二项式定理的教学设计-盘古文库

二项式定理的教学设计

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来源：开心麻花

作者：开心麻花

2025-09-18

二项式定理的教学设计（精选8篇）

二项式定理的教学设计第1篇

勾股定理的逆定理教学设计

目标和目标解析

1.目标

(1)理解勾股定理的逆定理.(2)了解互逆命题、互逆定理.2.目标解析

达成目标(1)的标志是学生经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程后,能应用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是直角三角形;

目标(2)能根据原命题写出它的逆命题,并了解原命题为真命题时,逆命题不一定为真命题.三、教学问题诊断分析

勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形,再证明有已知条件的三角形和直角三角形全等等,这种证法学生不容易想到,难以理解,在教学时应该注意启发引导.本课的教学难点是证明勾股定理的逆定理.四、教学过程设计

1.创设问题情境

问题1 你能说出勾股定理吗?并指出定理的题设和结论.师生活动:学生独立回忆勾股定理,师生共同分析得出其题设和结论,教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系.追问1:你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗?

师生活动:师生共同得出新的命题, 教师指出其为勾股定理的逆命题.追问2:“如果三角形三边长、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢?本节课我们一起来研究这个问题.【设计意图】通过对前面所学知识的归纳总结,自然合理地引出勾股定理的逆定理.问题2 实验观察:用一根打上13个等距离结的细绳子,让学生操作,以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长,用钉子钉成一个三角形,请学生用角尺量出最大角的度数(900).师生活动:学生动手操作,教师适时指导,并介绍这是古埃及人画直角的方法.追问:你能计算出三边长的关系吗?

师生活动:师生共同得出.【设计意图】介绍前人经验,启发思考,使学生意识到数学来源于生活.实验操作:(1)画一画,下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方,分别以这些数为边长(单位:cm)画三角形:

①2.5,6,6.5;②4,7.5,8.5.(2)量一量:用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数.(3)想一想:判断这些三角形的形状,提出猜想.师生活动:教师引导学生画三角形,并计算三边的数量关系:,.接着度量三角形最大角的度数,发现最大角为900,并猜想:如果三角形的三边长、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形.把勾股定理记着命题1,猜想的结论作为命题2.【设计意图】让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程,了解几何知识的探索过程.问题3 命题1和命题2的题设和结论分别是什么?

师生活动:学生独立思考回答问题,命题1的题设是直角三角形的两直角边分别,斜边为,结论是;命题2的题设是三角形三边长满足,结论是这个三角形是直角三角形.教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的.归纳出互逆命题概念:两个命题的题设和结论正好相反,象这样的两个命题叫做互逆命题,如果其中一个叫原命题,那么另一个就叫做它的逆命题.问题4 请同学们举出一些互逆命题,并思考:原命题正确,它的逆命题是否也正确呢?举例说明.师生活动:学生分组讨论合作交流,然后举手发言,教师适时记下一些互逆命题,其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题,也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题.(如:①对顶角相等和相等的角是对顶角②两直线平行,内错角相等和内错角相等,两直线平行③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形.)

追问1: 在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗?

师生活动:学生举手发言回答,另一学生纠错.同时教师引导学生明确:(1)任何一个命题都有逆命题,(2)原命题是正确,逆命题不一定正确,原命题不正确,逆命题可能正确,(3)原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系.【设计意图】让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念,在生生互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的.2.勾股定理的逆定理的证明

问题5 原命题正确,它的逆命题不一定正确.那么勾股定理的逆命题正确吗?如果你认为是真确的,你能证明这个命题“如果三角形的三边长、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形”吗?

师生活动:教师引导学生要证明一个命题是真命题,首先要分析命题的题设及结论,让学生独立画出图形,写出已知求证.3.已知,如图,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=,且,求证:∠C=900

【设计意图】引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题.追问:要证明△ABC是直角三角形,只要证明∠C=900,由已知能直接证吗?

师生活动:教师引导,如果能证明△ABC与一个以、b为直角边长的Rt△A/B/C/全等。那么就证明了△ABC是直角三角形,为此,可以先构造Rt△A/B/C/,使A/C/=b,B/C/=,∠C/=900,再让学生小组讨论得出证明思路,证明了猜想的正确性.教师适时板书出规范的证明过程.4..课堂小结

(1)勾股定理的逆定理的内容是什么?

(2)原命题、逆命题之间的关系.(3)用什么方法证明勾股定理的逆定理.【设计意图】回顾和梳理勾股定理的逆定理,会运用其解决一些问题,体会构造及数学建模思想.6.布置作业

教科书第33页练习第1,2题,习题17.2第4,5题.

二项式定理的教学设计第2篇

1．教学目标

知识技能：理解二项式定理，记忆二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

过程方法：通过从特殊到一般的探究活动，经历“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项式定理的研究，掌握展开式的结构特点，体验数学公式的对称美、和谐美，了解杨辉、牛顿等数学家做出的巨大贡献．

2.教学过程

探索研究二项式定理的内容

从学生比较熟悉的完全平方公式入手，去观察，猜想

02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b

三次方的让学生按照多项式乘法进行运算在合并，不合并之前是几项，为什么？

（分步乘法计数原理）

0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

每一项中字母a，b的指数和相同,项的个数有n1项

00每个都不取b的情况有1种，即C4种，所以a4的系数是C4； 11恰有1个取b的情况下有C4种，所以a3b的系数是C4； 22恰有2个取b的情况下有C4种，所以a2b2的系数是C4； 33恰有3个取b的情况下有C4种，所以ab3的系数是C4； 444个都取b的情况下有C4种，所以b4的系数是C4； 0413222344因此(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b．

归纳、猜想(ab)n

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkkCnabnnCnb(nN)

设问：

（1）将(ab)n展开，有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）字母a，b指数和始终是多少？（4）如何确定ankbk的系数？

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：（1）项数规律：n1项；

（2）次数规律：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

（3）二项式系数规律：下标为n，上标由0递增至n；

knkk（4）通项：Tk1Cnab指的是第k1项，不是第k项，该项的二项式系k数是Cn

板书以上几点 3.例题处理

51例1：（1）在2x的展开式中

x（1）请写出展开式的通项。（2）求展开式的第4项。

（3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。

3（4）求展开式中含 x 的项。

课件展示解题过程

自主探究：在12x的展开式中，求第4项，并指出它的二项式系数和系数

7是什么？

独立完成，爬黑板

01合作探究：设n为自然数，化简Cn2nCn2n11Cnk2nk1Cnn

分组讨论，交流想法

4.归纳小结

学生的学习体会与感悟；教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现． 5.作业（1）巩固型作业：

课本36页习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5（2）思维拓展型作业：（查阅相关资料）查阅有关杨辉一生的主要成就。

“二项式定理”的教学实录与反思第3篇

1.1从教学内容看

本节内容选自人教版选修2-3第一章《计数原理》第三节,是在学习了排列组合之后,通过对二项式定理的探究,让学生对二项展开式有更深入的理解,对二项展开式的形式有更准确的把握.

1.2从教法及学法方面看

通过讲授法、讨论法、发现法等形式教学,让学生参与、探究知识的形成过程,感悟其中所蕴含的数学思想和哲学思想,体验猜想与严密的逻辑证明之间的联系,激发学生大胆猜想的发散思维,同时养成严谨认真的人生观.

2. 教学设计理念

本课是基于建构主义学习理论以及生本理念,学生在教师的指导下能动地建构自己的数学认知结构,通过交互式讲解、独立学习、集体讨论以及发现学习的方式来形成自己的认知结构. 这种教学形式既激发学生探索的兴趣, 又尊重学生学习的主体地位,不仅关注学生对知识的掌握,同时关注学生对思想方法的理解. 学生带着问题学习,自主探索,独立思考,又结合学生之间的合作交流,充分感受探索的过程,能够达到更好的学习效果.

3. 课堂教学实录

3.1创设情境,引入新课

师:(多媒体展示)同学们认识这位科学家吗?

生:牛顿.

师:牛顿被誉为世界上最伟大的科学家之一,他不仅是物理学家和天文学家, 也是一位数学家. 在1664—1665年间,22岁的牛顿发现了二项式定理. 二项式定理是关于“(a +b)n的展开式的形式”的结论.

师:当n = 2时,同学们并不陌生,(a + b)2等于什么?

生:(a + b)2= a2+ 2ab + b2.

师:(a + b)3呢? 请大家计算一下(教师巡查).

师:哪名同学说一说你的结果?

生:(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3.

师:很好. 你能告诉大家你是用什么方法得到的呢?

生:把(a + b)3看成(a + b)2(a + b),再展开.

师:非常好. 那你能不能快速展开(a + b)10?

生:(愣了一会儿)不会.

师:为什么?

生:如果要得到(a + b)10的展开式就要知道(a + b)9的展开式,这样依次往前推非常麻烦.

师:确实是这样. 如何才能更快地展开(a + b)n呢?

生:看看展开式随着n的增大有怎样的规律.

师:规律怎么找呢? 我们要从哪几个方面去看呢? 请同学们讨论一下,再告诉我你们的想法.

师:哪名同学说一说? 请举手发言.

生:我觉得首先要确定展开后有多少项.

生:每一项的次数变化也有规律,还有每一项的系数也在变.

师:非常好! 方向把握很准确. 既然是规律,就应该对所有n∈N*都有统一的形式, 我们还是从简单的式子着手,看看如何对(a + b)n形成统一的理解. 我们要关注的有以下几点:

(1)展开后有多少项;

(2)每一项的形式;

(3)每一项的系数.

3.2领悟概念,交流理解

先来看看(a + b)2,它可看成 (a + b)(a + b),请大家想想它的展开式有多少项?

生:四项a2,ab,ba,b2,合并后为三项a2,2ab,b2.

师:可以怎么理解?

生:前面因式选择a,后面因式也选a,就出现a2;前面因式选择a,后面因式选择b,就出现ab,依此类推就是四项了,合并同类项后就是三项了.

师:很好! 大家能不能用排列组合的观点解释合并为三项时各项的系数呢? 请大家分组讨论.

师:太棒了! 掌声鼓励! 解释得很到位. 我们还可以做这样的处理,展开式的结果中各项的系数可当作两个因式中选择b的因式个数得来的. 即项a2看作两个因式选了0个b,所以其系数为; 项ab看作两个因式选了一个b, 所以其系数为同理 ,项b2的系数是

师:请一名同学用同样的方式解读一下(a + b)3的展开过程.

师:(a + b)3的展开式是否也是如此?

生:是的.

师:接下来请大家试着写出(a + b)n的展开式.

师:为了突显展开式的统一形式,二项式定理可归纳如下:

师:我们关注一下前面提到的三个要点,即二项展开式的项数、项的形式及其系数.

生:表示二项式(a + b)n中有k个因式选择b,剩下的n k个因式则选择a.

师:下面大家观察展开式的形式,说说其主要特点有哪些?

生:第一,各项中a呈降幂排列,b呈升幂排列;第二,a与b的次数之和始终为n;第三 ,Cnk的上标与b的次数相同.

师:这名同学观察能力非常好,特点也总结得很到位,掌声鼓励!

师:同学们注意到(a + b)n中间是“+”号了吗? 如果把“+”号改为“-”号,即(a - b)n的展开式会是什么样子呢?

师:太棒了! 看来大家对二项式定理的基本形式已经理解得非常透彻了. 接下来就看看大家能不能在实际问题中用好这个定理了.

3.3拓展延伸 ,学以致用

例1写出(1 - 2x)6的展开式.

变式一:写出(1 - 2x)6展开式中含x3的项、第六项以及它的二项式系数和系数.

生:(1 - 2x)6展开式中含x3的项是C6313(-2x)3.

师:非常棒,你能清楚地区分二项式系数和系数,说明你对概念的理解很到位,再接再厉!

变式二:若我们把(1 - 2x)6写成(-2x + 1)6,其展开式有什么特点呢?

生:结果是一样的.

生:展开式的顺序颠倒过来了.

师:对了. 虽然展开式的结果实质上是一样的,但是形式上顺序是反过来的. 当我们谈到第几项时, 这两种写法就会有差别 ,例如的展开式的第二项是的展开式的第二项却是

师:请大家看看下面这个问题怎么解决.

例2化简:(x - 1)4+ 4(x - 1)3+ 6(x - 1)2+ 4(x - 1)1+ 1.

师:这名同学能够准确观察展开式的特征,并还原到二项式,说明他对公式的逆用是非常熟练的.

师:这名同学用了最基本的办法,通过套用二项展开式的通项公式求出各项系数,再求和,基本功很扎实. 还有没有其他做法呢?

生:不用这么麻烦. 只要令x = 1,就可以得到(1 - 2)6=a0+ a1+ a2+ … + a6,即a0+ a1+ a2+ … + a6= (-1)6= 1.

师:这名同学能灵活应用二项式定理,根据所求式子与二项展开式的共同点构造出符合题意的定理形式,说明他已经完全把握到了二项式定理等式两边的特征. 学习一个公式,不光要会正用,还要会逆用,甚至变形用. 非常好!

3.4回顾反思 ,归纳小结

师:请各小组总结这节课同学们都有哪些收获.

生:我们组总结了,这节课主要就是学了二项式定理,知道了二项式如何展开.

生:我们组补充一点,就是大家要注意二项式系数与系数是不同的概念.

生:还要注意公式的逆向使用.

师:大家总结得都很好,我更佩服牛顿能够敏锐地发现二项展开式的规律,并最终成就了微积分的产生,大家课下的作业:(1)查阅相关资料,找到关于牛顿二项式定理推广的形式;(2)完成课本P36习题1.3A组第1题、第2题.

4. 教学反思

新课程标准指出, 学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式,同时注重学生情感、态度和价值观的培养. 这就要求我们教师放下权威, 变以前的“教师中心”为“学生中心”,充分体现学生的主体性和能动性 ,从学生的角度去设计问题,选择例题,成为学生的合作者、促进者、指导者,创造良好的课堂氛围和人文精神,培育学生学习数学的积极的情感与态度,形成正确、健康的价值观与世界观.

从这个角度看,本节课主要还存在以下两点不足之处:

(1)这节课主要还是以“师问生答”为主要的教学形式 ,绑架了学生的思维,不利于学生自主探究能力的培养.

(2)学生已经建立了学习小组 ,但是课堂上没有充分发挥学习小组的作用,特别是组间的讨论缺乏.

鉴于这两点不足,教师可采取一些措施来弥补.例如,在探究二项式定理的发现过程中,可以放手让学生分组讨论,先在组内形成结论,再把有价值的结论提出来作为组间讨论的材料,然后教师根据学生们的反应作出评价. 既能充分发挥学生们的主动性,又能培养学生们的兴趣和坚韧的探究精神. 又如,在习题演练的过程里,学生展示自己的成果后,让其他学生进行点评和修正,这样也能充分发挥学生们的主观能动性,让学生们通过比较更好地巩固所学内容,构建自己的知识结构.

5. 教学评析

本课的设计理念是启发式教学,过程的把握也很好,能让学生从特殊到一般,循序渐进地形成自己的知识系统,遵循认知规律,很好地完成了教学任务. 在授课过程中,主要有以下亮点:

(1)充分发挥了学生的主体作用. 整节课都能看到学生认真思考,积极参与,生生交流、师生交流比较到位. 教师主要起到引导和评价的作用, 让学生能充分体会二项式定理的发现过程,肯定学生的思考成果,提供给学生交流的平台.

(2)问题设置合理 ,梯度恰当. 在探究二项式定理的过程中,教师的提问恰到好处,让整节课显得清晰自然,学生的思维步步深入,最后形成结论;例题及变式也不生硬,都是借助同一模型,避免了学生做重复的工作,把注意力集中在理解、区分二项式定理中的概念及形式的分析.

关于二项式定理教学的研究第4篇

知识与技能:正确理解二项式定理及其推导过程;

过程与方法:初步掌握二项式定理,能用通项公式解决有关问题。

情感态度与价值观:通过对二项式定理的学习,了解13世纪我国数学家在该定理研究方面的成就。

二、学习重点及难点

重点:二项式定理以及通项公式。

难点:展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别。

三、学习过程

1.问题探究

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=?

(a+b)5=?

(a+b)6=?

......

展开式的系数、指数有什么规律?你能否大胆地猜测(a+b)n=?

提示:考察(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),不难得到展开式中含a、b的项依次为a4、a3b、a2b2、ab3、b4,就可以思考出系数怎样确定,能否用学过的组合解决知识解决。感觉还是有困难的同学,可以参考课本上的推导过程。

2.二项式定理的确定

(a+b)n=+an-1+an-2b2+...+an-rbr+...+bn(其中n∈N*),这个公式叫做二项式定理。右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,(r=1,2,3…n)叫做二项式系数,第r+1项an-rbr(r=1,2,3,…n)叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即Tr+1=an-rbr(r=1,2,3,…n),这个公式叫做通项公式。

问:(1)二项展开式有何特征?共有几项?各项的指数有什么规律?

(2)第m项的二项式系数是什么?

(3)是展开式的第几项的二项式系数?

3.认识二项式系数规律

13世纪我国宋朝数学家杨辉在《详解九章算术》中,对二项式系数规律进行了精辟的阐述,这说明我国在二项式定理研究方面早就有了辉煌的成就,参见课本杨辉三角。

问:你能从杨辉三角中发现新的奥妙吗?

4.二项式定理和二项式展开式的通项公式的应用

例题1 写出下列各式的二项展开式:

(1)(x+y)8;

(2)(a-b)7;

(3)()5。

例题2分别求出二项式(2a+3b)6和(3b+2a)6展开式中的第三项,你能发现有何区别?

例题3 在(-)5二项式展开式中,求:

(1)第四项;

(2)第四项的二项式系数;

(3)第四项的系数。

5.练习

教材第52页习题1—6

四、本课小结

(1)这节课哪些内容需重点理解?

(2)这节课哪些内容必须记住?哪些是需要注意的?

(3)这节课学习中对你感触最深的是什么?

课后作业教材54页习题1～4

二项式定理教学设计第5篇

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8100天后星期几呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几

新课讲解：

问题

1abdc的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题

2abb的ab原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成a的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论问题

3abbaa2bab的3原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案问题

4abbaaba的bab的原始展开式有多少项？

44问题

5你能准确快速地写出ab的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？在4个括号（袋子）中问题6

其个数，为何恰好应为该项的系数？

nrr问题7 ab在合并后的展开式中，ab的系数应该是多少？有理由吗？ n问题8

那么，该如何将ab轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想学生们快速地说出

nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

① 展开式中为什么会有那几种类型的项？

abn是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相

nk乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k0,1,2,,n

kankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到

kankbk，因此，该项的系数为Cn

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

n注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：把b换成b，则

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*

kn练习：令a1,bx，则

1xn01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*

问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1）项数：共有n1项

（2）指数规律：

① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）

② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n

knkk（3）二项式展开式的通项：Tk1Cnab，k0,1,2,,n

012knk（4）二项式系数：依次为Cn。这里Cn（k0,1,2,,n）称为二,Cn,Cn,Cn,Cn项式系数

现在同学们能告诉老师8100天后星期几吗？

思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以

n810071展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cn1，故100应为星期四。

1例

1求2x的展开式

x方法一：直接展开

11技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2x2x2

66方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

例

2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

3（2）x的展开式中x的系数和中间项

x例3

求(xa)12的展开式中的倒数第4项小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

二项式定理的教学设计第6篇

1.教学目标

1.1 知识与技能：

1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；

2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形． 1.2 过程与方法：

1．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力； 2．经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力.1.3情感态度与价值观：

1．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣2．在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.2.教学重点/难点

2.1 教学重点：

掌握勾股定理的逆定理及简单应用 2.2 教学难点：证明勾股定理逆定理.3.教学用具 4.标签

教学过程复习引入

1.直角三角形有哪些性质?（1）直角三角形两锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边一半；（3）30度角所对的直角边等于斜边一半；（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.如何判断三角形是直角三角形? 有一个角是直角的三角形是直角三角形.推进新课

（板书课题：勾股定理的逆定理）新知探究

问题1 据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.大家画一画、量一量，看看这样做出的三角形是直角三角形吗？

师：（指图）据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.这真是直角三角形吗？画画看，并用量角器检验一下.生：（学生画出这个三角形，并用量角器检验一下）是直角三角形.师：这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，那么围成的三角形是直角三角形.这里注意3、4、5有什么关系呢？

生：……（有 “32+42=52”）.师：再画画看，如果三角形的三边分别为2.5 cm、6 cm、6.5 cm，并有“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm、7.5cm、8.5 cm．再试一试，同学们在小组内共同合作，协手完成此活动.(学生小组内共同合作，教师巡视指导)生：这两组数组成的三角形是直角三角形.师：你发现了什么？生：三角形的三边满足a2+b2=c2.师：请写出符合上述特点的三组数，并分别以这三组数为边作三角形所作的三角形分别是什么三角形？

生：符合上述特点的三组数6cm、8cm、10cm；5cm、12cm、13cm；8cm、15cm、17cm.分别以这三组数为边作三角形所作的三角形都是直角三角形.师：我们进而会想：是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？从而得出一个命题：

（课件/板书）

命题2 如果三角形的三边长：a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.师：接下来我们进一步来研究命题2.问题2 命题2与勾股定理即命题1，它们的题设和结论各有何关系？命题2正确吗？如何证明呢？

师：我们分析一下命题2：这个命题题设是什么？结论是什么？

生：题设是三角形的三边长：a，b，c满足a2+b2=c2，结论是这个三角形是直角三角形.师：命题2与勾股定理即命题1，它们的题设和结论各有何关系？生：题设和结论交换了位置.（课件/板书）

互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个

叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.师：△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果边是a，b的直角三角形全等．实际情况是这样吗？

师：我们画一个直角三角形ABC使BC=a，AC=b，∠C＝900（如下图），把画好的△ABC剪下，放在△ABC上，它们重合吗？

ABC是直角三角形，它应与直角

生：我们所画的Rt △ABC，AB2=a2+b2，又因为c2=a2+b2，所以AB2=c2，即AB=c.△ABC和△ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C＝900，△ABC为直角三角形.即命题2是正确的.（课件/板书）

已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形

证明: 画一个直角三角形ABC使BC=a，AC=b，∠C＝90°

师：我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题l的逆命题，在此．我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理.（课件/板书）

互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么，这个三角形是直角三角形．

师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？举例说明.生：……

问题3 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15 , b ＝8 , c＝17(2)a＝13 , b ＝15 , c＝14 师：刚才我们学习了勾股定理的逆定理，我们可以用它判断已知三角形的三边的长，判断这个三角形是否是直角三角形.（指题）由(1)a＝15 , b ＝8 , c＝17(2)a＝13 , b ＝15 , c＝14组成的三角形是不是直角三角形？同学们以小组为单位合作交流，说一说你是如何判断的？（学生交流、教师巡回指导）

师：谁来展示一下？生：……（课件/板书）

解：（1）∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172

∴这个三角形是直角三角形

（2）∵132＋142＝169＋196＝365 152＝225 ∴ 132＋142≠152 ∴这个三角形不是直角三角形

师：谁来总结一下：已知三角形的三边的长，如何判断这个三角形是否是直角三角形？生：先找最长边计算其平方看是否等于另两边的平方和.若是则是直角三角形，反之不是．

师：总结得非常好.（课件/板书）

方法总结：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

问题4 如果三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2。这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

师：如果三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2.这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？谁来说一下.生：三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2组成的三角形是直角三角形.因为a2-b2=c2，所以b2+ c2= a2满足两边的平方和等于第三边的平方.（如果说错可多找几个同学发表见解）.师：谁是直角边，谁是斜边？生：b、c是直角边，a是斜边.师：也就是说斜边不是c.（课件/板书）

直角三角形最长边是斜边，但斜边不一定是c，解决问题要做到具体分析，不能想当然.3 典例剖析

例1 说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，同位角相等．

(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)对顶角相等．(4)全等三角形的对应角相等．

解：逆命题: 同位角相等，两条直线平行.成立

逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立逆命题:如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.不成立逆命题:三组角分别相等的两个三角形是全等三角形.不总结: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成

例2 已知△ABC 的三边分别为a=m2-n2，b=2mn，c= m2+n2，立（m＞n，m、n是正整数）.△ABC是直角三角形吗？说明理由.分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大.解： ∴△ABC是直角三角形.巩固提升

1.写出下列命题的逆命题!并判断其逆命题的真假!（1）同位角相等；

（2）如果两个数的平方相等!那么这两个数的绝对值相等；（3）全等三角形的面积相等.解：（1）相等的角是同位角!是假命题!（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等，是真命题!（3）面积相等的三角形是全等三角形，是假命题.2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（B）A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。3．判断题

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。（√）

⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆）命题是真命题。（×⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（√）

⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形。（√）

4．判断下列线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形（1）a=7，b=24，c=25（是）（2）a=1.5，b=4，c=2.5（不是）

（3）a=(4）a=，b=1，c=

（不是）

（是），b=2n，c= 课堂小结

（一）学生总结

这节课学习了什么？你有什么收获？（小组说--组内总结--组间交流）

1.互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么，这个三角形是直角三角形． 4.勾股定理的逆定理应用：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

（二）教师总结

今天，我们通过自己的努力，学会了这么多知识，老师真为你们骄傲！同时我们还发现很多数学知识都是相互联系、相互贯通的。我们在学习时要做到举一反三，运用旧知识来学到更多的新知识。

板书

17.2 勾股定理的逆定理

（一）1.互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么，这个三角形是直角三角形．

4.勾股定理的逆定理应用：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

《勾股定理的逆定理》的教学反思第7篇

一、本节课的成功之处：

本节课以活动为主线，通过从估算到实验活动结果的产生让学生总结过程，最后回到解决生活中实际问题，思路清晰，脉络明了。

例如：活动1问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．

2、体现了“数学源于生活，寓于生活，用于生活”的教育思想；突出了“特征让学生观察，思路让学生探索，方法让学生思考意义让学生概括，结论让学生验证，难点让学生突破，以学生为主体”的教学思路。例如：命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．

如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．

建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢?

生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．

3、在本节教学活动过程中，我经常走下讲台，到学生中去，以学生身份和学生一起探讨问题。用一切可能的方式，激励回答问题的学生，激发学生的求知欲，使师生在和谐的教学环境中零距离的接触。课堂上学生们的思维空前活跃，发言的人数不断增多，学生能从多角度认识问题，争先恐后地交流不同的意见和方法，收到比较好的效果。这是本节课的特色。

二、本节课的不足之处及改进方法：

1、本节课我没有利用多媒体辅助教学，如学习目标的发展、习题训练内容的展示、学生活动的要求、作业布置等，这些内容都是为教学服务的。如果用多媒体课件的展示，可以增大了教学密度，使学生的双基训练得到了加强，使传统的课堂走向了开放，使学生真正感受到学习方式在发生变化。在以后的教学中我应加强。

2、在重难点的突破上还应加一些递进的习题，降低题的难度，使优生学好，中等生也能跟上。这是我在以后教学

《反比例的图像和性质》的教学反思

教学反思：

一、本节课的成功之处：

把学生“自主、合作、探索”的学习方式落实到课堂教学的实践中，而不是仅仅停留在理论成面上。在本节课数学中，我结合教材内容，充分考虑初中生的认知特点尝试用描点法来画出反比例函数的图象．

画出反比例函数y= 和y=-的图象．

解：列表

x…-6-5-4-3-2-1123456…

-1-1.5-2-6

31y=-

11.236-1.（请把表中空白处填好）

描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．

连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．

探究反比例函数y= 和y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？

2、在教学中每个小组的成员都非常活跃，积极寻找解决问题的办法。学生自己归纳公式，在小组交流中完善表述。这样既调动了学生学习数学的积极性与主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生的动手实验、观察和归纳能力。

例如：归纳反比例函数y= 和y=-的图象的共同特征：

（1）它们都由两条曲线组成．

（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．

（3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）．

此外，y= 的图象和y=-的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．

二、本节课的不足之处及改进方法：

1、对与初二的学生的学习情况还是不够不了解，因此在教学过程中，我们配合得还不十分默契，尽管我在教学中采取了一些积极措施，但在教学中还有死角存在。在以后的教学中还应调动都多数学生的积极性，使更多的学生参与到教学中。

二项式定理的教学设计第8篇

关键词：静电场,高斯定理,安培环路定理,相似点

0 引言

大学物理是理工科非物理专业的必修课程, 为其后续的专业课提供理论基础。电磁学部分在各专业中都起着尤为重要的作用, 其中静电场的高斯定理及磁场中的安培环路定理, 各版本教材都做了详细介绍, 可见两大定理在电磁学中的重要性。如何设计其教学过程, 对学生理解, 运用电磁学的相关知识起着关键作用。

1 两大定理的教学设计

1.1 静电场的高斯定理教学设计

1.1.1 引入

我们在前面学习了电场线, 在法拉第提出了电场线图示法之后, 数学家高斯将电场线量化, 提出了电通量的概念, 即:通过电场中任一面积的电场线数目叫做通过该面的电通量, 并且在电场线穿过闭合曲面时规定:电场线穿入闭合曲面时电通量为负, 反之穿出电通量为正[1]。接下来我们一起来求解以下几种情况, 通过各面的电通量。

1.1.2 定理推导

(1) 点电荷+q位于球面中心。

球面上任取一小面元, 面上方向与面元的方向相同, 且球面上各点场强大小相等, 则有:

结论:Φe与r无关。

(2) 点电荷+q在任意闭合曲面内。

在此闭合曲面内做一个以+q为球心的球面, 通过球面的电通量为由于电场线是不会中断, 有多少条电场线穿过球面, 便有多少条电场线穿过此闭合曲面, 即:

思考:若闭合面内是点电荷-q, 则通过闭合面的电通量为?

仍然以点电荷为球心, 做一个球面, 因为任取一小面元, 面的方向始终与场强方向相反, 且球面上场强处处相等, 可知:

则通过任意闭合面的电通量也为

(3) 点电荷在闭合曲面之外。

点电荷在闭合曲面外时, 由于电场线在没有电荷的地方不中断, 所以有多少条电场线穿入闭合曲面, 便有多少条电场线穿出这个闭合曲面, 则Φe=0。

(4) 闭合曲面内有n个点电荷, 外有m个点电荷。

等式右边第一项表示q1单独存在时, 通过闭合曲面的电通量, 第二项为q2单独存在时, 通过闭合曲面的电通量, 依此类推, 最后一项是qn+m单独存在时, 通过闭合曲面的电通量, 由于在闭合曲面外的电荷都不产生电通量, 则:

1.1.3 高斯定理的内容和数学表达式

(1) 内容:

在真空中的静电场内, 通过任意闭合曲面的电通量等于该面所包围电荷的代数和的ε0分之一[1]。

(2) 数学表达式:

思考:1) 高斯面上的与哪些电荷有关?

2) 哪些电荷对闭合曲面S的Φe有贡献?

强调说明:

1) 高斯面上的为内外所有电荷产生的电场强度矢量和。

2) 仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献。

1.2 安培环路定理的教学设计

1.2.1 引入

在静电场中, 电场强度沿任意闭合环路的线积分恒等于零反映了静电场是保守力场。在稳恒磁场中, 磁感应强度B沿任意闭合环路的线积分等于多少呢?为简便起见, 下面讨论真空中无限长载流直导线所激发的磁场的情形。

1.2.2 定理推导

(1) 电流I通过环形回路中心。

如图1所示, 取一平面与载流直导线垂直, 并以这平面与导线的交点O为圆心, 在平面上作一半径为r的圆环, 在这圆环上任意一点的磁感应强度的大小为方向沿圆环的切线方向。若选取圆周的绕行方向与电流方向之间遵从右手螺旋关系, 则圆周上每一点的方向与该点附近线元的方向相同, 即之间的夹角θ=0°。所以磁感应强度沿着该闭合环路的线积分为:

上式表明, 只与穿过闭合环路的电流有关, 而与环路的半径r无关。

(2) 如图2所示, 电流I在任意闭合回路内[2]。

思考:若电流I反向, 则的环流为?

由此可见, 积分结果与电流方向有关。因此通常规定, 当环路绕行方向与电流方向之间遵从右手螺旋定则时, 该电流取正值, 反之取负值。

(3) 如图3所示, 电流I在闭合回路外[2]。

(4) 闭合回路内部有n根电流, 外部有m根电流。

1.2.3 安培环路定理内容和数学表达式

(1) 内容:

在真空中的磁场中, 磁感应强度B軑沿任何闭合路径的环流等于通过该闭合路径内的电流强度的代数和与真空磁导率μ0的乘积, 而与未穿过该回路的电流无关[1]。

(2) 数学表达式:

思考:

1) 闭合回路上的与哪些电流有关?