函数分类讨论范文（精选10篇）
函数分类讨论 第1篇
分类讨论思想是高中数学重要的数学思想之一, 分类讨论在函数中体现为两方面, 一是函数解析式的分段讨论, 二是含有参数的函数问题。学生遇到此类题时, 要么束手无策, 要么认为题目有问题, 无法解或无解, 没法明白分类的动机, 分类时出现困难。可见学生对分类思想方法掌握不好, 因此, 分类思想既是老师教学的重难点, 也是学生能力的体现。
二分类讨论思想的涵义
当我们遇到的问题中的条件不足以得到一个确定答案或好像无法求解时, 就是用分类讨论的思想方法求解的时候了, 把原问题分解成相对独立的“小问题”来处理, 综合对这些小问题的解答, 便可推证出原问题的结论。这个过程就叫做分类讨论, 这种思想叫做分类讨论思想。分类讨论解题的实质, 是将整体问题化为部分问题来解决, 化成部分问题后, 就增加了问题的定解条件。即分类讨论是“化整为积, 各个击破, 再化积为整”的教学策略。
三分类讨论的动机探究
请看下面的例子:
例1, 求函数f (x) =│x-1│+│x+2│的值域。
探究如下:
学生:看起来不好入手解题, 它不是基本初等函数的类型, 而是与x相关的两个绝对值。
教师:常见的函数没有绝对值, 因此有必要对解析式进行化简, 化简的目的是去掉绝对值, 怎么去掉绝对值呢?
学生:绝对值里面的正负是关键, 如果知道x-1, x+2分别与零的大小, 就可以去掉绝对值符号。
教师:大小关系有多少种情况呢?
教师:分成以上四种情况, 但是 (4) 无解集所以得排除。
总结:当学生的思维受到局限时, 教师可以使用问答的方式一步一步地引导学生解决疑难, 可以适当增加条件限制变量的范围来确定解析式, 从而达到化简的目的, 把不熟悉的问题转化成熟悉的问题, 提高学生的逻辑思维能力。所以要学生会用分类讨论的思想方法来解题, 首先要知道的问题是在什么情况下要考虑到分类讨论?其次是明白为什么要分类讨论?分类之后会有哪样的优势?也就是明确分类的动机。我们面对的很多数学题以及生活中碰到的很多问题, 因为有一定的变数而使结果模糊, 当我们把变数明晰化, 实际上就是增加一个或多个定解条件时, 就可以得到确定的答案。
四函数分类的情形
函数分类讨论大致分为两类, 一类是分段函数, 分类讨论后才能进行解答;一类是函数的性质是分类的, 典型的例子是含有参数的问题。如函数性质中根据奇偶性的分类, 对某个区间上的单调性讨论;一次函数、反比例函数中参数k的情况与单调性讨论;二次函数的参数讨论以及动的对称轴;指数函数和对数函数中对底数的分类讨论;幂函数的幂指数对函数性质的影响;三角函数中依据角所在的象限对三角函数符号的分类;以及三角函数的定义域;等比数列前n项和q=1, q≠1的讨论;直线的截距, 两直线的位置关系与k之间的不确定性;导函数的单调性与参数的不确定性讨论等。
分析: (1) 利用的是导函数来讨论单调性; (2) 题是在 (1) 的基础上, 有绝对值的形式, 根据绝对值里面lnx的正负进行讨论, 因此分段是关键, 题目根的个数就转化成一个分段函数的零点问题, 而零点的确定需要知道图像的大概走势, 也就是利用导函数求函数的单调性, 利用最小值来和0做比较。
解析过程:
综上当x∈ (0, +∞) 时, 都有g (x) ≥g (l) =-e-2-c。
综上当c>-e-2时, g (x) 有两个零点, 即方程有两个根。
总结:例题中讨论根的情况转化成函数的零点问题是一大难点, 一部分学生在分段得到最小值后就不知如何继续, 没有找到分类的动机, 感觉手忙脚乱, 因此怀疑自己的解题思路, 最终不能将解题进行下去。还有学生在 (3) 中不知如何设定情况继续讨论, 在大的前提下又进行分类讨论, 是学生的薄弱点, 拿捏不好分类的尺度, 因此在讨论时把握分类的动机, 明确分类标准非常重要。
五分类讨论的标准
要有明确的分类标准:对讨论对象分类时要不重复、不遗漏, 即分成若干类, 其并集为全集, 两两的交集为空集;当讨论的对象不止一种时, 应分层次进行, 以避免混乱, 分大类时有一个统一的标准, 每一大类中再分几小类可另有统一的标准。
解: (1) 略。
(2) 易知f' (x) =4 (x-1) (3ax2+3ax-1) , 在 (-1, 1) 上f (x) 是增函数, 当且仅当f' (x) ≥0, ∵x<1, ∴x-1<0, 那么就有3ax2+3ax-1≤0恒成立。
思路:这是一个一元二次不等式吗?不一定。
(1) 当a=0时, 有-1≤0成立;
(三种情况都满足条件, 是或的关系, 所以为三个结果的并集)
总结:本题容易忽视分类讨论或讨论不到位是出错的关键, 对于分类结果的表示不周全, 以下是分类讨论结果的表述:求某个未知量, 如果对这个未知量进行分类讨论, 那么各类的解集取并集;求某个参变量, 如果对这个参变量进行分类讨论, 那么各类的解集取并集;求未知量, 若对参变量进行分类讨论, 由于每类情况的前提条件不同, 那么各类的结果应分类表述, 所求未知量要同时满足各种前提, 则应对各种分类讨论的结果求交集。
六教学启示
分类思想是自然科学乃至社会科学研究的基本逻辑方法, 它贯穿于各类知识之中, 在教学的各个阶段都起着重要的作用。分类的过程, 可培养学生思考的周密性与条理性, 而分类讨论, 又有助于提高学生研究问题, 探索规律的能力。分类思想不同于一般数学知识, 通过几节课就可掌握, 有很多是依赖经验和解题的习惯。因此教师在备课时应有意识地结合具体教学内容, 渗透分类思想, 养成分类的意识, 把分类思想方法融入到具体教学过程中;在解题教学中让学生进一步学习分类方法, 增强思维的缜密性, 提高合理解题的能力。教学中应掌握化隐为显、循序渐进、学生参与的原则, 并且反复渗透、适时突破。如前面例子中对a进行分类, 可采用提示语引导学生:为什么这样分类?分类后有什么优势?分类的标准是什么?
学生的主体地位即是让学生成为学习的主体, 教师在整个教学过程中只是发挥引导和点播作用。在教学过程中, 教师可以通过分类讨论来充分发挥学生在学习过程中的主体地位;老师对分类思想进行讲解以后, 可以引导学生自己来对已经学过的知识进行分类探讨, 特别是针对学生容易出错的知识点, 让学生通过讨论来对这个知识点有更加清晰的认识, 对出现的错误进行总结, 将知识点的欠缺归纳到每一个知识类别上, 这样有助于学生自身知识体系的完善, 在平时的教学中要有意识地引导学生感悟和体验分类在解决类似问题中的积极作用。但要注意的是, 在运用时, 不要盲目或机械地进行分类讨论, 有的题目虽然含有分类因素, 但不要急于分类讨论, 要首先对问题做深入研究, 充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系, 再寻求讨论, 使问题更简单。
参考文献
[1]曹贤鸣、阮孟国.分类讨论及其应用[J].中学数学教学参考, 2002 (8)
含参数三次函数单调区间的分类讨论 第2篇
常按下列步骤对字母的取值范围进行分类讨论：第一步，求出导函数[y=f(x)]（设原函数为[y=f(x)]）；第二步，算出导函数的判别式[Δ]，并判断判别式[Δ]的正负；第三步，若判别式[Δ]的值不确定，即[Δ]的取值可正可负，则对[Δ]进行讨论.
1. 按判别式取值的正负进行分类讨论
按[Δ][>0]、[Δ][<0]、[Δ]=0三种情况进行分类讨论求解.
例1 已知函数[f(x)=x3+ax2+x+1]，[a∈R]﹒讨论函数[f(x)]的单调区间﹒
分析 先求出[f(x)=3x2+2ax+1]，算出其判别式[Δ=4(a2-3)]，再判断[4(a2-3)]的正负，易知[4(a2-3)]的正负不确定，然后按判别式[Δ][>0]、[Δ][<0]、[Δ]=0三种情况进行分类讨论求解﹒
解 [f(x)=3x2+2ax+1]，其判别式[Δ][=4(a2-3)].
（1）当[Δ][>0]，即[a>3]或[a<-3]时，
由[f(x)>0]得，
[x>-a+a2-33]或[x<-a-a2-33].
由[f(x)<0]得，
[-a-a2-33 故函数[f(x)]在区间[(-∞,-a-a2-33)]和[(-a+a2-33,+∞)]上是增函数，在区间[(-a-a2-33,-a+a2-33)]上是减函数﹒ （2）当[Δ][<0]，即[-3 对所有[x∈R]都有[f(x)>0]， 故此时[f(x)]在[R]上是增函数﹒ （3）当[Δ][=0]，即[a=±3]时， 则[f(-a3)=0]，且对所有的[x≠-a3]都有[f(x)>0]， 故此时[f(x)]在[R]上是增函数﹒ 例2 已知函数[f(x)=x-2x+a(2-lnx)]，[a>0].讨论函数[f(x)]的单调性﹒ 分析 本题函数[f(x)]虽然不是三次函数，但由于导数[f(x)]的正负值的取值范围与二次函数[g(x)=x2-ax+2]是一样的，对导数[f(x)]值的讨论就可转化为对二次函数[g(x)]值的讨论﹒由于[Δ=a2-8]的值不确定，要按判别式[Δ][>0]、[Δ][<0]、[Δ]=0三种情况进行分类讨论求解﹒ 解 由题意知，[f(x)]的定义域是[(0,+∞)]﹒ [f(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2]﹒ 设[g(x)=x2-ax+2]，二次方程[g(x)=0]的判别式[Δ=a2-8]﹒ （1）当[Δ][>0]，即[a>22]时， 方程[g(x)=0]有两个不同的实根： [x1=a-a2-82],[x2=a+a2-82]，[0 由[f(x)>0]，即[g(x)>0]且[x>0]得， [x>x2]或[0 由[f(x)<0]，即[g(x)<0]且[x>0]得， [x1 函数[f(x)]在[(0,a-a2-82)]和[(a+a2-82,+∞)]上是增函数，在[(a-a2-82,a+a2-82)]上是减函数. （2）当[Δ][<0]，即[0 对一切[x>0]都有[f(x)>0]， [f(x)]在[(0,+∞)]上是增函数﹒ （3）当[Δ][=0]，即[a=22]时， 仅[x=2]有[f(x)=0,]对其余的[x>0]都有[f(x)>0,] [f(x)]在[(0,+∞)]上是增函数﹒ 点拨 例2与例1可以说是形异质同﹒本题的分类讨论思路与例1基本上一样﹒ 若[Δ][≥0]，即方程[f(x)=0]有实根，先求出两实根[x1]、[x2]；再按[x1][>][x2]、[x1][<][x2]、[x1]=[x2]三种情况进行分类讨论求解. 例3 已知函数[f(x)][=x3+ax2-a2x+1]，[a∈R]. 求函数[f(x)]的单调区间﹒ 分析 先求出[f(x)][=3x2+2ax-a2]，再算出其判别式[Δ=16a2]﹒由于[Δ=16a2≥0]，求出方程[f(x)=0]的两根得：[x1=a3]，[x2=-a]﹒由于[a3]、[-a]的大小不确定，所以要按[a3>-a]、[a3<-a]、[a3=-a]三种情况分类讨论求解﹒ 解 [f(x)][=3x2+2ax-a2]， 方程[f(x)][=0]的判别式[Δ=16a2≥0]﹒ 求方程[f(x)=0]的两根得[x1=a3]，[x2=-a]﹒ （1）当[a3>-a]，即[a>0]时， 由[f(x)>0]得，[x>a3]或[x<-a]. 由[f(x)<0]得，[-a 函数[f(x)]在[(-∞,-a)]和[(a3,+∞)]上是增函数；在[(-a,a3)]上是减函数﹒ （2）当[a3<-a]，即[a<0]时， 由[f(x)>0]得，[x>-a]或[x 由[f(x)<0]得，[a3 函数[f(x)]在[(-∞,a3)]和[(-a,+∞)]上是增函数，在[(a3,-a)]上是减函数﹒ （3）当[a3=-a]，即[a=0]时， 仅对[x=0]有[f(x)=0]，对所有的[x≠0]都有[f(x)>0]， [∴f(x)]在[R]上是增函数﹒ 例4 已知函数[f(x)][=(x2+ax-2a2+3a)ex]，其中[a∈R]﹒求函数[f(x)]的单调区间﹒ 分析 本题函数[f(x)]也不是三次函数﹒导数[f(x)]的正负值的取值范围与二次函数[h(x)]是一样的，对导数[f(x)]值的讨论就可转化为对二次函数[h(x)]值的讨论﹒由于[h(x)]的判别式[Δ=(3a-2)2≥0]，方程[h(x)=0]的两根[-2a]、[a-2]的大小不确定，本题就得按[-2a>a-2]、[-2a 解 [f(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex]﹒ 设[h(x)][=x2+(a+2)x-2a2+4a]，方程[h(x)=0]的判别式[Δ=(3a-2)2≥0]，求方程[h(x)=0]的两根得[x1=-2a]，[x2=a-2]﹒ （1）当[x1>x2]，即[a<23]时， 由[f(x)>0]，即[h(x)>0]得， [x>-2a]或[x 由[f(x)>0]，即[h(x)<0]得， [a-2 函数[f(x)]在[(-∞,a-2)]和[(-2a,+∞)]上是增函数，在[(a-2,-2a)]上是减函数﹒ （2）当[x1 由[f(x)>0]，即[h(x)>0]得， [x>a-2]或[x<-2a]. 由[f(x)<0]，即[h(x)<0]得， [-2a 函数[f(x)]在[(-∞,-2a)]和[(a-2,+∞)]上是增函数，在[(-2a,a-2)]上是减函数﹒ （3）当[x1=x2]，即[a=23]时， 仅对[x=-43]有[f(x)=0]，对所有的[x≠-43]都有[f(x)>0]， [∴f(x)]在[R]上是增函数﹒ 点拨 本题的分类讨论思路基本上同例3一样﹒例4与例3也是形异质同，我们在解题时要抓住这一点﹒ 1. 已知函数[f(x)=x-1x-alnx(a∈R)]﹒讨论[f(x)]的单调性﹒ 2. 已知函数[f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1]，[x∈R]，其中[t∈R]﹒当[t≠0]时，求[f(x)]的单调区间﹒ 1. （1）当[a≤2]时，[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递增. （2）当[a<-2]时，[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递增﹒ （3）当[a>2]时，[fx]分别在[(0,x1)和(x2,+∞)]上单调递增，在[(x1,x2)]上单调递减﹒ 2. 当[t<0]时，在[(-∞,t2)]和[(-t,+∞)]上单调递增，在[(t2,-t)]上单调递减； 当[t>0]时，在[(-∞,-t)]，[(t2,+∞)]上单调递增，在[(-t,t2)]上单调递减﹒ 一、对参数的分类讨论 1.含参的函数问题中研究的对象是自变量时,若需对参数进行分类讨论,且自变量的范围在参数的每一种分类中都是完整的, 这种讨论方法为参数的分类讨论法,其整合的结果为各类结果的并集。 例1.求函数的单调区间。 解:f(x)的定义域为R 由 f ′(x)=x2-(a+2)x+2a=(x-a)(x-2)=0 得 x=a 或 x=2 (1)当a<2时,由f′(x)>0得x<a或x>2,由f′(x)<0得a<x<2, 则 (fx)的增区间为(-∞,a),(2,+∞);减区间为(a,2); (2)当a=2时,f (′x)=(x-2)2≥0恒成立,f(x)的增区间为R,无减区间; (3)当a>2时,由f′(x)>0得x<2或x>a,由f′(x)<0得2<x<a, 则 (fx)的增区间为(-∞,2),(a,+∞);减区间为(2,a); 综上:当a<2时,(fx)的增区间为(-∞,a),(2,+∞);减区间为 (a,2);当a=2时,(fx)的增区间为R,无减区间;当a>2时,f(x)的增区间为(-∞,2),(a,+∞);减区间为(2,a); 注:本题研究的对象是自变量x,通过比较f′(x)的两个值a与2的大小,对a进行分类讨论。在a的每一种情形中,都是在自变量x的范围R上研究,则结果为各类结果的并集。 2.含参的函数问题中研究的对象是参数时,常用分离参数的方法。若参数不好分离,则对参数进行分类讨论,且在每一类的讨论中自变量的范围保持完整不变。其参数所求的结论是各类结论的并集。 例2.已知函数在(1,2)内是增函数,求实数a的取值范围。 解:f(x)的定义域为(0,+∞) (1)当a=0时,f(x)=x(x>0)在(1,2)上为增函数,符合题意; (2)当a>0时,由 (fx)>0得x<-a或x>3a,f(x)的增区间为 (-∞,-a),(3a,+∞)由题意得区间(1,2)是(3a,+∞)的一个子集,则得:0<a≤1 /3; (3)当a<0时,由 (fx)>0得x<3a或x>-a,f(x)的增区间为 (-∞,3a),(-a,+∞),由题意得区间(1,2)是(-a,+∞)的一个子集,则得:-1≤a<0; 综上:a的取值范围是[-1,1 /3] 注:本题研究的对象是参数a,由f′(x)≥0不好分离参数,则根据f′(x)=0的两根-a与3a的大小关系分类,求出增区间,利用 (1,2)是f(x)的增区间的一个子集解决问题。在a的每一种情形中,x的范围(1,2)没有变化,因而这是一个分类讨论问题,参数a的取值范围是三种情形结果的并集。当然此题也可由f′(x)≥0在 (1,2)恒成立,用二次函数的图象解决。 二、对自变量的分段讨论 用分离参数的方法研究含参问题中参数的取值范围时,若在分离参数的过程中要对参数的系数进行讨论,即要把自变量的范围分割成几个小范围进行求解时,则应对自变量采取分段讨论的方式,其参数的结果应取每段结果的交集。 例3.若函数在[-1,2]上为增函数,求a的取值范围。 注:本题中分离参数时由于参数的系数x的符号无法确定,因而要对x的范围进行分割处理,所以本题要对x进行分段讨论。其参数的范围是各段参数范围的交集。 例4.已知f(x)=sinx-ax在x∈[0,π/2]上的最小值为0,求a的取值范围。 注:由于参数a的系数x的符号无法确定,则要对x进行分段讨论:分为{0}和(0,2/π]。其结果为两段上结果的交集。 三、分类讨论与分段讨论的区别与联系 含参的函数问题中,不论研究对象是参数还是自变量,若以研究对象作为主体进行讨论时,则是分类讨论,其结论为各类结论的并集;若研究对象不动,以另一个对象为主体进行讨论时,则是分段讨论,其结论为各段结论的并集。以研究对象作为主体进行讨论其实是对研究对象自己进行分段讨论;研究对象不动,以另一个对象为主体进行讨论时,其实是对另一对象进行分类讨论。这两种分类方法实际上是解决问题的两种不同的思维途径,它们之间是可以相互转化的,如解决含参问题中求参数的范围时,既可对参数分类讨论,也可对自变量进行分段讨论。 例3.另解:函数在[-1,2]上为增函数,等价于f′(x)=x2-ax+1≥0在[-1,2]上恒成立。由于f′(x)=x2-ax+1经过点(0,1),对称轴为x=a/2 综上:a的取值范围为[-2,2]。 注:此种方法结合二次函数的图象与x轴的交点个数和对称轴的位置进行分类,实际是在对参数a进行分类讨论,其结果取各类结果的并集。但这种方法很容易由于考虑不周全而漏解。 例4.另解:由于f′(x)=cosx-a (1)当a≤0时,有f′(x)≥0恒成立,则f(x)在[0,π/2 ]上递增,因而fmin(x)=f(0)=0,符合题意; (3)当a≥1时,有f′(x)≤0恒成立,则f(x)在[0,π/2 ]上递减,因而fmin(x)=f(π/2 )=1-(π/2)a<0,不符合题意,舍去。 综上:a的取值范围是(-∞,π ]。 注:本题通过a与cosx的大小比较进行分类:由于x∈[0, π/2],则cosx∈[0,1],因而a分成a≤0、0<a<1和a≥1三类进行讨论,整合的结果取每一类结果的并集。 在解决某些数学问题时，因为在条件或结论中存在一些不确定的因素，解答无法用同一的方法或结论不能给出统一的表述，但就其解题方法及转化手段而言都是类似的，此时可以根据数学对象本质属性的异同和题目的特点、要求，选择恰当的标准加以分类，逐一研究解决.分类的要求有两个，其一，分类标准统一，其二，分类要不重不漏. 分类讨论是一种重要的数学思想方法，能培养学生思维的逻辑性、探究性以及归纳的条理性、完整性，它渗透于数学的各个分支，在中考试题中占有重要的位置.平方根，绝对值的概念，两圆相切的位置关系，三角形的形状，角的大小范围等等常常是分类的出发点. 例1 （2011 浙江）某计算程序编辑如图1所示，当输入x＝ 时，输出的y=3. 图1 分析 分别计算当x≥3、x<3时，x-3=3、3x+5=3相应的x的值即可. 分别解得x=12或-23. 例2 函数y＝-1|x|图象的大致形状是 （ ） 分析 对于这个函数同学们是陌生的.先考虑定义域，由x非零，排除C选项；再从x＞0,x<0两种情况都可以判断y的值为负数，答案选D. 图2 例3 （2011福建厦门）如图2，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似. 分析 由图上格点可知AD=1，AB=3，AC=62.要求以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，就要分两种情形：△ADE∽△ABC，△ADE∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值有两个：22,24. 点评 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是注意结合图形进行分类讨论. 图3 例4 (2011四川德阳改编)如图3，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(0，b)，如果将线段AB绕点B旋转90°至CB，那么点C的坐标是 . 分析 有两种情形：（1） AB绕点B顺时针旋转.此时，过点C作y轴的垂线，D为垂足，根据三角形全等可以知道：CD=b,BD=a,OD=b-a，则点C的坐标为(-b，b-a)；（2） AB绕点B逆时针旋转，同理可得点C的坐标为(b,a+b). 点评 本题考查了旋转三要素.如果本题改为：以AB为一边作正方形，求其他两个点的坐标.请同学们不妨自己试一试. 例5 已知实数x满足x2+1x2=7，求3x2+x+32x的值. 分析 将x2+1x2=7左边配方，x2+1x2+2=7+2，得x+1x2=9，从而x+1x=±3，将3x2+x+32x变形得32x+1x+12，整体代入求得5或-4. 点评 本题考查开平方的意义、代数式的变形化简以及整体代换的方法，不能漏解. 例6 (2011 北京)已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数. （1） 求k的值； （2） 当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式； （3） 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象求出当直线y=12x+b（b 分析 从一元二次方程根的判别式入手，得到k≤3，正整数k的值有1,2,3.然后分别检验方程是否有两个非零的整数根，得到新的函数图象后，把图形的位置变化转化为对字母b计算，此时图象有公共点的情况不唯一，可分类讨论. 解答 （1） 由题意，得Δ=16-8(k-1)≥0，∴ k≤3. ∵ k为正整数，∴ k=1，2，3. （2） 当k=1时，方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零； 当k=2时，方程2x2+4x+k-1=0无整数根； 当k=3时，方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根. 综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去，k=3符合题意. 当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6. 图4 （3） 设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A(-3，0)，B(1，0).依题意翻折后图象如图4所示.当直线y=12x+b经过A点时，可得b=32；当直线y=12x+b经过B点时，可得b=-12. 由图象可知，符合题意的b(b<3)的取值范围为-12 点评 本题中因为b值不确定，所以直线y=12x+b表示无数条互相平行的直线，通过平移直线找到与翻折后图象的公共点的不同情形.此题若改成：讨论直线y=m与新图象的公共点的个数，你能给出完整答案吗？ 拓展训练 若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为 . 分析 可设上、下底长分别为x,y(x h2+x2=92，h2+y2=112，两式相减得y2-x2=112-92=40， 进而(y+x)(y-x)=40. ∵ 上、下两底长都是整数， 一、反函数的概念 (一) 定义反函数 设y=f (x) 表示y是自变量x的函数, 它的定义域为A, 值域为B, 从式子y=f (x) 中解出x, 得到式子x=g (y) , 若对于y在B中的任何一个值, 通过x=g (y) , x在A中都有且只有唯一的值和它对应, 那么, x=g (y) 就表示y是自变量, x是自变量y的函数, 这样的函数x=g (y) (y∈B) 就叫做函数y=f (x) (x∈A) 的反函数, 记作x=f-1 (y) , 在函数x=f-1 (y) 中, y是自变量, x表示函数, 但习惯上我们用x表示自变量, y表示函数, 所以我们通常将x=f-1 (y) 中的x, y对调, 把它改写成y=f-1 (x) . (二) 反函数概念的理解 1.反函数本身也是一个函数.反函数必须因原函数的存在而存在. 2.并不是所有的函数都有反函数.对于一个给定的函数, 只有当自变量x与函数值y之间的关系是一对一的时候 (即一一映射) , y=f (x) 才有反函数存在.如果函数y=f (x) 是在定义域上的单调函数, 那么f (x) 一定有反函数. 3.函数与其反函数互为反函数. 二、反函数的性质 (一) 图像对称性 互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称. 如果y=f (x) 与y=f-1 (x) 互为反函数, 那么原函数y=f (x) 上的任意点M (a, b) 必须对应其反函数图像上的点M′ (b, a) , 反之亦然.因为M (a, b) 与M′ (b, a) 关于直线y=x对称. (二) 三反性 定义域、值域相反, 对应法则互逆.即原函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域, 反过来也成立. (三) 单调性相同 互为反函数的两个函数在它们各自的定义域内具有相同的单调性.但必须明确的是:具有单调性 (严格增加或减少) 的函数必有反函数, 其反函数也是单调的 (严格增加或减少) , 但是有反函数的函数不一定是单调的.单调函数必有反函数, 非单调函数不一定没有反函数. 奇函数不一定存在反函数, 奇函数若存在反函数, 则它的反函数也是奇函数.对偶函数而言, 一般情况下偶函数不存在反函数. (四) 三定性 原函数一旦确定, 反函数即确定.如果一个函数存在反函数, 那么其反函数的定义域、值域和解析式因原函数而确定. 反函数的性质是我们在对其概念全面理解后对反函数的更进一步的认识. 三、反函数的应用 我们要理解并熟练掌握反函数的性质和求法, 并且在实际的应用问题中能灵活地应用它们进行疑难问题的解答, 同时, 这些性质的应用也是我们解决相关问题的最便捷的方法.下面我们就反函数的性质举例分析. (一) 求反函数的解析式 求函数y=f (x) 的反函数的步骤: (1) 判断原函数y=f (x) 是否存在反函数. (2) 求y=f (x) 的值域, 即为其反函数的定义域. (3) 解出x.把y=f (x) 看作关于x的方程, 解出x. (4) 依习惯交换x, y的位置, 并注明反函数的定义域. 一般地, 第 (1) 个步骤可以略去不考虑, 因为题目要求的反函数如果不存在, 那么这道题也就没有意义和价值了. 例1 求函数undefined, 且x≠1) 的反函数. 解 由函数解得undefined ∴函数的反函数是undefined, 且x≠2) . (二) 求反函数的定义域 例2 设undefined, 求其反函数的定义域. undefined (三) 求 值 例3 设f (x) =lg (x2-3) -lg (3x+1) , 求f-1 (0) . 解 令f (x) =0, 得x=-1或x=4.经检验x=4符合题意, ∴f-1 (0) =4. 例4 已知undefined的反函数undefined, 求a, b, c的值. 分析 由f (x) 求出反函数, 可列出等式, 根据对应项系数相等, 求得a=3, b=5, c=-2. 四、小 结 总而言之, 熟练地掌握并应用反函数的性质解答相关的问题, 不仅可以让解题过程变得简捷明了, 而且在解答过程中也省去了不少复杂的化简时间, 同时也为我们提高了解题的准确率, 许多疑难问题因此迎刃而解. 摘要：反函数及其性质问题在数学应用中十分关键, 是解题过程的灵魂, 同时, 也是我们学习中不可或缺的知识结构.本文通过对反函数的概念、性质的初步探讨, 以及对反函数求解过程及其意义的介绍, 从而利用反函数解答一些实际问题, 可以让问题简化, 让解题过程精确明了. 关键词：反函数,性质,应用 参考文献 [1]李长明, 周焕山.初等数学研究.北京:高等教育出版社, 1995 (1) :156. [2]毕志刚.关于“反函数”教学中几个问题的探讨.内蒙古:呼伦贝尔学院学报, 2005 (4) :106, 116. [3]饶汉昌.全日制普通高级中学教科书 (必修) .数学第一册 (上) .北京:人民教育出版社, 2003 (1) :60～63. 一、一元函数极值的第一充分条件 定理1设函数f(x)在点x0连续,在x0点的某个空心邻域内可导. (1)如果当x < x0时,f'(x) > 0;当x > x0时,f'(x) < 0,那么x0是极大值点,f(x0)是函数f(x)的极大值. (2)如果当x < x0时,f'(x) < 0;当x > x0时,f'(x) > 0,那么x0是极小值点,f(x0)是函数f(x) 的极小值. (3)如果在点x0的左右两侧,f'(x) 同号,那么x0不是极值点,函数f(x)在点x0处没有极值. 问题1若函数f(x)在点x0不连续,其他条件不变,那结论是否成立? x = 0是不是函数y = f( x) 的极点? 结论是显然:x = 0不是函数y = f(x)的极点. 一般的函数f(x)在点x0不连续有定义,在x0点的某个空心邻域内可导,则函数在间断点处取得极值情况: 二、一元函数极值的第二充分条件 定理2设函数f(x)在x0点的某个空心邻域内具有一阶和二阶导数, 且 f'(x0) = 0,f″(x)≠0,则 (1)如果f″(x0) < 0,则f(x)在点x0取得极大值; (2)如果f″(x0) > 0,则f(x)在点x0取得极小值. 问题2函数f(x)在x0点的某个空心邻域内具有一阶和二阶导数且f'(x0) = 0,f″(x0) = 0,则x0是不是函数f(x)的极点? 例3 ( 1) x = 0是不是y = 2x3+ 3的极点? ( 2) x = 0是不是y = - 2x4+ 1的极点? 显然这两个函数在x = 0处的某个空心邻域内具有一阶和二阶导数,都有f' (0) = 0,f″(0) = 0,但x = 0是y =- 2x4+ 1的极点,x = 0不是y = 2x3+ 3的极点. 那么在“问题2”的条件下,函数f(x)满足什么条件x0才是极点? 定理3设函数f(x) 在x0的某一个邻域内存在直到n - 1阶的导数,且在x0处n阶可导,且f'(x0) = f″(x0) =f''( x0) = … = f(n - 1)(x0) = 0,f(n)(x0)≠0,则当 (1) n为偶数时,f(x)在x0处取得极值,且当f(n)(x0) <0时,f(x)在x0取得极大值;当f(n)(x0) > 0时,f(x)在x0处取得极小值. (2)当n为奇数时,f(x)在x0处不取极值. 证明 (1)由泰勒公式和已知条件可得 同理可证:当n为奇数时,当f(n)(x0) > 0时,f(x)在x0处不取极值. 注意: 函数f(x)在x0点的某个空心邻域内具有一阶和二阶导数且f' (x0) = 0,若f″( x0) 不存在,则x0不一定是极点. 1. 课本知识再现 教科书(以人教版为例)对函数值域问题的相关描述是：(1)在定义函数后给出了函数值域的定义和表示方法;(2)罗列出了基本初等函数(如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数)的值域，并没有具体说明如何去求这些函数的值域，这无形中给学生的学习带来了很大的困难(学生感觉对函数求值域问题无例可参，无法可依)，同时又给教师的教学提供了更广阔的空间，于是求解函数值域问题的各种方法和技巧应运而生。 2.函数值域的求法 函数的表示方法有列表法、图像法、解析法, 下面分别介绍在这三种情况下如何求函数的值域。 2.1列表法给出的函数, 其值域就是表格中相应y取值的集合。 2.2图像法给出的函数, 其值域就是函数图像在y轴上的正投影覆盖y轴的部分。 2.3解析法给出的函数, 就要根据函数解析式的不同结构, 灵活地选择方法求其值域, 值得注意的是这往往是多种方法的综合, 并不是某一种方法就能解决的问题。 2.3.1对于简单的一次整式型函数, 可以结合其定义域进行观察、分析, 直接得出函数的值域。如果求这类函数在某区间内的值域, 有时可以采用单调性法 (若该函数在此区间内单调) , 如函数f (x) =2x+3在 (-1, 3) 的值域就可由f (-1) 2.3.2二次函数求值域, 一般采用配方法, 其关键在于将函数的解析式正确地化成完全平方式, 但要特别注意二次函数在R上的值域和它在某区间内的值域是不同的。如二次函数f (x) =x2-2x+3= (x-1) 2+2≥2, 其值域为[2, +∞) (这里隐含x∈R) , 而函数f (x) =x2-2x+3 (-1 2.3.3分式型函数求值域大致可分为以下几类。 2.3.3.1函数解析式的分子和分母都是x的一次式 (如函数若原函数的值域不易直接求解, 可以考虑求其反函数的定义域, 根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点, 确定原函数的值域, 可采用反函数法, 也可用分离常数法。 2.3.6数形结合法。如果函数的解析式有较明显的几何意义, 可借助几何法求函数的值域, 形如可以联想两点 (x, y) 与 (x1, y1) 的连线的斜率;由可联想两点 (x, y) 与 (x1, y1) 的距离。 2.3.7导数法。通过导数可求函数在一个闭区间上的最大值和最小值, 即得出函数的值域。此法主要用于高次函数或不同的基本初等函数构成的较复杂函数的值域。课本中有较详尽的介绍, 这里不再赘述。 摘要：函数的值域取决于函数的定义域和对应法则, 求函数的值域涉及各种数学思想方法和代数式的变形技巧等, 具有一定的灵活性。本文就中学阶段出现的各种函数值域问题进行分类研究。 关键词：函数,值域,方法,技巧 参考文献 [1]人民教育出版社数学室编著.全日制普通高级中学教科书.数学必修.北京:人民教育出版社, 2006, 11. 一、代数类分类讨论 例1 若,且a>b,求a+b的值. 【解析】∵,∴a=±3. ∵,∴b=±5.又∵a>b,∴a+b的值有以下两种情况:当a=3 ,b=-5时 ,a+b=-2;当a=-3,b=-5时 ,a+b=-8. 故a+b的值为-2或-8. 【点评】本题解决的关键在于“绝对值”化简. 根据“互为相反数的两个数的绝对值相等”可知:a=±3,b=±5,再由a>b筛选出符合条件的两种情况,求出a+b的值. 例2 (2010·盐城)已知:函数y=ax2+x+1的图像与x轴只有一个公共点. (1)求这个函数关系式;(2)(3)略. 【解析】当a=0时,y=x+1,图像与x轴只有一个公共点; 当a≠0时,△=12-4a×1=0,解得a=1/4, 图像与x轴只有一个公共点. ∴函数的解析式为:y=x+1或y=1/4x2+x+1. 【点评】本题解答中的常见错误是漏掉“y=x+1”. 题目中没有说明所求函数是哪种函数,因此对于二次项系数a要进行分类讨论,即分a=0(一次函数)和a≠0(二次函数)两种情况. 例3 (2013·本溪)某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜,经销商一次性采购蔬菜的单价y(元/千克)与采购量x(千克)之间的函数关系图像如图1中折线AB—BC—CD所示(不包括端点A). (1)当100<x<200时,直接写出y与x之间的函数关系式. (2)蔬菜的种植成本为2元/千克,某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克,当采购量是多少时,蔬菜种植基地获利最大,最大利润是多少元? (3)略. 【解析】(1) 利用待定系数法求出当100 <x <200时 ,y与x之间的函数关系式为y=-0.02x+8; (2) 设采购量是x千克时 ,蔬菜种植基地获利W元. 当0<x≤100时,W=(6-2)x=4x,当x=100时,W有最大值为400元;当100<x≤200时,W=(y-2)x=(-0.02x+6)x=-0.02(x-150)2+450,当x=150时,W有最大值为450元.综上所述,一次性采购量为150千克时,蔬菜种植基地能获得最大利润为450元. 【点评】本题第(2)问的解决需要建立函数模型求解最大利润. 由于在0<x≤100和100<x≤200两个范围里函数的表达式不相同,所以要先根据自变量的取值范围分段建立函数表达式,然后再求解最值. 二、几何类分类讨论 例4 (2013·钦州)等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( ). A. 80°B. 80°或20° C. 80°或50°D. 20° 【解析】当80°角是顶角时,三角形的顶角为80°;当80°角是底角时,顶角为180°80°×2=20°. 综上所述 ,该等腰三角形顶角的度数为80°或20°. 故选B. 【点评】题目中给定的“80°角”无法确定是顶角还是底角,所以需要分“80°角是顶角”、“80°角是底角”两种情形分类讨论在解决等腰三角形的这类问题时,首先要关注条件中给定的角是顶角还是底角,给定的边是腰还是底边. 如果不确定, 就需要分类讨论. 例5 (2013·上海)如图2,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°. (1)求这条抛物线的表达式; (2)连接OM,求∠AOM的大小; (3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标. 【点评】此题的第(3)问是典型的相似三角形的分类讨论问题,由于两个相似三角形的对应顶点不确定,故需要根据顶点的对应顺序进行分类讨论. 例6已知:弦,⊙O的半径为2. 求∠BAC的度数. 【解析】过O点作OE⊥AB,垂足为E,作OF⊥AC,垂足为F,连接OA. 由垂径定理,得.在Rt△AEO中,, ∠EAO =45° ; 在 Rt △AFO 中 ,,∠FAO=30°. 如图4 , 当圆心O在∠BAC的内部时 , ∠BAC =∠EAO+∠FAO=75°;如图5,当圆心O在∠BAC的外部时,∠BAC=∠EAO-∠FAO=15°. 故∠BAC度数为75°或15°. 【点评】本题由于弦AB、CD与圆心O的相对位置不确定,造成了∠BAC的表示有两种情形:∠BAC=∠BAO+∠CAO或∠BAC=∠BAO-∠CAO. 值得提醒 的是 :本题中∠BAO、∠CAO的大小还可以通过“直径所对的圆周角为直角”构造直角三角形,再利用锐角三角函数求解. 三、综合类分类讨论 例7 (2012·桂林)如图6,在边长为4的正方形ABCD中,动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动. 设P点运动的时间为t,△APQ的面积为S,则S与t的函数关系的图像是( ). 【解析】当0≤t≤2时,点P在AB上,点Q在BC上,;当2<t≤4时,点P在AB上,点Q在CD上,t. 故选D. 【点评】本题是运动中的分类讨论问题. 在运动型问题中,随着图形位置的变化,图形的形状、大小往往也随之变化. 解题的关键在于能够根据题意准确画出相应的图形,并抓住运动中的临界位置进行正确分类求解. 例8 (2013·湛江)如图7,在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B、C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5). (1)求此抛物线的解析式; (2)略; (3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1) 利用待定系数法求得抛物线的解析式为:y=-(x-3)2+4或y=-x2+6x-5. (3) 存在. 分别过点C和A作CP1⊥AC于点C,AP2⊥AC于点A,交抛物线于点P1,P2,∴P1点的坐标 为 (t,5-t), 于是5 -t =-t2+6t-5,解得t=2,t=5(舍去 ),∴P1点的坐标为(2,3); 同理可求得P2(7,-12). 综上所述P的坐标为(2,3)或(7,-12). 【点评】本题的第(3)问中,直角三角形的直角顶点具有不确定性,所以需要分两种情形来讨论,即分别以C为直角顶点和以A为直角顶点展开探究. 【例1】 有三个非零实数a、b、c，则 分析：该题的解题思路为：一是为什么讨论.因为存在绝对值无法达到化简的情况；二是如何讨论.根据绝对值的定义以及分式的分母不能为零，确定0是讨论的分界点；三是展示讨论的过程.因为有四个绝对值的存在，所以要做到不重不漏. 解答：若a，b，c都为正数时，m=4；若a，b，c中有两个为正数时，m=0；若a，b，c中有一个为正数时，m=0；若a，b，c都为负数时，m=-4. 因此，所求的集合是{-4，0，4}.endprint 分类讨论作为一种重要的思想方法，是各地近年来中、高考命题的热点.在解题中，正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大地简化，达到化繁为简、化难为易、分而治之的目的.在运用分类讨论思想解决问题时，基本思路是：出现什么问题了，即为什么讨论（Why）；讨论的标准如何准确确定，即如何讨论（How）；展示讨论的完整步骤，即讨论的过程是什么（What），笔者称之为分类讨论“三部曲”.下面笔者通过具体例子阐述如何运用“三部曲”去解决分类讨论问题. 【例1】 有三个非零实数a、b、c，则 分析：该题的解题思路为：一是为什么讨论.因为存在绝对值无法达到化简的情况；二是如何讨论.根据绝对值的定义以及分式的分母不能为零，确定0是讨论的分界点；三是展示讨论的过程.因为有四个绝对值的存在，所以要做到不重不漏. 解答：若a，b，c都为正数时，m=4；若a，b，c中有两个为正数时，m=0；若a，b，c中有一个为正数时，m=0；若a，b，c都为负数时，m=-4. 因此，所求的集合是{-4，0，4}.endprint 分类讨论作为一种重要的思想方法，是各地近年来中、高考命题的热点.在解题中，正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大地简化，达到化繁为简、化难为易、分而治之的目的.在运用分类讨论思想解决问题时，基本思路是：出现什么问题了，即为什么讨论（Why）；讨论的标准如何准确确定，即如何讨论（How）；展示讨论的完整步骤，即讨论的过程是什么（What），笔者称之为分类讨论“三部曲”.下面笔者通过具体例子阐述如何运用“三部曲”去解决分类讨论问题. 【例1】 有三个非零实数a、b、c，则 分析：该题的解题思路为：一是为什么讨论.因为存在绝对值无法达到化简的情况；二是如何讨论.根据绝对值的定义以及分式的分母不能为零，确定0是讨论的分界点；三是展示讨论的过程.因为有四个绝对值的存在，所以要做到不重不漏. 解答：若a，b，c都为正数时，m=4；若a，b，c中有两个为正数时，m=0；若a，b，c中有一个为正数时，m=0；若a，b，c都为负数时，m=-4. 用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：(1)先明确要讨论的对象及讨论对象的取值范围；(2)正确选择分类的标准，进行合理分类；(3)逐类讨论解决；(4)归纳并给出结论。引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面： 一、涉及的数学概念是分类定义的 例：比较3a与-3a的大小。 分析：这两个数的大小同a符号有关系。 讨论对象为a,a的取值范围分三种情况。 解：当a是正数时，3a是正数，-3a是负数，3a>-3a； 当a是0时，3a是0,-3a也是0,3a=-3a; 当a是负数时，3a是负数，-3a是正数，3a<-3a。 二、运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的 例：已知实数a,b满足的值。 分析：因为a·b>0，所以a,b同号，即同正数或者同负数。去掉二次根号时，要根据二次根式的性质。 这里讨论的对象是a,b，讨论范围是a,b的符号 三、由已知条件不明确而引起的讨论 例：在Rt△ABC中，∠C=900,AC=5,BC=12.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是＿＿＿＿＿。 分析：题目中只说有一个公共点，可以是相切，也可以是相交。这里讨论的对象是圆的半径，讨论的范围：从到12。 解：当r=时，圆与斜边相切，即圆与斜边只有1个公共点； 当时，圆与斜边相交，即圆与斜边有2个公共点； 当5<r≤12时，圆与斜边相交，即圆与斜边只有1个公共点； 所以当或5<r≤12时，圆与斜边只有1个公共点。 四、数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的 例：已知关于x的函数y=ax2+5x-1(a为常数），若函数的图象与x轴恰好有一个交点，求a的值。 分析：讨论对象为a，当a取不同的值，函数类型也不同。有两种情形：一次函数或者是二次函数，所以要分类。 解：1.此函数是一次函数时，a=0，求得与轴的交点为（0.2,0）。 2.当此函数是二次函数时，a≠0，Δ=25+4a2525 Δ=0，即时，有一个交点 综上所述，a=0.2或 五、由解决问题所需要的限制条件所引起的分类讨论 例：关于a的分式方程无解，求a的值。 分析：当分母为0时，分式方程无解；当一次项系数为0时，一元一次方程无解，所以原分式方程也无解。 解：去分母，得（x-a)(x-1)-2x=x(x-1)整理，得（a+2)x=a 当a+2=0时，即a=-2时，新方程无解，所以原方程也无解； 当x=0时，原方程无解，此时a=0; 当x=1时，原方程无解， 综上所述，当a的值为0或-2时，原分式方程无解。 六、由动点问题引起的分类讨论 例：如上图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16,DC=12,AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为t秒。 1.设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。 2.当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？ 解：1.如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PD-CM为矩形，∴PM=DC=12 2.由图可知，CM=PD=2,CQ=t，若以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： (1)由图可知，PQ=BQ 在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2，得t2+122=(16-t)2，解得 (2)若PQ=BQ．在Rt△PMB中， BP2=(16-t)2+122，由BQ2=BQ2，得（16-2t)2+122=(16-t)2 即3t2-32t+144=0，∵△=-704<0, ∴解得无解3t2-32t+144=0无解，∴BP≠BQ。 (3)若PB=PQ．在Rt△PMB中，由BP2=QP2，得t2+122=(16-2t)2，解得（不合题意，舍去）。 所以，当秒时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形。 综上所述，分类讨论思想在中学数学教育中是非常实用的。只要学生掌握方法和技巧，许多问题就不会漏解、少解。要重方法，而不要重题海。教师在平时的教学中要善于引导和鼓励学生经常运用分类讨论思想。善于运用分类讨论思想的同学，将能解决更多的数学问题，有利于提高对学习数学的兴趣，同时还能培养思维的条理性、缜密性、科学性。这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和重要的影响。 摘要：分类讨论思想方法是一种重要的解题策略。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性,将其区分为不同的种类的思想方法,其作用是克服思维的片面性,防止漏解。要注意在分类时,必须按同一标准分类,做到不重不漏。 关键词：分类讨论,数学思维,解决问题 参考文献 [1]刁卫东.如何运用分类讨论思想解题[J].中学数学,1997,(5). [2]王燕春.学会分类方法,提高分类意识[J].中学生数学,1998,(5).函数分类讨论 第3篇
分类讨论 第4篇
关于反函数问题的讨论 第5篇
一元函数极值充分条件的讨论 第6篇
函数值域求法分类导析 第7篇
分类讨论思想 第8篇
分类讨论“三部曲” 第9篇
谈谈分类讨论思想 第10篇
