命题与证明沪科教案（精选9篇）

命题与证明沪科教案 第1篇

14.2《命题与证明》学习导航

命题与证明涉及平面几何所要研究的基本内容之一，也是以后复杂图形研究的重要基础．在知识学习的同时，命题与证明逐步渗透了推理论证的格式，并介绍了命题的结构和证明的步骤，所以命题与证明也是推理论证的入门阶段，命题与证明的内容是很重要的基础知识，是关系到今后几何学习的重要阶段，是中考考查的热点之一．

一、知识点回顾

1.定义、命题、公理和定理的含义．

(1)定义是揭示一个事物区别于其他事物特征的句子．

(2)命题：可以判断是正确或错误的句子叫做命题．

其中正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

(3)命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，这种命题可写成“如果„„那么„„”的形式．其中用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．

(4)公理：如果—个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理．

(5)如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理．如“三角形的内角和等于180°”等．

注意：定理是正确的命题，但正确的命题不一定是定理．

2.定义、命题、公理和定理之间的联系与区别．

这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．

3.证明

(1)根据题设、定义以及已经被确认的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断—个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．

(2)证明真命题的一般步骤是：

①根据题意，画出图形；

②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；

③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据．

命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

命题与证明沪科教案 第2篇

第1课时 命题与证明(一)教学目标

【知识与技能】

1.理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念.2.会判断一个命题的真假,能区分公理、定理和命题.3.理解证明的含义,体验证明的必要性和数学推理的严密性.【过程与方法】

1.通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑推理能力.2.根据命题的证明需要,要求学生画出图形,写出已知、求证,训练学生将命题转化为数学语言的能力.【情感、态度与价值观】

1.通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.2.让学生积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系,提高学生学习数学的积极性.重点难点

【重点】

学习命题的概念和命题、公理、定理的区分.【难点】

严密完整地写出推理过程.教学过程

一、创设情境,导入新知 教师多媒体出示: 有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈,想一想,铜线与地球赤道之间的空隙有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗? 学生交流讨论后回答.生甲:都放不进去.生乙:枣能放进,苹果放不进.生丙:都能放进.师:我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C,则铜线与地球赤道之间的间隙是-=≈0.26(m),可见,枣和苹果都能放进去.通过这个例子,你们受到了什么启发? 生:有些东西想象的或感觉的不一定可靠,要具体分析.师:对,我们要做到有理有据.上一节研究三角形的性质时,我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180°,但对这种方法,有的同学提出这样的疑问: 在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角,只是接近180°的某个值;度量三个角,然后相加,不一定能准确地得到180°.这两种情况怎么解释呢? 学生思考、交流、讨论.师:是这样的,研究几何图形时,从观察和实验得到的认识,有时会有误差,难以使人确信其结果一定正确.因此,就得在观察的基础上有理有据地说明理由,这就是说,要判断数学命题的真假,需要做必要的逻辑推理.二、共同探究,获取新知

师:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.教师多媒体出示:(1)长江是中国第一大河;(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;(3)2+3≠5;(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.教师找一名学生回答,然后集体订正.师:在逻辑学中,凡是可以判断出真(即正确)、假(即错误)的语句叫做命题.上面的(1)、(2)、(4)都是正确的命题,我们称之为真命题;(3)是错误的命题,我们称之为假命题.如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断,那么它就不是命题,比如感叹句、疑问句、祈使句等.教师多媒体出示:(1)请关上窗户;(2)你明天骑车来上学吗?(3)天真冷啊!(4)今天晚上不会下雨.(5)昨天我们去旅游了.师:请同学们判断一下哪些语句是命题? 学生讨论后回答,然后集体订正.师:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时我们为了简便,省略关联词“如果”、“那么”,如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,可以写成“对顶角相等”.以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或假设),q是这个命题的结论(或题断).三、边讲边练 教师多媒体出示: 【例1】 指出下列命题的条件与结论:(1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行;(2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.生甲:(1)中“两条直线平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论.生乙:“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.四、层层推进,深入探究

师:将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.我们在前面学习了命题都可以判断真假,当一个命题是真命题时,它的逆命题也是真命题吗? 学生交流讨论后发表意见.师:我们可以看这样一个例子,“如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2”是真命题,它的逆命题是什么? 生:它的逆命题是“如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角”.师:它是真命题还是假命题呢? 生:假命题.师:你是怎么判断它是假命题的呢? 学生交流讨论后回答.教师多媒体出示下图.师:对.我们可以举一个例子,比如角平分线分成的两个角,∠1=∠2,但显然,这里∠1与∠2就不是对顶角.像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.若要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.五、练习新知,加深讨论

师:请同学们看教材中本节例1后练习的第2题.教师找学生回答,然后集体订正得到:(1)假命题.反例:|-1|=|1|,但-1≠1.(2)假命题.反例:(-1)×(-1)>0,但-1是负数.(3)真命题.(4)假命题.若两条不平行的直线与第三条直线相交,同位角不相等.师:我们来看第3题.教师找学生回答,然后集体订正得到:(1)真命题,(2)真命题,(3)真命题.师:在数学命题的研究中,为了确认某些命题是真还是假,需要对命题的正确性进行论证,在论证过程中,必须追本求源,真理不需要再作论证,其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题,作为判断其他命题真假的依据,这些作为原始根据的真命题称为公理.同学们想一下,我们学过哪些公理? 生甲:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.生乙:两点之间的所有连线中,线段最短.生丙:经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线, 师:对,这些都是公理.有些命题,它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子? 生甲:对顶角相等.生乙:三角形的三个内角和等于180°.生丙:等角的补角相等.师:对.推理的过程叫做证明.下面,我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等, 3 两直线平行”.教师多媒体出示: 【例2】 已知:如图所示,直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2.求证:a∥b.师:若已知“同位角相等,两直线平行”这个定理,怎么证明“内错角相等,两直线平行”这个结论? 学生交流讨论,教师巡视指导.学生口述,教师板书推理过程.证明:∵∠1=∠2,(已知)又∵∠1=∠3,(对顶角相等)∴∠2=∠3.(等量代换)∴a∥b.(同位角相等,两直线平行)教师强调:证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理、已经学过的定理.【例3】 已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求证:OE⊥OF.证明:∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC(已知)∴∠1=∠AOB,∠2=∠BOC.(角平分线的定义)又∵∠AOB+∠BOC=180°,(已知)∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=90°.(等式性质)∴OE⊥OF.(垂直的定义)

六、课堂小结

师:我们今天学习了什么内容? 学生回答,教师补充完善.教学反思

在这节课上,通过举反例判定一个命题是假命题,培养学生学会从反面思考问题的方法.通过强调正面的严密性,让学生理解证明的必要性和推理过程要步步有据.在教学方法上我主要采用“举一”,让学生独立思考、自由交流、集思广益,从而达到“反三”的目的.尽可能地调动更多学生主动参与、交流、沟通,通过自身思维碰撞构建新的认知结构,从而准确地判断命题的真假,对于假命题举出反例.对于命题的证明,要求学生能写出证明的一般步骤并能做到步步有据.第2课时 命题与证明(二)教学目标

【知识与技能】

1.掌握三角形内角和定理及其三个推论.2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.3.探索并理解三角形的内角和定理.4.会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.【过程与方法】

1.经历探索并证明三角形内角和定理的过程.2.让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论.【情感、态度和价值观】

1.通过三角形内角和定理的证明,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途.2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.重点难点

【重点】

三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理.【难点】

三角形内角和定理的证明.教学过程

一、创设情境,导入新知

师:在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还记得它的内容吗? 学生回答.师:我们用什么方法证明过这个命题? 生:用折叠、剪拼和度量的方法.师:很好!在上节课我们学习了定理的概念,大家还记得吗? 生:记得.它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.师:对.三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实,上节课我们还学习了简单命题的证明,现在我们来证明这个定理.二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示: 【例1】 证明三角形内角和定理:三角形的三个内角和等于180°.师:在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号;再结合图形,写出已知、求证.这个命题的条件和结论分别是什么? 生:条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180°.师:这个命题与图形有关吗? 生:有关.师:那我们要画出什么图形? 生:一个三角形.教师在黑板上画出一个三角形.师:题目中没有已知、求证,我们自己要写出来.已知就是条件,求证的就是要证的结论.应该怎么写? 生:已知:△ABC,如图所示.求证:∠A+∠B+∠C=180°.教师板书.师:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.教师边操作边讲解: 在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等,来代替这种操作.并且为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线.同学们看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题? 生:延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B.教师作图:

师:对.如果再知道什么条件就能得到结论了? 学生讨论后回答.生:因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角,等于180°,如果∠A=∠1,那么就有∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠ACB=180°,这样就证出了结论.师:对.现在我们看怎样证∠A=∠1? 学生交流讨论.教师提示:∠A和∠1是什么角? 生:内错角.师:怎么证两个内错角相等? 生:两直线平行,内错角相等.师:在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行? 生:证明CE∥BA,因为∠2=∠B,由同位角相等,两直线平行,就可以证出CE∥BA了.师:很好!我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚才是分析,可以由结论推条件,但在书写过程中,要先写条件,再写结论,这个顺序要理清.学生口述,教师板书.师:现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两个角的和会是多少? 生:90°.师:对.两个角的和是90°,我们可以称它们之间是什么关系? 生:互余.师:对.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论.教师板书: 推论1 直角三角形的两锐角互余.三、边讲边练

师:三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能说出第一题的思路? 生:过点A作DE∥BC后,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义就可证出了.师:你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整.学生完成练习第1题.师:第二个练习的思路大家清楚吗? 学生交流讨论后回答.生:过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180°.师:很好!请同学们把证明过程补充完整.学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正.四、层层推进,深化理解 教师多媒体出示:

师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系?你能给出证明吗? 学生小组交流讨论后回答.生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B.师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系? 生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.教师板书: 推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2可以用来计算角的大小,推论3可以用来比较两个角的大小.【例2】 已知:如图所示,∠

1、∠

2、∠3是△ABC的三个外角.求证:∠1+∠2+∠3=360°.师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一下,怎么证明这个命题? 学生交流讨论后回答,然后集体订正.证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB, ∠2=∠BAC+∠ACB, ∠3=∠BAC+∠ABC,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理)∴∠1+∠2+∠3=360°.五、课堂小结

师:我们今天学习了哪些内容?你有什么收获? 学生发言,教师点评.教学反思

命题与证明沪科教案 第3篇

这个单元的学习可以分为三个模块，包括定义与命题，证明，反例与证明.

一、定义与证明

在定义与命题这一块中，主要是学习了一些概念，包括定义的含义，命题的含义，了解命题的结构，理解真命题、假命题、公理和定义的概念.在学习这些概念的过程中，判断一个命题的真假是这一块学习中的重点.通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法.

正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.在判断命题的真假的时候不能凭感觉，而是要找到真切的依据才能进行判断.如，一个图形经过旋转变化，像和原图形全等.要判断这个命题是真命题还是假命题，首先我们要把这个命题转换成条件和结论的形式，“如果图形B是由图形A经过旋转得到的，那么这两个图形全等”.然后再对这个结论进行证明.我们知道，图形的旋转只会改变图形的位置，而不会改变图形的形状及大小，全等只看两个图象的对应边和对应角是否相等，而不受位置的影响.因此，这个命题是正确的.

在这里，一个看似简单的真假命题的判断也体现着数学的思维方法.首先我们是把一个定义转化成了数学问题，就是转化成了一个由已知条件和结论组成的命题，然后才判断这个命题的真假.这充分体现了数学知识解决问题的一般程序和方法.也体现了数学对培养学生的理性思维和逻辑能力方面的要求.

二、证明

在第二个模块中，主要是学习了证明的含义，体验、理解证明的必要性，了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题，探索并理解三角形内角和定理的几何证明，让学生体验从实验几何向推理几何的过渡，归纳和掌握证明的两种思考方法，包括正向和逆向的思维方法.特别是逆向的思维方式，这部分内容的一个难点.

证明的含义，教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图:比较线段AB和线段CD的长度.通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性.在新课的学习中，可以参考教科书中的一组直线a、b、c、d、是否不平行 (互相相交) ，让学生先观察、再猜想结论，最后动手验证.在学生的活动结束后，教师引入证明，并通过一个例子来让学生体会证明的初步格式.教师再小结归纳出证明的含义.证明的含义所体现出来的也正用数学解决问题的方式.数学问题的解决离不开各种理论依据，就像教科书上所给出的图形一样，视觉会造成误差，看到的不一定就是真切实在的，而用数学的方法证明出来的结论肯定是可信的.学习这些知识，可以改变一些看问题只看表面的不良习惯和处事风格，对一个人的全面发展也是非常有意义的.

对于证明的含义和表述的格式，在数学当中也有严格的规定.如证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题.首先要根据题设画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论 (求证) .证明过程的具体表述 (略) .这一块的内容学习中注重几何命题的表述格式: (1) 按题意画出图形; (2) 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论; (3) 在“证明”中写出推理过程.

这个证明的格式和过程的学习要求学生即使有了正确的推理和结论，也要用正确的书写格式把证明过程写出来.过程的书写反映出来的是一个解决问题的过程，正确的数学有助于帮助学生理清思路，用有条理的内容来表述解决问题的整个过程.

在分析和思考问题的过程中，逆向思维数学学习中是一种比较特别的且重要的思维方法.用逆向思维去分析和解决问题有时候比正向思维更方便快捷.但这种思维的方法与正常的思维习惯不一样，学生可能不太容易接受.因此，在学习这部分内容的时候，教师用一些比较典型的例子来讲解和说明，这样才能让学生更好地理解和接受.学生在学习和接受这种数学思维的时候，对生活中的很多观念也可能有不同的理解和感受.逆向思维是为学习反证法打基础，逆向思维同时也体现了解决问题的方法不是唯一的.只要逻辑正确，依据合理，同样可以从不同的角度，用不同的方法来解决问题.数学学习中常见的一题多解就是这样的一种发散思维的体现.因此，学习数学是培养学生发散思维的有效途径.

三、反例与证明

这一块学习的主要是反例的意义和作用，并掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的.我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢?如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了.

如，判断以下列命题的真假: (1) 素数是奇数. (2) 黄皮肤、黑头发的人是中国人. (3) 在不同顶点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形.要证明这几个命题也并不是很困难，但如果可以从另一方面来思考，用“反例”的方法来证明，那将会比用正常的方法证明容易很多.如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了.这称为举“反例”，这体现了事物的两面性和用辩证的观点来看问题.

如，判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明.分析:这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例.本题可以从以下两方面考虑，图1三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D, AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E (E不是中点) ，则在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C, AE=AE，显然它们不全等.能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可.

反例与证明的学习可以让学生学会从对立的角度去思考问题.这同时也体现了数学思维的发散性和多维性，不同的角度看问题，解决问题的方法可以是不一样的，但无论用什么样的方法，体现的数学思维是一样的，就是用多角度发散的思维去思考问题，再用严密的逻辑去分析和证明.

总之，学习命题与证明这个单元的内容，很好地体现了数学在解决问题方面的独特思维和方法.教师在教学的过程汇总，除了要让学生掌握书本上的知识点外，还要注重发展学生的数学思维和加强学生用数学的知识和思维来解决问题的能力.这不仅是新课标对教学的要求，还是素质教育对人才的要求.

参考文献

[1]游仕伟, 新课程理念下初中数学思维能力的培养, 课程教育研究, 2012:17.

[2]付少平, 初中数学教学中对学生思维能力培养的研究, 现代教育科学中学教师, 2012.11.

[3]王旭, 浅谈初中数学创新思维的教学策略, 科技视界, 2012:26.

初二数学教案：命题与证明 第4篇

第二十四章 证明与命题(一)复习

一、教学目标：

1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。

2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。、了解证明的 含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。

4、会根据一些基本事实证明简单命题。

5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。

6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。

二、本章知识结构框架图：

三、教 学过程：

(一)知识回顾

1、一 般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题分为真命题与假命题。

2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

(二)说一说

1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题?

(1)有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形;

(2)有两条边对应相等的两个三角形全等;

(3)作A的平分线;

(4)若a=b 则 a2= b2

(5)同位角相等 吗?

2.说出一个已学过 定理:

说出一个已学过公理:

3、下列把命题改写成如果，那么的形式。并判断下列命题的真假.(1)不相等的角不可能是对顶角.(2)垂直于同一条直线的两直线平行;

(3)两个无理数的乘积一定是无理数.(三)练一练 1.用反例证明下列命题是假命题：

(1)若x(5-x)=0，则x=0;

(2)等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高;

(3)相等的角是内错角;

(4)若x2,则分式 有意义.(四)例题分析

例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.证明命题的一般步骤:

(1)根据题意,画出图形;

(2)用符号语言写出已 知和求证

(3)分析证明思路;(4)写出证明过程;

例2已知：如图，△ABC中,C=2B，BAD=DAC.求 证：AB=AC+CD

还有其他方法吗? A A E

B D C B D C

(第三题)(第二题)

例3已知 ：如图D,E分别是BC,AB上的一点,BC、BD的长度之比为3:1, △ECD的面积是△ABC的面积的一半.求证： BE=3AE[来源:学|科|网]

例

4、已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB ∥ EF，CD ∥ EF，[来源:学科网]

求证：AB ∥ CD。

证明：假设AB∥CD,那么AB与CD一定相交于一点P

∵AB ∥ EF，CD ∥ EF(已知)

过点P有两条直线AB，CD都与直线EF平行。

这与经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行矛盾。[来源:学科网]

AB ∥ CD不能成立。

AB ∥ CD

反证法的一般步骤：[来源:学科网]

1.反设(否定结论);

2.归谬(利用已知条件和反设，进行推理，得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾);

3.写出结论(肯定原命题成立)。

练习：

如图,已知:AB=AE，BC=DE，AFCD于F.求证:CF=DF.(五)小结：

(六)作业布置：练习一份

第2章 命题与证明 复习教案 第5篇

一、复习目标

1、梳理本章主要知识点；

2、比较深入地去认识命题；

3、对于较为简单的命题能比较熟练地辨别真假，并能按规范的格式给予证明；

4、培养学生分析能力，发展学生的逆向思维能力；

5、对某些几何命题分析、证明是有一定的经验（套路），发展学生学会总结辨别的能力.二、重点难点

重点：证明的方法和表述是论证几何的核心内容，对于培养我们的逻辑思维能力和逻辑表达能力有重要的作用，也是进一步学习后续几何内容的必须的基础知识和基本技能，是本章的重点

难点：证明的分析、表述格式

三、复习引入

知识梳理

四、教学过程

1.引入新课

说明：本章主要内容有定义、命题、证明、反例和反证法

1、能清楚地规定某一名称或术语的 的句子叫做定义

2、对某一件事作出 的句子叫做命题； 叫做真命题，叫做假命题 要说明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个.要说明一个命题是真命题，常用 方法

数学中通常挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些公认为正确的命题叫做

用推理的方法判断为正确，并且可以作为判断其他命题真假依据的真命题叫做定理

3、要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，依据已知的定义、定理、公理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明.2.内容组织 1.例1 下列语句中哪些是命题？

（1）每单位面积所受到的压力叫做压强；（2）如果a是实数，那么a+1〉0；（3）两个无理数的乘积一定是无理数；（4）偶数一定是合数吗？（5）连接AB；（6）不相等的两个角不可能是对顶角

说明：必须是对某件事作出正确或不正确的判断 疑问句、命令性的语句不是命题

（2）如果a是实数，那么a+1〉0；（3）两个无理数的乘积一定是无理数；（6）不相等的两个角不可能是对顶角.中哪些是真命题？哪些是假命题？并说明理由

说明：（6）假设是对顶角，则这两个角相等，这和已知两个角相等矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.“（6）不相等的两个角不可能是对顶角”的条件是什么？结论是什么？你能改写成“如果......，那么......”的形式

说明：“如果” 后跟的“......”是条件；“那么” 后跟的“......”是结论

例2 如图，BI，CI分别是△ABC中∠ABC, ∠ACB的平分线.求证：BIC90

221A 2分析：充分利用角平分线和三角形内角和等于180° 把∠BIC和∠A联系起来

证明：∵BI，CI分别是△ABC中∠ABC, ∠ACB的平分线

IBC11ABC,ICBACB 2212∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）180(ABC1ACB)2111180(ABCACB)180(180A)90A

222例3 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D.求证：AE=CD 分析：要证明AE=CD，只要证明什么？（△ＡＥＣ≌ ＣＤＢ）

证明：∵∠ACB=90°，CF⊥AE ∴∠EAC+∠ACF=90°，∠DCB+∠ACF=90° ∴∠EAC=∠DCB ∵BD⊥BC ∴∠DBC =90°=∠ACB 又∵AC=BC ∴△ＡＥＣ≌ＣＤＢ ∴AE=CD 还可得出哪两条线段相等？

说明：在三角形中，有多个垂直关系时，常利用“同角（或等角）的余角相等”来证明两个角相等，从而证明三角形全等.例4如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证：

∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

证法三：延长AD ∵∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C ∴∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C 探索：（1）如图(甲)，在五角星图形中，求 ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。

（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？

3.课堂小结

命题、定理和证明教案 第6篇

重点：命题、定理、证明的概念 难点：命题、定理、证明的概念

一、板书课题，揭示目标

同学们，到现在为止，我们已经学习了一些简单的性质、判定、定义，这些命题都是真命题，那什么是命题呢？我们今天就来学习5.3.2命题、定理.本节课的学习目标是：（请看投影）

二、学习目标

1、理解命题、定理、证明的概念.2、会判断一个命题是真命题还是假命题.三、指导自学

认真看课本（P21-22练习前）.1结合例子理解命题的定义，会把一个命题写成“如果„„那么„„”的形式;○2理解真命题、假命题的概念并会判断一个命题的真假.○如有疑问，可以小声问同学或举手问老师.6分钟后，比谁能正确地做出检测题.三、先学

1、教师巡视，督促学生认真紧张地自学

2、学生练习：

检测题 P22 练习补充题：

1、下列是命题的是（）1对顶角相等.○2答案A是正确的.③若ａ＝ｂ，则ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ．④画射○线BC.⑤这条边长等于多少？

2、下列命题是真命题的是（）1同角的补角相等。○2相等的角是对顶角。○③互补的角是邻补角。

④若∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3 分别让两位同学上堂板演，其余同学在位上做。

四、更正、讨论、归纳、总结

1、自由更正

请同学们认真看堂上板演的内容，如果有错误或不同解法的请上来更正或补充。

2、讨论、归纳 评讲2（1）：命题假设的对吗？为什么？怎样找一个命题的假设？引导学生回答：“如果”后接的部分是假设（师板书）

（2）命题的题设正确吗？为什么？他没有“如果„„那么„„”的形式该怎么办呢？如何把命题写成“如果„„那么„„”的形式，引导学生回答：题设——已知事项;结论——是由已知事项推出来的事项。

评补充题：

1、答案正确吗？为什么？引导学生回答：命题的条件是什么？（1）命题必须是一个完整的句子.（2）对某件事做出了判断。

2、“同位角相等“是真命题吗？为什么？引导学生画图说明：

五、课堂作业（见测试题）

例谈“微分中值命题”的证明方法 第7篇

关键词：中值定理,构造辅助函数,F (f' (ξ) f (ξ) ξ) =0类型

中值定理通常是指罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理及其相关的定理和推论, 中值定理在解决许多数学问题如复杂的等式证明、不等式的证明、方程求根及许多应用问题中都起到了重要作用。在高等数学的学习中, 我们会接触到许多要利用中值定理来证明求解的题目, 这类题目通常称为“微分中值命题”。“微分中值命题”中有证明等式、不等式的, 还有讨论方程根及许多应用问题, 其中最为复杂、最为灵活、难度也最大的就是有关等式的一些命题的证明。要利用中值定理证明等式, 特别是含有和导数的等式问题证明, 其关键是要根据待证的结论来构造一个辅助函数。构造辅助函数是解决数学问题中经常使用的一个手段, “根据待证结论构造辅助函数”的方法, 这对许多证明题都是一种很有效的方法, 在证明“微分中值命题”中使用的较多, 尤其重要。那么如何构造辅助函数就是摆在学生面前的一个难题。

“微分中值命题”中证明等式的题目很多, 方法也有很多种, 在这里我只根据命题结论的形式及解题方法的不同, 通过例题方式讨论其中一种结论为F (f' (ξ) , f (ξ) , ξ) =0形式的题目的证明方法, 主要是讲解如何构造辅助函数。这类题目的题型特点:要证结论为一包含有ξ、f (ξ) 、f' (ξ) 的F (f' (ξ) , f (ξ) , ξ) =0方程。其一般解法:根据所给题目构造一个辅助函数并找出一个区间使其具有某个中值定理的形式并适合其条件, 然后用中值定理解题。而这类辅助函数的构造有很大的灵活性, 一般可以通过移项变形等方法来观察可以构造什么样的辅助函数。

下面举例介绍构造辅助函数证明“微分中值命题”的方法。

例1设函数覼 (x) 在[0, π/4]上连续, 在 (0, π/4) 内可导, 且覼 (0) =0, 覼 (π/4) =1。试证在 (0, π/4) 内至少存在一点ξ, 使得覼' (ξ) =sec2ξ。

证要证f' (ξ) =sec2ξ,

只要证f' (ξ) -sec2ξ=[f (x) -tanx]'|x=ξ.

令F (x) =f (x) -tanx, 则F (x) 在[0, π/4]上连续, 在 (0, π/4) 内可导。又F (0) =0=F (π/4) , 根据罗尔定理可知, 在 (0, π/4) 内至少存在一点ξ, 使得F' (ξ) =f' (ξ) -sec2ξ=0, 即f' (ξ) =sec2ξ。

[讨论]例1可以归结为所证的结论是f' (ξ) =g' (ξ) 类型的“微分中值命题”, 是F (f' (ξ) , f (ξ) , ξ) =0题型中最为简单的一种。因为f' (ξ) -g' (ξ) =[f (x) -g (x) ]'|x=ξ, 要证f' (ξ) =g' (ξ) , 只要证f' (ξ) -g' (ξ) =0, 即证[f (x) -g (x) ]'|x=ξ=0, 构造函数F (x) =f (x) -g (x) 利用罗尔定理即可得证。解题关键是要由f' (ξ) =g' (ξ) 中能观察出g (x) 是什么函数。

例2设函数f (x) 在[0, 1]上连续, 在 (0, 1) 内可导, 且f (1) =0。试证在 (0, 1) 内至少存在一点ξ, 使得f' (ξ) =-f (ξ) /ξ。

[分析]待证结论f' (ξ) =-f (ξ) /ξ可以变形改写成ξf' (ξ) +f (ξ) =0, 而ξf' (ξ) +f (ξ) =[xf (x) ]'|x=ξ, 所以只要证[xf (x) ]'|x=ξ=0, 构造辅助函数F (x) =xf (x) 为再利用罗尔定理即可得证。 (证明略)

类似例2通过对证明结论的简单移项变形来构造辅助函数的还有以下几种:

1.证明结论为若将其变形为就不难想到柯西定理, 一个函数为f (x) , 另一个函数可设为g (x) =lnx即容易得证。

2.设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, f (a) =f (b) 。试证:存在ξ∈ (a, b) , 使f (a) -f (ξ) =ξf' (ξ) .

[分析]欲证f (a) -f (ξ) =ξf' (ξ) , 即证ξf' (ξ) +f (ξ) -f (a) =0, 也就是[xf (x) -f (a) x]'|x=ξ=0, 故可构造辅助函数F (x) =xf (x) -f (a) x。

相比较而言, 上述各题构造函数尚不算困难, 通过观察和简单的变形移项就容易找到需要构造的辅助函数, 但多数结论为F (f' (ξ) , f (ξ) , ξ) =0类型的题目并不是都这么简单, 构造辅助函数就有一定的技巧和难度。

例3证明:可导函数f (x) 的任意两个零点间, 必有f' (x) -kf (x) 的零点, 其中k是任一实数。

[分析]此题等价于:设函数f (x) 在[a, b]上可导, 且f (a) =f (b) =0, 证明:至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得f' (ξ) -kf (ξ) =0。要证明f' (ξ) -kf (ξ) =0, 只要证明e-kξ[f' (ξ) -kf (ξ) ]=0, 而e-kξ[f' (ξ) -kf (ξ) ]=e-kξ[f' (x) -kf (x) ]|x=ξ=[e-kξf (x) ]'|x=ξ, 构造辅助函数为F (x) =e-kξf (x) 利用罗尔定理即可得证。

(证明略)

例3对学生而言难度就显得大了一些, 许多学员遇到这类题目往往是束手无策, 不知从那里入手, 更不知道该如何构造辅助函数。例3难就难在要将f' (ξ) -kf (ξ) =0变形为e-kξ[f' (ξ) -kf (ξ) ]=0, 原式两边要同时乘以不为零的e-kξ, 然后再观察构造辅助函数, 这一点是许多学生都想不到的。

类似的还有待证结论为ξf' (ξ) +nf (ξ) =0形式:要从ξf' (ξ) +nf (ξ) =0, 变形到ξn-1[ξf' (ξ) +nf (ξ) ]=ξnf' (ξ) +nξn-1f (ξ) =[xnf (x) ]'|x=ξ, 从而构造辅助函数F (x) =xnf (x) , 这对学生来说也是需要多做多练才能达到轻松解题。

命题与证明沪科教案 第8篇

既选择远方，必风雨兼程

物理八年级上册复习讲义 专题五 质量与密度

【考纲要求】

1.初步认识质量的概念及单位； 2.理解密度概念及其物理意义；

3.会用天平测量物体的质量、用量筒测体积；

4.会用天平和量筒测物质的密度，会运用公式进行简单的计算； 5.能用密度知识解决简单的实际问题。【知识网络】

【考点梳理】 考点

一、质量

物体所含物质的多少叫质量。要点诠释：

（1）单位：国际单位：kg，常用单位：t、g、mg

对质量的感性认识：一枚大头针约80mg

一个苹果约150g。

一头大象约6t

一只鸡约2kg。

（2）质量的理解：物体的质量不随物体的形状、状态、位置、温度而改变，所以质量是物体本身的一种属性。（3）测量：

教育成就梦想

知识引领未来 我在学习的路上

既选择远方，必风雨兼程

考点

二、密度及测量

某种物质组成的物体的质量与它的体积之比叫做这种物质的密度。要点诠释：

（1）公式：

变形：

（2）单位：国际单位：kg/m3，常用单位g/cm3。

单位换算关系：1g/cm3=103kg/m

31kg/m3=10-3g/cm3。

水的密度为1.0×103kg/m3，其物理意义为1立方米的水的质量为1.0×103千克。

（3）理解密度公式：

①同种材料，同种物质，ρ不变，m与 V成正比； 物体的密度ρ与物体的质量、体积、形状无关，但与质量和体积的比值有关；密度随温度、压强、状态等改变而改变，不同物质密度一般不同，所以密度是物质的一种特性。

②质量相同的不同物质，体积与密度ρ成反比；体积相同的不同物质质量与密度ρ成正比。

（4）图象：如图所示：ρ甲＞ρ乙

（5）测体积——量筒（量杯）

①用途：测量液体体积（间接地可测固体体积）。②使用方法：

“看”：单位：毫升（ml）、量程、分度值。

“放”：放在水平台上。

“读”：量筒里的水面是凹形的，读数时，视线要和凹面的底部相平。

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（6）测固体的密度：

说明：在测不规则固体体积时，采用排液法测量，这里采用了一种科学方法--等效代替法。

（7）测液体密度：

①原理：ρ=m/V

②方法：a用天平测液体和烧杯的总质量m1；

b把烧杯中的液体倒入量筒中一部分，读出量筒内液体的体积V；

c称出烧杯和杯中剩余液体的质量m2 ；

d得出液体的密度ρ=(m1-m2)/V。

考点

三、密度的应用

1.鉴别物质：密度是物质的特性之一，不同物质密度一般不同，可用密度鉴别物质。

2.求质量：由于条件限制，有些物体体积容易测量但不便测量质量，用公式m=ρV可以算出它的质量。

3.求体积：由于条件限制，有些物体质量容易测量但不便测量体积，用公式V=m/ρ可以算出它的体积。4.判断空心实心。

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命题与证明沪科教案 第9篇

导课：(实用、新颖、简洁)

1、引入新课DD奇妙的水

水无常形，变化万千，无处不在。

云，形状各异!似鱼鳞，像城堡。你是否知道，让人浮想联翩的云从哪里来?

雪，使大地“银装素裹”!传说雪花来自天上“婆婆”的羽毛枕头，你相信吗?

雨，时而悄然无声，时而瓢泼倾盆。他来自何处，又落向何方?

其实,云、雨、雪.....它们都是水,只是形态各异罢了.

水变化万千。它不仅可变成云、雨、雪，而且还可以化为露、雾、霜等。今天，让我们开始对水进行科学探究吧。

2、开始新课

(1)水之旅

实验探究DD人造雨

将冰放入水壶，然后加热，观察冰的变化。不断加热，水沸腾后，戴上手套，用勺子靠近壶嘴。观察可知，在加热过程中，冰变成水;如再将水放入冰箱中，水还可以结冻为冰。由实验探究可知，水有三种状态，在一定条件下是可以相互转化的。

和学生一起学分析云、雨、雪等形成的知识。太阳照射使地面水温升高，含有水蒸气的热空气快速上升。在上升中，空气逐渐冷却，水蒸气凝结成小水滴或小冰晶，形成云。当云层中的小水滴合并成大水滴时，雨便产生了。假如上空的温度较低，小水滴结冻，水便以雪的形式降到地面。

像冰变水那样，物质从固态变成液态的过程称为熔化(melting)，固体开始熔化时的温度称为熔点(meltingpoint)。当温度生到冰的熔点(也叫冰点)时，水便从固态逐渐变为液态。

春天到了，冰雪会熔化加热了，水会变为水蒸汽。

水变为气态的`过程称为汽化(vaporization)。物质的汽化有两种方式：其一为沸腾(boiling)，沸腾时的温度为沸点(boilingpoint);其二为蒸发(vaporation)，蒸发是只在液体表面进行的汽化过程。

(2)科学探究DD冰的熔点与水的沸点

那么如何知道物质的熔点和沸点呢?下面我们首先来探究水的熔点与沸点。

冰在什么情况下开始熔化?水在什么情况下会沸腾?在熔化和沸腾过程中，温度如何变化呢?

先让学生进行猜想;

要学生针对自己的猜想设计实验;

进行实验并收集证据。将碎冰和温度计放入使管，按图10-9装置加热碎冰，观察冰在熔化过程中的温度变化。按图10-10装置加热水，观察水在沸腾时的温度变化(请设计数据记录表格，并在坐标纸上描出各点。

对实验数据进行分析和总结。