导数在经济学中的应用（精选11篇）

导数在经济学中的应用 第1篇

导数在经济学中边际和弹性方面的应用

导数在经济领域中的.应用非常之泛,其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念.把经济活动中一些现象归纳到数学领域中,用我们所学的数学知识进行解答,对很多经营决策起了非常重要的作用.

作 者：陈昆  作者单位：黔西南民族师范高等专科学校数学系,贵州兴义,562400 刊 名：考试周刊 英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)： “”(18) 分类号：G63 关键词：导数   边际   弹性  

导数在经济学中的应用 第2篇

导数在研究函数问题中的应用

作者：朱季生

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第04期

导数在经济学中的简单应用 第3篇

1 导数的概念及其经济学解释

1.1 导数的概念

在数学上, 导数的定义可以抽象概括为函数的增量与自变量的增量之比, 当自变量的增量趋于零时的极限。具体为:

设函数y=f (x) 在x0的某邻域内有定义, 当自变量x在x0处有增量Δx (≠0) 时, 相应的函数有增量Δy=f (x0+Δx) -f (x0) , 若当Δx→0时, 两个增量之比undefined的极限undefined存在, 则称函数y=f (x) 在x0处可导, 并称此极限为函数y=f (x) 在x0处的导数, 记为f ′ (x0) 。

1.2 导数概念的经济学解释

f ′ (x0) 实际上刻画了函数y=f (x) 在x0的变化率, 当自变量在x0处有一个单位的变化, 则函数y=f (x) 在f (x0) 处有f ′ (x0) 个单位的变化。

假设市场上某种商品的需求函数为d=d (p) , 其中p为商品的价格, d为市场上该商品的需求量。d′ (p0) 表示当价格在p0处有一个单位的变化, 则该商品的需求量将会有d′ (p0) 个单位的变化。同样对于供给函数、总成本函数、总收入函数、总利润函数等函数导数意义的理解, 都可以仿照, 这里就不一一展开说明了。下面以一例具体解释其意义。

例1, 设某商品的需求函数为undefined为销售量, p为销售价格。求当销售量为40、50、60时总收入的变化率, 并加以解释。

解:总收入为undefined

undefined

上述结果表示, 当销售量为40时, 再多销售1件产品的总收入将增加4元;当销售量为50时, 再多销售1件产品时, 总收入将不会增加;当销售量为60时, 再多销售1件产品时, 总收入反而会减少4元。

2 边际分析

边际分析是经济决策中的重要概念之一, 边际分析方法就是利用导数去研究经济函数的边际变化率的方法。

2.1 边际成本

边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位时所增加的成本。设某产品的成本函数为C=C (q) , q为产量。根据定义, 边际成本为C (q+1) -C (q) =ΔC (q) , 由微分的定义, 当Δq变化很小的时候, Δq=dq, ΔC (q) ≈dC (q) =C′ (q) dq=C′ (q) 。C′ (q) 为边际成本函数。可见, 边际成本约等于成本函数的变化率, 通过函数的一阶导数来衡量边际成本的函数值。其几何意义为:在每一产量水平上的边际成本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率, 即总成本函数在该产量处的导数值。

例2, 某公司在一个生产周期内制造x台电冰箱的总成本为

C (x) =8000+200x-0.2x2元 (0≤x≤400)

求: (1) 第251台电冰箱的实际制造成本为多少?

(2) 当x=250时, 求实际成本。

解: (1) C (251) -C (250) =45599.8-45500=99.8

(2) C′ (250) = (8000+200x-0.2x2) ′|x=250=200-0.4x|x=250=100

由以上结果分析可得, C′ (250) 表示生产的产品再增加一个单位时, 总成本将增加100元, 即第251台电冰箱的成本大约为100元, 这与实际成本99.8非常接近, 即ΔC (q) ≈C′ (q) 。

2.2 边际收入

在经济学中, 边际收入定义为每增加一个单位的销售量时所增加的销售收入。即假设某产品的收入函数为R=R (q) , q为产品的销售量, 根据定义以及对边际成本的分析, 有边际收入ΔR=R (q+1) -R (q) ≈dR (q) =R′ (q) , 所以边际收入约等于收入函数的变化率。其几何意义为:每一销售水平上的边际收益值就是相应的总收益曲线在该点处切线的斜率, 即总收益曲线关于该销售量的导数值。

经济学中常用的函数远远不止这两种, 对于其他的各类常用函数, 如生产函数、利润函数等, 经常需要通过边际分析解决一系列相关问题。理解上述介绍的基本概念, 并加以推广, 对我们日后的进一步学习会起到重要的作用。

3 弹性分析

弹性是经济学中另一个重要的概念, 用来刻画函数值对自变量相对变化的灵敏度或反应程度。例如, 当银行利率下降1%时, 货币将朝流通领域转移, 对需求的增加势必会有促进作用, 那到底会使需求有多大的增加呢?会增加百分之几?这一系列的问题就需要借助弹性这个概念加以解决。简单的, 弹性undefined。具体定义为:

设函数y=f (x) 在点x0可导, 则undefined表示为在x0与x0+Δx的平均弹性, 当Δx→0时, undefined就转变成在x0处的弹性undefined, 记做Ef|x0。

由定义我们可以看出, 弹性的计算与计量单位是无关的, 弹性只是考察变化百分比的关系, 这也就使得弹性的概念在经济学中有着广泛的应用。

3.1 需求的价格弹性

设某一商品的需求函数为x=f (p) , p为该商品的单价, x为需求量。需求量对于单价的弹性为undefined, 需求函数往往是一个减函数, 即f ′ (p) <0, 由此可以看出需求量的变化与价格的变化是反方向的。

例3, 某商品的需求函数为undefined

求: (1) ED (p)

(2) 计算ED (3) , 并解释所得结果。

解: (1) 令undefined, 所求的需求对价格弹性为

undefined

, 其含义为当商品的售价为3元时, 若单价每增加1元, 则需求量将减少18%, 反之若单价每降低1元, 则销售量将提高18%。

3.2 收入的价格弹性

收入函数为R (p) =xp=pf (p) , 收入函数关于价格的变化率为

undefined

收入函数对价格的弹性为

undefined

此时也可发现, 如果R′ (p) >0, 则价格的变动与收入的变化是同方向的;反之, R′ (p) <0, 则价格的变动与收入的变化是反方向的。

例4, 某公司生产经营的某种电器的需求弹性在1.5～3.5之间, 如果该公司计划在下一年度内将价格下浮10%, 试问此种电器的销售量将会增加多少?总收入将会增加多少?

解:由需求弹性undefined为商品的需求量, 可得:

undefined

当ED=-1.5时, undefined

当ED=-3.5时, undefined

由此可见, 当价格下浮10%时, 该电器的销售量将会增加15%～35%, 总收入将会增加5%～25%。

导数在经济学中的应用颇为广泛, 本文只是略举一二, 如果能够将数学作为分析工具应用到经济问题中去, 不但可以提供准确的数字作为参考, 同时也能给企业提供更多的思路和见解, 这也是数学作为一门基础学科的实际应用的具体体现。

参考文献

[1]钱椿林.高等数学[M].北京:电子工业出版社, 2006.

[2]皮利利.经济应用数学[M].北京:机械工业出版社, 2006.

[3]高鸿业.西方经济学[M].北京:中国人民大学出版社, 2001.

[4]周晓晖.浅论导数在经济学中的应用[J].科技信息, 2008, (9) .

[5]晋晓飞.导数在经济领域的简单应用[J].时代经贸, 2007, (5) .

导数与积分在经济分析中的应用 第4篇

导数在证明不等式中的应用 第5篇

1【期 号】第11期【页 码】2-3【参考文献格式】杨建辉,布春霞.导数在证明不等式中的应用[J].中学生数理化(学研版),2011,(第11期).2.【作 者】 赵京之【刊 名】中国新技术新产品【出版日期】2010【期 号】第14期【参考文献格式】赵京之.导数在证明不等式中的应用[J].中国新技术新产品,2010,(第14期).【摘 要】不等式与等式一样,在数学问题中都是非常重要的课题,不等式的研究范围更广,难度更大,以函数观点认识不等式,应用导数为工具,不等式的证明将化难为易,迎刃而解,考虑的角度初步有:中值定理,Taylor公式,函数的单调性,最值,以及Jensen不等式。

3.【作 者】 刘伟【刊 名】电大理工【出版日期】2004【期 号】第3期【页 码】13-14【参考文献格式】刘伟.导数在证明不等式中的应用[J].电大理工,2004,(第3期).4.【作 者】 顾庆菏【刊 名】邢台师范高专学报【出版日期】1995【期 号】第1期【页 码】118-120【参考文献格式】顾庆菏.导数在证明不等式中的应用[J].邢台师范高专学报,1995,(第1期).5.【作 者】 刘开生;潘书林【刊 名】天水师范学院学报【出版日期】2000【期 号】第3期【页 码】115-116【参考文献格式】刘开生,潘书林.导数在证明不等式中的应用[J].天水师范学院学报,2000,(第3期).6.【作 者】 陈万鹏;陈万超【刊 名】大学数学【出版日期】1990【期 号】第4期【页 码】67-71【参考文献格式】陈万鹏,陈万超.导数在证明不等式中的应用[J].大学数学,1990,(第4期).7.【作 者】 高燕【刊 名】考试周刊【出版日期】2011【期 号】第60期【页 码】69-70【参考文献格式】高燕.导数在不等式证明中的应用[J].考试周刊,2011,(第60期).8.导数法在证明不等式中的应用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】2011【期 号】第Z1期【页 码】

5【参考文献格式】郝文武.导数法在证明不等式中的应用[J].中学生数理化(高二版),2011,(第Z1期).9.导数在证明不等式中的一些应用【作 者】 甘启才【刊 名】广西师范学院学报(自然科学版)【出版日期】2011【期 号】第S1期【页 码】73-75

【参考文献格式】甘启才.导数在证明不等式中的一些应用[J].广西师范学院学报(自然科学版),2011,(第S1期).10.【作 者】 王莉闻【刊 名】考试周刊【出版日期】2011【期 号】第82期【参考文献格式】王莉闻.导数在不等式证明中的应用[J].考试周刊,2011,(第82期).【摘 要】导数知识是高等数学中极其重要的部分,它的内容、思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中.利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法,它能使不等式的证明化难为易,迎刃而解.在不等式证明的种种方法中,它占有重要的一席之地.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值（或极值）

11.【作 者】 王翠丽【刊 名】数学之友【出版日期】2011【期 号】第6期【页 码】84，86【参考文献格式】王翠丽.导数在不等式证明中的应用[J].数学之友,2011,(第6期).12.【作 者】 王强;申玉芹【刊 名】中学数学【出版日期】2012【期 号】第9期【页 码】6【参考文献格式】王强,申玉芹.导数在不等式中的应用[J].中学数学,2012,(第9期).13.【作 者】 朱帝【刊 名】数理化学习【出版日期】2008【期 号】第3期【页 码】2-4【参考文献格式】朱帝.导数在证明不等式中的应用[J].数理化学习,2008,(第3期).14.【作 者】 王伟珠【刊 名】佳木斯教育学院学报【出版日期】2010【期 号】第6期【参考文献格式】王伟珠.导数在不等式证明中的应用[J].佳木斯教育学院学报,2010,(第6期).15.【作 者】 张根荣;李连方【刊 名】中学数学研究【出版日期】2010【期 号】第11期【页 码】24-25【参考文献格式】张根荣,李连方.导数在不等式证明中的应用[J].中学数学研究,2010,(第11期).【摘 要】“问题是数学的心脏”，数学学习的核心就应该是培养解决数学问题的能力．正如波利亚指出的：“掌握数学就是意味着善于解题．”“中学数学首要的任务就是加强解题的训练”．在数学教学中，例题、习题的解答过程是学生建构知识的重要基础，是学生学习不可缺少的重要组成部分．因此在课堂教学有限的45分钟内，如何发挥例题的功能，16.【作 者】 张萍【刊 名】西部大开发：中旬刊【出版日期】2010【期 号】第7期【页 码】176-177【参考文献格式】张萍.导数在证明不等式中的有关应用[J].西部大开发：中旬刊,2010,(第7期).【摘 要】导数是高等数学中最基本最重要的内容之一，用导数的方法证明不等式是不等式证明重要的组成部分，具有较强的灵活性和技巧性。掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助。本文将通过举例和说明的方式来阐述不等式证明中导数的一些方法和技巧，提高学生用导数证明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教学研究)【出版日期】2011【期 号】第11期【页 码】31【参考文献格式】李旭金.导数在不等式中的应用[J].新作文(教育教学研究),2011,(第11期).18.【作 者】 李晋【刊 名】大视野【出版日期】2009【期 号】第3期【页 码】241-243【参考文献格式】李晋.导数在不等式证明中的应用[J].大视野,2009,(第3期).第5期【页 码】24-26【参考文献格式】高芳.导数在不等式证明中的应用[J].商丘职业技术学院学报,2009,(第5期).20.【作 者】 蔡金宝【刊 名】吉林省教育学院学报(学科版)【出版日期】2009

【期 号】第9期【页 码】85-86【参考文献格式】蔡金宝.导数在不等式证明中的应用[J].吉林省教育学院学报(学科版),2009,(第9期).21.浅谈导数在不等式证明问题中的应用【作 者】 姜治国【刊 名】考试(高考 数学版)【出版日期】2009【期 号】第Z5期【页 码】54-56【参考文献格式】姜治国.浅谈导数在不等式证明问题中的应用[J].考试(高考 数学版),2009,(第Z5期).22.导数在不等式中的一些应用【作 者】 陶毅翔【刊 名】宁德师专学报·自然科学版【出版日期】2010【期 号】第2期【页 码】123-124，127【参考文献格式】陶毅翔.导数在不等式中的一些应用[J].宁德师专学报·自然科学版,2010,(第2期).23.【作 者】 陈海兰【刊 名】科技信息【出版日期】2010【期 号】第8期【参考文献格式】陈海兰.导数在不等式中的应用[J].科技信息,2010,(第8期).【摘 要】本文给出了几种用导数来证明不等式的方法,通过这些方法,可以比较简洁,快速地解决一些不等式的证明问题.24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨询导报【出版日期】2007【期 号】第5期

【页 码】95-96【参考文献格式】胡林.导数在不等式证明中的应用[J].科技咨询导报,2007,(第5期).25.【作 者】 胡林【刊 名】科技资讯【出版日期】2006【期 号】第36期【页 码】148【参考文献格式】胡林.导数在不等式证明中的应用[J].科技资讯,2006,(第36期).26.【作 者】 周晓农【刊 名】贵阳金筑大学学报【出版日期】2000【期 号】第3期【页 码】107-110+87【参考文献格式】周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].贵阳金筑大学学报,2000,(第3期).27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中学理科：综合【出版日期】2008【期 号】第9期【页 码】52【参考文献格式】葛江峰.导数在不等式中的应用[J].中学理科：综合,2008,(第9期).【摘 要】新课程试卷将导数与传统的不等式证明有机结合在一起设问，是一种新颖的命题模式，体现导数在分析和解决一些函数性质问题的工具作用，以下介绍几种应用导数证明不等式的方法，供大家参考。

28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龙岩师专学报(自然科学版)【出版日期】1997

导数在高中数学教学中的应用 第6篇

【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率的有力工具。

【关键词】导数函数曲线的斜率极值和最值导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值，用导数证明不等式。这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求函数的切线

例1：已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。

分析：根据导数的几何意义求解。

解：y′=3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3=-3(x-1)，即为：y=-3x.方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)。

二、用导数判断函数的单调性

例2：求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′=3x2-6x，由y′>0得3x2-6x?0，解得x?0或x?2。

由y′<0得3x2-6x?0，解得0?x＜2。

故所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′

(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

三、用导数求函数的极值

例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值

解：由f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.当x变化时，y′、y的变化情况如下：

当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。

四、用导数证明不等式

证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。

例(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.(2)对于在(0,1)中的任一个常a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a?x022ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。

分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①

令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x)=ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex

∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x)≥0

∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证

(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2成立。

只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②

令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]

而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数

故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0

∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证

由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立

(2)解:ex0-x0-1≤a?x02|x|2ex0将变形为ax022+x0+1ex0-1<0③

要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1的最小值，满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)

令t′(x)=0得ex=1a,则x=-lna,取X0=-lna

在0-lna时,t′(x)>0

t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需证明:a2(lna)2-alna+a-1<0,在0

又令p(a)=a2(lna)2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数

则p′(a)=12(lna)2≥0,从而p(a)为增函数

则p(a)

于是t(x)的最小值t(-lna)<0

因此可找到一个常数x0=-lna(0

数学论文-导数在函数中的应用 第7篇

【摘 要】新课程利用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，函数的极值和最值。导数是分析和解决问题的有效具。

【关键词】导数 函数的切线 单调性 极值和最值

导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

一、用导数求函数的切线

例1.已知曲线y=x3-3x2-1，过点（1，-3）作其切线，求切线方程。

分析：根据导数的几何意义求解。

解：y′ = 3x2-6x，当x=1时y′=-3，即所求切线的斜率为-3.故所求切线的方程为y+3 =-3(x-1)，即为：y =-3x.1、方法提升：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0，y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0)，相应的切线方程为y-y0= f′(x0)(x-x0)。

二、用导数判断函数的单调性

例2．求函数y=x3-3x2-1的单调区间。

分析：求出导数y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范围即可。

解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。

由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。

故 所求单调增区间为(-∞，0)∪(2，+∞)，单调减区间为(0，2)。

2、方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

三、用导数求函数的极值

例3．求函数f(x)=(1/3)x3-4x+4的极值

解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.当x变化时，y′、y的变化情况如下：

当x=－2时，y有极大值f(-2)=－（28/3），当x=2时，y有极小值f(2)=－(4/3).3、方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值。

四、用导数求函数的最值

五、证明不等式

5、方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。参考资料：

1、普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社）

导数在经济学中的应用初探 第8篇

一、边际分析

经济学中的边际指的是因变量随着自变量的变化而变化的程度, 即自变量变化一个单位, 因变量会因此而改变的量。用数学语言表示为:设函数y=f (x) 在x处可导, 则称导数f′ (x) 为f (x) 的边际函数。在经济学中根据不同的经济函数, 我们可求不同的边际, 如边际成本、边际收入、边际利润等。

1、边际成本。

是指把产量增加一个单位时所增加的总成本, 是总成本函数在所给定点的导数, 记作MC=C′ (q) 。

边际成本可以判断产量的增减在经济上是否划算。一般用边际成本与平均成本比较, 如图1所示。

由图1可以看出, 当边际成本小于平均成本时, 产量增加时所得的利润将增加, 应提高产量, 以降低平均成本。当边际成本大于平均成本时, 应减少产量, 以降低平均成本。当边际成本与平均成本相等时, 即M C=A C, 平均成本为最低, 也就是说, 边际成本曲线MC与平均成本曲线AC相交于平均成本曲线的最低点处F处。因此企业家应该把生产规模调整到平均成本的最低点F处, 才能使生产资源得到最有效的利用, 增加盈利。

2、边际收益。

是指销售量增加一个单位时所增加的总收益, 是总收益函数在给定点的导数, 记作MR=R′ (q) 。当R′ (q) >0时, 总收益将增加R′ (q) ;当R′ (q) <0时, 总收益将减少R′ (q) ;当R′ (q) =0时, 总收益不变。

3、边际利润。

利润函数为L (q) =R (q) -C (q) , 定义边际利润为L′ (q) =R′ (q) –C′ (q) =M R-M C, 是指销售量增加一个单位时所增加的总利润。

企业判断一项经济活动对企业的利弊时, 不是依据它的全部成本, 而是依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。如图2所示。

由图2可以看出, 当总收益函数的导数大于总成本函数的导数时, 即边际收益大于边际成本时, 利润增加, 这项活动就对企业有利。反之, 当即边际收益小于边际成本时, 利润减少, 这项活动就对企业不利。只有在边际收益等于边际成本时, 即两条切线平行时, 这两条曲线间的距离最大, 利润最大。此外为了使利润最大值存在, 利润函数还必须满足最大值的充分条件:L″ (q) <0, 即R″ (q) <C″ (q) 。

例题1、设工厂生产某种产品, 固定成本为500元, 每多生产一单位产品成本增加2元, 该产品的需求函数为p=8 2-q/5, 求产量为多少时总利润最大?

解:总成本函数C (q) =500+2q, 总收益函数R (q) =qp=q (82-q/5) ,

总利润函数

因此, 当q=2 0 0时, 总利润最大。

二、弹性分析

边际分析讨论了函数的变化率, 属于绝对数范围内的讨论。在经济问题中, 有时仅仅考虑绝对数分析问题还不够, 还要进一步研究相对变化率。例如, 衡量鱼与蔬菜这两种物品的价格变动情况就不能直接用价格的绝对数来表示, 而要用百分比来表示。

1、弹性。

设函数y=f (x) , 如果极限存在, 称此极限为y=f (x) 在点x处的弹性, 记为E (x) 。弹性反映了当自变量x改变了1%时, f (x) 改变了E (x) ﹪。关于弹性, 应注意的是分子与分母必须以百分比表示, 因为只有用百分比计算才有可比性。

2、需求弹性。

需求价格弹性是弹性中应用最广泛的概念之一, 设某商品的需求函数为Q=Q (p) , 则需求弹性为E (p) =pQ′ (p) /Q (p) 。是指当某种商品的价格下降 (或上升) 1%时, 其需求量将增加 (或减少) |Ep|%。

常用的需求价格弹性有以下三类:

1) 缺乏弹性。当-1<E (p) <0︱ (即︱E (p) ︱<1) 时, 价格变动1%, 需求量变化小于1%, 表示价格的变化对需求量的影响较小, 在适当涨价后, 不会使需求量有太大的下降, 从而可以增加收入。基本生活必需品是缺乏弹性的, 如粮食、食盐等。

2) 富有弹性。当E (p) <-1 (即︱E (p) ︱>1) 时, 价格变动1%, 需求量变化大于1%, 也就是价格的变化将会引起需求的较大变化, 这时需求量对价格的依赖是很大的, 换句话说, 适当降价会使需求较大幅度上升从而增加收入。奢侈品、高价商品往往属于富有弹性的。

3) 单位弹性。当E (p) =-1 (即︱E (p) ︱=1) 时, 这时需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等, 即商品的涨价或降价对商品的销售基本无大的影响。

在商品经济中, 经营者关心的是提价或降价对总收益的影响, 利用需求弹性的概念, 可以得出结论:涨价不一定增加收益, 降价不一定减少收益。

例题2、设某商品的需求函数为Q=1 0 0 0-5 p, Q为需求量, p为价格, 讨论其弹性。

解:由弹性定义知, 需求量Q对价格p的弹性为:

首先分析当需求相对变化率与价格相对变化率相等即︱E (p) ︱=1时, p=1 0 0。

当0<p<100时, ︱E (p) ︱<1, 在这一价格范围内, 随价格减小, ︱E (p) ︱也递减, 需求量的变化幅度小于价格变化的幅度, 若此时采取降价措施, 因需求量增加的百分比小于价格降低的百分比, 总收入会减少。

当100<p<200时, ︱E (p) ︱>1, 在这一价格范围内, ︱E (p) ︱随p的增加而增加, 需求量的变化幅度大于价格变化的幅度, 若此时采取提价措施, 因需求量下降的百分比大于价格增加的百分比, 总收入会减少。

当p=100时, ︱E (p) ︱=1, 此时价格上涨1﹪, 需求量将减少1﹪, 需求量的变化幅度等于价格变化的幅度, 是最优价格。

由此可知:当弹性︱E (p) ︱>1时, 采取降价措施, 可以达到薄利多销的目的。当弹性︱E (p) ︱<1时, 采取适当提高价格, 不会因盲目降价促销而影响总利润。

在商品经济活动中进行边际分析和弹性分析是非常重要的, 导数作为边际分析与弹性分析的工具, 可以为企业决策者做出合理的决策。

摘要：导数在经济领域中的应用非常广泛, 本文主要对导数在经济学中的边际分析与弹性分析这两个重要应用进行初探。

关键词：导数,边际分析,弹性分析

参考文献

[1]刘文学, 郑素文.经济数学.上海:上海交通大学出版社.2008.3.

[2]李凤香, 程敬松.新编经济应用数学.大连:大连理工大学出版社.2005.8.

[3]刘玉红.经济数学在经济管理中的应用[J].山西统计.2002 (5) :14-15.

导数在经济学中的应用 第9篇

摘要：导数作为函数的变化率，在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义。因而在自然科学，工程技术以及社会科学领域中得到广泛的应用，运用导数可以解决经济上常见的一些问题[1]。本文重点讨论了导数在解决经济学中“边际成本”，“边际收入”，“边际利润”以及“最大利润”等问题[2]。

关键词：导数；变化率；边际成本；边际收入；边际利润；最大利润

引言：微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。导数[3]是微积分的两大部分之一，指的是函数的变化率，阐述了一些事物和现象都不断变化，当然经济现象也不例外。本文主要讨论了经济学中边际分析的应用。

一、导数的概念

定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 + 仍在该邻域内）时，相应地函数 取得增量 ，如果 与 之比当 0时的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即

. （1）

令（1）中的 时，则当 时 ，因此（1）式又可写为

.（2） 令 ，则得到（3）式

.（3）

进而可引出左，右导数的定义：

，

.

二、边际的概念及应用

边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。

1.边际成本

在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义：

定义1：设总成本函数 ，且其它条件不变，产量为 时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为 时的边际成本。即：

其中 =1或 =-1。

例1：已知某商品的成本函数为：

（Q表示产量）

求：（1）当 时的平均成本及 为多少时，平均成本最小？

（2） 时的边际成本并解释其经济意义。

解：（1）由 得平均成本函数为：

当 时：

记 ，则 令 得：

而 ，所以当 时，平均成本最小。

（2）由 得边际成本函数为：

则当产量 时的边际成本为5，其济意义为：当产量为10时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将近似地增加（减少）5个单位。

2.边际收入

定义2：若总收益函数 可导，称

为销售量为 时该产品的边际收益。 称为边际收益函数，且 .

其经济意义为在销售量为 时，再增加（减少）一个单位的销售量，总收益将近似地增加（减少） 个单位。

注：总收益是生产者出售一定量产品所得以的全部收入，表示为 ，其中 表示销售量。

3.边际利润

定义3：总利润是指销售 个单位的产品所获得的净收入，即总收益与总成本之差，记 为总利润，则：

（其中 表示销售量）

定义4：若总利润函数 为可导函数，称

为 在 处的边际利润。

其经济意义为在销售量为 时，再多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的利润。

根据总利润函数，总收益函数、总成本函数的定义及函数取得最大值的必要条件与充分条件可得如下结论。

由定义，

令 则 .

结论1：函数取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本.

结论2：函数取得最大利润的充分条件是：边际利益等于边际成本且边际利益的变化小于边际成本的变化率。

例2：假定有酒100吨，现价8元/公斤，多陈一年可增值2元/公斤，贮存费每年10000元，因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加 （其中 为酒的贮量， 为当年白酒价格， 为利息率，且假定 %），那么这些酒须储存多久效益才最大呢？

1. 年增加的总收入函数

（元）

2. 年增加的贮存总成本

（元）

3. 年净增利润函数

= （元）

此时边际收入： 边际成本：

因为当 利润最大，所以有 ，即 年。

由于驻点唯一，故只有当储存期为2.75年时，企业才能获得最佳经济效益，其最大净增利润为151 250元。

三.总结

随着市场经济的不断进步与发展，灵活利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，更是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，来运用所学的数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用[4]。

对企业经营者管理者来说，精准的对其经济环节进行定量分析是非常必要的。最优化问题也是经济管理活动的核心，通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题。将导数作为分析工具，可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角[5]。

经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析、收入最大化分析、利润最大化分析、资源合理利用的优化分析、成本最小化分析以及最优组合分析等，通常伴随一些约束条件[6]。通过优化分析可以帮助企业管理者寻求最大化企业的收益，并尽量降低生产成本和管理费用，意义非常深远[7]。

导数对于在经济学中边际问题的剖析尤为主要，经由过程边际问题的剖析，对于企业的抉择妄想者做出正确的抉择妄想起了十分主要的浸染！通过阐述导数在经济分析中的几种应用，说明导数在经济管理中的重要作用，利用数学工具对经济的各个环节进行定量分析[8]，有利于对经济管理工作做定性分析，从而更科学地进行经济管理，这是我国深化体制改革使经济管理工作于国际接轨必不可少的一步。

参考文献：

[1]丁瑶：导数的经济意义及教学探讨[J].重庆电子工程职业学院.2010.07.149-150.

[2]李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角，2010（2）：17-19.

[3]王青青.浅谈导数在经济中的应用[J].高校讲坛，2011（9）：8.

[4]王利珍：用导数解决经济中的最优化问题[J].忻州师范学院学报.2008.10.27-28

[5]王利珍：用导数解决经济中的最优化问题[J].忻州师范学院学报.2008.10.27-28

[6]雷良缓：经济数学中的边际分析与弹性分析[J].江苏经贸职业技术学院学报，1995.02.81-83

[7]蔡宇泽，赵春红，王贝：需求弹性函数的经济分析[J].江苏教育学院学报，2007.07.87

导数在经济学中的应用 第10篇

2、在结论得出后，继续引导学生思考，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。

3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开始引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾呼应。

4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深刻。

5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切机会去实施，在例1的教学中，我让学生先熟练法则，再从形上分析，加深印象，这样在后面紧接的高考题中（没有给解析式），学生会迎刃而解。

导数在经济学中的应用 第11篇

观点：从学生实际出发，抓准得分点，让学生得到该得的分数。

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在求曲线的切线方程、讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、证明不等式等方面有着广泛的应用。导数的应用一直是高考试题的重点和热点。历年来导数的应用在高考约占17分（其中选择或填空题1题5分，解答题一题12分），根据本班学生的实际情况，我们得分定位在10分左右。因此教学重点内容确定为：

1、求曲线的切线方程，2、讨论函数的单调性，3、求函数的极值和最值。

反思：

一、收获

1、合理定位，有效达成教学目标。导数的几何意义、函数的单调性的讨论、求函数的极值和最值，在高考中多以中档题出现，而导数的综合应用（解答题的第2、第3个问）往往难度极大，是压轴题，并非大多数学生能力所及。定位在获得中档难度的10分左右，符合本班学生的实际情况。本节课有效的抓住了第一个得分点：利用导数求曲线的切线方程，从一个问题的两个方面进行阐述和研究。学生能较好的理解导数的几何意义会求斜率，掌握求曲线方程的方法和步骤。

2、问题设置得当，较好突破难点。根据教学的经验和学生惯性出错的问题，我有意的设置了两个求曲线切线的问题：

1、求曲线y=f(x)在点（a,f(a)）的曲线方程，2、求曲线y=f(x)过点（a,f(a)）的曲线方程。一字之差的两个问题的出现目的是强调切点的重要性。使学生形成良好的解题习惯：有切点直接求斜率k=f1(a)，没切点就假设切点p(x0.y0)，从而形成解题的思路。通过这两个问题的教学，较好的突破本节的难点内容，纠正学生普遍存在的惯性错误。

3、注重板书，增强教学效果。在信息化教学日益发展的同时，许多教师开始淡化黑板板书。我依然感觉到黑板板书的重要性。板书能简练地、系统地体现教学内容，以明晰的视觉符号启迪学生思维，提供记忆的框架结构。本节对两个例题进行排列板书，能让学生更直观的体会和理解两个问题的内在联系和根本差别。对激活学生的思维起到较好的作用，使教学内容变得更为直观易懂。

4、关注课堂，提高课堂效率。体现以学生为主体，以教师为主导，以培养学生思维能力为主线。课堂活跃，教与学配合得当。利用讲练结合的教学方法，注重学生能力的训练。

5、得到特级教师黄一宁及同行的老师们的指导，我收获极大。

二、不足之处

1、整一节课老师讲的还是过多，没有真正把课堂还给学生。

2、不够关注学生个体，问答多是全体同学齐答。难于发现学生中极个性的思维和方法。

3、不善于扑捉课堂教学过程的亮点。比如，黄梅红同学在做练习回答老师问题时提出不同的解题思路，老师也只平淡带过。

4、语调平淡，语言缺乏幽默，难于调动课堂气氛。