波利亚教我们怎样解题（精选7篇）
波利亚教我们怎样解题 第1篇
学习波利亚《教我们怎样解题》
(美籍匈牙利数学家乔治•波利亚（George Polya,1887—1985），法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，杰出的数学家。波利亚一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，他热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。)
每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的？”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”
波利亚对回答上述问题非常感兴趣，他先后写出了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》。这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。对数学教育产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚93岁高龄时，还被国际数学教育大会聘为名誉主席。
波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚的《怎样解题》一书中的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方式重新叙述它？......”
波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具体的数学知识重要得多的东西。
波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也包括数学的创新发现。展示教学家创新发现的思维活动过程，自然而生动地显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这对于学习数学却是非常重要的。波利亚要求我们不仅要学习证明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解题能力，而且要学习和培养创新能力。
附：波利亚解题表
一、弄清题意
1)已知是什么?
2)未知是什么?
3)题目要求你干什么?
4)可否画一个图形?
5)可否数学化?
二、拟定方案(核心)
1)你能否一眼看出结果?
2)是否见过形式上稍有不同的题目?
3)你是否知道与此有关的题目,是否知道用得上的定义,定理,公式?
4)有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你能利用它吗?
5)已知条件A,B,C……可否转化?可否建立一个等式或不等式?
6)你能否引入辅助元素?
7)如果你不能解这个题,可先解一个有关的题,你能否想出一个较易下手的,较一般的,特殊的,类似的题?
三、执行方案
1)把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式子表述出来.2)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案.3)解题要求是:严密具有逻辑性.四、检验回顾
1)你能拟定其它解题方案吗?
2)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用它的方法吗?
3)你能找到什么方法检验你的结果吗?
波利亚教我们怎样解题 第2篇
想出，但为什么我没有想到呢？”
美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）对回答上述问题非常感兴趣，他先后写出了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》。这些书被译成很多国家的文字出版，成了世界范围内的数学教育名著。对数学(http://luntan.flycity.cn)教育产生了深刻的影响。正因为如此，当波利亚93岁高龄时，还被国
际数学教育大会聘为名誉主席。
波利亚1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表达200多篇论文和许多专著，他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、概率论、纵使数学、数论，几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，不愧为一位杰出的数学家。波利亚热心数学教育，十分重视培养学生思考问题分析问题的能力。他认为中学数学教育的根本宗旨是“教会年轻人思考”。教师要努力启发学生自己发现解法，从而从根本上提高学生的解题能力。
波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数（http://）之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试指出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不
同的方式重新叙述它？......”
波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程。实际上是他解决研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学教育，特别是研究解题教学时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。仔细想一想，我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到罢了。现在波利亚把这些问题和建议（http://tuan.flycity.cn）去寻找解法，这样，在解题的过程中，也使自己的思维受到良好的训练。久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。而这是比任何具
体的数学知识重要得多的东西。
波利亚教我们怎样解题
波利亚的《怎样解题》被译成16种文字，仅平装本就销售100万册以上。著名数学家瓦尔登1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致词中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”。我想，波利亚关于怎样解题的思想对于广大中学
生同样也是非常需要的和有益的。
波利亚强调发现，不仅仅是指发现解法，而且也包括数学的创新发现。他把阐述自己“对解题的理解、研究和讲授”的书取名为《数学的发现》，我想大概就是这个原因。他在这本书的第二卷中，还专门详细介绍了数学大师欧拉发现凸多面体的欧拉公式（顶点数—棱数+面数=2）的全过程，生动地再现了欧拉如何一步一步地进行归纳和猜想，最终得到上述公式的。也就是把处于发现过程中的数学，照原
样提供给我们。展示教学家创新发现的思维活动过程，自然而生动地显示归纳和猜想在数学发现中的重要作用，这在教科书和一般的数学著作中是极少见到的，而这对于学习数学（http://）却是非常重要的。波利亚要求我们不仅要学习证明，而且要学习猜想。也就是不仅要培养和提高解题能力，而且要学习和培养创新
波利亚教我们怎样解题 第3篇
一、波利亚的“怎样解题”表
第一步:你必须弄清问题。 (弄清问题)
(1) 已知是什么?未知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数, 条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?
(2) 画张图, 将已知标上。
(3) 引入适当的符号。
(4) 把条件的各个部分分开, 你能否把它们写下来?
第二步:找出已知与未知的联系 (如果找不出直接的联系, 你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划) 。 (制订计划)
(1) 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?
(2) 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?
(3) 看着未知数!试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
(4) 这里有一个与你现在的问题有关, 且早已解决的问题。你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它, 你是否应该引入某些辅助元素?你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?
(5) 回到定义去。
(6) 你能否解决问题的一部分?如果你不能解决所提出的问题, 可先解决一个与此有关的问题。我能不能想出一个与此有关的问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分, 这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适于确定未知数的其他数据?如果需要的话, 你能不能改变未知数或数据, 或者二者都改变, 以使新未知数和新数据彼此更接近?
(7) 你是否利用了所有的条件?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?
第三步:实行你的想法。 (实现计划)
(1) 实现你的求解计划, 勇敢地写出你的方法, 并检验每一步骤。
(2) 你能否说出你所写的每一步的理由?你能否清楚地看出这一步骤是正确的?
第四步:验算所得到的解。 (回顾)
(1) 你能否一眼就看出结论?
(2) 你能否用别的方法导出这个结论?
(3) 你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题?
二、对“怎样解题”表的研读
波利亚的“怎样解题”表 (朴实无华的解题表) , 其特点是:明显的普遍性与常识性;一连串的发问, 给出思路与建议;提出的问题驱动解题者的思维按一定方向搜索、加工、分析、应用信息。
改为现行的解题四程序:审题;思索解法;实施解题计划;检验、回顾、引拓。
1. 审题 (解题的基础与前提)
解题者运用元认知结构, 通过观察、试验、归纳演绎、分析综合、抽象概括、类比、联想等方法对问题进行模式识别, 以形成深刻的连贯的表象 (包括对已知信息、目标状态的清晰完整的认识, 明确允许施行的运算规定与操作要求, 必要时用图表形象地表明已知、目标及其之间的联系) , 审题的结果要写出形式化的数学表达式。
2. 思索解法 (解题的关键)
解题者在审题获取信息的激励下启动思维, 剖析问题结构、寻找解题方法、探索解题途径、制订解题方案。剖析问题结构通过: (1) 回想 (自觉在脑中过一遍) :见过此题吗?见过相同的条件、结论、图形 (像) 吗? (2) 联想:见过类似有关的问题、条件、结论、图形 (像) 吗? (3) 类比:可否利用类似的条件、结论与思想方法? (4) 变换:对问题进行适当的必要的变换, 把它化归为与此有关的问题。 (5) 构造:创设辅助条件 (包括辅助图形、函数、元素等) 以揭示已知与目标之间的联系。寻找解题方法:即思考解决问题大致需要哪些知识、方法。探索解题途径:应用各种思维方法探求思路 (大胆地试验、猜想大致的思路, 再去检验、修正) 。制订解题方案:制订分步实施程序。
3. 施解题计划 (解题的主体工作)
解题者按制订的解题计划与程序, 实施变换、运算、推理、作图, 得问题的解。要注意运算的合理性, 作图的准确性, 推理的严密性, 以及表述的条理性、规范性。
4. 检验、回顾、引拓 (解题的必要程序)
检验:答案是否正确、合理、完整?每一步推理是否有理有据?运算是否准确?过程是否有疏漏或繁冗多余之步骤? (事实上, 在解题过程中及解答后均要检验) 回顾:本解法可否改进或简化?可否有其他的解法?总结规律及思想方法的本质, 以得出一类问题的基本解法。引拓:从不同角度对问题本身展开研究, 问题的条件、结论或整个问题的变换、引申、推广所得到的问题有什么规律?
三、“怎样解题”表的实践
例已知:a1, a2, a3…, an是n个正数, 且满足a1·a2·a3……an=1。
求证: (2+a1) · (2+a2) …… (2+an) ≥3n。
解题过程:
1. 审题
代数问题, 条件不等式的证明。目标式结构特征:左边为n个相同结构因式的乘积;右边为与a1无关之3n,
2. 思索解法
(1) 回想:见过此题吗? (没有)
(2) 联想:见过类似问题吗? (见过)
已知:a1, a2, a3…, an是n个正数, 且满足a1·a2·a3……an=1, 求证: (1+a1) · (1+a2) …… (1+an) ≥2n。
(3) 类比:可否利用类似的条件、结论与思想方法?
∵相乘得 (2+a1) · (2+a2) …… (2+an) ≥ (2姨2) n, 但
(4) 分析失败原因:原解等号成立的充要条件ai=1可以满足, 但等号成立的充要条件ai=2, 已知条件不满足, 与a1·a2·a3……an=1矛盾。可见在a1·a2·a3……an=1条件下, 缩小过度。
(5) 变换:对问题进行适当的必要的变换, 把它化归为与此有关的问题。
盯住目标 (2+a1) · (2+a2) …… (2+an) ≥3n中的“3”, 出现在均值不等式中的数需三个。
(6) 调整思路:变换条件, 相乘得 (2+a1) · (2+a2) ·L· (2+an) ≥3n当且仅当a1=a2=L=an=1时“=”成立。
3.
表述解法 (略)
4. 回顾
(1) 在解题方法上, 这个案例是综合法证明不等式的一次成功应用。
(2) 在知识上, 这个案例是不等式的基本性质、基本不等式的一次成功应用。
(3) 可否有其他的解法?
与n有关的命题, 可以用数学归纳法证明。
当n=1时, 2+a1=3≥31成立。
假设当n=k时, 有 (2+a1) · (2+a2) …… (2+ak) ≥3k成立,
那么当n=k+1时, 须在条件a1·a2·a3……ak·ak+1 (ai>0) 下, 证明 (2+a1) · (2+a2) …… (2+ak) · (2+ak+1) ≥3k+1。
如果ai中至少一个为1, 不妨设ak+1=1, 则2+ak+1=3, 由假设得 (2+a1) · (2+a2) …… (2+ak) · (2+ak+1) ≥3k·3=3k+1。
如果ai均不为1, 由a1·a2·a3……ak·ak+1=1 (ai>0) 知ai中至少有一个大于1, 且至少有一个小于1, 不妨设ak+1>1, ak<1,
根据a1·a2·a3……ak·ak+1=1 (ai>0) , 由归纳假设得 (2+a1) · (2+a2) …… (2+ak-1) (2+akak+1) ≥3k, 即 (2+a1) · (2+a2) …… (2+ak-1) (6+3akak+1) ≥3k+1, 只需证明 (2+ak) · (2+ak-1) ≥6+3akak+1即可。
即证ak+ak+1-1-akak+1≥0,
即证 (1-ak) · (ak+1-1) ≥0,
而∵ak+1>1, ak<1, 上式显然成立。
综上, 对∀n∈N*, a1·a2·a3……an=1且ai>0, 都有 (1+a1) · (1+a2) …… (1+an) ≥2n。
(4) 引申、推广所得到的问题有什么规律?
拓广已知:a1, a2, a3…, an是n个正数, 且满足a1·a2·a3……an=1, 求证: (m+a1) · (m+a2) …… (m+an) ≥ (m+1) n。证明类似, 读者不妨一试。
四、小结
波利亚的“怎样解题表” 第4篇
波利亚于1905年进入布达佩斯大学就读，并在那里获得博士学位.1940年他移居美国，并在斯坦福大学任教，直到退休.
无论在学习期间还是在任教期间，波利亚始终不忘少年时学数学所遇到的困惑.1944年8月，波利亚终于将他的研究成果公布于世，这就是名著《怎样解题》.直到今天，该书仍被各国数学教育界奉为经典.
“怎样解题表”就是《怎样解题》一书的精华.波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤.他相信，解题时只要按这四个步骤去做，必能成功.同学们如果能在平时的学习中不断实践和体会该表，也会发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”
怎样解题表
第一步：你必须弄清问题.
1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2.画张图，将已知标上.3.引入适当的符号.4.把条件的各个部分分开.
第二步：找出已知与未知的联系.
1.你能否把问题转化成一个相似的、熟悉的问题？2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？3.回到定义去. 4.你能否解决问题的一部分？5.你是否利用了所有的条件？
第三步：写出你的方法.
1.勇敢地写出你的方法.2.你能否说出你所写的每一步的理由？
第四步：回顾.
怎样解题 波利亚 摘要 第5篇
摘要
波利亚的《怎样解题》曾经掀起欧美数学界的震动。他是一位基础的数学家和教育家，作为数学家，他在数学的各个分支中，都有璀璨的成就。欧美的数学家曾经呼吁，学数学的人，要读读波利亚，不学数学的人，也要读读波利亚。数学老师要读读波利亚，初中生高中生大学生要读，数学家也要读读波利亚。他写的怎样解题，介绍了在数学中的普遍规律，几乎全部是文字叙述。为了方便大家更快的阅读，节省时间，我整理了一下，这样，您在10分钟之内，就可以读完。有些地方，值得仿佛阅读，牢记
解题是对过去的回忆
让目标调动你的记忆力。
我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。
这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推 任何事物的学生，最后也会被迫对解题的思路至少作出微小的贡献。
我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始,我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，做好准备去重新联想与问题有关的各点。
力图利用已知结果和回到定义去，是引入辅助元素的一些最好的理由；但
它们不是仅有的理由。为了使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟悉，我们可以引入辅助元素，虽然目前我们几乎不知道我们怎样才能利用这些
所添加的元素。我们可能仅仅感觉到加上这样那样的元素用那种方式看问题是
个“好念头”。
探寻你解题步骤目的和动机
如果一条微妙的辅助线在图中出现得很突然看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那末聪明的读者和学生将会失望，他们感到上当受骗。因为只有在我们的论证及发明会创造的能力中充分发挥了数学的作用后，数学才是有趣味的。如果最引人注目的步骤的动机和目的不可理解，那么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东西。为使这样的步骤可以理解，需要加以适当的说明(如前面(3)中所做的那样)，或者精选问题和建议(象第lO、18、*
9、20节中所做的那样)，这需要大量的时间和精力，但却是值得一做的。
人和飞虫的区别
一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇。人能够或者至少能够行动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他 会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题。构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另一问题的清晰的新问题，能够清楚地把 到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智慧的卓越成就。学会(或教会)怎样聪明地处理辅助问题是一项重大任务。
但是，我将煞费苦心地用清晰的词句来说明所有有才能的人所遵循的研究规则与方法
人们可能认为，这种现象对于处理某个高级问题的有经验的数学家要比那些解决某个初等问题的初学者更有可能发生。可是，具有大量数学知识的数学家比初学者更容易冒滥用知识而使论证不必要地复杂起来的危险。但作为补偿的是，有经验的数学家比初学者更能重视结果中细微部分的重新解释，并且把它们积聚起来，最终重新写出整个结果。
解题本质，跨越鸿沟
在我们面前有个未解决的问题，一个随便用什么方法处理的问题。我们必
须找出已知与未知间的联系。我们可以把我们待解的问题表示成已知与未知之间的广阔空间，当作已知与未知之间的一道鸿沟，在其上需要架桥。我们架桥可以从任何一边(从未知或者从已知)开始
一个高水平的学生对此也可能一筹莫展。当然，有各种办法可试，但帮助学生精神重新振作起来的最好问题是：你能从已知事项导出什么有用的东西
如果你钻到细节中去，你可能会在细节中迷途。过多或过细的具体情节是脑力的一种负担。它们如一叶障目会阻碍你充分注意主要之点，甚至使你完全看不到主要之点，只见树木而不见森林。
我们当然不希望为不必要的细节去浪费我们的时间，我们应该把我们的精力用到主要内容上。困难就在于我们事先说不出哪些细节最后会变成主要的，而哪些又不会。
数学的解题是一种组合当然，重新组合的可能性是无限的。困难的问题需要有一种神奇的、不寻常的、崭新的组合。而解题者的才能就在于组合的独创性。但也存在着某些普通的、相对简单的组合，它们对于较简单的问题而言已经够用。对于这样的组合我们应当彻底加以了解并且首先试用，即使我们最后不得不求助于不太显而易见的方法。
消去花哨让人犯怵的数学专业术语，回到定义上，看到客观事实的真正联系。（你看到WC你应该像想到厕所，然后，是排泄的地方，然后是具体马桶小便池，于是，就把WC这个专业术语消去，让花哨而让人反感的术语，变成了现实的联系，数学术语也是这样。）
数学中的专业术语有两类。有些作为原始术语不加定义而被接受.可是数学家却不关心他的专业术语有什么流行的意义，至少他主要不关心.数学定义产生数学上的意义。
消去专业术语。为了消去一个专业术语，我们必须知道这个专业术语的定义；但仅知其定义还不够，我们还必须利用定义。我们在问题的概念中引入适当的元素。我们在定义的基础上建立所引入的元素之间的关系。如果这些关系完全表 了术语的含义，则我们就已经利用了定义。利用了定义，我们同时也就消去了专业术语。
刚才所叙述的过程可称为：回到定义去.用回到一个专业术语定义的办法，我们除去了这个术语，而代之以新元素和新关系。这在我们的问题的概念中所产生的变化可能很重要。无论如何，对问题的某种重新叙述，“问题的某种变化”是与结果密切相关的。
然而在有些情况下，我们并没有选择的余地。如果我们只知道概念的定义，别无其他，我们就只好被迫采用这定义。如果我们所知并不比定义为多，我们最好的机会可能是：回到定义去。但是，如果我们知道有关概念的许多定理，并且已有许多使用这些定理的经验，那么我们就有机会找到一个涉及上述概念
合适的定理。
回到定义去是一项重要的智力活动。如果我们希望了解为什么字的定义如此重要，那么我们应当首先认识到，字是重要的。如果不用字，不用符号或某种记号，我们几乎不能思维。所以，字和符号是有威力的。原始民族信仰字和符号具有魔力。我们可以理解这种信仰，但却不可苟同。我们应当知道在于字给我们提示的概念以及这些概念最终所依据的事实
因此，寻求字面背后的意义和事实是一种健全的倾向。对于回到定义去数学家寻求的是：掌握那些在专业术语后面数学对象间的实际关系；物理学家寻求的是：专业术语后面的明确实验；而具有某种常识的普通人则希望找出铁的事实而不仅仅为字面所愚弄。
决心，希望，成功
（按照《谁动了我的奶酪》观点，一些技巧不要问什么，记住使用，立即行动。）
认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要半心半意和懒洋洋地同意做一点事情，对于在教室中做代公式题可能是够了但是，去求解一个严肃的科学问题需要坚强的意志才能成年累月地含辛茹苦和
决心随着希望与失望，称心与挫折而波动摇摆。当我们认为解答就在眼前时，决心很容易维持；当我们陷入困境，无计可施时，决心很难 持下去。
当我们的推 成为现实时，我们欢欣鼓舞。当我们以某种信心所遵循的道路突然受阻时，我们又不免垂头丧气，我们的决心也随之动摇了。
锁定你的目标
在科学工作中，决心的大小必须灵活地根据前景而定。除非你对一个问题有某些兴趣，你才去着手解答它；如果这问题看来有指导意义，那么你就定下心来认真地去作；如果它很有搞头，你就全力以赴。一旦你目标已定，你就要锲而不舍，但你的日标对你自己来说不可过高。你不要轻视微小的成功，相反你要追求它们：如果你不能解决所提问题，首先尝试解决某个有关的问题。
当一个学生的错误实在很大或者迟钝得令人恼火时，原因几乎总是相同的：他根本不想解题，甚至不愿正确理解这个问题，所以他对问题并未理解。因此，凡是真心希望帮助学生的教师首先应当挑起学生的好奇心，给他某种解题的愿望。同时教师也应当给学生一一些时间，使他下定决心，定下心来做他的功课。
数学好的人是坚强的，不达目的，决不罢休。
教学生解题是意志的教育。当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴。如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了
学生常犯的毛病
由于思想不集中而造成的对问题了解不完整大概是解题中最为常见的毛病。至于在制定一个计划并得到求解的一个总的概念这一阶段中，常见的是两种截然不同的毛病。有的学生没有任何计划或总的概念，就急急忙忙地选人具体计算和作图；另 一些学生则笨头呆脑地 等着某个念头的降临，而不会做任何事情去加速其来到。在实现计划阶段，最常见的毛病是粗枝大叶，不耐心检查每一步。根本不检查结果是屡见不鲜的；学生乐意得到一个答案，丢下笔结束，对于最靠不住的答案他们也满不在乎。
由于我们的知识是逐步增加的，我们对问题的概念在结束时要比开始时丰富得多，但现在它怎么样了?我们已经得到所需要的了吗?我们的概念足够吗?你是否利用了所有的已知数?你是否利用了整个条件?对于求证题，相应的问题是：你是否利用了全部前提?
我们所讨论的问题以审查我们对问题的概念的完整性为目的。如果我们没有把任何主要的数据，或条件，或前提考虑进去，那么我们的概念肯定不会完整。但如果我们不体会某个主要术语的意义，则我们的概念也不完整。因此，为了检查我们的概念，也应该提问：你已考虑了问题中所包含的所有必要的概念吗?
你知道一个与此有关的问题吗?（我们要记住曾经发生过什么）
我们几乎不能想象有一个问题是绝对的新颖，和我们以前解决过的任何问题都不相似，都无关系；但若居然有这样一个问题存在，它将是不可解的。事实上，当解决问题时，我们总利用以前解决的问题，用其结果或用其方法，或利用解决它们时所得到的经验。当然我们所利用的这些问题必须在某一方面与我们当前的问题有关。所以，我们提这个问题：你知道一个与此有关的问题吗?
画张图
检验你的猜
让几何图形帮助你思考
这个定理看起来比前一定理更好着手；当然，它较弱。无论如何，我们应当弄清楚它们是什么意思；我们应当有勇气更详细地去重新说明它。用代数语言去重新表述它一遍是有好处的。
已知的条件，用红色的笔写，未知的用黑色
为了强调不同线段的不同地位，你可以使用粗线或细线，实线或虚线，或者用不同颜色的线。如果你尚未完全决定采用某一根线作辅助线的话，你就轻一点画它。你可以用红笔画已知元素，而用其他的颜色来强调重要的部分
为了得到解答，我们必须从我们的记忆中汲取有关的知识，我们必须调动起我们记忆中处于休眠状态的知识的有关部分(“进展与成就”)。当然我们事先不知道哪部分知识有用，但是存在可能性，我们不应放弃探索。
集中注意力于我们的目标，集中意志于我们的目的，我们就会想出 到它的方式和方法。到目的的方法是什么?你怎样 到你的目的?你怎样才能得到这类结果?什么原因会产生这样一个结果?你在哪里看见过这样一个结果?为了得到这样一个结果，人们通常怎么办?于是尝试想起一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题。尝试想起一个具有相同或相类似结论的熟悉的定理集中注意力于我们面前的问题，我们尝试找出应该引入哪类问题，哪个早已解决的问题(具有相同未知数的)最适合我们当前的目的。
阿基米德是如何用已有的知识解决新问题的我们刚才提过，当阿基米德求球面积时，他并不知道任何有相同未知数而且早已解决的问题。但他却知道各种有相似未知数而早已解决的问题。有些曲面的面积比球面积容易求，它们在阿基米德时代已为人所共知，如正圆柱体的侧面积，正圆锥体的侧面积，圆台的侧面积等等。我们可以肯定，阿基米德曾经仔细地考虑过这些较简单的相似情况。事实上，在其解答中，他利用了一个由两个锥体与若于个圆台所组成的复合体来作为球体的近似(见“定义”，数学符号
对数学符号的重要性我们几乎总是不会估计过高的。说活与思维有密切联系，使用文字有助于思维，凡对严肃的数学工作稍具经验的人都知道：不用文字而只注视几何图形或仅演算代数符号也可以进行一些相当艰巨的思维。图及符号和数学思维有密切的联系，它们的使用有助于思维。使用符号对于运用推理看来是必不可少的。
数学符号看来象一种语言一种构造良好的语言，一种非常适合其目的、简练而准确的语言，其规则与常的语法不同
但在精确性很重要的场合下，我们必须小心选择我们的用词。在解题中，选择符号是重要的一步。应谨慎从事。我们现在花费在选择符号上的时间，以后可由避免了狐疑不定和混乱而节省下来的时间所弥补。此wai在小心选择符号时，我们必须把问题中需加符号的元素仔细想个明白。这样选择一个合适的符号可能大大促进了对于问题的了解。
一个好符号应该是不含糊的、富有意义的、便于记忆的；它应该避免有害的第二重意义而利用有用的第二重要意义；符号的次序与联系应提示事物的次序与联系。
当符号的次序与联系可向我们提示对象的次序与联系时，符号对于形成哉们的概念特别有用
聪明过人的孩子有时也会对数学符号反感
不但班级中最不可造就的孩子可能讨厌代数，甚至聪明过人的孩子有时也会对它反感。符号总不免有些武断和不自然；学习一种新符号对记忆是一种负担。如果聪明的学生不理解这种负担有什么好处，他就会加以拒绝。如果他没有充分的机会亲身体验到“数学符号语言有助于思维”，那么他讨厌代数是无可非议的。帮助学生获得这方面的经验体会是教师的重要职责，是最重要的职责之一。
分析和综合-------原始人过河的故事（同济大学第四版关于二元函数泰勒级数的公式，刚开始引用的辅助函数，实际是在三位空间中，把相对xy轴变量的变动，归结为对角线的变动，然后，通过设比例的方式，同以表达了二元的分别变动，但是，他没有给出说明，我认为，违背了分析的精神，烂）
什么是综合?这就是一步一步地做完这些由分析所预见到的可能的计算。解题者完成他的问题并不需要什么新念头，计算各个未知数时只需要耐心与注意。
一个原始人希望 过一条小河；但他不能用通常的办法 河，因为昨晚已经涨水了。于是，河成为一个问题的对象；“ 河”即这个原始问题中的x。这个人可能回想起他曾沿着一棵倒下的树 过其它几条河。于是他到处寻找一棵合适的倒下的树，这就成为他的新的未知数y。他找不到合适的树，但有大量的树立在河边；他希望其中有一棵能倒下来。他能使一棵树倒下来横跨这条小河吗?这是个了不起的念头，并且这里有一个新未知数：用什么办法能弄倒这挺使之磺跨小河。
如果我们接受帕扑斯的术语，这一串念头应称之为“分析”。如果这原始人成功地完成了他的分析，他可能就成为桥与斧头的发明人了。什么是综合?就是把念头化为行动。综合的最后一个行动是沿着一棵树走过小河。
解决实际问题
有一种广为流传的意见，即实际问题比数学问题需要更多的经验。这可能如此。但很可能，这种差别只存在于所需要知识的性质，而不是我们对问题的态度。在解决这样那样的问题时，我们必须依赖我们在处理类似问题方面的经验，我们经常问这个问题：你是否见过相同的问题，只是形式上稍有不同?你知道一个与此有关的问题吗?
你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?当我们处理纯数学问题时，我们不能放过这些问题。但在实际问题中，我们应当改变这些问题的形式：你是否利用了可能对求解有显著作用的所有数据?你是否利用了可能对求解显著影响的全部条件?我们估量一下现成可用的有关资料，如果必要的话，我们再去收集一些，但最终我们必定要停止收集，我们必会在某处划地为界不再越雷池一步，我们不能不忽略某些东西；
进展与成就
你有任何进展吗?主要成就是什么?在解题过程中，你可能问自己或者问一个你督促其功课的学生。这样，我们惯于或多或少满怀信心地判断具体情况下的进展与成就。为了解题，我们必须具备本论题方面的知识并且必须对我们现有的，但原来属于休眠状态的知识进行挑选并收集相关内容。我们对该问题的理解在问题结束时总比开始时要丰富得多；增加了些什么呢?从我们的记忆中，我们成功地汲取了什么呢?为了得到解答，我们必须回忆各式各样的基本事实。如果是个数学问题，则我们为了得到解答，必须回忆以前解答过的问题，已知的定理和定义。从我们的记忆中汲取这些有关内容可称之为“动员”。
工作进展的另一侧面是：概念变换的方式。收集了资料并进行加工以后，我们关于问题的概念在结束时比在开始时丰富得多了。由于我们想从初始的概念前进到一个更满足要求的、更适用的概念，我们可以尝试从不同的观点并从各个不同的侧面观察此问题。如果不“变化问题”，我们几乎不能有什么进展
1，困难的题目需要隐秘的、特殊的、独创的组合方式，解题者的才智在独创中显现出来。
2，成人也要学数学，欧洲人上班族很多学的。
3，心算，尽量少的用计算器，增加脑力，防止迟钝。
4，数学的灵魂在于思考
5，假如，以前基础的东西，你都掌握得很熟练，不用你操心了，你学数学的面貌会怎样。
6，数学家和学数学的人，是铸剑师和剑客的关系吗？
7，假如一个新的问题，无法用新的方法解决。那么，就只能用旧的方法解决了。而如果用旧的方法不能直接解决，那么只能改变新的问题为旧的问题，或者把旧的问题加以改变，以适应新的问题。
8，能否把解题当成一种挑战。
9，不要怕麻烦，慢慢来。不要着急，慢慢来，学数学的人都是慢性子。
10，闲着没事，就做些最基本的题目吧。
11，假如有一个目标，你要登到哪里，需要很多的台阶，你可以一步步的爬上去，但是，如果感觉很困难，你肯定和以前的知识失去了联系
12，人在休息的时候，思维容易发散。
13，学数学，如同走迷宫，仅仅是错误常识的探索是不够的，还要总结归纳，找到规律。
14，遇到难题，思维要发散开，至少，要提出多种解决方案。
15，学数学，狼的哲学，1，信心2，转，发现机会3，穷追不舍4，试探，试验
16，把题目的条件，写一写，列一列
17，不要坐在那里发呆，要动动手，尝试一下。
18，我整体的看看这一部分如何
19，倒着推导，倒着干
20，你些最基本的技术你熟悉马
21，看到它，我想到什么？
22，在你能力范围之内的，绞尽脑汁吧。
23，人无法一下子弄明白一个公式定理。（如同打麦场，你无法一下子碾下所有的粒子）
24，数学灶，-------思维的连续聚焦和广博
25，just do it
26，做题，探索，有时候，要靠较好的运气
27，分析问题，step by step , one by one
28，画一个草图
29，主动学习，爱数学，爱思考。
30，塑造浪漫，不妨对一道你认为不会做的难题，列出所有可能，做他一天，直到思考出来为止。
31，数学教授对数学的理解，往往是，看吧，直到把这道题看穿。
波利亚的怎样解题表 第6篇
怎样解题第一步：弄清条件
第一：你必需弄清问题
未知是什么？
已知是什么？
条件是什么？
满足条件是否可能？
要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
画张图，引入适当的符号。
把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来。
怎样解题第二步：拟定计划
第二：找出书籍数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。表中列出了了若干辅助问题，在遇到困境时你可以逐一把这些问题搜索一遍，每个问题的解决都可能是朝向胜利的关键一步！你应该最终得出一个求解的计划。
你以前见过它吗？
你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
你是否知道与些有关的问题？
你是否知道一个可能用得上的定理？
看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题？ 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？ 你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？
为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？
你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？
一个更普遍的问题？
一个更特殊的问题？
一个类比的问题？
你能否解决这个问题的一部分？
仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？
你能不能从已知数据导出某些有用的东西？
你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？
如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使尊长未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？
你是否利用了整个条件？
你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？
怎样解题第三步：实现计划
第三：实行你的计划
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步骤是正确的？
你能否证明这一步骤是正确的？
怎样解题第四步：回顾
第四：验算所得到的解
验算所得到的解。
你能否检验这个论证？
你能否用别的方法导出这个结果？
现在你能不能一下了看出它来？
你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？
运用波利亚_怎样解题表_ 第7篇
运用波利亚“怎样解题表”
有效实施数学解题教学
（原载《中国数学教育》［高中版］2008年第11期）
时红军严晓凤
【摘要】
在数学教学中,解题是最重要的活动形式之一。学生对数学概念的形成、数学命题的掌握、数学思维方法和技能技巧的获得以及学生智力的培养和发展,都必须通过解题教学来实现。而波利亚的“怎样解题表”给我们提供了一种解题方法和套路，本文初步探讨了如何运用波利亚“怎样解题表”有效实施数学解题教学。
【关键词】
怎样解题表解题教学数学问题
乔治·波利亚(G.Polya,1887-1985年)是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者.他十分重视解题在数学学习中的作用,并对解题方法进行了多年的研究和实践,绘制出举世闻名的“怎样解题表”,被各国数学界奉为解题宝典.“怎样解题”表的主要内容，分为“弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾”四个阶段。弄清问题,即明了已知数、未知数和条件;拟定计划,即找出已知数与未知数之间的联系或者考虑辅助问题,并具体拟定一个求解的计划;实现计划,即实现求解计划,检验每一步骤;回顾,即验算所得到的解,并将结果和方法试着用于其他问题[1]。每一个阶段又有一系列启发性问句。譬如：未知数是什么，（在证明题中要求证什么），已知数据是什么、你以前见过它吗、你是否见过相同的问题而形式稍有不同、你能利用它吗、你能利用它的结果吗、你能利用它的方法吗、你能用别的方法导出这个结果吗，等等。
数学解题教学不同于平常的概念教学,它是运用前面所学的基础理论、基本方法和一些特殊方法来解数学问题的一种教学方法,它充分体现教师和学生的数学素质,是目前素质教育不可忽视的内容。本文试图对如何利用波利亚“怎
样解题表”有效实施数学解题教学作初步探讨。
一、“弄清问题”阶段，重述问题，教会学生形成正确的审题方法
首先，必须让学生了解问题的文字叙述。已知是什么?未知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 教师可以要求学生重新叙述题目，并能够指出问题的主要部分。
其次，要教会学生形成正确的审题方法。数学问题的给出是通过“数学语言”达到的。符号语言简洁抽象，图形语言直观形象，而文字语言则通俗易懂。教师可以教学生利用数学语言的转换来培养学生好的审题习惯，形成正确的审题方法。例如：对于文字应用题，可以指导他们借助图像、图表将题目中条件之间的关系表示出来，将冗长拗口的文字叙述，直观的体现在图上，一看就能明白。这样用简洁明了的图形呈现的视觉形象进行问题表征，能简化看似复杂的问题，减少工作记忆的负担。再如：对于几何题，要求他们尽量将题目中的已知条件标在图上，这样文字与图形相结合，就不用看一下题，看一下图，分散时间和精力了。
另外，还要注意引导学生挖掘已知条件与所求之间的关系，特别是挖掘题
3nn中的隐含条件。如计算C383n+C21n，很多学生无从下手，也有学生用组合数公
式展开后一看烦琐而丢笔，其实在组合数公式Cm中隐含着限制n38n3n可求得n=10.条件mn且mN,nN,所以先解不等式组即3n21n
二、“拟订计划”阶段，充分暴露思维过程，传授解题策略
很多时候，解题的过程并不是从已知条件到问题目标，而是从问题目标层层向上反推的过程，有些教师在上课时，分析课文内容似乎顺利流畅，讲解例题、习题似乎一气呵成。然而，这种表面上的“顺利流畅”，其实掩盖了教师备课中的深入思考，也可能掩盖教师解决问题时所经历的曲折或失误。这就容易给一些学生造成错觉:“为什么老师这么聪明，我这样笨?”这不利于学生思维的发展和自信心的形成。
有些教师愿意向学生暴露自己的思维过程。当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。学生们不但有机会学习数学教师解决问题的思想方法，还有机会了解，原来数学教师在解决问题时也会遇到挑战，也会经历曲折与失误。这对于学生形成正确的解题观，树立自信心是十分有益的。著名数学家希尔伯特在哥尼斯堡大学学习时，他常常把
自己置于危险困难境地，对要讲的内容总是现想现推。这样一来，就使得同学们有机会瞧一瞧高明的数学思维过程如何进行，数学家是如何接受困难挑战的。俗话说:失败是成功之母，有时候，失败的教训往往能让成功的过程更加深刻。例如，求函数yx24x22x10的最值。第一次探索：解析式右边含根式，常用方法是将两边同时平方，得
y22x22x142x24x22x10，经过一次平方后右边仍然含有根式，还得再次平方。可是再平方一次后会出现x4项，运算非常麻烦。因此不得不转入第二次探索阶段。
第二次探索：通过观察发现右边的被开方式是二次式，能配方。
配方的结果是yx24(x1)29,进一步变形为y(x0)2(02)2x(1)]2(03)2
由此可看出,这个式子表示直角坐标平面内x轴上的点P(x,0)到两点A(0,2),B(1,3)的距离之和，通过画图就可以找出最小值，判断无最大值。这种解题方法确实巧妙，给学生以美的享受。然而不向学生暴露探索过程，学生只能陶醉在美的享受中，而受益甚微。这就要求教师把自己在解题时由“失败——成功——再失败——再成功”的过程展示给学生，让学生真正体会到研究问题的方法，从而自觉地培养自己。
其次，教师应指导学生对数学解题过程进行分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成数学学习最重要的内容——数学的思想和方法。指导学生理解和运用数学思想方法，传授中学数学解题常用的解题策略:模式识别、问题转化、以退求进、正难则反等等。
三、“实现计划”阶段，加强基础教学，善用一题多变加深和提高解题能力
1、重视非智力因素的作用，规范运算过程。在教学中要重视培养学生科学严谨一丝不苟的品质。在运算训练中，要抓好教师板书、学生板演、平时作业等环节，对解题格式、解题过程要作严格的规范;要帮助学生克服运算的惰性，鼓励学生敢于运算、合理运算、认真运算，不怕麻烦；要帮助学生克服不认真审题、不认真分析的习惯，使学生养成良好的运算习惯。
2、重视基本知识的教学，强化运算基础。在教学中要注重基本知识的讲授，要帮助学生加强对数学概念的理解，区分邻近概念，对基本公式、法则透彻掌握。如运用公式和法则的错误：(ab)3a3b3,loga(MN)logaMlogaN等。在教学过程中，按照理解—掌握—熟练的要求，编写一些使用概念较多、形式
较灵活的习题，使学生在学习过程中比较那些容易混淆的概念，从而为运算能力的提高夯实基础。
3、在教学中利用变式教学,将题设条件或结论作相应的变化,按照一定的梯度设置变式题。如对那些铺垫题、迁移题、深化题的练习,会使学生快速反馈,并能通过变式练习,将所学知识串成一线,联成一体,从而激发学生的学习热情,使学生达到充分感受学习数学的魅力。如在讲解二次函数闭区间上的极值时,设置变化题组:（1）铺垫题:求下列函数的极值。①yx22x3,x[0,3]②yx22x3,x[2,0]③yx22x3,x[2,3]；（2）迁移题：求函数
（3）深化题：求函数ysin2x4acosx3,x[0,3]yx22ax3,x[1,3]的极值；的极值。显然,通过题组的练习，使学生总结归纳二次函数在闭区间上的极值的求解方法，得到解决相关的问题，从而增强了学生的数学素质,提高了数学解题能力。
四、“回顾”阶段，加强解题后的反思教学
所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后，通过对审题过程、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程，从而开发学习者的解题智慧，以达到事半功倍，提高中学生数学学科自我监控能力的目的。教师可以在课堂小结，单元复习时，适时地对某种数学思想方法的关键点或要素进行概括、强化和揭示，对它的内容、规律、运用等有意识地适度点拨。在解题后，教师可以训练学生进行以下三方面的反思：
1、反思审题过程。对审题过程进行反思，就是在解题活动完成后，对自己最初审题时在理解题意过程中是这样“获取信息”进行再思考。特别是对那些有过反复曲折过程的问题进行反思，比如获得过哪些信息？遗漏过哪些信息？为什么会遗漏这些信息？题意中的哪些信息是自己比较清楚的，哪些信息自己还不清楚？为什么不清楚？是被题目表面形式所迷惑，还是遗忘了？对条件和结论之间的哪些关系没有发现，关系转化是否有错误？对条件和结论是否作过适当讨论？讨论是否全面？以后在理解题意时应该怎样去做？等等。
y3集合N例如：设集合M(x,y)|(a21)x(a1)y15，a1，(x,y)|x2
且MN,求实数a的值。错解：M(x,y)|(a1)xy2a1，要使
(a1)xy2a1无解，所以a满足条件MN，就是使方程组2(a1)x(a1)y1
5a112a1，解之，得a1。教师可引导学生反思：集合M的转化是215a1a1
否是等价变形？它与由x3得出x6有何本质区别？由方程组无解得出2
a112a1的根据是什么？（两条直线平行）(a21)x(a1)y15一215a1a1
定表示直线吗？
2、反思解题思路。做完一道题后，应考虑能否根据该题的基本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想，找到更多的思维通路，也即培养学生数学思维的广阔性。一般的，学生学会的第一种解题思路是老师交给的，并会在很长一段时间内相信和依赖这种思路，然而在解题实践中，解题的思路常常不止一条，当原来的惯用思路受阻时，学生就会开始迷茫。这就需要老师在解题教学中，指明多种解题思路，帮助学生学会观察、找出新的解题思路，这有助于中学生数学学科自我监控能力由局部向整体发展。同时，在做完一道题后，应认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，还有没有更好的解题途径?这样的反思，有助于缩短解题长度，从而培养了思维的批判性，促进中学生自我监控能力的发展。例如已知|a|1,|b|1，求无穷数列：1，（1+b）a,(1bb2)a2,(1bb2b3)a3,„的所有项之和。大多数学生从分析通项入手来解答：an= 1bn
n1an1b(1bbb)aa(ab)n1，所以所求数列所有项之和为1b1b1b
1bS(1aa2an)[1ab(ab)2(ab)3] 1b1b
111b1 1b1a1b1ab(1a)(1ab)233
该法符合学生思维特点，易于找到问题的突破口，但解题过程较长且有一定的计算量，易于出错。教师可引导学生反思题目结构特征，将已知题目与过去学过的知识比较联系，若注意到题中含字母a恰好构成等比数列，联想到等比数列前n项和公式的推导方法，便可得到如下简洁解法：设
S1(1b)a(1bb2)a2(1bb2b3)a3,则aSa(1b)a2(1bb2)a3(1bb2b3)a4,两式错位相减，即可求得S。通过这一反思，使学生的思维逐渐朝着灵活、广阔的方向发展，提高了学生灵活解题的能力。
3、反思题目结论。事实上，就问题解决的一个周期而言，问题是问题解
决的端始，而一个问题的解决往往意味着一个新问题的产生。在做完一道题后，教师应指导学生思考该题所得出的结论：能否检验这个结论？能否以不同的方式来推导这个结论？能否在其他的问题中应用这个结论？能否从其它的角度重新审视题目，将问题的结论进行推广？这样的反思，有助于提高中学生数学学科自我监控能力，培养学生数学思维的深刻性。如已知圆(x2)2y21与抛物线y22px(p0)有公共点，求p的范围。这个问题在众多学生心目中是一个简单问题，他们知道两曲线公共点的问题等价于两曲线方程组成的方程组有实数解的问题，从而容易由方程组有解得出0，进而求出错误答案0p2或p23。教师引导学生思考：能否从图形上检验你的结论？为什么p2不可能？什么原因造成的？引导学生最终发现方程组有解且1x3，从而得出正确答案（0p2）。
数学教育家波利亚曾谈到：在你找到第一个蘑菇时，继续观察，就能发现一堆蘑菇。在问题解决之后，教师可根据情况，进行适当的一题多解、一题多变、多题组合，注意数学思想和方法的总结、提炼和升华，进一步拓展学生的思维平台，优化解题过程。不断地引导学生进行解题后的反思，使学生完成自我意识、自我评价、自我调整的过程，提高中学生数学学科自我监控能力。
【参考文献】
[1] G.Polya著,阎育苏译.HowtoSolveIt[M].北京:科学出版社,1982.4.[2]刘云章,赵雄辉.数学解题思维策略———波利亚著作选讲[M].长沙:湖南教育出版社, 1999.3—4
[3]苗建成.浅谈如何在数学教学中培养学生的解题反思能力[J].数学通报, 2007年46卷1期.54—56
