二次函数与中考（精选12篇）

二次函数与中考 第1篇

1 中考二次函数的几类题型

例1 (2011年甘肃中考题) 抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标是 () .

(A) (1, 0) (B) (-1, 0)

(C) (-2, 1) (D) (2, -1)

考点二次函数的图像与性质、顶点的坐标.

分析本题属于基础题, 由于题目给出了抛物线的一般形式, 可以直接利用配方法或公式法写出抛物线的顶点坐标 (1, 0) , 故选A.

例2 (2011年甘肃中考题) 已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像如图1所示, 有下列4个结论: (1) abc>0; (2) b0; (4) b2-4ac>0.其中正确的结论有 () .

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

考点二次函数的图像与性质.借助平面直角坐标系, 以数形结合的方式研究二次函数图像和性质.

分析本题考查同学们的识图能力, 函数的性质和数形结合思想.由图可知, a<0, c>0, 又由对称轴可分析得b>0, 当x=-1和x=2时可分别代入解析式验证.故 (3) (4) 正确.选B

考点二次函数的图像与性质、图形变换.

分析本题考查学生的理解, 运用二次函数的图像与性质、图形变换的特点, 分析抛物线图像变换的情况, 属于能力题.选 (4) .

例4 (2010年甘肃中考题) 向空中发射一枚炮弹, 经x秒后的高度为y米, 且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c (a≠0) .若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等, 则在下列时间中炮弹所在高度最高的是 () .

(A) 第8秒 (B) 第10秒

(C) 第12秒 (D) 第15秒

考点二次函数的应用.

分析本题重点根据题意画出符合题目的大致图像.

2 中考二次函数的考查新动向

2.1 将二次函数与几何变换相结合

例5如图2, 平面直角坐标系中有一张透明纸片, 透明纸片上有抛物线y=x2及一点P (2, 4) .若将此透明纸片向右、向上移动后, 得抛物线的顶点为 (7, 2) , 则此时点P的坐标是 () .

(A) (9, 4) (B) (9, 6)

(C) (10, 4) (D) (10, 6)

考点二次函数图像与几何变换.

分析先根据“左加右减、上加下减”的原则得出新抛物线的解析式, 再求出P点坐标即可.

解因为抛物线y=x2移动至顶点坐标为 (7, 2) 时的新抛物线解析式为y= (x-7) 2+2, 即先向右平移7个单位, 再向上平移2个单位, 所以P (2, 4) 应先向右平移7个单位, 再向上平移2个单位, 其新坐标变为 (2+7, 4+2) , 即 (9, 6) .故选B.

评析图形与变换是《初中数学新课程标准》中新增加的内容, 本题考查的是二次函数的图像与几何变换, 把它与二次函数相结合, 既考查了学生几何建模以及探究活动的能力, 又考查了学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力, 是今后命题的重点.

2.2 在初高中知识衔接处命题

2.2.1 求分段函数解析式

例6心理学家研究发现, 一般情况下, 学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化, 讲课开始时, 学生注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态, 随后学生的注意力开始分散, 经过实验分析可知, 学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式:

(1) 讲课开始后第5 min时与讲课开始后第25min时比较, 何时学生的注意力更集中?

(2) 讲课开始后多少分钟, 学生的注意力最集中?能持续多少分钟?

(3) 一道数学难题, 需要讲解24min, 为了数学效果较好, 要求学生的注意力不低于180, 那么经过适当安排, 老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?

分析 (1) 把t=5, t=25分别代入各自时间段的函数表达式.求出对应的y值进行比较; (2) 这是求各时间段的最大值问题; (3) 这是求当y=180时, 各时间段的时间, 然后进行比较.

解 (1) 当t=5时, y=195, 当t=25时, y=205.

所以讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始5分钟时更集中.

(2) 当0

所以a=-1<0, 所以y有最大值, 即当t=10min, y最大值=240.

当20

所以讲课开始后10min时, 学生的注意力最集中, 能持续10min.

(3) 当0

当20

所以学生注意力在180以上的持续时间为28.57-4=24.57 (min)

说明此题是分段函数的问题, 因此, 在求“学生何时注意力最集中”这一问题时, 不仅是要考虑各时间段的函数何时取最大值, 还要考虑自变量允许的取值范围.如第 (2) 问, 配方得y=- (t-12) 2+244, 由函数表达式应得到当t=12时, 注意力最集中.但实际上, 在这个函数中, t的最大值是10 min, 所以考虑问题时, 要注意实际条件, 只能取t=10.

2.2.2 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系

例7如图3, 以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力, 球的飞行高度h (单位:m) 与飞行时间t (单位:s) 之间具有关系h=20t-5t2.考虑以下问题:

(1) 球的飞行高度能否达到15 m?如能, 需要多少飞行时间?

(2) 球的飞行高度能否达到20 m?如能, 需要多少飞行时间?

(3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?

(4) 球从飞出到落地要用多少时间?

分析此问题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系, 同时也考查了数形结合的思想方法.

2.3 构建二次函数模型解决实际问题

例8如图4所示, 有一座抛物线形拱桥, 桥下面在正常水位AB时, 宽20m, 水位上升3m就达到警戒线CD, 这时水面宽度为10m.

(1) 在如图4所示的坐标系中求抛物线的解析式;

(2) 若洪水到来时, 水位以每小时0.2m的速度上升, 从警戒线开始, 再持续多少小时才能到达拱桥桥顶?

分析根据条件设D, B两点的坐标, 代入y=ax2中求解析式, 点B的纵坐标值与洪水的深度有关, 即可求出持续时间.

解 (1) 设所求抛物线解析式为y=ax2, 设D (5, b) , 则B (10, b-3) , 所以

例9在数学活动课上, 同学们用一根长为1米的细绳围矩形.

(1) 小芳围出了一个面积为600cm2的矩形, 请你算一算, 她围成的矩形的边长是多少?

(2) 小华想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形, 请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围, 并求出最大面积.

分析 (1) 设她围成的矩形的一边长为xcm, 得x (50-x) =600, x1=20, x2=30.当x=20时, 50-x=30cm;当x=30时, 50-x=20cm, 所以小芳围成的矩形的两邻边分别是20cm, 30cm.

(2) 设围成矩形的一边长为xcm, 面积为ycm2, 则有y=x (50-x) , 即y=-x2+50x, y=- (x-25) 2+625, 当x=25时, ymax=625;此时, 50-x=25, 矩形成为正方形.即用这根细绳围成一个边长为25cm的正方形时, 其面积最大, 最大面积是625cm2.

3 复习策略

3.1 立足课本, 抓好基础

函数的基本概念和简单性质的应用以及函数表达式的确定等内容都是函数中的基础知识, 我们只要在第一轮复习中落实好双基, 学生对这类问题一般都能得分.在复习的过程中我们可以通过层层设问, 多方位、多角度使双基知识得到巩固深化, 目的是使学生明确在后阶段的复习中也应重视课本, 落实双基.

3.2 强化数形结合意识, 总结解题规律

函数的图像和性质是中考的重点与热点.利用数形结合法, 抓住图像特征掌握函数的性质是解决问题的主要方法.复习中应强化数形结合意识, 掌握函数的基本技能和方法, 注意观察、归纳、分析、比较, 总结基本的方法、规律.在复习的过程中可以通过一些具有代表性的经过挑选的例题, 反复让学生进行练习, 让学生在练习中总结解题的规律.

3.3 针对中考重点与热点, 精心选材, 抓好训练

二次函数与中考 第2篇

（二次函数与线段、面积最值综合题型）

一．

突破与提升策略：

1．面积最大值

（1）三角形有一条边在坐标轴上：

以在坐标轴上的边为底边，过不在坐标轴上的顶点作垂线；

（2）三角形的三边都不在坐标轴上：

过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线(应用最多)；

（3）四边形有两边在坐标轴上：

过不在坐标轴上的顶点作坐标轴的垂线.2.面积倍数关系：先求出其中一个图形的面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解．

二．典型题提升练习

1.如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B，C，D三点，且B点的坐标为(－1,0)，(1)求二次函数的解析式；

(2)在二次函数的图象位于x轴上方部分有两个动点M，N，且点N在点M的左侧，过点M，N作x轴的垂线交x轴于点G，H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

2.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是多少？

3.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC.求线段PM的最大值；

4.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

5.在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，已知A(1,4)，B(3,0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)探究：如图①，连接OA，过点D作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；

(3)应用：如图②，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m＋n＝－1，连接PA，PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．

提示：若点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为.6.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y

轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横

坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

7.如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动

点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．

（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．

8.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3）．

（1）求b，c的值；

（2）直线l与x轴交于点P．

①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；

②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式．

9.如图①，抛物线y＝－x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将

直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．

（1）求直线AD的函数解析式；

（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点

①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；

②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．

10.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC.(1)

求抛物线的解析式；

(2)

点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为；

(3)

点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

(4)

若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且

OB=OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边

形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5

两部分，求点P的坐标．

12.如图,已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(－5,0),B(－4,－3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛物线的表达式;

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图，已知抛物线经过点（-1,0）、（5,0）.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积

（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）

14.如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，点为抛物线上一动点（不与、重合）．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）当点在直线l上方的抛物线上时，过点作轴交直线l于点，作轴交直线l于点，求的最大值；

二次函数与中考 第3篇

一、 寻求最大利润

例1 （2014·湖北武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.

（1） 求出y与x的函数关系式；

（2） 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3） 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果.

【分析】（1） 根据单价乘数量，可得答案；

（2） 根据分段函数的性质，分别求出最大值，然后比较得答案；

（3） 根据二次函数值大于或等于4 800，一次函数值大于或等于4 800，得不等式组，解不等式组，得答案.

解：（1） 当1≤x<50时，y=（200-2x）·（x+40-30）=-2x2+180x+2 000，

当50≤x≤90时，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12 000，

所以y与x的函数关系式：

y=-2x2+180x+2 000（1≤x<50），-120x+12 000 （50≤x≤90）.

（2） 当1≤x<50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45；

当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2 000=6 050；

当50≤x≤90时，一次函数中，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6 000.

综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6 050元.

（3） 当20≤x≤60时，每天销售利润不低于4 800元.

【点评】此题为数学建模题，根据题意，建立二次函数的模型，然后借助二次函数解决实际问题，对于最大利润则利用了二次函数的性质求解，其中分类讨论是解题关键.

二、 试验新产品

【点评】此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图像得出正确信息是解题关键.

二次函数与中考 第4篇

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数的关系:

(1)开口方向:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下,a越大,开口越小.

(2)对称轴:一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号(即ab>0)时,对称轴在y轴左侧;当a与b异号(即ab<0)时,对称轴在y轴右侧.简单说: “左同右异”.

(3)与y轴的关系:常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c),当c>0时,抛物线与y轴的交点在正半轴上;当c<0时,抛物线与y轴的交点在负半轴上;当c=0时,抛物线恰好经过原点.

(4)与x轴的关系:抛物线与x轴交点个数由Δ决定.当Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点;当Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

(5)确定am2+bm+c的符号:关键是抛物线上横坐标为m的点P的位置情况.当点P在x轴上方时,am2+bm+c>0;当点P在x轴下方时,am2+bm+c<0;当点P在x轴上时, am2+bm+c=0.

一、由二次函数的图像考查系数及系数组成的代数式的符号

例1 (2015·广东深圳)二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图像如图1所示,下列说法:1a>0;2b>0;3c<0;4 b2-4ac >0,正确的个数是().

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

【解析】∵抛物线的开口向下,∴a<0,故说法1错误;

∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴-b/2a>0,即b>0,故说法2正确;

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,故说法3错误;

∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故说法4正确.

综上所述,正确的说法是24.因此选B.

二、由二次函数的图像考查点与对称轴的关系

例2 (2015·湖北恩施)如图2是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出四个结论:1 b2> 4ac ;2 2a + b = 0 ;3 a + b + c > 0 ;4若点为函数图像上的两点,则y1<y2,其中正确结论是().

A.24 B.14

C.13 D.23

【解析】∵抛物线与x轴有两个交点,

∴b2-4ac>0,即b2>4ac,故1正确;

∵对称轴为直线x=-1,

∴x=-b/2a=-1,

∴2a-b=0,故2错误;

∵图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,

∴图像与x轴的另一交点为(1,0),

即当x=1时,y=0,

∴a+b+c=0,故3错误;

由图像可知:抛物线开口向下,当x=-1时,函数有最大值,点为函数图像上的两点且C点距离对称轴较近,∴y1<y2,故4正确.因此选B.

【点评】此题考查二次函数对称轴的性质,解答本题关键是掌握二次函数根的判别式,会利用对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理.

三、由二次函数的图像考查系数符号及其与二次方程之间的关系

例3 (2015·广西南宁)如图3,已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1,下列结论中:1ab>0;2a+b+c>0;3当-2<x<0时,y <0,正确的个数是().

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】∵抛物线的开口向上,

∴a>0,

∵对称轴在y轴的左侧,

∴-b/2a<0,∴b>0,

∴ab>0,故1正确;

观察图像知:当x=1时,y=a+b+c>0,故2正确;

∵抛物线的对称轴为x=-1,与x轴交于(0,0),∴另一个交点为(-2,0),

∴当-2<x<0时,y<0,故3正确.

因此选D.

【点评】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围确定2a与b的符号,以及二次函数与二次方程之间的转换.

四、考查由二次函数的系数确定图像中的定点

例4(2014·甘肃白银)二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图像一定过点().

A.(-1,-1)B.(1,-1)

C.(-1,1)D.(1,1)

【解析】由b+c=0,得c=-b,代入二次函数,变形得y=x2+b(x-1),若图像一定过某点,则与b无关,当x=1时,二次函数为y=x2, 与b无关,此时y=1,因此它的图像一定过点(1,1).选D.

【点评】本题考查了二次函数图像与系数的关系,在这里求定点问题,应把b当作变量,令其系数为0进行求解.

五、考查由二次函数的系数符号确定相关的图像

例5 (2015·辽宁锦州)在同一坐标系中,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图像可能是().

【解析】根据一次函数和二次函数的解析式可得直线与y轴的交点为(0,2),抛物线的开口向上.

解法一:从解析式的系数入手:

1若a<0,抛物线的顶点在y轴负半轴上,直线经过一、二、四象限;

2若a>0,抛物线的顶点在y轴正半轴上,直线经过一、二、三象限.

因此选C.

解法二:从函数图像入手:

选项B中的图像抛物线开口向下,产生错误,排除B;选项D中的图像,直线与y轴交点在负半轴上,产生错误,排除D;选项A中的图像,因为直线上升,所以a>0,但是抛物线的顶点在y轴负半轴上,所以a<0, 产生矛盾,排除A.

因此选C.

【点评】与二次函数相关的图像的确定, 一般采用以下两种方法:(1)从函数关系式入手,确定其中一个关系式系数符号,当它的正负不确定时,要进行分类讨论,或逐一比较各个关系式中相同的系数,判断其在同一坐标系中是否矛盾;(2)从图像入手,依据在同一坐标系中各个图像的位置, 判断各个关系式中相同的系数符号是否矛盾.即由数找形或由形定数.

六、由图表构建图像考查二次函数性质的综合运用

例6 (2014·山东泰安)二次函数y= ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:

下列结论:1ac<0;2当x>1时,y的值随x值的增大而减小;33是方程ax2+(b-1) ·x+c=0的一个根;4当-1<x<3时,ax2+(b- 1)x+c>0.其中正确的个数为().

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个

【解析】由图表中数据描出图像(如图4),可得出:抛物线开口向下,∴a<0,

又x=0时,y=3,∴c=3>0,

∴ac<0,故1正确;

∵抛物线开口向下,且对称轴为x=(0+3)/2=1.5,∴当x>1.5时,y的值随x值的增大而减小,故2错误;

∵当x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,

∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,

∴3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根, 故3正确;

∵当x=-1时,ax2+bx+c=-1,

∴当x=-1时,ax2+(b-1)x+c=0,

∵当x=3时,ax2+(b-1)x+c=0,且函数有最大值,

∴当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0,故4正确.

因此选B.

【点评】数形结合是研究二次函数最常用的方法,把图表信息转化为图像信息能更直观地发现其所具有的性质,更好地分析解决问题.

小试身手

1. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点A在点(-3,0) 和(-2,0)之间,其部分图像如图5,则下列结论:14ac-b2<0;22a-b=0;3a+b+c<0; 4点M(x1,y1)、N(x2,y2)在抛物线上,若x1< x2,则y1≤y2,其中正确结论的个数是(

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2. 如图6,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1,且过点,有下列结论:1abc>0;2a-2b+4c=0;325a-10b+4c=0;43b+2c>0;5a-b≥m(am-b).其中所有正确的结论是________.(填写正确结论的序号)

答案:

二次函数与中考 第5篇

面积类

1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析：

（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答：

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．

（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M． 解答：

解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．

（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M（2，﹣3）．

过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；

（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值． 解答：

解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．

设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得所以直线AB的解析式是y=x﹣3；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为

=

．

=，解得，则S△ABM=S△BPM+S△APM=（3）存在，理由如下： ∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3． ②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=去），所以P点的横坐标是

；

（舍去），t2=，所以P，t2=

（舍③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=点的横坐标是．

3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可． 解答：

解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）． 方法一：

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．

方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2． 连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．

∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则 4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．

1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．

（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．

（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD方程求出P点的坐标． 解答：

解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3 ∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．

由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3 ∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD

则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G． 设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

=1，且顶点A在y=x﹣5上，PB、②AB

PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列

考点：二次函数综合题．.专题：压轴题． 分析：（1）根据抛物线y=即可；

（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．

（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可． 解答：

解：（1）∵抛物线y=∵顶点在直线x=上，∴﹣

=﹣

经过点B（0，4）∴c=4，=，∴b=﹣

；，得到ON=，进而表示出

经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c∴所求函数关系式为；，（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=当x=2时，y=∴点C和点D都在所求抛物线上；

11）求点B的坐标；

（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论． 分析：

（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．

（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．

（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点． 解答：

解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×∴点B的坐标为（﹣2，﹣

2）；

=2，（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣

2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣

x2+

x

3考点：二次函数综合题．.专题：压轴题． 分析：

（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；

（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；

（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案． 解答：

解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）

（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）

（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形： ①若以点C为直角顶点；

则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，53）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案． 解答：

解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；

（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；

（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；

②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；

分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；

（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=

3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=

BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直，即可求出点P的坐标． 线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组解答：

解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；

将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；

（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+∴当x=时，MN有最大值

；，（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）． 解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．

92）求抛物线的解析式；

（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．.专题：压轴题． 分析：

（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；

（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．

利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小． 如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值． 解答：

解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）． 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．，1Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．

． 综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为

12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．.专题：压轴题． 分析：

（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 解答：

3AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；

=，④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）． 则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，两个三角形不相似；

⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）． 则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，总之，符合条件的点P的坐标为：

=，即

=，解得：e=﹣9，符合条件．

．

=，即

=，解得：d=1﹣

3，此时，对应练习

13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

5x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（∴AF=﹣1=，0），∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×又∵AC=∴△ACE的最大面积=×

3==3×，=，此时E点坐标为（，﹣）．

14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

7BC的解析式为：y=x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立． 理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．

（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得： AC=AQ=CQ=i）当AQ=CQ时，有=，===，=

．

25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）； ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形； iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，），Q3（3，4﹣）． ∴点Q坐标为：Q2（3，4+

92）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可． 解答：

解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°． ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD． ∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）． ∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．

∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣． ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=∴S△ABC=AB2=．

设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，．

解得k=﹣，b=2，1CBG=∠APH，在△PAH和△BCG中，∴△PAH≌△BCG（AAS），∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．

第4讲 一次函数与二次函数 第6篇

一次函数的图象是直线，性质很简单，考查到的仅仅是其单调性，而二次函数与二次方程、二次不等式之间有着紧密的联系，另外三次函数的导数也是二次函数.因此，二次函数的考查一直是高考的热点问题，同时会借助二次函数考查代数推理能力，像三角函数、解析几何中都可能用到相关知识.这部分内容在高考中直接考查在5分左右，结合其它知识考查就更多些.

命题特点

结合高考特点分析，这部分内容主要从以下几个方面命题：（1）会根据条件求二次函数的解析式；（2）二次函数的图象及其性质；（3）利用二次函数的对称性和单调性求区间上的最值；（4）三个二次式之间的关系和相互转化应用.

1. 二次函数的解析式主要根据其解析式及函数图象特点找到解题突破口，布列方程组.

例1 已知二次函数f（x）满足f（2）=-1， f（-1）=-1，且f（x）的最大值为8，求二次函数f（x）的解析式.

解析 法1：利用一般式.设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

[4a+2b+c=-1，a-b+c=-1，4ac-b24a=8，]解得[a=-4，b=4，c=7，]

∴所求二次函数为f（x）=-4x2+4x+7.

法2：利用顶点式.设f（x）=a（x-m）2+n，

∵f（2）=f（-1），

∴抛物线对称轴为x=[2+（-1）2]=[12]，即m=[12].

又根据题意，函数最大值ymax=8，

∴n=8，∴f（x）=[a（x-12）2+8].

∵f（2）=-1，∴[a（2-12）2+8=-1]，解得a=-4.

∴f（x）=-4[（x-12）2+8]=-4x2+4x+7.

法3：利用两根式.由题意知f（x）+1=0的两根为x1=2，x2=-1，

故设f（x）+1=a（x-2）（x+1），即f（x）=ax2-ax-2a-1.

又函数有最大值ymax=8，即[4a（-2a-1）-a24a=8]，

解得a=-4或a=0（舍）.

∴所求函数的解析式为f（x）=-4x2-（-4）x-2×（-4）-1=-4x2+4x+7.

点拨 求二次函数解析式主要是用待定系数法，根据题目条件合理选择方法，布列方程求解.二次函数解析式主要有三种形式.三点式：直接通过代点解三元方程组解答；顶点式：找到抛物线顶点，设顶点式求解；零点式：通过对应二次方程的根，设方程求解.具体用哪种形式应根据题目条件决定，减少计算.

2. 二次函数区间上的最值，主要是数形结合和函数单调性综合应用，是考查热点.

例2 函数f（x）=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上最小值记为g（a）.

（1） 求g（a）的函数表达式；

（2） 求g（a）的最大值.

解析 （1）①当a<-2时，函数f（x）的对称轴x=[a2]<-1，则g（a）=f（-1）=2a+5.

②当-2≤a≤2时，函数f（x）的对称轴x=[a2]∈[-1，1]，则g（a）=[fa2]=3-[a22].

③当a>2时，函数f（x）的对称轴x=[a2]>1，

则g（a）=f（1）=5-2a.

综上所述，g（a）=[2a+5，a<-2，3-a22，-2≤a≤2，5-2a，a>2.]

（2） ①当a<-2时，g（a）<1.

②当-2≤a≤2时，g（a）∈[1，3].

③当a>2时，g（a）<1.

由①②③得，g（a）max=3.

点拨 二次函数在区间上的最值主要是通过二次函数的单调性确定最值点，研究区间和对称轴的关系.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解.

3. 三个二次式之间关系密切，充分利用转化和数形结合思想，将三者有机结合是关键.

例3 已知函数f（x）=x2-3x+m，g（x）=2x2-4x，若f（x）≥g（x）恰在x∈[-1，2]上成立，则实数m的值为 .

答案 2

解析 由题意，x2-3x+m≥2x2-4x，即x2-x-m≤0的解集是[-1，2]，所以m=2.

点拨 本题关键是现将f（x）≥g（x）通过作差变为二次不等式，由题意知-1和2恰好是对应方程的两根，直接求解.二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体. 因此，有关二次函数的问题，数形结合是探求解题思路的有效方法. 用函数思想研究方程、不等式问题是高考命题的热点. 抓住二次方程的根是对应二次函数图象与x轴交点的坐标，是对应二次不等解集端点这一关键解题.

4. 二次函数综合应用主要是将解决含参数的问题和可化为二次式的问题.

例5 已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b<1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=[g（x）x].

（1） 求a，b的值及函数f（x）的解析式；

（2） 若不等式f（2x）-k·2x≥0在x∈[-1，1]时有解，求实数k的取值范围.

解析 （1） g（x）=ax2-2ax+1+b，由题意得，

①[a>0，g（2）=1+b=1，g（3）=3a+b+1=4，]得[a=1，b=0.]

nlc202309032056

②[a<0，g（2）=1+b=4，g（3）=3a+b+1=1，]得[a=-1，b=3>1.（舍）]

∴a=1，b=0，g（x）=x2-2x+1，f（x）=x+[1x]-2.

（2） 不等式f（2x）-k·2x≥0，即2x+[12x]-2≥k·2x，

∴k≤[12x2]-2·[12x]+1.

设t=[12x]，则k≤t2-2t+1.

∵x∈[-1，1]，故t∈[12，2].

记h（t）=t2-2t+1，∵t∈[12，2]，

∴h（t）max=1，故所求k的取值范围是（-∞，1].

点拨 本题第一问涉及二次函数解析式和区间上的最值问题，由于二次项系数符号不确定有必要分类讨论.这里还要注意函数对称轴是确定的x=1这一条件，从而可以得到最值点只能是区间端点.第二问就是通过换元将指数式转化为二次函数的，这在函数中是很常见的方法.解决二次函数问题抓住二次项系数符号、对称轴、单调性这些重要研究元素，还有很多非二次函数可通过换元变为二次函数处理，但一定要注意变量范围.

备考指南

1. 掌握好二次函数的有关性质（单调性、对称性等），这是解题的基本理论依据.

2. 抓住三个二次式的关系，并能进行相互间的转化，以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题.

3. 会用转化思想，将可化为二次函数的问题通过换元变为二次函数，利用二次函数性质处理.

限时训练

1. 函数[f（x）=ax2-（a-1）x-3]在区间[[-1，+∞）]上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A. [（-∞，13]] B. [（-∞，0]]

C. [（0，13]] D. [[0，13]]

2. 设abc>0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是 （ ）

[y][x] [O][O][O][O] [y] [y] [y] [x] [x] [x]

A B C D

3. 已知f（x）=[x2]+bx+c且f（-1）=f（3），则 （ ）

A. f（-3）

C. f（[52]）

4. 若函数[y=log2（mx2-2mx+3）]的定义域为R，则实数m的取值范围是 （ ）

A. （0，3） B. [0，3）

C. （0，3] D. [0，3]

5. 设二次函数f（x）=[ax2+bx+c]，如果[f（x1）=f（x2）][（x1≠x2）]，则f[（x1]+[x2）]= （ ）

A. -[b2a] B. -[ba]

C. c D. [4ac-b24a]

6. 若f（x）=x2-x+a，f（-m）<0，则f（m+1）的值 （ ）

A. 正数 B. 负数

C. 非负数 D. 与m有关

7. 已知y=f（x）是偶函数，当x>0时，f（x）=（x-1）2，若当x∈[-2，-[12]]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值为 （ ）

A. [13] B. [12]

C. [34] D. 1

8. 设[b>0]，二次函数[y=ax2+bx+a2-1]的图象为下列之一，则a的值可能为 （ ）

[y][x] [O] [y][x] [O] [y][x] [O] [y][x] [O]

A. [-1-52] B. [-1+52]

C. 1 D. -1

9. 已知一元二次不等式[f（x）>0]的解集为[x|-1

A. [x|x<-1或x>2] B. [x|-1

C. [x|x>2] D. [x|x>1]

10. 已知函数f（x）=[x2+ax，x≤1，ax2+x，x>1，]则“a≤-2”是“f（x）在R上单调递减”的 （ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 函数f（x）=x2+2x-3，x∈[0，2]的值域为 .

12. 已知函数f（x）=x2+bx+1是R上的偶函数，则实数b= ，不等式f（x-1）

13. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”. 若f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为 .

14. 已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2. 若同时满足条件：①?x∈R，f（x）<0或g（x）<0；②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）<0，则m的取值范围是 .

15. 已知二次函数f（x）的图象过点A（-1，0），B（3，0），C（1，-8）.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在x∈[0，3]上的最值；

（3）求不等式f（x）≥0的解集.

16. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a>0，b∈R，c∈R）.

（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，F（x）=[f（x），x>0，-f（x），x<0，]求F（2）+F（-2）的值；

（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围.

17. 已知函数[f（x）=x2+2x]，

（1）若[x∈[-2，a]]，求[f（x）]的值域；

（2）若存在实数t，当[x∈[1，m]]时，[f（x+t）≤3x]恒成立，求实数m的取值范围.

18. 设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为实数）.

（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；

（2）设a>2，求函数f（x）的最小值.

直击中考——二次函数的应用 第7篇

一、二次函数的几何型应用

【考点】等边三角形、二次函数.

【总结】题中的点C满足两个条件,若先设点A的坐标,根据等边三角形的线段关系得出点C的坐标,再代入抛物线的解析式中,此种做法显得繁琐且方程难以解出,因此解题时如若遇到这种情况,不妨换种思路,先利用点C在抛物线上的条件设出点C的坐标,再结合等边三角形的知识列出方程,你会发现“柳暗花明又一村”.

二、二次函数的代数型应用

例2(2016·江苏扬州)某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为_________.

【考点】利润问题、二次函数.

【分析】根据题意可以先列出第t天缴纳电商平台推广费用后的利润关于天数t的函数,再根据利润随天数的增大而增大的条件,结合二次函数的图像与性质、天数t的范围,列出关于a的不等式,求出a的取值范围.

解:由题意,第t天缴纳电商平台推广费用后一件时装的利润为(70-a-t)元,第t天时装的销量为(20+4t)件,设第t天获得的利润为y元,则y=(70-a-t)(20+4t)=-4t2+(260-4a)t+1400-20a.

∵此二次函数图像——抛物线的开口向下,且当0≤t≤30时,y随t的增大而增大,∴抛物线顶点的横坐标应大于或等于30,

∵a>0,∴a的取值范围是:0<a≤5.

【总结】此题有两大关键,一是正确列出利润y关于天数t的函数,二是结合图像及性质确定抛物线对称轴的范围.突破此两大难点,需要对知识点的熟练掌握和一定的分析问题的能力.

三、二次函数的综合型应用

(1)求点P的坐标;

【考点】三角函数、二次函数.

【分析】(1)根据三角函数的意义,过点P作OA的垂线段PB,设PB为x,用x表示OB、AB,由OA=4,列出方程求出x,写出点P的坐标.

(2)根据抛物线经过点O、A、P,求出抛物线的解析式,当纵坐标为1时,求出相应的两个横坐标,从而求出水面的宽度.

解:(1)如图,过点P作PB⊥OA,垂足为B.

答:水面宽度约为2.8m.

【总结】本题结合抛物线经过原点解析式的特征,运用待定系数法来求解,当然也可以用交点式(双根式)或一般式求解.其次把实际问题抽象到数学问题,把求水面的宽度转化为求点的坐标,再利用抛物线上点的坐标与距离之间的关系求出水面的宽度.此类题目若能顺利转化为数学问题,求解过程一般不会太难.

二次函数中考常考考点解析 第8篇

考点1:二次函数的对称轴

例1:抛物线y=x2-2x+1的对称轴是 () .

A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=2 D.直线x=-2

思路点拨:因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线, 将已知抛物线中的a=1, b=-2代入, 求得x=1, 故选项A正确.

另一种方法:可将抛物线配方为y=a (x-h) 2+k的形式, 对称轴为x=h, 已知抛物线可配方为y= (x-1) 2, 所以对称轴为x=1, 应选A.

考点2:二次函数的顶点

例2:已知二次函数y=x2-2x-1, 求它的顶点坐标.

思路点拨:可先将函数y=x2-2x-1化成顶点式, 再求出顶点坐标.

解:配方得y=x2-2x-1= (x-1) 2-2,

由x-1=0得x=1, y=-2.

∴二次函数顶点坐标为 (1, -2)

评注:求二次函数的顶点坐标也可选用二次函数顶点坐标公式, 但很多题目, 如果选用二次函数顶点坐标公式, 计算量比较大, 没有配方法简单.

考点3:二次函数的最值问题

例3:二次函数y=x2-2x-3的最小值是________.

思路点拨:先求出二次函数的顶点坐标, 顶点坐标的纵坐标就是最小值.

解:配方得y=x2-2x-3= (x-1) 2-4,

∴顶点坐标为 (1, -4) ,

∴该二次函数的最小值为-4.

评注:1.二次函数的最大最小值与二次系数a的正负和顶点的纵坐标有关.当a>0时, 在顶点处取最小值, 最小值就是顶点的纵坐标时, 在顶点处取最大值, 最大值就是顶点的纵坐标.

2.如果二次函数在一个实际问题中求最大最小值, 除了考虑顶点坐标外, 还要考虑自变量的端点值.

考点4:二次函数的平移问题

例4:已知y=2x2的图像是抛物线, 若抛物线不动, 把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位, 求在新坐标系下抛物线的解析式.

思路点拨:由于是平移, 不改变二次函数的开口方向和大小, 只改变顶点的位置.把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位, 则顶点的横、纵坐标就会比原来减少2个单位.

解:原抛物线的顶点坐标为 (0, 0) ,

∴新坐标下抛物线的顶点坐标为 (-2, -2) .

∴新坐标系下抛物线的解析式为y=2 (x+2) 2-2=2x2+8x+6.

评注:1.二次函数平移, 不改变二次函数的开口方向和大小即二次项系数a不变, 只改变顶点的位置, 所以先求原抛物线的顶点, 再根据平移求新抛物线的顶点, 利用顶点式写出新的抛物线的解析式.

2.对于本题的平移, 也可看成坐标系不动, 将抛物线分别沿着水平方向向左和铅直方向向下平移.

考点5:二次函数图像性质的综合

例5:小明从如图1的二次函数y=ax2+bx+c图像中, 观察得出了下面五条信息: (1) a<0; (2) c=0; (3) 函数的最小值为-3; (4) 当x<0时, y>0; (5) 当0<x1<x2<2时, y1>y2你认为其中正确的个数为 () .

A.2个B.3个C.4个D.5个

答:C.

解:由图像可知:抛物线开口向上, ∴a>0, 故 (1) 错;∵抛物线过原点, ∴c=0, 故 (2) 对;∵抛物线开口向上, 其顶点纵坐标为-3, 故函数的最小值为-3, 故 (3) 对;∵抛物线过原点, 其顶点坐标为 (2, -3) , ∴当x<0时, y>0, 故 (4) 对;∵抛物线的对称轴为直线x=2, 且开口向上, ∴当x<2时, 函数y随x的增大而减小, 故 (5) 对.

练习:如图2, 二次函数y=ax2+bx+c图像开口向上, 图像过点 (-1, 2) 和 (1, 0) , 且与y轴相交于负半轴.

第1问:给出4个结论: (1) a>0; (2) b>0; (3) c>0; (4) a+b+c=0, 其中正确结论的序号为______________________

第2问:给出4个结论: (1) abc<0; (2) 2a+b>0; (3) a+c=1; (4) a>1, 其中正确结论的序号为_______________.

考点6:二次函数与其他函数图像的综合

例6:如图3函数y=ax2+bx与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图像大致是 () .

答:C.

解:在选项A中, 二次函数y=ax2+bx的a>0, b=0, 而对于函数y=ax+b来说, a>0, b>0, 则这现两个函数解析式中的b的取值不一样, 故排除A.同样的, 在选项B中, 二次函数y=ax2+bx的a>0, b>0, 而对于函数y=ax+b来说, a>0, b>0, 但是从图像上来看点 (0, b) 在y=ax2+bx的图像上, 而将 (0, b) 代入y=ax2+bx时, x=0, 而不等于b, 故排除B.在选项D中, 二次函数y=ax2+bx的a>0, b>0, 而对于函数y=ax+b来说, a<0, b<0, 则这两个函数解析式中的a、b的取值不一样, 故排除D.综合以上, 选C.

评注: (1) 本题考查了确定两函数图像能否在同一坐标系内的能力, 主要办法是根据图像采用逐一排除法.

(2) 对于二次函数的图像与a、b、c有这样的有关系, (1) a与开口方向的关, 当a>0时, 开口向上, 当a<0时, 开口向下; (2) b与a和对称轴与y轴的位置有关, 当对称轴在y轴的左边时, a与b的符号相同, 当对称轴在y轴的左边时a与b的符号相反; (3) c与二次函数与y轴交点的位置有关, 当二次函数与y轴交点在y轴的正半轴上时, c>0, 当二次函数与y轴交点的在y轴的负半轴上时, c<0.综合以上, 可用以下语言概述:左同, 右异;上正, 下负.

考点7:求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点

例7:已知抛物线y=4x2-11x-3, 求它与x轴、y轴的交点坐标.

解:由x=0得y=-3, 所以抛物线与y轴交点坐标为 (0, -3) .

由y=0得4x2-11x-3=0, 解得或x=3, 所以抛物线与x轴交点坐标为或 (3, 0) .

评注: (1) 抛物线y=ax2+bx+c的图像与y轴一定相交, 交点坐标为 (0, c) ;

(2) 当△=b2-4ac>0时, 图像与x轴交于两点A (x1, 0) 和B (x2, 0) , 其中x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两根.这两点间的距离.当△=0时, 图像与x轴只有一个交点, 交点坐标为.当△<0时, 图像与x轴没有交点.如果a>0, 则图像落在x轴的上方, x为任何实数都有y>0;如果a<0, 则图像落在x轴的下方, x为任何实数都有y<0.

考点8:用待定系数法求二次函数的解析式

例8:已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A (0, 3) , 与x轴分别交于点B (1, 0) 、C (5, 0) 两点, 求此抛物线的解析式.

思路点拨:由于已知三点, 所以本题可以采用一般式求抛物线的解析式.但考虑到已知与x轴交点, 所以用交点式更简单.

解:设此抛物线为y=a (x-x1) (x-x2) (a≠0) .则x1=1, x2=5.

所以y=a (x-1) (x-5) ,

代入x=0时, y=3得.

评注: (1) 当题目条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时, 可设解析式为一般形式:y=ax2+bx+c (a≠0) , 称为一般式.

(2) 当题目条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时, 可设解析式为两根式:y=a (x-x1) (x-x2) (a≠0) , 也称为交点式.

考点9:关于求二次函数解析式的开放问题

例9:有一个二次函数的图像, 3位学生分别说出了它的一些特点:

甲:对称轴是直线x=4;

乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙:与y轴交点的纵坐标也是整数, 且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式.

解:设所求解析式为y=a (x-x1) (x-x2) , 且设x1<x2, 则其图像与x轴两交点分别是A (x1, 0) , B (x2, 0) , 与y轴交点坐标是 (0, ax1x2) .

∵抛物线对称轴是直线x=4,

(1) (2) 两式相加减, 可得:.

∵x1x2是整数, ∴a x1x2也是整数, ∴x1x2是3的约数, 共可取值为:±1, ±3.

当a x1x2=±1时, x2=7, x1=1, .

当a x1x2=±3时, x2=5, x1=3, .

因此, 所求解析式为:y=±17 (x-7) (x-1) 或.

评注: (1) 本题中, 只要填出一个解析式即可.

二次函数与一元二次方程的关系 第9篇

中考要求学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系;会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式,判定抛物线与轴的交点情况;会利用韦达定理解决有关二次函数的问题.

1. 二次函数解析式的几种形式 ?

(1)一般式:y = ax2+ bx + c(a,b,c为常数,a≠0).

(2)顶点式:y = a(x - h)2+ k(a,h,k为常数,a≠0).

(3)两根式 :y =a(x - x1)(x - x2),其中x1, x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2 +bx + c = 0的两个根,a≠0.

2. 二次函数 (以下称函数 )y = ax2 + bx + c,当y = 0时 ,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax2+ bx +c = 0此时, 函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根. 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根. 因此对于一元二次方程适用的判别式Δ对二次函数仍然适用. 当△Δ > 0时,抛物线与x轴有两个不同的交点;当△Δ = 0时,抛物线与x轴有一个的交点;当△Δ < 0时,抛物线与x轴无交点.

例1已知抛物线y = x2 - (m2 + 8)x + 2(m2 + 6).

(1)求证 :不论m为任何实数 ,抛物线与x轴有两个不同的交点,且这两个点都在x轴的正半轴上;

(2)设抛物线与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点 ,当△ABC的面积为48平方单位时,求m的值.

(3)在 (2)的条件下 ,以BC为直径作⊙M,问⊙M是否经过抛物线的顶点P?

解析 (1)Δ = (m2 + 4)2 > 0,由x1+ x2= m2+ 8 > 0,x1x2=2(m2+ 6) > 0可得证.

又∵S△ABC= 48,

解得m2= 2或m2 = -12(舍去 ).

(3)y = x2- 10x + 16,顶点 (5,-9),|BC| = 6.

∵|-9| > 6,∴⊙M不经过抛物线的顶点P.

评注二次函数与二次方程有着深刻的内在联系,因此,善于促成二次函数问题与二次方程问

题的相互转化, 是解相关问题的常用技巧.

例2如图, 抛物线y = x2 - (a +b)x +c2/4,其中a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边.

(1) 求证 : 该抛物线与x轴必有两个交点;

(2)设有直线y = ax - bc与抛物线交于点E、F,与y轴交于点M,抛物线与y轴交于点N,若抛物线的对称轴为x = a,△MNE与△MNF的面积之比为5∶1,求证:△ABC是等边三角形;

(3)当时 ,设抛物线与轴交于点P、Q,问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆? 若存在这样的圆,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.

解析 (1)Δ = (a + b)2 - c2 =(a + b + c)(a + b - c)

∵ a + b + c > 0,a + b - c > 0,

∴Δ > 0.

(2)由a + b/2= a 得 a = b.

设 E(x1,y1),F(x2,y2),

由 S△MNE∶ S△MNF= 5 ∶ 1 得 :|x1| = 5|x2|.

∴ x1= 5x2或 x1= -5x2.

由x1·x2> 0知x1= -5x2应舍去.

∴a = c或5a + c = 0(舍去 ),

∴ a = b = c.

∴△ABC是等边三角形.

∴a = 2或a = -2(舍去 ).

∴a = b = c = 2, 此时抛物线y = x2 - 4x + 1的对称轴是x =2,与x轴的两交点坐标为

设过P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为(0,t),由切割线定理有:t2= OP·OQ.

∴ t = ±1.

故所求圆的圆心坐标为(2,-1)或(2,1).

二次函数与几何图形存在性问题 第10篇

例1 (2011·淮安) 如图1, 已知二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴的一个交点为A (4, 0) , 与y轴交于点B.

(1) 求此二次函数关系式和点B的坐标;

(2) 在x轴的正半轴上是否存在点P, 使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由.

【分析】由于在x轴正半轴上且以AB为底边, 所以这样的点P只有一个, 易得AP=BP, 又OP=OA-AP, 所以可以借助勾股定理求出OP的长, 从而得出P点坐标为特别要注意如果没有条件限制, 我们就要分类讨论.

例2 (2014·东海模拟) 如图2, 二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点, 顶点M关于x轴的对称点是M′.

(1) 若A (-4, 0) , 求二次函数的关系式;

(2) 在 (1) 的条件下, 求四边形AMBM′的面积;

(3) 是否存在抛物线y=1/2x2-x+c, 使得四边形AMBM′为正方形?若存在, 请求出此抛物线的函数关系式;若不存在, 请说明理由.

【分析】本题可以证明出四边形AMBM′为菱形, 再添加一个条件使它成为正方形, 从而确定是否存在, 这个条件可以是一个角是直角, 也可以是对角线相等.利用这些可求出M点坐标, 于是可求出函数关系式为y=1/2x2-x-3/2.

例3 (2010·遵义) 如图3, 已知抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的顶点坐标为Q (2, -1) , 且与y轴交于点C (0, 3) , 与x轴交于A, B两点 (点A在点B的右侧) , 点P是该抛物线上的一动点, 从点C沿抛物线向点A运动 (点P与A不重合) , 过点P作PD∥y轴, 交AC于点D.

(1) 求该抛物线的函数关系式;

(2) 是否存在点P使△ADP是直角三角形, 若存在, 求出点P的坐标;

(3) 在题 (2) 的结论下, 若点E在x轴上, 点F在抛物线上, 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在, 求点F的坐标;若不存在, 请说明理由.

【分析】第 (2) 小问要对直角进行分类, 由于PD∥y轴, 所以∠ADP不可能为直角, 那么只还有∠APD和∠DAP分别为直角两种情况.当∠APD为直角时, 可以确定点P所在位置即点B位置, 所以很容易求出点P第一种坐标, 即点P (1, 0) .当以∠DAP为直角时, 易知OA=OC, 因此∠OAC=45°, 所以只需∠OAP=45°即可, 再通过作垂线, 可求出点P的第二个坐标为 (2, -1) .

第 (3) 小问, 当P在点B处时不存在这样的平行四边形;只有 (2) 中第2种情况存在, 并且有两种情况, 可根据点P的纵坐标来确定点F的纵坐标, 从而求出点F的坐标为

例4 (2012·昌平期末) 如图4, 在平面直角坐标系x Oy中, 二次函数图像的顶点坐标为, 且在x轴上截得的线段AB的长为6.

(1) 求二次函数的解析式;

(2) 在y轴上确定一点M, 使MA+MC的值最小, 求出点M的坐标;

(3) 在x轴下方的抛物线上, 是否存在点N, 使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在, 求出点N的坐标;如果不存在, 请说明理由.

【分析】此题第 (3) 小问, 如果假设存在, 设出点P的坐标, 再利用相似来解计算量大而且含有字母, 不容易算到底.我们可以换个思路, 作出这样的相似三角形, 求出点N的坐标, 然后再来判断点N是否在抛物线上, 就容易了.由相似可得点N坐标为, 经检验在抛物线上.

例5 (2015·德州) 已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A (a, 0) , B (b, 0) , 且

(1) 求抛物线的解析式.

(2) 抛物线的对称轴为l, 与y轴的交点为C, 顶点为D, 点C关于l的对称点为E, 是否存在x轴上的点M, y轴上的点N, 使四边形DNME的周长最小?若存在, 请画出图形 (保留作图痕迹) , 并求出周长的最小值;若不存在, 请说明理由.

(3) 若点P在抛物线上, 点Q在x轴上, 当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时, 求点P的坐标.

【分析】第 (2) 问可用几何作图确定存在, 分别作D、E关于y轴、x轴的对称点, 两对称点连线与坐标轴的交点就是点M、N, 再运用勾股定理可求出线段DE与D′E′的长, 就可求出四边形的最小周长, 最小周长为

第 (3) 问有四种情况, 根据点D、E坐标可确定点P的纵坐标, 再运用解析式求出横坐标.点P坐标为

例6 (2013·江宁一模) 如图6, 在平面直角坐标系中, 二次函数的图像与x轴交于点A、B, 它的对称轴是过点 (1, 0) 且与y轴平行的直线, 点A的横坐标是-2.

系式 (;1) 求二次函数的关

(2) 如图7, 直线l过点C (2, 0) 且与y轴平行, 现有点P由点A出发沿射线AO以每秒2个单位长度的速度运动, 同时点Q从点C出发, 沿直线l向上以每秒1个单位长度的速度运动, 设运动的时间为t秒.

①当PQ⊥AQ时, 求t的值;

②在二次函数的图像上是否存在点D, 使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形?若存在求出点D的坐标.

二次函数的图象与系数之间的关系 第11篇

一、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与系数a、b、c之间的关系

1.a的作用

当a>0时，抛物线开口向上.当a<0时，抛物线开口向下，概括口诀为：“正上、负下”；反之，当抛物线开口向上时，a>0.当抛物线开口向下时，a<0.概括口诀为：“上正、下负”.

2.b的作用

（1）当a、b符号相同时，抛物线的对称轴在y轴左侧；当a、b符号不同时，抛物线的对称轴在y轴右侧，概括口诀为：“同号在左、异号在右” ；反之根据抛物线对称轴的位置判断a、b符号的口诀3.c的作用

当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴；当c<0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，概括口诀为：“正上、负下” ；反之，由抛物线与y轴交点的位置，判断c的符号的口诀为：“上正、下负” .

二、与字母系数有关的常见代数式符号的判定

1.b2-4ac的符号的判断：当抛物线与x轴有两个交点时，b2-4ac>0；当抛物线与x轴有一个交点时，b2-4ac=0；当抛物线与x轴没有交点时，b2-4ac<0.

三、试题解析

例1 （2013年山东菏泽）已知b<0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图象之一所示.根据图象分析，a的值等于（ ）.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

所以b>0，不符合题意.

综上所述，a的值等于1.故选C.

点评：本题考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系.a的符号由抛物线的开口方向确定，难点在于根据图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出b的正负情况，然后与题目的已知条件b<0作比较.此类问题通常的做法是根据已知条件观察图形，解题的关键是运用数形结合思想，充分利用图象进行分析.

例2 （2013年山东烟台）如图1是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1，且过点（-3，0）.下列说法：①abc<0；

∴b=2a>0，

故①、②正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-1，且过点（-3，0）.

∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）.

∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，

故③错误；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-1，

∴点（-5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1）.

根据当x>-1时，y随x的增大而增大，

∴y2

故④正确；故选C.

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置共同确定，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定.

点评：此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数和反比例函数的性质.根据已知得出a，b，c的值是解题关键.解决这类问题时，要全面分析函数图象的有关信息和函数解析式中有关量之间的关系，进而作出判断.

总之，解决二次函数图象与系数之间关系的问题时，首先要仔细观察图象，从图象中获取一些有用的信息，然后再根据信息确定二次函数图象与系数之间的关系.对于不能直接得到的信息，应对已有的信息进行研究，而结论大都是通过恒等变形获得的.

浅谈二次函数的教学梳理与实际运用 第12篇

1.定义与定义表达式

一般地, 自变量x和因变量y之间存在如下关系:

为常数, a≠0, 且a决定函数的开口方向, a>0时, 开口方向向上, a<0时, 开口方向向下, |a|还可以决定开口大小, |a|越大开口就越小, |a|越小开口就越大。)

则称y为x的二次函数。

一般式:为常数, a≠0) [已知过三点的坐标时]

顶点式:[已知抛物线的顶点P (h, k) ]

交点式:[仅限于与x轴有交点和的抛物线]

3.二次函数的图像的性质

a.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。

b.抛物线有一个顶点P, 坐标为。

c.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时, 抛物线向上开口;当a<0时, 抛物线向下开口。

|a|越大, 则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时 (即) , 对称轴在y轴左;

当a与b异号时 (即) , 对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于 (0, c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ>0时, 抛物线与x轴有2个交点。Δ=0时, 抛物线与x轴有1个交点。

Δ<0时, 抛物线与x轴没有交点。

7.二次函数与一元二次方程

特别地, 二次函数当y=0时, 二次函数为关于x的一元二次方程 (以下称方程) , 此时, 函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

二、理论联系实际

1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫, 每日最高产量为40只且每日产出的产品全部售出, 已知生产x只玩具熊猫的成本为R元, 售价每只为P (元) , 且R, P与x的关系式分别为R=500+30x, P=170-2x。

(1) 每日产量为多少时, 每日获得的利润为1750元?

(2) 每日产量为多少时, 可获得的最大利润?最大利润是多少?

解 (1) ;根据题意得

整理得,

∴x1=25, x2=45 (不合题意, 舍去) , 由题已知, 利润为,

∴当x=35时, 最大利润为1950。

答 (1) 当日产量为25只时, 利润为1950。

(2) 当日产量为35只时, 最大利润为1950。

2.改革开放以来, 某镇通过多种途径发展地方经济, 1995年该镇年国民生产总值为2亿元, 根据测算, 该镇国民生产总产值为5亿元时, 可达到小康水平。

(1) 若从1996年开始, 该镇国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元, 该镇通过几年可达到小康水平?

(2) 设以2001年为第一年, 该镇第x年的国民生产总值为y亿元, y与x之间的关系是该镇哪一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番 (即达到1995年的年国民生产总值的4倍) ?

解: (1) 设该镇通过x年达到小康水平, 根据题意得2+0.6x=5

解得x=5

(2) 设第x年的年国民生产总值为2×4=8亿元,

∴解得x1=3 x2=-9 (不合题意舍去)

答: (1) 设该镇通过5年达到小康水平。

: (2) 2003年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番。

摘要：在中学二次函数是一种不可缺少的数学工具, 是初中数学的重点也是教学的难点, 是数学中数形思想的一个基础点。本文就其含义和实际的运用, 做了深入浅出、通俗易懂的分析与阐解。