超级画板论文范文（精选9篇）

超级画板论文 第1篇

●作分段函数图像的比较

对于分段函数, 无论是几何画板还是超级画板, 都不能直接输入函数表达式作出图像。在几何画板中内置了一个符号函数通过) sgn (x) 的三个值间接列出分段函数的统一表达式, 从而作出函数图像。在超级画板中内置了一个符号函数用basign) , (的两个值间接列出分段函数的统一表达式, 从而作出函数图像。从理论上说, 两个软件是殊途同归, 但实际做起来, 简单性却不一样。

例1:作分段函数的图像 (1) 。

注释 (1) 用几何画板作此分段函数图像的过程是先手工计算待定系数, 得到函数的统一表达式, 再做四步电脑操作, 才绘出图像。下面用超级画板作此函数的图像:

作图→函数或参数方程曲线→对话框“函数表达式”栏填:sign (x, 0) * (2*x+1) + (1-sign (x, 0) ) →确定, 即作出图像。

从此例可以看出, 用超级画板不需要人工计算就直接在电脑上输入统一的函数表达式, 一步即完成任务。简单性不言而喻。

●不规则图形填充的比较

几何画板只能填充有规则图形的内部, 对于不规则图形内部, 几何画板就无能为力了, 只能通过技巧方法间接填充。

例2:填充集合A与B的差所围区域 (2) 。

注释 (2) 用几何画板作阴影填充, 需要七步;作斜线填充, 需要9步。下面用超级画板填充。

1. 用阴影填充

(1) 作圆A、圆B并使其相交;

(2) 选中圆A、圆B→作图→填充区域→区域的差, 效果如图1所示。

2.用斜线填充

(1) 先用阴影填充;

(2) 右键单击图形内部→属性→在“填充”栏目中选择“阴影线条画刷”, 设置白色背景、蓝色前景, 线条类型选图2的样式→确定, 效果如图2所示。

从此例可以看出, 几何画板的填充功能不健全, 对于这样的区域是用线段的踪迹间接进行阴影填充的, 不仅步骤多, 还由于鼠标拖动线段的速度不均匀, 需要来回拖动好几次, 才能填满整个区域, 稍不小心, 踪迹就会跑到线外。斜线填充是在阴影填充的基础上, 降低填充点数完成的, 斜线有时也会超出图形。相比之下, 用超级画板作阴影填充只需两步即可完成, 作斜线填充也只需在阴影的基础上再加一步即可完成, 且填充边界清晰, 图案新颖 (超级画板内置许多用来填充的好看图案) 。超级画板使用简单的优点非常明显。

●标记角的比较

例3:将一个直角和一个锐角作标记符号 (3) 。

注释 (3) 用几何画板作角标记, 由于几何画板没有作角标记的功能, 作者不得不采用技巧方法达到目的。用单位圆上两条互相垂直的切线标记直角, 用单位圆上的一段弧标记锐角。下面用超级画板标记角。

1.标记直角

(1) 作线段AB;

(2) 作线段CD⊥AB, D为垂足;

(3) 依次选中点B、D、C→作图→标记角, 完成直角标记。

2. 标记锐角

(2) 依次选中点A、B、C→作图→标记角, 完成锐角标记。

从此例可以看出, 用几何画板通过技巧方法间接作出角标记, 非常麻烦, 不仅步骤多, 而且画面杂乱, 需要隐藏的对象太多。而超级画板内置有许多不同的角标记符号, 只用点击一下, 选择自己需要的角标记符号即可。大大降低了工作量, 其使用简单性是几何画板无法比拟的。

●总结

从作分段函数、区域填充和标记角三个方面对超级画板和几何画板的操作工作量进行比较, 以同样的问题, 要求效果相同, 步骤的编排基本一致, 3个例子的步骤都有很大悬殊。超级画板远比几何画板的步骤少, 并且功能更多。所以我们得到结论:从作分段函数、区域填充和标记角三个方面来说, 使用超级画板明显比使用几何画板工作量少。对于软件使用者来说, 工作量少就意味着简单性好。所以超级画板比几何画板操作起来更简单。

参考文献

①阳际国.用几何画板巧作分段函数的图像.中小学信息技术教育, 2004 (9)

②林志兴.几何画板中区域填充的技巧.福建中学数学, 2006 (12)

超级画板教学反思 第2篇

《超级画板》教学反思

曾经在我们学校已经听过刘海霞老师执教了《超级画板》。课堂观摩会上，感受深刻。领略了刘老师智慧型老师的教学敏锐。看着学生学完这节课，掌握了探索规律解决问题的一般转化的方法“化繁为简，从简入手”，体悟到极限的数学思想。

动态演示，探索规律;认识圆内接正多边形

1、师：在圆周上找两个点，把圆周等分成2份，把这两个点连起来，是什么?生：直径;

2、师：把圆周等分成3份，把点连接起来就成三角形;依次类推，

等分成4份，得到正四边形;等分成5份，得到正五边形

3、引导观察，交流发现。师：圆内出现这些图形有什么共同的特点与变化?相同之处：每条边都相等，顶点在圆上，图形都在圆内，因此这些图形都叫做圆内接正多边形。有什么不同之处：点数越多，边数越多，面积和周长越接近圆;

4、动画验证发现。师：为了验证大家的发现，演示一个动画。(动态演示：多边形随着边数增加而增大。

5、数据验证发现。边演示动画，边出现数据，用数量精确刻画变化;当边数增多的时候，正多边形的面积和周长就接近圆了。当出现正100边形的时候，可以设问：看到的是正多边形，还是圆?肉眼看到的已经是一个圆，实际上是一个正100边形。引导想象：如果是正3072边形呢?学生惊呼：几乎就是圆了。

6、数学史介绍。师：这个道理，在古代推导圆周率的时候，就被发现，这个伟大的数学家的名字叫刘徽。(注：学生总是异口同声地说“祖冲之”。)我们除了记住祖冲之还应该记住刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。学生根据理解加以解读。

史料：中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”的数值来进行有关圆的计算。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。魏晋时期，刘徽提出用“割圆术”来求圆周率，把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算最精确的数据。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。比西方国家早一千一百多年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。

反思：“实践与综合应用”作为小学数学课程的一个重要领域，是以学生为主体的解决问题的活动，与生活紧密的联系性、活动形式的多样性是它的特点，因此，实践性就是其核心价值，综合应用则是最终目的的体现。纵观这一节的听课活动，有很深的触动，发现了自己以前对“实践与综合应用”这一领域教学所持的`观点还是比较狭隘的，经历并反思这个转变的过程，我感受着新的领悟――

超级画板论文 第3篇

【关键词】超级画板；解析几何；数学探究

在教育教学中，利用信息技术促进教学，已成为现代教育的一个标志.超级画板在数形结合和动态展示等方面上有着强大功能，能有力地弥补传统数学教学的不足，但具体到教学中何时用、何处用、怎么用来优化教学却是亟待研究的问题.笔者对自身的教学实践进行了初步反思，得到几点粗浅的看法，望能起到抛砖引玉的作用.1应用超级画板帮助学生加强对解析几何概念的理解

高中数学中解析几何部分内容相对抽象和复杂，特别是圆锥曲线的概念涉及到的限制条件较多，定义方式不单一，对应图象的生成方式多样化，同时各种圆锥曲线间的性质容易混淆，这些都造成了学习上的困难.笔者曾经在讲授完椭圆的定义后给学生布置了课本中的一道习题作为作业（人教版选修2-1的习题22），题目如下：图1

如图1，圆O的半径为定长r，A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

作业的效果不是很好，什么原因？学生知道椭圆的定义中有“动点到两个定点的距离之和为定值……”这样的条件，但此题并没有直接给出这个条件来，需要学生自己去构建，这时观察能力和联想能力就很重要了.事实上观察能力和联想能力恰恰是解析几何教学中需要重点培养的方面，基于轨迹的动态特征，借助超级画板等信息技术来辅助教学就很有必要.

笔者在后来上椭圆的新课时干脆把上面这个题目当成新课的引入部分，利用超级画板中的“跟踪”功能，慢慢拖动P点在圆上运动时，让学生观察轨迹的特点和其中隐含的条件，进而引出椭圆的概念.这样的椭圆概念新课处理方式激发了学生对Q点轨迹的好奇心，极大地方便学生观察变化规律，同时也给学生留下了一种印象深刻的椭圆生成方式.

上面用到的超级画板课件还可以在讲授离心率时派上用场，拖动A点使得OA的距离变大，利用超级画板的“轨迹”功能容易发现对应的椭圆越来越扁.在此过程中可引导学生观察发现OA的距离变大（即焦距2c变大）时，又由于圆O不变即有2a不变，从而离心率e=ca变大，与此同时椭圆越来越扁.如此一展示，学生容易理解离心率对椭圆扁平程度的影响关系.另外，在新授双曲线的概念时上述超级画板的课件仍然可以继续使用，拖动A点到圆O外时就得到Q点轨迹为双曲线，这个结果容易引发学生的疑问，为什么轨迹会由椭圆变成了双曲线？正所谓“学起于思，思源于疑”，教师应及时抓住这个学习的良机，让学生类比椭圆研究双曲线的特征.

借助以上几次超级画板课件的应用，学生对圆锥曲线的概念及生成方式能留下深刻的印象，并在知识网络结构中形成了合理的图式.值得一提的是这样的超级画板课件制作起来非常容易，当前学校的多媒体设备都较为普及，完全可以让学生亲自操作，教师只在关键时刻加以指导帮助，这样学生的探索积极性较高，且在动手做数学实验的过程中能够获得更加深刻的数学感悟.2应用超级画板帮助学生发现解析几何中的定点问题

解析几何中含参数的直线或曲线变化多端，但通常都隐藏着过定点的规律，如果学生不能发现这个规律则往往简单问题复杂化，事倍功半.在传统教学中限于信息技术的局限往往只能对这类问题通过常规推理证明，难以直观展示动态变化中的过定点特征，使得学生对该类问题印象不深，容易忘记相关结论，更不用说记得怎么推理出来的了.新课标提出：“高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容”.通过超级画板的轨迹跟踪功能将动直线或曲线的变化情况展示出来，将有助于学生发现新现象，并将极大地激发学生探索现象背后的规律证明，从而主动建构起新的知识，这样的教学方式要比原来直接告诉学生有新规律然后证明的接受式教学更加有效.

例如笔者在必修2中讲直线系过定点问题时先引入一个问题：判断直线l：ax+（2a-1）y+a=0（a∈R）与圆O：x2+y2=1的位置关系.学生一般都会先尝试下判断圆心到直线的距离与半径的大小关系，于是写出d=a5a2-4a+1，但接着大部分学生就发现很难将d与半径1作比较.正在学生一筹莫展之时，笔者笑着说：“何苦单恋一枝花呢，不如使用超级画板画出直线l和圆O，看看它们的位置关系到底怎样.”相对比几何画板，超级画板在参数变量的设置和操作方面特别方便，且直观明了，方便教师和学生使用.图2操作如下：在超级画板中使用“变量尺”新定义一个参数a（可以自定义取值范围），接着利用绘制“直线”的功能直接输入直线l的方程ax+（2a-1）y+a=0即可得到含参数a的直线，然后将圆O也绘制出来.拖动变量尺中参数a的取值，利用“跟踪”功能可以发现直线l一直过定点（-1，0），直线l与圆O相交或相切（如图2所示）！

面对这样魔术般的直观效果，学生们大开眼界，同时也对为什么会过定点（-1，0）感到好奇，笔者乘热打铁，提示学生可以先验证直线是否真的过点（-1，0），学生将点（-1，0）代入直线方程发现方程等式成立，且与a无关.笔者继续引导道：“从验证过程可以发现怎样才能跟a无关？”学生很快发现a与0相乘时就与a无关，于是笔者顺势提出可以将方程中的a提取出来，变成a（x+2y+1）-y=0.此时学生容易发现当x+2y+1=0且y=0时，方程恒成立，联立上面两个方程便发现直线真的过定点（-1，0）.笔者进一步指出：“这类问题属于含参数的直线系过定点问题，知道动直线过定点对于解决直线与曲线的相关问题非常有益.”笔者举例人教版必修2的“复习参考题”（P144）中的一题作为应用，题目如下：

已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0.

（1）求证：直线l恒过定点.（2）判断直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度.

通过超级画板作图演示发现l恒过定点（3，1），笔者引导学生类比直线ax+（2a-1）y+a=0的研究方法，证得直线l恒过定点（3，1）.另外，学生发现直线l恒过定点解决后通过数形结合很容易解决第2问.

从上面笔者对直线系过定点的教学案例可以发现，超级画板不仅给课堂呈现了实验的结果，定点数据还给我们提供了研究的突破口，教师在应用超级画板时一定要将课堂的重心放在如何利用超级画板的演示效果引导学生对背后的规律本质进行深入研究.

在圆锥曲线中还有其它重要的动直线过定点问题，一样可以应用超级画板辅助教学，例如：点A和点B均为抛物线y2=2x上的动点，且OA⊥OB，试问直线AB恒过何定点？

使用超级画板演示发现直线AB恒过点（2，0）（如图3所示），教师此时应注意引导学生多加观察，可提问：点（2，0）和y2=2x都有共同的2，是否巧合？通过这个提问进一步激发了学生的好奇心，在超级画板中调整抛物线为y2=2px，发现直线AB恒过点（2p，0），于是新的猜想就出来了，而怎么证明这个猜想也成了学生迫不及待想知道的事情，此时教师应顺势引导学生思考过定点问题该如何解决.图33应用超级画板帮助学生探索解析几何中的最值问题

解析几何中常涉及长度、斜率和面积等变量的最值问题的探讨.这原本是解析几何的重点研究内容，也是高考难题命制的青睐对象，更是展示解析几何的魅力之所在.然而，在传统教学中由于画图和测量的不便，师生对最值问题的处理只能靠手工演算，但由于图形复杂和数据繁多容易导致推导出错，还难以检查哪个步骤出错.另外整个推导过程还枯燥无味，大部分学生难以保持高强度的注意力，容易游离在课堂之外，变成教师自己的独角戏.而对于需要自主探索结论的开放性问题，学生对推导下去能否成功更是缺乏信心，容易半途而废.

超级画板具备强大的动态跟踪、动态测量和复杂计算功能，能够弥补传统教学中画图和测量困难，使用者可以选取解析几何动态变化中的任意一个位置来进行静态观察和研究，也能在动态变化中通过观察测量值的变化情况发现规律.在最值问题的教学中适时借助超级画板能帮助学生掌握动态变化情况，轻松发现取到最值时的特征，合理形成初步的数学猜想，也为学生对规律的证明提供了方向和信心.

例如笔者在教学中曾让学生探索如下一道解析几何的最值问题：已知点A（0，-2）和椭圆E：x24+y2=1，设过点A的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，求△OPQ的面积的最大值及此时直线l的方程.学生画图后很快发现直线l在绕着点A转动过程中确实存在最大值，通过解析几何的方法表达出△OPQ的面积并用基本不等式得到最大值为1，直线l的方程为y=±72x-2.接着笔者引导学生观察△OPQ面积的最大值1与椭圆方程E：x24+y2=1的关系，有学生发现1=12×2×1即有△OPQ面积的最大值1等于椭圆E中长半轴a与短半轴b围成的三角形面积12ab.是巧合还是真有这个结论？这个问题引起了学生强烈的好奇心和探索的热情，笔者建议学生在课后利用超级画板自主探索，看能否得出猜想并加以证明.

第二天的数学课堂上笔者让学生展示成果.

学生甲：我通过改变点A（与y轴的交点）的位置发现△OPQ面积的最大值仍然是1，改变椭圆的方程仍然有△OPQ面积的最大值为12ab.于是得到猜想：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1，过点A（0，m）的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，则有△OPQ面积的最大值为12ab.

学生甲对猜想证明如下：

依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=kx+m，联立x2a2+y2b2=1，

y=kx+m，得到（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2（m2-b2）=0，

x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2（m2-b2）b2+a2k2.

原点到直线l的距离d=mk2+1，弦长L=1+k2（x1+x2）2-4x1x2，

所以S△OAB=12m（x1+x2）2-4x1x2=12m4k2m2a4（b2+a2k2）2-4a2（m2-b2）b2+a2k2

=maba2k2+b2-m2（b2+a2k）2，令a2k2+b2-m2=t（t≥b2-m2）则有

S△OAB=mabt（t+m2）2=mab1t+m4t+2m2≤mab12m4+2m2=12ab.证毕.

师：“这个猜想和证明有没问题？”

学生乙：“我用超级画板发现有相同的结论，证明过程也跟猜想相符合，应该没问题.”其他学生也点头附和.

笔者当场演示超级画板，当点A的坐标为（0，-2），椭圆E的方程为x24+y2=1时，情况如图4所示：

图4

师：“就点A此时位置，猜想是对的.把点A的位置稍微上下移动，一样有相同的结论，所以你们就这样得到猜想？”

众学生点头，但似乎感觉到有点问题了.

师：“刚才的实验考虑到了全部情形吗？”

这时学生们才注意到点A的位置如果在更大范围移动可能有其它结果.随后笔者和学生一起动手实验探索，发现当点A的位置很靠近原点时△OPQ面积的最大值取不到1，且容易发现取到最大值时直线l的斜率为0，这与前面的实验情形大不相同（如图5所示）！

图5

师：“那么前面的证明哪里出了问题？”

学生丙：“从超级画板看出最大值跟点A的位置有关，也就是与m的大小有关，前面证明的最后一步用了含m的不等式，但没有说明不等式取等号时应成立的条件.”

师：“没错，前面证明中使用基本不等式时一定要考虑‘正定等的！”

经过师生合作，前面的证明修正如下：

（前面一样）令a2k2+b2-m2=t（t≥b2-m2）则有

所以S△OAB=mabt（t+m2）2=mab1t+m4t+2m2，

①当b2-m2≤m2即m≥22b时，由基本不等式有

S△OAB=mab1t+m4t+2m2≤mab12m4+2m2=12ab，

当且仅当t=m4t，即t=m2时等号成立，此时有a2k2+b2=2m2.

②当b2-m2>m2即m<22b时，u（t）=t+m4t在t≥b2-m2时单调递增，所以当t=b2-m2，即k=0时，S△OAB有最大值mab2-m2b.

超级画板探究幂函数性质 第4篇

利用超级画板强大的作图和分析功能，以及其对函数图像能进行直接操作的优越性，图像的动态演示功能，重复引起变化的关键因素，局部放大，等等，可以使我们方便地观察函数的整体变化情况，从中获得大量关于函数特征的信息。

(1)函数作图工具直接绘制函数y=xa，变量范围可取(-6, 6);插入变量对象a，选择范围[-5, 5];增加动画按钮a，范围[-5, 5]，一次运动(图1);

(2)从左向右拖动滑杆a，或者点击动画按钮，可以实时看到图像在动态变化;

(3)把函数自变量范围改为(0, 5)，选中曲线，右键增加“跟踪”，再拉动滑杆或点击动画按钮，可以看到动态的跟踪过程(图2)。

(4)通过动手实践，我们可以得出以下性质：

(1) 函数经过公共点(1, 1);

(2) a>0时，y=xa在(0，+∞)上为增函数;a<0时，y=xa在(0，+∞)上为减函数;

(3) 在第一象限[1，+∞)，y=xa绕点(1, 1)逆时针旋转，指数a增大;

(4) y=xa不会在第四象限出现。

利用类似方法，可以探究指数函数y=xa和对数函数y=logaa的图像性质，从而得到如下有关重要性质：

(1) y=ax绕点(0, 1)逆时针旋转，底数a增大：当a<0时，原函数在R内单调减;当a=0时，原函数为在x轴上(0，+∞)内的一条射线;当a>0时，原函数在R内单调增(图3);

(2) y=logaa绕点(1, 0)顺时针旋转，底数a增大：当0

这样，有关指数函数、对数函数、幂函数等相关性质就串联起来了。

指数函数、对数函数、幂函数概念是中学必修的3类基本初等函数。教材中是通过指数式、对数式引入指数函数、对数函数，采用8个具体函数图像解析幂函数概念。而这些过程并不能很好地体现这三个函数的图形变化趋势，各类函数性质也难以得到综合。通过超级画板，教师在课堂上能即时作出各类函数图像，并使其动态变化。这样性质的总结便能顺其自然，一气呵成。

参考文献

超级画板在初中几何教学中的应用 第5篇

[摘 要] 超级画板辅助教学主要体现在优越的图形工具中，可用其代替部分传统教具，而它的动画功能可以让静止的图形动起来，体现直观的效果，也易于去验证猜想和探究，帮助学生直接理解动态过程，使学生养成以动态的观点思考静态图形的学习方法.[关键词] 超级画板；课堂教学；平面几何；直观；动态

前言

在知识爆炸的今天，信息技术的飞速发展广泛而深刻地影响着社会每一个领域的发展.在教育中，信息技术辅助教学也变得尤为重要.超级画板是一款优秀的数学教学软件，相比传统的数学教学，它具有诸多优势，如智能画笔作图、动态测量、图形变化等功能，能有效辅助教师进行课堂教学.在传统的平面几何教学中，常常是用粉笔借助直尺、圆规、量角器等教学测量工具在黑板上作图.我国现在提倡用信息技术辅助教学，以提高教学效率，而超级画板就能有效、方便地进行平面作图.（一）基本特色

超级画板画图最基本的就是用鼠标以点带线画图，点与点间默认以直线段连接，这能使教师轻松完成普通的多边形作图.而对于特殊图形，超级画板提供了一系列具有特殊性质的图形，如正多边形、等腰梯形、已知原点和半径的圆等，避免了特殊图形传统作图的诸多不便.如用笔画等腰梯形得用直尺辅助三角板进行平移，要先画出两条平行线，再用刻度尺准确地截取出两条线段作为等腰梯形的上下底，但是超级画板作图只需简单的两步：任取三点，依次选中这三点并点击“等腰梯形”，便可完成标准等腰梯形的作图.此外，传统作图在画含有特定角的多边形时需要量角器的辅助才能实现，而在画板中只需通过线绕点旋转的功能就能轻松完成.（二）图形易于“修改”

传统的作图大部分是画于黑板和纸上，这两种载体都有一个共同的弊端：不易于修改，特别是绘制较为复杂的图形和辅助线时，有诸多不便.超级画板除了可以删除不必要的点和线之外，还能隐藏一些暂时无用的点和线，待需要时再显示.这样的切换在教师的合理运用下可以一步步引导学生思考和探究，避免教师用传统方法改动图形时浪费时间导致学生思路中断的问题.超级画板可以在不改变图形结构的条件下利用放大和缩小的功能对原图形进行调节，避免因图形大小不适而需重新作图的问题.此外，它还能通过对线段进行不同层次的加粗和着色、对角进行标注等来突出题目条件，便于学生思考.（三）代替部分传统教具

教具是教师辅助教学的用具，教师根据需要使用教具，能够激发学生的学习兴趣，突出教学重难点，发展学生创新思维力，有效提高教学质量和效率.但是传统的数学教具常是由纸等材料直接制作的，这类教具不利于保存，通常为一次性用品.这种教具制作过程有时很复杂，且浪费精力和资源，超级画板能通过动画的制作模拟教具来代替部分传统教具.如图形关于对称轴的翻折过程，如图1所示；中心对称图形的旋转过程，如图2所示.超级画板除了能代替此类教具，还能代替其他教具，如数学绘图板，它比传统的绘图板便于携带，作图更精准，功能更强大，如图3所示.（四）易于探究、猜想

含变量的问题一般都比较抽象，学生难以想象出由自变量变化而引发的应变量的变化.虽然教师能画出变化过程中关键部分的图形，但不能展示出它的整个过程.超级画板中的变量尺能帮助教师展示出由自变量变化引起的图形变化过程，这样的全程展示可以让学生发现与所求问题最符合的情况，进而得出合理的猜想，从而解决问题.此外，超级画板能制作关于变量的探究模型，如变量尺和半径圆相结合，作出两个由变量尺控制半径的圆，组成圆与圆之间关系的探究模型，如图4～6所示.说明

（一）直观教学手段

直观教学手段是指根据教学需要对图形进行艺术加工，主要形式有：（1）用不同颜色、不同方式对图形进行标注涂色；（2）图形的隐藏和显示；（3）图形的动画效果.这些手段用传统的粉笔和黑板是不容易实现的，如果是借用超级画板，就大大降低了对图形进行加工的难度.下面借助以下案例介绍超级画板在直观教学中的应用.（二）具体实例

1.三角形的内角和验证

三角形内角和的验证主要是运用割补法使其三个内角拼成一个平角，如图7～10所示.上述几种情形展示的均是针对一个三角形的内角和问题，利用超级画板可以进行多种多样的说明，只是思考的角度和方式不同，都有自身的限制条件，在限制条件成立的情况下，可以根据数学软件直观地解决问题.2.其他四边形的性质

对于平行四边形的一系列性质，如对边平行且相等，我们可以对平行四边形的边进行着色，把对边设置为相同颜色，如图11所示；对角线互相平分，把边所在的三角形填充为不同的颜色，把面积相等的三角形进行填充，如图12所示.这两种方法明显比用黑板和粉笔的效率高且表示得清晰.3.解题案例

例1 如图13，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BC=DE.这是三角形全等问题，但是需求证的两条边所在的三角形不是独立存在的，要求?C的两个三角形有交叉部分.想快速完成证明，首先要将两个三角形抽象出来，我们通过不同颜色的填充将所要求证的三角形直观地表示出来，如图14，逐步寻找三角形全等的条件，然后利用已知条件，得到边角边（SAS）证明问题.例2 如图15，B，C，D在同一直线上，△ABC，△ECD为等边三角形，连接AD，EB交于点H.（1）求证：AD=EB ；（2）求∠AHB的度数.两个等边三角形构成了一个其他平面图形，在此基础上构建了两个三角形全等，为了直观明确到两个三角形全等，利用不同颜色来填充，将需要证明的图形区别出来，如图16，从而利用已知条件解决问题.例3 如图17，已知，正方形CEFG的边长为4，四边形ABCD为正方形，且点B，C，E在一条直线上，连接AG，GE，AE，求三角形AGE的面积.本题是考查三角形面积，倘若知道三角形的底和高，就很容易求解三角形的面积，但是此题三角形的高是没有直接给出的，所以借用超级画板的辅助，将问题图形在超级画板上演示，如图18，找到了要求解的三角形面积等于大正方形的一半，见图19.例4 如图20，求证多边形中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.方法一：观察图知，多边形5个内角的和刚好和三角形内角和相等，为180°，根据三角形外角的性质（三角形的任意一外角等于与它不相邻的两个内角之和），将多边形其中的四个内角之和转换为三角形的两个外角之和，如图

21、图22，①在△AEI中，∠A+∠E=∠DIA，②在△BCJ中，∠B+∠C=∠DJB，如图23，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠DJB+∠DIA=180°.方法二：如图24，作辅助线，连接CD，在△ECD中，∠E+∠ECD+∠EDC=180°，如图25，又对顶角相等，所以∠HCD+∠HDC=∠HBA+∠HAB，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠ECD+∠EDC+∠E=180°.4.图形的动态动画效果

（1）勾股定理的验证

如图26，以Rt△AFC的直角边和斜边为边长的三个正方形，因为正方形是特殊的平行四边形，因而可以将正方形的面积转换为平行四边形来计算，如图

27、图28三个正方形可以视为同底等高的平行四边形，如图29，将大正方形朝原点方向平移，最后两个平行四边形的面积就视为大正方形的面积.（2）正方体展开图

如图30是一个正方体，如图

31、图32用具体的动画展示，帮助学习者完成展开图形的理解.立体图形的三视图是一个学习的难点，借用超级画板辅助立体图形的展开，能帮助学生更好地理解三视图.（三）超级画板的使用策略

超级画板论文 第6篇

随着新一轮职业教育教学改革正不断深入，各中等职业技术学校纷纷开展一体化教学模式，特别是在专业课的教学改革上，已经突破了传统教学理念和教学方法，使得职业教育的教学质量得到迅速的提高，真正做到了培养社会需要的合格的技能人才的目标。

就目前的改革成果来看，各个学校都主要围绕专业课来进行一体化改革，但在文化基础课方面的改革还没有突破，教学方法和教学模式基本還停留在传统的思想上。其中的主要原因是文化基础课与专业课的不同，因为专业课是可以根据社会上对专业人才的需要而改变教学的重点，而文化基础课是没有区分专业的，只能按照传统的教学方法来教学。以我们学校的数学课为例，采用中等职业教育课程改革规划的教材，但该教材面对现时我校实际情况，并不完全适用；存在着理论性强、忽视学生的动手能力的缺点；而在中职生普遍文化基础较差的情况下，必须制定适合我校师生的校本教材，以提高学生动手能力为依据，适合学生的智力发展，又提高其创新能力。

那么是否能把专业课的一体化教学模式用在文化基础课教学上呢？生搬硬套肯定是不科学的，我们只能参考。一体化教学，通俗的理解是为了使理论与实践更好的衔接，将理论教学与实习教学融为一体。其内涵主要是打破传统的学科体系和教学模式，根据职业教育培养目标的要求来重新整合教学资源。体现能力本位的特点，从而逐步实现了三个转变，即从以教师为中心如何“教给”学生，向以学生为中心如何“教会”学生转变；从以教材为中心向以教学大纲和培养目标为中心转变；由此可见，一体化教学的特点是：（1）教师一体化，即专业理论课教师与实习指导课教师构成了一体。（2）教材一体化，即理论教材与实习课教材构成了一体。（3）教室一体化，即理论教室和机房构成了一体。

从一体化教学的特点我们可以发现，文化基础课要实行一体化教学，我们可以从理论教学与实践教学之间的转变入手。现在的学校基本上每个课室都已经安装了多媒体电教平台了，这为实践教学提供了基本的条件。但是使用什么手段来实现实践教学呢？以数学课为例，很多老师都是通过做课件来进行实践教学，做课件的软件有五花八门，例如：powerpoint、flash等等，他们做出来的课件也各有特点，但使用在数学课教学上，我觉得几何画板或者超级画板有更好的效果。下面我就以我用超级画板制作的一节课来作一个探究。

函数的单调性是函数的重要性质之一，通俗地说，函数的单调性指的是一个函数在一个范围内是增还是减，是从左向右上升还是下降？函数的增减本身包含着变化趋势的概念，而利用传统的教学手段很难表现变化，只好用语言“说”出这种变化。即使结合了课件来讲解，大多数的课件都没有做到动态显示的效果，基本上还是要老师“说”为主。在我们中职学校教学函数的单调性，要用传统的教学手段来“说”就更加困难了，因为我们的学生在初中时候数学基础本来就没有学好，要让他们从枯燥的理论中来理解函数的单调性，根据我多年的教学经验来看，绝大多数的学生是不能理解的。因此，利用课件来实行一体化教学显得更加重要。

课件的特点：

1.能改善学生的认知环境，增强教学效果。利用本课件，只要用鼠标拖动图像上的两点A、B，就可以观察到函数值的变化，这样更方便学生观察归纳，也调动了学生的学习积极性。

2.能使得学习内容静态变动态、抽象变形象，通过改变参数，可以看到曲线的动态变化过程，这些动态的过程为学生观察图像、发现结论、探讨问题创造了较好的“情景”。

3.本课件有较强的交互性，可以为学生提供参与的机会，可以让学生自己操作，实习自主学习。

教学案例：

第一页：（图略）

师：大家平时看天气预报的时候，经常会看到温度的变化图，大家能否根据这幅曲线图，回答我提出的问题？

显示问题，学生回答。

师：根据我们之前所学过函数表示方法，这属于函数的图像表示法，气温T随着时间t的变化而变化。这种变化的特点，就是我们今天和大家要探讨的课题——函数的单调性

显示课题。

师：那么什么是函数的单调性呢？下面我们通过一下例子一起来探讨。

第二页：

师：大家请注意，函数的图像从左向右呈什么趋势？当我拖地图像上的点A时，点A的坐标有什么变化？

生：图像从左向右呈上升趋势，点A的坐标在改变（纵坐标随着横坐标的增大而增大）

师：其实这种特性就是我们所说的函数单调性中的增函数。

第三页：

师：根据图像的这种特性，我们可以总结出增函数的定义。（板书增函数定义）

第四页：（图略）

师：下面我再看一个例子，大家请注意，函数的图像从左向右呈什么趋势？当我拖地图像上的点M时，点M的坐标有什么变化？

生：图像从左向右呈下降趋势，点M的坐标在改变（纵坐标随着横坐标的增大而减小）

师：其实这种特性就是我们所说的函数单调性中的减函数。

第五页：（图略）

师：根据图像的这种特性，我们可以总结出减函数的定义。（板书减函数定义）

师：通过刚才的学习，我已经对函数的单调性有所了解了，下面我通过几道例题来对函数的单调性加深认识。（例题略）

第七页：（本道练习可以让学生感受当k改变时，函数单调性的变化，图略）

使用后记：

利用超级画板制作的课件，虽然没有炫目的效果，但能使数学的图像从静态变成动态、抽象变得形象。建议在教学的过程中注意使用课件的动态效果来引导学生结合单调性的定义来观察图像的变化情况，最后用自己的语言来总结定义。经过在不同班级实践比较，使用本课件上课的班的学生，在学习效果上有较明显的提升。

参考文献：

基于超级画板的平面几何自动推理 第7篇

一、直接启动“自动推理”

对于一些较简单的题目，在作好图形后直接执行“推理→自动推理”命令，计算机推理结束后，会将所有得到的与图形有关的结论以信息树的形式显示在工作区的推理库中。其信息量是非常大的，有时是上百条甚至几百条。我们可从列举的信息中选出与题目问题有关的信息。这个过程不但可以系统复习学过的数学知识，而且可以学习如何从庞杂的信息中筛选有用的信息。所以超级画板的自动推理功能是学生学习的得力助手。

例1设任意△ABC的三边中点D、E、F组成△DEF，证明CFDE是平行四边形。

(1）依题意画图，如图1所示。

(2）单击“推理→自动推理”，工作区自动变为“推理库”。

(3）寻找有用信息：“推理库”第一行显示“共258条非平凡信息”，从下面的信息中找到“平行四边形信息共3条”，打开前面的“+”，找到“CFDE是平行四边形”，打开前面以及下面的“+”，出现图2的信息。

(4）打印证明过程：从图2的信息中已经明白证明方法，右键单击图2中的“EFGH是平行四边形”，在作图工作区打印出证明过程。

在例1的推理过程中，计算机是根据作图过程中所产生的几何关系进行推理，而题目中的几何关系是非常多的，因此计算机推出了很多关系任我们选择。所以说，超级画板不仅可替我们做题，而且为我们提供除解题之外的其他信息。

二、增加条件或结论

像例1那样有明显特征的题目，能找到我们需要的“平行四边形”信息。但对于难一点的题目，计算机可能找不到我们需要的信息，这时可以手工增加辅助条件，也就是告诉计算机需要增加的条件或所要证明的结论，计算机将增加的辅助条件当作已知条件进行推理。

例2在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD, BD⊥CD，∠ADB=∠C，若F是BC边上一动点，则DF长的最小值是多少？

先画出图形如图3所示，如果直接单击“推理→自动推理”，推理库中没有我们需要的“线段值”的信息。因为计算机不知道我们要求它计算线段DF的值，所以直接启动自动推理功能没法解决，需要给计算机提供已知条件和结论，再启动自动推理功能。过程如下：（1）单击“推理→添加辅助条件或结论”，在弹出的“增加条件或结论对话框”中，增加第一个条件“∠A=90°”：在条件类型框中选择“角的值”；选择对象为“点B、A、D”；将编辑表达式“（anglevalue B A D）”修改为“（anglevalue B A D 90）”。（2）增加第二个条件“AD=4”：条件类型选择“线段的值”；选择对象为“点A、D”；将编辑表达式“（segmentvalue A D）”修改为“（segmentvalue A D 4）”。（3）增加第三个条件“BD⊥CD”：条件类型选择“直线垂直”；选择对象为“点B、D、C、D”。（4）增加第四个条件“∠ADB=∠C”：条件类型选择“角相等”；选择对象为“点A、D、B、B、C、D”。（5）增加第五个条件“DF⊥BC”（因为垂直时距离最短）：条件类型选择“直线垂直”；选择对象为“点D、F、B、C”。（6）增加结论“DF的值”：结论类型选择“线段的值”；选择对象为“点D、F”。（7）单击“推理→自动推理”，则推理库中有“线段的值”信息，打开它前面的“+”，有“DF=4”的结论。打开它前面和下面所有的“+”，就是结论“DF=4”的推理依据（图4）。

从图3可以看出，AD与DF画得并不相等，但计算机还是推出了它们相等。这说明我们画图并不需要特别精细，只要图形大致类似，计算机会结合我们给定的辅助条件和结论进行智能推理，这为我们省去了很多时间。

三、设置推理规则和方法

超级画板自动推理的依据是初中平面几何的所有公理和定理。这就有一个问题，即平面几何知识没学完，如果不告诉计算机学习进度的话，它会用到四边形、相似形、解直角三角形甚至圆的知识来解题。所以需要告诉计算机必须用什么知识来解题。

例3在梯形ABCD中, AB∥CD, 若EA=EB, EC=ED，问梯形ABCD是等腰梯形吗？（1）依题意画图，如图5所示。（2）设置推理规则：单击“推理|设置推理规则”，在弹出的设置推理规则对话框中，选择“四边形”。（3）增加已知和结论：单击“推理/添加辅助条件或结论”，在弹出的对话框中， (1) 选择条件类型“直线平行”，选择对象“点C、D、A、B”； (2) 选择条件类型“线段相等”，选择对象“点E、A、E、B”； (3) 再选择对象“点E、C、E、D”； (4) 选择结论类型“等腰梯形”，选择对象“点C、D、A、B”。（4）推理：单击“推理/自动推理”，计算机将推理步骤列出。从中找到“等腰梯形信息共1条”，打开下面的所有“+”，就是需要的执果索因的证明过程（图6）。

利用超级画板中的自动推理技术，把中学数学教师从繁重的备课任务中解放出来，也给了学生自主学习的机会，学生可以在家里利用计算机帮助自己找到合适的解题方法。这样，教师教得幸福，学生学得快乐，达到共赢的效果。

摘要：如何利用计算机进行几何定理的自动证明, 是学术界长期研究的课题。本文从直接启动自动推理、增加条件或结论的推理以及设置推理规则的推理三个方面对张景中院士领衔开发的Z+Z智能教育平台——超级画板软件的功能展开论述, 并举例介绍三种方法的操作过程。

超级画板论文 第8篇

一、数形结合思想的重要性

数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学。坐标轴的诞生使得数成为形的抽象概括, 形成为数的直观表现。

二、数形结合思想的培养途径

如何培养数形结合思想?通过什么途径进行培养?在传统的教学中往往通过粉笔、黑板、模具等进行展示, 缺少精确度与柔美性, 老师画得辛苦, 学生看得痛苦, 尤其当遇见空间几何体与球体中动点运动的轨迹时, 教师就更难在黑板上进行演示。

三、问题解决教学的意义

数学的真正组成部分是问题和解决问题, 问题是数学的心脏, 问题解决作为学习数学课程的一个实践性环节, 能使学习者深入地理解数学概念, 全面系统地掌握数学知识。

四、问题解决中数形结合思想培养的过程

问题解决作为个人的认知行为活动, 近年来已被国内外心理学家从多角度对其进行了全面的研究, 并取得了丰硕的成果。其中巴浦洛夫提出的三条经典条件反射学习律给予笔者很大启示: (1) 消退律; (2) 泛化律; (3) 分化律。他强调, 一个刺激如果得不到强化, 那么之前形成的联结就会消退, 如果施与之前刺激类似的刺激进行强化, 则对这一系列的刺激都会得到加强。因此, 对数形结合思想的培养, 需要用同一系列的刺激, 从简到繁不断地进行强化, 在泛化的过程中达到巩固。结合这一理论笔者将问题解决教学归纳为四个过程:表征问题, 解答问题, 思路总结, 思想迁移。在这四个过程中逐步进行数形结合思想的培养, 那么如何利用超级画板在这四个过程中培养学生的数形结合思想?以下用一案例进行分析。

案例:求函数y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。

题目刚被展示出来, 学生已经嘘声一片, 该题难度较大, 确实很难解出, 笔者试图先用简单形式进行诱导, 进而启发学生发现新知。

先求函数y=|x+5|+|x-3|的值域:

绝对值在高中课本中是非常重要的知识点, 每一个绝对值都可展成两个不同的式子, 如, 对此要解决该问题, 需要同时满足两个绝对值的展开式, 则必须进行分类讨论, 解题过程如下: (1) 当x∈ (-∞, -5) 时, y=- (x+5) - (x-3) =-2x-2, 在此分类下即求一次函数y=-2x-2在定义域x∈ (-∞, -5) 内的值域, 此时y∈ (8, +∞) 。 (2) 当x∈[-5, 3]时, y= (x+5) - (x-3) =8, 在此分类下即求常函数y=8在定义域x∈[-5, 3]内的值域, 此时y∈[8, +∞) 。 (3) 当x∈ (3, +∞) 时, y= (x+5) + (x-3) =2x+2, 在此分类下即求一次函数y=2x+2在定义域x∈ (3, +∞) 内的值域, 此时y∈ (8, +∞) 。对三个分类下分别求出的值域取并集可得:y∈[8, +∞) 。即为该题的结果y∈[8, +∞) 。

在数形之间进行转换, 让学生在直观的教学中感受绝对值的几何意义, 从而更加深刻地认识到将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来的过程, 达到对知识的理解与运用, 用超级画板动态演示解决问题的过程如下:

1. 表征问题:

由数到形的转变。绝对值|a-b|的几何意义是:数轴上a, b两点之间的距离。y=|x+5|+|x-3|即求数轴上任意一点与-5的距离加上与3的距离的和的所有取值。这样就将抽象的代数语言与直观的图形语言进行沟通, 达到以形表数的目的。

2. 解答问题:以形解数的体现。

笔者在超级画板中绘制出数轴及点A (-5, 0) , B (3, 0) , 在数轴上任取一点C, 测量|AC|, |BC|, |AC|+|BC|的长度 (如图1) 。拖动C点在数轴上来回运动, 让学生观察|AC|, |BC|, |AC|+|BC|的值的变化, 笔者提问:C点在A, B两点之间运动与在A, B两点之外运动时|AC|+|BC|的值有什么变化?并诱导学生讨论C点运动到什么位置时, |AC|+|BC|的值达到最小。学生通过观察, 很容易知道:当C点在A, B两点之间运动时, |AC|+|BC|=8恒成立, 当C点从A点开始往-∞运动, 或C点从B点开始往+∞运动时, |AC|+|BC|的值比8逐次增大, 当C点在A, B两点间的任何位置处时, |AC|+|BC|的值达到最小, 最小值为8, 在这个过程中, 笔者试图让学生从动态的“形”中体会到|AC|+|BC|的不同变化, 学生通过观察可直接得出结果|x+5|+|x-3|≥|AC|+|BC|min=8。即|x+5|+|x-3|≥8。学生将绝对值式的代数语言与数轴上点之间的距离产生联结, 从而在大脑编码中形成数形结合图式。

3. 思路总结:由形到数的回归。

笔者诱导学生得出结论:求解y=|x-a|+|x-b|, (a<b) 的值域, 等价于求数轴上任意一点与a的距离加上与b的距离的和的最小值m, 达到最小值的点在a, b之间的任何位置, 此时m=b-a。则y=|x-a|+|x-b|的值域为{y|y≥m}。

4. 思想迁移:数形结合思想的强化。

通过超级画板的演示, 让数与形之间完美地结合。学生兴趣大增, 心情异常兴奋, 不禁大赞超级画板的神奇。此时笔者继续对题目升华, 将题目改为:求函数y=|x+5|+|x-3|+|x+2的值域。笔者组织学生小组合作, 组间讨论, 并让学生自己动手演示 (如图2) , 笔者提问:C点在A, D, B三点之间运动时, |AC|+|BC|+|DC|的值发生了什么变化, 它的最小值又为多少?达到最小值时C点在什么位置?学生积极讨论, 类比刚学习的知识, 很快就可以得出结论:当C点运动到与D点重合时, |AC|+|BC|+|DC|的值达到了最小, 最小值为8, C点从D点开始往-∞运动, 或C点从D点开始往+∞运动时, |AC|+|BC|+|DC|的值逐次比8增大, 函数y=|x+5|+|x-3|+|x+2|的值域为{y|y≥8}。在此过程中, 笔者用类似的刺激对学生进行诱导, 学生很快达到了知识的迁移, 数形结合思想得到了再次的加强, 思想的迁移初见成效。笔者诱导学生总结出:求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|, (a<b<c) 的值域, 等价于求数轴上任意一点与a的距离加上与b的距离再加上与c的距离的和的最小值m, 达到最小值的点应与b点重合, 此时m=c-a。则y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的值域为{y|y≥m}。

笔者继续组织学生讨论y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1的值域, 学生的积极性大增, 兴趣达到至高点, 争先抢后地要亲自操作 (如图3) , 学生用类似的方法可找到|AC|+|BC|+|DC|+|EC|的最小值为11, 取最小值时C点再D, E之间的任何位置。即y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|的值域为{y|y≥11}, 可见用超级画板演示数轴上点的运动这一类似刺激与数形结合思想的联结已经得到了泛化, 并在学生的头脑中形成了固定的图式, 数形结合思想达到了巩固与加强。

学生总结出:求解y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|, (a<b<c<d) 的值域, 等价于求数轴上任意一点与a, b, c, d四点距离的和的最小值m, 取得最小值的点在b, c间的任意位置, 此时m= (c-b) + (d-a) 。则y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的值域为{y|y≥m}。利用数形结合的思想学生猜想:y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|, (a<b<c<d<e) 中|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|, 取得最小值的点应与c点重合, 最小值m= (e-a) + (d-b) 。

笔者用超级画板对y=|x+5|+|x-3|+|x+2|+|x-1|+|x+1|进行验证 (如图4) , 猜想正确。数形结合思想得到泛化并巩固。

笔者鼓励学生猜想并验证得:对于

(1) 当n为偶数时, 取最小值的点应在之间; (2) 当n为奇数时, 取最小值的点应与重合。

原题:求函数y=|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+……+|x-2011|的值域。便可得到解决, 最小值m= (1005-1004) + (1006-1003) +……+ (2008-1) + (2009-0) +[2000- (-1) ]+[2011- (-2) ]=2019054, 则值域为{y|y≥2019054}。

五、结束语

超级画板的动态演示使学生的数形结合思想得到了强化与巩固, 而数形结合思想的培养也绝非一日之功, 需要在今后的学习中不断加强练习与探索。

参考文献

[1]张同君.中学数学解题探究[M].东北师范大学出版社, 2001.

超级画板论文 第9篇

数学原理是初中数学学习的核心和基础, 随着数学原理学习的增多, 学生出现错用乱用数学原理的现象愈发严重。究其原因, 一是学生没有准确把握数学原理的外延和内涵, 没有形成系统的数学原理体系, 因而不能灵活应用;二是教师在教学中往往忽略了数学原理的形成过程, 更多地侧重于原理的演绎推理和迁移应用, 导致学生通过简单记忆和机械模仿学习。这反映了教师对课程标准理念的缺失, 即“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆, 教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动, 从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。”[1]

二、实施策略

为解决上述问题, 特别是针对教师教学, 笔者尝试运用“超级画板”这个认知工具, 对数学原理内容学习进行教学建构, 建立学生对该知识的有效学习策略, 具体如下两点。

1. 借助超级画板, 开展数学实验活动

超级画板以其智能化的作图功能、人本化的动画功能和简易化的操作功能在众多数学教育软件中彰显出独特优势, 通过短期培训, 学生即可掌握软件中初中阶段数学实验活动所需的画图、测量及变换等基本认知工具功能, 为开展数学实验活动提供了良好的技术支持和研究平台。

2. 小组协作学习, 有效融合超级画板

由于学生动手和动脑的个体差异性, 因此开展数学原理学习时, 要挖掘信息技术在数学教学中的潜力, 实现课堂教学设计及其实施的优化, 还需进行小组协作, 以通过优势互补提高活动效率, 让学生在相互交流中形成观点和方法。而有效融合超级画板, 笔者认为应考虑三个方面, 即利用超级画板, 如何开展数学原理的探究活动、如何帮助学生构建数学原理体系、如何开展动态几何问题研究。

三、案例构建

下文以人教版八年级下册《菱形的判定》教学为例, 阐述超级画板 (下文简称画板) 和数学原理学习融合的具体策略和操作方法。

1. 课前准备

做好两点:一是学生培训, 二是学生分组。超级画板既作为教师的“教具”, 同时也成为学生的“学具”, 所以课前对学生进行了为期4课时的超级画板技术培训, 既提高学生对画板的浓厚兴趣, 又使所有学生能够掌握初中基本图形的画法、线段和角的度量以及作图形的轴对称、旋转、平移等变换。在分组上, 结合学生特点, 按4-5人一组, 由组长确定组员的分工, 每组自备一台笔记本电脑。

2. 课堂活动

教学设计分为七个环节:①复习旧知, 引入课题; ②创设情境, 引发动机;③实验探究, 发现猜想;④科学演绎, 论证猜想;⑤归纳方法, 思辨定理;⑥透视本质, 迁移应用;⑦回顾反思, 归纳提升。下面结合部分活动环节进行阐述如何借助画板来体现数学本质。

⑴画板再现概念形成过程

环节①是复习菱形的概念, 通过一个思考引入课题: 如果四边形ABCD是平行四边形, 且AB=BC, 那么四边形ABCD是特殊的四边形吗?如果是, 是哪种特殊四边形? 请说明理由。这个思考是在教师边操作画板, 直观、动态再现由平行四边形到菱形的过程 (如图1) , 利用画板让学生在图形语言的基础上, 用文字语言、符号语言回顾菱形的概念。而通过教师拖动点A改变菱形的形状 (如图2) , 揭示菱形边的特殊性和角的不特殊性这一本质, 并提出问题:任意一个四边形, 若从边和对角线考虑, 什么情形下会是菱形?由此体现图形概念是探索其它判定方法的基础。

技术反思:概念的呈现不是枯燥的文字, 而是利用画板动态展示由平行四边形到菱形的过程, 让学生通过观察直观了解用定义判定菱形的条件, 再认识概念是判定菱形的这个重要事实, 感受并建立动态的数学活动经验, 体现了“要关注概念的实际背景与形成过程, 帮助学生克服机械记忆概念的学习方式”[2]的理念。

⑵画板操作探究判定方法

“形成过程中的数学看上去是一种实验性的归纳科学” (波利亚) , 所以菱形判定方法的探索是在折菱形和画菱形的数学活动中展开的。在环节②③中设置几个活动:

活动1:用一张矩形的纸折出一个菱形, 分析折出菱形中的边、对角线的关系。分类引出所有可能的判定条件 (如图3) 。

活动2:结合折纸活动得到的条件, 以小组为单位用画板画出满足条件的四边形。

活动3:用画板的测量功能验证所画四边形是否为菱形。

创设折纸活动情境, 是引发学生探索菱形判定方法的动机, 并经历实物转化为几何图形的过程, 发现并抽象出边、对角线的关系。为避免学生产生“同时满足边、对角线两个条件的四边形是菱形”的思维误区, 通过画图实验, 不仅再次确认了折纸活动中所抽象出的条件, 同时为探索判定菱形的最简条件提供平台。而以画板作为学生自主学习的认知工具, 在画板的画图、测量等动态直观感知中再次验证折纸活动中所抽象的条件充分性, 在折、画的操作、观察和分析中发现菱形的判定方法。此外, 在两种画图方式中体现出用画板画图的方便快捷性, 同时, 拖动所画图形的一个顶点, 让学生观察到满足同样条件下图形的可变性, 增强学生动态几何的直观感受。

技术反思:猜想不仅仅依靠演绎推理加以验证, 实验性验证也是一种重要的方式。利用画板提供的测量功能, 通过图形的动态变化, 直观理解图形中的几何规律, 深刻领会纸上无法观测到的几何原理。例如, 学生验证所画的四边相等的四边形是否为菱形时 (如图4) , 根据菱形定义, 除了测量一组邻边外, 还可以通过测量两组对边或两组对角或两组邻角的和验证四边形是否为平行四边形, 通过拖动点D, 改变四边形的形状, 观察测量数据, 感知猜想具有一般性, 在测量过程中, 学生进一步从“数”和“形”两方面加深对图形的理解。

在实验验证的基础上, 学生可以进一步体会到理论证明方法。如学生验证所画的对角线互相垂直平分的四边形是否为菱形时 (如图5) , 并没有测量验证四边形ABCD为平行四边形, 而是只测量一组邻边即可说明, 这说明了理论验证的关键是证明一组邻边相等。

⑶画板例析辨明定理本质

“形成后的数学看上去是以欧几里得方式表现出来的一种系统演绎科学” (波利亚) 。直观操作是引发猜想的基础, 还需通过逻辑推理对猜想进行严密的科学论证, 这是得出结论的有效手段。环节④⑤主要是开展正反例的定理辨析。结合几何图形, 让学生能用自己的语言归纳菱形的判定条件, 加深菱形判定条件的理解, 并将判定方法由文字语言上升到符号语言, 要求学生用符号语言描述菱形的判定方法。而反例辨析, 通过思考1、2, 培养学生按条件构造反例图形的能力, 同时加深对判定方法的条件理解, 帮助学生把握判定方法的内涵和外延, 以期达到“举例论证, 建立方法”[3]的功效。

思考1:若四边形ABCD中AC⊥BD, 四边形ABCD还是菱形吗?若不是, 画出反例图形。

思考2:若四边形ABCD中AB=BC=CD, 四边形ABCD还是菱形吗?

最后教师结合学生的归纳, 通过画板呈现从四边形、平行四边形到菱形的过程, 建立知识框架 (图略) , 构建图形之间的联系, 让学生更好理解图形之间的关系。这里突出了画板的辅助功能, 即画板不能替代或超越学生的思维活动。

技术反思:在画图和反例辨析活动中, 利用画板强大的画图功能进行探索, 培养学生构造图形的能力。学生在思考画图方法的过程中, 本身就是对知识的再应用过程。在保证条件的前提下改变图形形状, 让学生对图形的可变化性有更直观的感受。例如图6中通过拖动点B, 在满足AC⊥BD的条件下, 感知四边形ABCD形状的不确定性, 学生所举出的反例图形不再局限于菱形、正方形这些特殊的四边形, 学生对图形的感知更加丰富。

⑷画板动态构建原理体系

画板的另一大优势是能动态呈现几何图形的变化过程。为进一步揭示平行四边形、矩形、菱形判定的联系和区别, 笔者类比原理学习的形成过程, 从折纸 (图形变换) 中发现问题, 并结合课本题目将课本例题改编成一道动态几何的例题进行探究。

例题:如图7, 已知直线m∥n, A、C分别是直线m、n的两个定点, 点O为AC的中点, 过点O的直线交m于点D, 交n于点B.

(1) 试判定四边形ABCD的形状, 并说明理由。

(2) 当对角线BD满足什么位置时, 四边形ABCD是菱形?说明理由。

(3) 当对角线BD满足什么位置时, 四边形ABCD是矩形?

探究 : 当对角线AC、BD分别满足什么关系时, 四边形是平行四边形、矩形、菱形?请进一步思考其它折菱形的方法。

技术反思:该问题有效运用画板“透视本质”[4]的功效, 以一个“图式”为主线进行三种方法串联, 并打通串联的节点, 形成较为平滑的“线”, 即认知策略. 问题解决后点明在同一情境中即使条件迁移了, 运用知识的方法不变, 促进学生获得变式问题解决的经验和体验, 学会迁移应用。

此外, 学习的过程同时包含两方面的建构:一方面是对新信息意义的建构, 同时又包含对原有知识和经验的改造和重组。在归纳菱形判定方法的过程中, 教师通过画板归纳知识的框架认知功能呈现一般四边形、平行四边形到菱形的方法过程, 同时在最后的回顾反思中, 概括整节课的知识形成过程时, 教师利用超级画板将知识框架多次呈现, 在不断归纳和反思中有效帮助学生建立框架知识结构, 形成知识体系。

四、实践思考

通过实践, 思考画板对开展数学原理探究性教学的影响, 笔者认为至少有三点。

1. 提高学习兴趣, 促进方式改变

画板为学生展示丰富多彩、广博生动的教学内容, 比如图形的平移、旋转、缩放、分割、重叠等, 既生动又准确。再与学生动手操作相结合, 其过程充满趣味性和挑战性, 学生学习主动性高, 学习兴趣和求知欲被极大地激发出来。同时, 学生的学习方式也发生了根本性改变, 学生在自主、合作、探究学习中真切体验数学原理的形成过程, 通过师生、生生交流促使学生对数学原理达到较为深刻的理解, 对数学学习的态度和学习方式都发生了积极的变化。

2. 发展学生思维, 加强抽象创新

学生在观察、动手操作、合作交流中通过类比猜想、归纳概括以及推理论证得出结论, 经历了由感性到理性的过程, 进一步发展了抽象思维能力。不仅如此, 在自主探索的学习方式下也激发了学生的创新思维能力, 例如让学生利用所学知识进一步找出折菱形的其它方法, 学生课后研究发现菱形的多种折法 (图8) 。可见, 通过对角线互相垂直平分的数学原理实质, 学生可以创造出更多折菱形的方法, 学生在探索过程中, 进一步促进数学思维能力的提升, 特别是发展了创新思维能力。

此外, 两者的有效融合不仅有助于教师新数学课程理念的形成和信息技术水平的提升, 而且有助于教师教学方式的改进和开展教学反思和研究。

3. 防止“三位”问题, 突出辅助功能

运用画板, 需防止“错位”、“越位”、“缺位”[5]。画板只是辅助教学手段, 不能盲目扩大, 造成错位。画板在于促进学生有效思考, 在于提升学生对数学本质的理解, 不能越位而使学生缺失经历知识的形成过程, 而应突出体现其探究性, 辅助课堂上给予学生充分参与数学活动的时间和机会。画板是学生自主学习探究的一种认知工具, 这一理念体现不能缺位。不能只强调其作为辅助教学的演示工具, 而忽略了也可以作为“学具”的重要功能, 例如在对菱形的判定定理作反例辨析时, 直接让学生动手操作画图, 比教师直接演示更让学生印象深刻。

通过画板与数学原理学习深度融合的实践探索, “把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具, 致力于改变学生的学习方式”[6]的理念, 应该越来越受关注, 一线教师要开展信息技术与数学教学有效整合教学的实践和思考, 以实现教师的“教学相长”。

参考文献

[1][2][6]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2012.

[3][4]南国农.信息化教育概论 (第2版) [M].高等教育出版社, 2011, (6) .