脉冲泛函微分方程（精选7篇）

脉冲泛函微分方程 第1篇

在自然界中, 很多现象的数学模型都可以用脉冲泛函微分系统来描述。到目前为止, 关于这类系统的研究成果已经很多[1,2,3], 但大部分都侧重于具有界滞量以及固定时刻脉冲的系统[2]。本文将研究一类具依赖于状态脉冲以及无穷延滞的泛函微分系统, 给出判定其 (h0, h) -稳定性的充分条件。

1 预备知识

令Rn表示n维欧氏空间, R= (-∞, +∞) , R+=[0, +∞) , 对∀x∈Rn, 定义$\parallel x\parallel =\underset{1in}{{\displaystyle \max }}|x{}_i|$。

考虑如下的脉冲泛函微分系统

其中$x{}_t=x(t+s),t\ge t{}^{*}\ge \alpha \ge -\infty ,s\in [\alpha ,0],\tau {}_k(x)＜\tau {}_{k+1}(x),k=1,2,\cdots ,\underset{k+\infty }{{\displaystyle \lim }}\tau {}_k(x)=+\infty$。对∀I⊂R定义PC[I, Rn]={x (t) :IRn, 对∀t∈I, x (t) 在除了点t=τk (x (t-) ) , k=1, 2, 处之外均连续且在点t=τk (x (t-) ) , k=1, 2, 是右连续的}。对∀t≥t*, PC[[α, t], Rn]记为PC (t) , 特别地, 记PC (0) =PC。

定义1.1 对∀ (t0, φ0) ∈[t*, +∞) PC, 若函数x (t) 满足:

(i) (1.1) 式, (1.2) 式, (1.3) 式均成立;

(ii) x (t) 在t∈[t0+α, +∞]＼{t∶t=τk (x (t-) ) , k=1, 2, }处是连续的;

(iii) x (t) 在点t=τk (x (t-) ) 是右连续的, 则称x (t) 为系统 (I) 的过的 (t0, φ0) 一个解。

总假设系统 (I) 的过∀ (t0, φ0) ∈[t*, +∞) PC的解是整体存在的[4], 并且系统 (I) 的任意解x (t) 依次与每个脉冲面至多可以碰撞有限次。

定义1.2 定义如下的函数类:

K={a (s) ∈C[R+, R+]:a (0) =0且a (s) 关于s严格单调递增},

CK={a (t, s) ∈C[R+2, R+]:对每个t∈R+, a (t, s) ∈K},

Γ={h∈C[RRn, R+]:$\underset{(t,x)}{{\displaystyle \inf }}h(t,x)=0,(t,x)\in RR{}^n\}$,

Σ={Q∈C1[RN, R+]:Q (0) =0且Q (w) 关于w严格单调递增},

Sk={ (t, x) ∈RRn, t=τk (x (t) ) , k=1, 2, },

Gk={ (t, x (t) ) ∈RRn, t为x (t) 与脉冲面碰撞产生的第k个与第k+1个脉冲时刻所构成的左闭右开区间}, $G={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}G}{}_k$。

定义1.3 称函数V:RRnRN+∈ν0, 若

(i) V (t, x) 在Gk上连续, 且关于x满足局部Lipschitz条件;

(ii) 对$(t{}_k,x)\in S{}_k,(t,y)\in G{}_k,\underset{(t,y)(t{}_k^{-},x)}{{\displaystyle \lim }}V(t,y)$存在, k=1, 2。

定义1.4 令h0, h∈Γ, φ0∈PC, 令

h0 (t, φ0) =sup{h0 (t+s, φ0 (s) ) }, 其中αs0, 脉冲泛函微分系统 (I) 被称为

(i) (h0, h) -稳定的, 若对∀ϵ>0, ∀t0≥t*, 存在δ=δ (t0, ϵ) >0, 使当h0 (t0, φ0) <δ时, 有h (t, x (t) ) <ϵ, t≥t0, 其中x (t) 是 (I) 式的过 (t0, φ0) 的解。

(ii) (h0, h) -一致稳定的, 若在 (i) 中δ与t0无关。

(iii) (h0, h) -吸引的, 若对任意的ϵ>0, t0≥t*, 存在δ=δ (t0) >0, T=T (t0, ϵ) >0, 使当h0 (t0, φ0) <δ时, 有h (t, x (t) ) <ϵ, t≥t0+T。

(iv) (h0, h) -一致吸引的, 若在 (iii) 中δ和T都与t0无关。

(v) (h0, h) -渐近稳定的, 若 (i) 和 (iii) 同时成立。

(vi) (h0, h) -一致渐近稳定的, 若 (ii) 和 (iv) 同时成立。

注 适当选取定义1.4中的h0, h可以得到相应的稳定性定义, 从而将多种稳定性统一起来, 如集合稳定性、轨道稳定性, 实际稳定性, 部分变元稳定性等。

定义1.5 设V∈ν0, 定义V (t, x) 沿 (I) 式的连续部分的Dini导数如下:

$D{}^{+}V(t,x(t))=\underset{h0{}^{+}}{{\displaystyle \mathrm{limsup}}}\frac{1}{h}[V(t+h,x(t)+hf(t,x{}_t,))-V(t,x(t))]$。

2 主要结果

下面将给出判定系统 (I) (h0, h) -稳定的比较结果, 文献[5]可作为其特殊情形。

引理2.1[6] 假设

(i) m (t) ∈C[R, RN], 且D+m (t) g (t, m (t) ) , t≥t0≥t*, 其中g∈C[RRN, RN], g (t, u) 关于u是拟单调非减的;

(ii) r0 (t) =r0 (t, t0, u0) 是系统

u′=g (t, u) (II)

的过 (t0, u0) 在[t0, ∞) 上的最大解,

则当m (t0) u0时, 有m (t) r0 (t) 。

定理2.1 假设

(i) g∈C[RRN, RN], g (t, u) 关于u是拟单调非减的, r0 (t) =r0 (t, t0, u0) 是系统u′=g (t, u) (II) 式的过 (t0, u0) 的在[t0, ∞) 上的最大解;

(ii) V∈ν0, 且对系统 (I) 式的任意解x (t) , 有

D+V (t, x (t) ) g (t, V (t, x (t) ) ) , (t, x) ∈G,

V (t, x (t) ) =V (t, x (t-) +Ik (x (t-) ) ) V (t, x (t-) ) , (t, x) ∈Sk, k=1, 2, ,

则当$V(t{}_0,\phi {}_0)=\underset{\alpha s0}{{\displaystyle \sup }}V(t{}_0+s,\phi {}_0(s))u{}_0$时, 有V (t, x (t) ) r0 (t) , t≥t0。

证明 对系统 (I) 式的解, 因为t0≠τk (x (t0) ) , k=1, 2, , 所以必存在某k0, k1, k0k1, 使得τk0 (x (t0) ) <t0<τk1 (x (t0) ) 。令ti=τki (x (t-i) )

(τki与τkj可以相同) , 且不防假设ti<ti+1, 令m (t) =V (t, x (t) ) 。

考虑区间[t0, t1) , 由于m (t0) V (t0, φ0) u0, 由引理2.1可知m (t) r0 (t) , t∈[t0, t1) , 此时m (t1) V (t1, x (t-1) ) r0 (t1) =u1。

考虑区间[t1, t2) , 由于m (t1) r0 (t1) , 再次由引理2.1可得m (t) r1 (t, t1, u1) , 其中r1 (t, t1, u1) 是系统 (II) 式的过 (t1, r0 (t1) ) 的在[t1, t2) 上的最大解, 此时m (t2) V (t2, x (t-2) ) r1 (t2, t1, r0 (t1) ) =u2。

依此类推, 可得对i=1, 2, , m (t) ri (t, ti, ui) , t∈[ti, ti+1) , 其中ri (t, ti, ui) 是系统 (II) 式的过 (ti, ui) 在[ti, ti+1) 上的最大解, ui=ri-1 (ti, ti-1, ui-1) 。

令

$r(t)=\{\begin{array}{l}r{}_0(t),t\in [t{}_0,t{}_1)\\ r{}_1(t,t{}_1,u{}_1),t\in [t{}_1,t{}_2)\\ \cdots \cdots \\ r{}_i(t,t{}_{i-1},u{}_{i-1}),t\in [t{}_{i-1},t{}_i),i=2,3,4,\cdots \end{array}$

则r (t) 是系统 (II) 式的过 (t0, u0) 的解, 且m (t) r (t) , 而r (t) r0 (t) , 从而m (t) r0 (t) , t≥t0, 证毕。

相应于定义1.4给出系统 (II) 式的相关稳定性概念。

定义2.1 设Q0, Q∈Σ, 称系统 (II) 式是

(i) (Q, Q) -稳定的, 若对∀ϵ>0, ∃δ=δ (t0, ϵ) , 使得当Q0 (u0) <δ时, 有Q (r (t) ) <ϵ, t≥t0, 其中r (t) 是系统 (II) 式的过 (t0, u0) 的任意解;

(ii) (Q0, Q) -一致稳定的, 若 (i) 中的δ与t0无关;

(iii) (Q0, Q) -一致渐近稳定的, 若系统 (II) 式是 (Q0, Q) -一致稳定的, 且对任意的ϵ>0, t0≥t*, 存在δ>0, T=T (ϵ) >0, 使得当h0 (t0, φ0) <δ时, 有h (t, x (t) ) <ϵ, t≥t0+T。

注:取不同的Q0, Q也可以得到系统 (II) 式的其它稳定性定义, 在此略过。

定理2.2 假设

(i) 定理2.1的条件 (i) 、 (ii) 成立;

(ii) Q0, Q∈Σ, h0, h∈Γ, 且存在ρ0>0, φ∈CK, 使得

h (t, x) φ (t, h0 (t, x) ) , (t, x) ∈S (h0, ρ0) ={ (t, x) |h0 (t, x) <ρ0};

(iii) 存在函数a, b∈CK, ρ>0, 使得

b (t, h (t, x) ) Q (V (t, x) ) , (t, x) ∈S (h, ρ) ,

Q0 (V (t, x) ) a (t, h0 (t, x) ) ;

(iv) 若对系统 (I) 式的解x (t) 有 (t, x (t-) ) ∈S (h, ρ) ∩Sk, 则 (t, x (t-) +Ik (x (t-) ) ) ∈S (h, ρ) , 那么由系统 (II) 式的 (Q0, Q) -稳定性性质可得出系统 (I) 式的相应的 (h0, h) -稳定性性质。

证明 对∀ϵ>0, (ϵ<ρ) , ∀t0≥t*, 假设系统 (II) 式是 (Q0, Q) -稳定的, 则对上述ϵ>0, t0, 存在δ1=δ1 (t, ϵ) >0, 使得当Q0 (u0) <δ1时,

Q (r (t) ) <b (ϵ) , t≥t0 (2.1)

(2-1) 式中r (t) 是系统 (II) 式的过 (t0, u0) 的在[t0, ∞) 任意解。

取δ<min{ρ0, φ-1 (t0, ϵ) , a-1 (t0, δ1) }, 则当h0 (t0, φ0) <δ时,

h (t0, x0) φ (t0, h0 (t0, x0) ) =φ (0, h0 (t0, φ0 (0) ) )

φ (t0, h0 (t0, φ0 (s) ) ) <φ (t0, δ) <ϵ。

下面证明对上述ϵ, δ, t0, 当h0 (t0, φ0) <δ时,

h (t, x (t) ) <ϵ, t≥t0 (2.2)

(2-2) 式中x (t) 是系统 (I) 式的过 (t0, u0) 的解。

对系统 (I) 的解x (t) , 因为t0≠τk (x (t0) ) , k=1, 2, , 所以必存在某k0, k1, k0k1, 使得

τk0 (x (t0) ) <t0<τk1 (x (t0) ) 。令ti=τki (x (t-i) )

(τki与τkj可以相同) , 且不妨假设ti<ti+1。

若 (2.2) 式不成立, 则必存在i≥0, t0>t0, t0∈[ti, ti+1) , 使得h (t0, x (t0) ) ≥ϵ, 而h (t, x (t) ) <ϵ, t∈[t0, ti) 。

若ti<t0<ti+1, 则h (t0, x (t0) ) =ϵ<ρ, 从而h (t, x (t) ) <ρ, t∈[t0, t0];

若t0=ti, 则h (t-i, x (t-i) ) <ϵ<ρ, 由条件 (iv) 可知h (t, x (t) ) <ρ, 从而h (t, x (t) ) <ρ, t∈[t0, t0]。

考虑区间[t0, t0], 取$u{}_0=\underset{s\in [\alpha ,0]}{{\displaystyle \sup }}V(t{}_0+s,\phi {}_0(s))$, 则由定理2.1可知

V (t, x (t) ) r0 (t) , t∈[t0, t0] (2.3)

(2-3) 式中r0 (t) 是系统 (II) 的过 (t0, u0) 的在[t0, ∞) 上的最大解。此时

$\begin{array}{l}Q{}_0(u{}_0)=Q{}_0(\underset{s\in [\alpha ,0]}{{\displaystyle \sup }}V(t{}_0,\phi {}_0(s)))\\ \underset{s\in [\alpha ,0]}{{\displaystyle \sup }}a(t{}_0,h{}^0(t{}_0,\phi {}_0(s)))\underset{s\in [\alpha ,0]}{{\displaystyle \sup }}a(t{}_0,h{}^0(t{}_0+s,\phi {}_0(s)))a(t{}_0,h{}_0(t{}_0,\phi {}_0))a(t{}_0,\delta )＜\delta {}_1‚\end{array}$

从而由 (2.1) 可得Q (r0 (t) ) <b (ϵ) , t≥t0。

特别地,

Q (r0 (t0) ) <b (ϵ) (2.4)

而

b (ϵ) b (h (t0, x (t0) ) ) Q (V (t0, x (t0) ) ) Q (r0 (t) ) ,

这与 (2.4) 是矛盾的。因此 (2.2) 成立。证毕。

定理2.3 假设

(i) 定理2.1的条件 (i) 、 (ii) 成立;

(ii) Q0, Q∈Σ, h0, h∈Γ, 且存在ρ0>0, φ∈K, 使得

h (t, x) φ (h0 (t, x) ) , (t, x) ∈S (h0, ρ0) =

{ (t, x) |h0 (t, x) <ρ0};

(iii) 存在函数a, b∈K, ρ>0, 使得

b (h (t, x) ) Q (V (t, x) ) , (t, x) ∈S (h, ρ) ,

Q0 (V (t, x) ) a (h0 (t, x) ) ;

(iv) 若对系统 (I) 式的解x (t) 有 (t, x (t-) ) ∈S (h, ρ) ∩Sk, 则 (t, x (t-) +Ik (x (t-) ) ) ∈S (h, ρ) , 那么由系统 (II) 式的 (Q0, Q) -一致稳定性性质可得出系统 (I) 的相应的 (h0, h) -一致稳定性性质。

证明 下面仅以证明系统 (I) 式的 (h0, h) -一致渐近稳定性为例, 系统 (I) 式的其它一致稳定性性质可以类似地证明。

对∀ϵ>0, (ϵ<ρ) , ∀t0≥t*, 由于系统 (II) 式是 (Q0, Q) -一致稳定的, 则对上述ϵ>0, t0, 存在δ1=δ1 (ϵ) >0, 使得当Q0 (u0) <δ1时,

Q (r0 (t) ) <b (ϵ) , t≥t0,

其中r0 (t) 是系统 (II) 式的过 (t0, u0) 的任意解。

取δ<min{ρ0, φ-1 (ϵ) , a-1 (δ1) }, 则类似定理2.2的证明过程可得系统 (I) 式是 (h0, h) -一致稳定的。

取ϵ=ρ, 则存在δ2=δ2 (ρ) >0, 使得当h0 (t0, φ0) <δ2时, 有h (t, x (t) ) <ρ, 其中x (t) 是系统 (I) 式的过 (t0, φ0) 的解。

由于系统 (II) 式是 (Q0, Q) -一致渐近稳定的, 于是存在δ3>0, 对上述ϵ>0, 存在T=T (ϵ) >0, 使得当Q0 (u0) <δ3时

Q (r (t) ) <b (ϵ) , t≥t0+T (2.5)

对系统 (I) 式的解x (t) , 因为t0≠τk (x (t0) ) , k=1, 2, , 所以必存在某k0, k1, k0k1, 使得

τk0 (x (t0) ) <t0<τk1 (x (t0) ) 。令ti=τki (x (t-i) )

(τki与τkj可以相同) , 且不防假设ti<ti+1。取δ′=min{δ2, δ3}, 下证对上述的δ′>0, T>0, 当h0 (t0, φ0) <δ′时,

h (t, x (t) ) <ϵ, t≥t0+T (2.6)

若不然, 则存在t0≥t0+T, 使得

h (t0, x (t0) ) ≥ϵ (2.7)

取$u{}_0=\underset{s\in [\alpha ,0]}{{\displaystyle \sup }}V(t{}_0+s,\phi {}_0(s))$, 由 (2.3) 式, (2.5) 式及 (2.7) 式有

b (ϵ) b (h (t0, x (t0) ) ) Q (V (t0, x (t0) ) )

Q (r0 (t0) ) <b (ϵ) ,

上式是不可能成立的, 从而 (2.6) 成立。综上可知系统 (I) 式是 (h0, h) -一致渐近稳定的。

参考文献

[1] Lakshmikantham V, Bainov D D, Simeonov P S.Theory of impulsive differential equations.Singapore:world scientific, 1989

[2]Shen, Jianhua Yan Jurang.Razumikhin-type stability theorems for im-pulsive functional differential equations.Nonlinear Analysis, 1998;33 (4) :519—537

[3]Luo Zhiguo, Shen Jianhua.Stability and boundedness results for im-pulsive functional differential equations with infinite delays.Nonlinear Analysis, 2001;46 (4) :475—493

[4] Fu Xilin, Yan Baoqiang.The global solution of impulsive retarded functional differential equations.International Journal of Applied Mathematics, 2000;2 (3) :389—398

[5]Wang Lin, Fu Xilin.A new comparison principle for impulsive differ-ential systems with variable impulsive perturbations and stability theo-ry.Com and Math with Appl, 2007;54:730—736

二阶非线性泛函微分方程的振动性 第2篇

二阶非线性泛函微分方程的振动性

讨论了一类二阶非线性泛函微分方程的`振动性,得到一些新的振动准则.

作 者：付银莲 FU Yin-lian  作者单位：华南农业大学理学院应用数学系,广州,510640 刊 名：科学技术与工程  ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年，卷(期)：2009 9(2) 分类号：O175.14 关键词：泛函微分方程   二阶   振动性   functional differential equations   second order   oscillation  

一类脉冲泛函微分系统的集合稳定性 第3篇

在自然界中, 很多现象的数学模型都可以用脉冲泛函微分系统来描述, 近几年来, 关于这类系统的集合稳定性已经有一些研究成果[1,2], 且大部分结果都要求脉冲函数仅仅依赖与当前的状态, 但由于脉冲函数也带有时滞的微分系统对自然现象的描述更加的准确, 因而对这类系统的研究具有更广泛的实际意义, 现主要研究脉冲函数在每一脉冲时刻有同一时滞的脉冲泛函微分系统, 到目前为止, 对这类系统解的稳定性已经有一些结果[3], 但据作者所知对该系统的集合稳定性的研究成果尚不多见, 现主要通过Lyapunov函数以及Razumikhin技巧的应用, 得到了这类系统集合稳定性的几个结果。

1预备知识

考虑如下脉冲函数在每一时刻有同一时滞的脉冲泛函微分系统

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=f(t,x{}_t),t\ge t{}_0,t\ne \tau {}_k,\\ x(\tau {}_k)={\rm I}{}_k(x(\tau {}_k^{-}))+J{}_k(x(\tau {}_k^{-}-\tau )),t=\tau {}_k\end{array}(1)$

其中f∈C[RnD, Rn], Ik, Jk∈C[Rn, Rn], D为PC ([-r, 0], Rn) 中的开集, ${\rm P}C([-r,0],R{}^n)=\{\text{ϕ}(t):[-r,0]\stackrel{}{}R{}^n|\text{ϕ}(t)$除点τk外处处连续, 且ϕ (τ+k) , ϕ (τ-k) 都存在, ϕ (τ+k) =ϕ (τk) }, xt∈PC ([-r, 0], Rn) , xt (s) = x (t+s) , -rs0, τ1<τ1<<τk<, 且τk∞, k∞。

其中文献[4]中条件 (H1) (H5) 保证了系统 (1) 过 (σ, φ) 的解是存在且唯一的。

令M⊆[σ-r, ∞]Rn, 引入下列符号:

$\overline{S}{}_{\alpha }=\{x\in {\rm P}C([-r,0],R{}^n)|\left|x\right|\alpha \};$

K={ω∈C (R+, R+) |ω严格单增且ω (0) =0};K1={ω∈C (R+, R+) |ω单增, ω (s) <s, s>0}。

其它符号详见文献[5]。

定义1 如果满足下列条件, 称函数V: (τk-1, τk) RnR+是属于V0类的:

(1) 函数V在 (τk-1, τk) M (t) 上是连续的, 且V (t, 0) =0, t≥σ;

(2) V (t, x) 关于x满足局部Lipschitz条件;

$\begin{array}{l}(3)\underset{(t,y)(\tau {}_k^{-},x)}{{\displaystyle \lim }}V(t,y)=V(\tau {}_k^{-},x),\\ \underset{(t,y)(\tau {}_k^{+},x)}{{\displaystyle \lim }}V(t,y)=V(\tau {}_k^{+}‚x)。\end{array}$

定义2 设V∈V0, 定义:

$D{}^{+}V(t,x(t))=\underset{h0{}^{+}}{{\displaystyle \lim }}\sup \frac{1}{h}\{V(t+h,x(t)+hf(t,x(t)))-V(t,x(t))\}$。

定义3 称集合M关于系统 (1) 的解是:

(D1) 一致稳定的:如果对任意的ε>0, α>0, σ≥t0, 都存在δ=δ (ε) >0, 使得对任意的$\phi \in \overline{S}{}_{\alpha }{\displaystyle \cap }{\rm M}{}_0(t,\delta )$有:x (t) ∈M (t, ε) , t≥σ。

(D2) 一致吸引的:如果对任意的α>0, σ≥t0, 存在δ>0, 使得对任意的ε>0, 存在T=T (ε) , 对任意的$\phi \in \overline{S}{}_{\alpha }{\displaystyle \cap {\rm M}}{}_0(t,\delta )$有:

x (t) ∈M (t, ε) , t≥σ+T。

(D3) 一致渐近稳定的:如果 (D1) 和 (D2) 同时成立。

2主要结果

定理1 假设存在函数a, b∈K, V∈V0, g1, g2∈K1, 满足以下条件:

(i) a (d (x, M (t) ) ) V (t, x) b (d (x, M (t) ) ) , (t, x) ∈

[σ-r, ∞) M (t, ρ) ;

(ii) V (τk, x (τk) ) g1 (V (τ-k, x (τ-k) ) ) +

g2 (V (τ-k-τ, x (τ-k-τ) ) ) ;

(iii) 对系统 (1) 的任意解x (t) , 任意t≠τk, 当-rs0, g (V (t+s, x (t+s) ) ) V (t, x (t) ) 时, 有D+V (t, x (t) ) p (t) c (V (t, x (t) ) ) , 其中p, c:[σ-r, ∞) R+局部可积, g=g1+g2;

(iv) sup{τk-τk-1}<∞, 对任意的λ>0有:

${\displaystyle {\int }_{g(\lambda )}^{\lambda }\frac{\text{d}(s)}{c(s)}}>{\displaystyle {\int }_{\tau {}_{k-1}}^{\tau {}_k}p}(t)\text{d}t;$

则集合M关于系统 (1) 的解是一致稳定的。

证明 对任意给定的ε:0<ε<ρ, 取δ=δ (ε) >0, 使得g-1 (b (δ) ) <a (ε) , 则对任意的α>0, σ≥t0, 令x (t) =x (t;σ, φ) 是系统 (1) 过 (σ, φ) 的解, 对任意的$\phi \in \overline{S}{}_{\alpha }{\displaystyle \cap {\rm M}}{}_0(t,\delta )$。

假设对某个m∈Z+, 有σ∈[τm-1, τm) , 由φ∈M0 (σ, δ) 及条件 (i) 知:

V (t, x (t) ) (b (δ) <g-1 (b (δ) ) , t∈[σ-r, σ]。

下证V (t, x (t) ) <g-1 (b (δ) ) , t∈[σ, τm]。 (2)

反之, 存在t*∈ (σ, τm) 满足:

V (t*, x (t*) ) >g-1 (b (δ) ) >b (δ) ≥

V (σ, x (σ) ) 。

进而存在$\overline{t}\in (\sigma ,t{}^{*})$使得:

$\begin{array}{l}V(\overline{t},x(\overline{t}))=g{}^{-1}(b(\delta ))‚\\ V(t,x(t))<g{}^{-1}(b(\delta )),t\in [\sigma -r,\overline{t})。\end{array}$

存在t∈ (σ, $\overline{t}$) 使得:

$V(\underset{¯}{t},x(\underset{¯}{t}))=b(\delta )$;$V(t,x(t))\ge b(\delta ),t\in (\underset{¯}{t},\underset{¯}{t})$。

从而对任意的$t\in (\underset{¯}{t},\overline{t}),-rs0$有

g (V (t+s, x (t+s) ) ) <b (δ) V (t, x (t) ) 。

则:一方面:

${\displaystyle {\int }_{V(\underset{¯}{t}‚x(\underset{¯}{t}))}^{V(\overline{t},x(\overline{t}))}\frac{\text{d}s}{c(s)}}{\displaystyle {\int }_{\underset{¯}{t}}^{\overline{t}}p}(t)\text{d}t<{\displaystyle {\int }_{\tau {}_{m-1}}^{\tau {}_m}p}(t)\text{d}t$,

另一方面:${\displaystyle {\int }_{V(\underset{¯}{t}‚x(\underset{¯}{t}))}^{V(\overline{t},x(\overline{t}))}\frac{\text{d}s}{c(s)}}={\displaystyle {\int }_{b(\delta )}^{g{}^{-1}(b(\delta ))}\frac{\text{d}s}{c(s)}}$,

从而有:${\displaystyle {\int }_{\tau {}_{m-1}}^{\tau {}_m}p}(t)\text{d}t\ge {\displaystyle {\int }_{b(\delta )}^{g{}^{-1}(b(\delta ))}\frac{\text{d}s}{c(s)}}$。

与条件 (iv) 矛盾, 即有 (2) 式成立。

再由条件 (ii) :

V (τm, x (τm) ) g1 (V (τ-m, x (τ-m) ) ) +g2 (V ( (τ-m-

τ) , x (τ-m-τ) ) ) g1 (g-1 (b (δ) ) ) +

g2 (g-1 (b (δ) ) ) =g (g-1 (b (δ) ) ) =b (δ) <g-1 (b (δ) ) 。

因而类似可证:

V (t, x (t) ) <g-1 (b (δ) ) , t∈[τm, τm+1) (3)

由数学归纳法, 对i=0, 1, 2, 有:

V (t, x (t) ) <g-1 (b (δ) ) , t∈[τm+i, τm+i+1) ,

V (τm+i+1, x (τm+i+1) ) b (δ) <g-1 (b (δ) ) 。

综上可以得到:V (t, x (t) ) <g-1 (b (δ) ) , t≥σ。

由条件 (i) 及函数α的性质知:

d (x, M (t) ) <ε, t≥σ。

即集合M关于系统 (I) 的解是一致稳定的。

定理2 如果将定理1中条件 (iv) 加强为:

$\begin{array}{l}(\text{i}\text{v}{)}^{\prime }\gamma =\sup \{\tau {}_k,\tau {}_{k-1}\}<\infty ,E{}_1=\\ \underset{k\in \mathit{{\rm N}}}{{\displaystyle \sup }}{\displaystyle {\int }_{\tau {}_{k-1}}^{\tau {}_k}p}(t)\text{d}t,\\ E{}_2=\underset{\lambda >0}{{\displaystyle \inf }}{\displaystyle {\int }_{g(\lambda )}^{\lambda }\frac{\text{d}s}{c(s)}}>E{}_1。\end{array}$

则集合M关于系统 (1) 的解是一致渐近稳定的。

证明 由定理1知, 集合M关于系统 (1) 的解是一致稳定的, 则:

对给定的ε0>0, 存在δ:b (δ) =g (a (ε0) ) , 且对任意的$\phi \in \overline{s{}_{\partial }}{\displaystyle \cap {\rm M}}{}_0(\sigma ,\delta )$, 当t≥σ时有:

x (t) ∈M (t, ε) , V (t, x (t) ) <g-1 (b (δ) ) =a (ε0) 。

对任意的ε:0<ε<ε0, 定义:

E=E (ε) =sup$\frac{1}{c(s)}$g (a (ε) ) sb (ε0) 。

对任意的q:a (ε) qb (ε0) , 由g∈K1知:

g (a (ε0) ) g (q) <qb (ε0) 。

则$E{}_2{\displaystyle {\int }_{g(q)}^q\frac{\text{d}s}{c(s)}}E(q-g(q))$, 取:

$d=d(\epsilon )=\frac{E{}_2-E{}_1}{E}$。

进而可得:$g(q)q-\frac{E{}_2}{E}<q-d(4)$

令N=N (ε) 为满足b (ε0) <a (ε) +Nd的最小正整数。

选取数列:{τmi}满足:τm0=τm,

τmi-1<τmi-1+ττmi; i=1, 2, , N。

则τm0=τmτm-1+γσ+γ,

τmi<τmi-1+γ<τmi-1+τ+γ, i=1, 2, , N。

从而有:τmNσ+γ+ (γ+τ) (N-1) <

σ+N (γ+τ) (5)

下证V (t, x (t) ) b (ε0) -id, t≥τmi,

i=1, 2, , N。

当i=0时, 由定理1显然成立。

则i=1时由条件 (ii) 及式 (4) 有

V (τm1, x (τm1) ) g1 (V (τ-m1, x (τ-m1) ) ) +

g2 (V ( (τ-m1-τ) , x (τ-m1-τ) ) ) g1 (b (ε0) ) +

g2 (b (ε0) ) =g (b (ε0) ) <b (ε0) -d。

则

V (t, x (t) ) b (ε0) -d, t≥τm1 (6)

反之, 存在t>τm1, 使得V (t, x (t) ) b (ε0) -d。

令$\overline{t}=\inf \{t>\tau {}_{m{}^1}|V(t,x(t))>b(\epsilon {}_0)-d\}$, 存在k>m1, 使得$\overline{t}$∈[τk, τk+1) 。

再由条件 (ii) 及式 (4) 知$\overline{t}$∈ (τk, τk+1) , 且

$\begin{array}{l}V(\overline{t},x(\overline{t}))b(\epsilon {}_0)-d,\\ V(t,x(t))b(\epsilon {}_0)-d,t\in [\tau {}_k,\tau {}_{k+1})。\end{array}$

令$\underset{¯}{t}=\sup \{t\in [\tau {}_k,\overline{t})|V(t,x(t))g(b(\epsilon {}_0))\},$

则t∈ (τk, $\overline{t}$) , 且

$\begin{array}{l}V(\underset{¯}{t},x(\underset{¯}{t}))=g(b(\epsilon {}_0))‚\\ V(t,x(t))\ge g(b(\epsilon {}_0)),t\in (\underset{¯}{t},\overline{t})。\end{array}$

对任意的$t\in (\underset{¯}{t},\overline{t}),-rs0$有

g (V (t+s, x (t+s) ) ) g (b (ε0) -)

V (t, x (t) ) 。

从而:一方面:${\displaystyle {\int }_{V(\underset{¯}{t},x(\underset{¯}{t}))}^{V(\overline{t},x(\overline{t}))}\frac{\text{d}s}{c(s)}}E{}_1$;

另一方面, g (a (ε) ) g (b (ε0) ) <b (ε0) -d<b (ε0) 。

知:$\frac{1}{c(s)}E,b(\epsilon {}_0)-d<s<b(\epsilon {}_0)$。

从而

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{V(\underset{¯}{t},x(\underset{¯}{t}))}^{V(\overline{t},x(\overline{t}))}\frac{\text{d}s}{c(s)}}={\displaystyle {\int }_{g(b(\epsilon {}_0))}^{b(\epsilon {}_{{}_0})-d}\frac{\text{d}s}{c(s)}}={\displaystyle {\int }_{g(b(\epsilon {}_0))}^{b(\epsilon {}_{{}_0})}\frac{\text{d}s}{c(s)}}-\\ {\displaystyle {\int }_{g(b(\epsilon {}_0))-d}^{b(\epsilon {}_{{}_0})}\frac{\text{d}s}{c(s)}}\ge E{}_2-Ed=E{}_1\end{array}$

, 与条件 (iv) ′矛盾, 从而 (2.3) 成立。

则i=2时, 由条件 (ii) 及式 (6) 有

V (τm2, x (τm2) ) g1 (V (τ-m2, x (τ-m2) ) ) +g2 (V (τ-m2-τ, x (τ-m2-τ) ) ) ) g1 (b (ε0) -d) +g2 (b (ε0) -d) =g (b (ε0) -d) <b (ε0) -2d。

由对N的假设知

a (ε) <b (ε0) -id<b (ε0) , i=1, 2, , N。

由数学归纳法可得

V (t, x (t) ) b (ε0) -Nd, t≥τmN。

取T=T (ε) =N (γ+τ) , 由条件 (i) 及式 (5) 有

d (x, M (t) ) ε, t≥σ+T。

即集合M关于系统 (1) 的解是一致渐近稳定的。

例 考虑如下系统:

$\{\begin{array}{cc}{x}^{\prime }=ax(t)+bx{}_t,\hfill & t\ne \tau {}_k,\hfill \\ x(\tau {}_k)=c(x(\tau {}_k^{-}))+d(x(\tau {}_k^{-}-\tau )),\hfill & t=\tau {}_k\hfill \end{array}(\text{Ι}\text{Ι})$

式 (7) 中x∈R, r>τ>0, a, b, c, d>0且c+d<1, xt=x (t+s) , -rs0。

$\begin{array}{l}\text{令}V(t,x(t))=\frac{1}{2}x{}^2,g{}_1(x)=c(c+d)x,g{}_2(x)=\\ d(c+d)x。\end{array}$

$c(x)=x,p(x)=2a+b+\frac{b}{(c+d){}^2}$。

当$\gamma =\sup \{\tau {}_k-\tau {}_{k-1}\}\frac{-2(c+d){}^2\ln (c+d)}{(2a+b)(c+d){}^2+b}$时:

$\begin{array}{l}V(\tau {}_k,x(\tau {}_k))=\frac{1}{2}c{}^{2}x{}^2(\tau {}_k^{-})+cdx(\tau {}_k^{-})x(\tau {}_k^{-}-\tau )+\\ \frac{1}{2}d{}^{2}x{}^2(\tau {}_k^{-}-\tau )\frac{1}{2}c{}^{2}x{}^2(\tau {}_k^{-})+\\ \frac{1}{2}cd(x{}^2(\tau {}_k^{-})+x{}^2(\tau {}_k^{-}-\tau ))+\\ \frac{1}{2}d{}^{2}x{}^2(\tau {}_k^{-}-\tau )\frac{1}{2}c(c+d)x{}^2(\tau {}_k^{-})+\\ \frac{1}{2}d(c+d)x{}^2(\tau {}_k^{-}-\tau )=g{}_1(V(\tau {}_k^{-},x(\tau {}_k^{-})))+g{}_2(V(\tau {}_k^{-}-\tau ,x(\tau {}_k^{-}-\tau )))。\end{array}$

当g (V (t+s, x (t+s) ) ) V (t, x (t) ) , -rs0时, 有:$x{}^2(t+s)\frac{x{}^2(t)}{(c+d){}^2}$。

$D{}^{+}V(t,x(t))=ax{}^2(t)+\frac{b}{2}x{}^2(t)+\frac{b}{2}x{}^2(t-\tau )\left(a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2(c+d){}^2}\right)=p(t)c(V(t,x(t)))$。

${\displaystyle {\int }_{g(\lambda )}^{\lambda }\frac{\text{d}s}{c(s)}}=-2\ln (c+d)$。

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\tau {}_{k-1}}^{\tau {}_k}p}(t)\text{d}t=\left(2a+b+\frac{b}{(c+d){}^2}\right)(\tau {}_k-\tau {}_{k-1})<\\ -2\ln (c+d)={\displaystyle {\int }_{g(\lambda )}^{\lambda }\frac{\text{d}s}{c(s)}}。\end{array}$

即$\sup {}_{k\in \mathit{{\rm N}}}{\displaystyle {\int }_{\tau {}_{k-1}}^{\tau {}_k}p}(t)\text{d}t<\inf {}_{\lambda >0}{\displaystyle {\int }_{g(\lambda )}^{\lambda }\frac{\text{d}s}{c(s)}}$。

从而由定理2知, 集合M关于系统 (7) 的解是一致渐近稳定的。

参考文献

[1]汤菁.非线性脉冲泛函微分系统的集合稳定性.济南:山东师范大学硕士学位论文, 2006

[2] Stamova I M, Stamov G.Lyapunov-Razumikhin method for asymptot-ic stability of sets for impulsive functional differential equations.Elec-tronic Journal of Differential Equations, 2008;48:1—10

[3] Zhang Y U, Sun J T.Stability of impulsive functional differential e-quations.Nonlinear Analysis, 2008;68:3665—3675

[4] Ballinger G, Liu X Z.Existence and uniqueness results for impulsivedelay differential equations.Dyn Contin Discrete Impuls Syst.1999;5:579—591

脉冲泛函微分方程 第4篇

2000年李德胜和黄海洋[1]考虑了一类二阶非线性微分方程x″=f (t, xt, x′) 解的爆破现象, 并给出了充分的条件。J.Baris, P.Baris和B.Ruchlewicz[2]研究了一阶二次初值微分系统y′=py2+qy+r, y (0) =y0, 的爆破解。2006年, J.Baris, E.Wawiorko[3]研究了一阶三次初值微分系统y′=a3y3+ a2y2+a1y+a0, y (0) =y0, 的爆破解。到目前为止, 对于泛函微分方程解的爆破现象还没有人考虑。受此启发, 我们来考虑二阶泛函微分方程

$\{\begin{array}{c}{x}^{″}=f(t,x{}_t,x^{\prime }(t)),t\in [0,+\infty )\\ x(0)=x{}_0=0\\ x^{\prime }(0)=L\end{array}(1)$

解的爆破现象。其中:L为常量。f:$[0,+\infty )C\left(\left[-r,0\right]\right)RR$, 总假设为连续函数, 且有xt= x (t+θ) , θ∈[-r, 0], ϕ∈C ([-r, 0], R) , x∈C ([0, n], R) 。范数定义为:$\left|\text{ϕ}\right|{}_r=\underset{t\in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|\text{ϕ}(t)\right|$。

1 定理1

假设f满足:

(F1) f∈[0, +∞) C[-r, 0]R, 且f有界;

$(\text{F}2)\underset{y0}{{\displaystyle \lim }}f(t,\text{ϕ},y)=f(t,\text{ϕ},0),(t,\text{ϕ})\in [0,+\infty )[-r,0]$;

(F3) 存在α≥0, β>max (α, 1) , 及c0, c1, c2>0, 使得对∀t∈[0, +∞) , 有:

$f(t,\text{ϕ},y)\ge c{}_0\left|\text{ϕ}(0)\right|{}^{\beta }-c{}_{1}y{}^{\alpha }-c{}_2,\text{ϕ},y\ge 0$。

(F4) 存在常数M0, 使得当$\left|\text{ϕ}(0)\right|\ge {\rm M}{}_0$时, 有

f (t, ϕ (0) , 0) ≥ε0>0, ∀t∈[0, +∞) 。

设x为式 (1) 的一个解, 若存在t0∈[0, +∞) 使得

x (t0) ≥M0, x′ (t0) >0, 则其最大存在区间[t0, T) 是有限的 (T<+∞) , 且$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。

2 定理1的证明

假设定理1中各条件成立, 令x为满足 (F4) 的式 (1) 的解, [t0, T) 为x的最大存在区间。我们需证T<+∞, 且$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。

首先, x在[t0, T) 上是非减的。若不然, 可得x有一局部最大点s, 有x (s) ≥M0, x′ (s) =0, x″ (s) 0, 而xs (0) =x (s+0) =x (s) ≥M0。则由 (F4) 知0≥x″ (s) =f (s, xs (0) , x′ (s) ) =f (s, x (s) , 0) >0。得出矛盾。现在有两种可能情况。

情况$1\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty$。本部分, 我们分两步证明:

第一步 下证$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。首先证明x′在[t0, T) 上是无界的。若不然, 对某M>0, 有0x′ (t) M, t∈[t0, T) 。若T<+∞, 则有x (t) = x (t0) +∫${}_{t{}_0}^t$x′ (s) dsx (t0) +M (t-t0) 。对其取极限得$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=x(t{}_0)+{\rm M}(t-t{}_0)$。即x (t) 有界, 与$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty$矛盾;若T=+∞, 由 (F3) , 可取$B=\frac{\delta +c{}_1{\rm M}{}^{\alpha }+c{}_2}{c{}_0},\delta >0$, 使得对∀t∈[0, +∞) , 有:

f (t, xt, x′) ≥δ, xt (0) ≥B, 0x′M (2)

取t*≥t0+r, 使得xt+x (t+θ) ≥B, ∀t≥t*, 则

x″=f (t, xt, x′) ≥δ, ∀t≥t* (3)

$x^{\prime }(t)<\left|x^{″}(\xi )(t-t{}_0)\right|+\left|x^{\prime }(t{}_0)\right|+\infty ,(t+\infty )$, 上式对∀t≥t*成立与0x′ (t) M, t∈[t0, T) 矛盾。所以x′在[t0, T) 上是无界的。下证$\text{l}\text{i}\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \text{m}}}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。由x′在[t0, T) 是无界的, 可取序列tn⊂[0, T) , tnT, 使得x′ (tn) +∞。令M为任意给定的正数, 由$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty$。类似于式 (3) 的讨论, 可证得存在tM>0使得, 若t≥tM, 且x′ (t) M, 则x″ (t) ≥0。由此, 若tn≥tM, 使得x′ (tn) ≥M, 则x′ (t) ≥M, ∀t≥tn。既有$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。

第二步 下证T<+∞。令α, β满足 (F3) 中的条件, 固定α<γ<β, 则对∀t∈[0, +∞) , 有:

$f(t,x{}_t,x^{\prime })\ge c{}_0\left|x{}_t(0)\right|{}^{\beta }-\frac{1}{4}c{}_0{x}^{\prime }{}^{\gamma }-c{}_3,x{}_t,x^{\prime }\ge 0(4)$

对某c3>0, 取M>0, 使得$\frac{c{}_0{\rm M}{}^{\beta }}{2}\ge c{}_3$。则

$\begin{array}{l}f(t,x{}_t,x^{\prime })\ge \frac{1}{2}c{}_0\left|x{}_t(0)\right|{}^{\beta }-\frac{1}{4}c{}_0{x}^{\prime }{}^{\gamma },\\ \forall t\in [0,+\infty ),\left|x{}_t(0)\right|\ge {\rm M},x^{\prime }\ge 0(5)\end{array}$

因为$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty ‚\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$, 故存在m∈N, tm∈[t0, T) , 使得

x (tm) ≥2m≥M, x′ (tm) ≥2m (6)

则$\left|x{}_{t{}_m}\right|{}_r=\underset{\theta \in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|x(t{}_m+\theta )\right|\ge {\rm M}$, 对k≥m (k∈N) , 定义一序列tk∈[tm, T) 如下:假设tk满足

x (tk) ≥2k, x′ (tk) ≥2k (7)

$\begin{array}{l}\text{又}\left|x{}_{t{}_k}\right|{}_r=\underset{\theta \in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|x(t{}_k+\theta )\right|\ge 2{}^k‚\text{则}t{}_{k+1}=\inf \{t{}_k\\ t<{\rm T}|x(t),x^{\prime }(t)\ge 2{}^{k+1}\}\end{array}$

。令Δtk=tk+1-tk, 为证明T<+∞, 需证:

${\displaystyle \sum _{k\ge m}}$Δtk<+∞ (8)

由x在[t0, T) 是非减的, 由式 (5) 、式 (6) 可得:

$x^{″}=f(t,x{}_t,x^{\prime })\ge \frac{1}{2}c{}_0\left|x{}_t(0)\right|{}^{\beta }-\frac{1}{4}c{}_0\left(x^{\prime }(t)\right){}^{\gamma },\forall t\ge t{}_m(9)$

令β=σγ, 则σ>1, 对k≥m, 由式 (7) 和式 (9) 可得:

$x^{″}(t)\ge \frac{1}{2}c{}_0\left(2{}^{\sigma k}\right){}^{\gamma }-\frac{1}{4}c{}_0\left(x^{\prime }(t)\right){}^{\gamma },\forall t\ge t{}_k(10)$

由此可见, 若t∈[tk, T) 使得x′ (t) <2σk, 则x″ (t) >0。则若s∈[tk, T) 满足x′ (s) ≥2σk, 则:

x′ (t) ≥2σk, st<T (11)

假设m取得足够大, 使得

σk≥k+1, k≥m (12)

令$\delta {}_k=\max \left(\frac{2}{2{}^{\left(\sigma -1\right)k}},\frac{8}{c{}_{0}2{}^{\left(\beta -1\right)k}},\left(\frac{32}{c{}_{0}2{}^{\left(\beta -1\right)k}}\right){}^{\frac{1}{2}}\right)$, 若对某些k≥m, 有Ttk+δk, 则定理得证。下面用反证法证明, 假设对任意的k≥m, 有tk+δk<T。我们需要证:

tk+1tk+δk, ∀k≥m (13)

则Δtkδk。则有式 (8) 成立。仍需分两种情况讨论:

(1) 存在$t\in \left[t{}_k,t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}\right]$, 使得x′ (t) ≥2σk, 对这种情况, 由式 (11) , 式 (12) 及δk的定义得:$x^{\prime }(t{}_k+\delta {}_k)\ge 2{}^{\sigma k}\ge 2{}^{k+1},x{}_{t{}_k+\delta {}_k}=x{}_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}+$${\displaystyle {\int }_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}^{t{}_k+\delta {}_k}{x}^{\prime }}(t)\text{d}t$。所以$\left|x{}_{t{}_k+\delta {}_k}\right|{}_r=\underset{\theta \in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|x(t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}+\theta )\right|+{\displaystyle {\int }_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}^{t{}_k+\delta {}_k}{x}^{\prime }}(t)\text{d}t\ge 2{}^{k+1}$。由tk的定义, 我们得tk+1tk+δk, 即Δtkδk。

(2) 对$\forall t\in \left[t{}_k,t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}\right],x^{\prime }(t)<2{}^{\sigma k}$, 这种情况下, 由式 (10) 知:

x′ (t) =x′ (tk) +∫${}_{t{}_k}^t$

$\begin{array}{l}{x}^{″}(t)\ge 2{}^k+\frac{1}{2}c{}_0(2{}^{\sigma k}){}^{\gamma }-\\ \frac{1}{4}c{}_0(x^{\prime }(t)){}^{\gamma }\left(t-t{}_k\right)\ge 2{}^k+\frac{1}{4}c{}_{0}2{}^{\beta k}(t-t{}_k)(14)\end{array}$

对$\forall t\in \left[t{}_k,t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}\right]$, 由式 (14) 得:$x^{\prime }\left(t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}\right)\ge 2{}^k+\frac{1}{4}c{}_{0}2{}^{\beta k}\frac{\delta {}_k}{2}\ge 2{}^{k+1},x{}_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}=x{}_{t{}_k}+$${\displaystyle {\int }_{t{}_k}^{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}{x}^{\prime }}(t)\text{d}t$。所以,

$\left|\left|x{}_{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}\right|\right|{}_r\ge \left|\left|x{}_{t{}_k}\right|\right|{}_r+$${\displaystyle {\int }_{t{}_k}^{t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}}\left(2{}^k+\frac{1}{4}c{}_{0}2{}^{\beta k}(t-t{}_k)\right)}\text{d}t\ge 2{}^{k+1}$, 所以$t{}_{k+1}t{}_k+\frac{\delta {}_k}{2}$, 即$\Delta t{}_k\frac{\delta {}_k}{2}\delta {}_k$。从而式 (13) 得证。

情况$2\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=c{}^{*}<+\infty$。这种情况下, 只需证明$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}=+\infty$。事实上, 若此为正确的, 则由x在[t0, T) 是有界的, 即可知T<+∞。

首先证明x′无界。用反证法, 若不然, 由x在[t0, T) 是非减的, 可得存在一常数c>0, 使得

0x′ (t) c, ∀t∈[t0, T) . (15)

由$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=c{}^{*}$, 则知存在t*>t0, 使得任意的t*< t<T有$\left|x(t)\right|<c{}^{*}+\epsilon$。从而t+θ>t*>t0, 有

$\left|x{}_t\right|{}_r=\underset{\theta \in [-r,0]}{{\displaystyle \max }}\left|x(t+\theta )\right|<c{}^{*}+\epsilon$。即xt在[t0, T) 有界。

由对f的有界性假设, 我们可得:x″=f (t, xt, x′) 在[t0, T) 是有界的, 且因此$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)$存在, 则由古典延展定理可知有T=+∞。对n∈N, 定义xt+n=x (t0+n+t+θ) , θ∈[-r, 0], t∈[0, 1]。则xt+n满足

x″t+n=f (t0+n+t, xt+n, x′) , t∈[0, 1] (16)

由$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=\underset{t+\infty }{{\displaystyle \lim }}x(t)=c{}^{*}$, 得存在N>0, 使得∀t>N, 有$\left|x(t)\right|<c{}^{*}+\epsilon$。令n>N+r, 从而t0+n+t+θ>N。则有$\left|x(t{}_0+n+t+\theta )\right|<c{}^{*}+\epsilon$, 即xt+n在$C{}^2\left(\left[-r,0\right]\right)$上有界。因此它有一子序列在$C{}^1\left(\left[-r,0\right]\right)$上收敛。由$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=c{}^{*}$, 则xt+n=x (t0+n+t+θ) c*, n+∞, 则有$\left(x{}_{t+n},x^{\prime }{}_n\left(t\right)\right)\left(c{}^{*},0\right),n+\infty$。若t∈[0, 1], 则$\left(x{}_{t+n}(t),x^{\prime }{}_n(t)\right)$一致收敛到$\left(c{}^{*},0\right),n+\infty$。由 (F2) 对足够大的n有

$\begin{array}{l}\left|f{}_n(t,x{}_{t+n},x^{\prime }{}_n)-f{}_n(t,x{}_{t+n},0)\right|<\frac{1}{4}\epsilon {}_0,\\ \forall t\in [0,1](17)\end{array}$

下面我们来证明存在一序列tn⊂[0, 1], 使得x″n (tn) 0, (n+∞) 。事实上, 若x″n在[0, 1]上变号, 则可将tn取做x″n的零点, 即x″n (tn) =0。当x″n (t) ≥0时, tn为x″n在[0, 1]的最小值, t∈[0, 1];当x″n (t) 0时, tn为x″n在[0, 1]的最大值, t∈[0, 1]。由x′n (t) ≥0, 且在[0, 1]上一致收敛到0, 易证由以上方法所取的序列tn满足所需条件。由 (F2) , (F3) , 式 (17) 注意到xtn+n (tn) c*, 对足够大的n有:

$\frac{1}{4}\epsilon {}_0\ge x^{″}{}_n(t{}_n)=f{}_n(t{}_n,x{}_{t{}_n+n},x^{\prime }{}_n(t{}_n))>f{}_n(t{}_n,x{}_{t{}_n+n},0)-\frac{1}{4}\epsilon {}_0>\epsilon {}_0-\frac{1}{4}\epsilon {}_0=\frac{3}{4}\epsilon {}_0,$

得出矛盾。即得x′ (t) 在[t0, T) 上无界。

用此序列来证明$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t)=+\infty$。用反证法, 假设其不成立, 则存在两序列sn, tnT, n+∞使得对某常数B>0有:

$x^{\prime }(s{}_n)B,\forall n\in {\rm N},\underset{n+\infty }{{\displaystyle \lim }}{x}^{\prime }(t{}_n)=+\infty (18)$

可假设对任意的n∈N有x′ (tn) ≥2B, 且

s1<t1<s2<t2<<sn<tn< (19)

对n∈N令$\sigma {}_n=\max \{s{}_{n}st{}_n|x^{\prime }(s)B\},\tau {}_n=\min \{\sigma {}_{n}st{}_n|x^{\prime }(s)\ge 2B\}$, 则x′ (σn) =B, 则x′ (τn) =2B, 便有

Bx′ (t) 2B, ∀t∈[σn, τn] (20)

且有[σi, τi]∩[σj, τj]=ϕ, i≠j时, 我们断言

$\underset{n+\infty }{{\displaystyle \lim }}(\tau {}_n-\sigma {}_n)=0(21)$

然后由式 (20) 可得$\underset{t{\rm T}}{{\displaystyle \lim }}x(t)=+\infty$。从而导致一矛盾。由中值定理, 对每个n存在ξn∈[σn, τn]使得$x^{″}(\xi {}_n)=\frac{x^{\prime }(\tau {}_n)-x^{\prime }(\sigma {}_n)}{\tau {}_n-\sigma {}_n}=\frac{B}{\tau {}_n-\sigma {}_n}$。由式 (2.1) 可得x″ (ξn) +∞, n+∞。则有

s″ (ξn) =f (ξn, xξn, x′ (ξn) ) (22)

由式 (20) 和 (F1) 我们可得式 (22) 右侧对任意的n∈N有界, 产生矛盾。从而结论得证。

参考文献

[1]Li Desheng, Huang Haiyang.Blow-up phenomena of second-order nonlinear differential equations.J Math Anal Appl, 2002;276:184—195

[2]Baris J, Baris P, Ruchlewicz B.Blow-up solutions of quadratic differ-ential systems.Journal of Mathematical Sciences, 2008;149 (4) :

脉冲泛函微分方程 第5篇

在20 世纪中期, Bochner首次提出了概自守函数概念, 它是概周期函数的一个自然推广[1]。其后, 许多数学工作者对Banach空间上发展方程的概自守性质进行了广泛而深入研究。N'Guerekata提出了渐近概自守函数的概念[7]。Liang等人[9]介绍了关于伪概自守函数的概念。N'Guerekata和Pankov引入了Stepanov概自守函数的概念并详细论证了函数空间的完备性和组合定理[8]。Blot等人[2]给出了Banach空间中的加权伪概自守函数的定义。Chang等人[10]建立了Stepanov加权伪概自守函数的性质和新组合定理, 并对带有加权伪概自守系数的一类非线性方程, 研究了它们的加权伪概自守解的存在性。最近, Blot等人[3]应用测度理论定义了遍历函数, 并且给出了测度伪概自守函数的概念和相关定理。Luo在文献[4,5]中分别讨论了一类中立型微分方程和一类半线性积分方程测度伪概自守解的存在性。

本论述主要在文献[6]的基础上, 讨论了如下抽象中立型泛函偏微分方程测度伪概自守解的存在性和唯一性:

其中算子是Banach空间上指数稳定半群的无穷小生成元, f, g, γi (i=1, 2) 是适当的μ测度伪概自守函数。本论述首先建立了μ测度伪概自守函数对时间变元γi (t) 扰动不变性的一个充分性条件, 然后借助于文献[4]中μ测度伪概自守函数的组合定理结合算子半群理论, 给出了方程 (1) 的μ测度伪概自守解的存在唯一性, 论述的第二节给出了所需的基本定义、引理和预备性结论;第三节通过借助合适的组合定理, 得到了抽象中立型泛函微分方程测度伪概自守解的存在性。

1 预备知识

本节主要介绍了一些基本定义、符号及引理。设是Banach空间, BC (R, ) 表示从R到X的有界连续函数的全体构成的Banach空间, 其范数表示.表示R的勒贝格σ邻域, M表示所有正测度μ的集合, 并且对任意有。

定义1.1[3]设连续函数称为是概自守的, 如果对任意的实数序列都存在一个子序列使得

对任意的t∈R是可以明确定义的, 并且有

记这类函数构成的集合为AA (R, X) 。

定义1.2[3]设B奂X是任意一个有界集合, 连续函数称为是概自守的, 如果对于任意的t∈R有f (t, x) 是概自守的, 对所有x∈B是一致成立的, 记这类函数组成的集合为AA (R×X, X) 。

定义1.3[3]设μ∈M, 有界连续函数称为μ-遍历, 如果f满足下式

将这类函数空间记为 ε (R, X, μ) 。

注1.1[4]设 μ∈M, 则具有一致收敛拓扑性的空间ε (R, X, μ) 和 ε (R×X, X, μ) 是Banach空间。

定义1.4[4]设μ∈M, 连续函数称为是μ-伪概自守的, 如果f可以分解为其中, 将这类函数记为, 因此, 可得。

引理1.1[3]设 μ∈M, τ∈R对于上的正测度μτ定义为

对 μ∈M, 本论述总是假定以下条件成立:

(H0) 对任意 τ∈R, 存在 α>0 和一个有界区间I使得

注1.2[3]设μ∈M且满足 (H0) , 则ε (R, X, μ) 是平移不变的, 同时PAA (R, X, μ) 也具有平移不变性, 且是Banach空间。

1.3[10]设μ∈M且满足 (H0) , f∈PAA (R, X, μ) , 则函数分解为是唯一的, 其中。

设表示连续嵌入到X中的Banach空间, f是Y有值连续函数, 表示在自然扑下从Y到X的有界线性算子全体, 表示从Y到自身的有界线性算子全体。

下面给出本论述所需要的基本假设条件:

(H1) 对于任意y∈Y, s≥0有函数且存在正数M, α使得

函数从 (0, ∞) 到是强可测并且存在非减函数满足, 则对任意的s>0有

(H2) 设存在常数Lf∈ (0, 1) 和连续函数使得

(H3) 对于i=1, 2, 函数是连续可微的且, 对任意的μ∈AA (R, X) , 函数且存在连续函数使得

2 主要结果

定义2.1 对于任意t∈R, 连续函数u∈BC (R, X) 称为中立型系统 (1) 适度解, 若在 (-∞, t) 上是可积的且

定理2.1 设 μ∈R, γ1和 γ2满足条件 (H3) 。

证明令μ=μ1+μ2∈PAA (R, X, μ) , 其中μ1∈AA (X) , μ2∈ε (R, X, μ) , 由 (H3) 的假设, γi可逆且。另一方面对于r>0, 有

注意到条件 (H3) 中的假设

以及事实, 从而可得

引理2.1[4]设μ∈M, f=g+h∈PAA (R×X, X, μ) 若条件 (Ⅰ) 和 (Ⅱ) 成立:

(Ⅰ) 对于任意的x∈X和t∈R, f (t, x) 在有界子集QX上是一致连续的;

(Ⅱ) 对于任意的x∈X和t∈R, g (t, x) 在有界子集QX上是一致连续的。

若, 则函数。

定理2.2设μ∈M, μ∈PAA (R, X, μ) , 假设条件 (H1) 成立, 若函数ν满足, 那么对于任意的t∈R, 有ν∈PAA (R, X, μ) 。

证明因μ∈PAA (R, X, μ) 有μ=μ1+μ2∈PAA (R, X, μ) , 且μ1∈AA (R, X) , μ2∈ε (R, X, μ) , 使得

其中对于每一个t∈R, 只需要证明和。

首先证明。取, t∈R, 因为μ1∈AA (R, X) , 存在子序列使得

进而

上结果由 (2.1) 式和勒贝格控制收敛定理可得。下面证明。

上式由 μ2∈ε (R, X, μ) 和勒贝格控制收敛定理亦可得。

定理2.3设μ∈M, μ∈PAA (R, X, μ) , 若函数ω满足, 那么对于任意的t∈R, 有ω∈PAA (R, X, μ) 。

定理2.4 设 μ∈M, 条件 (H1) - (H3) 成立。若

那么方程 (1) 有唯一的 μ测度伪概自守适度解。

证明设 Γ:PAA (R, X, μ) →PAA (R, X, μ) 是非线性算子满足

又

首先。因为Γμ连续, 从而由定理2.1和引理2.1,

进而从定理2.2和定理2.3可得

其次证明 Γ 有唯一的不动点。

对于μ, 有

由 θ<0 知 Γ 在PAA (R, X, μ) 有唯一不动点, 即方程 (1) 有 μ 测度伪概自守适度解。

参考文献

[1]S.Bochner.Continuous mappings of almost automorphic and almost periodic functions, Proc.Natl.Acad.Sci.USA, 52 (1964) :907-910.

[2]J.Blot, G.M.Mophou, G.M.N’Guerekata, D.Pennequin.Weighted pseudo almost automorphic functions and applications to abstract dierential equations[J].Nonlinear Anal, 71 (2009) :903-909.

[3]J.Blot, P.Cleutat, K.Ezzinbi.Measure theory and pseudo almost automorphic functions:New developments and aplications[J].Nonlinear Anal, 75 (2012) :2426-2447.

[4]Yong-Kui Chang, Xiao-Xia Luo.Existence ofμ-pseudo almost automorphic solutions to a neutral dierential equation by interpolation theory[J].Filomat, 28 (3) (2014) :603-614.

[5]Yong-Kui Chang, Xiao-Xia Luo, G.M.N’Guerekata.Asymptotically typed solutions to a semilinear integral equation[J].Integral Equations Appl, 26 (3) (2014) :323-343.

[6]T.Diagana, E.M.Hernandez.Existence and uniqueness of pseudo almost periodic solutions to some abstract partial neutral functional-dierential equations and applications[J].Math.Anal.Appl.327 (2007) :776-791.

[7]G.M.N’Guerekata.Sue les solutions presqu’automorphes dequations dierentielles abstraites[J], annales des scinence Mathematqiues du Qu ebec, 51 (1981) :69-79.

[8]G.M.N’Guerekata, A.Pankov.Stepanov-like almost automorphic functions and monotone evolution equations, Nonlinear Anal, 68 (2008) :2658-2667.

[9]J.Liang, J.Zhang, T.J.Xiao.Composition of pseudo almost automorphic and asymptotically almost automorphic functions[J].Math.Anal.Appl.340 (2008) :1493-1499.

脉冲泛函微分方程 第6篇

关键词：泛函微分包含,时滞依赖状态,不动点

1.引言

近些年, 中立型泛函积分微分包含得到了越来越多的关注和广泛应用[1][2].

本文主要考虑如下定义的具有时滞依赖状态的中立型泛函积分微分包含温和解的存在性:

2.预备知识

有关多值映射, 预解算子, 相空间B的公理化定义的知识读者可分别参见文献[1, 5-6].

3.主要结果

证明:

令y (t) =z (t) +x (t) , t∈ (-∞, b], 要使y满足定义4.1中的脉冲积分包含当且仅当z满足z0=0且

参考文献

[1]Grimmer R.Resolvent operators for integral equations in aBanach space.Transactions of the American Mathematical Soci-ety, 1982, 273, (1) :333-349.

[2]Liang J, Liu J H, Xiao T-J.Nonlocal impulsive problemsfor integrodifferential equations.The sixth International Conferenceon Differential Equations and Dynamical Systems, Baltimore, Maryland, USA, 2008:22-26.

[3]Li W-S, Chang Y-K, Nieto J J.Solvability of impulsiveneutral evolution differential inclusions with state-dependentdelay[J].Mathematical and Computer Modelling, 2009, 49, (9) :1920-1927.

[4]Yosida K.Functional Analysis[M], 6th ed.Berlin:Springer-Verlag, 1980.

[5]Lasota A, Opial Z.An application of the Kakutani-Ky Fantheorem in the theory of ordinary differential equations[J].Bulletinde I’Academie Polonaise des Sciences, Serie des Sciences.Math-ematiques, Astronomiques et Physiques, 1965.13:781-786.

脉冲泛函微分方程 第7篇

在文献[1]中, Li Lei, Zhou Zongfu利用迭合度连续性定理研究了具有偏差变元的二阶中立型泛函微分方程

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}{}^2}{\text{d}t{}^2}[x(t)-kx(t-\tau (t))]=\\ f(x(t))x^{\prime }(t)+g(t,x(x(t)))+p(t)(1)\end{array}$

至少存在一个周期解, 本文受其启发, 利用了迭合度的缺方向性和可加性得到了方程 (1) 至少存在两个非平凡周期解的充分条件。

条件Hf∈C (R, R) , g∈C (R2, R) , p∈C (R, R) , τ∈C2 (R, R) , T>0, k∈R, f (t+T) =f (t) , g (t+T, x) =g (t, x) , p (t+T) =p (t) , τ (t+T) =τ (t) , ∫${}_0^t$p (t) dt=0, τ′ (t) <1.

令τ11=min0tTτ′ (t) , τ12=max0tTτ′ (t) , τ2=max0tT|τ″ (t) |, G (t) =t-τ (t) , 则τ110, 0τ12<1, 令λi=G, G, , G.ηi=μ, μ, , μ (均为i个) 。

1 主要结果及证明

定理1 设条件H成立, 且

(Ⅰ) ∃M>0, 使得|f (x) |M, ∀x∈R;

(Ⅱ) ∃R1>0, α>0, β>0, 使|g (t, x) |α+β|s|, 对∀ (t, s) ∈RR;且g (t, s) ≥0, s≥-R1, ∀t∈R;g (t, s) =0, s-R1, ∀t∈R;

$(\mathrm{Ⅲ}){\rm T}|k|\tau {}_2+2\beta {\rm T}{}^2+{\rm M}{\rm T}+\frac{|k|(1-\tau {}_{11}){}^1}{1-\tau {}_{12}}＜1.$

则方程 (1) 至少存在两个非平凡的周期解。

注 这样的g (t, s) 是存在的, 例如

$g(t,s)=\left\{\begin{array}{l}(s+R{}_1)|\text{c}\text{o}\text{t}t|,s\ge -R{}_1\\ 0,s-R{}_1\end{array}\right\}$

证明:令X={x∈C1 (R, R) |x (t+T) |=x (t) }, Y={y∈C (R, R) |y (t+T) =y (t) }, ‖x‖=max{|x|∞, x′|∞}, ‖y‖=|y|∞, 则X, Y为Banach空间。

L:$DomL=C{}^2(R‚R){\displaystyle \cap X}Y:xLx=\frac{\text{d}{}^2}{\text{d}t{}^2}[x(t)-kx(t-\tau (t))]$, 由文献[1]知L为零指标的Fredholm映射。

记N∶XY, Nx (t) =f (x (t) ) x′ (t) +g (t, x (x (t) ) ) +p (t) 。

$Q:YY,Qx=\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}x}(t)\text{d}{\rm T}$。

P∶XKerL, P=Q|x, Kp为L在KerP中的逆。Kp:ImLDomL∩KerP, J=-I, 则由文献[2]知求Lx=Nx的解等价于求M的不动点, 这里Mx=Qx-QNx+Kp (I-Q) Nx。下证方程族x=λMx, λ∈ (0, 1) 在X中先验有界。

事实上, 设λ∈ (0, 1) , x∈X, 使得x=λQx-λQNx+λKp (1-Q) Nx (2)

则必存在ξ1∈R, 使x (ξ1) R1, 若不然, 由 (Ⅱ) , g (t, x (x (t) ) ) ≥0, 故Qx (t) >0, 且$(Q{\rm N}x)(t)=\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}f}(x(t))x^{\prime }(t)+g(t,x(x(t)))+p(t,x(x(t)))+p(t)\text{d}t=\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}g}(t,x(x(t)))\text{d}t\ge 0$, 而由文[2]知 (2) 式等价于

$\begin{array}{l}(1-Q)x=\lambda {\rm K}{}_p(1-Q){\rm N}x,\\ (1-\lambda )Qx+\lambda Q{\rm N}x=0(3)\end{array}$

与 (3) 式第二式矛盾。同理, 存在ξ2∈R, 使x (ξ2) ≥-R1, 因而易证, ∃ξ∈[0, T], 使得|x (ξ) |R1.于是|x|∞R1+∫${}_0^{{\rm T}}$|x′ (t) |dt。

又x (0) =x (T) , 所以∃η∈ (0, T) , 使x′ (η) =0,

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}|x^{\prime }(t)|{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}|}{x}^{″}(t)|\text{d}t,\\ \text{即}|x^{\prime }|{}_{\infty }{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}|}{x}^{″}(t)|\text{d}t;\\ |x|{}_{\infty }R{}_1+{\rm T}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}|}{x}^{″}(t)|\text{d}t。\end{array}$

用L作用于 (3) 式第一式得Lx=λNx-λQNx。

即$x^{″}(t)-k{x}^{″}(t-\tau (t))(1-{\tau }^{\prime }(t)){}^2+k{x}^{\prime }(t-\tau (t)){\tau }^{″}(t)=\lambda [f(x(t))x^{\prime }(t)+g(t,x(x(t)))+p(t)]-\frac{\lambda }{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}g}(t,x(x(t)))\text{d}x,$

所以 |x″ (t) ||k||x″ (t-τ (t) ) | (1-τ11) 2+|k|τ2|x′|∞+M|x′|∞+α+β|x|∞+|p|∞+α+β|x|∞,

所以 ∫${}_0^{{\rm T}}$|x″ (t) |dt|k| (1-τ11) 2∫${}_0^{{\rm T}}$|x″ (t-τ (t) ) |dx+|k|τ2T|x′|∞+MT|x′|∞+T|p|∞+2αT+2βT|x|∞,

所以 (1-|k|τ2T-MT-2βT2) ∫${}_0^{{\rm T}}$|x″ (t) |dx|x| (1-τ11) 2∫${}_0^{{\rm T}}$|x″ (t-τ (t) ) |dx+2αT+2βR1T+T|p|∞,

又因为${\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}|}{x}^{″}(t-\tau (t))|\text{d}t{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}|}{x}^{″}(x)|\frac{1}{1-\tau {}_{12}}\text{d}s,$

所以

$\left[1-|k|\tau {}_2\tau {}_2{\rm T}-{\rm M}{\rm T}-2\beta {\rm T}{}^2-\frac{|k|(1-\tau {}_{11}){}^2}{1-\tau {}_{12}}\right]{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}|}{x}^{″}(s)|\text{d}s2\alpha {\rm T}+2\beta R{}_1{\rm T}+{\rm T}|p|{}_{\infty }$, 由 (Ⅲ) 知∫T0|x″ (s) |ds有界, 故x=λMx先验有界, 即∃R2>R1, 使x=λMx的任一解x, 都有‖x‖R2。

下面, 不妨设x≠Mx, ∀x∈∂BR2, 则由同伦不变性得

$D[(L‚{\rm N})‚B{}_{R{}_2}]=d({\rm I}-{\rm M},B{}_{R{}_2},\theta )=1。$

不妨设Lx≠Nx, ∀x∈∂BR1, 下证D[ (L, N) , BR1]=0。

事实上, 我们有Lx-Nx≠λ.∀x∈∂BR1。

若不然, ∃x0∈∂BR1, λ0>0, 使Lx0-Nx0=λ0, 从而QNx0+λ0Q (1) =0, 即$\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}g}(t,x{}_0(x{}_0(t)))\text{d}t+\lambda {}_0=0$.但由x0∈∂BR1知x0 (t) ≥-R1, ∀t∈R, 由 (Ⅱ) 知g (t, x0 (x0 (t) ) ) ≥0, 与上式矛盾, 故D[ (L, N) , BR1]=0。

事实上, 我们有Lx≠Nx, ∀x∈∂BR3, R3=R2+1, 下证D[ (L, N) , BR3]=0.

若不然, ∃x0∈∂BR3, λ0>0, 使Lx0-Nx0=λ0,

即0=QNx0+λ0Q (1) ,

即$0=\frac{1}{{\rm T}}{\displaystyle {\int }_0^{{\rm T}}g}(t,x{}_0(x{}_0(t)))\text{d}t+\lambda {}_0$。

但由 (Ⅱ) 知g (t, s) ≥0, ∀ (t, s) ∈RR, 与上式矛盾, 故D[ (L, N) , BR3]=0。

于是由叠合度的可加性知方程 (1) 至少存在两个非平凡的周期解 。

摘要：考虑具有偏差变动的二阶中立型泛函微分方程的周期解, 并利用迭合度的缺方向性得到方程至少存在两个非平凡的周期解的充分条件, 推广了已有的结论, 得到了新的结果。

关键词：周期解,中立型微分方程,偏差变元,叠合度

参考文献

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