初一数学上册例题解析（精选12篇）

初一数学上册例题解析 第1篇

《应用一元一次方程——打折销售》典型例题

例1 一种蔬菜加工后出售，单价可提40％，但重量要降低20％，现有未加工的这种蔬菜1000千克，加工后共卖了1568元，问不加工每千克可卖多少钱？1000千克能卖多少钱？比加工后少卖多少钱？

例2 某企业生产一种产品，每件成本价400元，销售价510元，为了进一步扩大市场，该企业决定降低销售价的同时降低生产成本．经过市场调研，预计下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10％，要使销售利润保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？

例3（中考题）某商品的标价是1100元，打八折（按标价的80％）出售，仍可获利10％，则此商品的进价是________元．

例4 某商品按进价的百分之几标价，然后再8折优惠销售，这件商品的获得率仍为20％．

参考答案

例1 分析 本题的关键是第一问，第一问求出其他问题就解决．由题意可知如下相等关系：

加工后的蔬菜重量×加工后的蔬菜单价＝1568元

而加工后的蔬菜重量＝1000×（1－20％），如果设加工前这种蔬菜每千克可卖x元，则加工后这种蔬菜每千克为（1＋40％）x元，故可得方程．

(120%)(140%)x1568

解 设不加工每千克可卖x元，依题意，得1000 解方程得：x1.4

15681400168

所以1000x1400 答：不加工每千克可卖1.4元，1000千克能卖1400元，比加工后少卖168元．

说明：在计算数比较难算的题时，我们可以借助于计算器进行计算．

例2 分析 由已知可得如下相等关系

调整成本前的销售利润＝调整成本后的销售利润

若设该产品每件的成本价应降低x元，假定调整前可卖m件这种产品，则调整前的销售利润是（510－400）m，而调整后的销售阶为510（l－4％），调整后的成本价为 400－x．调整后的销售数量

m（l＋10％），所以调整后的销售利润是：[510(14%)(400x)](110%)m，由相等关系可得方程

[510(14%)(400x)](110%)m(510400)m

解 设该产品每件的成本价应降低x元，降价前可销售该产品m件，依题意，得[510(14%)(400x)](110%)m(510400)m

解方程，得x10.4

答：该产品每件的成本价应降低10.4元．

说明：这里的m也可以不设，以一件为例去研究这一问题，就可直接列出方程：[510(14%)(400x)](110%)510400

例3 分析：根据“利用＝销售价－进货价，利润率＝利润÷进货价×100％”，假设商品的进价为a元，则商品的售价为(a10%a)元时，可获利10％．

解：设商品的进价为a元． 则a(110%)110080%

a800

答：此商品的进价是800元．

说明：打折销售是我们身边的数学事实，每个人都应了解它，关键是掌握“进货价”“销售价”“利润”等名词术语的意义，理解有关数量关系．

例4 解 设该商品的进价为m元，按进价的x％标价可满足要求．

根据题意，得0.8mx%m20%.m解得x150．

答：按进价的150％（即1.5倍）标价，然后再8折销售，获利率为20％． 说明：解应用题中的“打折销售”问题，首先要熟悉“进价”、“标价”、“售价”、“打折”、“利润”、“利润率”这些商业名词的含义，另外还要清楚反映进行、标价、售价、打折、利润、利润率之间关系的公式才能准确的列出方程．

（1）在我们现实生活中，购买商品和销售商品中，经常会遇到进价、标价、售价、打折、利润、利润率等概念．

（2）基本关系式：①利润＝售价—进价 ②售价=标价×折数 ③利润率＝

利润．由进价①②可得出④利润＝标价×折数－进价．由③④可得出⑤利润率＝

标价折数－进价．

进价

初一数学上册例题解析 第2篇

第1章 随机事件与概率

例1 填空题

（1）设A与B是两个事件，则P(A)P(AB)+。

（2）若P(A)0.4,P(AB)0.3，则P(AB)。

（3）设A,B互不相容，且P(A)0，则P(BA)

。解：（1）因为 AABAB，且AB与AB互斥 所以 P(A)P(AB)+P(AB)应该填写： P(AB)（2）因为 AABAB，P(AB)P(A)P(AB)0.40.30.1

P(B)P(AB)P(AB)0.10.30.4

所以

P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.40.40.10.7 应该填写：0.7（3）因为A,B互不相容，即P(AB)0 所以 P(BA)应该填写： 0

例2 单项选择题

（1）事件AB又可表示为（）.A.AB

B.AB

C.AAB

D.ABAB

（2）掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（）A.***P(AB)P(A)0

B.C.D.（3）若等式（）成立，则事件A,B相互独立。

A.P(AB)P(A)P(B)

B.P(AB)P(A)P(BA)

C.P(B)P(BA)

D.P(A)1P(B)

（4）设A与B是相互独立的两个事件，且P(A)A.1212,P(B)13，则P(AB)（）

B.56

C.23

D.34

解：（1）依定义，事件AB表示A发生但B不发生，因此AB也可以表示为AAB.应该选择：C（2）基本事件总数为36，点数之和为3的事件有（1，2）和（2，1），即事件数为2，故“点数之和为3”的概率是

236118。

应该选择：B（3）因为当式子P(B)P(BA)时，由乘法公式P(AB)P(A)P(BA)，得

P(AB)P(A)P(B)

所以事件A,B相互独立。应该选择：C（4）因为A与B是相互独立，所以由加法公式

P(AB)P(A)P(B)121356。

应该选择：B 例3 A,B为两事件，已知P(A)P(AB)，P(AB)。

12,P(B)13,P(BA)12，求P(AB)，解 P(AB)P(A)P(BA)12121412

1314712P(AB)P(A)P(B)P(AB)

1P(AB)P(AB)34 1P(B)43例4 已知两个事件A，B相互独立，且已知P(A)0.6，P(B)0.3，求P(AB)． 解

由P(B)0.3，得 P(B)1P(B)10.30.7

所以 P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(A)P(B)P(A)P(B)

0.60.70.60.70.88

例5 设P(A)0.5，P(AB)0.3，求P(BA)．

解

因为P(BA)

P(AB)P(A)

AA(BB)ABAB

P(A)P(AB)P(AB)

P(AB)P(A)P(AB)

0.50.30.2 P(AB)0.2所以 P(BA)0.4

P(A)0.5

例6 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，⑴ 求投中篮框不少于3次的概率； ⑵ 求至少投中篮框1次的概率。

解 设Ai{第i次投中}的事件，i1,2,3,4，P(Ai)0.8，P(Ai)0.2相互独立（1）投中篮框不少于3次的事件可表为 A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4

其概率为

P(A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4)

=P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=(0.8)440.2(0.8)30.8192（2）因为，投篮4次均未投中的概率为

P(A1A2A3A4)(0.2)40.0016

所以，至少投中篮框1次的概率为

初一数学上册例题解析 第3篇

九年级数学圆的基本性质、圆周角例题解析教案

资源名称：九年级数学圆的基本性质、圆周角例题解析教案 资源分类：初中第六册教案 3. 定理推论： (1)圆弧或等弧所对的圆周角相等;相等的`圆周角所对的弧也相等。 (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 的圆周角所对的弦是直径。 (3)如果三角形一边上中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 (4)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 说明： ① 圆周角定理给出了圆弧所对的圆周角与圆心角之间关系，从而可把圆周角、弧、弦、弦心距联系起来。 ② 推论1是证明两角相等，两线段相等，两弧相等的依据。 ③ 推论2指出一条常用的辅助线，连直径上圆周角构成直角。

初一数学上册例题解析 第4篇

例1 把下面式子中的一元一次方程找出来，写在下面的括号里．

2＋3＝5，一元一次方程：｛｝

分析

判断是否是一元一次方程应注意以下几个方面：（1）必须是等式；（2）等式中必须含有一个未知数，且未知数的指数是1．

解

一元一次方程：

说明：2＋3＝5和，都不是一元一次方程，因为前者无未知数，后者不是等式．

例2 下面是一个方程的求解过程，请在括号中填上根据等式的什么性质．

（）

（）

分析

第一个括号前．方程两边都加上（－3）（或减去3），所以根据是：“等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式．”第二个括号前是等式两边都乘以或除以2，所以根据是：“等式的两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果仍是等式．”

解

略

说明：在应用等式的性质时，必须注意“同时„„，同一个数”，避免出现的错误．

例3 据2001年中国环境状况公报，我国水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里，其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里，问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里？请列出解决这个问题的方程．

分析

根据已知条件，我们可以知道，我国水蚀与风蚀造成水土流失的总面积，又知道，风蚀造成的水土流失面积比水位造成的水土流失面积多，那么即使我们没学过本节知识，利用小学学过的关于和差问题的公式，我们仍然能够计算出本题的正确答案．

风蚀造成的水土流失面积＝（风蚀、水蚀造成的水土流失之和＋风蚀、水性造成的水土流失之差）＋2

水蚀造成的水土流失面积＝（风蚀、水蚀造成的水土流失之和－风蚀、水蚀造成的水土流失之差）÷2，则

但是，和差公式需要死记硬背／

如果利用这一节学过的知识来解本题，要简便很多．

（1）水蚀与风蚀造成的水土流失总面积为356万平方公里，即水蚀造成的水土流失面积＋风蚀造成的水土流失面积＝356万平方公里．

（2）可以设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里，又知“风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里”，所以风蚀造成的水土流失面积为（公里．

（3）把x与（）万平方）代入①中的等式并省略不参与计算的单位名称，就得到方程。

解

设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里，则有

说明（1）这个方程并不难解，同学们在学习下一节之后，将会有更深的体会。

（2）对题目中出现的表示同一种量的数（在本题中是表示水土流失面积的数）要注意分清哪个数大、哪个数小，要仔细分析列式时该用加号、还是该用减号。初学者要尽量避免在这些地方发生错误。

例4 判断下列各式是不是方程，如果是指出已知数和未知数；如果不是，说明为什么？

（1）

（4）；（2）；（5）

；（3）；（6）

；

分析： 判断一个式子是不是方程，主要根据方程的概念；一是等式，二是含有未知数，二者缺一不可。

解：（1）是。3，－2，0是已知数，是未知数。

（2）是：－1，0是已知数，、（3）不是。因为它不含未知数。

（4）是。－1，0是已知数，、（5）不是。因为它不是等式。

（6）是。－1，3，2是已知数，是未知数。

说明： 未知数的系数如果是1，这个省略是1也可看作已知数，但可以不说，已知数应该包括它的符号在内。

例5 己知是方程的解，求m的值． 是方程的解，也就是，右边。

是未知数。是未知数。

分析：欲求m的值，由己知条件

将代入方程后左、右两边的值相等，即左边，即可求出m． 的解，∵ 左边=右边，∴

解：∵是方程

∴

将

∴

初一数学上册例题解析 第5篇

例1 判断下列各式是否正确，如不正确，请改正．（1）3x23x2x2；（2）2xyxy3xy；（3）m2m3m5；（4）4x22x22；（5）a2b22a2b2；（6）5a4b34b3a4a4b3.例2 把下面各项中和xy、x2y是同类项的各项写入指定的括号内．

xyyx22,13,2x2y,5yx,2xy,yx2 ｛xy，｝，｛x2y，｝． 例3 合并同类项

（1）x22xyy23x22xy2y2；（2）3xy2x23y2y25xy8．

例4 当x1,y1，求代数式：x22xyy22xy的值． 例5 已知a2x1b4与1a8b4是同类项，求代数式(1x)100(591003x14)的值．1

参考答案

例1 解：（1）不正确．改为3x23x20;（2）不正确，改为2xyxyxy;（3）不正确，此题不能合并同类项；（4）不正确，改为4x2x2x；（5）不正确，此题不能合并同类项；（6）正确．

说明：本例旨在考察同类项概念及合并同类项的法则．

例2 分析 如果两项中含有的字母相同，相同字母的指数也相同，这两项就是同类项．

222xy12yx2解 xy,,5yx,xy，xy，2x2y,yx2．

223说明：两项是否是同类项和系数无关，和字母的排列顺序无关；单独的数都是同类项．

例3 分析 首先要找准同类项，然后把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变． 解（1）x22xyy23x22xy2y2

(x23x2)(2xy2xy)(y22y2)(13)x2(22)xy(12)y2 4x20xyy2

=4x2y2

222（2）3xy2x3yy5xy8

(3xy5xy)2x2(3y2y2)8 (35)xy2x2(31)y28 2xy2x22y28.说明：（1）在合并同类项时要注意系数的符号；（2）在熟练之后合并的过程可以简化；（3）没有同类项的项应照样写下来．

例4 分析 我们可以像前面求值一样把x,y的值代入代数式直接求得，但通过观察可以发现在代数中有同类项可以合并，所以我们先合并同类项再求值． 解 x22xyy22xyx22xy2xyy2x2y2

当x1,y1时，x22xyy22xyx2y212(1)22.说明：在学习了合并同类项之后，一般的在求代数式的值时我们都要先看代数式是否可以合并同类项；如果可以，我们应先合并，再求值．

例5 分析：欲求(1x)100(x59100)的值，首先应求出x的值，已知两个单项式是同14类项，说明a的指数相同，从而可求x．

解：a2x1与13a8b4是同类项． 所以 2x18 x92

于是(1x)100(x5910014)

初一数学上册试题 第6篇

一、选择题(本题共36分，每小题3分)

1.不等式组3x-2>4的解集是

A.x>2B.x>3C.x<3D.x<2

2.某种流感病毒的直径是0.00000008米，用科学记数法表示0.00000008为()

A.B.C.D.

3.若a>b，则下列结论中正确的是()

A.4a<4b c=“”>b+c C.a-5

4.下列计算中，正确的是()

A.B.C.D.

5.下列计算中，正确的是()

A.(m+2)2=m2+4B.(3+y)(3-y)=9-y2

C.2x(x-1)=2x2-1D.(m-3)(m+1)=m2-3

6.如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E.

若∠1=25°，则的度数为()

一位教育大家曾经说过，考试是测试学生在学习中是否学到真正重要和有用的知识的必要途径，下面介绍的是北京市东城区南片初一数学下册期末试卷，供同学们学习参考!

一、选择题(本题共10道小题，每小题3分，共30分。)

1.下列图形中，由∠1=∠2≠90°，能得到AB∥CD的是()

2.下列说法正确的是()

A.2的算术平方根是±B.2的平方根是

C.27的立方根是±3D.27的立方根是3

3.要了解全校名学生课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的是()

A.调查全体女生B.调查全体男生

C.调查九年级全体学生D.调查各年级中的部分学生

4.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上，如果∠1=25°，那么∠2的度数是()

A.30°B.25°C.20°D.15°

5.在平面直角坐标系中，点一定在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

A.15°B.50°

C.25°D.12.5°

7.下列从左到右的变形正确进行因式分解的.是()

A.(x+5)(x-5)=x2-25B.x2+x+1=x(x+1)+1

C.-2x2-2xy=-2x(x+y)D.3x+6xy+9xz=3x(2y+9z)

8.下列调查中，适合用普查方法的是()

A.了解某班学生对“北京精神”的知晓率B.了解某种奶制品中蛋白质的含量

C.了解北京台《北京新闻》栏目的收视率D.了解一批科学计算器的使用寿命

9.我市某一周的最高气温统计如下表：

最高气温()25262728

天数1123

则这组数据的中位数与众数分别是()

A.27，28B.27.5，28C.28，27D.26.5，27

10.如图所示，点在AC的延长线上，下列条件中能判断()

A.∠3=∠4B.

C.D.

11.不等式组无解，则m的取值范围是()

A.m<1b.m≥1c.m≤1d.m>1

12.关于,的二元一次方程组的解满足,则的取值范围是()

A.B.C.D.

初一数学上册教案 第7篇

1.知识目标：

使学生理解同类项的概念和合并同类项的意义，学会合并同类项。

2.能力目标：

培养学生观察、分析、归纳和动手解决问题的能力，初步使学生了解数学的分类思想。

3.情感目标：

借助情感因素，营造亲切和谐活泼的课堂气氛，激励全体学生积极参与教学活动。培养他们团结协作，严谨求实的学习作风和锲而不舍，勇于创新的精神。

二、教学重点、难点：

重点：同类项的概念和合并同类项的法则

难点：合并同类项

三、教学过程：

(一)情景导入：

1、观察下面的图片,并将这些图片分类:

你是依据什么来进行分类的呢?

生活中，我们常常为了需要把具有相同特征的事物归为一类。

2、对下列水果进行分类：

(二)新知探究1：

1、对下列八个单项式进行分类：

a,6x2，5，cd,-1，2x2,4a,-2cd

这些被归为同一类的项有什么相同的特征?

2、揭示同类项的概念。

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。另外，所有的常数项都是同类项。

《3.4合并同类项》同步练习

1.已知代数式2a3bn+1与-3am-2b2是同类项，则2m+3n=________.

2.若-4xay+x2yb=-3x2y，则a+b=_______.

3.下面运算正确的是( )

A.3a+2b=5ab B.3a2b-3ba2=0

C.3x2+2x3=5x5 D.3y2-2y2=1

4.已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1，则这个多项式是( )

A.-5x-1 B.5x+1

C.-13x-1 D.13x+1

《3.4合并同类项》测试

1.下列说法中，正确的是( )

A.字母相同的项是同类项

B.指数相同的项是同类项

C.次数相同的项是同类项

初一数学上册教案 第8篇

方程是应用广泛的数学工具，是代数学的核心内容，在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位。本节课选自人教版数学七年级上册第三章第一节的内容，是一节引入课，对于激发学生学习方程的兴趣，获得解决实际问题的基本方法具有十分重要的作用。本节课是结合学生已有学习经验，从算式到方程，继而对一元一次方程及方程的解进行了探究，让学生体验未知数参与运算的好处，用方程分析问题、解决问题(即培养学生建模的思想)，体会学习方程的意义和作用。本节课是在承接小学学习的简易方程和刚刚学习的整式的加减的基础上进行学习的，同时又是后续学习二元一次方程、一元二次方程的重要基础。因此，这节课在教材中起到了承上启下的作用。

学情分析

学生前面已经学习了简单的方程及整式的内容，为本节课的学习做好了铺垫。

七年级的学生思维活跃，求知欲强，有比较强烈的自我意识，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇，因而在教学素材的选取与呈现方式以及学习活动的安排上力求设置学生感兴趣的并且具有挑战性的内容，让学生感受到数学来源于生活又回归生活实际，无形中产生浓厚的学习兴趣和探索热情。

七年级学生对于方程已经具备了一定的知识基础，但是对方程的理解还比较肤浅、模糊，还处于感性层面，缺乏理性的认识和把握，而且学生正处于感性认识向理性认识过渡的时期，抽象思维能力有待提高，对于一元一次方程的概念教学要选取具体的问题情境，逐步抽象。

七年级的学生很想利用所学的知识解决问题，通过对几个问题的分析、探讨、相互交流，逐步培养学生的观察、探索、归纳等能力，提高对课本知识的运用能力，从而认识归纳一元一次方程的相关概念，在练习中巩固和熟悉一元一次方程。

教学目标

1.知识与技能目标

(1)掌握方程、一元一次方程的定义，知道什么是方程的解。

(2)体会字母表示数的好处，会根据实际问题的条件列方程，能检验出一个数值是否是方程的解。

2.过程与方法目标

(1)通过将实际问题抽象成数学问题，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，渗透数学建模的思想，认识到从算式到方程是数学的一种进步。

(2)通过具体情境贴近学生生活，在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化，会利用一元一次方程的知识解决一些实际问题。

3.情感态度与价值观目标

(1)通过具体情境的探索、交流等数学活动培养学生的团体合作精神和积极参与、勤于思考的意识。

(2)激发学生的求知欲和学习数学的热情，培养独立思考和合作交流的能力，让他们享受成功的喜悦。

(3)经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程，树立多种方法解决问题的创新意识，增强用数学的意识，体会数学的应用价值。

教学重点、难点

教学重点：1.方程、一元一次方程、方程的解的概念。

2.根据实际问题的条件列出方程。

教学难点：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。

教学过程

一、创设情境 导入新课

二、探究新知 形成概念

三、应用新知 巩固提高

四、感悟反思

五、名题欣赏

六、布置作业

初一数学上册教案 第9篇

1、知道有理数混合运算的运算顺序，能正确进行有理数的混合运算;

2、会用计算器进行较繁杂的有理数混合运算。

教学重点

1、有理数的混合运算;

2、运用运算律进行有理数的混合运算的简便计算。

教学难点

运用运算律进行有理数的混合运算的简便计算。

有理数的混合运算的运算顺序

也就是说，在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，应按照运算级别从高到低进行，因为乘方是比乘除高一级的运算，所以像这样的有理数的混合运算，有以下运算顺序：

先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，先进行括号内的运算。

你会根据有理数的运算顺序计算上面的算式吗?

2、8有理数的混合运算：同步练习

1、有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，―2，7，这称为第一次操作。做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，―11，―2，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是。

《2、8有理数的混合运算》课后训练

初一数学上册教案 第10篇

用因式分解法解一元二次方程.

难点

让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.

一、复习引入

(学生活动)解下列方程：

(1)2x2+x=0(用配方法) (2)3x2+6x=0(用公式法)

老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解.

二、探索新知

(学生活动)请同学们口答下面各题.

(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项?

(2)等式左边的各项有没有共同因式?

(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解.

因此，上面两个方程都可以写成：

(1)x(2x+1)=0 (2)3x(x+2)=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12.

(2)3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2.(以上解法是如何实现降次的?)

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.

例1 解方程：

(1)10x-4.9x2=0 (2)x(x-2)+x-2=0 (3)5x2-2x-14=x2-2x+34 (4)(x-1)2=(3-2x)2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么?

解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积.)

练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )

A.(x-3)(x-5)=102，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B.(2-5x)+(5x-2)2=0，∴(5x-2)(5x-3)=0，∴x1=25，x2=35

C.(x+2)2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

D.x2=x，两边同除以x，得x=1

三、巩固练习

教材第14页 练习1，2.

四、课堂小结

本节课要掌握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.

(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.

五、作业布置

教材第17页习题6，8，10，11

初一数学上册 第11篇

第一章 有理数

一、有理数：

1、定义：凡能写成理数，整数和分数统称有理数.形式的数，都是有注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一 定是正数；p不是有理数；

2、有理数的分类:

3、注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；

4、自然数➩0和正整数；

a＞0 ➩ a是正数；a＜0 ➩ a是负数；

a≥0 ➩ a是正数或0➩ a是非负数；a≤0 ➩ a是负数或0 ➩ a是非正数.二、数轴

1、定义：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。

三、相反数

1、只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。

2、注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；

3、相反数的和为0 Û a+b=0 Û a、b互为相反数。

4、相反数的商为-1。

5、相反数的绝对值相等。

四、绝对值

1、正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它 的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

2、绝对值可表示为：

4、|a|是重要的非负数，即|a|≥0；

五、有理数比大小

1、正数永远比0大，负数永远比0小；

2、正数大于一切负数；

3、两个负数比较，绝对值大的反而小；

4、数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

5、-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。

六、倒数

1、定义：乘积为1的两个数互为倒数；

2、注意：

（1）0没有倒数；（2)若ab=1Û a、b互为倒数；（3）若ab=-1Û a、b互为负倒数.3、等于本身的数汇总：

（1）相反数等于本身的数：0

（2）倒数等于本身的数：1，-1（3）绝对值等于本身的数：正数和0

（4）平方等于本身的数：0,1

（5）立方等于本身的数：0,1，-1.七、有理数加法法则

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2、异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝 对值减去较小的绝对值；

3、一个数与0相加，仍得这个数.八、有理数加法的运算律

1、加法的交换律：a+b=b+a ；

2、加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.九、有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.十、有理数乘法法则

1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

2、任何数同零相乘都得零；

3、几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。

十一、有理数乘法的运算律

1、乘法的交换律：ab=ba；

2、乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

3、乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.（简便运算）

十二、有理数除法法则

除以一个数等于乘以这个数的倒数；零不能做除数，十三、有理数乘方的法则

1、正数的任何次幂都是正数；

2、负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

十四、乘方的定义

1、求相同因式积的运算，叫做乘方；

2、乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

3、a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0Û a=0,b=0；

十五、科学记数法

把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。

十六、近似数的精确位

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位。

十七、混合运算法则

1、先乘方，后乘除，最后加减；

2、注意：不省过程，不跳步骤。

十八、特殊值法

是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。常用于填空，选择。第二章 整式的加减

1．单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式。

2．单项式的系数与次数：单项式中的数字因数，称单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 5．整式：①单项式 ②多项式

6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.9．整式的加减：一找：（划线）；二“+”：（务必用+号开始合并）；三合：（合并）。10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.第三章 一元一次方程

1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.3．方程：含未知数的等式，叫方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解； 注意：“方程的解就能代入”！

5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.8．一元一次方程解法的一般步骤： 化简方程----------分数基本性质

去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母 去 括 号----------注意符号变化 移 项----------变号（留下靠前）合并同类项--------合并后符号 系数化为1---------除前面 9．列一元一次方程解应用题：（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”。

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题”。

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.10．列方程解应用题的常用公式：

工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量。（3）顺水逆水问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程。

利润问题常用等量关系：售价-进价=利润。第四章 几何图形初步

（一）多姿多彩的图形

（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.3、立体图形的平面展开图

（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的图形也不一样的.（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判 断和制作立体模型.4、点、线、面、体（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面.体：几何体也简称体.（2）点动成线，线动成面，面动成体.（二）直线、射线、线段

1、基本概念

图形

直线

射线

线段

端点个数

无

一个

两个

表示法

直线a AB（BA）

射线AB

线段a线段AB（BA）作法叙述

作直线AB；作直线a

作射线AB

作线段a；作线段AB；连接AB 延长叙述

不能延长

反向延长射线AB

延长线段AB；反向延长线段BA

2、直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线.3、画一条线段等于已知线段

（1）度量法

（2）用尺规作图法

4、线段的大小比较方法

（1）度量法

（2）叠合法

5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.图形：

符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM.6、线段的性质

两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.7、两点的距离

连接两点的线段长度叫做两点的距离.8、点与直线的位置关系（1）点在直线上；（2）点在直线外.（三）角

1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法（四种）：

3、角的度量单位及换算

4、角的分类

∠β

锐角

直角

钝角

平角

周角 范围

0＜∠β＜90°

∠β=90°

90°<∠β<180°

∠β=180°

∠β=360°

5、角的比较方法（1）度量法（2）叠合法

6、角的和、差、倍、分及其近似值

7、画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.8、角的平线线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.9、互余、互补

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.10、方向角（1）正方向（2）北（南）偏东（西）方向

初一数学上册例题解析 第12篇

1.(1)C、D、F;(2)A、B、G、H;(3)A、B;(4)G;(5)E、I;2.;3.;4.四,四,-ab2c,-,25;5.1,2;6.a3b2c;7.3x3-2x2-x;8.;9.D;10.A;11.B-;12.D;13.C;14.;15.a=;16.n=;四.-1.1.2整式的加减

1.-xy+2x2y2;2.2x2+2x2y;3.3;4.a2-a+6;5.99c-99a;6.6x2y+3x2y2-14y3;7.;8.;9.D;10.D;11.D;12.B;13.C;14.C;15.B;16.D;17.C;18.解：原式=,当a=-2,x=3时,原式=1.19.解：x=5,m=0,y=2,原式=5.20.(8a-5b)-[(3a-b)-]=,当a=10,b=8时,上车乘客是29人.21.解：由,得xy=3(x+y),原式=.22.解：(1)1,5,9,即后一个比前一个多4正方形.(2)17,37,1+4(n-1).四.解：3幅图中，需要的绳子分别为4a+4b+8c,4a+4b+4c,6a+6b+4c,所以(2)中的用绳最短，(3)中的用绳最长.1.3同底数幂的乘法

1.,;2.2x5,(x+y)7;3.106;4.3;5.7,12,15,3;6.10;7.D;8.B-;9.D;10.D;11.B;12.(1)-(x-y)10;(2)-(a-b-c)6;(3)2x5;(4)-xm

13.解:9.6×106×1.3×108≈1.2×1015(kg).14.(1)①，②.(2)①x+3=2x+1,x=2②x+6=2x,x=6.15.-8x7y8;16.15x=-9,x=-.四.105.毛

1.4幂的乘方与积的乘方

1.,;2.;3.4;4.;5.;6.1,-1;7.6,108;8.37;9.A、D;10.A、C;11.B;12.D;13.A;14.B;15.A;16.B.17.(1)0;(2);(3)0.18.(1)241(2)540019.,而,故.20.-7;

21.原式=,另知的末位数与33的末位数字相同都是7,而的末位数字为5,∴原式的末位数字为15-7=8.四.400.毛

1.5同底数幂的除法

1.-x3,x;2.2.04×10-4kg;3.≠2;4.26;5.(m-n)6;6.100;7.;8.2;9.3-,2,2;10.2m=n;11.B;12.B;13.C;14.B;15.C;16.A;

17.(1)9;(2)9;(3)1;(4);18.x=0,y=5;19.0;20.(1);

(2).21.;

四.0、2、-2.1.6整式的乘法

1.18x4y3z2;2.30(a+b)10;3.-2x3y+3x2y2-4xy3;4.a3+3a;5.-36;6.a4--16;7.-3x3-x+17;8.2,39.;10.C;11.C;12.C;13.D;14.D;15.D;16-.B;17.A;18.(1)x=;(2)0;

19.∵∴;

20.∵x+3y=0∴x3+3x2y-2x-6y=x2(x+3y)-2(x+3y)=x2·0-2·0=0,21.由题意得35a+33b+3c-3=5,∴35a+33b+3c=8,∴(-3)5a+(-3)3b+(-3)c-3=-(35a+33b+3c)-3=-8-3=-11,22.原式=-9,原式的值与a的取值无关.23.∵,=,=.∴能被13整除.四.,有14位正整数.毛

1.7平方差公式(1)

1.36-x2,x2-;2.-2a2+5b;3.x+1;4.b+c,b+c;5.a-c,b+d,a-c,b+d;6.,159991;7.D;8.C;9.D;10.-1;11.5050;12.(1),-39;(2)x=4;13.原式=;14.原式=.15.这两个整数为65和63.四.略.1.7平方差公式(2)

1.b2-9a2;2.-a-1;3.n-m;4.a+b,1;5.130+2,130-2,16896;6.3x-y2;7.-24;8.-15;9.B;10.D;11.C;12.A;13.C;14.B.15.解:原式=.16.解:原式=16y4-81x4;17.解:原式=10x2-10y2.当x=-2,y=3时,原式=-50.18.解:6x=-9,∴x=.19.解:这块菜地的面积为:

(2a+3)(2a-3)=(2a)2-9=4a2-9(cm2),20.解:游泳池的容积是:(4a2+9b2)(2a+3b)(2a-3b),=16a4-81b4(米3).21.解:原式=-6xy+18y2,当x=-3,y=-2时,原式=36.一变:解:由题得:

M=(-4x+3y)(-3y-4x)-(2x+3y)(8x-9y)

=(-4x)2-(3y)2-(16x2-18xy+24xy-27y2)

=16x2-9y2-16x2-6xy+27y2=18y2-6xy.四.2n+1.1.8完全平方公式(1)

1.x2+2xy+9y2,y-1;2.3a-4b,24ab,25,5;3.a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc;4.4ab-,-2,;5.±6;6.x2-y2+2yz-z2;7.2cm;8.D;9.B;10.C;11.B;12.B;13.A;

14.∵x+=5∴(x+)2=25,即x2+2+=25