变式思维范文（精选8篇）
变式思维 第1篇
一、运用一题多问 促进灵活思维
在数学教学中, 如果能利用相同的条件, 启发学生通过联想, 提出不同问题, 可以不断促进学生思维的灵活性。
在学习“三角形的内角和”内容时, 我是这样安排和学生一起完成下面的操作的:任意画一个三角形, 分别用三种颜色将三个角表示出来, 再用剪刀把三个角都剪下来。
(1) 你想怎样处理剪下来的三个角?
(2) 把三个不同颜色的角拼在一起, 你会观察得出什么结论?
(3) 你用什么方法能够解释“三个内角之和等于180°”?
经过学生们的动手操作, 合作探究, 他们能找出很多说明结论的方法, 当然从中也体会到了在动手操作中获得新知所带来的乐趣。因此这种方法方法逐步设计问题, 能有预见的引领学生进行思维, 并通过动手、动口、动脑来完成探究学习的过程, 从而使学生的灵活思维能持久的发展。
二、运用一题多变 增强深刻思维
运用一题多变的练习或碰到类似问题能够举一反三, 知识能够融会贯通, 有助于启发引导学生分析比较其异同点, 抓住问题的实质, 加深对本质特征的认识, 从而更好地区分事物的各种因素, 形成正确的认识, 进而更深刻地理解所学知识, 促进和增强学生思维的深刻性。
例 在教学等腰三角形时, 涉及这样问题, 等腰△ABC中, ∠A=50°, 求∠B和∠C的度数。
此题内容非常简单, 也没有图形, 笔者是由学生先独立思考, 获取不同答案, 再讨论分析获取正确答案。然后提出类似问题:
⑴等腰三角形的一个外角是70°, 求各内角的度数 100°呢?
⑵等腰三角形的两边长是4和6, 求三角形的周长?
⑶等腰三角形一腰长为4, 周长为14, 求底边长。 (这是考查逆向思维能力)
⑷已等腰三角形一边长为4;另一边长为6, 求周长。 (前两题相比, 需要改变思维策略, 进行分类讨论)
⑸已知等腰三角形的一边长为3, 另一边长为6, 求周长。 (显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾, 这有利于培养学生思维严密性)
⑹已知等腰三角形的腰长为x, 求底边长y的取值范围。
⑺等腰三角形的一腰上的中线将它的周长分成15和6两部分, 求等腰三角形的底边长?
通过层层变式, 有利于学生形成思维定势, 又能打破思维定势, 培养学生思维的灵活性。
三、运用一题多解 培养广阔思维
在解题教学中, 积极引导学生从不同的思路入手, 不依常规, 寻求变异, 探索多种解法, 这样不仅可使知识系统化, 而且可使学生养成观察、分析、探索、猜想等良好习惯。对培养学生发散性、创造性思维无疑是大有益处的。
例 已知抛物线经过点 (0, 0) 和 (-8, 0) , 且有最大值是3, 求抛物线的解析式。
解法一:设所求函数式为:y=ax2+bx+c, 然后直接代入, 即可求得函数解析式。
解法二:根据抛物线的对称性, 知顶点为 (-4, 3) , 则设所求函数式为:y=a (x+4) 2+3, 然后把 (0, 0) 直接代入, 即可求得a的值。
解法三:根据根与系数关系, 因为0, -8是方程ax2+bx+c=0的两个根。从而也可求得函数解析式。
解法四:知顶点为 (-4, 3) , 由题知:0, -8是一元二次方程的两个根, 用交点式y=a (x-0) (x+8) , 再把 (-4, 3) 代入求得a的值。
上述的训练, 不仅概括了二次函数解析式的方法, 还巩固了有关一元二次方程的知识, 有利于培养学生的发散思维能力。
四、活用开放题型 培养综合思维
在教学这类问题时, 教师要积极而又耐心的引导学生, 善于挖掘知识中的潜在因素, 合理、恰当、巧妙、灵活地设计一些开放性题型, 对学生的思维进行求“新”、求“全”、求“活”的调控, 让学生发散思维, 敢于标新立异, 从多角度、多方位进行合理的推理、想象、猜想, 提出各种问题, 大胆创新, 努力培养学生综合思维。
例如:在教学探索全等三角形条件时, 设计这样问题:E, D是△ABC中BC边上的两点, 若已知AD=AE, 要证明△ABE≌△ACD, 还应补充一个什么条件?
教师首先给学生有充分思考的时间, 以个别提问方式让学生回答问题, 教师给予充分的肯定与表扬。学生积极性高涨, 很快得出以下补充条件。①∠BAD=∠CAE;②∠B=∠C;③∠BAE=∠CAD;④EC=BD;⑤BE=CD;⑥AB=AC;然后教师进行适当引导, 拓展思路, 并让学生展开讨论, 进而又得出以下补充条件:⑦△ABD≌△ACE;⑧△ABC是等腰三角形;⑨S△ABD=S△ACE;⑩S△ABE=S△ACD。这样, 整堂课气氛活跃, 不仅激发了学生的学习兴趣和丰富的想象力, 而且培养了思维的流畅性与敏捷性, 从而有效地培养了学生的发散思维能力。
这样开放性的作业, 能让学生对所获信息采取不同的处理方法, 会得到不同的解决结果, 并从中发现最有效的解决问题的方法, 闪烁着学生独特的创新精神, 从而培养学生的创新能力。
变式思维 第2篇
学生创新思维能力的形成,是在多种知识积累和能力发展的基础上发展起来的,是各种能力的综合反应。学生创新能力的培养,旨在培养他们的创新学习精神、创新学习意识、创新学习思维、创新学习技巧及方法。
初中阶段,是思维最为活跃的阶段之一。学生的求知欲最为强烈,并且理解能力和学习能力是最为活跃的,因此,对初中学生进行创新能力的培养,从某种意义上来讲,是最有成效的。而数学是一门应用广泛、最能培养创造性思维和问题解决能力的基础课程,其在培养学生的创新能力上具有独特的优势。因此,应当注重在初中数学教学中,将培养学生的创新能力放在突出的位置上,以适应转型时代发展的需要。
在整个初中数学过程中,怎样来培养学生的创新能力?笔者的做法是:在数学的题解过程中,通过“变式训练”来培养学生的创新思维能力。
1、选题。变式训练的题目要具有代表性,能包容大部分所学知识点,不能过于复杂,但也不能流于简单。过难挫伤学生研究学习的积极性,过于简单学生没有兴趣,这一步对激发学生的学习研究兴趣很重要。
例如,如图，AE＝DB，∠A＝∠D，∠C＝∠F，求证：AC＝DF
证明：在△ABC和△DEF中
∵AE＝DB，∴AB＝DE，又∵∠A＝∠D，∠C＝∠F ∴ △ABC≌△DEF
∴ AC＝DF
变式训练1：如图，AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D，求证：∠C＝∠F
变式训练2：如图，∠C＝∠F，AC＝DF，∠A＝∠D，求证： AE＝DB，变式训练3：如图，AE＝DB，AC∥DF，BC∥EF，求证：AC＝DF
通过这一例题的教学,不仅能使学生掌握新知识，还能起到复习巩固旧知识的作用，使学生对证明线段（角）相等的方法有了更进一步的明确，同时能活跃课堂气氛，使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，也培养了学生的一种钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，避免了学生在几何证明中钻死胡同的现象，所以教师在教学过程中，要重视“变式训练”的教学，特别在备课中要根据教学内容、学生情况适当地进行教材处理和钻研，要对知识进行横向和纵向联系，这堂课才能做到丰富多彩。
2、要注意培养发散思维。发散思维是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程。它具有流畅性、变通性和创造性的特征。加强发散思维能力的训练是培养学生创造思维的重要环节。根据现代心理学的观点,一个人创造能力的大小,一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。在教学中,要通过一题多变、一题多思等培养学生的发散思维能力。
问题一：下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得＝3(40－x)． 4EBBC40xBC即．所以AD＝BCEAAF40303(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学
4问题了．
将问题一变式：“设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？” 对问题一再变式：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上。(1)、设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？(2)、设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
MB30AmCOD40mN从上例可以看出,学生对选题很感兴趣,思维活跃,勇于探究,学习效果很明显。“变式训练”和“一题多变”的教学是加深和巩固所学知识的有效途径和方法，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化。提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，并培养学生创新思维能力。
作 者：杜兆逵
巧用变式练习，点燃思维火花 第3篇
[关键词]变式训练 小学数学 思维发展 教学策略
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）17-079
著名教育家波利亚曾经指出，有经验的教师，应当向学生提供那些并不复杂但意义深刻的习题，以此发掘学生的思维，使其进入神秘的数学领域。在小学数学教学中，变式练习就能够起到这样的作用。
一、深入浅出，突破难点
在小学数学教学中，面对教材中的教学难点，教师除了要考虑教学方法之外，更要从思维入手，因势利导，巧妙运用变式教学，深入浅出，帮助学生观察、分析、归纳，从而培养学生的思维能力。
例如，教学“认识几分之一”时，为了让学生深刻理解几分之一的本质内涵，我设计了三个层次的变式练习。变式一：有一块蛋糕，平均分成2份，每份是多少？学生根据自己的生活经验，将平分成两半的蛋糕的一半看做二分之一；变式二：怎样用一张长方形的纸折出二分之一？学生经过动手操作，不管是对折、横折或者斜着折，都能够得到二分之一；变式三：怎样才能折出更多的几分之一？学生通过对折圆形、正方形、长方形，二次对折，三次对折，得到了分数四分之一、八分之一、十二分之一等，不管对折多少次，每一份就是几分之一。此时我继续引导：四分之一和十二分之一相比，哪个更大？为什么？学生通过动手折纸的实践，体会到对折的次数越多，得到的分数越小。
变式练习化繁为简，深入浅出，为学生积累了丰富的数学表象，使学生的思维从感性到理性，有效突破了教学难点。
二、去伪存真，克服定式
在小学数学教学中，学生对复杂的数学概念往往容易混淆，不利于数学思维的发展。因此，教学中教师要将内容相近的知识进行变式组合，帮助学生去伪存真，克服数学思维的负面迁移。
例如，教学“分数的意义”时，有这样一道题：图1中的阴影部分是整个图形的几分之几？空白部分是阴影部分的几分之几？
图1 图2
学生认为，阴影部分是整个图形的 ，空白部分就是整体“1”减去 ，那么空白部分就占阴影部分的 。从这个错误可以看出，定式思维对学生造成了严重的干扰。为了让学生突破这一误区，我特意设置了这样的变式练习：（1）在图2中，红色占整个图形的几分之几？（2）绿色是红色的几分之几？学生经过观察和分析，认为在题目（1）中，要以总图为单位“1”，在圆形中，红色占圆形的二分之一；在长方形中，红色占长方形的 。对于题目（2），要求出绿色是红色的几分之几，关键是要找准单位“1”，学生经过讨论后认为，先要求出绿色和红色分别占图形的几分之几，然后再进行比较，从而得出绿色是红色的几分之几。
通过以上变式练习，学生不但能够去伪存真，深刻理解分数意义的内涵，而且从中感受到审题的重要性，从而有效突破思维误区，提升了思维的严谨性。
三、对比辨析，深入本质
变式练习不但能够增大课堂容量，而且能够提高课堂效率，拓展课堂习题的深度和广度。在小学数学教学中，教师要加强对比辨析，通过变式练习，让学生辨别细微的差异，体验数学概念的本质。
例如，对于一年级的“加法和减法”，学生常犯这样的错误：一见到“几比几多几”，就以为要用加法；一见到“几比几少几”，就要用减法。为此，我设计了变式练习：（1）小芳跳绳跳了12下，比小明多跳了5下，小明跳了多少下？（2）小芳跳绳跳了12下，小明比她多跳了5下，小明跳了几下？（3）小芳跳绳跳了12下，小明比她少跳了5下，小明跳了几下？（4）小芳跳绳跳了12下，比小明少跳了5下，小明跳了几下？
先让学生用学具摆出来进行对比，然后思考：四道题有什么不同？学生发现，虽然（1）（2）两题都有“多跳”这个条件，但前者的结果是比12少5，后者的结果是比12多5；同理，虽然（3）（4）两题都有少跳这个条件，但前者的结果是比12少5，后者的结果是比12多5。由此，学生通过辨别细微的差别，理清了数量关系，理解了“多”和“少”的数学内涵。
通过变式练习，既能够让学生把握多与少的数量关系，又提升了学生的数学思维。
总之，教学资源取之不尽用之不竭，教师要发展学生的求异思维和创新思维，就要多从教材中寻找素材，让课堂提升思维含量，实现高效和有效性。
利用变式培养学生思维能力 第4篇
一、试验变式培养学生思维的发散性
学生思维不够开阔，这会使学生在解题时很难进行下去。通过实验变式可以培养学生思维的发散性。
例如，在氢氧化铝的教学中，可以运用下列探索性实验激发学生的发散性思考，借以从多个侧面认识氢氧化铝的两性：(1)将少量铝盐滴入强碱溶液有什么现象?(2)将强碱溶液逐滴滴入铝盐溶液中去，又有什么现象?(3)将铝盐溶液逐滴滴入强碱溶液直至过量，又有什么现象?(4)铝盐溶液逐滴滴入过量氨水中时，又有什么现象?(5)铝盐溶液跟碳酸钠或碳酸氢钠溶液混合有什么现象?为什么?(6)用明矾溶液代替铝盐溶液重做上面实验，有什么现象?(7)铝盐溶液为什么显酸性?(8)氢氧化铝为什么显碱性?(9)怎样由氢氧化铝制取纯净的硝酸铝?(10)怎样除去明矾中的铝离子和硫酸根离子?
二、练习变式培养学生思维的严谨性
学生做题时，常常会因审题不严而导致错误，特别是熟悉的题、刚做过的习题，学生犯的审题错误更多，为了减少这种审题错误，在平时的练习或小测中，多进行变式训练，就可以大大提高学生思维的严谨性。
例如：1.质子数和中子数相同的原子A，其阳离子An+核外共有x个电子，则A的质量数为(A)
A.2(x+n)B.2(x-n)
C.2xD.n+2x
上题变式为2.质子数和中子数相同的原子A，其阴离子An-核外共有x个电子，则A的质量数为(B)
A.2(x+n)B.2(x-n)
C.2xD.n+2x
两题中只有一个符号之差就完全改变了选项。
三、化学式变式培养学生思维变通性
学生解题时喜欢墨守成规，缺乏变通的能力。我们可以通过解题中化学式变式来帮助学生培养变通思维。
例如，向15g铁和氧化铁混合物中加入150m L稀硫酸，能放出1.68L(标准状况)氢气，铁和氧化铁均无剩余，向所得溶液中滴入硫氰化钾溶液时，未见血红色。为了中和过量的硫酸，且使溶液中的亚铁离子全部转化为氢氧化亚铁，共消耗了200mL 3mol/L的氢氧化钠溶液，原硫酸的浓度有多大?此题学生很容易运用常规方法求解，这样会用到很多的化学方程式，且计算起来非常繁琐。如果能启发学生的创新思维，找出题中的隐含条件，很快就会发现可以将前面所有的化学方程式变式为：2NaOH+H2SO4=Na2SO4+2H2O，可知氢氧化钠的物质的量为原硫酸溶液中硫酸物质的量的2倍，即可简捷的求出硫酸溶液的浓度。
重视变式教学，培养学生思维能力 第5篇
[关键词] 初中数学；变式教学；思维培养
传统的数学教学最突出的特点就是题海战术，这不仅达不到应有的教学效果，还给学生和教师带来了极大的负担. 新课标提出，初中数学教学不仅传授课本知识，还应在学生对新知识、新技能初步掌握后能进一步加深理解，达到对课本知识运用自如的地步. 因此，倡导变式教学、更新教学理念势在必行. 基于此，本文就变式教学在初中数学中的应用谈一谈自己的看法.
变式教学的应用范围
在合理的范围内以恰当的方式实施变式教学是我们初中数学教师的一项基本教学素养，也是教学能力的重要体现. 下面笔者将结合具体案例，谈一谈初中数学变式教学的应用范围.
1. 公式定理中的变式教学
在对数学公式和定理的学习和理解的过程中，利用巧妙的变式可以帮助学生深刻认识公式和定理中的联系，架起数学定理之间的桥梁，从而培养学生举一反三的思维能力.
2. 概念中的变式教学
在对初中数学概念的教学中，我们教师要积极利用变式启发学生，引导他们参与进来，感受数学的魅力，进而培养学生的思维概括能力.
3. 例题中的变式教学
例题都是极具代表性的习题，其往往能最全面地概括所学数学知识及定理. 因此，在变式教学中，我们以例题的变式教学最为常见. 在课堂上，教师不仅要将课本上的例题和解题过程详细讲解，还应当做适当的变式，既巩固了学生的新知识的掌握，又启发了他们要善于灵活运用新知识.
例题的变式可以变换题目的表现形式，或者调换题目的条件和结论，虽然题目的实质没有发生改变，但却变成了一道新的题目. 除此以外，还有图形变形、解法变形等. 例题的变式教学不仅可以教会学生从不同的角度观察和分析问题，还进一步激发了他们对数学学习的兴趣，形成良好的思维品质和思维习惯，这对学生数学思维能力的培养以及良好的数学素养的形成都起着非常重要的作用.
变式教学的应用实践
1. 一题多解，培养学生的发散性思维
一题多解指的是对同一道题，从不同的思维角度出发，采用不同的方法分析，进而从中获取多种解题路径. 进行这种方式的教学，可以及早暴露出学生在解题过程中的思维活动，拓展了他们的解题思路，加强了学生思维的发散性，从而使他们能够更加熟练地掌握知识的内在联系.
例1：有一项工程，如果甲单独做，可以正好在计划规定的时间完成；如果乙单独做，就要超过规定时间3天才能完成. 假如先由甲、乙合做2天，然后乙单独完成，则正好也在计划规定的时间内完成. 问：完成这样的工程计划需要多少天？
如果本题采用方程的方法，可以得出下列解法：
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上有一点D，使得四边形ABCD为等腰梯形，求出点D的坐标以及直线AD的表达式；
（3）在（2）中，直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一个动点P，x轴上有一个动点Q，问：是否存在以A，M，P，Q为顶点的平行四边形？如果存在，请写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
解析：第（3）题中，由于A，M是定点，点Q的纵坐标为0，因此先将A，M，P，Q为顶点的平行四边形进行分类：①当A和M相对，P和Q相对. 由于A和M是定点，根据中点坐标公式，可以求出对角线交点的坐标；又由于点Q的纵坐标为0，依据对角线的交点是PQ的中点可求出点P的纵坐标；又点P在抛物线上，从而可求点P的横坐标，结合对角线交点的横坐标和中点坐标公式可求出点Q的横坐标. ②当A和P相对，M和Q相对. ③当A和Q相对，M和P相对. 后面两种情况参照①的解法可求.
另外还有一个比较有代表性的一题多用的例题，如下：
例4：有3支球队进行单循环的篮球比赛（每一支球队都与其他所有的球队各自比赛一场），那么总共要比多少场？如果是4支球队呢？7支球队呢？n支球队呢？
解析：这道题目比较简单，学生也比较容易理解，但最主要的是它代表了一种数学模型，因而可以推演出很多类似的数学问题，如：
（1）n边形一共有多少条对角线？
（2）家里来了20个客人，每两人互相握一次手，一共握了多少次手？
（3）一条线段上共有n个点，那么这条线段上共有多少条线段？
（4）两条直线相交于一点，有多少对对顶角？4条直线呢？n条直线呢？
（5）有公共端点的n条射线组成的图形中，一共有多少个角？
以上问题，都是一种类型的题目，可以建立同一数学模型来解决. 一题多用培养了学生的归纳整合能力，更因此培养了他们的应用数学模型的意识与数学建模的思维.
3. 一题多变，培养学生的深刻性思维
一题多变指的是只变动题目的形式，或者改变条件和结论，问题的实质没有发生改变. 这种方式的教学，可以从不同层面和不同角度出发揭示问题的本质，进而避免学生被思维定式过度影响，帮助学生养成从问题的变化看问题的本质的思维方式. 因为它重视引导学生发现问题的本质，因而培养了学生思维的深刻性，这极大促进了其综合能力的提升.
一题多变有几种主要的变化形式，即保留条件，改变结论；保留结论，改变条件；同时改变条件和结论；保留其他条件，仅将某一个条件与结论对换等.
解析：本题中直角三角形的斜边与两个直角边的关系没有发生改变，因此尽管题设条件发生变化，问题的结论依然没有改变.
例6：求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.
为了引导学生从中点四边形各边与原四边形的对角线的关系去思考问题，可作如下变式：①依次连接正方形各边中点能得到什么图形？②依次连接矩形各边中点能得到什么图形？③依次连接菱形各边中点能得到什么图形？④依次连接等腰梯形各边中点能得到什么图形？⑤依次连接平行四边形各边中点能得到什么图形？
为了让学生进一步理解中点四边形与原四边形的关系，笔者又设计了下面的变式：①顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点能得到什么图形？②顺次连接对角线相等的四边形各边中点能得到什么图形？③顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点能得到什么图形？④顺次连接四边形各边的中点得到正方形，原四边形应满足什么条件？⑤顺次连接四边形各边的中点得到矩形，原四边形应满足什么条件？⑥顺次连接四边形各边的中点得到菱形，原四边形应满足什么条件？
有了前面两步的基础，为了帮助学生真正理解中心四边形的证明，笔者设计了最后一个变式：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，若四边形EFGH为菱形，那么梯形ABCD应满足什么条件？
总之，变式教学对新课程改革起着良好的推动作用，因此我们初中数学教师应当积极转变教学理念，不断发掘变式教学的优势，通过教学实践让学生更好地认识数学，提高数学素养.
变式思维 第6篇
例题已知数列{an}满足a1+a2+…+an=n-an, (n∈N+) , (1) 求a1, a2, a3; (2) 求证{an-1}为等差数列; (3) 设bn= (2-n) (an-1) , n∈N+有bn+41t≤t2, 求t的范围.
师:第 (1) (2) 问略, 有an=- (21) n+1;看第 (3) 问.
生1:分离变量bn≤t2-41t, 转化为求数列{bn}的最大值.
师:如何求bn=- (21) n (2-n) 的最大值?
生1:单调性.
师:如何判断数列bn=- (21) n (2-n) 的单调性?
生1:比较法, 作差bn+1-bn= (21) n+1 (n-1) - (21) n (n-2) = (21) n+1 (3-n) , 当n≤3时, 数列{bn}递增, 当n≥3时, 数列{bn}递减, 所以, 当n=3时, 数列{bn}取得最大值81, 问题转化为t2-41t≥81, 解出t≥21或t≤
师:很流畅!这里是作差比较, 还可以怎么做?
生2:求导法, f' (n) = (n-2) · (21) nln21+ (21) n= (21) n[ (n-2) ln21+1]. (学生信手拈来)
f' (t) = (t-2) · (21) tln21+ (21) t= (21) t[ (t-2) ln21+1], 然后指出数列的本质是特殊的函数, 可以利用函数思想, 对函数进行求导, 进而判断数列的单调性, 同时提醒学生注意解题规范性.
生3:又一学生喊可以用作商比较法, bbnn+1=nn--21·21=n2n--41, 再作差比较分子分母的大小. (后同上)
(评注:老师肯定学生的不同做法, 与学生一道总结数列单调性证明的两个方法———定义法和求导法.)
变式1:证明不等式2n>n2 (n≥5) .生4:二项式定理, 2n=Cn0+Cn1+…Cn5+…+Cnn=1+
生5:数学归纳法, (1) n=5时, 不等式显然成立; (2) 假设n=k时, 不等式成立, 即2k>k2 (k≥5) ;当n=k+1时, 2k+1=2·2k>2·k2, 而2k2- (k+1) 2=k2-2k-1= (k-1) 2-2, 又∵k≥5, ∴ (k-1) 2-2≥14>0, ∴2k+1> (k+1) 2.综合 (1) (2) 原不等式成立.
师:很好!易想到二项式定理, 看似简单, 其实要用到二项式定理的对称性和n≥5, 并不简单, 但是数学归纳法倒是挺好的.
师:这可是必修内容呀!文科同学可不知道什么二项式定理、数学归纳法, 那又怎么办?
生6:可以构造数列.
师:很好!怎么构造?接着做下去.
生6:设an=2n-n2, 利用作差an+1-an= (2n+1- (n+1) 2) - (2n-n2) =2n-2>0得到数列{an}是单调递增数列, 又因为n≥5, an≥ (an) min=a5=25-52=7>0, 所以2n>n2 (n≥5) .
这时, 又有一名同学要求回答.
生7:设bn=2n, 利用作商bn+1=2n2, 再作差2n2-
n2bn (n+1) 2
(n+1) 2=n2-2n-1= (n-1) 2-2≥14>0, 证明出{bn}是单调递增数列, 又因为n≥5, bn≥ (bn) min=b5=5225>1, 所以
师:很好!并小结这道题与例题第 (3) 问“形异质同”, 都是利用数列单调性来解决问题.
(给学生2分钟小结、反思, 巩固例习题的解法)
变式2:已知数列{an}的通项公式为an=槡1×2+槡2×3+…+槡n× (n+1) , 求证:2n (n+1) ≤
生8:放缩法, n<槡n (n+1)
生8:左边好做, 右边不行.师:为什么?
生9: (又一学生答道) 放大了, 应该是n<槡n (n+) <
师:怎么这么准?
生9:因为n (n+1) = (n+21) 2+41≥ (n+21) 2 (过程略)
师:厉害!能不能不这么做, 想一想例题的解法呢?
(评注:老师对学生不同的做法给予肯定, 并帮助学生运算到底, 又没有离开本节课重点———数列单调性性质及应用.)
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生10:构造数列bn=an-2 (n+1) 2, 则bn+1-bn=槡n (n+2) -22n+3, 而 (槡n (n+2) ) 2- (22n+3) 2=-41<0, 所以bn+1
n (n+1) (n+1) 2
(bn) min=b1=槡2-2<0, 所以2≤an≤2成立.
接着老师又给出了两道变式题当堂巩固.
变式3:求证: (1+31) (1+51) (1+71) ·…· (1+
变式4:已知不等式 (1+31) (1+51) (1+71) ·…· (1+12n+1) >k·槡2n+1恒成立, 求k的取值范围.
二、分析与反思
例习题教学是数学教学的重要组成部分, 它把数学知识、技能、思想和方法联系起来, 起到强化基础、传授方法、揭示规律的目的, 但是学生在学习过程中, 往往容易形成思维定式, 套用固定的解题模式, 造成思维的僵化.因此在数学例习题教学中, 合理采用例习题变式教学可以启发思维、激励创新、培养学生数学思维能力.
这是我区高三一轮复习的一节研究课, 班级学生是学校较好的理化实验班学生, 主要研究高三一轮复习课的例习题的变式教学模式、方法和功能.下面笔者就通过本节课片段实录, 谈一谈如何利用变式教学来培养学生数学思维能力.
1. 利用变式教学培养学生的发散思维能力
在例题的“数列单调性证明”讲解中, 给出数列单调性的定义法证明, 并结合函数思想, 构造函数, 通过求导确定函数单调性, 转化为判断数列的单调性, 它体现了“一题多解”的变式教学.通过“一题多解”的教学模式能启发和引导学生从不同的角度, 运用不同方法, 利用所学的知识, 尽可能地提出不同的解题构想和方法, 拓宽学生的解题思路, 锻炼学生的发散思维.
从例习题讲解到“变式1, 2, 3”, 一连三个变式, 其实都只改变了问题的情境, 把问题以“不等式证明”的形式呈现.它体现了“一题多变”的变式教学, 就是通过改变题目的条件、结论、维度及封闭性, 使一个题变为一类题, 达到举一反三、触类旁通的目的.从而帮助学生充分认识例习题的价值功能, 发现例习题与变式题之间的联系, 促使学生从多角度分析、解决问题, 启迪学生发散思维, 培养学生的发散思维能力.
2. 利用变式教学培养学生的迁移思维能力
从例习题到“变式1, 2, 3的证明不等式”, 再到“已知不等式恒成立, 求参数范围”, 都是通过构造数列, 转化为应用数列单调性, 求数列的最值来解决问题.它体现了“多题归一 (一法多用) ”的变式教学, 就是对一种类型的题归类整理, 改变问题情境进行变式, 使得题目的本质不变, 解题方法相同.掌握“多题归一 (一法多用) ”教学模式能使学生真正从题海中解脱出来, 发现并掌握数学思想和数学方法, 起到事半功倍的作用.因此, 教师应深入挖掘一些例习题的潜在功能, 精心引导学生探索解决问题的方法, 启发学生将变式后不熟悉的新问题转化为过去已经解决的熟悉问题, 将例习题求解的经验迁移到新问题的求解上.这样不但能激发学生的学习兴趣, 还能培养学生的知识迁移的思维能力.
3. 利用变式教学培养学生的创造性思维能力
从变式1, 2到变式3复杂结构的不等式证明, 再从“变式3的实数21”到“变式4的把实数21换成字母k”, 最后又把“证明不等式”变式为“已知不等式恒成立, 求参数k范围”, 实际上还是通过分离变量, 把问题转化为求数列最值问题, 巩固并强化例习题的解题方法.这样教师从熟悉、难度并不很大的例习题出发, 紧扣教学大纲和高考考试说明, 引导学生反复推敲、思考, 给学生提供想象空间, 帮助学生探究和归纳解题方法, 再通过各种变式, 激发了学生的创造性, 将问题进行化归, 培养学生创造性思维能力.
总之, 随着新课程改革向纵深发展, 教师要精选例习题, 设计并组织好课堂教学, 合理应用例习题的变式教学, 遏制“题海战术”, 激发学生的学习兴趣, 挖掘学生的探究和创新能力, 培养学生的数学思维能力.
摘要：例习题教学是数学教学的重要组成部分, 它能起到强化三基、传授方法、揭示规律的目的, 合理采用例习题变式教学可以遏制“题海战术”, 激发学生的学习兴趣, 启发思维、激励创新, 培养学生数学发散思维、迁移思维和创新思维能力.
变式思维 第7篇
一、数学变式教学的涵义
从心理学角度来说, 变式是指从不同角度组织感性材料, 突出事物本质特征, 它可以帮助学生准确掌握概念, 从不同的角度抓住事物属性, 概括出一般属性的思维方式.而数学变式教学则是对数学概念、公式, 从不同方面、不同情境进行变形, 变换问题的形式或是内容, 交换问题的结论与条件, 在训练中设置实际应用的各种问题情境, 针对不同层次或不同背景对数学中的某些例题、习题、定理及命题进行变化, 揭示知识点之间的内在关系, 让学生通过解决旧问题促进新问题的诞生.数学变式教学把变式运用到数学教学中, 从多个方面变更数学问题呈现形式, 既是一种数学教学方式, 又是一种数学教学思想.
二、数学变式教学的意义
当前素质教育背景下, 变式教学成为教师和学生喜爱的一种教学方法, 通过一题多法、一法多用、一题多变等变式训练, 使学生乐学、勤学.另外, 通过变式练习把规律性的问题结合在一起, 不仅能减轻学生的课业负担, 而且能提高教学质量, 对知识的掌握、思维和能力的培养起至关重要的作用.
三、数学变式教学模式
数学变式教学模式可以分为以下四个步骤.
1. 情境引入
数学概念是非常抽象的, 教师要设置出合理的教学情境, 将概念引入到课堂教学中, 使学生将现实经验与抽象概念建立起联系.如在正方体表面的教学中, 可以先拿出一个正方体表面展开图, 现场围出一个正方体.
在介绍正方体的表面展开图后, 提问:有几种表面展开图?学生动手操作, 教师给予指导, 学生就非常直观地了解了所学知识.
2. 概念生成
在这个过程中, 教师通过设置合理的教学情境, 进而归纳概括形成概念, 引发学生思考、讨论, 教师时刻抓住学生的学习动态, 而后探究, 适时给予肯定与鼓励.针对学生的纰漏及概念模糊的地方, 教师要加以引导, 完善概念, 实现自评与互评.
3. 概念强化
针对概念的深层含义, 教师要在概念生成后, 设计一些简单的习题训练, 带领学生进入概念的应用这一环节, 让学生抓住概念的本质属性.如在学过绝对值这个概念后, 我根据绝对值的概念设计变式题目强化概念:
又如, 我在讲完圆周角的概念后, 设计这样的变式题目进行概念强化:
下面的图形中是否有圆周角?请你选出来. (如图)
4. 概念拓展
通过一系列的变式练习题组, 可以缩短学生深化理解概念的时间, 同时也能够使得概念拓展, 使学生熟练掌握概念, 并通过变式练习深入揭示概念的内涵, 深化理解, 增强学习效果.
如在对顶角的定义学习后, 我设计一些变式练习深化学生的理解:例1.判断下列图形中∠1和∠2是否为对顶角, 并说明理由. (如图)
例2.已知⊙O的半径为10cm, 圆心O至直线L的距离OD=6cm, 在直线L上有A, B, C三点, 并且有AD=10cm, BD=8cm, CD=6cm, 分别指出点A, B, C和⊙O的位置关系.
根据此题我做出如下变式练习:有一个长12m, 宽6m的矩形花园, 为了灌溉花草, 需在花园安装一些可以自动喷水的设备, 若该设备喷水的最大半径是5m, 需要安装几个这样的设备?怎样安装?请说明理由.
答案:2个.分别在 (如图所示) 的两个正方形的中心M, N两点处安装.因为这个矩形花园可以分成两个边长为6m的正方形, M, N两点到正方形顶点的距离为3m, 而灌溉范围是圆心分别为M, N, 半径为5m的两个圆形, 5>3, 所以灌溉范围正好可以完全覆盖整个矩形花园.
变式思维 第8篇
“创新是一个民族进步的灵魂”，创新能力培养的关键是培养学生的创造性思维，那么什么是创造性思维？创造性思维是指对所用的材料，从新的角度，用新的程序方法处理加工信息，从而获得新成果的思维活动和过程。创造性思维的基础是发散思维，变式教学具有多元化、多途径、开放式的设问和变化， 因此在教学中发散思维培养的关键是变式教学，那么如何进行变式教学？
變式教学要把握“变”的切入点，可以从对知识的理解上切入、从对方法的反思上切入、从对条件的反思上切入、从问题的呈现形式上切入，变条件、变形式、变结构、变内容改变为一个新题，都是构造变式的有效方法。在教学方法上采用探究式的教学， 让学生通过对“变”这个过程的参与、体会、实践，培养他们发散思维的能力和挖掘创新的潜力，激发他们对问题研究的激情，形成探究意识。下面结合案例谈谈变式教学的实践。
例1 已知集合A =[1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A∪B ，求实数a 的取值范围。
变式1 A = [1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A B ， 求a 的取值范围。
变式2 A = [1，4） ， B = （ - ∞， a） ，若A B ， 求a 的取值范围。
变式3 A = [1， a） ， B = （ - ∞，4） ，若A∪B ， 求a 的取值范围。
点评：本题从条件加以变换，属于一般层次变题。变式1 、2 只是对集合A 、B 的包含关系进行变换，变式3则是对集合本身进行变换，这种变换有助于培养学生的探究能力和创新意识。本题还可根据解答的结果对a 的范围进行改造，反过来求集合A 与B 的包含关系，它又是原命题的逆向改造。
例2 已知一曲线是与两定点O （0 ，0） 、A （3 ，0） 距离的比为的点的轨迹，求曲线的轨迹方程。
变式1 已知一曲线是与两个定点O （0 ，0） 、A （3 ，0） 距离的比为k （ k > 0） 的点的轨迹， 求此曲线的方程， 并说明是什么曲线。
（略解） 由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为=k，将上式两边平方、化简得（1-k2）x2+（1-k2）y2-6k2x-9k2=0，易知当k = 1 时曲线为直线；当k > 0 且k ≠1 时曲线为圆。
变式2 已知一曲线是到定点A （3 ，0） 的距离与到定直线x=的距离的比为的点的轨迹， 求此曲线的方程。
（略解） 由椭圆的第二定义知道，该轨迹是椭圆。
变式3 已知一曲线是到定点A （3 ，0） 的距离与到定直线x=的距离的比为的点的轨迹， 求此曲线的方程。
（略解） 由双曲线的第二定义易知该轨迹是双曲线。
变式4 已知一曲线是到定点A （3，0）的距离与到定直线x = - 3 的距离的比为1的点的轨迹，求此曲线的方程。
（略解） 易知该轨迹是抛物线。
点评：挖掘条件将其一般化，是设计变式的一种重要策略，变式1将条件从特殊化为一般，对曲线的形状判定考察了分类讨论的思想，提高学生应变能力，揭示数学本质；变式2、3、4，这是从较高层次变题，形相似质不同。进一步挖掘条件，将条件中两定点其中一点变为直线加深了学生对圆锥曲线定义的理解，使学生对知识的学习做到融会贯通。
例3 tan20O+tan40O+tan20Otan40O=的变式教学
析：改变20O、40O两个角，等式是否成立？改变题型结构我们可以得到：
变式1 tan？+tan？+tan？tan？=
变式2 能否得到一般性的结论？将问题一般化，得到命题：
若 + 60O，则tan +tan +tan tan =tan（ + ）。
变式3 能否改变 、 与常数，等式右边仍然为常数？
tan？+tan？+tan？tan？=常数
变式4 能否进一步推广？
tan +tan +tan tan =tan（ + ）
变式5 在“变式4”中若 + =225O，结论如何？
（1+tan ）（1+tan ）=2
变式6 若 + + =n ，n∈z结论如何？
tan +tan +tan =tan tan tan
变式7 令a=x-y， =y-x， =z-x结论如何？
tan（x-y）+tan（y-z）+tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z）tan（z-x）
点评：本题变式采用对命题条件与结论对调，探究逆命题是否成立，将条件从特殊化为一般，改变结构等技巧。教学中，引导学生主动参与探索，运用探究教学既改善了传统的教学方式，也培养了学生学习数学的自主性、能动性和创造性，能促进学生形成良好的认知结构，锻炼学生的数学思维能力，提升学生的数学素养。
例4 已知数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，求an。
变式1：数列{an}中，已知an+2+an+1=6an，写出符合条件的其中一个数列的通项公式。
解：an=2n，an=（-3）n，
an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）
an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）
变式2：数列{an}中，已知a2=1，an+2+an+1=6an，写出符合条件的其中一个数列的通项公式。
解：an=2n而an=（-3）n，则不符合
an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）
an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）
a2=a·22+b·（-3）2时满足。
即只要满足4a+9b=1时就行。如a=或b=时，满足。
变式3：数列{an}中，已知a1=1，an+2+an+1=6an。求数列an的通项公式。
解： an=a·2n，an=b·（-3）n（a，b∈R）
an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）
a1=a·21+b·（-3）1时满足。
即只要满足2a-3b=1时就行。如当a=或b=-时，满足。
变式4：数列{an}中，已知a1=1，an+2+an+1=6an。求数列an的通项公式。
条件an+2+an+1=6an成立，则满足：
an=a·2n+b·（-3）n（a，b∈R）
条件a1=1成立，则满足2a-3b=1
条件a2=1成立，则满足4a+9b=1
三个条件同时满足，则
所以：数列an的通项公式为an=·2n-·（-3）n。
点评：本题在变式技巧上从条件入手，先放弃一部分条件，也就是将原问题转化为一个更一般的问题。约束条件少了，降低了门槛，使学生容易上手，再增加部分条件，使原题得到扩展，由浅入深，做到起点低、目标高，小综合，遵循“由简单到复杂，再由复杂到简单”，充分体现化归的数学思想，使学生触类旁通，举一反三，收到事半功倍的效果。
变式教学中采用“一题多变”，不仅能加深学生基础知识的理解和掌握，更重要的是开发学生智力、激发学生学习兴趣、提高思维灵活性，增强了发散思维能力，培养了学生的创造性思维。
