二元一次方程范文（精选11篇）

二元一次方程 第1篇

类型之一二元一次方程(组)及其解的概念问题

1. 二元一次方程(组)的概念

例1若2x|m|+(m+1)y=3m-1是关于x、y的二元一次方程,则m的取值范围是().

A. m≠-1 B. m=±1

C. m=1 D. m=0

【分析】根据二元一次方程的概念可得m =1,且m+1≠0,所以m=1,选C.

例2下列方程组中,属于二元一次方程组的是().

【分析】本题考查对二元一次方程组的概念的理解.答案选D.

2. 二元一次方程(组)的解的含义

例3适合方程x+y=5且x、y绝对值都小于5的整数解有()组.

A. 2B. 3C. 4D. 5

【分析】二元一次方程的解有无数组,本题用简单列举法:绝对值小于5的整数有9个,分别取x=- 4,- 3,- 2,- 1,0,1,2,3,4;再计算出对应的y的值,其中符合条件的解有4组.选C.

例4二元一次方程组的解是( ).

【分析】本题有两种解法:一种是将被选答案代入方程组,逐个验证;另一种是解方程组,求出其解.答案选B

类型之二二元一次方程组的解法

1. 代入法

例5解方程组:

【分析】因为方程组中相同未知数表示同一个量,方程1中y=2x,所以方程2中的2x可用y代替,这样,方程2转化成了关于y的一元一次方程. 或将方程2中的y用2x代替,这样,方程2转化成了关于x的一元一次方程.

【点评】本题用代入消元法求解,充分体现了将“二元”转化为“一元”的消元思想.

2. 加减法

例6用加减法解方程组

【分析】未知数的系数没有绝对值为1的,也没有哪一个未知数的系数相同、成相反数或成整倍数关系,但观察发现,x的系数绝对值较小,因此,我们找到2和3的最小公倍数6,然后把1×3、2×2,再通过相减把未知数x消去.

【点评】求出方程组的解后,应将答案代入原方程组进行检验,并形成习惯.

【变式】已知 :关于x、y的方程组 为则x-y的值为( ).

A. -1B. a-1C. 0D. 1

【分析】认真观察此方程组的系数,发现只要用1- 2,便可得到x-y=1,这里巧妙地运用加减消元法,则很顺利地得到正确答案.选D.

【点评】用代入法或加减法解二元一次方程组时,“代入”与“加减”的目的就是“消元”,化“二元”为“一元”.

类型之三二元一次方程组的综合应用

1. 构造二元一次方程组解决问题

例7已知3x+y-2 +(2x+3y+1)2=0,求x、y的值.

【分析】绝对值有非负性质(即不是负数),完全平方也有非负性质,如果两个非负数相加为0,那么每一个数必须是0,于是可得到:3x+y- 2=0,2x+3y+1=0.把它们组成方程组,再解方程组即可得到x、y的值.

【点评】本题是根据两个非负数和为0,那么这两个数都为0,把原来的一个等式转化为两个方程,再组合成一个方程组,从而解决问题.

2. 应用二元一次方程组求待定系数或代数式的值

例8若方程组有无穷多解,则3ax+1=b的解是______.

【分析】此方程组可通过加减消元法转化为关于x的一元一次方程(其中a、b当成已知常数),形如Ax=B,当A=0,且B=0时,此方程有无穷多解,则方程组有无穷多解.

1+2得(1+a)x=2- 3b,根据题意得1+a=0,且2- 3b=0,所以a=- 1,b=2/3. 将a、b的值代入方程3ax+1=b中得3x+1=2/3,解得x=1/9.

【点评】把已知条件转化为能够直接应用的关系是解题的关键.一般来说,一个相等关系通常只能求出一个未知数的值.要求出两个未知数的值,需要两个相等关系,这一点同学们在今后的学习中会逐步体会到.

类型之四用方程组解决生活实际问题

1. 方程组解决简单实际问题

例9小刘同学用10元钱购买两种不同的贺卡共8张,单价分别是1元与2元. 设1元的贺卡为x张,2元的贺卡为y张,那么x,y所适合的一个方程组是().

【分析】分析题意发现两个相等关系为:大贺卡张数+小贺卡张数=8张,大贺卡总价格+小贺卡总价格=10元.答案选D.

例10根据题意列方程组:开学报到时小刚带了新版人民币50元和10元共12张240元准备交代办费,求小刚携带50元和10元的人民币各几张?

【分析】问题中包含的两个相等关系为:新版人民币50元张数+10元张数=12张;新版人民币50元总价值+10元总价值=240元.

【点评】列二元一次方程组的关键是找出问题中蕴涵的相等关系.

2. 运用列表法分析问题、解决问题

例11为响应承办“绿色奥运”的号召,某中学初三(2)班计划组织部分同学义务植树180棵,由于同学们参与的积极性很高,实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%,结果每人比原计划少栽了2棵树,问实际有多少人参加了这次植树活动?

【分析】本题可通过列表来表示植树活动的有关数量.

根据每人植树棵数×人数=植树总棵数,可列出两个方程.

【点评】运用整体代入法是解此特殊方程组的关键.

3. 运用画示意图法分析问题、解决问题

例12一列匀速行驶的火车通过一座160米长的铁路桥用了30秒,若它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了32秒,求这列火车的速度和长度.

【分析】本题可通过画线段图来表示有关的数量关系,火车在通过铁路桥时,从车头上桥到车尾出桥历时30秒,火车所行驶的路程是桥长与火车长的和;同理,它穿过一段200米长的隧道用了32秒,其所行驶的路程是隧道长与火车长的和. 若设火车速度是x m/s,火车长为y m,其示意图如下所示:

二元一次方程的整数解 第2篇

例1 （2014年衡阳）某班组织活动，班委会准备把15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品都要有.有多少种购买方案？请列举所有可能的方案.

分析：要确定有几种购买方案，只需确定符合条件的购买笔记本和中性笔的情况有几种.

解：设应购买笔记本x本，中性笔y支.依题意，得2x+y=15，即y=15-2x.

由题意知x、y都是正整数，所以x=1时，y=13；x=2时，y=ll；x=3时，y=9；x=4时，y=7；x=5时，y=5；x=6时，y=3；x=7日寸，y=l.

故符合条件的购买方案有7种，它们分别是：购买笔记本1本，中性笔13支；购买笔记本2本，中性笔11支；购买笔记本3本，中性笔9支；购买笔记本4本，中性笔7支；购买笔记本5本，中性笔5支；购买笔记本6本，中性笔3支：购买笔记本7本，中性笔1支.

说明：本题中购买的是笔记本和中性笔两种奖品，x、y都是正整数.

例2（2013年黄石）四川雅安地震期间，为了紧急安置60名灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷.若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（）.

A.4种

B.6种

C.9种

D.11种

分析：要确定有几种搭建方案，只需确定符合条件的搭建可容纳6人或4人的帐篷的情况有几种.

解：设搭建容纳6人的帐篷x顶，容纳4人的帐篷y顶，依题意，得6x+4y=60.

故符合要求的搭建方案有6种，一是搭建容纳6人的帐篷O顶，容纳4人的帐篷15顶：二是搭建容纳6人的帐篷2顶，容纳4人的帐篷12顶；三是搭建容纳6人的帐篷4顶，容纳4人的帐篷9顶：四是搭建容纳6人的帐篷6顶，容纳4人的帐篷6顶：五是搭建容纳6人的帐篷8顶，容纳4人的帐篷3顶：六是搭建容纳6人的帐篷10顶，容纳4人的帐篷0顶，应选B.

说明：本题中搭建的帐篷可以全是容纳6人的帐篷，也可以全是容纳4人的帐篷，还可以是既有容纳6人的帐篷，又有容纳4人的帐篷.

例3（2014年龙东）学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场）.记分办法是：胜l场得3分，平1场得1分，负1场得0分，在这次足球比赛中，小虎所在足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎所在足球队所负场数的情况有（）.

A.2种

B.3种

C.4种

D.5种

分析：要确定小虎所在足球队所负场数的情况有几种，只需确定小虎所在足球队所负场数和踢平场数有几种符合条件的情况.

说明：本题中小虎所在足球队不可能全胜，根据踢平场数是所负场数的整数倍，且x、y都是正整数即可得解.

1.（2014年齐齐哈尔）将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（）.

A.6种 B.7种 C.8种 D.9种

2.（2013年绥化）某班组织20名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载，则有____种租车方案.

参考答案

1.A 2.2

二元一次方程整数解及其应用浅析 第3篇

初看这道题目,可能绝大部分学生能比较顺利的列出两个等量关系式:1角硬币数量+5角硬币数量+1元硬币数量=15,1角硬币钱数+5角硬币钱数+1元硬币钱数=7,进而可以列出两个三元一次方程:x+y+z=15①;0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解, 可能是很多学生所未曾遇到过的。如何求解呢?这儿就不可避免的应用到二元一次方程的非负整数解。

二元一次方程的解有无数组,但在实际应用中,我们往往只需要求出其非负整数解。下面试举几例以供参考:

例1.小虎子有一张面值为10元的人民币,他想换成1元或2元的人民币,请你想一想,可能有几种兑换方法?

解:设可换成1元的人民币x张,2元的人民币y张,则x+2y= 10。

∵x、y只能取非负整数。

∴ 其非负整数解为:

所以有6种兑换方法, 分别为5张2元;2张1元和4张2元;4张1元和3张2元;6张1元和2张2元;8张1元和1张2元;10张1元。

例2.如果x、y为不等于0的自然数,且3x·3y=27,试求xy的值。

分析:由27=33,可得3x·3y=33,根据幂的性质可得x+y=3,再由x、y为不等于0的自然数可确定x、y的值。

解:因为3x·3y=27,即3x+y=33,所以x+y=3;又因为x、y为不等于0的自然数,所以有或所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。 综上所得:xy=2。

点评:因为x、y为不等于0的自然数,所以本题实际上是求x+ y=3的整数解。

在近几年的中考题目中,也已经出现了类似题型的考查。

例3.(2013·绥化)某班组织20名同学去春游,同时租用两种型型号的车辆,一种车每辆有8个座位,另一种车每辆有4个座位. 要要求租用的车辆不留空座,也不能超载。 有_______ 种租车方案。

解:设租用每辆8个座位的车x辆,每辆有4个座位的车y辆,

% % 根据题意得,8x+4y=20,

整理得,2x+y=5,

∵x、y都是正整数,

∴x=1 时,y=3,

x=2 时,y=1,

x=3时,y=-1(不符合题意,舍去),

所以,共有2种租车方案。

点评:本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键在于车辆数是正整数。

由此我们可以看出,二元一次方程虽然具有无数组解,但在特定条件下整数解是可以求出的,从而可以用来解决一些生活中的实际问题。同样,借鉴“消元”思想和二元一次方程整数解我们就可以顺利解出刚才的硬币问题。

我们可以将方程x+y+z=15①,0.1x+0.5y+z=7②通过消x得到一个二元一次方程:4y+9z=55,利用题目中隐含的x、y、z只能取非负整数解条件,我们可以求出:y=7,z=3,进而求出x=5,至此我们就可以求出该题的答案为:1角硬币5枚、5角硬币7枚、1元硬币3枚。

二元一次方程组教案 第4篇

授课教师：夏彦春

时间：4月16日

教学目标：

1、掌握加减消元法的基本步骤，熟练运用加减消元法解简单的二元一次方程组

2、通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识和探究精神，进而体会数学的独特魅力。

教学重点：用加减法解二元一次方程组。

教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元” 教学过程

（一）问题引入

售货员：甲笔记3本和乙笔记本5本共21元,甲笔记 本2本比 笔记本5本少11元。问：甲、乙笔记本每本各多少元? 学生列方程

复习提问：

1、解方程的基本思想是什么？

2、代入消元法的基本步骤是什么？

这道题怎么做呢？发现代入法很麻烦。

（二）探索新知

1、观察两个方程中个未知数的系数有什么特点，小组合作解方程

2、学生汇报合作成果。

3、规范解题步骤

4、归纳加减消元法

5、巩固训练

（三）解决问题：

1、出示例3学生小组合作解决。

2、出示一习题学生练习，寻找简便方法。

3、练习教科书96页1题

（四）巩固升华： 易错题分析(五)归纳总结，布置作业。

98页3、4题

CHIC的二元一次方程 第5篇

按照《纽约时尚周刊》的说法，与流行毫不相关，绝对不是名牌，不平庸也不无聊，便是CHIC，详细的标准有这么几个：一，秀场的主题不顾一切的迷惑，展示的是新装却不过是几件黑呼呼的斗篷，而《时尚周刊》的评价是，“这个主题准确阐释了Chic，它既久经世故又不落窠臼；二、不顾一切的复古，60年代流行的粗呢格大衣，过膝的碎花鱼尾裙，大圆点的宽边帽，《时尚周刊》的评语是：越落后就越超前；三，上身披闪着光的里昂绸，上面是一滩一滩的牛肉汁和意大利面，下身是内裤里面套外裤。关于这其中的Chic，那就是敢于糟蹋名贵的布料，有幽默感。似乎这种解释是说得通的，前不久自缢家中设计大师ALEXANDER MCQUEEN创造的那些腐蚀般的鞋履，应该算是CHIC，网络上从内地一直红到台湾的“犀利哥”也是CHIC，那些小小年纪依靠出其不意的时装技巧走红时尚的网络博客手，譬如：TaviGevinson，更是CHIC，在这么多元的选择下，究竟什么才是真正的CHIC呢?

上个世纪60年代兴起的街头时尚，改变了时尚自上而下的下传横式，各个高级时装屋不再呼风唤雨，所谓设计大师也都从此相对而言，真正做主的是民间的路人，是睬滑板的少年、是骂粗口的黑人区的街头小仔，是夜店永不熄灭的灯红酒绿。

《解二元一次方程组》的磨课记 第6篇

确定了这节课的教学目标、教学重难点,以及教学中的主要例题和学生练习. 在教研活动时,同事们给我提了不少意见和建议. 听了大家的建议,我对情境引入与合作探究做了较大的改动. 教育叙事就是用说故事的方式谈教学,远比单纯的说课要生动活泼,以下为我对这节课的几点预设和思考.

( 一) 情境导入

首先是情境导入部分,原先我想让学生完成这样的练习引入新课.

1. 已知 x + y = 12,若用含 y 的代数式表示 x 得,x =,若用含x的代数式表示y得,y = .

2. 已知3x - 2y = 6,若用含y的代数式表示x得,x =____2. 已知3x - 2y = 6,若____用含y的代数式表示x得,x = ,若用含x的代数式表示y得,y = .2. 已知3x - 2y = 6,若用含y的代数式表示x得,x =_ ,若用含x的代数式表示y得,y = .

并比较哪一种形式比较简单? 这样为用代入法解二元一次方程组打下基础. 但转念一想这样做不符合新课标的要求,虽然学生通过训练可以化解“代入”的难点,但是为什么要这样做,学生不清楚,略显生硬. 考虑可否把这样的练习安排在探究出如何用代入法消元解二元一次方程组之后,可能效果会更好一点.

苏科版的教科书一直强调“做数学”,让学生感受“生活———数学,数学———生活”,怎么办呢? 在组内老师的激烈讨论之下,大多数老师认为就用书本设计的情境,这个 “篮球比赛积分”的问题在本章第一课时就提出来了,当时我们只列出二元一次方程组,并没有解. 题目是: 根据篮球比赛规则: 赢一场得2分,输一场得1分. 在某次中学生篮球联赛中,某球队赛了12场,赢了x场,输了y场,得20分.我们可以列出方程组

如何解这个二元一次方程组? 通过提出这个实际问题的需要,得出解方程组的必要性,同时与前面的教学情境相呼应,充分调动学生的积极性,来激发学生的学习动机和兴趣.

( 2) 合作探究

在引入了课题之后,教学的关键就在于如何突破重难点,这个也是我思考得最多的地方. 当代学习理论告诉我们: 学习不再被看成一种被动地吸收知识,通过反复练习强化储存知识的过程,而是用学生原有的知识处理新的任务, 并构建他们自己的意义的过程. 对于本节课的学习来说,重要的是要让学生学会探究模式,发现规律,而不是死记结论,死套公式和法则,只有经过学生自己的探索,才能不仅 “知其然”而且“知其所以然”,才能真正获得知识,懂得意义. 教参中特别强调“应留出足够的时间让学生探索和尝试、体会消元的方法,教师切忌在教学中将自己的解题经验简单地灌输给学生”. 那么问题来了,如何让学生真正动起来呢? 教师又该如何引导学生探究呢?

我原先想让学生以小组为单位,其中一位就刚才的题目用一元一次方程来列式,一元一次方程我们会解,能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢? 通过解二元一次方程组与解一元一次方程相比较,让学生归纳解题思路.

但这样做存在两个问题:

1. 引导不够新颖

以前的老教材上就是这样处理的,又将学生拉回到一元一次方程的应用上,苏科版没有提到一元一次方程与二元一次方程组的对比,这样设计就是为了体现用二元一次方程组的优越性,多设了一个未知数,但是方程容易列了.

2. 引导不够明确

本节课的重点是代入消元法解二元一次方程组,但是在小组讨论中学生可能做法有: ( 1) 用代入法消元; ( 2) 用加减法消元; ( 3) 整体代入,对于学生可能出现的情况我们要有一定的预判,出现一,顺着走; 出现二,表扬鼓励,暂时搁下; 出现三,特殊方法用在特例中.

于是,我决定为了突破难点,我先让学生解决这道题目: 请先解下面的方程组学生很容易看出只需将y = 12 - x代入第二个方程中就能消去一个未知数,从而很顺利的引导学生用代入法达到消元的目的. 接着回到情境导入中的问题来,如何解决? 这时给出一组方程组:

让学生以小组为单位讨论解题的思路,不要求解答. 题目的设置有梯度,其中第四小题还为下节课加减消元法做了铺垫. 这样的教学就会变得非常的生动,非常的活跃,学生的脑子才会真正的动起来,而不是停留于讨论这个形式, 为讨论而讨论,从而突破本节课的重点.

( 三) 应用巩固

分三个部分: 1、例题,2、归纳,3、练习. 在学生充分讨论的基础上,我会在黑板上就第一小题给出规范的解题格式, 提出“代入消元法”这个概念,并请学生说出用代入法解二元一次方程组的解题步骤. 然后让学生完成( 2) ~ ( 5) 小题的解答. 在例题的教学中,我重点关注这样几个问题:

1. 如何消元,怎么变形?

2. 求出一个未知数后代入哪个方程求另一个未知数更简单?

3. 有没有其他的解法? 哪个更简单?

4. 解题的步骤和格式.

“二元一次方程组”中考试题研究 第7篇

这样, 含有两个未知数并且未知项的次数都是1的二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组. 在七年级下学期, 同学们学习了二元一次方程组的解法及其应用.下面以常见的中考题为例, 探讨解方程组的基本方法.

一、二元一次方程组的解法

【解析】这类中考题属于基础题, 考查解方程组的基本技能.例1中方程 (1) 已经是用含x的代数式表示y的形式, 故而适宜使用代入消元法, 答案为例2两种方法均可, 但同学们一般还是比较偏向于使用加减消元法, 答案为

【点评】多元方程的解法原则是“消元”.而“消元”的具体方法有代入法和加减法两种.

有时, 试题也会涉及“整体代换”等思想方法, 比如:

例3 (2015·珠海) 阅读材料:善于思考的小军在解方程组时, 采用了一种“整体代换”的解法:

解:将方程 (2) 变形:4x+10y+y=5, 即

2 (2x+5y) +y=5 (3) ,

把方程 (1) 代入 (3) 得:2×3+y=5, ∴y=-1.

把y=-1代入 (1) 得x=4.

请你解决以下问题:

(1) 模仿小军的“整体代换”法解方程组

(2) 已知x, y满足方程组

【解析】第 (1) 题模仿小军的“整体代换”法, 把方程 (2) 变形为:

3 (3x-2y) +2y=19 (3) , 把 (1) 代入 (3) 得:15+2y=19, 即y=2, 把y=2代入 (1) 得:x=3, 则方程组的解为

第 (2) 题需经整理后, 再模仿小军的“整体代换”法, 由 (1) 得:3 (x2+4y2) =47+2xy, 即解得:xy=2, 则x2+4y2=17.

【点评】此题考查了解二元一次方程组, 弄清阅读材料中的“整体代换”方法, 是解本题的关键.

二、二元一次方程组的应用

例4 (2015·北京) 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作, 奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中, 方程术是《九章算术》最高的数学成就.

《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二, 直金十两;牛二、羊五, 直金八两.问:牛、羊各直金几何?”

译文如下:“假设有5头牛、2只羊, 值金10两;2头牛、5只羊, 值金8两.问:每头牛、每只羊各值金多少两?”

设每头牛值金x两, 每只羊值金y两, 可列方程组为__________.

【解析】根据“假设有5头牛、2只羊, 值金10两;2头牛、5只羊, 值金8两”, 得到等量关系, 即可列出方程组.

【点评】这类问题中两个量呈一次关系, 往往可以抽象出二元一次方程组, 解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系.

例5 (2015·佛山) 某景点的门票价格如表:

某校七年级 (1) 、 (2) 两班计划去游览该景点, 其中 (1) 班人数少于50人, (2) 班人数多于50人且少于100人, 如果两班都以班为单位单独购票, 则一共支付1 118元, 如果两班联合起来作为一个团体购票, 则只需花费816元.

(1) 两个班各有多少名学生?

(2) 团体购票与单独购票相比较, 两个班各节约了多少钱?

【解析】 (1) 设七年级 (1) 班有x人、七年级 (2) 班有y人, 根据如果两班都以班为单位单独购票, 则一共支付1 118元, 如果两班联合起来作为一个团体购票, 则只需花费816元建立方程, 解得:, 答:七年级 (1) 班有49人、七年级 (2) 班有53人.

(2) 用一张票节省的费用乘该班人数即可求解. (2) 七年级 (1) 班节省的费用为: (12-8) ×49=196 (元) , 七年级 (2) 班节省的费用为: (10-8) ×53=106 (元) .

【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用、二元一次方程组的解法的运用, 解答时建立方程组求出各班的人数是关键.

三、与二元一次方程组有关的综合题

例6 (2014·益阳) 某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇, 下表是近两周的销售情况:

(进价、售价均保持不变, 利润=销售收入-进货成本)

(1) 求A、B两种型号的电风扇的销售单价;

(2) 若超市准备用不多于5 400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台, 求A种型号的电风扇最多能采购多少台?

(3) 在 (2) 的条件下, 超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1 400元的目标?若能, 请给出相应的采购方案;若不能, 请说明理由.

【解析】 (1) 设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元, 根据销售3台A型号5台B型号的电扇收入1 800元, 销售4台A型号10台B型号的电扇收入3 100元, 列方程组得:, 所以A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.

(2) 设采购A种型号电风扇a台, 则采购B种型号电风扇 (30-a) 台, 根据金额不多于5 400元, 列不等式得:200a+170 (30-a) ≤5 400, 解得:a≤10.所以超市最多采购A种型号电风扇10台时, 采购金额不多于5 400元.

(3) 设利润为1400元, 列方程 (250-200) ·a+ (210-170) (30-a) =1 400, 解得:a=20.

若不符合 (2) 的条件, 可知不能实现目标.∵a≤10,

∴在 (2) 的条件下超市不能实现利润1 400元的目标.

二元一次方程组的一些特殊解法 第8篇

一、整体代入(加减)消元法

例1解方程组

【解析】通过观察可发现上下两个方程都含有（x-1）/3与（y+2)/4这两个代数式,通常当成一个整体来解方程组.

解:由1+2,得

解得,x=16.

由2-1,得

解得,y=-10.

所以,方程组的解为

例2解方程组

解析 (x-y)与(x+y)这两个代数式以整体的形式出现在方程组中,所以可以运用整体思想解题.

解:由1-3×2,得:8(x+y)=24.

即x+y=3. 3

把3代入1,得

x-y=7. 4

由34联立,得

,解得.

二、巧用换元法

例3解方程

解析 本题可以用常规的代入消元法解题,若使用换元法会更方便.

解:设x/2=y/3=t,则x=2t,y=3t,

代入2,得19t=19,t=1.

所以

点评 本题系数为分数,若采用代入消元法,容易算错,而设整体为新的未知数t,避免了分数的计算,降低了计算错误的风险.

三、系数轮换方程的解法

例4解方程组

解析 本题x、y的系数较大,运用代入(加减)消元法不合适,观察易见两个未知数的系数出现轮换现象,我们一般称这种方程为系数轮换方程,抓住这个特征,将两个方程整体相加、整体相减,就会出现系数相同的情况,从而轻松解题.

解:由1+2,并化简,得x+y=1, 3

由2-1,并化简,得x-y=-11. 4

由34联立,得

,解得

点评 轮换方程组是一类重要的方程组,常见于各种数学竞赛,由于系数具有特殊的结构,用常规方法不易解决.

例5如果a、b、c均为正数,且

,求abc的值.

解析 本题很难直接求解,观察方程结构特征,a、b、c三个未知数具有轮换的特征,可以考虑三式整体相加,可求出ab+bc+ca的值,继而求出ab、bc、ca的值,将它们相乘即可求出abc的值.

解

由1+2+3,得ab+ac+bc=242, 4

将4-1,得bc=90,

将bc=90代入23,得ab=72,ac=80,

所以ab·bc·ac=72×90×80,

即(abc)2=(720)2,

因为a、b、c均为正数,所以abc=720.

探索二元一次方程组巧解方法 第9篇

对于二元一次方程组:

你有什么好的解法吗?

1.代入法解方程:

代入法是二元一次方程组的常规解法.就拿这道题为例, 由 (2) 可化简得:

y=3x-1, (3)

将 (3) 代入 (1) 可得x+3 (x+3x-1) =10,

解之得:x=1, 将x=1代入得:y=2,

∴方程组的解为

2.加减消元法

加减法是解二元一次方程组的基本方法之一, 有时可以较简单地解决代入法难以解决的问题.让我们拿这道题试试.

(1) 化简后可得:4x+3y=10, (4)

(2) 化简后可得:3x-y=1, (5)

(5) ×3得:9x-3y=3, (6)

(4) + (6) 得:13x=13, ∴x=1.

将x=1代入 (5) 得:y=2.

∴方程组的解为

3.换元法

用换元法解这个方程组, 要先给方程“变形”.

(2) 可化为:3x-x-y+x=1, 即4x- (x+y) =1, (7)

此时 (7) 与 (1) 中出现了相同部分 (x+y) .

不妨令x+y=a,

此时只要解出这个简单的二元一次方程组就可以求出原方程组的解了.

4.图像法

在学习数学的过程中, 我们常常会听到“数形结合”这一重要思想.那么, 如果把二元一次方程组与一次函数图像结合呢?

由 (4) 得: (1) 的图像为

由 (5) 得: (2) 的图像为y2=3x-1,

可得到如图的函数图像:

y1、y2的交点即为该二元一次方程组的解.

对于这样简单的方程这个方法略为烦琐, 但对于复杂难解的方程, 或许画图像更直观, 能防止出错.

《二元一次方程组》复习指导 第10篇

1. 二元一次方程组的解法主要有代入消元法、加减消元法.代入消元法，是将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.加减消元法，是通过两方程相加（减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.

2. 二元一次方程组还可以用“图象法”去解.图象法，是把方程组中的两个方程转化成一次函数，作出两个一次函数的图象，求出交点坐标，则交点的横坐标与纵坐标就分别是方程组中的x、y的解.

3. 解二元一次方程组应用题，实际上就是正确地找出问题中的两个等量关系.

4. 二元一次方程（组）与一次函数之间的关系：

①一次函数y=kx+b中的两个变量x、y看成未知数，则这个解析式可以看做是一个关于x、y的二元一次方程，一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx+b-y=0的解.②方程组的解与函数图象交点的坐标等同，可利用图象法求二元一次方程组的解.

二、典型题解析

例1 二元一次方程组

2x+□y=3， ①□x+y=3 ②中第一个方程 y 的系数被遮住，第二个方程x的系数被遮住，但知道x=2，y=1是这个方程组的解.你能求出原来的方程组吗？

解：设遮住的y的系数为m，x的系数为n.

因为x=2，y=1是方程组的解，所以将x=2，y=1分别代入方程①和方程②，可得2×2+m×1=3，n×2+1=3.解得m=-1,n=1.

所以，原来的方程组为2x-y=3，x+y=3.

评注：求解此类题目可利用方程（组）及其解的定义，把解直接代入，求出方程中的待定系数的值.

例2 解方程组x+3y=4，①x+y=0. ②

解：由②得x+2y=0，即x=-2y.把x=-2y代入①得y=4.

把y=4代入x=-2y，得x=-8.所以原方程组的解为x=-8，y=4.

评注：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解.消元时要观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程进行变形.本题若从①入手，比较麻烦.

例3 已知x、y是实数，且+y2-6y+9=0.求xy的值.

解：原方程可化为+（y-3）2=0.

∵≥0，（y-3）2≥0，

∴3x+y=0，y-3=0. 故x=-1，y=3.

∴xy=-3.

评注：几个非负数之和等于0，则这几个非负数都等于0.

例4 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个.一个盒身与两个盒底配成一套.现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，正好制成都配套的罐头盒？

解：设需要x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底.

根据题意得x+y=150，43y=2×16x.

解这个方程组得x=86，y=64.

∴用86张铁皮做盒身，64张铁皮做盒底.

评注：列二元一次方程组的步骤和列一元一次方程的步骤大致相同.随着问题的复杂性的增加，列二元一次方程组比列一元一次方程解决问题更加直接、简单.本题也可用一元一次方程解，同学们不妨试试.

例5 某工厂去年的总产值比总支出多500万元.今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此今年总产值比总支出多950万元.今年的总产值和总支出各是多少？

解：设去年的总产值是x万元，去年的总支出为y万元.

根据题意得x-y=500，（1+15%）x-（1-10%）y=950.

解这个方程组，得x=2 000，y=1 500.

（1+15%）x=2 300，（1-10%）y=1 350.

∴今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元.

评注：当直接设未知数列方程比较困难时，可以采用设间接未知数的方法.

例6 甲火车长92 m，乙火车长84 m.若相向而行，两车从相遇到完全离开，时间为1.5 s；若同向而行，两车从相遇到完全离开，时间为6 s.假设甲车速度比乙车快，求甲、乙两车的速度.

解：设甲车速度为x m/s，乙车速度为y m/s.

根据题意有1.5（x+y）=92+84，6（x-y）=92+84. 解这个方程组得x=73y=44.，

∴甲、乙两车的速度分别为73 m/s和44 m/s.

评注：两车相向而行，属相遇问题，两车间距离等于速度和乘以时间；两车同向而行，属追及问题，两车间距离等于速度差乘以时间.

例7 已知直线y=k1x+b1经过原点和点（-2，-4），直线y=k2x+b2经过点（1，5）和点（8，-2）.

（1）求两直线的解析式.

（2）若两直线相交于M点，求M点的坐标.

（3）若直线y=k2x+b2与x轴交于点N，求△MON的面积.

解：（1）y=2x，y=-x+6.

（2）解方程组y=2x，y=-x+6， 得x=2，y=4.

∴M点坐标为（2，4）.

（3）当y=0时，得-x+6=0，x=6.

∴N点坐标为（6，0）.

∴ON=6.

又知ON边上的高为点M的纵坐标的绝对值，是4，

∴S△MON=×6×4=12.

评注：二元一次方程与一次函数可以视题目要求互相转换.

三、深刻领会各种数学思想

用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组时，我们能体会到“化未知为已知”的化归思想.

在二元一次方程与一次函数的关系中，体会到了“数形结合”思想的美妙之处，建立了方程与函数的联系.

二元一次方程 第11篇

一、优先运用概念解题

定义概念是解题的基础, 在某种情形下, 优先考虑运用概念解题, 往往给解题带来方便。

解析:本题是方程组解的判定, 解决此类问题主要有两种思路:一是直接求解这个方程 (有小题大作之嫌) , 另一种是根据方程组的解的概念, 将选择题的备选答案代入方程组, 加以验证。答案选C.

二、根据未知数系数特点选择合适的消元法解二元一次方程组

解二元一次方程组的基本思路是通过消元, 将二元一次方程组转化为一元一次方程最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法, 具体应用时, 要结合方程组的特点, 灵活选用消元方法。如果出现未知数的系数为1或-1, 宜用代入消元法解;如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂, 宜用加减消元法解。

解析:用加减消元法和代入消元法均可求解。

方法一:因y的系数为简单的倍数关系, 所以可考虑利用加减消元法解方程组。

(2) + (3) 得:11x=33, 即x=3.

把x=3代入 (1) 得:9-y=5, 即y=4.

方法二:因为有一个方程中y的系数为1, 然后可用代入消元法解方程组。

由 (1) 得:y=3x-5, (3)

把 (3) 代入 (2) 得:5x+2 (3x-5) =23.

把x=3代入 (3) 得:y=4.

三、将方程组的解代入不等式, 确定非求知数字母的取值范围

当方程组或不等式中含有字母时, 一般是将字母看作已知数进行计算然后再根据条件进行分析讨论

例3已知方程组的解x、y满足2x+y≥0, 则m的取值范围是 () 。

解析:本题可先确定x、y与m的关系, 再由2x+y≥0得关于m的不等式, 求出m的取值范围即可。

四、找等量关系是列方程组解应用题的关键

1. 寻求规律找等量关系。

能够通过图表挖掘出所需要的等量关系, 是同学们解决部分问题的关键。此类题中同学们能很轻易地发现其中的规律, 根据规律解答问题就变得相对简单。

例4某校的一间阶梯教室, 第1排的座位数为a, 从第2排开始, 每一排都比前一排增加b个座位。

(1) 请你在下表的空格里填写一个适当的代数式:

(2) 已知第排有个座位第排座位数是第排座位数的2倍, 求第21排有多少个座位?

解析:认真分析题意, 弄清表中所反映的信息, 很容易解得。 (1) a+3b;

∴12+202=52, 即第21排有52个座位。

2. 数形结合, 挖掘等量关系。

遇到一些图形的问题, 要注意运用数形结合的思想方法, 分析图形和已知条件, 善于挖掘出几何图形中隐含的等量关系。

例5用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面, 地砖的拼放方式及相关数据如图1所示, 求每块地砖的长与宽。

解析:要善于根据图形挖掘隐含的等量关系。本题的未知量有两个, 就是每块地砖的长和宽, 根据矩形长为60可得一个等量关系, 由于矩形的上下两个对边相等, 所以又能得到一个等量关系, 从而组成一个方程组。

设每块地砖的长与宽分别为x和y, 根据题意可得

即每块地砖的长为宽为

3. 认真分析题意, 找出隐含的等量关系。

列方程组解应用题的关键是找出实际问题中的等量关系。下面呈现了一个购物情境, 以两人对话的方式给出了相关的信息。解题时, 要分析他们的对话, 找出其中蕴含的等量关系。

例6八年级 (3) 班在召开期末总结表彰会前, 班主任安排班长李小波去商店买奖品, 下面是李小波与售货员的对话:

李小波:阿姨, 你好!

售货员:你好, 想买点什么?

李小波:我只有100元, 请帮我安排买10支铅笔和15个笔记本。

售货员:好, 每支钢笔比每个笔记本贵2元, 退你5元, 请清点好, 再见。

根据对话, 你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗?

解析:根据对话从中找出一些等量关系。

设钢笔每支为x元, 笔记本每本y元, 据题意得: