不定积分的解题技巧（精选7篇）
不定积分的解题技巧 第1篇
当我们运用这个公式时,首先要选出u及v'来,即把被积函数视为两个函数之积,按“反函数→对数函数→幂函数→指数函数→三角函数”,即“反对幂指三”的顺序,前者为u,后者为v',下面举例说明此技巧的应用.
解因x是幂函数,cosx是三角函数,故我们选u=x,v'=cosx,应用分部积分公式可得
解因x是幂函数,ex是指数函数,故我们选u=x,v'=ex,应用分部积分公式可得
例3∫xlnxdx幂·对数
解因x是幂函数,lnx是指数函数,故我们选u=lnx,v'=x,应用分部积分公式可得
例4∫xarctanxdx幂·反三角
解因x是幂函数,arctanx是反三角函数,故我们选u=arctanx,v'=x,应用分部积分公式可得
例5∫exsinxdx指数·三角
解因ex是指数函数,sinx是三角函数,故我们选u=ex,v'=sinx,应用分部积分公式可得
对于∫excosxdx我们选u=ex,v'=cosx,再次使用分部积分公式可得
注:也可设u为三角函数,v'=ex,但两次分部积分所设类型必须一致.
对于∫excosxdx我们选u=cosx,v'=ex,再次使用分部积分公式可得
解我们选u=arctanex,v'=e-x,应用分部积分公式可得
我们选u=ln(1+ex),v'=1ex,应用分部积分公式可得
摘要：在求函数的不定积分时常常要用到分部积分公式,本文就使用分布积分公式的常见函数和分布积分公式的使用技巧进行详细的阐述,并用具体的例子说明其用法.
关键词：分部积分
参考文献
[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].第3版.北京:高等教育出版社,1997.
[2]范玉军.高等数学(上册)(工科类专业)[M].北京:人民邮电出版社,2011.
细节理解题的解题技巧 第2篇
一、常见设问形式
1.Which of the following is NOT included/mentioned in the passage？
2.Which of the following （sentences/statements） is NOT true according to the passage？
3.According to the passage，all of the following are TRUE except/but____________.
4.The author mentions all of the following EXCEPT____________.
5.In the passage，the author states that____________.
6.According to the passage，when （where，why，how，who，etc...？
二、常见题型
描写类细节题;数据计算题;排序题;信息寻找题;图文转换题;表格理解题。
三、设题方式
1.语意转换。细节理解题设题时为了避免出现原文中所用的词汇，常常使用一些同义词、近义词或反义词（双重否定）。因而在解题时要注意语意转换。
2.设题顺序。一般来说，题序与其相关信息在文中的顺序一致，如某题的答案信息往往会在下一小题的答案信息之前。
3.设题干扰项。
①正误并存：部分正确，部分错误。
②扩大或缩小范围：是原文信息，但不是题干要求。
③偷换概念：符合常识，但不是文章的内容。
④以偏概全：与原句的内容极其相似，但在程度、态度、褒贬色彩上有变动。
⑤无中生有：明显不是文章的信息，与文章事实不符或相反。
四、解题技巧
1.迅速定位，缩小范围。通过寻读法（scanning），用题干中的关键词在文中搜索，迅速确定相关词句或信息点所在的位置，缩小阅读范围。
2.理解其意，对照选项。在找到关键词句后，要仔细阅读，准确理解，对照选项，看哪个选项的意思与之最接近。
3.排除干扰，选出答案。在作出选择的过程中，要善于辨别真伪，排除干扰，缩小范围，选出正确答案。
注意 如果题干中含有否定意义的词，如NOT，EXCEPT等，应特别留心;在解答排序题时，可采用“首尾定位法”，即先找到第一个动作和最后一个动作，缩小范围以便能迅速选出正确答案。
例1 Born in 1907 in a village near Mexico City， Kahlo suffered from polio （小儿麻痹症） at the age of seven. Her spine （脊柱） became bent as she grew older. Then， in 1925， her back was broken in several places in a schoolbus accident. Throughout the rest of her life， the artist had many operations， but nothing was able to cure the terrible pain in her back. However， the accident had an unexpected side effect. While lying in her bed recovering， Kahlo taught herself to paint.
In 1929， she got married to Diego Rivera， another famous Mexican artist. Rivera’s strong influence on Kahlo’s style can be seen in her early works，but her later works from the 1940s，known today as her best works， show less influence from her husband.
1.The terrible pain Kahlo suffered was caused by____________.
A.polio B.her bent spine
C.back injuries D.the operation she had
解析 C。事实细节题。根据第二段her back was broken in several places in a schoolbus accident...but nothing was able to cure the terrible pain in her back可知。
2.Kahlo’s style had become increasingly independent since the____________.
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A.1930s B.1940s C.1950s D.1970s
解析 B。事实细节题。根据第三段but her later works from the 1940s，known today as her best works， show less influence from her husband可知。
例2 It’s everywhere. Indoors，advertising is in magazines and newspapers，on television，and even popping up on computer screens， outdoors，advertising means billboards. They are in train stations and on the sides of buildings. They are along highways in the countryside. Billboards were once large painted signs that urged customers to buy anything from fried chicken to dish soap. Nowadays billboards are high-tech devices that advertise the products of the modern world， from cellular phone service to perfume.
Billboards have changed along with technology. Originally painted directly onto wooden boards or the sides of buildings， billboards were first improved by attaching large printed vinyl strips to a structure to form an advertiser’s message. Later，mechanical billboards were developed which could display three different images. As one image changed to the next，the movement caught the eye of anyone passing by. More recently，electronic technology has produced backlit billboards which shine a light through an image printed on a sheet of plastic，and digital billboards that can display huge images similar to those on a television screen.
The latest trend in billboards is interactivity. In Belgium，a billboard that looked like a pinball machine had people on the street using text messaging to answer a question the billboard sent to their cell phones. If they answered correctly，they had a chance to win a new car. In Japan，some billboards feature QR （Quick Response） codes，a newer version of bar codes，which can be read by specially programmed camera cell phones. When a person takes a picture of a billboard with a QR code，the advertiser’s website appears on their phone. A billboard in New York’s Times Square lets people on the street play a video game using their cell phones，and a huge digital sign in London’s Piccadilly Circus responds when someone waves at it and displays different images depending on the weather.
Billboards do not always get a positive reaction，however. The large number of billboards along American highways led to the Highway Beautification Act of 1965. This group of laws aimed to preserve the scenic beauty of the countryside as well as the safety of people driving in cars by limiting the number and location of billboards. In Athens，Greece，city officials ordered the removal of hundreds of downtown billboards before the 2004 Olympic Games in an effort to restore the city’s historical beauty. Billboards may be a favourite of advertisers，but not everyone wants to look at them.
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1.Where will you probably not see a billboard？
A.On a building. B.In the countryside.
C.In a magazine. D.In a train station.
解析 C。事实细节题。由第一段中的They are in train stations and on the sides of buildings. They are along highways in the countryside.可知。
2.Which type of billboard is the oldest ？
A.A digital billboard.
B.A painted billboard.
C.A mechanical billboard.
D.A printed billboard.
解析 B。事实细节题。根据第二段Originally painted directly on to wooden boards...可知。
3.Which billboard could people without a cell phone interact with？
A.The one in Belgium.
B.The one in Japan.
C.The one in New York.
D.The one in London.
解析 D。事实细节题。第三段倒数第一句讲到在伦敦的Piccadilly Circus的一个巨大的数字符号，依靠天气产生相互作用。
4.Why were billboards in Athens removed before the 2004 Olympic Games？
A.The billboards were too old.
B.The billboards could not be removed during the games.
C.The advertisers did not want to support the games.
D.The government wanted downtown Athens to look better.
解析 D。事实细节题。最后一段倒数第二句restore the city’s historical beauty说明是政府希望雅典市中心看起来更好。
例3 Tuition Fees （学费）
Tuition fees are different from department to department，generally from $5，000 to $6，000 a year. For further information：tui@waikato.ac.nz.
Accommodation （住宿）
You can have a room in a 4bedroom flat，which will cost about $100 a month with other regular living costs of about $150 a month for one person. For further information：acc@waikato.ac.nz.
You have to pay at least____________a year if you study at the University of Waikato.
A.$5，250 B.$8，000
C.$9，000 D.$11，000
解析 B。数据计算题。本篇是介绍Waikato大学的广告。从Tuition Fees：Tuition fees are different from department to department，generally from $5，000 to $6，000 a year.和Accommodation：You can have a room in a 4bedroom flat， which will cost about $100 a month with other regular living costs of about$150 a month for one person.可知，在那儿学习一年的费用是：$5，000（学费）+$100（住宿费）×12（months）+$150（生活费）×12（months）=$8，000。
例4 People can use a home computer to make their shopping lists. Once at the store，a shopper can use a preferred customer card to start a system that will organize the trip around the store. If you’re looking for toothpicks，you type in the word or pick it from a list，and a map will appear on the screen showing where you are and where you can find them.
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The devices also keeps a record of what you buy. When you’ve finished，the device figures out your bill. Then you go to the checker or place your card into a self-checkout stand and pay.
Which of the following is the correct order of shopping with the computerized shopping card？
a.Start the system.
b.Make a shopping list.
c.Find the things you want.
d.Go to a self-checkout stand.
A.abdc B.bacd C.acbd D.bcad
解析 B。排序题。 由第一段第一句话可知第一件事是make a shopping list，到了商店后start the system，根据指引you can find them，最后去结账，故顺序为bacd。本题也可采用排除法，c和d是相邻且为先后的顺序，故排除A、C、D。本题还可结合自己的购物常识进行快速判断。
例5 Mothers，doctors and nurses alike have no idea of where a baby’s blood sugar level lies. All we know is that a low level is harmful to brain development and makes a baby easily annoyed. In this state， the baby is difficult to calm down and sleep is impossible. The baby asks for attention by crying and searching for food with its mouth.
According to the paragraph，one reason why a baby cries is that it feels____________.
A.sick B.upset C.sleepy D.hungry
解析 D。事实细节题。由该段最后一句The baby asks for attention by crying and searching for food with its mouth. 可知。hungry是searching for food的近义替换。
不定积分的解题技巧 第3篇
如何解题对于学好高等数学的重要性毋庸置疑, 定积分与二重积分的计算是高等数学的一个重点, 也是难点。而许多学生见到稍难一点的题目就无从下手, 不知如何思考, 这样就影响了学习的积极性。定积分作为积分学的基础, 在二重积分的计算中起着重要作用, 掌握起来也相对比较容易。本文总结出了一些定积分二重积分共有的计算技巧, 可以让学生在学好定积分的基础上掌握二重积分的计算技巧, 通过类比与推广, 达到巧妙解决一般的定积分与二重积分的计算问题。
1 利用几何意义计算积分值
定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和。二重积分的几何意义是曲顶柱体体积的代数和。故而如果定积分与二重积分是由面积或体积容易计算的图形围成的话, 可考虑用几何意义直接计算。
解:如y=sinx在区间上如图1所示
因为x轴上方图形面积与x轴下方图形面积相等,
解:被积函数f (x, y) =1-x-2y在区域D上如图2所示:
注:用几何意义解题的关键是画出图形, 进而用面积或体积等简化定积分与重积分的计算。
2 利用对称性计算积分值
2.1 若函数f (x) 是上的连续函数, 则
则f (x) 在-5π, 5≤上连续, 且f (x) =-f (-x) , 故而I=0。
分析:乍一看被积函数在形式上比较麻烦, 用通常的积分方法很难计算, 但是巧用对称性之后, 问题就自然解决了。
2.2 设函数f (x, y) 是区域D上的连续函数, , 且D1, D2无公共内点, 则
(1) 若D1与D2关于x轴对称
(2) 若D1与D2关于y轴对称
(3) 若D1与D2关于原点对称
解:区域D的图形如图3
积分域D1是由关于y轴对称的两部分区域组成, 且f (x, y) =-f (-x, y)
积分域D2是由关于x轴对称的两部分区域组成, 且f (x, y) =-f (x, -y)
分析:被积函数及积分区域都比较复杂, 若用通常方法题量较大, 用对称性后结论显而易见。
注:只有在积分域与被积函数都具有对称性时才可以利用对称性简化计算, 对于非奇非偶的被积函数, 不能用此性质。
3 利用换元法简化计算
3.1 牛顿—莱布尼兹公式给定积分的计算提供了一种有效的方法, 但它完全依赖于求被积函数的原函数, 但有时原函数是很难直接求出来的, 此时可采用定积分的换元法。
分析:此题中被积函数为f (x-1) , 不能直接应用题中条件, 用换元法后计算相对比较简单了。
3.2 二重积分计算的一般方法是将其化为两次单积分, 但当积分区域难于确定定积分限或者被积函数比较复杂时, 可以考虑应用换元法。
分析:在本题中被积函数的原函数难于确定, 故而可考虑采用换元法, 换元之后简单进行两次单积分就能得到结果。
注:在用换元发时需遵循的原则是:积分域分块要少, 积分限好确定, 被积函数的原函数好最好能够变量分离。
4 建议
定积分的通常计算方法是得到原函数, 再利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算;二重积分的一般计算步骤是: (1) 画出积分域; (2) 选择坐标系, 选择时要遵循i域边界应尽量多为坐标线ii被积函数关于坐标变量易分离; (3) 确定积分序, 需注意i积分域分块要少ii累次积分好算为妙; (4) 写出积分限, 方法有图示法和不等式法。在计算的时候要充分利用它们的几何意义, 对称性以及换元法来简化计算。二重积分的计算是以定积分的计算为基础, 只有会熟练的计算定积分, 并把定积分的基本计算技巧熟练地推广到二重积分才能更好的掌握二重积分的计算。通过以上介绍的几种方法能大大简化定积分和二重积分的计算。总之, 只要方法选得适当, 都能从容的应对它们的计算。
摘要：积分学是高等数学的主要分支。定积分与二重积分的概念和计算是积分学的重要组成部分, 其在在几何、物理、概率统计等方面有着重要应用。二重积分作为定积分的推广, 其二者有着共同的解题技巧, 包括利用几何意义、对称性、换元法来简化定积分与二重积分的计算。
关键词：定积分,二重积分,对称性,几何意义,换元法
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学 (下册) [M].北京:高等教育出版社, 2007:223-253.
[2]同济大学数学系.高等数学 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2007:129-156.
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 2001:695-708.
[4]复旦大学数学系.数学分析 (下册) [M].北京:高等教育出版社, 1983:144-224.
[5]辛春元.二重积分的计算方法[J].现代商贸工业, 2010, 15:376-377.
微积分在高中数学解题中的应用 第4篇
关键词：微积分,高中数学,应用
1 引言
随着中学新课程教学改革的不断深入, 高中数学内容与大学数学内容的衔接也越来越密切, 现在已经将大学数学看成是高中数学的延伸.近十几年来, 高中数学已经扩充了反三角函数和三角方程、数列极限、微积分、矩阵和行列式、向量、概率统计等内容。这些内容的扩充给高中数学教学带来了一定的难度, 同时给高中数学解题带来一定好处。笔者以微积分为例谈谈它在高中数学解题中的作用.
在高中数学所涉及的微积分内容不外乎就是导数和积分的内容。在解题过程中使用微分中值定理、函数的导数以及定积分能起到化繁为简、事半功倍的作用.
2 利用微分中值定理判别方程根的存在
一般地, 在高中数学解题中判别方程根存在的方法是根据根的判别式来讨论的, 而对于高次方程来说, 使用根的判别式来求解比较麻烦, 有时不易得出结论.如果使用微分中值定理则会化繁为简.
例1证明方程x3+3x2-5x-1=0在 (1, 2) 内至少有一个实根.
证明:设函数f (x) =x3+3x2-5x-1, 显然f (x) 在[1, 2]上连续, 因为f (1) =-2<0, f () 2=14>0, 由零根存在定理 (微分中值定理的内容, 下同) 可知, 至少存在一点xÎ1 (, ) 2使f (x) =0, 即f (x) =x3+3x2-5x-1=0, 所以, 方程x3+3x2-5x-1=0在 (1, 2) 内至少有一个实根.
例2[1]证明方程x5+x-1=0有且只有一个正根.
3 利用导数证明不等式与恒等式
笔者看过近几年湖南、湖北、浙江、贵州省的高考试题, 不等式和恒等式大概有10分左右的题目, 是每年必考的也是较难题目.证明不等式和恒等式的方法多种多样, 如比较法、分析法、综合法、反证法、缩放法、构造二次函数法1[]等, 这往往需要较高的技巧, 如果用函数的导数来证明, 则会起到事半功倍的作用.
4 利用导数的性质描绘函数的图像和判别函数的单调性及区间
利用一阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间上上升, 在哪个区间上下降, 在什么地方有极值点;利用二阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间上为凹, 在哪个区间上为凸, 在什么地方有拐点.由函数图形的升降、凹凸以及极值点和拐点等性质, 可以掌握函数的性态, 比较准确画出函数的图形.
例5求函数y=x3-x2-x+1单调区间, 画出它的图形.
5 导数在求极值、最值问题中的应用
由导数的几何意义求关于函数的极值和最值问题, 这也是近几年高考的一个热点.
例8]3[用铁皮做一个体积为686 3cm的正三棱柱形有盖箱子, 问底边边长a为多少时, 用料最省?并求出这时所用铁皮的面积 (焊缝、拼缝处所耗材料忽略不计) .
分析:在日常生活、生产实践中经常会这样的问题:在一定条件下, 如何使产品最多、用料最省、容积 (或体积) 最大、成本最低、利润最大、效率最高等问题, 这类问题在数学上可归结为求某一函数 (目标函数) 的最值问题。一般先设出自变量、因变量, 建立目标函数, 确定其定义域, 利用求函数的最值方法求解, 注意最后的结果要与实际情况相符合。
6 定积分在求平面图形的面积和旋转体的体积中的应用
定积分在求平面图形的面积和旋转体的体积中的应用, 不是高考中必考的题目, 但是要求学生掌握其解题的方法和步骤.
例9[4]有一条直线与抛物线y=x2相交于A、B两点, 线段AB与抛物线所围成图形的面积等于4/3, 求线段AB的中点P的轨迹方程.
分析: (1) 根据题意画出草图; (2) 联立曲线方程, 求出交点坐标, 得出积分区间; (3) 确定被积函数, 写出相应的被积表达式; (4) 计算结果.
7 结束语
微积分在高中数学解题问题中的应用除了以上几个方面外, 在其它如因式分解[5]、化简代数式、求值与求和、求等差数列、直线的解释式、平面曲线的弧长、变力做功、变速曲线运动的位置与路程等问题上也有广泛的运用.随着微积分等大学数学知识的下放, 不仅要求学生掌握它, 能灵活的运用它, 而且要求教师在传授知识点的同时, 准确地把握大学数学与高中数学的衔接关系以及当前高考的热点, 及时调整自己的教学大纲, 改进教学方法, 提高学生的解题能力。
参考文献
[1]王湘平、何春利.构造二次函数解不等式[J].陕西教育 (高教版) 2009 (1) :97-98.
[2]同济大学数学系编.高等数学 (上册, 第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007 (4) .
[3]况亦军等.多功能题典.高中数学 (第三版) [M].上海:华东师范大学出版社, 2007 (1) .
[4]马春华主编.高考完全解读:数学.理科[M].南宁:接力出版社, 2012 (3) .
微积分思想在物理解题中的应用例谈 第5篇
高中首次接触微积分思想是求匀变速直线运动的位移公式, 由于物体运动的速度随时间在不断变化, 所以不能直接求解。如何解决问题呢?把物体运动的时间无限细分。在每一小段时间微元内, 速度的变化量很小, 可以忽略这种微小变化, 认为物体在做匀速直线运动, 因此可根据s=vt位移求解。接下来把所有时间内的位移相加, 即“无限求和”, 则总的位移就可以知道。在v-t图中, 物体匀变速直线运动的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”, 即使用了微积分思想。再如求解变力做功问题, 也是使用了微积分思想, 思路类似, 不再赘述。若能把微积分思想应用在解决物理问题中, 则可能得到事半功倍的效果。下面结合例题, 谈一谈微积分思想在解题中的应用。
【例】 (2006江苏高考19) 如图所示, 顶角为45°的金属导轨MON固定在水平面内, 导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中.一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动, 导体棒的质量为m, 导轨与导体棒单位长度的电阻均为r, 导体棒与导轨接触点为a和b, 导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触.t=0时, 导体棒位于顶角O处.求:
(1) t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向.
(2) 导体棒做匀速直线运动时, 水平外力F的表达式.
(3) 导体棒在0-t时间内产生的焦耳热Q.
(4) 若在t0时刻将外力F撤去, 导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。
解析: (1) 0到t时间内, 导体棒的位移 x=v0t
t时刻, 导体棒的长度 l=x
导体棒的电动势 E=Blv0
回路总电阻
电流强度
电流方向 b→a
时刻导体棒的电功率
(4) 撤去外力, 设任意时刻t导体棒的坐标为x, 速度为v, 取很短时间Δt或很短距离Δx。
小结:本题第三问中注意到功率P与时间t成正比, 所以计算焦耳热时应采用平均功率代入计算。也可以仿照匀变速运动用v-t图求位移, 作出P-t图求解焦耳热。本题第四问求解撤力后导体棒最终在导轨上静止时的坐标x, 由于撤力后导体棒作变速运动, 所以在求解时也须想到利用微积分的思想解决问题。
不定积分的解题技巧 第6篇
1. 关于导数和导函数
定义在点x0的某邻域U( x0) 内的函数f( x) 在点x0处的导数,指的是当自变量x在x0处的改变量 Δx趋于0时, 函数f( x) 的改变量 Δy与 Δx的比Δy/Δx的极限存在,则称函数f( x) 在点x0处可导,并把这个极限值称作函数f( x) 在点x0处的导数,即f'( x0) . 如果函数f( x) 在某个区间内的每一点处都可导,则称函数f( x) 在该区间内可导,这时的导数叫做导函数,也简称为导数. 这里需要区分函数在某点处的导数和在某区间的导数,不能混为一谈. 应用导数的定义解题, 对于初学者来说往往是比较困难的,由于对导数的概念理解不透,往往出现一些错误. 下面通过一道习题来分析出现这些错误的原因.
例1设函数f( x) 在点x0处可导,求
由于 Δx是自变量x在x0处的增量,这个“增量”是广义的增量,实际上是自变量的改变量,因此可正可负,于是第一小题可变形为
至于第二小题,一些学生在作业中这样做:
这显然是不正确的. 由题设函数f( x) 在点x0处可导, 得不出这样的结果. 这样做既没有道理,也没有根据. 如果题设是f( x) 在任意点处可导,则按照导数的定义,结果应该是2f'( x0- h) ,它和2f'( x0) 是不相等的. 如果题设没有说在任意点可导,也求不出第二个小题中的极限等于2f'( x0-h) . 正确的方法应该是:
同样的道理,当a,b为常数,Δx→0时,aΔx,bΔx都是自变量的改变量,按照导数的定义,第三小题的正确解法为:
如果函数f( x) 在任意点处可导,则按照导数的定义,结果应该是( a + b) f'( x0- bΔx) 而非( a + b) f'(x0) .
第二、第三两小题出现错误的原因在于,1混淆了函数在某点处可导与在任意点处可导的概念; 2函数在某点处可导,极限是一个数值,而在任意点可导,极限是一个函数, 一般情况下它们是不相等的; 3函数在任意点可导,求出的极限是函数,不能再求一次极限,即
从上述习题的解法中我们看到了数学概念的严谨性. 不严格按照导数的定义,就会造成错误.
2. 关于可导和连续的关系
函数的连续性指的是,定义在点x0的某邻域U( x0) 内的函数f( x) 在点x0处自变量x的改变量 Δx趋于0时,函数f( x) 的改变量 Δy也趋于0,或者当x→x0时,函数f( x) 的极限等于f( x) 在点x0处的函数值f( x0) . 函数在某点处可导, 则在该点处必然连续,反之不成立,即函数在某点连续,在该点不一定可导. 应用这一性质解题时,必须严格把握条件和结论之间的关系,不能马虎. 下面再看一道习题的解法.
这道习题是要确定a的值使g( x) 在x = 0处可导,并求g'( 0) . 要使g( x) 在x = 0处可导,则g ( x) 在x = 0处必连续. 于是由连续的定义和导数的性质,有
由于f( x) 在x = 0处二阶可导,再由二阶导数的定义, 可得g'( 0) =1/2f″( 0) .
这道习题容易出现的错误在连续性上. 如果题目给出g( x) 在x = 0处二阶可导,那么g'( x) 在x = 0处连续,于是, 应用连续的定义和洛必达法则就有
如果f( x) 在x = 0处三阶可导,那么f″( x) 在x = 0处连续,于是就有g'( 0) =1/2f″( 0) .
但这些条件题目都没有给出,因此这样的做法是错误的. 这里的错误在于把性质“如果函数f( x) 在点x0处可导, 则它在点x0处一定连续”错误理解为“如果函数f( x) 在点x0处可导,则它的导函数在点x0处一定连续”.
不定积分求解技巧解析 第7篇
例1:求积分ʃ (x+|x|) 2dx
undefined
例2:求积分ʃ (|1+x|-|1-x|) dx
undefined
对以上两例的注:a∶sgn x或sgn f (x) 在积分运算中可视为常数;b:有些题目可以把积分结果中所含的符号函数通过反向利|x|=sgn x·x或|f (x) |=sgn f (x) ·f (x) 改写成绝对值。 (如上例) , 但是这种改写需要格外慎重, 具体地说, 就是一定要保证原函数在被积函数的连续区间上连续, (如例2:若将原题结果中的符号函数表示成绝对值, 则:
undefined, 由于undefined是 (-∞, +∞) 上的连续函数,
则原函数在 (-∞, +∞) 上存在且连续。然而x=nπ (n∈Z) 却为undefined的间断点。正确的表示法为:
undefined或undefined (由可导必连续得) .这说明undefined的全体原函数除了用符号函数可以形式上表成一个解析式外, 只能采用分段表示。
以上叙述了几类积分的特殊方法, 但在具体应用时又是灵活多变的, 因此就产生许多一题多解法的现象, 下面以例说明之:
例3:求积分ʃsin x·cos 3xdx
解法一: (应用欧拉公式)
undefined
解法二:由cos 3X=4 cos3x-3cos x公式得:
undefined
摘要：不定积分是积分学的一个重要部分, 研究不定积分的求解方法与技巧是有必要的。本文主要研究:利用符号函数及欧拉公式求不定积分。
关键词：不定积分,技巧解析
参考文献
[1]:戴再平.数学习题论[M]上海:上海教育出版社.2000
