角的平分线的性质范文第1篇
教学目标
1.角的平分线的性质.
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.
Ⅱ.导入新课
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?
PD、PE是否等长?
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.
请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.
由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
结论：
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.
作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.
III.例题
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
IV.课时小结
角的平分线的性质范文第2篇
教学目标
1.角的平分线的性质.
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.
Ⅱ.导入新课
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?
PD、PE是否等长?
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.
请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.
由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
结论：
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.
作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.
III.例题
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
IV.课时小结
角的平分线的性质范文第3篇
教学目标
1.角的平分线的性质.
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.
Ⅱ.导入新课
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?
PD、PE是否等长?
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.
请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.
由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
结论：
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.
作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.
III.例题
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
IV.课时小结
角的平分线的性质范文第4篇
教学目标
1.角的平分线的性质.
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.
Ⅱ.导入新课
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?
PD、PE是否等长?
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.
请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.
由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
结论：
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.
作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.
III.例题
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
IV.课时小结
角的平分线的性质范文第5篇
(一) 角的平分线的性质
(二)
角的平分线的性质
(一)
教学目标
1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理.
2.会用尺规作一个已知角的平分线.
教学重点
利用尺规作已知角的平分线.
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼.
教学过程
Ⅰ.提出问题，创设情境
问题1：三角形中有哪些重要线段.
问题2：你能作出这些线段吗?
Ⅱ.导入新课
在学直角三角形全等的条件时有这样一个题：
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB.MC与NC交于C点.
求证：∠MOC=∠NOC.
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线.
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了.
思考：这个方案可行吗?(学生思考、讨论后，统一思想，认为可行)
议一议：图中是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB.
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了.
看看条件够不够.
所以△ABC≌△ADC(SSS).
所以∠CAD=∠CAB.即射线AC就是∠DAB的平分线.
由此，我们总结出作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.
③作射线OC，射线OC即为所求.
议一议：
1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗?
2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?
总结：
1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角平分线.
2.若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.
3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可.
4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.
探索活动
按以下步骤折纸
1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C;把角A对折，使得这个角的两边重合;
2、在折痕(即平分线)上任意找一点O;
过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足;
4、将纸打开，新的折痕与AB边交点为E.我们由此得出：
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC.求证：OE=OD.
Ⅲ. 课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质.
Ⅳ.思考
在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现!”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线.
有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢?请你来说明理由.
角的平分线的性质
(二)
教学目标
1.角的平分线的性质.
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么?把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么?
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对.
Ⅱ.导入新课
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?
PD、PE是否等长?
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.
请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足.
由已知事项推出的事项：PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上.
由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?
分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换.
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处 500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)?
1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗?用哪一个性质可以解决这个问题?
2.比例尺为1：20000是什么意思?
结论：
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点 500米处.
2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了. 1m= 100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 1cm•表示实际距离 200m的意思.
作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步：在射线OP上截取OC= 2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了.
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题.
III.例题
例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF.而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上.
所以PD=PE.
同理PE=PF.
所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
IV.课时小结
角的平分线的性质范文第6篇
陈明盛
一、教学目标
(一)知识与技能
1.了解角的平分线的判定定理;
2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
(二)过程与方法
在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
(三)情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用; 难点：角的平分线的判定.
三、教法学法
自主探索,合作交流的学习方式.
四、教学过程
(一) 复习、回顾
1. 角平分线的作法(尺规作图)
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点; ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P; ③过点P作射线OP，射线OP即为所求.
2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ①推导
已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点A、点B.
求证：PA=PB.
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON
∴∠PAO=∠PBO=90° ∵OC平分∠MON ∴∠1=∠2 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA=PB
②几何表达：(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
如图所示，∵OP平分∠MON(∠1=∠2)，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA=PB.
(二)合作探究
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ①推导
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB. 求证：点P在∠MON的平分线上.
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL) ∴∠1=∠2 ∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上.
②几何表达：(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.)
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA=PB ∴∠1=∠2(OP平分∠MON) 【典型例题】
例1. 已知：如图所示，∠C=∠C′=90°，AC=AC′. 求证：(1)∠ABC=∠ABC′;
(2)BC=BC′(要求：不用三角形全等判定).
分析：由条件∠C=∠C′=90°，AC=AC′，可以把点A看作是 ∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路.
证明：(1)∵∠C=∠C′=90°(已知)， ∴AC⊥BC，AC′⊥BC′(垂直的定义). 又∵AC=AC′(已知)，
∴点A在∠CBC′的角平分线上(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
∴∠ABC=∠ABC′.
(2)∵∠C=∠C′，∠ABC=∠ABC′，
∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C′+∠ABC′) 即∠BAC=∠BAC′，
∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，
∴BC=BC′(角平分线上的点到这个角两边的距离相等).
例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC?请说明理由.由此题你能得到一个什么结论?
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段.
解：AP平分∠BAC.
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D. ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到角的两边的距离相等). 同理PF=PE，∴PD=PF.
∴AP平分∠BAC(到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上).
(三)巩固训练
练习：第2题
(四)小结
请你说说本届课的收获与困惑.
(五)作业
习题12.3
