案例9古典概型（精选8篇）
案例9古典概型 第1篇
古典概型 教学设计
一、教学设计 1.1教学内容分析
古典概型是概率中的一个重要内容，本章概率分为古典概型、几何概型两个部分，两部分在概率中的地位相同。本章对几何概型的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于几何概型的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是完全可以接受的，讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出几何概型的公式，最后反思应用。
1.2 教学目标
根据教学大纲和考试说明，结合数学情境的创设，确定本节课的素质教育目标是：
⑴知识教学目标：理解和掌握古典概型。
⑵能力训练目标：掌握古典概型的定义，极其在生活中的应用。培养学生数形结合、理论联系实际的思想。
⑶德育渗透目标：根据古典概型的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育 二教学过程 2.1创设情境
1.掷一颗骰子，观察出现的点数．这个试验的基本事件空间Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝．它有6个基本事件．由于骰子的构造是均匀的，因而出现这６种结果的机会是均等的，均为
．
2.一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况．这个试验的基本事件空间Ω＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝．它有4个基本事件．因为每一枚硬币“出现正面”与“出现反面”的机会是均等的，所以可以近似地认为出现这4种结果的机会是均等的，均为．
3.在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”．这个试验的基本事件空间为Ω＝｛发芽，不发芽｝，而这两种结果出现的机会一般是不均等的．
2.2 探索研究
1.讨论以上三个问题的特征
在这里，教师可引导学生从试验可能出现的结果上以及每个结果出现的可能性上讨论． 结论：（1）问题1，2与问题3不相同．（2）问题1，2有两个共同特征：
①有限性．在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件． ②等可能性．每个基本事件发生的可能性是均等的． 2.古典概型的定义
通过学生的讨论，归纳出古典概型的定义．
如果一个随机试验有上述（2）中的两个共同特征，我们就称这样的试验为古典概型，上述前2个例子均为古典概型．
一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征———有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．例如，第3个例子就不属于古典概型．
3.讨论古典概型的求法
充分利用问题1，2抽象概括出古典概型的求法．
一般地，对于古典概型，如果试验的n个事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两互斥的，则由互斥事件的概率加法公式，得
P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）＝P（A1∪A2∪…∪An）＝P（Ω）＝1． 又∵P（A1）＝P（A2）＝…＝P（An），∴代入上式，得nP（A1）＝1，即P（A1）＝
．
∴在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为．
如果随机事件Ａ包含的基本事件数为m，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P（A）＝mn，即
.案例分析
这篇案例设计思路清晰，重点突出，目标明确，为分散难点案例采用了从具体到抽象的方法，充分展示了知识的形成过程，使学生感到自然，没有突兀感，符合学生的认知规律．例题的设计有梯度，跟踪练习有针对性，教学过程充分发挥了学生自主学习和合作学习的学习方式，对学生后继学习能力的培养有积极的作用．
案例9古典概型 第2篇
一、内容和内容解析
本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，他的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率精确值，同时古典概型也是后面学习条件概率的基础，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。主要内容有： １．基本事件的概念及特点：（１）任何两个基本事件是互斥的；
（２）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。２．古典概型的特征：
（１）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；（２）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）。
３．古典概型的概率计算公式，p(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数，用列举法计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率。随机事件概率的基本算法是通过大量重复试验用频率来估计，而其特殊的类型――古典概型的概率计算，可通过分析结果来计算。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化古典概型的两个特征及概率计算公式。同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用统计、化归等数学思想方法有效解决有关的概率问题。
本节课的重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
二、目标和目标解析 <一>知识与技能
1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 <二>教学思考: 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.<三>解决问题: 借助问题背景及动手操作，让学生不断体验古典概型的特征，充分认识到它在运用古典概型概率计算公式中的重要性。在合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念.<四>情感态度与价值观: 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育.三、教学重点
理解古典概型的概念及利用古典概型公式求解随机事件的概率。
四、教学难点
怎么分析一个事件是否为古典概型以及在概率公式中古典概型的基本事件个数和基本事件总数
五、教具准备
多媒体课件、大转盘
六、教学问题诊断分析
学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学了随机事件的概率，并亲自动手 操作了掷硬币、骰子（包括同时掷两个）的试验，由此归纳出古典概型的两个特征不是难点，关键的问题是学生在解决古典概型中有关概率计算时，往往会忽视古典概型的两个特征，错用古典概型概率计算公式，因此在教学中结合例子进行深入讨论，加深对基本事件（相对性）的理解，让学生真正体会到判断古典概型的重要性，其中可以利用试验、统计、列举等手段来帮助学生解决问题。七．教学条件支持
为了有效实现教学目标，可借助计算机进行辅助教学。通过模拟和分析每种方式中每个基本事件的等可能性，引导学生发现在某些情况下每个基本事件不是等可能的。
八、教学过程
（一）新课导入：
教师提问：在之前的学习中，我们已经简单的了解了概率论的基本性质。可是，概率论是怎么起源的？数学家研究概率论问题是来自赌博者的请求。四百多年前，为了破解一个赌桌上如何分配金币的疑团，数学家开始了对概率论相关问题的思索。问题1：这究竟是一场怎样的赌局？ 问题2：赌局中遇到了哪些问题？
问题3：在这里又包含了哪些数学原理呢？
带着这些问题，共同走进第三章第二节—--古典概型。
教师引入：早在概率论产生之初，有着这样的一个故事，十七世纪的一天，梅尔和保罗相约赌博，他们每人拿出了6枚金币作为赌注，并约定谁先胜三局就可以得到所有的金币，可是比赛进行到梅尔胜两局保罗胜一局时，赌博被中断了。这个时候金币的分配成了难题，该怎么分配呢？每个人都有自己的想法，保罗认为，按照获胜的局数，梅尔胜了两局应该得到金币的三分之二，也就是8枚金币，而保罗则应该得到金币的三分之一，即4枚.可是梅尔自认为，我们约好了谁先胜三局谁就得到所有的金币，我已经胜了三局，有极大的的可能率先胜三局，因此金币应该全为梅尔所有。面对这么大的分歧，这 金币究竟怎么分配呢？此时他们请教当时法国著名的科学家帕斯卡和费尔马，两人为了这个数学问题开展了细致、深刻的研究。三年后，依据不同的方法给出了相同的答案，那就是梅尔得到9枚金币，保罗得到3枚金币。为什么会得到这样的结果呢？本节课我们就以费尔马的思想为例，看他是如何解决这个问题的。费尔马是这样考虑的，比赛在梅尔胜两局保罗胜一局的时候中断，如果我们让他们再赛一局的话，梅尔获胜，比赛终止，要是保罗获胜的话，比赛还得继续！也就是说，再进行一局不一定得到最终的结果。问题4：如果进行两局结果会怎么样呢? 教师总结：梅尔获胜或保罗获胜。在第一局是梅尔获胜的前提下，第二局有怎么样？梅尔获胜或保罗获胜两种情况。同样在第一局是保罗获胜的前提下，第二局呢？梅尔获胜或保罗获胜。
（二）评价概括，揭示新知问题
1.得出概念：数学家就是通过这样的数学模型归纳总结出了与它具有相同特点的数学模型，被成为古典概率模型，简称古典概型。
2.分析概念：那我们一起来总结一下，它究竟有哪些特点。
（1）在一次试验当中所有可能出现的基本事件只有有限个。（2）每个基本事件出现的可能性相等。3.回顾课堂：回到这场17世纪的比赛当中。教师提问：
问题5：应用我们学过的概率公式，所有可能出现的基本事件的概率之和等于必然事件发生的概率，因此，等于多少？
问题6：每个事件出现的概率相等，也就是说每个事件发生的概率都等于四分之一，我们来看这些基本事件，有哪些基本事件能让梅尔获胜呢？
问题7：再一次运用我们学过的概率公式，梅尔获胜的概率等于多少？
归纳总结：根据以前学习过的方法，梅尔获胜的概率等于梅尔获胜所包含的基本事件的个数3与基本事件总数4的比值，因此等于四分之三！数学家就是在这一计算方法的基础上，又总结出了在这一试验当中计算任一古典概型的通用公式。
4.得出公式：在一个古典概型当中，对于任一事件A而言，它所发生的概率，将等于A 所包含的基本事件的个数与基本事件总数的比值。
公式的运用：应用通用公式计算一下保罗获胜的概率是多少。
保罗获胜的概率等于保罗获胜所包含的基本事件的个数1与基本事件总数4的比值，因此等于四分之一，数学家们合理地分配了这12枚金币。梅尔得到金币的四分之三，9枚金币，保罗得到金币的四分之一，三枚金币。
随后，这一事件又被来到法国荷兰的科学家惠更斯获悉，他在这一游戏的基础上，写成了概率论最早的著作，而在这其后又被拉普拉斯定义了概率的古典定义。(三)动手实践，合作探究：
例子：学习了什么是古典概率极其概率公式之后，我们来将其应用到实际当中，看一个 现实生活中的小例子。
学生都见过有奖转盘的游戏，教师将转盘稍作改动，把1、2两个数字均匀地分布在圆盘上，游戏规则是这样的：将圆盘旋转两次，并将数字加和，为我们所要的结果。问题8:旋转两次，并将数字加和，能得到哪些结果呢？如果求的是数字之和为3的概率为多少？教师找一个同学来实践一下这个游戏，看看会得到哪些结果。（老师指向一名同学）来，这位同学，旋转„„（同学旋转一次）。
第一次的结果是„„1。第二次的结果依然是1，请回。注意指出：
（1）观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.（2）要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度.问题
9、该同学旋转的结果是1和1，请大家根据刚刚这位同学旋转的结果的基础上，再想想还没有没可能出现哪些基本事件？
问题
10、应用这个通用公式，如果用字母B来表示数字之和为3这一事件，它的概率等于多少？
九、练习巩固，发展提高.学生练习
问题11：在石头剪刀布这个游戏当中，若两人猜拳，手势相同的概率有多大？两人猜拳，第一个人可能出什么？在第一个人出拳头的前提下，第二个人可能出的是什么？同样，第一个人出剪子和布的时候，第二个人也会出这三种手势与之相对应。因此，我们得到了几个基本事件？手势相同的概率等于手势相同包含的基本事件个数3与基本事件总数9之商，因此等于三分之一。
问题12： 同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
设计意图：这节课是在没有学习排列组合的基础上学习如何求概率，所以在教学中引导学生根据古典概型的特征，用列举法解决概率问题。深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。
通过观察对比，发现两种结果不同的根本原因是——研究的问题是否满足古典概型，从而再次突出了古典概型这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究能力。
十、教师总结
以上是本节课的主要说课内容，要求大家掌握什么是古典概型极其概率计算公式。概率论起源于十七世纪中叶，当时，在误差、人口统计、人寿保险等范畴中的应用，应运 而生了这样一门数学分支。最初，数学家研究概率论问题正式本节课我们所学习的这样 一场十七世纪的赌局问题。本节课我们用了费尔马的思想方法来解决这一问题，其实啊，帕斯卡也有他的功业，同学们不妨课后百度一下，看看他是如何解决这一问题的。下课！
案例9古典概型 第3篇
本节课是在复习完古典概型与几何概型的基本知识之后的第二课时, 在学生对本节知识有了一定认识的基础上, 而且能够解决一些基本的关于古典概型与几何概型的问题而设计的一节习题课!
二、目标分析
1.继续巩固古典概型与几何概型的特点与基本概念.
2.通过典型例题引导学生应用两种概型下的概率公式 (实质就是一个比值) .
3.引导学生总结解决这类问题步骤, 主要是突破口即找出基本事件及A包含的基本事件的个数.
4.通过例题让学生感受概率与二次函数的结合与平面区域的结合, 体验高考考题, 从而掌握这一类问题的解题策略!
三、任务分析
本节课旨在引导学生辨析清楚古典概型后, 主要找出基本事件空间及A事件包含的基本事件.
四、教学设计
(一) 回顾古典概型与几何概型的特点及各自的概率公式
几何概型:P (A) =
如果不考虑有限与无限的区别, 这两个公式均可以看成是的比值, 因此关键就是找基本事件了!
(二) 典例分析及巩固练习
[例题一] (2007年宁夏海南) 设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(Ⅰ) 若a是从0, 1, 2, 3, 四个数中任取的一个数, b是从0, 1, 2三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.
(Ⅱ) 若a是从区间[0, 3]任取的一个数, b是从区间[0, 2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.
(解前题目分析, 通过提问让学生审题)
思考1:在 (Ⅰ) (Ⅱ) 中各能构成多少个 (x关于不同的一元二次方程?
分别如何取?
(通过此思考让学生意识到前后两小题的基本事件个数是本质不同的即一个有限, 一个无限.)
思考2:上述方程中a, b满足什么条件方程有实根?有实根的方程各有多少个?
通过此思考让学生写出符合条件的事件个数.
思考3:如何求 (Ⅰ) (Ⅱ) 方程有实根的概率?
通过此思考让学生意识到前者用古典概型, 后者用几何概型。
解:设事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”
当a>0, b>0时, 方程a2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
(Ⅰ) 基本事件共12个:
其中第一个数表示a的取值, 第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件, 事件A发生的概率为
(Ⅱ) 试验的全部结果所构成的区域为{ (a, b) |0≤a≤3, 0≤b≤2};构成事件A的区域为{ (a, b) |0≤a≤3, 0≤b≤2, a≥b};如图所示, 所以所求的概率为
评析:本题以一元二次方程为载体考查古典概型与几何概型的概率计算以及平面区域的知识巧妙结合, 具有典型性.
那么解决此类问题的关键是什么?
1.分析清楚基本事件是有限还是无限.
2.找出A事件所满足的条件.
练习1:分别在区间[1, 6]和[2, 4]内任取一实数, 依次记为m和n, 则m>n的概率为 ()
解析:图象m和n可能取值情况 (无限的, 几何概型)
如图所示, 满足情况的是图中的阴影部分, 故答案选D.
(三) 知识点提炼与总结
1.首先检验是否符合古典概型.
2.如果符合, 确定题目中的基本事件及基本事件总数.
3.结合已知条件仔细分析A事件所满足的条件 (用最简洁的方式表现) .
4.利用公式总计算A事件的概率.
(四) 拓展升华
[例题二]
已知函数f (x) =x2+ax+b,
(1) 若-2≤a≤4, -2≤b≤4 (a, b∈Z) , 求不等式f (x) >0的解集为R的概率;
(2) 若｜a｜≤1, ｜b｜≤1, 求方程f (x) =0两根都为负数的概率;
(解答前题目分析, 通过提问让学生审题)
思考1: (1) (2) 分别属于什么概型的概率问题?
思考2: (1) (2) 基本事件分别是什么?
思考3:不等式f (x) >0的解集为R满足的条件是什么?
思考4:方程f (x) =0两根都为负数的, 应满足什么条件?
解析: (1) 基本事件个数49个
不等式解集为R的条件是a2-4b<0, 则满足条件的不等式共有:
a=-2时, b=2, 3, 4;a=-1时b=1, 2, 3, 4;a=0时b=1, 2, 3, 4;a=1时, b=1, 2, 3, 4;a=2时, b=2, 3, 4;a=3时, b=3, 4.
所以满足不等式f (x) >0的解集为R的不等式有20个.故不等式f (x) >0的解集为R的概率是
(2) 所有基本事件 (a, b) 构成的区域面积是4.
方程f (x) =0两根都为负的条件是
满足 (*) 的区域面积为
所以, 方程f (x) =0两根都为负的概率P=1 48.
本题深入考查二次方程及函数零点的关系, 而且还涉及定积分的计算.
变式1:例题2中若｜a｜≤1, ｜b｜≤1, 求等式f (x) >0的解集为R的概率.
变式2:例题2中若-2≤a≤4, -2≤b≤4 (a, b∈Z) , 求方程f (x) =0两根都为负数的概率. (请一位同学到黑板上书写过程, 大家共同发现问题.)
五、课堂小结
本节课主要解决以一元二次方程为载体考查古典概型与几何概型的概率计算问题, 始终抓住以找古典概型中的基本事件为重点, 以找A事件所满足的基本事件为中心突破解决问题.
六、作业布置
在区间 (0, 3) 内随机取两个数a, b构造关于x的一元二次方程x2-ax+b=0, 事件A:“关于x的一元二次方程x2-ax+b=0的两个实根x1, x2满足0<x1<1<x2<2”.
(1) 求事件A发生的概率P (A) .
(2) 按上述方法相互独立的依次构造三个关于x的二次方程, 记三个方程中使事件A发生的个数为X, 求随机变量X的分布列以及数学期望EX.
七、课后反思
辨析古典概型与几何概型 第4篇
较为复杂的古典概型
例1 口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率.
解析 把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1，2，把两黑球也编上序号1，2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来.
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件[A]，则[P（A）=1224=12.]
点拨 四个人摸球的可能结果数即基本事件数是有限的，每个结果发生是等可能的，因此是古典概型. 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数. （1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举. （2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
例2 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A. [15] B. [25] C. [35] D. [45]
解析 语文、数学只有一科的两本书相邻，有[2A22A22A33=48]种摆放方法.
语文、数学两科的两本书都相邻，有[A22A22A33=24] 种摆放方法.
而五本不同的书排成一排总共有[A55]=120种摆放方法.
故所求概率为[1-48+24120=25].
答案 B
点拨 5本书的不同摆放方法是有限的，且每种摆放方法发生可能性相同，因此是古典概型. 求较复杂事件的概率问题时，可将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解. 正难则反法就是将较为复杂的古典概型转化为求其对立事件的概率进行求解的方法. 此类概率题目含有非常典型的“至少”“至多”等用语，正面求解分类较多或分类有困难时就可以考虑采用该方法求解.
与长度、角度有关的几何概型
例3 （1）在等腰[Rt△ABC]中，过直角顶点[C]在[∠ACB]的内部任意作一条射线[CM]交[AB]边于点[M]，则[AM小于AC]的概率为 .
（2）如图，在等腰直角[△ABC]中，在线段[AB]上取一点[M]，则使得[AM]小于[AC]的概率为 .
解析 （1）在[∠ACB]内的射线[CM]是均匀分布的，所以射线[CM]在[∠ACB]内的任何位置都是等可能的. 因为[AM]的大小与点[M]在[AB]上的位置有关，为了确保[AM 如图所示，在[AB]上截取[AC=AC，]连接[CC，]则[∠ACC=∠ACC.] 在[△CAC]中，[∵∠A=45°，][∴∠ACC][=67.5°.] 故所求的概率[P=∠ACC∠ACB=67.5°90°=34.] （2）等腰直角[△ABC]中，[AM]小于[AC]的概率 [P=ACAB=AC2AC][=22]. 点拨 射线在角内转动的位置有无限多个，点在线段上运动也有无数个位置，且每个结果都是等可能的，故两小题都是几何概型. 解答几何概型问题的关键在于弄清楚题中的考查对象与对象的活动范围. 当考查的对象为点时，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查的对象为线时，涉及射线的转动，一般用角的大小作为区域度量来计算. 要准确把握几何概型的“测度”，正确构造度量区域. 生活中的几何概型问题 例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率. 解析 以[x]轴和[y]轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是[x-y≤14.] 在如图所示平面直角坐标系下，[（x，y）]的所有可能结果是边长为1的正方形区域，而事件[A]“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示. 由几何概型的概率公式得， [P（A）=SAS=12-2×（1-14）×（1-14）×1212=716.] 所以，两人能会面的概率是[716]. 点拨 甲、乙两人达到约定地点的时间均是在一个连续区间上取值的变量，以这两个变量的有序实数对来表示基本事件，基本事件数是无限的，且每个结果都是等可能的，故本题是几何概型. 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件[A]对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率. 根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域. 1. 甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（ ） A. [12] B. [13] C. [14] D. [15] 2. 设不等式组[0≤x≤2，0≤y≤2，]表示的平面区域为[D]，在区域[D]内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A. [π4] B. [π-22] C. [π6] D. [4-π4] 3. 连掷两次骰子得到的点数分别为[m]和[n]，记向量[a=（m，n）]与向量[b=（1，-1）]的夹角为[θ]，则[θ∈（0，π2]]的概率是 . 4. 花园小区内有一块三边长分别是5m、5m、6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是 . 尊敬的各位评委，各位老师： 大家上午好！首先感谢老师给我们带来如此精彩的一堂课，现在由我来对这堂课进行点评。作家冰心说过一句话：“让孩子像野草一样自由生长”。只有给学生自由探究的空间，自由摸索的时间，他们的潜能才能最大地得到开发，创新意识才能最优化地得到培养。当然这里所说的“自由”并不是放任自流，而是在有组织、有计划指导下的自由。张老师这节课就充分展示了在教师的指引下，以学生为中心，利用学生学习的积极性和主动性来自主、合作、探究的新课改学习模式。 下面我将具体从教学设计、教学实施、教学效果和教学建议等四个方面来谈谈我的看法。 一、评教学设计： 1.评教学目标：张老师以新课标的内容大纲为指导，结合学生已有的认知水平，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个维度确定了本节课的教学目标，并将学习目标、教学重难点一一展示给学生，让学生在学习新课之前就有个整体框架，有侧重点。重视古典概型概念的形成过程和对概念本质的认识；强调古典概型的特点，培养学生对生活中数学的抽象概括能力。 2.评教学模式：我们采用的是“五步三环一反思”的导学案教学模式。着力构造“自主学习、小组讨论、合作探究”型的民主课堂。导入通过创设问题情境，引领教学；重点设计探究目标和随堂巩固两大部分，即贯穿自主学习、合作交流、展示点拨三个环节，突破教学关键；由学生进行课堂小结，完成整个教学活动。教师采用启发引导、合理评价的方式，借助及时反馈，给学生一个循序渐进的发展台阶，也给学生更多探究空间。以师生、生生合作为动力，以小组活动为基本单位的教学形式，激发了课堂的生命活力。 二、评教学实施： 1.评教学过程：为了充分调动学生的积极性和主动性, 在教学中借鉴基因问题式的学习理论，采取引导发现法，结合问题式教学，构建数学情境，引导学生进行观察讨论、归纳总结，鼓励学生自做自评，激发学生的学习兴趣，真正达到“学习有用的数学”的目的。实施过程的亮点：①导入新课时，根据做试验或者用计算机模拟实验等方法得到事件发生的频率来估计概率值不仅麻烦，而且不精确，那么是否存在计算随机事件发生概率的更简单的方法，由此问题情景引入，更易激发学生的学习兴趣与学习动力，调动了学习潜能。②整堂课中问题的处理过程，都是教师提出问题，学生自主学习思考，再讨论交流，自己解决问题，最后 教师点拨提高。教师没有包办，很好的体现了学生为主体的课标要求。而学生主动参与，情绪高昂，有效增强了教学的感染力。③通过教师引导、学生观察类比，推导出古典概型的概率计算公式。这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。④教学资源方面也就是教学媒体的应用方面看，我们看到授课过程充分使用了多媒体演示。不仅增强了教学直观性和增大了教学容量，而且也提高了课堂的教学效率和教学质量。整个教学过程中教师传授知识准确科学，这样的内容安排不仅符合学生的认知过程，也符合教学的实际内容，处理的非常得当。 2.评教师的教学基本功和教学素养：这节课展现了教师扎实的教学功底，备课细致、语言精炼、思路清晰、逻辑性强；教学环节过渡自然；教态得体、大方，处理问题过程中，不急不躁，表现出了极高的亲和力与人格魅力。 三、评教学效果： 教师注重发挥学生的主体性，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法让学生分析解决问题，概括本节所学内容，成功的完成了教学要求，达到了教学目标；整堂课教学效率高，同时通过师生互动，充分调动了学生的积极性，使得学生在原有知识的基础上取得进步，能力与思想方面都得到提高。当堂问题基本当堂解决，学生负担合理。但是在实施过程中还存在一些值得反思和提高的地方。 四、教学建议： 1.教师在课堂上要尽量关注每一位学生的表现和学习注意力，并对学生行为进行及时的评价。还要恰当运用语言激励引导和最大程度地调动学生学习的积极性，使他们学会学习，积极参与，真正成为学习的主人。 2.对于教学的重难点，特别是破坏了古典概型两个重要特征的例子，可以尝试让学生来举例、让学生来展开探究。 3.在讲解概率计算公式时，教师引导学生使用从特殊到一般的研究问题的方法，从掷骰子的实验中归纳总结出古典概型的概率计算公式，教学过程中可以尝试让学生从数学理论知识的角度证明出古典概型的概率计算公式。 数学来源于生活，又高于生活，教师将实践和理论相结合，和谐统一，实现新课程的数学理念，完成了新课标理念下的教学任务。这堂课总体而言还是比较完美的。 通过在高一（3）班进行《古典概型》的公开教学后，对本堂课教学设计中的某些环节有了更深入的认识，下面结合自己在教学实践中的体验，对概念的形成与精致过程进行反思。 一、数学概念理解是对数学概念内涵和外延的全面性把握 由于本人在教学设计中对基本事件的概念分析不够到位，导致教学实践中直接影响学生对基本事件、古典概型概念的片面理解。 事实上，在本课题中古典概型是核心概念，但基本事件也是一个很重要的概念，它对学生正确认识与获得古典概型的概念起着十分关键的作用。 基本事件概念中有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。 古典概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），尤其是特征（2），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化基本事件、古典概型的两个特征及概率计算公式。同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。 二、概念形成是实施概念教学的关键 学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程。在概念形成教学中，必须注意：（1）向学生提供适当数量、适当强度的刺激模式，以便于学生分析、比较；（2）要让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，并从共同属性中抽象出本质属性；（3）概括成概念后，教师应引导学生对认知结构中的新旧概念进行分化，并将新概念纳入到已有的概念系统中去。 由于本人在教学实践中没有让学生经历概念形成的全过程，在没有充分揭示基本事件的概念内涵的前提下，就从字面上逐字逐句地讲解新概念，从而使学生在没有清晰地把握概念的本质特征时就去应用概念，导致学生概念不清。 三、概念精致是完善概念教学的保证。 在学习某个概念时，可能对所学概念有所拓展，有时甚至会做出某种推论，这个过程被称为“精致”。在数学学习中，“精致”的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，对概念的细节把握更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些限制条件等。它通常表现为对各种可能的特例进行剖析，分析可能发生的概念理解错误。 河南省开封市第二十五中学 高 静 (一)教学内容 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修3第三章第二节《古典概型》，教学安排是2课时，本节课是第一课时。 (二)教学目标 1.知识与技能： (1)通过试验理解基本事件的概念和特点； (2)通过具体实例分析，抽离出古典概型的两个基本特征，并推导出古典概型下的概率计算公式； (3)会求一些简单的古典概率问题。 2.过程与方法：经历探究古典概型的过程，体验由特殊到一般的数学思想方法。3.情感与价值：用具有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。(三)教学重、难点 重点：理解古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率。 难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中基本事件的总数和某随机事件包含的基本事件的个数。 (四)学情分析 [知识储备] 初中：了解频率与概率的关系，会计算一些简单等可能事件发生的概率； 高中：进一步学习概率的意义，概率的基本性质。[学生特点] 我所带班级的学生思维活跃，但对基本概念重视不足，对知识深入理解不够。善于发现具体事件中的共同点及区别，但从感性认识上升到理性认识有待提高。 (五)教学策略 由身边实例出发，让学生在不断的矛盾冲突中，通过“老师引导”，“小组讨论”，“自主探究”等多种方式逐渐形成发现问题，解决问题的思想。 (六)教学用具 多媒体课件，投影仪，硬币，骰子。 (七)教学过程 [情景设置] 有一本好书,两位同学都想看。甲同学提议掷硬币：正面向上甲先看，反面向上乙先看。乙同学提议掷骰子：三点以下甲先看，三点以上乙先看。这两种方法是否公平？ ☆处理：通过生活实例，快速地将学生的注意力引入课堂。提出公平与否实质上是概率大小问题，切入本堂课主题。 [温故知新] (1)回顾前几节课对概率求取的方法：大量重复试验。 (2)由随机试验方法的不足之处引发矛盾冲突：我们需要寻求另外一种更为简单易行的方式，提出建立概率模型的必要性。 [探究新知] 一、基本事件 思考：试验1:掷一枚质地均匀的硬币,观察可能出现哪几种结果？ 试验2:掷一枚质地均匀的骰子,观察可能出现的点数有哪几种结果？ 定义：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 ☆处理：围绕对两个试验的分析，提出基本事件的概念。类比生物学中对细胞的研究，过渡到研究基本事件对建立概率模型的必要性。 思考：掷一枚质地均匀的骰子 (1)在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？(2)随机事件“出现点数小于3”与“出现点数大于3”包含哪几个基本事件？ 掷一枚质地均匀的硬币 (1)在一次试验中，会同时出现“正面向上”和“反面向上”这两个基本事件吗？(2)“必然事件”包含哪几个基本事件？ 基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 ☆处理：引导学生从个性中寻找共性，提升学生发现、归纳、总结的能力。设计随机事件“出现点数小于3”与“出现点数大于3”与课堂引入相呼应，也为后面随机事件概率的求取打下伏笔。 二、古典概型 思考:从基本事件角度来看,上述两个试验有何共同特征？ 古典概型的特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件的个数有限；(2)每个基本事件出现的可能性相等。 ☆处理：引导学生观察、分析、总结这两个试验的共同点，培养他们从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维能力。在提问时明确思考的角度，让学生的思维直指概念的本质，避免不必要的发散。 师生互动：由学生和老师各自举出一些生活实例并分析是否具备古典概型的两个特征。(1)向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这一试验能用古典概型来描述吗？为什么？ (2)08年北京奥运会上我国选手张娟娟以出色的成绩为我国赢得了射箭项目的第一枚奥运金牌。你认为打靶这一试验能用古典概型来描述吗？为什么？ 设计意图：让学生通过身边实例更加形象、准确的把握古典概型的两个特点，突破如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。 三、求解古典概型 思考:古典概型下,每个基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率又如何计算？(1)基本事件的概率 试验1:掷硬币 P(“正面向上”）= P(“反面向上”）=试验2:掷骰子 P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）= 结论:古典概型中,若基本事件总数有n个,则每一个基本事件出现的概率为☆处理：提出“如果不做试验，如何利用古典概型的特征求取概率？” 先由学生分小组讨论掷硬币试验中基本事件的概率如何求取并规范学生解答，同时点出甲同学提出的“掷硬币方案”的公平性；再由学生分析掷骰子试验中基本事件概率的求解过程并得出一般性结论。 (2)随机事件的概率 掷骰子试验中，记事件A为“出现点数小于3”，事件B为“出现点数大于3”，如何求解P(A)与P(B)？ ☆处理：借助前面的事例，减少课堂的阅读量和重复思维量，可以提高课堂效率。学生分小组讨论，老师加以引导。得出P(A)与P(B)后，点出本节课开始乙同学提出的“掷骰子方案”的不公平性，并引导学生得出一般性结论。 结论：古典概型中,若基本事件总数有n个,A事件所包含的基本事件个数为m，则P（A）= 古典概型的概率计算公式：[实战演练] 注:本节课的2道题目,既是例题又是练习。学生有初中概率的基础,处理起来难度不会很大。关键是要学生在自主探究的过程中学会如何从实际问题中提取古典概型。 例1.标准化考试的选择题有单选和不定项选择两种类型。假设考生不会做,随机从A、B、C、D四个选项中选择正确的答案,请问哪种类型的选择题更容易答对？ 分析:解决这个问题的关键在于本题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握了所考察的部分或全部知识,这都不满足古典概型的第2个条件—等可能性，因此，只有在假定考生不会做,随机地选择了一个答案的情况下，才为古典概型。 解:若考生不会做,选择任何答案是等可能的 (1)单选题： 基本事件共4个:选A,选B,选C,选D,正确答案只有1个。由古典概型概率计算公式得P(“答对”)= (2)不定项选择题： 基本事件共15个：(A),(B),(C),(D),(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),(ABCD)，正确答案只有1个。 由古典概型的概率计算公式得：P(“答对”)= ☆处理：将两种类型的选择题放在一起，并提出“随机选择，哪种类型的选择题更容易答对”，有利于激发学生的求解兴趣。学生分析、思考后，由一位同学上台利用投影仪展示解答过程并分析讲解。作为解答题，老师要及时规范解答过程。 例2.“国庆节”，商场为了促销，组织摸奖活动。摸奖箱中有 大小均匀,编号为1、2、3的红球和编号为4、5的蓝球。游戏规则：要求一次摸两球 (1)方案一:摸到两个蓝球； 方案二:摸到一红一蓝且号码和为偶数的两个小球。根据这两个方案,商场应如何设置一等奖和二等奖？(2)变式：顾客不中奖的概率是多少？ 解：（1）一次摸两球，基本事件共10个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，分别记方案一与方案二为事件A、事件B 事件A包含基本事件1个：(4,5) 事件B包含基本事件3个：(1,5)，(2,4)，(3,5) P(A)= P(B)= 所以,应将方案一设为一等奖,方案二设为二等奖。(2）记不中奖为事件C 法一：事件C包含基本事件6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4) P(C)= 法二：P(C)=1-(P(A)+ P(B))= ☆处理：培养学生从生活实例中抽象出概率模型的能力，引导学生用数学的眼光观察、认识我们生活的世界，并对生活中的现象和感性认识进行理性思考。老师台下巡视学生解答，展示多种解答方法。 [课堂小结] 1、基本事件的两个特点： 2、古典概型的两个特点: 3、古典概型计算任何事件A的概率计算公式: [课后巩固] 1.(必做题)130页：1, 2，3 2.(选做题)设有关于x的一元二次方程bx2+2ax+b=0，若a，b是从0,1,2,3四个数中任意选取的两个数，求上述方程有两个相异实根的概率？ [新课预知] 探究下列问题的区别与联系： ①同时掷两个骰子，一个骰子掷两次； ②有序，无序； ③有放回，无放回。 §3.2.1 古典概型 1.基本事件的概念： 2.基本事件的特点：(1)-(2)-3.古典概型的特点：(1)-(2)-4.古典概型的计算公式： (五)教学反思 本节课的要点在于使学生初步学会把一些实际问题化为古典概型，并根据实际问题和所得到的古典概型来体会概率的意义。教学要重在得到正确的古典概型，而不是“如何计算”，不应该在解题技巧和计算上玩花样，做繁难的题。 2013-05-14 人教网 《古典概型》教学设计点评 陈 刚 本节课有三大亮点： 亮点一：高静老师在创设情景,引入新课上下了一番功夫。利用生活中常见到的“争看书”问题给出“掷硬币,掷骰子”两种方案,探究其公平性,调动了学生学习的兴趣,快速将学生的注意力引入课堂。 亮点二：本堂课充分体现了新课标理念，让学生成为课堂主体。这个体现不是流于形式的小组讨论、课堂演板，而是注重让学生经历思维探究活动,抓住问题本质。例如在讲授本节重点内容古典概型的公式时，大胆放给学生探讨，首先提出问题使学生有感性认识，再通过分层的一步步追问，使学生上升为理性认识，这就使学生不仅知其然，更知其所以然。亮点三：例题设计十分注重学生的主体性。例1贴近学生生活，有利于调动学生学习的兴趣。尤其是例2的设计,别出心裁。不是直接设定好条件让学生求其概率,而是让学生来设计一、二等奖的方案,把主动权交给了学生,激发了学生的好奇心,增强了学生的应用意识。 教学是一门遗憾的艺术，虽然在课前高静老师精心准备了每一个教学环节，但生成远大于预设，这就需要老师不仅要有扎实的基本功，还需要有很强的临场应变能力。本节课如果在节奏上能够再控制的紧凑些，再灵活收放自如些，效果会更好。经历过优质课比赛这个平台的锻炼，经过各位专家、老师的帮助，她在教学能力上一定会有更大的提高。 投掷一个质地均匀, 形状规范的硬币, 正面和反面出现的概率是一样的, 都是1/2。很多人会有问, 为什么正面和反面出现的概率是一样的? 显然, 硬币是质地均匀, 形状规范的, 哪一面都不会比另一面有更多的出现机会, 正面和反面出现的概率是一样的。这称为古典概型的对称性, 体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球, 谁选场地。 为了解释这个现象, 在历史上, 有很多大师对这个问题进行过验证结果可以看出, 随着次数的不断增加, 正面出现的频率越来越接近50%, 我们也有理由相信, 随着次数的继续增加, 正面和反面出现的频率将固定在1/2处, 即正面和反面出现的概率都为1/2。 这是个典型的古典概型的例子, 它的特点是:实验结果只有有限个, 而且每个实验结果出现的概率是一样的。 正因为这两个特点, 我们能够很容易算出来每个实验结果出现的概率, 应该是实验结果个数的倒数。如上例中, 实验结果只有正面和反面, 所以, 正面和反面出现的概率为2的倒数———1/2。再例如, 一个质地均匀, 形状规范的正方体骰子, 一共有6个不同的面, 即抛掷时, 只可能有6个不同的结果, 每个结果出现的概率为6的倒数———1/6。 这些都是生活中最常见、最简单的例子。下面我们来看一个稍显复杂的例子。 两个质地均匀, 形状规范, 大小一致的硬币, 均有正、反面之分, 问: (1) 先后投掷两个硬币, 两次是不同面的概率是多少? (2) 两个硬币一起投出去, 不同面的概率是多少? 解1:因为两个硬币分别投掷, 显然具有先后的顺序问题, 其所有实验结果为: (正、正) , (反、反) , (反、正) , (正、反) , 是古典概型, 每种结果出现的可能性是一致的, 概率都是1/4, 所以出现不同面的概率为2×1/4=1/2。 解2:两个硬币一起掷出, 两个硬币没有顺序问题, 其所有实验结果为:两面都为正、两面都为负、两面不相同, 是古典概型, 每种出现的概率是相同的。所以, “两面不相同”的概率为1/3。 这两个问题的答案似乎都很充分的, 是正确的, 但是参考答案显示解1是正确的, 解2是错误的。解1中, 两个硬币分别投掷, 结果当然有顺序问题, 确是古典概型, 两次出现不同面的概率为1/2。解2中, 答案显示:两次出现不同面的概率为1/2, 看来问题2的这种类型并不是想当然的古典概型。 问题出在哪呢?可以这么想, “同时投掷两个硬币”只是“分别投掷两个硬币”的时间差极短而已, 以至于人们无法分辨, 因此, 可以把“同时投掷两个硬币”看成“分别投掷两个硬币”的特殊情况而已, 所以, “同时投掷两个硬币”实验中, 两面不相同的概率, 应该和“分别投掷两个硬币”实验中, 两面不相同的概率一样, 都为1/2。 这种类型的题目很多, 硬币可以换成“男女”, 可以换成“四面体”, 可以换成“骰子”, 显然, “硬币”只是一个道具而已, 换汤不换药, 但道理却只有一个。古典概型-评课稿 第5篇
古典概型教学反思 第6篇
《古典概型》教学设计 第7篇
“古典概型”的魅力 第8篇
