初中数学不等式教案（精选11篇）

初中数学不等式教案 第1篇

一、课前布置

1.浏览课本P2~21，了解本章结构。_K]

自学：阅读课本P2~P4，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题(鼓励提问).

2.查找“不等号的由来”

备注： 不等号的由来|K]

①现实世界中存在着大量的不等 关系，如何用符号表示呢? 为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽脑汁.1631年，英国数学家哈里奥特首先创用符号“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大 小关系的符号，但都因书写起来十分繁琐而被淘汰.

②后来，人们在表达不等关系时，常把等式作为不等式的特殊情况来处理.在许多情况下，要用到一个数(或量)大于或等于另 一个数(或量)，此时就把“>”和“=”有机地结合起来得到符号“≥”，读做“大于或等于”，有时也称为“不小于”.同样，把符号“”读做“小于或等于”，有时也称为“不大于”.

那么如何理解符号“≥”“”的含义呢?用“≥”表示“>”或 “=”，即两者必居其一，不要求同时满足.例如 ≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.同样“”也有类似的情况.

③因此有人把a>b,b

现代数学中又用符号“≮”表示“不小于”，用“≯”表示“不大于”.有了这些符号，在表示不等关系时，就非常得心应手了.

二、师生互动

和学生一起进行知识梳理

(一)由师生一起交流“不等号的由来”① ，引出学习目标认识不等式

1.引起动机：

教师配合课本“观察与思考”“一起探究”等 内容提问：用数学式子要如何表示小卡车赶超大卡车?

2.学生进行讨论并回 答 。

3.教师举例说明：

数学符号“>、<、≥、、≠”称为不等号，而含有这些符号的式子就称为不等式。

4.结合自己的旧经验，让学生认识“”所代表的意思。

教师说明：

在小学时我们学过“小于”的符号，也就是说如果“a小于b”，我们可以记为“a

5.仿照上面说明由学生进行“≥”的介绍.

6.教师举例提问：

如果我们要比较两数的大小关系时，可能会有几种情形?

(当我们比较两数的大小关系时，下面三种情形只有一种会成立，即 ab)

7.老师提问：如果我们只知道“a不大于b”，那该如何用不等号来表 示呢?

(「a不大于b」表示「a小于b」且「a有可能等于b」，所以我们可以记录成「ab」 )

8.仿照此题，引导学生了解“a不小于b”及“a不等于b”所代表的意义.

教师归纳说明：不等式的意义

不等式表示现实世界中同类量的不等关系.在有理数大小的比较中，我们常用不等号连接两个或两个以上的有理数，如-3>-5.不等式含有不等 号，常见的不等号有五种，其读法及意义如下：

(1)“>”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.

(2)“<”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.

(3)“≥”读作“大于等于”，即“不小于”，表示其左边的量大于或等于右边.

(4)“”读作“小于等于”，即“不大于”，表示其左边的量小于或等于右边.

(5)“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大，哪个小

(二)用不等式表示数量关系

关键是明确问题中常用的表示不等关系词语的意义，并注意隐含在具体的情境中的不等关系.

补充例1. 下面列出的不等式中，正确的是 ( )

(A)a不是负数，可表示成a>0m]

(B)x不大于3，可表示成x<3

(C)m与4的差是负数，可表示成m-4<0

(D)x与2的和是非负数，可表示成x+2>0

解析：用不等式表示下列数量关系，关键是能用代数式准确地表示出有关的数量，并掌握“不大于”、“不超过”、“是非负数”等词语的正确含义及表示符号.

因为 a不是负数，可表示成a≥0;

x不大于3，应表示成x3xx§k.Com]

x与2的和是非负数应表示成x+2≥0，

所以 只有(C)正确. 故本题应选(C).

(三)不等式成立的意义

对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立;当未知数取某些值时，不等式的左、右两边 不符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式不成立.强调用“≥”表示“>”或“=” ，即两者必居其一，不要求同时满足.例如 ≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.

三、补充练习

作业：课本P4习题

5分钟练习

1.“x的2倍与3的和是非负数”列成不等式为( )

A.2x+3≥0 B.2x+3>0 C.2x+30 D.2x+3<0

2.几个人分若干个苹果，若每人3个还余5个，若去掉1人，则每人4个还有剩余.设有x个人，可列不等式为_____________________.

〖分层作业〗

基础知识

1.判断下列各式哪些是等式、哪些是不等式、哪些既不是等式也不是不等式.

①x+y ②3x>7 ③5=2x+3 ④x2≥0 ⑤2x-3y=1 ⑥52

2.用适当符号表示下列关系.

(1)a的7 倍与15的和比b的3倍大;

(2)a是非正数;

3.在-1，- ，- ，0， ，1，3，7，100中哪些能使不等式x+1<2成立?

综合运用

4.通过测量一棵树的树围，(树干的周长)可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m?请你列出关系式.

5.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知 导火线的燃烧速度为0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，导火线的长x(m)应满足怎样的关系式?请你列出.

初中数学不等式教案 第2篇

1、知识目标：

(1)通过天平实验让学生探索等式具有的性 质并予以归纳。

(2)能利用等 式的性质解一元一次方程。

2、能力目标：通过实验培养学生探索能力、观察能力、归纳能力和应用新知的能力。

3、情感目标：通过实验操作增强合作交流的意识。

二、教材分析：

1、地位与作用：在掌握了一元一次方程的概念及其初步应用后，需要解决的是一 元一次方程的解法，借助于等式的性质来解一元一次方程。为下几节的学习铺平道路.首先通过天平的实验操作,使 学生学会观察、尝试分析、归纳等式的性质。然后，利用等式的基本性质解一元一次方程。通过解方程的`学习提高了学生观察问题、解决问题的能力.

2、重点：利用等式的性质解方程。

3、难点：对等式的性质的理解及应用。

三、教学准备：

天平，砝码.

四、教学过程：

活动(一)：温故知新：

实验一：天平一边放重3 00克的一本书，另一边放50克的砝码多少各个才能使天平保持平衡?准备天平，让学生边做边观察边思考

活动(二)：提出问题、解决问题：

问题一：你能解决这个问题吗?在天平平衡后，两边分别同时放上两个砝码，天平还能保持平衡吗?试一试。

问 题二：如果把天平看成等式，你能得到什么规律，试一试用文字语言叙述后再用字母表示

先合作、交流 ，后找多名学生归纳规律，在学生都理解后教师出示：

等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。

设x=y, 则： X+c=y+c x-c=y-c(c为一个代数式)

问题三：如果天平两边砝码的质量同时 扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平还保持平衡吗?你能得到什 么规律?并用字母表示。

小组进行实验 ，总结规律。

等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式。

设x=y, 则：cx=cy x/c=y/c

(c为一个不为零的数)

活动(三)拓展运用：

例1 解下列方程：

(1)X+2= 5 (2)3=X-5

第一题教师领学生完成，给出解方程的完整步骤，逐步培养学生推理能力。第二题学生口答，教师板书，锻炼学生组织语言能力。

例2 解下列方程：

(1)-3X=15 (2)-N/3-2=10

学生独立完成(两生黑板练习)，后两生给与评价。

活动( 四)：议一议：

通过对以上两个方程的求解，请你思考一 下，用什么方法可以知道你的解对不对?

合作交流并回答

活动(五)：练 一练 ：

课本随堂练习。

活动(六)：小结反思：

通过上面的学习，你有什么收获?另外你有什么感 触?

活动(七)：布置作业：

初中数学不等式教案 第3篇

关键词：初中数学,不等式,教学案例,分析

现行的数学教学主要是一种课堂教学.这种课堂教学因其教学的封闭性和单一性, 很大程度上禁锢了学生的思维, 使学生处于一种被动接受知识的状态.这种状态, 一方面使学生缺少了运用数学知识解决现实生活中的问题的能力;另一方面, 阻碍了学生在学习过程中的再发现能力的发展.基于此, 我们的数学教学要从学生现有的生活经验出发, 以学生的现实生活为基础, 逐步地引导学生将现实生活问题抽象为数学模型.

案例生活中的不等式

《初中数学新课程标准》在课程目标中提出:“学生能够运用数学的思维方式去观察、分析现代社会, 去解决日常生活中和其他学科学习中的问题, 增强运用数学的意识.”所以, 教师需要有意识地还原生活场景, 解决实际问题.以下, 笔者将结合苏科版八年级下册《生活中的不等式》这一节的教学案例分析, 阐释如何让学生更好的掌握数学思维并应用于实际问题的解决.

1.1 教材分析

苏教版初中数学八年级下册第七章《一元一次不等式》, 这一章的设置第一节就是《生活中的不等式》, 让学生从生活中发现不等式的存在, 并且能够解决简单的不等式问题, 正确列出不等式.因此, 教师在这一节的设置过程中, 引导学生发现数学问题, 并且经过知识点的学习, 解决实际问题.

1.2 教学内容

苏科版初中数学八年级下册第七章第一节《生活中的不等式》.

1.3 教学目标

本课时要求学生能够感受生活中存在的不等式以及关系, 了解不等式的意义.最终让学生能够通过联系实际生活建立并且会用正确的不等式表示不等关系, 进一步优化学生的数学思维能力.

1.4 具体案例

为了再创生活原态, 让学生发现生活实际中存在的不等式.一是运用多媒体手段, 展示天平秤重的情况.在天平的两端分别放1千克的糖果和3千克的糖果, 当天平不平衡时, 教师向学生提问“此刻为什么会出现不平衡的情况?”学生答出“因为物品不一样重, 3千克>1千克.”这样就引入了本课的主题“不等关系”.为了引入不等式, 笔者还设计了以下实际问题:一天, 小红一家去公园玩翘翘板, 已知小红体重为30公斤, 妈妈体重50公斤, 爸爸体重70公斤.问题一:当小红和妈妈坐在翘翘板的两端时, 小红在高处, 妈妈在低处, 这是因为, 30公斤 (小红) __50公斤 (妈妈) .学生回答出问题的答案:小于 (<) .问题二:当小红和妈妈坐到翘翘板的一端, 爸爸坐到另一端时, 爸爸在高处, 小红和妈妈在低处, 这是因为, (30+50) 公斤__70公斤.学生回答出问题的答案:大于 (>) 这样, 不但激发了学生学习的兴趣, 而且教师通过再创生活场景, 让学生从中发现了实际生活中存在的不等式.

为了进一步促进学生对知识的运用.带领学生寻找学校中的一棵小树, 让学生动手测量树干的周长.以从地面至上1.5米处测量, 学生们测量的结果为树干周长是6厘米, 接着让学生解决实际问题.一棵树在栽种的时候, 树干的围度为6厘米, 以后树的围度每年增加2厘米, 这棵树至少生长多少年树干围度才能达到25厘米?教师首先引导学生设置不等式, 设这棵树生长x年树干的围度才能超过25厘米.学生们通过讨论, 并且联系前面对不等式的学习, 列出不等式:6+2x>25.通过这样的方式, 学生乐意参与到生活实践中, 用心发现问题, 同时在教师的帮助下解决问题.不但不等式知识得到了进一步的强化, 而且学生在这样的解决实际问题中得到了一次数学问题的洗礼.

1.5 教学反思

虽然问题教学情境的创设能够有效提高教学质量, 能够推动学生更好的学习数学, 是新课程标准着重强调的一种教学方式, 但任何一种教学方法都不能运用过度, 教师要认真学习问题情景教学的具体操作方法而不是死板地套用这种教学模式, 滥用一种教学模式反而不利于促进教学水平的提高, 有些教师往往并不理解问题情境教学的真谛只知道去创设问题, 为了达到问题情境教学的效果, 却不顾教学效率, 讲了很久还未切入正题, 学生也对教师将要讲什么内容感到很茫然, 觉得怎么这节课时间都过半了, 老师还不开始引入正式的教学内容?这样的问题情境创设不仅没有起到吸引学生注意力, 引起学生学习兴趣的积极效果, 反而削弱了学生学习的动力, 所以教师在创设问题情境时一定要注意把握教学内容, 用提问题的方式导入新的教学内容, 辅助完成课堂教学目标.虽然数学知识与我们的实际生活是紧密相连, 不可分割的, 但这并不代表教师在教学过程中要将所有的数学知识都与实际生活产生关系, 生拉硬扯地将数学知识套用到实际生活中反而起不到联系实际解决数学问题的教学目的.最后进行问题情境教学时还应注意针对将要学习的新知识找准切入点, 让学生可以清晰地掌握到将要学习的数学概念和原理, 促进数学思想模式的构建.

参考文献

[1]罗增儒.数学教学论[M].西安:陕西师范大学出版社, 2007:120—121.

[2]杨裕前, 董林伟.数学教师教学用书[M].南京:江苏科学技术出版社, 2008:130—132.

初中数学不等式教学策略探微 第4篇

【关键词】初中数学  不等式  策略

不等式章节是初中数学的重要考点之一，是联系数学知识与学生生活的桥梁。在新课改要求下，数学教学不应该局限于知识概念教学，而应该注重对学生数学技能和数学思维的教学，致力于提高学生的实践应用能力。不等式与代数式、函数、方程等知识有着密切的联系，其教学方法、证明方法、应用手段多种多样。在本文中，我们将从新课改要求出发，探究初中数学不等式教学策略。

一、实践训练，解题步骤教学

不等式解题不同于简单的数学知识，尤其是在含分式、含括号的复杂性不等式求解问题上，我们必须教授学生们一定的解题步骤。虽说方程与不等式有着密切的联系，但在不等式两端同乘负数时，必须变换不等式符号的方向，这也是不等式求解最容易出错的一环。

【例1】求解不等式                   。

【分析】对于复杂类型的不等式，我为学生们总结了如下的解题步骤。碰到复杂不等式的求解，我们可以按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行。在碰到不等式两边乘负数时，需要及时变换不等式符号。对本题的求解，我们可以按照以下的步骤进行。

去分母：在不等式两侧同乘以6得：3（x-1）-2（3x-1）≤6。在此过程中，切忌漏乘，必须将每一项都乘以对应值。

去括号：直接运用代数式基本规律进行，可得：3x-3-6x+2≤6。在此过程中，对于括号内的代数式必须乘净，并注意负数乘法的变号。

移项：尽量将代数式与数字分在不等式两侧：3x-6x≤6+3-2。

合并同类项：-3x≤7。

系数化为1：在中学不等式的求解中，将含未知数项的系数化为1，这是不等式答案的基本形式要求，即        。

在不等式讲解的起始阶段，我们可以进行这样条分缕析的演示，待学生对求解步骤熟悉之后，上述的很多过程我们都可以简化或跳过，从而节约求解时间。但此前必须保证每位学生都有步骤化的求解训练，保证学生掌握求解方法。

二、创设情境，应用性教学

新课改要求学生们在轻松愉悦的氛围里实现数学知识的学习，在实践应用的过程中感受到数学知识的实践性与趣味性。不等式章节与我们的日常生活密切相关，在不等式教学中，我们可以通过应用性情境的创设，激发学生兴趣。

【例2】据某公司统计，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元。如果某公司原来的年利润是200万元，现在要使年利润超过245万元，那么需要增加的科研经费为多少？

【分析】本题属于不等式的情境式应用题，通过数学情境的创设，实现数学训练题的应用性和趣味性。首先，我们假设需要增加的科研经费为x万元，则可以满足题目要求。然后，从题中已知条件可得不等式200+（1.8-1）x>245。于是，很容易可以解出x>60，即是当投入的科研经费大于60万元时，可以实现预期的利润要求。若是单纯的采用解不等式训练，必然会导致数学课堂的枯燥，抑制学生思维的发展。通过情境式不等式应用题的设置，学生们需要对题意进行分析和理解，有利于集中他们的注意力。当然，此类简单的情境适宜应用在不等式教学的起始阶段。随着教学的进一步深入，学生们的理解也会逐渐强化，我们则需要逐渐提高训练的难度，通过复杂的情境训练学生的分析能力和探究能力。

三、灵活应变，数学思维教学

在新课改背景下，无论什么样的数学知识教学都必须紧密围绕学生思想，向学生传授数学思维。在不等式的求解训练中，逆向思维、整体思维、换元思维、分类讨论思维等都是常见的类型。对此，我们必须通过实践训练的方式，将数学思维训练落实到实际训练中。

【例3】关于x的不等式

的解？

【分析】从本题来看，它包含两个未知数，我们必须采用分类讨论的方法进行，探究a值正负与不等式解的关系。首先，因为a是分母，故其肯定不为零。然后，我们进行去分母的工作，由于a2必定大于零，则不等式两边同乘a2可得x+1-a2>a（1-3x）。经过移项、合并同类项可得（1+3a）x>a2+a-1。此时，我们不妨将a视为常量，要想实现系数化为1的目标，只要判断1+3a的符号即可。

（1）当1+3a>0时，原不等式的解为x>            ;

（2）当1+3a<0时，原不等式的解为x<            ;

（3）当1+3a=0时，a=    ，a2+a-1 =      <0，则满足题意要求。

综上可知，上述的表达式即是本题的解。在本题的求解中，不仅需要分类讨论思想的应用，还需要学生们灵活使用分式的基本性质，学生分析判断不等式求解过程中的隐含条件。在初中不等式的求解中，若是见到复杂、特殊的不等式求解，学生们必须冷静应对，灵活应变，妥善使用数学思维进行求解。

总之，不等式教学是初中数学教学的重要一环，我们必须积极实践，敢于创新，从多角度、多途径，进行不等式的训练教学。同时，我们必须紧密围绕新课改要求，在不等式教学中，渗透新课程理念，对学生兴趣发展、个性培养、综合能力训练等方面展开针对性教学。

高中数学基本不等式教案设计 第5篇

知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;

过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式;

情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣; 识记 理解 应用 综合 知识点一：

基本不等式及其推导

过程 ∨ 知识点二：

基本不等式的应用 ∨ 目标设计 1.通过从不同角度探索不等式 的证明过程，使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;

2.掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式 的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。 教学情境一：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为 。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

我们考虑4个直角三角形的面积的和是 ，正方形的面积为 。

由图可知 ，即 .

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。

新知：若 ，则

教学情境二：

先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，

再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠).

假设两个正方形的面积分别为 和 ( )

问题2：考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗?

新知：若 ，则

问题3：你能用代数的方法给出它们的证明吗?

证明：因为 ，即 (当 时取等号)

(在该过程中，可发现 的取值可以是全体实数)

证明：(分析法)：由于 ，于是要证明 ，

只要证明 ，

即证 ，即 ，

所以 ，(当 时取等号)

【板书】两个重要不等式

若 ，则 (当且仅当 时，等号成立)

用数学归纳法证明不等式教案 第6篇

在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．

例1 已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx．

证：(1)当n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．

(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫)

(2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx．

师：现在要证的目标是(1＋x)k1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑．

+

师：现将命题转化成如何证明不等式

(1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．

提问：证明不等式的基本方法有哪些？

(学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结)

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．

当n=k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是

左边=(1＋x)k1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2； 右边=1＋(k＋1)x． +

因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当n=k

＋＋1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．

(通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)

例2 证明：2n＋2＞n2，n∈N＋．

证：(1)当n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．

(2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2．

现在，请同学们考虑n=k＋1时，如何论证2k1＋2＞(k＋1)2成立．

+

师：将不等式2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．

由此不难看出，只需证明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立．

师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？

师：(补充板书)当n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．(以下请学生板书)

(2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．即2k＋2＞k2．因为2k1＋2=2·2k＋2=2(2k

+＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0)

≥k2+2k＋1=(k＋1)2． 所以2k1＋2＞(k＋1)2．故当n=k＋1时，原不等式也成立．根

+据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．

师：通过例2可知，在证明n=k＋1时命题成立过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证

n=1．扩大到验证n=1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．

例3 求证：当n≥2时，(在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k＋1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．)

问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：

题的转化途径是：

师：设S(n)表示原式左边，f(n)表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k＋1命

数学教案－不等式的性质二 第7篇

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

证明

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若  ，且  ，则  .

证明：

根据两个正数的和仍是正数，得

∴  说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若  ，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明

说明：（1）定理3的证明相当于比较  与  的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若  ，则  即  .

定理3推论：若  .

证明:

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）

三、课堂练习

1．证明定理1后半部分；

2．证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

课后作业

1．求证：若

2．证明：若

板书设计

§6.1.2  不等式的性质

1．同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

异向不等式          证明          证明         推论

2．定理1 证明           说明          说明         证明

第三课时

教学目标

1．熟练掌握定理1，2，3的应用；

2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3．掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程（）：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的.应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴      ②

由①、②可得  .

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有  ，就推不出  的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N  的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即  ，所以不能仅仅否定了  ，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定  不大于  ，这有两种情况：或者  ，或者  .

由推论2和定理1，当  时，有  ；

当  时，显然有

这些都同已知条件  矛盾

所以  .

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2    已知

证明：由

例3  已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业

课本习题6.1 4，5.

板书设计

§6.1.3  不等式的性质

定理4      推论1         定理5          例3     学生

内容                     内容

初中数学不等式教案 第8篇

关键词：初中数学,一元一次不等式,教学策略

数学教师应该明确, 数学教学不应该局限于数学知识的灌输与教授, 更重要的是培养学生思维的灵活性, 使学生能够利用数学知识间的连带关系举一反三, 善于利用知识间的联系灵活运用, 发现问题、解决问题。学生一旦具备了良好的数学思维能力, 就能够产生主动学习的想法、自主探究的欲望, 从而获得身心上的满足感。初中一元一次不等式教学应该建立在学生已有的知识结构之上, 只有这样才能提高学生的学习效率。

一、基于已有知识引导性教学

数学这门学科不仅具有明显的理性、科学性特征, 而且呈现出一定的系统性、知识关联性等特点, 知识之间联系紧密, 形成了一条不可错位的链条。基于数学学科这样的特点, 教师要积极利用知识间的联系, 并善于教育与引导学生发现知识之间的联系, 灵活利用所学知识探究新知识、解决新问题, 这样才能达到培养学生数学思维能力的目标。

在一元一次不等式教学中, 教师应该从学生已有的知识结构出发, 通过巧妙地迁移、引导使学生自然发现新规律, 利用旧规律探索新问题。

例如:一元一次不等式的教学可以将一元一次方程作为知识储备, 构建起两个知识点间的桥梁, 使学生能够利用一元一次方程的性质理解和探究一元一次不等式, 通过这种方式帮助学生学习、缓解学习压力, 使学生感受到数学这门学科的奇妙。

设计教学流程:红红和芳芳同时从家出发去学校, 在距离学校最后200米时, 红红开始以5m/s的速度向学校飞奔, 此时落在她后面20米的芳芳需要以怎样的速度飞奔才能确保同红红同步到达学校?

学生看到这个问题, 会结合以前学过的知识, 会自然而然地列出一个一元一次方程, 求得未知数x的数值就是所要求的问题。

此时, 教师可以改变题目的问:落在她后面20米的芳芳需要以怎样的速度飞奔才能确保比红红提前到达学校?

学生借助前面已经列出的一元一次方程, 对应列出一个一元一次不等式, 也就是将前面的等号变成不等号。

这一过程就是巧妙迁移、自然引导的过程, 学生会自然地了解并掌握一元一次不等式的性质和特点。

二、联系现实生活科学引导

数学作为一门自然科学, 是用来解释自然生活规律的学科, 数学知识的形成源自人们对现实生活中各种规律的探索与总结, 同时会随着现实生活的变化发展而不断发展, 人们将从生活中研究出来的规律又运用到现实生活中。学生数学学习显而易见需要以现实生活为基础, 而且新的课程教学目标改革也明确了数学教学应该服务于现实生活、发挥实际作用的想法。数学教师要积极把握这一教学目标与方向, 善于从学生自身的生活经历出发, 使学生感受到数学与客观现实生活之间的紧密关联。

然而, 与小学初等算术相比, 初中数学呈现出更加抽象、复杂的特点, 学生无法明确数学与现实生活中的联系, 也就感受不到数学学习的真正意义, 然而, 教师要善于发现和建立这种联系, 善于以现实生活为基础, 通过巧妙灵活的方法将抽象知识同现实生活联系起来, 化抽象为形象, 由此激发学生的数学学习热情, 提高学生的数学学习效率。

例如:对于一元一次不等式的学习, 教师可以广泛引入生活元素, 将与学生现实生活中最常见的问题或现象与一元一次不等式的性质或知识联系起来。

如:商场选购不同价格衣服的优惠问题。

教师为学生设计题目:A、B两家商场同样的服装标有一样的价钱, 然而, 两家商场实行各自的促销方案:

A商场 : 买100元衣服后再采购的衣服可以享受原价90%的优惠待遇,

B商场 :购买50元后 , 再购买的衣服则依照原价95%收费。

作为买者怎样选购才能享受最多优惠?

思维步骤:

1.购买额<50元, 两个商场的花销状况 。

2.50<购买额<100, 两个商场的花销状况。

3.购买额>100元, 两个商场的消费状况。

从第三种情况入手:

假设:总共采购金额为x (x>100) 元, 当A商场买东西花钱少, 那么列出以下不等式:50+ (x-50) 95%>100+ (x-100) 90%

求得:x>150

因此, 当购买额在150元以上时, A店购物花销少。

思维过程:100<总共采购金额<150, 哪家商场花销小? (B商场消费小) 总共采购金额正好达到150元, 哪家商场购物花销小? (花销相同)

1.购买额<50元或>150元, A、B商场花销相同。

2.50<购买额<150, B商场花销较小。

3.购买额>150, A商场花销较小 。

以上就是一元一次不等式的运用过程, 体现了在现实生活中的应用, 对现实问题的解决。

三、兴趣教学, 逐步引导

为了减少数学学习的枯燥性, 教师要善于从兴趣的角度对学生进行引导、教育。兴趣是学生学习成功的基础, 有兴趣才能有学习。教师必须积极把握学生的心理特点, 兴趣爱好, 以及情趣倾向等, 将抽象难懂的知识通过形象的生活呈现出来, 从学生的兴趣出发进行逐步引导, 从而收获良好的教学效果。

例如:可以将不等式知识同学生的日常生活, 如:运动会、生活起居及课后生活等联系起来, 让学生通过这些生活实例发现问题、运用知识、掌握规律, 从而获得知识学习乐趣, 提高学习效率, 达到良好的学习效果。

初中数学一元一次不等式是一个重要的知识项目, 教师要积极采用科学的教学方法, 为学生创造良好的学习条件, 使学生能够更加投入地学习, 自觉进入学习状态, 产生浓厚的数学学习兴趣, 从而取得良好的学习效果。

参考文献

[1]许文倩.还数学的美丽面孔, 让学生为之折腰[J].现代阅读:教育版, 2012.

初中数学不等式教案 第9篇

关键词：高中数学；不等式教学；数学思维

高中数学是高中生学习的重要基础课程，而不等式教学是高中数学教学的重点和难点，因此，高中数学教师在教学过程中，要加大对不等式教学的研究力度，更新自身的教学观念，采用先进的教学模式，不断提高高中数学不等式教学水平。对于不等式教学环节，教师可以采用模块化教学方式，通过数学思维的渗透，来提高学生的数学思维能力，从而激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到高中数学不等式教学活动中，下面就高中数学不等式教学的数学思维进行分析。

一、高中数学不等式教学的数学思维方法

数学思维方法是通过数学思维让学生认识到数学知识结构的核心，帮助学生理解数学知识，在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合、函数方程、数学模型、化归、递推等几种情况，这些数学思维方法是高中数学教学中不可缺少的一部分。由于数学思维方法同换元、代人等数学基本方法不同，数学思维方法需要从数学知识中进行归纳，并在实践中应用，因此，教师在进行高中数学知识讲解时，要注重数学思维的渗透，从而有效地提高学生的数学思维能力。

不等式教学是高中数学教学的重要内容，是解决数学问题的基础工具，在进行不等式知识考查时，有间接考查和直接考查两种方法，间接考查是指结合函数、几何、数列等知识对不等式知识的应用进行考查；直接考查是指通过选择题、填空题等形式对不等式知识进行考查。因此，教师在进行高中数学不等式教学时，不仅要注重不等式知识与其他知识的交汇，还要注重培养学生的数学思维能力，提高学生运用数学思维解决不等式问题的能力，从而有效地提高学生的数学素质。

二、数学思维在高中数学不等式教学中的渗透

在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合思维、函数方程思维、化归思维、分类讨论思维等，在进行高中数学不等式教学时，教师要灵活的应用这些数学思维方法，从而有效地提高高中数学不等式解题灵活性，提高学生解决不等式问题的能力。

1、数形结合思维。在高中数学中，“数”和“形”是最重要的支柱，数形结合思维就是在解决数学问题时，用“数”解“形”，用“形”得“数”，从而达到解决数学问题的目的。在高中数学教学中，数形结合思维贯穿于整個数学教学活动，如数轴、三角法、图解法、复数法等都是数形结合思维的应用，通过数形结合思维能简化复杂的问题，将抽象的问题具体化，从而快速的解决数学问题。在进行数学教学时，教师要充分利用图像、图形，帮助学生理解不等式的相关知识概念，让学生通过“数”与“形”的对应，灵活的处理不等式问题，有效地提高高中数学不等式教学效果。

2、函數方程思维。函数方程思维是指在进行不等式教学时，对于某些问题可以构建相应的函数或者方程，将不等式问题转换为函数问题或者方程问题。例如教师在教学过程中，可以将不等式看成两个函数值的不相等关系，利用方程f（x）=0求解函数v=f（x）的零点，通过方程学生就能发现不等式和函数的单调性有很大的关系。在采用函数方程思维进行高中数学不等式教学时，教师要让学生明白函数和方程是两个不同的概念，两者存在一定的差别，如函数有定义域、值域、对应关系，并且x、y在函数中是从属关系，而在方程中，x、v是平等关系。学生只有明白函数和方程的差别，才能在“函数一图像一方程一解方程”和“方程跟一函数图像”的转化中应用自如。函数方程思维的本质是数学知识的转换，通过函数方程思维能加深学生对数学知识的理解，有助于学生数学能力的提高。

3、化归思维。化归思维是指利用现有的知识，对问题进行观察、类比、变化、转化，将问题变成已只掌握的知识，从而解决问题，化归思维是从事物相互联系和制约的角度进行问题处理的，当学生掌握了化归思维后，能轻松的将各种问题转换为简单、已知的问题。教师在进行高中数学不等式教学时，通过化归思维，能帮助学生将不等式问题转换为已经掌握的问题，从而有效地提高学生解决不等式问题的能力。

4、分类讨论思维。分类讨论思维是根据对象本质的差异性，对数学对象进行分类，帮助学生理解数学知识的一种思维。在高中数学不等式教学中，采用分类讨论思维，能有效地提高学生理解知识、总结知识的能力，能帮助学生建立完善的数学知识结构。

三、结语

高中数学是学生系统的学习数学知识的重要阶段，对学生的全面发展有十分重要的意义，不等式是高中数学的重要教学内容，贯穿于高中数学各个环节，在高中数学不等式教学中，教师要特别注重数学思维方法的应用，从而有效地激发学生学习兴趣，提高学生的数学思维能力，提高学生解决不等式问题能力，促进学生综合素质的提升。

记住你是个女孩，努力是你的象征，自信是你的资本，微笑是你的标志，你要奋斗的不是在一个男人面前委曲求全让他看到你的努力，而是好好努力并且等待数年后那个单膝跪地给你无名指戴上戒指的男人。想要别人爱你，前提是先好好爱自己。

不等式的基本性质数学教案 第10篇

教学目的

掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。

教学过程

师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7.

第二组：-7 < -5; 3+4 >1+4; 2x 6, a+2 ≥0; 3≠4.

生：第一组都是等式，第二组都是不等式。

师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（ 除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。

师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。

练习1(回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。

（1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6

练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。

（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？

生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的`结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！

师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？

生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。

师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。

练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：

7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

高中数学2.5不等式的证明教案 第11篇

一、教学重点

1、理解比较法、综合法、分析法的基本思路。

2、会运用比较法、综合法、分析法证明不等式。

比较法

（一）作差法

一开始我们就有定义： 对于任意两个实数有，也就是说，证明两实数

大小，我们可以作差，然后进行变形，判断其差的符号（将差和0作比较），从而证明不等式。

例1 求证：证明：

几何意义： 函数的图像始终在函数的图像之上

A1个单位B

训练作差法基本能力，并让学生从不同角度理解不等式 例2 设

求证：

证明：

作差

/ 6

这题让学生说，主要训练作差法，为之后作商铺垫

（二）作商法 设实数，则有

作商，与1比较 例2 设证明：

求证：

/ 6

在作差法的基础上提出作商，让学生体会这两者各自的优点

综合法

从已知条件出发，利用已知的命题和运算性质作为依据，推导出求证的结论。

例3 求证：若，则有

证明：

在教授综合法的同时，给出这个基本不等式

例4 已知（1），求证：

（2）

证：（1）

/ 6（2）

这题主要为1的妙用，为学生做题拓宽新的思路

分析法

从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立，从而判断原结论成立。

要证 例4 若，则有，如果有，那么只要证明了，就有

/ 6

在教授分析法的同时，给出这个基本不等式

例5 设，则有

先证

再证

/ 6

在教授分析法的同时，给出这个绝对值不等式，学生以后也能用