高一数学函数的教案（精选6篇）
高一数学函数的教案 第1篇
平面解析几何初步：
①直线与方程是解析几何的基础，是重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现；间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等综合为主，多为中、高难度，往往作为把关题出现在题目中。直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在中 高考，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。
直线方程及其应用
直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容。应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他综合的问题是比较棘手的。
难点磁场
已知a＜1，b＜1，c＜1，求证：abc+2＞a+b+c.
案例探究
［例1］某校一年级为配合素质，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α（90°≤α＜180°）镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m，（a＞b）。问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
命题意图：本题是一个非常实际的问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为问题的。
知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值。
错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值。如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值。都将使问题变得复杂起来。
技巧与：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值。
解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C（x，0）（x＞0），欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值。
由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为（acosα，asinα）、（bcosα，bsinα），于是直线AC、BC的斜率分别为：
kAC=tanxCA=
于是tanACB=
由于∠ACB为锐角，且x＞0，则tanACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C（，0），因此，学生距离镜框下缘cm处时，视角最大，即看画效果最佳。
［例2］预算用20xx元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？
命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解。
知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解。
错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设。
技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解。
解：设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件
为由
∴A点的坐标为（，）
由
∴B点的坐标为（25，）
所以满足约束条件的可行域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三角形区域（如下图）
由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为（25，），但注意到x∈N，y∈N*，故取y=37.
故有买桌子25张，椅子37张是最好选择。
［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后,高中数学，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px（p＞0）。一光源在点M（，4）处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点 Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M（如下图所示）
（1）设P、Q两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），证明：y1.y2=－p2；
（2）求抛物线的方程；
（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由。
命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用。本题是一道与中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。
知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程。
错解分析：在证明第（1）问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时。
技巧与方法：点关于直线对称是解决第（2）、第（3）问的关键。
（1）证明：由抛物线的光学性质及题意知
光线PQ必过抛物线的焦点F（，0），
设直线PQ的方程为y=k（x－） ①
由①式得x=y+，将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0，由韦达定理，y1y2=－p2.
当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p，同样得到y1.y2=
－p2.
（2）解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M（，4）关于l的对称点为M′（x′，y′），则
解得
直线QN的方程为y=－1，Q点的纵坐标y2=－1，
由题设P点的纵坐标y1=4，且由（1）知：y1.y2=－p2，则4.（－1）=－p2，
得p=2，故所求抛物线方程为y2=4x.
（3）解：将y=4代入y2=4x，得x=4，故P点坐标为（4，4）
将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0，得x=，
故N点坐标为（，－1）
由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0，
设M点关于直线NP的对称点M1（x1，y1）
又M1（，－1）的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点（，－1）与点M关于直线PN对称。
锦囊妙计
1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等。
2.对称问题是直线方程的一个重要应用，里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称。中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。
3.线性规划是直线方程的又一应用。线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域。求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解。
4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力
高一数学函数的教案 第2篇
【摘要】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：函数的概念和图象教案希望能为您的提供到帮助。本文题目：高一数学教案：函数的概念和图象教案第1课时 函数的概念和图象银河学校 张西元教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的.实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx(k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx(k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}.所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2(2)f(x)=3x+2(3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23，+)(3)x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x(xR)(2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3(-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳)Ⅵ.课后作业课本P28，习题1、2.【总结】2013年查字典数学网为小编在此为您收集了此文章高一数学教案：函数的概念和图象教案，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在查字典数学网学习愉快!
高一数学函数的教案 第3篇
函数是中学数学的核心内容,它贯穿于中学数学的始终,是解决许多数学问题的工具和模型,其重要性不言而喻。我所执教的班级是我校创新实验班,学生基础较好。虽然在初中学生已学过函数概念,但仅仅是从变量的角度对函数概念的感性认识。由于高中函数概念比较抽象和学生思维发展水平的原因,它成为教学中的一个难点。本设计从学生已学过的初中函数概念入手,结合变式教学,对这一概念进行突破。
[问题提出]
函数概念由定义域、对应法则和值域三要素组成,对应法则是函数概念的核心,也是学生理解的难点,本设计通过揭示对应法则的不同表现形式,并利用数形结合的方法对难点加以突破。
[教学设计]
环节一:函数概念的变式引入
师:初中我们学习了函数的概念,还学习了具体的函数,如一次函数、二次函数,请同学们回忆一下函数定义。在某一变化过程中有两个变量,设为x和y,如果在变量x的允许值范围内,变量y随着x的变化而变化,它们之间存在确定的依赖关系,那么变量y叫做x的函数。请你举一个具体函数的例子。
师:在函数的定义中,有两个变量,在变化过程中,一个变化时,另一个也跟着变化。请你结合例子说明它们之间确定的依赖关系如何?
生:对x每一个确定的值,y都有唯一确定的值和它对应,如y=x2,x→x2。
师:变量x的值怎么给出?
生:变量x的值通过x的允许值范围给出。比如,y=x2中,x∈R;S=πr2中,r∈(0,+∞)。
师:从集合的观点看,“变量x的允许值范围”是一个实数集合记做D,x和y间“确定的依赖关系”记做对应法则f,我们可将上述函数定义具体叙述如下。
定义:在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实数值与它对应,那么y就是x的函数,记做y=f(x),x∈D。其中x叫自变量,x的取值范围D叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈D}叫做函数y=f (x)的值域。
师:函数y=x2的值域是多少?
师:函数的构成有几部分?
函数由定义域、值域和对应法则三部分组成,对应法则是核心,这就是函数的三要素。
设计意图:初中的函数概念是用变量间的依赖关系对函数概念进行描述性定义的,而高中函数概念是用对应的观点给出函数的现代定义。两个定义比较如下表。
这里从学生初中已学过的变量观点下的函数概念入手,利用集合对应的观点重新认识函数,自然引出对应观点下的函数定义,既符合教材的设计要求,也符合学生的认知特点。
环节二:函数概念的变式表征
问题1:判断下列各例中的对应关系是否为函数关系?如果是函数关系,说出其对应法则、定义域和值域。
1.一物体距地面10m,从静止开始下落,下落的距离y(m)与时间t(s)之间近似满足关系y=4.9t2;y与t的对应关系y=4.9t2是函数关系,其对应法则为4.9×t2,定义域为[],值域为[0,10]。
2.下表是上海市2015年1月18日0点到23点整点气温列表。表格给出的气温与时间的对应关系是函数关系,对应法则如表,该函数的定义域为{0,1,…,23},值域为{3,4,6,7,8,9,10}。从表中可以知道每个时点的温度,但不容易看出24小时气温的变化情况,如果将“气温”与“时间”的关系用图像表示出来,就能直观地看到气温变化的情况。
3.下图是网上的截图,表示上海市2015年1月18日0点到23点气温变化的函数图像。函数定义域为[0,23],值域为[3,10],其对应法则如图,当0≤t≤7时,θ=3℃;当7≤t≤8时,θ=t-4°C;……;当21≤t≤23时,0=6℃。
一般情况,函数对应关系的表现形式通常有三种:(1)解析法,用一个等式表示出x与y的关系;(2)列表法,用表格表示出x与y的对应关系;(3)图像法,以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映x与y的对应关系的曲线。
师:三种表示法各有所长,我们要根据具体情况,选择恰当的方法来表示所要研究的函数。
设计意图:通过对应法则的各种变式,展示了函数常见的三种不同的表示方法,丰富了学生对函数概念的认识,突出了函数的核心——对应法则。
环节三:函数概念的变式辨析
问题2:下面各例中的对应关系是否是函数关系?为什么?
(1)y=l;(2)。
分析:(1)y=1是函数,对应法则为y=1,定义域为R,值域为{1}。
(2)满足条件的自变量x不存在,所以该解析式不表示函数。
问题3:设集合M={x|0≤x≤2},N{y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N。哪些图形是函数f(x)的图像?概括一个图形是函数图像的特征是什么?
图形①表示的函数定义域不是M,图形③表示的函数值域不是N,图形④不满足函数对应法则的要求,只有图形②满足f(x)的要求,所以图形②是f(x)的图像。
根据函数的定义,函数图像与垂直于x轴的直线最多有一个交点。
问题4:下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数?
解:（1),定义域不同且值域不同,不是同一个函数;
(2),定义域与对应法则都相同,是同一个函数;
(3),值域不同,不是同一个函数;
(4)两个函数是否相同,只与函数的定义域和对应法则有关,而与表示变量的字母无关,因此y=t与y=x是同一函数。
师:两个函数只有当定义域、对应法则和值域完全相同时,两个函数才能称为同一函数。体现在图像上,同一函数的图像在同一坐标系中完全重合。
问题5:你能否举出定义域和值域都相同而对应法则不同的函数?如y=x与y=-x;y=x2与y=|x|等。
设计意图:通过对以上几个问题的辨析,进一步强化学生对函数三要素的认识,特别是对应法则的重要性,强化函数关系必须满足x的取值集合非空,对于每一个X的值都有唯一确定的y值与之对应。
环节四:函数概念的变式应用
例1:已知,(1)求f(x)的定义域;(2)求f (1),f ()的值;(3)求f(x+1)及其定义域;(4)求该函数的值域。
解:(1)定义域[-1,1];
定义域为[-2,0];
(4)因为-1≤x≤1,所以0≤x2≤1,,f (x)的值域为[0,1]。
设计意图:学习概念的目的是应用,反之,应用能促进概念的深刻理解。为了更好地运用概念,需要将概念具体化,通过具体问题的分析,为学生更好地应用概念解决问题奠定基础。
[自我反思]
本节课从初中函数的变量说过渡到高中函数的对应说,通过对应法则的不同表现形式和具体函数例子,丰富了函数的概念,加深了学生对函数概念的理解。函数y=f(x)中的f为对应法则,三要素中对应法则为函数的核心,定义域为函数的基础,值域由定义域和对应法则确定。由于对应法则或定义域的变化产生了多样的不同的函数。
变式教学是我国数学教学的传统特点,在教学实践中,它已被我国广大数学教师自觉或不自觉地应用着。利用概念的变式——正例和反例,可以帮助学生直观具体地对概念进行多角度理解,从而实现难点的突破。
函数概念的核心是对应法则,也是学生理解的难点,本节课通过揭示对应法则的不同表现形式,并利用直观的图像,把抽象的对应法则转化为具体形象的实例,从正反两个方面帮助学生加深对函数概念的理解,取得了满意的效果。
[专家点评]
高中的函数概念是中学数学中的重要概念,高中阶段的函数概念是在初中函数概念基础上,用集合、对应的语言和记号更精确地来定义的。张忠旺老师对本课的概念教学做了精细的设计。从初中的函数定义出发,通过实例分析,教师引导,学生讨论,使学生从初中的两个变量间依赖关系的认识,提升到自变量x与因变量y的对应关系;从初中函数自变量x允许取值范围的表述,提升到定义域的集合表示;将对应关系具体化为对应法则f及记号y=f (x),x∈D;将函数值的取值范围定义为函数值域,从函数三要素体现了高中函数概念深化。在本教学设计中,组织教学,例题设计,十分自然流畅,使难点得到有效突破。
函数概念的变式表征的教学是通过三个问题为载体的,这三个问题的设计从学生学习和生活实际出发,对三种函数的表示方法及相互关系有生动的表述,特别是在24小时内温度变化的图像表示中,还设计了如何用解析式分段表示,很有新意。这段内容的教学丰富了学生对函数概念的认识。
高一函数概念的有效教学 第4篇
关键词 高一 函数概念 有效教学
一、高一学生对函数概念学习的理解水平
（一）对基本概念、基本知识掌握不牢固
数学概念、基本知识的学习是数学学习的基础，需要正确理解概念，正确、灵活运用概念、公式解决数学问题。在这方面绝大多数教师在教学中已经作了很大努力，但考生对数学概念望文生义、臆造公式和法则，忽视双基，导致基础题丢分，成績不理想。函数概念学习中有许多错误表现为学生认知的“惯性”。这种思维导致学生在数学概念中不知不觉地犯某种错误，表现为不恰当的推广、扩大，不恰当的方法迁移，或者在过于限制的领域内建立联系，而没有整体地去看问题，或者是对某一数学方法的偏好，而忽略其对立的方法，或者思考问题时思维的单向性、单一性。思维惯性影响低层次认知水平向高层次认知水平迁移，影响着新的认知结构的建立和发展。
（二）知识的掌握不扎实、方法不熟练
由于学习进度快，前面学习的内容没能得到及时再巩固，使大多数学生知识的掌握存在漏洞，不扎实、不系统、不牢固，在考试短时间内综合运用显得力不从心，考虑到这就忽略那，从而造成答题不完整，步骤不全、条件不全等情况。
学生在学习新概念时，常常按过去的经验、结论、方法对概念作“合理”的推广，由于没有清楚新的概念层次与原来概念层次之间的差异，所以大多数“合理”推广是错误的。但是推广是数学研究与学习极为重要的途径，是学生在同化与顺应过程中的思维构造，它可以扩展学生思维、培养学生探索能力。学生自身具有探索、创新的潜能与欲望，他们时刻自觉地在作尝试、推广工作。但他们掌握的知识毕竟有限，有时在推广时考虑不那么全面，往往会导致出错。特别是在函数概念学习中，他们同样会这样做，这种推广是人类天性与潜能，有时会导致错误，但是只要教给学生一定的方法，错误还是能尽量避免的。
（三）基本运算能力不过关
运算能力的考察在平时的考试和学习中中占有一定分量，试卷中具有非常明显的比例。由于运算不过关导致不能正确地对试题作答的情形在考生中十分普遍。计算和式子变形出错很多，公式不熟，步骤、格式不规范，该写的步骤不写，该加的条件不加，符号表达不准确等现象，造成该得到的结论没有得到，这对下一步的思考带来了障碍，使学生被一些表面现象所迷惑，对概念的理解也会出现失误，从而影响正常的判断。
二、对高一函数概念有效教学的建议
函数概念多元表征情景的创设是函数概念多元表征教学的前提。与实验教材相比，新课标中函数概念更注重多元表征情景的创设。譬如，函数具体实例表征由过去的“两个数集对应”，换成了 “解析式”、“图象”、“列表”三种对应。另外，时下数学课堂，虽注重多元表征教学情景的创设，但总体来看，很多教师只是照本宣科地由情景到情景，并没有注意或意识到函数概念多元表征情景的优化。本研究依据数学多元表征学习视角，认为优化函数概念多元表征教学情景，可以遵循以下原则。
（一）导入遵循“变量说一对应说”
函数概念经过了 200多年的发展，在演进过程中衍生多种界定，形成了不同的表征。总的来看，我国初中到高中对函数概念界定，主要遵循。变量说一对应说。因此，对于高中函数概念的教学，应该在变量说的基础上再现函数概念的发生、发展与形成过程。
（二）具体表征实例包含“式、图、表”三种表征
解析式是函数的符号表征，具有抽象性、简洁性、运算性等特点，是形成函数概念言语化表征的学习材料。图象、列表是函数的图象表征，具有直观、形象，是形成函数概念视觉化表征的必要学习材料。有关多元表征功能的研究表明，言语表征与心象表征具有互补、限制解释以及深度理解等功能，函数概念三种不同的表征形式，可以建构多元表征的学习平台，有利于促使学生学习函数概念的多元表征，并在多元表征的转换与转译中实现对函数概念本质的理解。
（三）“听、说、看、写”相结合
多次实际课堂观摩发现，许多课堂注重关注学生的“听”和“看”，这样的“填鸭式”课堂，学生极度缺乏“说”和“写”的机会，无法促进学生深度加工各种表征，多元表征的教学与学习最终只能流于形式。
双重编码理论认为，言语码和心象码可以通过不同的感觉通道获得，各种编码形式可以是视觉的、听觉的、甚至触觉的。因此，课堂上要求学生听、说、看、写等，可以促使他们从多元渠道学习函数概念，从而把握函数的多元属性。
（四）深度解释策略
从“解释策略”的角度看，目前数学概念教学中主要存在着两个缺陷：其一，以教师的解释为主，甚至许多教师独揽了解释权；其二，许多概念的解释过于形式化，。一个定义，几点注意。常常淹没了概念的本质属性。概念解释的缺乏或解释过于肤浅，都不利于多元表征的转换与转译操作的产生以及实现。
深度解释策略，主要包括教师的解释与学生的解释两个方面，而且更突出后者。这是因为，通过深度解释，学生使自己的编码外显化，通过对他人解释的内容批判性考察，学生间的个体数学知识可以相互补救，以促进和增强深层码、整合码的建构。
在函数概念的教学中，我们可以设计看图说话、积极回答问题、积极参与讨论、主动交流与分享等活动，促使学生对函数概念进行深度解释。譬如，在学习完函数的定义表征后，我们可以创设这样的深度解释机会：从宏观看，函数概念包含了哪些主要因素？从微观看，函数概念主要因素间应该满足什么条件？张同学通过观察，认为函数概念就像“加工厂”，他的这个比喻是否合理？为什么？这些问题的深度解释，能引导学生从文字表征、符号表征、图象表征等各方面进行加工、转换、转译，有利于学生整合各种表征，从而抓住函数的本质属性。
参考文献：
[1]谈雅琴."高一学生对函数概念的理解"的调查研究[J].中学数学教学参考，2007，1-2：119-121.
[2]朱文芳，林崇德.初中生函数概念发展的研究[J].心理发展与教育，2004，4： 41-46.
高一数学对数函数教案 第5篇
(2)logab·logbc=logac；
(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；
(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN, ∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律
(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7
京翰教育1对1家教 http:///
高中数学辅导网 http:// 已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢? 解答已知log67=a,log34=b, ∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32, 由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧
利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧8 已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；
(2)求与p最接近的整数值；
(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?
解答（1）解法一3x=4ylog33x=log34yx=ylog342x=2ylog34=ylog316, ∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：
x·lg3=lgm，ylg4=lgm，∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4, ∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39
①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?
②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6，所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，京翰教育1对1家教 http:///
高中数学辅导网 http:// 故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9
已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab? 解答logma+b3=logm(a+b3)212=
解题技巧
①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab，∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb), 即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散
数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系? 解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；
③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动
什么叫做科学记数法？
N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？
有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？
若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.京翰教育1对1家教 http:///
高中数学辅导网 http:// 解析①lg0.203 4=1308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga)，∴(n-9)+(lga+0380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：
n-9=-(n+1)
lga+0.380 4=1-lgan=4, lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3，∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律
把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3 计算：
(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?
解题方法
认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2 =-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66
=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4
已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则
x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：
(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25, ∴2>55.∴55<2<33.又m<0，图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1
京翰教育1对1家教 http:///
高中数学辅导网 http://
解题规律
①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较
①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y 1(1)将下列指数式化为对数式: ①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式： ①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算： (1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是() A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量? 12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠，M｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48) 京翰教育1对1家教 http:/// 高中数学辅导网 http:// 18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长 1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a 4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100，化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2, 或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得： x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33, 同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236, ∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1，∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0, 即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25.京翰教育1对1家教 http:/// 高中数学辅导网 http:// ∴log25=a-11-b(b≠1).同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b), ∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t(t>0),则 ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠且M｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1 ②当a>0时,M=｛x|x ③当a<0时，M=｛x|x1 a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2 (1-10%)x=40%,两边取常用对数，得： 教学目的：掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用.教学过程： 一、复习：对数的运算法则 导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、新授内容： 1.对数换底公式： logaNlogmN(a > 0 ,a 1，m > 0 ,m 1,N>0)logma证明：设 loga N = x , 则 ax = N 两边取以m 为底的对数：logmaxlogmNxlogmalogmN 从而得：x2常用的推论: ①logablogba1，logablogbclogca1 ② logambn3logab○ 三、例题： 例1 已知 log23 = a，log37 = b, 用 a, b 表示log42 56 解：因为log23 = a，则 ∴log 42 561log32 , 又∵log37 = b, anlogab（a, b > 0且均不为1,m≠0）mlogmNlogmN ∴ logaN logmalogma1(a0,a1,b0,b1)logbalog356log373log32ab3 log342log37log321abb11log0.235例2计算：① ② log43log92log1432 解：①原式 = 55log0.2355log5135*** ②原式 = log23log32log22 224442例3设x,y,z(0,)且3x4y6z(1)求证 111 ；(2)比较3x,4y,6z的大小。x2yz 证明(1)：设3x4y6zk ∵x,y,z(0,)∴k 1取对数得：xlgklgklgk，y，z lg3lg4lg6 ∴11lg3lg42lg3lg42lg32lg2lg61 x2ylgk2lgk2lgk2lgklgkzlgklg64lg64lg8134810 lgk)lgk(2)3x4y(lg3lg4lg3lg4lg3lg4 ∴3x4y 9lg36lg6446160 lgk)lgk 又：4y6z(lg2lg6lg2lg6lg4lg6lgklg ∴4y6z ∴3x4y6z 例4已知logax=logac+b，求x 分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式。解法一： 由对数定义可知：xa解法二： 由已知移项可得logaxlogacb，即loga由对数定义知：解法三： xab xcab cxb clogacbalogacabcab blogaab logaxlogaclogaablogacab xcab 例5 计算：(log43log83)(log32log92)log1432 解：原式(log4223log233)(log32log322)log12 (12log313log15223)(log322log32)4 56log35555232log324442 例6.若 log34log48log8mlog42 求 m 解：由题意：lg4lg3lg8lg4lgmlg812 ∴lgm12lg 3四、课后作业： 1．证明：logaxlogx1logab ab2．已知loga1b1loga2b2loganbn 求证：loga1a2an(b1b2bn) 提示：用换底公式和等比定理高一数学函数教案22 第6篇
