极限的计算方法与技巧（精选6篇）

极限的计算方法与技巧 第1篇

本文从另一角度对几种重要方法作出归类总结。

一利用变量代换计算极限

有些极限的计算, 适当利用变量代换, 可以很快从“山重水复疑无路”的困境中走出来, 让人感到“柳暗花明又一村”。

二利用数列的求和公式计算极限

某些极限可以表示成无穷和式的极限, 但不能利用极限的加法法则, 必须利用求和公式, 先求和再计算极限。

三利用等价无穷小量计算极限

计算极限时巧妙运用无穷小量的代换及性质, 不仅可以求出极限, 而且可以简化运算。

四利用极限与无穷小量的关系计算极限

通过已知极限与无穷小量的关系, 去掉极限符号进行运算, 化成欲求极限的形式。

五利用泰勒展开式计算极限

在求未定式极限时, 常用的方法是等价无穷小量代换与洛比达法则, 但有时为求更精细的极限和计算简便, 可利用泰勒公式求极限。

六利用夹逼定理计算极限

∴根据夹逼定理有:原式=4。

七利用单调有界定理计算极限

例7:设{xn}满足-1

解:由题设条件有:x1=x02+2x0= (x0+1) 2-1。

∵-1

设-1

由数学归纳法得知, 对一切自然数n, 有-1

故{xn}单调减少, 所以根据单调有界定理有{xn}收敛, 并设 , 则有 , 即l=l2+2l, ∴l=0或l=-1。

由数列单调减少和有界性, 得 。

八利用导数定义计算极限

函数可导或在某点可导实质上是一个极限 (导数定义) 存在问题, 这点可以成为计算与其相关函数某些极限的条件。

例8:设f (0) >0, f′ (0) 存在, 求 。

解:此极限为1∞型未定式, 凑成重要极限“e”的形式。

九运用定积分定义计算极限

设函数f (x) 在[a, b]上可积, 则f (x) 在[a, b]的任意积分和 均以∫baf (x) dx为极限, 利用这一结论可将某些极限转换为定积分。

十利用级数性质转化极限计算

级数 收敛的必要条件 , 由此对可看作是级数通项极限的极限而言, 若判定此级数收敛, 则立知极限为零。

例10:证明: (a为任意实数) 。

证:对于级数 , 由比值判别法, 令 , 则:

十一利用Lagrange中值定理计算极限

例11:求 。

解:对函数f (x) =ex在[sinx, x] (当x>0) 或[x, sinx] (当x<0) 上运用Lagrange中值定理, 即可求得:

原式 , (ξ介于sinx与x之间) 。

十二利用Cauchy中值定理计算极限

例12:求 。

解:对f (x) =arcsinx与g (x) =ex在区间[x, tanx] (当x>0) 或[tanx, x] (当x<0) 上运用Cauchy中值定理, 即可求得:

十三利用积分中值定理计算极限

例13:设f (t) 在 上连续, 求 。

解:对f (t) 在[sinx, arcsinx] (当x>0) 或[arcsinx, sinx] (当x<0) 上运用积分中值定理, 即可求得:

原式 (ξ介于sinx与arcsinx之间) (注:最后一步利用f (t) 的连续性)

十四利用初等变形计算极限

用初等数学的方法将xn变形, 然后求极限。要么分子、分母同乘一个因子, 利用初等公式化简, 使之出现连锁反应, 要么拆通项, 或者分解因式使之成为两因式乘积形式, 使得中间项相消, 从而化简使其易求极限。

例14:设 , 求 。

解:对通项xn分子、分母同时乘以 , 利用初等公式=cossin22sinxxx, 将xn恒等变形, 使之成为紧缩形式。

参考文献

极限计算方法及例题 第2篇

《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a0)；极限严格定义证明，例如：lim

n当an0，|q|1时nlim(3x1)5；limq；等等 nx2不存在，当|q|1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需

再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB

f(x)

g(x)AB（3）lim,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）limsinx

xx01

11xxlim(1)elim(1x)e（2）；xxx0

说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。1

例如：limsin3x

3xx01，lim(12x)x02xe，lim(1x3)3e；等等。xx

4．等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，e

3x

1 ～ 3x ；ln(1x2)～ x。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

xx0

存在时，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

xx0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

xx0，即lim

f(x)g(x)

xx0

=lim

xx0。

5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：

（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）lim

f(x)g(x)

存在（或是无穷大）；

则极限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f(x)g(x)，即lim

f(x)g(x)

=lim

f(x)g(x)。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“

00

”型或“



”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕

后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注

意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间

内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0

7．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

（2）limyna，limzna

n

n

则极限limxn

n一定存在，且极限值也是a，即limxn

na。

二、求极限方法举例

1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1lim

3x12x1

x

1)2



2解：原式=lim

(3x1lim

3x3



3x1

(x1)(3x12)

x1

(x1)(3x12)。

注：本题也可以用洛比达法则。例2lim

n(n2

n1)n

n[(n2)(n1)]分子分母同除以

n

解：原式=limn

n2

n1

lim

3

3n

1

212

n



n

例3 lim

(1)n3n

n

2n

3

n

(1上下同除以3

n)n

1解：原式



lim3

1n(2。3)n

12． 利用函数的连续性（定理6）求极限

例4 limx2

ex

x2

解：因为x2

x

02是函数f(x)xe的一个连续点，所以原式=22

e24e。3． 利用两个重要极限求极限

例5 lim

1cosxx0

3x

2sin

x2sin

x

解：原式=lim221

x0

3x

lim

x012(x6。

22)。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6 lim(13sinx)x

x0

16sinx

6sinx

解：原式=lim(13sinx)

3sinx

x

lim[(13sinx)3sinx]

x0

x0

例7 lim（n2n

n

n1)

3n13n

n1

3n解：原式=lim(1

3

n1



33

]n1

e

3

n

n1)lim[(1n

n1)

4． 利用定理2求极限

例8 limx2

sin

1x0

x

解：原式=0（定理2的结果）。5． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9 lim

xln(13x)x0

arctan（x2)

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2， 原式=lim

x3xx

3。

x0

x例10 lim

ee

sinx

x0

xsinx

sinx

(exsinx

1)

sinx

解：原式=lim

e

xsinx)

x0

xsinx

lim

e(x0

xsinx

1。

注：下面的解法是错误的： xsinx

原式=lim

(e1)(e

1)

lim

xsinx1x0

xsinx

x0

xsinx。

正如下面例题解法错误一样：lim

tanxsinx

x

lim

xx0x0

x0

x。

tan(x2

sin

1例11 lim

x)

x0

sinx

e

6。

解：当x0时，x2sin

1x

是无穷小，tan(xsin

1x)与xsin

1x

等价，xsin

所以，原式=lim

x0

xlimxsin10

。（最后一步用到定理2）

x0xx

6． 利用洛比达法则求极限

说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12 lim

1cosx3x

x0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x0



。（最后一步用到了重要极限）

cos

例13 lim

x1

x

x1



sin

1x



。2

解：原式=lim

x1

例14 lim

xsinxx

x0

解：原式=lim

1cosx3x

x0

=lim

sinx6x

x0



。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）

例15 lim解：

sinxxcosx

xsinx

x0

原式lim

lim

sinxxcosx

xxxsinx3x

x0

lim

cosx(cosxxsinx)

3x

x0

x0



3例18 lim[

x0

1x



1ln(1x)

]

1x

1x

解：错误解法：原式=lim[

x0



]0。

正确解法：

原式lim

ln(1x)xxln(1x)11x2x

1

x0

lim

x0

ln(1x)x

xx

lim

x0

lim

x2x(1x)

x0



12。

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 lim

x2sinx3xcosx

x

解：易见：该极限是“

00

”型，但用洛比达法则后得到：lim

12cosx3sinx

x，此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

1

原式=lim

x

2sinx

x

（分子、分母同时除以x）cosxx

3

=

（利用定理1和定理2）

7． 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1

2,xn1

2xn,(n1,2,)，求limxn

n

解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0<设

xn<2），由准则1极限limxn存在，n

limxna。对已知的递推公式 xn1

n

2xn两边求极限，得：

a所以

2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

limxn2。n

1n1nnn

n

例21 lim(

1n2



1nn)

1nn

解： 易见：

n1



1n2



nn1

因为 limn

nnn

1，lim

nn1



n

1

1nn

所以由准则2得：lim（n

n1

n2

求数列极限的技巧与方法 第3篇

数列极限是数学这门学科的重要内容之一。对于一些复杂极限, 直接按照极限的定义来求就显得很困难, 不仅计算量大, 而且不一定就能求出结果。因此, 为了解决求极限的问题, 我们在研究比较复杂的数列极限问题时, 通常先考查该数列极限的存在性问题;如果有极限, 我们再考虑如何计算此极限 (也就是极限值的计算问题) 。这就是极限理论的两个基本问题。求数列极限的方法多种多样, 比如:化简通项求极限、单调有界原理求极限等。现在我通过一些具体的例子, 和大家一起探讨求数列极限的常用技巧与方法。

二、求数列极限的常用技巧与方法

1. 化简通项求极限

在求一些比较复杂的数列极限, 特别是处理通项为n项和式的一类很特殊的极限时, 经常先对通项进行化简, 化简时往往利用链锁消去法。其工作原理如下:

2. 利用级数求n项和式的极限

通项为和式的数列极限, 可以化为积分或级数求和问题, 当然也是计算这类数列极限的一个重要方法。

3. 利用单调有界原理求数列的极限

利用单调有界原理, 解决了一些特殊数列的极限问题, 在用单调有界原理证明数列极限的存在问题时, 首先根据给出数列的通项公式, 列举该数列的前几项, 然后根据观察, 初步判断已给数列的单调性和有界性。最后采用数学归纳法来验证观察所得出的结论, 看看是否可以采用单调有界原理来证明此数列的存在问题。

计算极限除了上面讲的方法还有很多, 比如讨论如何应用我们学过的幂级数、定积分、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理等方法计算数列极限。主要是我们如何通过实例来阐述求数列极限中体现出的数学逻辑思维方法, 如利用简单的初等函数 (特别是高中数学中的基本初等函数) 的麦克劳林展开式, 往往能求得一些特殊形式的数列极限。还比如我们可以利用级数收敛性判定极限存在性, 知道由于级数与数列可以有的时候相互转化, 因此使得级数与数列的性质有了必然的联系。这样, 数列极限的存在性及数列极限的求解, 就可以可转化为研究级数收敛性问题, 我们利用O-Stolz公式计算数列极限、应用泰勒公式求数列极限, 就可以减少做题的过程, 使这个问题更容易地解决。不过总的来说, 像有的方法仅限于求两个无穷小量的乘积或除的极限, 而对两个无穷小数列非乘且非除的极限, 以上方法不能直接去做, 因此用Taylor公式代换是解决这类数列极限问题的一种很好的方法。还有利用微分中值定理求极限, 利用数列函数的增减性求数列函数的最大值和最小值, 还有数列函数的图像等方面都被广泛应用。其实数列它是一种特殊的函数, 是一种定义域为正整数集的特殊的函数, 因此它也像一般函数一样具有单调性。

数列单调性也是它的重要性质, 数列的单调性应用非常广泛。求解数列极限的方法还有很多, 比如把通项an=f (n) 拓展为[1, ∞) 上的函数f (x) , 然后应用洛必达法则, 或利用结果 (其中an>0) 以及均值定理等都可以求出极限。还有在高中阶段求数列的极限的时候, 可以将比较复杂数列极限的问题, 通过变形或化简。比如用分组求和法、错位求和法求极限, 分母有理化、还有分母分子同时都除以n的最高次幂的方法将它化简。这样我们可以将它转化成为简单基本数列极限的问题, 就可以求出所要得到的极限。但是我们解决数列的极限问题时应该灵活运用我们所学的数列极限的有关方法与技巧, 注意要认真思考, 多联想所学的知识, 要学会学以致用。函数极限只是把数列极限进一步深度话。但是函数极限与数列极限有类似的四则运算的法则, 求函数极限的基本思想也是运用求数列的各种方法技巧的互相转化问题, 尤其在实施转化时, 可注意方法与技巧的转化, 就可以仿照求数列极限的一些方法与技能。

高职数学中数列极限的计算方法 第4篇

关键词：高职院校,数列的极限,定义法,四则运算法则

极限是高等数学的基石,是微积分学的理论基础.它在自然和社会科学的很多基本概念中都有着广泛的应用.而数列极限又是一种重要而特殊的极限类型,掌握好它的概念、性质和计算等基本知识是学好函数的极限和微积分学的前提和基础.下面我们就高职数学的角度简单介绍一下不同形式的数列极限的计算方法.

方法一定义法

我们先简单看一下数列的极限是如何定义的.一般来说,对于一个数列{xn},当其中的项数n越来越大且趋近于无穷大时,数列的相应项xn越来越趋近于常数A,那么我们就说A是数列{xn}的极限,记为:

例1根据数列极限的定义,观察下面的三个数列,并且写出它们的极限.

解我们列表考查这3个数列的前几项,以及当n→∞时,它们的变化趋势,如下表所示:

根据数列极限的定义,可以知道

由此得出结论:三个常用数列极限公式

方法二直接利用四则运算法则

对于简单的数列,大家可以通过定义法求出极限,那么对于复杂一些的数列,我们就要用数列极限的四则运算法则了.

数列的四则运算法则如下:

注意1.对于有限多个数列的和、差和积的运算,同样可以运用法则1和法则;2.数列的四则运算法则应用时必须保证各个数列的极限是存在的,否则,不能直接运用法则.

方法三间接利用四则运算法则

分析当n→∞时,分子分母极限都不存在,不能直接利用法则3,需要先把数列进行变形:分子分母同时除以n的最高次幂,变形后的数列分子分母的极限都存在,再利用三个常用公式和四则运算法则就可以求出结果.

观察上面几个极限,区别在于分子分母n的最高次幂不同,于是我们得到一般式

2.无限个数列和差的极限计算方法:利用数列的求和公式

分析它是无限多个数列和的极限,不能直接利用运算法则1,需要先通分

再利用等差数列的求和公式进行变形,变形后的数列变为例3的情形,再利用总结出的规律,当分子分母中n的最高次幂相同时,极限就是分子分母n的最高次幂的系数之比.

分析它也是无限多个数列和的极限,不能直接利用运算法则1,需要先利用等比数列的求和公式进行变形,变形后的数列再利用数列极限的常用公式和四则运算法则计算.

二元函数极限计算方法探究 第5篇

关键词：二元函数,极限,泰勒公式

极限是微积分学的基础，导数、积分等概念都是在极限的基础上建立起来的.从极限理论出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好地理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是学习微积分的关键.一元函数的极限及求法，在各种高等数学教材中都有详细的讨论.除了常用的定义、运算法则、连续性方法，本文给出了六种适用性较强的二元函数极限计算方法，希望对初学者有一定帮助.

一、变量替换 (转化为一元函数计算)

例1 .

解 令t=x2+y2, 则当 (x, y) (0, 0) 时, t0, 所以.

二、利用无穷小替换

例2 .

解 因为当 (x, y) (0, 0) 时, x3+y30, 所以sin (x3+y3) ～x3+y3, 于是.

三、利用夹逼法则

例3 .

解 , 而,

所以, .

四、利用极坐标 (一般用于解决表达式中含有x2+y2的项)

例4 .

解 设x=rcosθ, y=rsinθ, 有

∀θ:0θ2π, 有|r (sinθ+cosθ) lnr2||4rlnr|,

易知.

所以.

五、利用二重积分

例5 .

解 原式=, 其中D为0x1, 0y1.

六、利用泰勒公式

例6 求.

解 把cos (x+y) -cosxcosy在原点展开, 得cos (x+y) -cosxcosy=-xy+o (ρ) , 其中.

故.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:下册[M].3版.北京:高等教育出版社, 2001.

[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002.

极限的计算方法与技巧 第6篇

大容量的并网光伏电站一般建在西部偏远落后地区,并网系统的电网结构比较薄弱,所以大容量光伏电站的输出功率的波动会对系统安全和电网调度造成影响。因此研究大型并网光伏电站极限容量,是系统规划运行的重要内容。

目前,国内外关于风电极限容量问题的研究较多。文献[1]采用近似线性规划方法,对假定极限容量值进行修订,逐步求取风电场并网极限容量。文献[2]建立了风电数学模型,利用内点法中的仿射尺度法求解优化模型。但文献[1]和文献[2]都没有考虑风力发电的波动性。文献[3-4]采用几种不同的不确定约束规划方法计算风电并网极限容量,计算量大,虽然考虑了风力发电的波动性,但没有考虑置信度以外的极端情况,因此会影响到计算结果的准确性。文献[5-6]采用PSASP仿真软件求取并网风电场极限容量,是一种试探的计算方法,计算量大且工作繁琐。光伏发电与风力发电是一类特殊的电力,两者的输出功率都具有波动性。光伏发电极限容量问题方面也有研究。文献[7]总结了计算极限容量的优化算法,并运用试探法计算了风力发电和光伏发电的并网极限容量。文献[8]采用PSASP软件分析了某独立的地区电网中接入光伏电站的极限容量。文献[7]和文献[8]均采用试探法计算光伏电站的极限容量,工作量大,也没有考虑光伏发电的波动性。随着大量的光伏电站并入电网[9],光伏发电的波动性将会影响到发电机出力和支路功率。

因此,为综合考虑电网安全运行和光伏发电特性,需要开发更加有效处理随机性问题、能够计量风险度量的方法,以确定并网光伏电站极限容量。目前计算光伏电站极限容量主要是采用机会约束规划方法[10],但求解过程相对复杂,也不能考虑置信度以外的极端情况。条件风险价值方法是近年来出现的数学随机优化方法,已被应用于经济学领域和电力市场等与经济学相关范畴的计算。其计算量小,适用范围大,且考虑了置信度以外的极端情况。利用其处理随机性问题的特点,改进并应用于光伏电站并网极限容量的电力技术计算领域,扩展了电力系统的随机优化计算方法和条件风险方法的应用范围。

1 效益函数及其Va R和CVa R

1.1 Va R和CVa R简介

Va R通常称为风险值,其含义是处于风险中的价值,指在市场正常波动下,某一金融资产或证券组合的最大可能损失,更为精确的表述是:在一定的置信水平(置信度)下,某一金融资产或证券组合在未来特定时间内的最大可能损失。单纯的Va R方法自身存在缺陷,它不满足次可加性,不一定满足凸性、尾部损失测量的非充分性。为克服Va R的不足,Rockafeller和Uryasev提出条件风险理论风险技术,其常被用于市场波动、金融资产或证券组合等领域[9]。CVa R为条件风险价值,也称平均超额损失、平均短缺或尾部Va R,其含义为:在一定的置信度下,损失超过Va R的潜在价值,更为精确的表述是指损失超过Va R的条件均值,反映了超额损失的平均水平[11,12]。

1.2 损失函数的Va R和CVa R

传统意义上,Va R和CVa R是对于损失函数的一种风险度量。

若f(x,y)表示一损失函数。X为决策变量,且为凸集,为随机变量,假设y的概率密度函数为ρ(y),则f(x,y)不超过给定限额α的概率为:

对于给定的置信度β,Va R[13]、CVa R[14]分别为:

1.3 效益函数的Va R计算值和CVa R计算值

效益函数的Va R和CVa R的物理意义不再是风险度量,而只是一种随机处理的计算值,为了不与风险的概念混淆,故称为效益函数的Va R计算值和CVa R计算值。

并网光伏极限容量是以最大化并网光伏电站容量为目标。为了研究方便,函数f1(x,y)是效益型,在数学上相当于负的损失函数。对应定义为:

因此,对于随机变量y,f1(x,y)不小于给定限额α1的分布函数为:

效益函数的Va R为:

效益函数的CVa R为:

2 基于CVa R光伏并网极限容量模型

2.1 光伏并网极限容量一般模型

2.1.1 目标函数

以光伏电站并网容量最大化为目标[10]:

其中,PPV为光伏电站的输出功率;ηinv为并网逆变器的效率;GT为倾斜面太阳辐射强度;CPV为并网光伏电站的容量。

太阳辐射随机特性模拟的准确性,直接影响到随机方法的有效性。小时晴空数自回归滑动平均ARMA(Auto-Regressive and Moving Average)模型[10]被用来模拟太阳辐射强度:

地表水平面太阳辐射强度:

倾斜面太阳辐射与水平面太阳辐射强度的近似转换为:

式(9)(11)中所有变量和参数的物理意义同文献[10]。

2.1.2 约束条件

a.等式约束:

其中,PG为常规机组总出力,PD为系统负荷。

b.不等式约束:

其中,H为节点-支路灵敏度系数,Pg i max和Pg i min分别为第i台常规机组出力的上、下限,PLij,u为支路有功功率上限,n为系统的节点数,ng为常规机组台数。

2.2 光伏并网极限容量CVa R模型

目标函数式(8)中含有随机变量GT,因此需采用能够有效描述和处理太阳辐射强度随机性的优化方法,根据机会约束方法和条件风险理论方法的特点,改进条件风险理论方法,求解和变换光伏并网极限容量模型,即将求取光伏发电装机容量的最大值问题转化为求取其CVa R计算值问题。

式(8)经式(7)的CVa R变换后,得到基于CVa R的并网光伏电站极限容量的目标函数:

因此,由目标函数式(15)和约束条件式(12)(14)组成了新的基于CVa R方法的光伏并网最大容量模型。

2.3 光伏并网最大容量CVa R模型的离散化计算

由于BCVa Rβ1中含有函数BVa Rβ1项,而BVa Rβ1的解析表达式难以求出,因此引入变换函数[15]:

式(17)中[t]-=min t,≥0≥。通常情况下,可以利用随机变量GT的蒙特卡罗模拟样本数据给出式(17)中积分的估计。设GT1、GT2、、GTq为GT的q个样本,则函数FCVa Rβ1(PPV,α1)的估计值为:

易得:

再引入辅助变量目标函数式(18)简化为:

目标函数转化为式(19)的线性形式,计算方便快捷。多个光伏电站的并网极限容量则可采用组合CVa R优化模型。若并网光伏电站的个数为n,则将模型中函数CPV(PPV,GTk)替换为

3 算例分析

3.1 算例简介

本文在IEEE 30系统上分析并网光伏电站极限容量,说明采用CVa R方法计算光伏发电并网极限容量的具体过程。算例数据均采用标幺值,表1是算例系统中参与优化的各个常规发电机节点的有功出力上、下限值,表2是各支路的有功功率上限,表3是各节点负荷值。假设1号机组为平衡机,5号和8号机组带基荷0.45、0.4,不参与有功调节,2、11、13号机组为参与优化常规机组,光伏电场的并网节点也参与有功调节。并网逆变器的效率ηinv=0.95,光伏电站采用轴跟踪光伏阵列,功率基准值为100 MVA。

设光伏电站位于西藏羊八井地区(东经90°30′,北纬30°5′),根据当地实测的水平面太阳辐射数据,得到小时晴空指数k的AMAR模型:

3.2 仿真结果

设计如下3个试验方案。

方案1:光伏电站接入16号节点,方差σt2=0.025。在不同置信水平下的光伏极限容量见图1。

图1的计算结果表明,不同的置信水平下,光伏电站的极限容量(即CVa R和Va R)是不一样的,随着置信水平的提高,Va R和CVa R均减小,并且CVa R与Va R相比,结果偏小。因此可以从本质上理解为考虑了置信度以外的极端情况对光伏电站装机容量的限制。

方案2:光伏电站接入16号节点,方差σt2=0.022 9。在不同置信水平下的光伏极限容量见图2。

图1和图2的计算结果表明,方差越大,光伏电站的并网容量也越大。原因在于,方差越大,太阳辐射波动越小,光伏发电功率输出越平稳,并网的光伏电站对电网的安全性和运行调度影响越小,因此对光伏电站装机容量的限制越小。

方案3:在系统中的节点16和节点28接入光伏电站,方差σt2=0.025。在不同置信水平下的光伏极限容量见图3。

图1和图3的计算结果表明,系统中多个节点接入光伏电站时,光伏电站的装机容量增大。因为多节点接入时,分散了光伏发电出力的波动性对系统的影响,因此可以增加光伏电站装机容量。

4 结论

建立了光伏电站并网装机容量的CVa R求解模型,考虑了光伏发电的随机性,同时考虑了置信度以外的极端情况。因此可以更加合理地求出光伏电站的装机容量。

针对光伏电站出力的随机变化,定量分析和计算了光伏电站的太阳辐射强度等对光伏电站并网容量的影响,结果表明光伏电站建设容量与太阳辐射特性等因素有关,并网容量与电网安全稳定约束和考虑电网风险的置信度水平相关。

采用了风险和条件风险2种方法求取光伏电站并网极限容量,仿真计算结果表明,Va R计算值比CVa R计算值偏大,这是因为条件风险方法考虑了置信度以外的极端情况。

光伏并网极限容量的条件风险模型与方法,有效求解了光伏电站的并网运行与规划问题,并且可推广应用于其他具有随机性优化特点的新能源接入系统问题。

摘要：大规模光伏电站并网会影响电网的安全稳定运行,因此其并网极限容量受到限制。提出了风险和条件风险的随机性优化方法,建立了并网光伏电站极限容量计算的条件风险随机优化模型,该模型以光伏电站并网极限容量为优化目标,同时考虑了极端情况的影响。为了解决条件风险函数直接计算困难的问题,采用蒙特卡罗模拟和解析法将条件风险函数变换和离散化。仿真结果表明,该模型适用于考虑了光照强度随机变化情况下的并网光伏电站极限容量的计算,计算量小,准确性较高。