァ栋讼弑钢肌肥侵泄清末被教会学校广泛采用的数学教科书之一.《八线备旨》是一部三角学教材，为美国人罗密士 (E. Loomis) 原著，美国传教士潘慎文 (A. P. Parker) 选译，1893年出版. 《八线备旨》共分四卷，内容分别为“平三角形”、“量法”、“测地”与“弧三角形”. 卷一“平三角形”的内容与现今高中教材中的三角函数的理论部分颇为类似；卷二“量法”主要涉及面积与体积的计算；卷三“测地”顾名思义即为三角函数在测量上的应用；卷四“弧三角形”为球面三角及其在航海上的应用. 海伦公式被编排在卷二的第二题，它是有关各种三角形的面积公式之证明.

5 用余弦定理证明

6 结语

ゴ親PM的角度来看，海伦公式可带给我们很多教学上的启发和反思. 首先，给出海伦公式的各种证法，并非是为了给出一个高低差异的评价，而是为了丰富自身的教学内容知识，这也是数学史融入数学教学 (HPM) 重要的功能之一. 试想若非在数学历史文本中找到这些不同版本的证法，或许至今我们仍只知道海伦纯几何形式的证法，或是多数课本采用的代数化的余弦定理证法. 通过分析各个版本证法的特色，可以让教师在教学方法上有所比较，也才能取长补短. 例如，通过分析几何形式与代数形式的证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当然，在分析海伦公式各个证法的特色时，也不能忽视它们本身存在的局限性. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我的“历史诠释”. 此时，我们必须注意数学知识“断代”的面向，必须认识到数学家所身处的环境，以及他本身所拥有的认知特性.

其次，学生最为熟悉的海伦公式证法非余弦定理莫属，它是纯粹的代数运算，而历史上的证明方法大多都是几何证法，这对习惯代数运算与解析几何的学生来说，学习起来有一定的难度. 但海伦公式所处理的是几何图形面积的计算，余弦定理的证法则是充份展现了符号代数的威力，其间所隐含之几何与代数表征的连结，恰好是可以在数学教学中培养学生数学表征连结能力的极好范例. 学生由此也可以知道，引入三角学的余弦定律，究竟替代了多少综合几何里的命题、方法与技巧.

再次，历史上的海伦公式证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中若以历史文本为师，适时引入古人原始的想法，撷取前人的智慧，乃至于前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. HPM所追求的目标之一正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣. 因此，数学文本中的任何地方，可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.

最后，我们知道海伦公式又被称为海伦——秦九韶公式，这是因为秦九韶独立给出了与海伦公式等价的“三斜求积术”. 通过海伦公式的中西比较可知，希腊人运用平面几何知识证明海伦公式，而秦九韶只给出公式并代入求解具体问题. 可见数学问题的展现离不开社会文化的历史脉络，也与民族特性相关. 中国的数学与古希腊数学演绎的逻辑推理不同，因为中算家不拘一格地采用各种形式的推理方法，使中国数学成为一种从实际问题出发，经过分析提高而概括出一般原则和方法，以求最终解决一大类问题的体系. 针对一个已知三角形三边长求其面积的问题，由于解题形式的不同，让我们看到了在数学知识呈现的背后蕴藏了深刻的文化意涵，这又岂是纯粹背诵海伦公式所能体会出的呢？

げ慰嘉南

ぃ1］ John Fauvel. Maanen J.Van. History in the Mathematics Education［M］. Dordrecht: Kluwer Acadejic Publishers, 2000.

ぃ2］ 沈康身.历史数学名题赏析［M］.上海：上海教育出版社，2002.

Taylor公式的证明及应用 第10篇

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师李文明

作者张彦莉

摘要:文章简要介绍了泰勒公式的证明方法及几个常见函数的展开式,针对泰

勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值求行列式的值.关键词: 泰勒公式;极限;不等式;级数;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;行

圆锥体体积公式的证明 第11篇

证明需要几个步骤来解决：

1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。

2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。)

现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。

3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。

注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

祖暅原理的思想

我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。

两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。

所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：

等底等高的三棱锥，体积都相等：

三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：

知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。

=====

下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：

注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。

下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:

1)金字塔锥的体积也是:(1/3)x底面积x高.这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:

2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。

由此可知，球体的体积 =（1/3）x 球的表面积 x 球半径.上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。

3）球体的体积。

先看半球的体积：

这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR图里，被截的圆（绿色）面积是:πr2 = π(R2-h2).可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。

左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR3.-πh2.而右边的

所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR3.可知整个球体的体积公式是：

V=(4/3)πR3.再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：