比例线段范文（精选6篇）

比例线段 第1篇

我们知道在这个定理之前还有一个定理:三条平行线如果在一条直线上截得的两条线段相等, 那么这三条平行线在其他直线上截得的线段也相等.这是平行线等分线段定理, 首先, 这个定理可以拓展为:一组平行线如果在一条直线上截得的线段都相等, 那么它们在其他直线上截得的线段也相等.证明的方法是用平行四边形的有关知识.

平行线分线段成比例定理是在平行线等分线段定理基础上细化得到的结论.

现在我们对平行线分线段成比例定理作一些拓展:

(1) “三条平行线”换为“一组平行线”, 即一组平行线截两条直线所得的对应线段成比例.

注意:a.被截的两条直线无论平行与否, 结论都是成立的.b.原来是三组对应线段成比例, 而现在由于平行线条数的增加, 成比例对应线段的组数是很多的.

(2) “三条平行线”换为“一组平行线”, “两条直线”换为“一些直线”, 即一组平行线截一些直线, 所得的对应线段成比例.

注意:这里的对应线段和定理中的对应线段是一样的, 由于这里被截的直线很多, 所以, 对这里的对应线段应这样来理解:a.先选定被截的一条直线, 在其上任意取两条线段, 再任选其他被截的直线中的一条, 在其上找到对应位置的两条线段, 这样所得到的四条线段是一组对应线段, 这样的对应线段是更多的.b.这样的成比例对应线段又可以分为两类, 其中一类的情况是, 如果选定了一组平行线中的三条平行线, 那么, 夹在这三条平行线中所有对应线段的比值都是相等的.

(3) “三条平行线”换为“一组平行线”, “两条直线”换为“一束直线”, 即一组平行线与一束直线相遇, 它们相互所截得的对应线段成比例.

a.这里包括两个“截得”:一个是“一组平行线截一束直线所得对应线段成比例”, 一个是“一束直线截一组平行线所得对应线段成比例”.b.在相互截得中, 如果恰好组成相似三角形 (相似三角形其实很多, 按相似比可分为两类) , 那么对应线段的组数又可以相互渗透.值得一提的是, 两个截得中所得对应线段的比值有很多相等的分组.

定理1:一组平行线与一束直线相遇, 它们相互截得的对应线段成比例.

定理2:一组平行线在不同的直线束上截得的对应线段成比例.

(4) 一组平行平面在一条直线上截得的线段相等, 那么, 这组平面在其他直线上截得的线段也相等.

(5) 一组平行平面截两条直线所得的对应线段成比例.

(6) 一组平行平面截一些直线所得的对应线段成比例.

定理3:一组平行平面在不同的直线束上截得的对应线段成比例.

比例线段教案 第2篇

1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.

2.使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.

3.已知线的成已知比的作图问题.

4.通过应用，培养识图能力和推理论证能力.

5.通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.

二、教学设计

观察、猜想、归纳、讲解

三、重点、难点

l.教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.

2.教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具.

六、教学步骤

【复习提问】

叙述平行线分线段成比例定理(要求：结合图形，做出六个比例式).

【讲解新课】

在黑板上画出图，观察其特点： 与 的交点A在直线 上，根据平行线分线段成比例定理有： ……(六个比例式)然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：

平行于 的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例.

在黑板上画出左图，观察其特点： 与 的交点A在直线 上，同样可得出： (六个比例式)，然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：

平行于 的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例.

综上所述，可以得到：

推论：(三角形一边平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

如图， (六个比例式).

此推论是判定三角形相似的基础.

注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，如果已知 ，DE是截线，这个推论包含了下图的各种情况.

这个推论不包含下图的情况.

后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待.(考虑改用投影仪或小黑板)

例3 已知：如图， ，求：AE.

教材上采用了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即： .

让学生思考，是否可直接未出AE(找学生板演).

【小结】

1.知道推论的探索方法.

2.重点是推论的正确运用

七、布置作业

(1)教材P215中2.

(2)选作教材P222中B组1.

八、板书设计

比例线段 第3篇

[关键词] 基础图形；比例线段；同类题型；归纳整理

平行线分线段成比例定理是初三平面几何的一个重要定理，它是研究相似图形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转化”成另两条线段的比. 把平行线分线段成比例定理应用在三角形上，就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础.

复习这部分内容时，学生经常觉得上课学习平行线分线段成比例定理内容很简单，但是做题时却需要灵活应用，很难；教师讲述平行线分线段成比例定理的内容很容易，但是试卷作业反馈效果却不尽如人意. 究其原因，不是学生不用功——“怎么教都教不会”，也不是教师的专业水平不过关——“自己都不会怎么教学生”，而是对于基础图形以及基础图形的组合和变式的研究与拓展不够重视.

看过电视剧《射雕英雄传》的都知道，剧中有“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”“中神通”五位武林高手，他们和平行线分线段成比例定理的教学也有某种联系呢！

“中神通”——王重阳

中神通王重阳——“中央为土”：原名“王喆”，这姓名的两个字皆为“土”形，“中央，色黄”：王重阳既为道教大师，而道士用黄冠束发，因此又被称作“黄冠”.

王重阳少年时曾大举义旗，与金兵对敌，但因不遗余力，动用数千人力，历时数年建成“活死人墓”，在其中暗藏器甲粮草，作为起事之根本. 由于将士伤亡殆尽，王重阳愤而出家，自称“活死人”. 后来生平劲敌林朝英在墓门智激王重阳，二人化敌为友，携手同闯江湖.

林朝英对王重阳甚有情意，欲以身相许，但王重阳以国事为重，不谈私情， 两人本已化敌为友，后来却又因爱成仇，约在终南山比武决胜，斗了几千招，始终难分胜负.

最终，林朝英和王重阳打赌，石头上刻字，胜过王重阳，逼迫他在出家为道士与跟她一起在古墓中长相厮守之间作一选择，但王重阳宁愿把自己所建的古墓让给她居住，自己另在古墓不远处盖了全真观，出家为道士，那就是重阳宫. 而后道书读得多了，大彻大悟，乃苦心潜修，功成丹圆后，前往山东布教，建立全真教，先后收马钰、孙不二、丘处机等七人为弟子，后世称“全真七子”.

王重阳得知林朝英在活死人墓中逝世，想起她一生对自己情痴，悲痛万分，于是悄悄从密道进墓，见到两间石室顶上她遗刻的《玉女心经》，招招克敌全真武功，后精研这《玉女心经》的破法，终未成功.

后来武林奇书《九阴真经》出现在江湖中，引起各路武林人士争夺. 华山论剑，力压四强，天下第一，王重阳因此夺得《九阴真经》. 他决意不练经中功夫，但为好奇心所驱使，禁不住翻阅一遍. 一经过目，思索上十余日，即已全盘豁然领悟，后回到活死人墓，在最隐秘处刻下《九阴真经》的要旨，并一一指出破除玉女心经之法.

王重阳旧疾复发，为了在死后留下一个克制“西毒”欧阳锋之人，求段智兴传他“一阳指”，以“先天功”作为交换，后来王重阳假装病死，以“一阳指”破掉了欧阳锋的蛤蟆功，使得欧阳锋退回西域，王重阳也在此之后逝去.

王重阳和洪七公都有义举，曾抗击金兵，以国家为重，所以在五大常数中只有0和1供选择，才有切实意义. 王重阳的武功第一，缘于研究《玉女心经》，夺得《九阴真经》后，自己禁不住翻阅，有违当初华山论剑不研习《九阴真经》功夫之嫌，虽然没传授“全真七子”相关功夫，但是世界还算相对公平，黄药师、洪七公、“一灯大师”都练过《九阴真经》或运用其疗伤来恢复功力，欧阳锋也逆练《九阴真经》，武功达到新高. 虽然在《射雕英雄传》中，王重阳已经故去，对他的描写只是残存在部分人的回忆中，但是《九阴真经》的江湖地位无人质疑.

在日常教学中，提倡教师和学生尊重教材、分析教材、研究教材、整合教材、使用教材，同时强调“用教材教而非教教材”. 上教版的教材应该是数学教学的基础和出发点. 以上海教育出版社出版的九年级第一学期数学书上第38页例题7为例，来体现这套教材不输于《九阴真经》重要的江湖地位.

从这道课本例题出发我们发现，本题的结论中得到线段的比例之和为1. 联想其他类似的简单练习，在烟波浩瀚的九年级数学几何题海中“线段比例之和为1”的问题仿佛是闪闪发光的明珠，不仅熠熠生辉，而且随处可见. 比较基础而又有代表性的三个模型如下.

这三个基础模型都是由非常基础的两个“A字型”组合而成的组合图形，这样的基础模型能够启发、巩固、重现“求比例之和为1”的结论，究其解题根源，无非寻求合适的“A字型”比例线段，利用中间比过渡求和.

“东邪”——黄药师

首先，这五大高手和五行有关，作者金庸在名字中都有暗示. “东为木”：黄药师三字表面看来似乎有“草”无“木”，其实不然，金庸使用的是繁体字，“药”字的正确写法是“藥”，一根巨木，赫然在下.

“正中带有七分邪，邪中带有三分正”的人物，是“桃花岛”的岛主，亦是桃花岛派武学创始人. “桃花影落飞神剑，碧海潮生按玉箫”是他一生武功的写照，武功造诣非凡，为金庸小说中武功绝顶的高手之一. 黄药师上通天文，下晓地理，五行八卦、奇门遁甲、琴棋书画，甚至农田水利、经济兵略等亦无一不晓，无一不精.

近年来，作为人口导入大区，浦东的许多数学教育理念和做法都值得我们学习，接下来在2014年浦东二模卷第25题第（3）問中寻找“比例线段之和为1”.

2014年浦东新区二模考试结束，对于这道压轴题，有的学生爱它爱之深，有的学生恨它恨之切，正如世人对“桃花岛主”的落英神剑、玉箫剑法、玉漏催银剑和碧海潮生曲的复杂而纠结的情感一样. 如今翻出各种解法细细品味，陈题多解，回味无穷！

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“西毒”——欧阳锋

“西毒”欧阳锋——“西为金”：“锋”赖“金”利. 作为音乐家的欧阳锋，常备乐器不是吉他，而是铁筝，仍是“金”制，“西，色白”；长居白驼山，他本人、侄儿、部属皆作白衣装.

作为射雕时代中的头号反派人物，只想武功天下第一，使用毒蛇、灵蛇杖法、蛤蟆功等，因逆练郭靖乱改的《九阴真经》，第二次华山论剑中夺得天下第一，却被黄蓉用计逼疯，跟自己的影子打斗，接着离开华山，而疯，后来与洪七公在华山比武. 洪七公之功由正转逆，欧阳锋则反，由逆转正，两人内力顿时合而为一，水乳交融，一人是在寒冷彻骨时，因对方内力传来而如沐春风，另一人是在全身炙热时，接受对方内力而顿感清凉，两人当下融为一幅“太极之图”. 就在此刻，洪七公一跃而起，抱住欧阳锋，说“咱俩殊途同归，最后变成哥俩好”. 欧阳锋霎时回光返照，心中一片澄明，与洪七公相拥大笑，两人在笑声中同时辞世.

在研究2015年徐汇一模试卷第22题的过程中看似跟“线段比例之和为1”无关，但是如果将此题进行变式和拓展，不难发现又回到了“线段比例之和为1”问题上来.

试题再现 如图9，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于点D，NB交AC于点E，连接DE.

（2）因为DE∥BC，DE=1，BC=3，所

完成这道题目之后进行反思，轻而易举地发现如果此题的图进行一些微小的变化，就能寻觅“比例之和为1”的倩影，尤其是模型2将反复出现，同侧三角形模型犹如江南水乡的撑伞姑娘，浑身散发着美丽和芬芳.

回顾变式和拓展过程，就像第二次华山论剑，风云变幻. 在完成最基本的任务后，教师引导学生进行进一步拓展、反思和小结. “线段比例之和为1”如蛤蟆功，又如灵蛇拳法：手臂犹似忽然没了骨头，在许多看似没有线段比例之和的问题中揭开问题的面纱也能发现线段比例之和為1的本质，犹如变了一根软鞭，打出后能在空中任意拐弯.

“南帝”——段智兴

“南帝”，真名段智兴，《天龙八部》中主角段誉的孙子，大理国的皇帝，后因故出家，法号“一灯”，出自《法华经》：以一灯传诸灯，终至万灯皆明. “南为火”：一灯大师之“灯”待“火”点燃. 其秘技为“一阳指”，而太阳是最大的一个火球，“南，色赤”：“灯”与“阳”皆作赤红色.

第一次华山论剑，“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”“中神通”五个人大战七天七夜，全真教创始人“中神通”王重阳夺得天下第一，天下武林奇书《九阴真经》被王重阳夺得，其目的是避免天下武林大乱. 为防自己死后无人能阻欧阳锋，而在第一次华山论剑的第二年来到大理，用先天功交换了段智兴的“一阳指”，却不料，与王重阳同来的老顽童和段智兴深爱的妃子刘瑛有染，并诞下私生子. 不料某一日铁掌帮帮主“铁掌水上漂”裘千仞潜入皇宫并袭击瑛姑之子，瑛姑因而向段智兴求医，而段智兴本欲施救，待打开婴儿襁褓时看到锦帕上刺着“鸳鸯织就欲双飞”知道自己的皇妃心里仍惦记着周伯通，因而醋意大发，加上他即将要参加华山论剑，而救人将消耗大量功力，犹豫之间，未救而致其死亡，后因心怀愧疚，万念俱灰之下段智兴出家为僧，法号“一灯”.

后来黄蓉身受重伤来到一灯住处寻求救治，一灯大师为黄蓉疗伤，因使用了含有“先天功”的“一阳指”以致元气大伤，后瑛姑来此寻仇. 郭靖假扮一灯挡住一刀后，瑛姑才觉悔意，后一灯出现，瑛姑则羞愧而远去，随后与师弟一起翻译了《九阴真经》中总纲的梵文部分，也借助《九阴真经》所载的疗养法门，终得复原功力.

嘉定宝山无论在教育上，还是在教学中都勤于探索，积极改革，让我们一起来欣赏2012年宝山一模第25题.

我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果坐标系中的两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.

试题再现 如图16，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M，N，若M，N在x轴、y轴上分别对应实数a，b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标.

（1）如图17，已知斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A（-2，2），并求点O，A之间的距离；

（2）如图18，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0），点C（0，3），P（x，y）是线段BC上任意一点，试求x，y之间一定满足的一个等量关系式；

（3）若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其他条件不变，试判断上述x，y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由.

不难看出，在这道题的解答过程中，“线段比例之和为1”这个结论再现江湖，无论点P的位置在线段BC上还是在线段BC的延长线上都可以套用模型3，即三角形内部模型来解决.

“北丐”——洪七公

“北丐”洪七公，“北为水”：七公姓“洪”，果见洪水滔滔. “北，色黑”：书中不曾描写七公衣服颜色，但他作为丐帮老头子，估计不管衣服原色为何，上身之后，必将改造成唯一色调：总是黑.

洪七公为丐帮帮主，为人正义且机智，生性贪吃，曾经因贪吃误事，自断其右手食指，故也称“九指神丐”，无论黑白两道都十分敬重他. 在桃花岛，洪、黄、欧阳三人以音乐比试武功，岛主吹箫，欧阳弹筝，洪七公没钱买乐器，只好鼓着两片腮帮子作“仰天长啸”状，实为艰苦朴素、廉洁自律之典范. 洪七公和蔼正义，具有一切正派人物所应具有的优点，一直率领丐帮抗击金兵，其独门武学为“打狗棒法”及“降龙十八掌”.

洪七公一生最大的敌人为“西毒”欧阳锋，曾被其暗算多次，几乎丧命. 晚年与欧阳锋于华山比武，两人打了四日，总之是打得神困力倦，几欲虚脱，斗过棍棒，休息了一下，两人接着又比拼内力，结果竟战到两个均已奄奄一息. 两人隔天又开始比起了纸上谈兵，比法是洪七公按招式逐一告诉杨过打狗棒法，杨过演给欧阳锋看，欧阳锋再思考破解的杖法，两人拆解了三天，到第三日，欧阳锋已破解“打狗棒法”的前三十五路，而“打狗棒法”的第三十六路“天下无狗”，这一式则让欧阳锋思考到一夜之间须眉尽白，似乎老了十多岁，这才将之破解. 后比试内功，耗尽功夫，欧阳锋恢复记忆，两人大笑，互相拥抱而逝.

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丐帮为天下第一大帮，洪七公对外用“降龙十八掌”抗击金兵，对内用“打狗棒法”劫富济贫，为人善良，就是面对“老毒物”遇到危险差点被火烧，也冒着生命危险去救他，满满的正能量. 以同样2012年嘉定宝山二模卷第25题第（3）问为例，再现“比例之和为1”的精彩.

试题再现 如图21，在△ABC中，∠ACB=90°，点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB.

（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由.

（2）设PA=m，PC=n，试用m，n的代数式表示△ABC的周长和面积.

同一年份同一批学生面对一模和二模的数学试卷时，如果能够比较熟练地掌握“线段比例之和为1”的几个基本模型，不仅能够增加对压轴题的了解和研究，還能够在分析问题的时候披荆斩棘，能够在解决问题的时候所向披靡.

以上海教育出版社的教材为“中神通”，挖掘课本上的例题和习题的教学作用和价值，抽象概括出基本模型，配合四道各个区县的模拟考试题正如“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”四位武林高手华山论剑，刀光剑影中凸显“平行线分线段成比例定理”的教学价值和解题价值，辗转腾挪间强化“线段比例之和为1”在数学范围内的应用价值.

当然，初中竞赛当中毫无疑问各大杯赛是数学问题研究最具代表性的颜值担当，而“定倒数和问题”无疑是比较具有代表性的一类问题.

而这一类“定倒数和问题”通过添加平行线都能够转化成三类基本模型，根据符合模型的条件直接应用模型的结论就可以顺利解决问题. 就像“南帝”的“一阳指”，看上去并没有什么巨大威力，实际上一通则百达，掌握这一招，不仅能够夯实基本技能的把握和基础知识的巩固，而且可以冲出考纲在自招和竞赛中小试牛刀.

一个好的数学教学题材，能够凸显数学的重要基础地位，可以将数学知识迁移到其他学科；一个好的数学教学题材，会让我们的备课过程苦心经营，会让我们的数学课上得有声有色，会让学生听得津津有味；一个好的数学教学题材，会让教学效果事半功倍，会让数学教学研究工作散发勃勃生机.

在日常教学中，对同类型题的整理进行一定的归类整理，不需刻意过多，但是需要教师有一颗善于归纳整理的心，需要教师有一双寻找、发现的眼睛. 对于教材中出现的经典例题，归其类，识其形，析其法，究其因，终将能得其果. 以一个个知识点为背景连成一串知识点，用一道道有代表性的例题串成一组组题组，这无疑是促进学与教的一个有效、可行的途径. 这样既可以达到复习的效果，又可以提升解题能力.

正如《射雕英雄传》的主题曲所唱：

问世间是否此山最高，

或者另有高处比天高，

在世间自有山比此山更高……

对解决比例线段问题的一点看法 第4篇

一、熟知定理

1.相似三角形的判定及性质定理。

2.平行线的判定及性质定理。

二、分类

要想解决比例线段问题必须先弄清线段成比例的种类, 我认为可以分为以下几种:

1.纯粹平行线分线段成比例线段问题。

2.纯粹三角形对应边成比例问题。

3.找中间比的比例的线段问题。

三、解决办法

1.第一类 。 DE∥BC交△ABC的两边AB、AC于D、E两点。 求证：AD：DB=AE：EC。

2.第二类。已知DE交△ABC的两边AB、AC于D、E两点，且AD：DB=AE：EC。 求证：（1）DE：BC=AD：AB；（2）S△ADE：S△ABC=DE：BC。

以上这两类都容易解答， 学生只要直接按书中的定理、定义等方法直接解决即可。

3.第三类。 找中间比解决线段成比例问题可以再细分为以下几类。

对于一条直线上的线段成比例问题 ，我们可以先找重要分点，再过分点作辅助线（平行线）来解决。由于平行线与三角形的边相交的交点都可把 三角形的边分成两条线段，因此，我们可以把这个交点称作“分点”。我们可以把已知条件里的中点 、等分点等条件看做是线段的分点，分点是比例线段问题里的重要元素。 做题时，我们先找出由已知条件得到的线段是由哪些点分出来的 ，有几个点就圈几个点，再找要解决的问题中的线段又是由哪几点分出来的，依旧圈出这几个点。 每用一个点、每一个点用一次都要圈一次。 之后，我们再去掉无用的点选出有用的点。 一般情况下，图形的顶点要去掉，被圈次数少的点去掉，剩下圈的次数较多的点为重要的分点。 当这样的点有几个时，我们取分出特殊线段的点，通过这样的点来做辅助线（平行线 ），辅助线一般在图形内部 。这个点如 果是由已知条件找出的则通过这点做要解决的问题里的线段的平行线 ；这个点如果是由所求的问题里的线段找出的 ，则通过它做已知条件中线段的平行线。 整个过程就是用所做的平行线把已知和问题联系起来 ，利用定理等解出。

例1.如图，已知，△ABC中AB=AC，D是BC边上的中点，过D点做直线与AC、BA的延长线分别交于E、F两点，求证：AE：CE=AF：BF。

分析：D点是中点， 分出BD、CD两条线段，则B、D、C三点应圈上；AE、CE两条线段是A、E、C三点分出的，这三点也应圈上；AF、BF两条线段是B、A、F三点分出的，这三点也圈上。 我们已找出全部分点，下面先去掉图形的顶点F、E、D，再去掉B、C两点，这就只剩下A点，而A点是由所求的问题里的线段找出的点，因此，我们过A点作已知条件中所涉及的线段BC的平行线，这样就把AE：CE和AF：BF都联系起来了。

例2.如图：△ABC中AB=AC，直线DE分别交AB、BC、AC的延长线于D、E、F。 求 证 ：DE：EF=BD：CF。

分析：AB、AC不是一条直线上的点，A、B、C三点不圈；线段DE、EF是由点D、E、F分出的，这 三 点 应 圈 上 ；BD、CF是 由 点D和C点F分 出的，圈上这两点，这样分点全部被找出。 先去掉B、F两点，再去掉E、C两点，这样就剩下D点了， 此时D点是由所求的问题里的线段找到的，则向已知条件AC线段做平行线（不能做线段AB的平行线）即可。

例3.如图, △ABC中, D点为AC上的一点, E为线段CB延长线上的一点, BE=AD, ED交AB于F点。求证:EF:FD=AC:BC

分析:条件BE=AD中, 线段BE、AB不在同一直线上不是分点问题, EF:FD中的线段EF、FD是由D、E、F三点分出的。AC:BC中的线段AC、BC也不是分点问题, 也不能圈出分点。所以只有D、E、F三点是分点, 由于E点是图形的顶点, 则去掉。这样只剩下D、F两点, 我们从中任选一点, 由于D、E两点都是由问题里的线段找到的, 那么由D (F) 点向线段AD (或BE) 所在的线段作平行线交于条件的线段所在直线即可。

1.在△ABC的边AC上, 于CB的延长线上取BB′=AA′;则AB截A′B′所成两部分的比等于BC:CA。

2.△ABC的AB边小于AC边, 延长AB至D, 使BD=AB, 在AC上取E点, 使CE=BD, 连接DE与BC交于F点, 求证:AB:AC=EF:FD。

比例线段 第5篇

课题

4.1.1成比例线段（1）

主备人

代进宗

教学时间

课型

新授课

教学目标

1．理解和掌握两条线段的比的概念，会计算两条线段的比。

2．理解和掌握成比例线段的定义和性质。

3．能应用比例的性质解决相关的问题。

教学重点

掌握成比例线段的定义和性质。

教学难点

会运用比例的基本性质解决问题。

教学内容

二次备课

第一课时

教学过程：

一、情境导入

课件出示下图，提出问题：请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？

二、探究新知

1.线段的比和成比例线段：

如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m , n,那么这两条线段的比就是它们长

度的比，即

2.练一练

三、例题讲解

例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：

（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；

例2：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即

，那么a的值应当是多少？

四、当堂练习

五、课堂小结

第一课时

上课时间：

板书设计

4.1.1成比例线段（1）

1.线段的比

2.成比例线段

比例线段 第6篇

一 三点定形法

利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。解决问题的基本思想是:先找出与结论中的线段有关的两个三角形, 然后根据原题所给条件, 对照图形分析, 寻找这两个三角形的相似条件, 再证明这两个三角形相似, 利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。寻找并证明两个三角形相似是解题的关键, 寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”, 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形, 若能, 则只要证明这两个三角形相似就可以了, 这叫做“横定”;若不能, 再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形, 则只要证明这两个三角形相似就行了, 这叫做“竖定”。

例1:如图1, ABCD是⊙O的内接四边形, 过C作DB的平行线, 交AB的延长线于E。求证BE·AD=BC·CD。

分析:要证BE·AD=BC·CD, 即

横定:这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点, 不能确定一个三角形;竖定:这个比例式的比 中的线段BE、BC它们有三个不同的端点, 可以确定一个△BEC, 另一个比 中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD, 于是只要证明△BEC∽△DCA, 这样, 证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。解决△BEC∽△DCA, 这个过程成了整个问题的关键。

证明:连接AC。∵CE∥DB, ∴∠BCE=∠DBC。

例2:如图2, 设点D、E分别为△ABC的外接圆 的中点, 弦DE交AB于点F, 交AC于点G。求证:AF·AG=DF·EG。

分析:要证AF·AG=DF·EG, 即

横定:这个比例式的前项中的线段AF、DF它们有三个不同的端点, 可以确定一个△ADF;竖定:这个比例式的后项中的线段EG、AG它们有三个不同的端点, 可以确定一个△EAG, 于是只要证明△ADF∽△EAG, 这样, 证明所需添加的辅助线AD、AE也就显示在眼前了。解决△ADF∽△EAG, 这个过程成了整个问题的关键。

证明:如图2, 联结AD、AE, ∵D是 的中点。

∴ , ∴∠BAD=∠AED。

同理可证∠ADE=∠CAE。

有些学生在寻找条件遇到困难时, 往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞, 乱添辅助线, 这样反而使问题复杂化, 效果并不好, 应当运用基本规律去解决问题。

二 等量代换法

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时, 即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上, 不能组成三角形, 或四条线段虽然组成两个三角形, 但这两个三角形并不相似, 那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段, 如果没有, 可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当, 问题往往可以得到解决。当然, 还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例3:如图3, 在△ABC中, AD平分∠BAC, AD的中垂线交AD于E, 交BC的延长线于F, 求证:FD²=FB·FC。

分析:欲证FD²=FB·FC, 即 运用三点定形法不论怎样都定不出三角形, 考虑用等量代换, 即等线段代换, 注意到题设中有EF是AD的中垂线, 那么有FD=FA, 于是要证明的比例式转化为 再用三点定形法可定出△AFB和△CFA, 要证这两个三角形相似也不难, 从而辅助线连接也自然而成了。

证明∵FE是AD的中垂线;

又∵∠DAB=∠CAD, 所以∠FAC=∠B。

例4:如图4, AB是⊙O的直径, CD切⊙O于C, BD⊥CD于D, CE⊥AB于E。

求证:CD2=AE·EB。

分析:欲证CD2=AE·EB, 即 应用三点定形法不论怎样都定不出三角形, 考虑用等量代换, 即等线段代换, 根据题设的条件, 可证CD=CE, 于是要证明的比例式转化为 再用三点定形法可定出△ACE和△CBE, 要证这两个三角形相似也不难, 从而辅助线连接也自然而成了。

证明:连接BC、AC, 并延长CE交⊙O于F。

∵AB是⊙O的直径, 且CE⊥AB, ∴ 。

∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°。

∵CE⊥AB, ∴△ACE∽△CBE。

三 等比代换法

当用三点定形法不能确定三角形, 同时也无等线段代换时, 可以考虑用等比代换法, 即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥, 也就是通过对已知条件或图形的深入分析, 找到与求证的结论中某个比相等的比, 并进行代换, 然后再用三点定形法来确定三角形。

例5:如图5, 已知AB和CD是⊙O的直径, 且AB⊥CD, 弦AE交CD于F, DE交AB于P, 求证:AP·FO=BP·AO。

分析:要证AP·FO=BP·AO, 即 用三点定形法无法解决, 再考虑等线段代换, 结论中的四条线段只有AO与图中CO、OB、OD三条线段相等, 但不论怎样替换, 都无法找到相似三角形, 在这种情况下, 可以考虑利用比例式搭桥的方法, 那么图中是否有等比呢?有已知条件发现, EP是∠AEB的平分线, 所以 这是根据三角形内角平分线有关的性质, 于是要证APBP=AOFO, 则要证 从而根据三点定形法, 需要连接BE, 再证明△AEB和△AOF即可。

证明:见图5, 连接BE。

∵AB和CD是⊙O的直径, 且AB⊥CD。

∵AB是⊙O的直径, ∴∠AEB=90°。

四 等积代换

例6:如图6, ⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P, E为⊙O上的一点, A为 的中点, DE交AB于点F, 求证:PF∶PA=PB∶PO。

分析:求证中成比例的四条线段在同一条直线上, 无法直接导出相似三角形, 也找不到中间比, 注意到求证转化为乘积式PF·PO=PA·PB, 由相交弦定理易证PA·PB=PC·PD, 因此解决此题的关键在于将PA·PB转化为PC·PD, 从而待证明等积式变为PF·PO=PC·PD, 利用直接法可证。

证明:连接OC, 见图6所示:

又由相交弦定理得PA·PB=PC·PD。

∴PF·PO=PA·PB, PF∶PA=PB∶PO。