动力学方程范文-盘古文库

动力学方程范文

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来源：莲生三十二

作者：开心麻花

2025-10-10

动力学方程范文（精选10篇）

动力学方程第1篇

二质点系统是最简单的质点系统。通常, 大家把二质点孤立系统问题称为二体问题。二体问题中系统动量守恒, 质心保持匀速直线运动, 或保持静止。万有引力相互作用的两质点问题属于二体问题。

本文在导出二质点孤立系统相对动力学方程的基础上, 通过例题展示其在天体运动中的应用。

一、二质点相对动力学方程推导

如右图所示, 设质点1和质点2的质量分别为m1和m2, 它们的位矢分别为r1和r2, 质点1受到质点2的作用力为f12, 质点2受到质点1的作用力为f21, 由牛顿第三定律, 有f12=-f21, 两质点动力学方程分别为

联立求得:

令a12=a1-a2, a12是质点1相对质点2的加速度。方程改写为

其中为m1和m2的折合质量。方程1就是质点1相对于质点2的相对动力学方程。

二、讨论

1.等效一体问题的动力学方程, 既是质点1在质心系中的动力学方程, 也是质点2在质心系中的动力学方程。证明如下:

二质点系统在运动中, 质点1, 、质点2和质心c始终在同一条直线上。设质点1和质点2相对于质心的位矢分别为r1c和r2c, 有关系:

所以, 等效一体问题的动力学方程 (1) 可以改写为:

方程 (2) 、 (3) 为质点1、质点2在质心系中的动力学方程。此处质心系为惯性系。

2.等效一体问题中的动能定理。

动能表达式推导过程:

设法把这个二质点孤立系统在惯性系中 (包括质心系) 写出动能定理。根据柯尼希定理, 动能包括两部分, 质心运动动能和相对质心运动的动能 (Ek) .由于这里讨论的二体系统是孤立系统, 质心运动动能不变, 所以动能的增量等于系统在质心系中动能的增量, 及等效一体问题下的动能的增量。因此, 惯性系中动能定理可以写为:

三、在有心力场中的应用

例:一双星系统, 两颗星的质量分别是M、m (设M>m) , 距离为d, 在相互间的引力作用下绕不动的质心做圆周运动, 设两颗星近似为质点.在超新星爆炸中, 质量为M的星球损失质量为△M, 假设爆炸是瞬时的、球对称的, 并且对残余体不施加任何作用力 (或作用力抵消) , 对另一颗星也无直接作用。试求:在什么条件下, 余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离。

解:方法一:在超新星爆炸之前, 质心静止。设以质心为原点, r1和r2为M和m至质心的距离。则

两星体在万有引力作用下绕质心作圆周运动, 设ω为运动角速度, 写出其中一个星体的动力学方程

在此式中, ω仅与两质量之和有关, 所以m绕质心的角速度也为此值。

超新星爆炸之后瞬间, ΔM脱离星体M, 剩余的质量M-ΔM相对两质心的角速度未变, 两星距离未变。所以新系统的新势能为

在新质心系中的动能为

其中Eko为质心的动能。为了求出Eko, 先求质心速度:

这里利用了两星体速度方向相反这一事实, 且mr2ω=Mr1ω。所以新系统在新质心系中的总机械能为

整理后得到:

方法二:利用二体孤立系统的等效一体问题处理。因为等效一体问题中的动能等于质心系中系统总动能。无须从原惯性系总动能减去质心动能得到。

新系统的相互作用时能为

新系统在质心系中的动能为

为使新系统不分离, 质心系中机械能应满足小于零。

最后得系统不分离条件与第一种方法一致。

此处, 结论是一样的, 但方法简便多了。

摘要：天体运动问题可以看作是二质点孤立系统问题, 利用二质点孤立系统动力学方程可以非常方便地处理天体运动问题。

关键词：天体运动二质点相对动力学方程,等效一体

参考文献

动力学方程第2篇

活性污泥法的动力学方程讨论及数学模型研究

摘要：活性污泥法水处理过程是一个复杂的`生化反应过程,伴随有物理化学反应、生化反应、相变过程及物质与能量的转化和传递过程.通过对微生物动力学方程的讨论,进而建立动力学模型,比较了Monod方程和Contois方程分别来模拟有机碳在曝气条件下的生化去除过程.模型主要预测底物浓度、溶解氧、微生物增长等引起的系统响应,为污水处理厂的运行提供指导.作者：赵娟 ZHAO Juan 作者单位：江西理工大学资源与环境工程学院,江西赣州,341000期刊：工业安全与环保 PKU Journal：INDUSTRIAL SAFETY AND ENVIRONMENTAL PROTECTION年，卷(期)：2008,34(1)分类号：X7关键词：活性污泥法底物浓度溶解氧微生物增长动力学模型

动力学方程第3篇

摘要：为了较好研究面齿轮的传动系统，本文以正交面齿轮传动系统为研究对象，基于Bondgragh理论建立了综合时变啮合刚度、传动误差、齿面摩擦力、啮合阻尼等因素的耦合非线性动力学模型.运用Bond gragh理论将面齿轮传动系统中的激励和响应转化为键合图元，分析系统运动的特性分别建立了面齿轮弹性变形键合图模型、传动误差键合图模型和齿面摩擦键合图模型，并分析因果关系和键合图中的功率流得到面齿轮传动系统非线性动力学耦合方程.

关键词：面齿轮；动力学；键合图；非线性

DOI： 10.15938/j.jhust.2015.05.010

中图分类号：TH113

文献标志码：A

文章编号：1007-2683（2015）05-0051-05

0 引言面齿轮除了具有大重合度、强轴间位置适应性、大变速比外，面齿轮传动还具有大传递功率、良好的分流效果、优良的工作平稳性、简单结构、低噪声、轻单位质量、小空间占用等优点，其应用领域广泛覆盖.经过长期的理论研究和技术实践，在国内外的众多研究机构和学者的努力下，对面齿轮传动系统结构的研究也更加深入和细化，重点研究领域主要有：面齿轮的齿面成形原理及啮合动态特性，基于有限元法的面齿轮结构强度、温度场分布，面齿轮的实际生产加工及制造装备，动力学分析与实验测量方法的研究.

Bond graph理论是由美国麻省理工学院的H.M.Paynter教授在1959年提出的，其理论基础是热力学第一定律，即热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以与机械能或其他能量互相转换.具体形式是分析机械系统中的多种能量范畴耦合合成的基本物理过程，用四中形式的广义变量：势、流、广义动量和广义位移描述系统功率的传输、转化、贮存、耗散，并按照相互链接关系、能量传输情况、变量间因果关系、系统阶次等系统信息将与能量单元相关的理想元件用键连接，因此键合图可以更加形象具体的表现机械系统尤其是面齿轮系统的非线性传动特性，所用的状态变量即为系统的物理变量，在机械系统中各机械元件相互作用综合，是系统的输入与输出保持某种因果关系，其因果关系具体表现为各元件之间的功率传递，这也是Bond graph理论的根本依据.根据机械系统的工作原理，按照各元件的因果关系，即可建立起系统的键和图模型，分析其隐含着的系统动态性能状态方程，增广后可列写出相应的动力学方程.

1 面齿轮传动系统的键合图建模

1.1 弹性变形模型

面齿轮轮齿在啮合过程中，在齿面载荷的作用下会发生形变.在轮齿任意位置的弹性变形δ与相应受到的载荷W具有如下关系

W=k_hf（δ）.

（1）式中：k_h即轮齿的综合啮合刚度.根据Bond graph理论，载荷W定义为势变量e（t），弹性变形δ定义为广义位移F（t），那么面齿轮轮齿的弹性变形可用基本的一端口元件容性元C来表示，参数为k_h.

由于齿轮在加工、制造与安装、运转过程中会产生误差，从而导致啮合齿廓偏离其理论位置，进而在轮齿啮合过程中产生位移型激励，即为误差激励.因此可用流源Sf表示面齿轮传动系统中误差激励e_n（t）的导数，面齿轮传动误差激励的键合图模型如图1所示，容性元件C表示弹性变形，阻性元件R表示啮合阻尼，并且流源S，可以定义为

1.2 齿面摩擦模型

图2所示为一对相互啮合传动的面齿轮传动副，根据牛顿第三定律可知圆柱齿轮和面齿轮所受的摩擦力大小相等、方向相反.滑动摩擦力产生于主动轮和被动轮的齿面在轮齿啮合的过程中发生相对滑动的过程中，因此与啮合线相垂直的方向是摩擦力的方向，

基于库伦摩擦定律（Coulomb定律），摩擦力F_f可以定义为式中：μ为摩擦系数；sign表示符号函数，F_N为正压力，

根据Bond graph理论，齿面摩擦力为耗能元件，且不断变化，因此可以应用一端口元件阻性元MR表示.根据公式可知由于摩擦力臂Z的变化导致齿廓接触点间的相对速度V_h发生变化，进而影响摩擦力F_f改变，因此可以应用二端口元件变换器MTF来表示圆柱齿轮和面齿轮的摩擦力臂l变化，可得出面齿轮齿面摩擦的键合图模型如图3所示.

1.3 包含齿侧间隙的时变刚度模型

齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩檫发热膨胀而卡死，齿廓之间必须留有间隙，此间隙称为齿侧间隙.一般情况下齿侧间隙很小，但由于其误差的存在，会使得齿轮在啮合时产生啮合冲击，对于齿轮的平稳性和啮合的动态特性造成很大的影响，甚至降低齿轮系统寿命，影响整个机械系统的正常运转.上文公式提到面齿轮系统刚度k_h的定义，其中f（*）即为齿轮啮合时考虑齿侧间隙的函数，考虑该函数对面齿轮传动系统动力学模型具有非线性的影响，传统的基本键合图元件无法详细表述，可采用一种非线性元件功率结型结构来形容.

如图4所示，齿侧间隙模型可由两个质量元件m₁和m₂、一个间隙非线性弹性元件kf（*）和一个能量耗散元件C所组成.当齿轮系统中间隙大小为2b时，可以定义f（*）为非线性分段函数，表示为

根据Bond graph理论，由于间隙函数f（*）是联系势变量e（t）（即载荷W）和广义位移q（t）（即弹性变形δ的函数，可以用一端口容性元件C定义，容度参数即为l/k_h.由于间隙函数f（*）具有分段性特征，在建立键合图模型时需要引入布尔变量u来表述函数的时变性.相对于齿侧间隙的3个状态，分别用u_i（i=1，2，3）.定义：u₁：w=k_h（δ-b），δ>b；u₂：w=0，-b≤δ≤b；u₃：w=k_h（δ+b），δ<-b.并且当3个布尔变量中一个为1，其他两个即为0，这样可以用布尔变量u来控制功率结中的功率通口.

图5考虑齿侧间隙的时变刚度键合图模型

图5所示即为根据齿轮冲击副模型建立的考虑齿侧间隙的时变刚度键合图模型，定义状态变量δ_i（i=1，2，3），可得到该键合图模型的状态方程

1.4 齿轮弹性支撑的键合图模型

基于啮合原理和面齿轮传动的实际特点可知，主动轮为圆柱齿轮，在其轴向没有力的作用存在，从动轮为面齿轮，在其径向没有力的作用存在，因此面齿轮传动系统中圆柱齿轮和面齿轮轴承弹性支撑的动力学模型可分别用两个弹簧和阻尼器模拟，模型如图7所示.

模型中m₁，m₁分别为圆柱齿轮和断齿轮的集中质量；根据Bond graph理论，齿问的载荷力的分量和齿间摩擦力的分量可用一端口势源元件Se表示，支撑刚度k_x1，k_z1，k_x2，kk_z2，可用一端口容性元件C表示，阻尼C_x1，C_z1，C_x2，C_z2由于造成功率损耗可用一端口阻性元C表示，齿轮集中质量m₁，m₂可用一端口惯性件，表示.

齿轮瞬时传动比会因为齿轮加工误差和安装误差等误差因素的存在发生变化，产生轮齿间碰撞冲击现象，误差在键合图中可以用一端口势源Se表述.根据Bond graph理论，结合如图6所示的面齿轮非线性动力学模型，可以得到面齿轮非线性啮合的键合图模型如图7所示.

2 键合图模型方程推导

上文分析面齿轮传动系统中圆柱齿轮和面齿轮只在x轴和z轴存在弹性支撑，因此存在四个弹性支撑的键合图模型，根据啮合理论弹性支撑的存在是由于轮齿啮合时齿轮副间碰撞冲击，产生动载荷和摩擦.齿轮弹性支撑键合图模型中的容性元C、惯性元，和阻性元R的线性形式因果关系分别是

其中k为齿轮的支撑刚度；m为齿轮的质量；c为阻尼，利用1结约束条件和按照已指定的因果关系，就可得到该系统的状态方程为

由于弹性支撑方向与动载荷方向相关，分析可知圆柱齿轮和面齿轮受到的弹性支撑沿各自轴向且方向不同，当通过弹性支撑键合图模型推导动力学方程时，应该考虑输入变量势源Se的不同，即F_k+F_n不同.齿啮合时齿轮副受到的法向动载荷F_n及其沿x，z坐标轴上的分量为

圆柱齿轮在沿x轴的横向振动是受到啮合齿面的法向载荷F_n沿x轴正方向的分力和摩擦力f_x的共同作用即变量势源Se分别表示为

面齿轮同理，因此根据图6所建立的面齿轮传动系统中弹性支撑的非线性动力学方程为式中λ为摩擦力方向函数；l_p为时变摩擦力臂.已知齿轮副重合度ε，小齿轮基圆半径r_b1，小齿轮齿顶圆半径r_a1，小齿轮基圆齿距P_b1，小齿轮转速n₁，则摩擦力臂l_p及摩擦力方向函数可表示为：

根据Bond graph理论，面齿轮啮合键合图列写动力学方程需确定系统的输入变量和状态变量，分别选定，元的广义动量P₂，p₉和C元的广义位移δ为状态变量，势源SeT₁，T₂为输入变量，键合图模型中的容性元C、惯性元I和阻性元R的线性形式因果关系分别是

其中：k_h为两齿轮的啮合刚度；I₁，I₂为两齿轮的转动惯量；c_h为两齿轮的啮合阻尼.利用1结约束条件和按照已指定的因果关系，就可得到该系统的状态方程为

对键合图中功率传输方向进行分析，可得出系统中势变量和流变量如下

3 结论

本文应用Bond graph理论建立了正交面齿轮传动系统动力学模型，并推导了面齿轮传动系统动力学方程，与传统动力学研究方法相比具有以下优点：

1）基于Bond graph理论建立的面齿轮传动系统动力学方程，综合考虑了系统的时变啮合刚度、啮合误差、啮合阻尼、齿间摩擦等非线性因素，对于齿轮系统变化状态的描述具有较好的准确性.

2）基于Bond graph理论建立的面齿轮传动系统动力学模型，由于只用四种形式的广义变量皆可以把面齿轮传动系统中物理过程表述出来，对于系统中各个物理量的关系和能量变化情况比较直观，并且灵活性和拓展性较高，可根据实际情况在模型中添加或是减少影响系统的激励因素.

动力学方程第4篇

刚体平面运动动力学方程是我国工科本科理论力学的基本教学内容.教育部力学基础课程教学指导委员会每两年组织一次的青年教师讲课比赛，其中约有两届曾以此作为讲课比赛决赛的选题.比较遗憾，晋级参加比赛的教师在讲授这部分内容过程中，或多或少地都出现了概念性的错误.究其原因，一是在理论力学教学中青年教师对静力学与运动学的教学内容下的功夫比较多，而对动力学的教学内容钻研比较少.二是目前一些理论力学的新教材或再版教材中确实也存在一些概念论述上的问题.

在体系上，大多教材先后安排静力学、平面运动刚体运动学与动力学三大定理等三方面的教学内容，然后开始介绍刚体平面运动动力学方程的推导.基本叙述过程如下.

如图1所示，定义惯性坐标系O-xryr，过刚体质心C建立刚体连体系C-xbyb.刚体的位形由质心C的矢径rC的坐标xC,yC与姿态角ϕ来描述.刚体所受的外力为平面力系，其主矢与对质心的主矩分别为FR与MC=MCzz.根据质心运动定理，有

刚体对质心的动量矩为LC=JC˙ϕz，根据对质心的动量矩定理˙LC=MC，有

方程(1)与(2)构成刚体平面运动动力学方程.

在叙述的过程中，都提及作用于作平面运动刚体的力系必须为平面力系.然而，根据常识，刚体在受力的情况下其最基本的运动是三维的空间运动.那么刚体在平面力系的作用下是否一定作平面运动呢？纵观上述的推导过程，是从刚体平面运动学出发去套用动力学定理，把一个三维的动力学定理人为地降为二维处理，这样做显然缺乏依据和说服力.

本文将刚体的平面运动视为刚体空间一般运动的特殊情况，从刚体空间一般运动的角度推导刚体平面运动动力学方程，从中考察刚体作平面运动的条件.

1 一般运动刚体运动学概要[1]

1.1 刚体一般运动的分解

如图2所示，过定点O建立三维惯性基er=(xryrzr)T，过刚体质心C建立刚体的连体基eb=xbybzbT与刚体的平动基es=

定义质心C的矢径为rC，刚体在惯性基上的位置可由其描述.rC在参考基er的3个坐标为xC,yC,zC,可定义为刚体的位置坐标.

刚体相对于惯性基er的姿态如同刚体连体基eb相对于惯性基er的姿态.由于平动基es始终与惯性基er平行，因而，刚体相对于惯性基er的姿态与相对于平动基es的姿态相同.就刚体姿态及其变化而言，刚体一般运动与刚体相对于基es绕质心C作定点运动一致.

综上所述，刚体一般运动可分解为刚体随质心C的平移运动与刚体绕质心C的定点运动.

1.2 刚体姿态的描述

如上所述，利用刚体绕质心的定点运动可描述一般运动刚体的姿态.由于平动基es与惯性基er始终平行，所以在描述一般运动刚体的姿态时，可用如图3所示惯性基替代平动基.

对于图3，定义基er为刚体的初始姿态，基eb为刚体的当前姿态.欧拉有限转动定理指出，对于刚体的前后两个姿态，存在一个单位矢量p和一个有限转角γ，刚体从初始姿态绕该单位矢量转过此有限角度可到达当前姿态.该单位矢量p称为一次转动矢量，角γ称为一次转动角.据此，对于刚体的当前姿态可用单位矢量p的3个坐标pi(i=1,2,3)与γ等4个标量来描述，它们构成描述刚体的姿态坐标.由于单位矢量3个坐标pi(i=1,2,3)的平方和为1，故4个坐标独立的只有3个.

根据欧拉有限转动定理可以采取下面的方法来定义刚体的另一种姿态坐标.其基本思想是初始连体基eb与参考基er重合，连体基的当前姿态是由其初始状态绕空间3个不同的基矢量(如图4所示)分别连续作三次有限转动((ψθϕ)T)后实现.这3个角称为欧拉角.刚体的当前姿态可用欧拉角作为姿态坐标.

1.3 刚体姿态的变化

考虑时刻t的刚体姿态，用连体基eb表示.经过微小的时间间隔∆t，连体基的姿态有一微小的变化.刚体的新姿态用连体基e b表示(见图5).由欧拉有限转动定理，实现由基eb到基e b变化的一次转动矢量记为p，转过的一次转动角为一小量，记为∆γ.定义刚体的平均角速度矢量为

显然，当时间间隔∆t取得越小，上述转动的时间历程越接近刚体实际的瞬时运动情况.在∆t趋于零的过程中，一次转动矢量p将趋于一个极限方位p，该方位的转轴称为刚体在瞬时t的转动瞬轴，简称为瞬轴.∆t趋于0时，平均角速度矢量的极限称为刚体在瞬时t的角速度矢量，记为ω，即

通过上述分析，瞬轴通过质心C，与刚体不固结.时间不同，它的方位也不同.

定义角速度矢量在基er上对时间t的导数为刚体的角加速度矢量，即

刚体角速度矢量可以在惯性基er上投影,记为ω=(ωxωyωz)T，也可以在连体基eb上投影，记为ω=ωxωyωzT[1].后者与姿态坐标欧拉角及其导数间的关系为

由上式可解得

这是以姿态坐标欧拉角为变量的一阶微分方程，称为刚体定点运动的欧拉运动学方程.

此外，有了基eb相对于基er的角速度矢量ω概念，可以推得任意矢量b在基er与基eb上对时间导数的关系，有

2 一般运动刚体动力学概要[1]

2.1 惯量

质点的惯性度量为该质点的质量.对于质点系，度量其惯性的物理量之一为质点系的总质量.

在刚体上过点O建立一连体基e(见图6)，定义

分别为刚体关于Ox,Oy与Oz轴的转动惯量.定义如下与转动惯量有相同量纲的量

称JOxy与JOyx为刚体关于Oxy平面的惯性积；称JOyz与JOzy为刚体关于Oyz平面的惯性积；JOzx与JOxz为刚体关于Ozx平面的惯性积.

刚体的转动惯量和惯性积与连体基基点位置及其指向有关.它们是描述刚体相对于该基质量分布的重要物理量.

如果惯性积JOxz与JOyz为0，则称Oz轴为刚体的惯量主轴.同样如果JOxy与JOxz为0或JOxy与JOyz为0，称Ox轴或Oy轴为刚体的惯量主轴.可以证明对于刚体上的点O至少存在一个连体基，该基的三根轴同时为刚体的惯量主轴，称该基为刚体的惯量主轴连体基.

2.2 刚体平移运动的动力学方程

由2.1节知，刚体一般运动可分解为刚体随质心的平移运动与刚体绕质心的定点运动.刚体平移运动动力学方程可利用质心运动定理得到.

将质心C在在惯性基er上的速度矢量记为vC，加速度矢量记为aC.它们分别是矢径rC在er上对时间的一阶与二阶导数，即

根据质心运动定理，刚体平移运动的动力学方程为

其中FR为刚体所受外力系的主矢.上式在惯性基er上的投影式为

2.3 刚体姿态动力学方程

考虑绕质心C作定点运动的刚体，连体基相对于惯性基的角速度矢量为ω.质点Pk的矢径为rk，该点的速度矢量为vk，有vk=ω×rk.刚体对定点C的动量矩LC为

求和号对刚体所有质点.令上式中的各矢量在连体基eb上的坐标阵分别记为

式(13)可表为如下坐标式

将式(14)代入上式，考虑到转动惯量与惯性基的定义式(9)与式(10)，经整理可得刚体对连体基三轴的动量矩分别为

根据刚体对质心的动量矩定理：˙LC=MC，其中MC为刚体所受外力系对质心的主矩.由矢量在惯性基下的绝对导数与在连体基下相对导数的关系式(8)，有

此式在连体基上的坐标式为

其中L C,M C分别为动量矩矢量、主矩在连体基的坐标阵，˜ω为角速度矢量在连体基的坐标方阵.将上式展开，有

可得刚体姿态动力学方程组的普遍形式

若将刚体对质心C的动量矩的表达式(15)代入，以上方程是关于角速度ωx,ωy,ωz的比较复杂的一阶微分方程组.如果力矩M Cx,M Cy,M Cz只是时间或刚体角速度的函数，方程组(16)是以角速度ωx,ωy,ωz为变量的封闭的一阶常微分方程组.通过积分可得到这些变量的时间历程.如果要得到刚体欧拉角姿态坐标(ψθϕ)的变化规律，则需将上述结果代入欧拉运动学方程组(7)求解.如果力矩M Cx,M Cy,M Cz与欧拉角姿态坐标有关，方程组(16)含角速度与欧拉角等6个变量.如果要求解必须将欧拉运动学方程组(7)与方程组(16)联立在一起积分.由此可见，通常情况下，刚体姿态动力学数学模型为含角速度与欧拉角等6个变量的式(16)与式(7).

3 刚体平面运动动力学方程

前述第2.2节给出刚体空间运动的描述：

平移运动

姿态运动

前述第2.3节给出了一般运动刚体的动力学方程组(12),(16)与(7).在给定初始条件下，可解得上述的刚体空间运动过程.

刚体平面运动作为刚体空间运动的特殊情况.不失一般性，令

平移运动

姿态运动

即刚体作这样的平面运动(如图8所示)：质心在平行于惯性空间Oxy的某平面内运动，同时刚体绕连体基zb轴转动.

将式(17a)与(17b)代入平移方程(12)，得平面运动刚体平移运动动力学方程

将式(17d)代入式(15)，刚体对质心C的动量矩变为

将其代入姿态动力学方程(16)，得平面运动刚体的姿态动力学方程

方程(19)与(20)是刚体作平面运动(17)的动力学方程组.下面分两种情况进行讨论.

(1)考虑到式(18)，如果系统受到的是如下的平面力系(如图8所示)

平移运动方程(19)存在，如同式(1).

对于姿态方程(20)，将后两式代入式(20a)与(20b)，有

姿态方程为(20c)，如同式(2).显然，以上两式成立的充分条件为：惯性积J Cxz=J Cyz=0.考虑此条件的必要性.将(22a)×J Cxz+(22b)×J Cyz，得

由于˙ωz=0,J 2Cxz+J 2Cyz 0，上式成立的条件为J Cxz=J Cyz=0.可见它也是式(20a)与(20b)成立的必要条件.

综上所述，在平面力系(21)的条件下，刚体作如式(17)描述的平面运动，动力学方程(1)与(2)成立的惯量充分必要条件为J Cxz=J Cyz=0，即Czb轴为惯量主轴.

(2)如果系统受到如下非平面力系

也可能作如式(17)描述的刚体平面运动.如果由式(20c)可解得ωz=ωz(t)，由式(20a)与(20b)可得到两力矩与ωz,˙ωz的关系式

如图9所示，刚体绕非惯量主轴Czb的定轴转动，是这种情况的一个案例.如刚体的重力与反力FOz抵消，FRz≡0.当刚体在主动力偶M Cz驱动下，˙ωz遵循方程(20c).约束反力在连体基上投影，其中F Ox和F Ax,F Oy和F Ay分别构成两力偶M Cy,M Cx,肯定不为0，由式(24)知，它们与角速度ωz和角加速度˙ωz有关，属轴承对转轴的动反力范畴.

4 结论

在外力系作用下，刚体通常作的是空间一般运动，其运动过程遵循刚体动力学方程(12),方程(16)和方程(7).从该数学模型可知，刚体的运动形态与作用的外力系有关，还与系统的质量及质量分布有关.特别需要指出的是刚体的质量分布将会明显影响刚体姿态的变化.

在平面力系FRz≡0,M Cx≡0,M Cy≡0下，刚体作平面运动惯量条件(Czb为主轴)是充要条件.所以在叙述与推导刚体平面运动动力学方程时，除了指出外力是平面力系的这个力的条件外，还需特别强调刚体作平面运动的惯量条件.

不满足惯量条件(Czb为主轴)的刚体也有可能作平面运动.但该力系肯定为非平面力系，即FRz≡

有人会提出，对于没有学过刚体一般运动动力学的情况，是否能叙述清楚上述涉及惯量条件的概念呢？作者认为有动力学的动量定理与对质心的动量矩定理作为基础，完成这个概念的介绍是没有问题的.由于本文篇幅有限，读者可参阅文献[1]有关章节.

最后需指出动力学方程为关于刚体位形的二阶微分方程组，刚体的运动还与初始条件有关，即使对于满足主轴条件，在平面力系的作用下，还必须满足刚体平面运动的初始条件，才可能实现刚体的平面运动.

参考文献

动力学方程第5篇

相对姿态运动学和动力学方程及其在航天器姿态状态跟踪控制问题中的应用

论文第一次系统地研究并给出了适用于多种姿态参数的相对姿态运动学方程和相对动力学方程,所得结果为发展虚拟平台、相对导航和编队飞行提供了理论基础.论文中还给出了相对姿态运动学方程和相对动力学方程在航天器大角度机动控制问题中的应用,及相应的.渐进稳定非线性姿态控制器设计.与其他文献仅用位置反馈来实现姿态机动的跟踪问题相比,本文用状态反馈,不仅实现了姿态机动跟踪控制,还得到了满意的跟踪过程动态品质.这对实现分布卫星具有平稳跟踪品质的相对指向控制,具有重要意义.

作者：邢光谦休斯特・帕维斯 Guangqian Xing Shabbir A. Parvez 作者单位：美国SPA公司刊名：前沿科学 ISTIC英文刊名：FRONTIER SCIENCE 年，卷(期)：2008 2(3) 分类号：V1 关键词：相对姿态运动学相对姿态动力学跟踪控制相对导航姿态捕获控制非线性控制 relative attitude kinematics relative attitude dynamics tracking control relative navigation atti-tude acquisition control nonlinear control

动力学方程第6篇

在通信技术的发展史上,人们一直在不断地探索更快捷、高效和更安全的信息通信方式。无论是在研究探索的任何阶段,通信内容的信息安全问题始终存在。当今通信界利用混沌信号的特性,总结出了一些混沌通信理论。因此,通过嵌入式通信设备产生可附加到有效通信信号中的混沌信号,实现对通信信息的加密处理是目前通信领域研究热点之一［1］。

本文分析了一种典型的混沌电路,阐述了嵌入式系统环境下用龙格库塔算法进行求解分析混沌电路模型的步骤和方法。

1嵌入式系统及混沌加密

由于混沌行为的伪随机性和对初值较强的敏感性［2］,因此控制混沌也成为了应用混沌的关键。人们陆续提出了多种对混沌行为进行控制的方法,比如最优控制法、脉冲控制法、线性状态反馈控制法以及非线性的状态反馈控制等。混沌控制在众多领域有着广泛的应用前景,比如在通信保密、电子系统及神经网络等方面。

嵌入式通信设备( 比如移动电话、掌上电脑等) 已成为人们学习生活工作不可缺少的一部分,在日常生活中已经起到了越来越重要的作用。因此在嵌入式系统下求解混沌微分方程,并将其应用于保密通信中的研究意义是非常重大的。随着更高级别、更复杂且实用的嵌入式系统和可编程逻辑器件的快速发展,使基于混沌的通信系统向市场化方向越来越近了。嵌入式系统强调的是硬件与软件的整体协同性,在一定的项目开发要求下,要尽可能挖掘系统的软硬件能力,能够根据实际开发项目需要对软硬件进行选择,根据项目需要对系统进行裁剪,最终得到性价比较高的设计方案。本文的嵌入式系统硬件部分是选用TQ2440实验板。

2加密研究方法

随着信息技术与计算机电子技术应用的快速发展,数值分析计算方法突破了传统的计算方法,在传统基础学科中取得了很大的突破。数值分析计算是与计算机使用密切联系的计算方法,它既有应用广泛性与技术性特点,也有纯数学的抽象性与科学性的特点。

2.1数值分析方法特点

要求出一些特定的数学方程的数值解,必然要掌握这些方程的本质特点,针对性地设计贴近方程本质特点的算法。数值分析方法总体概括起来有以下4个特点:

1有可靠的理论总结与分析,能任意逼近要求的精度,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性;

2是面向计算机计算方法,也是计算机能直接处理的有效算法;

3最优化的计算方法,能做到计算时间要尽量短;

4要进行数值结果分析实验,可以通过Matlab仿真实验或作图软件,对计算的结果进行定性定量分析,证明这种算法是最优化的计算方法。

数值分析的过程既是计算数学的任务,也是数值计算方法的研究对象,就是研究具体数学问题并将计算机用于解决具体数学问题应用中。

2.2龙格库塔算法求解常微分方程

在高等数学中的关于常微分方程的一些解法, 只局限于求解几种特殊类型的微分方程,大部分的常微分方程用高等数学中的公式法是不可行的,有些初值问题虽然有初等解,但由于形式太复杂不便于应用。因此有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。

利用龙格—库塔方法对常微分求数值解是一种在工程技术领域上应用比较普遍的算法,计算精度比较高,与欧拉法一样的是都属于单步算法,即计算下一步时,只用到前一步值。龙格—库塔法的优点是精度更高,对误差进行有效抑制,收敛且稳定( 在一定前提下) ,计算中可以根据需要改变步长,从而达到不需要计算高阶导数等。

按照只能增加计算f值计算次数才能满足截断误差要求的推导思想［3］,截断误差为o( h5) 的4阶龙格—库塔公式,每计算一步都要计算4次f值。其一般公式表达式为:

进一步可以推导出常用4阶龙格—库塔公式为:

3在嵌入式系统中求解典型混沌方程

3.1洛伦兹混沌方程数学模型

洛仑兹［4］提出一个具体数学模型,清晰地展示了一种崭新的运动模式,那就是混沌现象的运动模式,也即是轨迹既不收敛到极限环上但是也不脱离。洛伦兹模型在非线性学科中很重要,对于未来的气候变化预测也至关重要。

洛仑兹方程是一个三维的自治系统,方程也是极其精妙的。洛仑兹方程形式比较简单,是由3个一阶微分方程组成的3阶微分方程组:

式中,a为普兰特尔数; c为瑞利数。但是所有的a、 b和c取值是都大于0,对于洛仑兹数学模型,研究方法是参数a和b已确定,单独考察c变化时,系统行为的变化。

取参数a = 10,b = 8 /3,c = 28时,洛仑兹方程如式( 1) ,对方程进行数值求解,观察洛仑兹吸引子的情况,此时洛仑兹方程会出现混沌状态,定点变成了排斥因子,轨迹以非常复杂的方式相互排斥,演变时自身从不重复和交叉。

3.2实现洛伦兹混沌方程求数值解流程

本文程序算法设计主要按照龙格库塔的思想实现,在嵌入式系统环境下实现洛伦兹混沌方程求数值解的流程如下:

1首先在Linux嵌入式系统的VIM编辑器环境下,按照龙格库塔推导思想对二阶微分方程数值求解程序进行编写。

2编写完成之后,执行命令: #arm-linux-gcc -o zhixingwenjian bysj.c。

3设置宿主机与实验板之间互传的路径是目标盘: Virtual Machinesdown_update,在宿主机终端执行: #rz命令,把已生成的可执行文件下载到实验板中执行。下载可执行文件前提是uboot以及Linux系统的映像文件已下载至硬件设备［5－7］。

4在实验板终端执行命令: # chmod+x zhixing- wenjian,修改可执行文件“zhixingwenjian”的权限。

5在实验板终端执行命令: # . /zhixingwenjian, 运行可执行程序,会在实验板的Linux系统的根目录下生成Data.txt文件。

6生成的Data.txt文件既可以通过网络将数据传输到其他计算机进行分析,也可以通过终端执行# sz Data.txt命令,将数据传送到PC机指定位置。

7将产生的Data.txt文件中的数据借助作图软件或者数据分析软件进行定性定量分析。

4对数值解进行混沌行为分析

由于混沌现象对初值变化有较强的敏感性,方程中任何状态变量的初值进行稍微变化,都可以观察到其时间序列的变化很大。以x变量为例,实线代表的x[0]= 0时状态变量x的时间序列,虚线代表x[0]= 0.01时状态变量x的时间序列,可以看出状态变量x对初值改变的较强敏感性,如图1所示。

当a = 10,b = 8 /3,c = 28时,洛仑兹数学模型所出现的混沌吸引子在各平面上的投影如图2、图3和图4所示。图2是吸引子在y -x平面的投影。图3是吸引子在z-x平面的投影。图4是吸引子在z-y平面的投影。

5结束语

本文借助嵌入式系统实验板,通过算法程序实现了混沌加密信号的产生,对嵌入式系统下如何进行混沌微分方程求数值解做了细致的研究,将求得的数值解网络传输到任何一个计算机进行分析。从仿真实验结果看,在嵌入式系统下实现混沌信号的产生是可行的,也为下一步将混沌信号应用到保密通信系统中提供了理论遵循。

摘要：随着科学界对混沌特性不断探索,发现将有效通信信号附加到混沌信号里是实现保密数据传输行之有效的方法之一,被加密后的通信数据即便被截获,也很难被破译。通过仿真与实验的方法,在嵌入式Linux操作系统下对一种典型的混沌电路模型进行分析求解,验证了龙格库塔算法求解混沌电路模型的正确性,为进一步实现嵌入式系统下的数据信息加密奠定基础。

关键词：嵌入式系统,数据传输,混沌行为

参考文献

[1]冯久超.混沌信号与信息处理[M].北京:清华大学出版社,2012.

[2]STOJANOVSKI T,KOEAREV L.Chaos-based Drandom Number Generator Partanalysis[J].IEEE Trans Circuits and Systems,2001,48(3):281-288.

[3]翟瑞彩,谢伟松.数值分析[M].天津:天津大学出版社,2000.

[4]郝柏林.从抛物线谈起—混沌动力学引论[M].上海:上海科技教育出版社,1993.

[5]周立功.ARM微控制器基础与实践[M].北京:北京航空航天大学出版社,2003.

[6]林晓飞,刘彬,张辉.基于ARM嵌入式Linux应用开发与实例教程[M].北京:清华大学出版社,1997.

动力学方程第7篇

后来他们将工作扩展到可能不满足达朗贝尔原理的非理想约束系统[3,4,5], 甚至更为一般的机械系统[6,7,8,9]. 因为在表达上的简洁及一般性,这套方程受到了越来越多的关注并且已在许多不同的领域中得到了应用[10,11,12,13,14,15,16,17].

但当采用伍德瓦迪亚 - 卡拉巴 (Udwadia-Kalaba) 方程来处理含摩擦的刚体系统时,所得到的结果与经典的刚体动力学方法不符. 当笔者再次分析伍德瓦迪亚 - 卡拉巴方程的各项时发现:不论约束理想与否,伍德瓦迪亚 - 卡拉巴方程给出的理想约束力的值总是与非理想约束无关. 其实在某些情形 (如考虑库仑滑动摩擦) 下,这两项是相互耦合的. 因伍德瓦迪亚及卡拉巴所选用的含库仑摩擦的非理想系统的例子只涉及到质点[3,4,5,6],故此问题并没有显示出来.

在本文中,我们重新考察了方程中的各项,并通过推导修改了理想及非理想约束力的表达式,修改后的表达式有更清晰的物理意义并体现了符合物理定律的耦合现象.

1 关于非理想约束系统的伍德瓦迪亚 -- 卡拉巴方程的讨论

1.1 伍德瓦迪亚 -- 卡拉巴动力学方程的背景介绍

考虑如下受约束系统,其可由广义坐标来描述. 假定受m = h + s约束作用

其中,

假定方程 (1) 和 (2) 充分光滑, 则方程 (1) 取微分两次,方程 (2) 一次,可得到下列方程

其中,矩阵A ∈ Rm×n,b为通过微分得到的与 ¨q无关的m维矢量.

则受约束的动力学方程可写作

其中,M ∈ Rn×n为对称且正定的惯性矩阵;Q ∈ Rn为加在系统上的广义力,其包括离心力、重力及控制等. QC∈ Rn为由约束 (1) 和 (2) 产生的广义约束力,则

其中,QiC及QniC分别代表理想的广义约束力和非理想的广义约束力.

伍德瓦迪亚及卡拉巴证明理想约束力及非理想约束力可分别由下列显式表达[3,4,5]

其中, 矢量C为引进的已知n维矢量,用来描述非理想特性,即

其中v ∈ Rn为在时刻t的虚位移. 当C ≡ 0,这个原理简化为达朗贝尔原理,且所有约束均为理想的. (AM-1/2)+表示矩阵AM-1/2的广义逆矩阵,它是传统意义上逆矩阵定义的推广.

1.2 对方程中理想及非理想约束力表达式的修改

在某些情形 (如考虑库仑滑动摩擦) 下,法向的理想约束力是同切向非理想约束力相关联的,但在约束方程 (6) 中,理想约束力QiC的表达式中只含有与主动力、广义坐标及广义速度相关的项,而与非理想约束力无关,这常常会导致一些错误. 因此,对表达式进行了一些修改,并且不再引进上述指定的n维矢量,则动力学方程可表达为

其中,将QiC的表达式进行了修改,即

证明:

通过借助于伍德瓦迪亚- 卡拉巴[4]的符号和方法, 可得到下列推导:

由广义理想及非理想约束力的定义,可得

上式表明:广义约束力所做的虚功等于非理想约束力所做的虚功.

同式 (7) 中一样,v ∈ Rn被定义为时刻t的虚位移矢量,它满足下列约束方程Av = 0.

在此定义u = M1/2v及B = AM-1/2, 则Bu = 0.

因为u ≠ 0, 则由Bu = 0可导出uTB+= 0, 于是

上面的推导可表明该项所作的虚功为0.

则由广义理想约束力的定义,可将

作为理想约束力,即得到表达式 (9) 及动力学方程 (8).

命题得证.

1.3 对修改的讨论

我们做了如下修改:

(1) 在方程 (8) 中用广义主动力QniC代替了方程 (6) 中含义不很明确的矢量C, C在伍德瓦迪亚卡拉巴方法中被定义为已知的、被指定的充分光滑的矢量,它并不总是等于广义非理想约束力.

(2) 当约束是理想的,即QniC≡ 0, 可得到

它与方程 (6) 吻合,表明当系统是理想时,两者是一致的.

(3) 理想约束力的表达式 (9) 中增加了一项这项体现了非理想约束力QCni对理想约束力的影响. 这项的虚功为0,体现了理想约束力的定义.

当非理想约束力是理想约束力的函数时,上述修改尤其必要,它会影响到动力学方程的表达,从而影响最终的计算结果.

2 例子: 考虑库仑摩擦的刚体系统

考虑如图1所示的刚体系统,杆的长度及质量分别用2l及m表示. 它的一端与无质量滑块A铰接. 滑块A沿粗糙的滑道移动,摩擦系数为 µ.

令 (x, y) 是杆的质心坐标, Fn和Ft分别是法向约束力及切向摩擦力,杆与轴x之间的夹角记作 θ.

由滑道所施加到滑块上的约束方程为

由方程 (11) 及方程 (3), 可得到如下矩阵

因此计算QiC及QniC为

其中,

在以下部分,将通过3种方法来解决该问题.

2.1 经典的刚体动力学方法

由质心运动定理及动量矩定理,可得到

通过方程 (11) 及方程 (14), 可得

其中

将符号函数引入方程 (15), 则

假定切向摩擦符合库仑摩擦定律,即

表达式 (16) 和 (17) 显示理想约束力及非理想约束力之间是相互耦合的.

2.2 伍德瓦迪亚 -- 卡拉巴方法

比较方程 (12) 及方程 (18),得

方程 (19) 和方程 (16) 之间的不同在于方程 (19) 的分母中不含与摩擦相关的量 µA2sgn(Fn).

根据矢量C的定义, 在虚位移v下所做的功可表达为

则

故

根据方程 (4) 和方程 (6), 可得到动力学方程组如下

由此看出, 方程 (20) 明显不同于方程 (14).

2.3 修改后的伍德瓦迪亚 -- 卡拉巴方法

通过方程 (9) 和方程 (12), 可得到

解上式中的法向约束力Fn,可以得到

由此可见,上式同方程 (16) 是一致的.

将方程 (22), (17), (12) 及 (13) 代入方程 (8), 便可以得到同经典的刚体动力学方法一致的动力学方程.

在这个例子中,非理想的约束力能被表达为理想约束力的函数,理想约束力的不同会影响非理想约束力的数值以致于影响动力学方程的表达. 因此,这个小的修改在某些问题中会导致结果的较大改变.

3 结论

同经典的解决受约束系统动力学问题的牛顿欧拉法及拉格朗日乘子法相比,伍德瓦迪亚 - 卡拉巴动力学方程既可以采用灵活的坐标选择方式,同时也无需引入拉格朗日乘子,无疑在解决受约束系统的动力学问题方面要更加方便.

本文对该方法所做的小的修改使其能更可靠地解决非理想系统的动力学问题,尤其是非光滑的多体系统动力学问题. 修改后的伍德瓦迪亚- 卡拉巴方法保持了原有的伍德瓦迪亚 - 卡拉巴方法的优点, 即同样可以为非理想约束的动力学问题提供程式化的方法.

摘要：讨论了由伍德瓦迪亚(Udwadia)和卡拉巴(Kalaba)提出的针对一般非理想系统的动力学方程,并对理想及非理想约束力的表达式进行了修改.修改后的表达式有更清晰的物理意义且显示了同物理定律相适应的理想约束力及非理想约束力之间的耦合效应.例子中分别采用经典的刚体动力学方法、伍德瓦迪亚-卡拉巴方法及修改后的伍德瓦迪亚-卡拉巴方法进行了对比研究,证实了对方程修改的意义.

动力学方程第8篇

时间标度最初是由StfanHilger[1]提出的, 目的是把连续和离散统一起来进行讨论, 并在此基础上推广到更一般的情形。这一理论近几年得到了广泛关注。Bohner和Peterson[2]系统分析了时间标度上的动力方程。本文考虑时间标度上一阶线性动力方程解的振动性, 得到了方程振动的充分条件, 这些结果包括了连续和离散情况下的已有结果。

1主要引理

由于只研究振动性, 故假设所考虑的时间标度T是无上界的, 即supT=∞。时间标度上的相关概念和性质参考文献[2,3]。

考虑时间标度上超前型动力方程

$x^{Δ} (t) - \sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) x (t + τ_{i} (t)) = 0$ (1)

对系数pi (t) 和超前量τi (t) 作如下假设:

条件 (H) :pi:TR是rd连续的, 且pi (t) ≥0, i=1, 2, , m ;τi:TT, t+τi (t) ∈T, 且t+τi (t) ≥σ (t) ≥t, τi (t) 是一致有界的, 即τi (t) τ, i=1, 2, , m。

引理设f:RR是连续可导的, g:TR是Δ (Delta) 可导的, 则f。g:TR, 是Δ可导的, 且

$(f ˚ g)^{Δ} (t) = (\int_{0}^{1} f^{'} (g (t) + h μ (t) g^{Δ} (t)) d h) g^{Δ} (t)$ 。

此结论的证明与文献[2]的相关定理类似。

2结果

由条件 (H) 和引理, 得到方程 (1) 的解振动的充分条件。

定理若条件 (H) 成立, 且

$\lim_{t \infty} \inf (\inf_{λ > 0} \sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) \exp (λ τ_{i} (t))) > 1$ (2)

则方程 (1) 的一切解是振动的。

证明:不妨设方程 (1) 有一最终正解x (t) , 即∃T0∈T, 当t≥T0时, xΔ (t) ≥0, x (t) >0。令

$λ_{0} (t) = \frac{x^{Δ} (t)}{x (t)}, \forall t \geq Τ_{0}$ , (3)

取f (t) =lnt∈C1 (R+, R) , g (t) =x (t) ∈C $_{r d}^{1}$ (T, R+) 。

由引理知, (f。 g) (t) =ln (x (t) ) 是Δ可导的, 且

$\begin{array}{l} (f ˚ g)^{Δ} (t) = (\ln (x (t)))^{Δ} = (\int_{0}^{1} f^{'} (g (t) + h μ (t) g^{Δ} (t)) d h \begin{array}{l} \end{array}) g^{Δ} (t) = (\int_{0}^{1} \frac{1}{x (t) + h μ (t) x^{Δ} (t)} d h) x^{Δ} (t) \geq \\ \frac{x^{Δ} (t)}{x (t)} (4) \end{array}$

从t到t+τi (t) 积分 (3) 式得

$\int_{t}^{t + τ_{_{i}} (t)} \frac{x^{Δ} (s)}{x (s)} Δ s = \int_{t}^{t + τ_{_{i}} (t)} λ_{0} (s) Δ s$ ,

由 (4) 式得 ∫ $_{t}^{t + τ_{_{i}} (t)}$ (ln (x (s) ) ) ΔΔs≥∫ $_{t}^{t + τ_{_{i}} (t)}$ λ0 (s) Δs,

即 $\frac{x (t + τ_{_{i}} (t))}{x (t)} \geq \exp (\int_{t}^{t + τ_{_{i}} (t)} λ_{0} (s) Δ s) (5)$

由方程 (1) , λ0 (t) 的定义及 (5) 式得

$λ_{0} (t) \geq \sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) \exp (\int_{t}^{t + τ_{_{i}} (t)} λ_{0} (s) Δ s)$ (6)

定义集合Ω={λ∈Crd ([T0, +∞) , R) , λ (t) ≥0, t≥T0}, 在Ω定义映射S: $(S λ) (t) = \sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) \exp (\int_{t}^{t + τ_{_{i}} (t)} λ (s) Δ s), t \geq Τ_{0}$ , 易知下列结论成立:

(ⅰ) (Sλ) (t) ∈Crd, (Sλ) (t) ≥0, t≥T0, 即SΩ⊂Ω;

(ⅱ) ∀λ1 (t) ≥λ2 (t) ≥0, t≥T0, 有 (Sλ1) (t) ≥ (Sλ2) (t) , ∀t≥T0,

利用 (ⅰ) , (ⅱ) , (6) 式变为:λ0 (t) ≥ (Sλ0) (t) (7)

由条件 (2) 知, ∃c>1, 使

$\inf_{λ > 0} (\frac{1}{λ} \sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) \exp (λ τ_{i} (t))) \geq c$ (8)

特别地, 利用条件 (H) , 当λ=1时, 对∀t≥T0, 有

$c \sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) \exp (τ_{i} (t)) \sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) e^{τ}$ ,

令 $b = \frac{c}{e^{τ}} > 0 (b$ 为常数) , 则∀t≥T0, 有

$\sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) \geq b$ (9)

由 (7) 式、 (9) 式可知, λ0 (t) ≥b, ∀t≥T0 (10)

利用 (7) 式、 (8) 式、 (10) 式, 有

$λ_{0} (t) \geq (S λ_{0}) (t) \geq S (b) = \sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) \exp (b τ_{i} (t)) \geq b c ‚ \forall t \geq Τ_{0}$ ,

以此类推, 对∀t≥T0, 有λ0 (t) ≥S (bc) ≥bc2, , λ0 (t) ≥bck, ∀k∈N, 当k∞时, 有λ0 (t) ∞, 这与λ0 (t) 的定义矛盾, 从而方程 (1) 无最终正解, 类似地, 可证方程 (1) 也无最终负解, 故方程 (1) 的一切解是振动的。

推论若条件 (H) 成立, 且 $\lim_{t \infty} \inf (\sum_{i = 1}^{m} p_{i} (t) τ_{i} (t)) > \frac{1}{e}$ , 则方程 (1) 的一切解是振动的。

注 (ⅰ) 当T=R时, 令pi (t) =qi (t) , 则本文定理的条件是文献[4]中定理3的条件: $\lim_{t \infty} \inf (\inf_{λ > 0} \sum_{i = 1}^{m} q_{i} (t) \exp (λ τ_{i} (t))) > 1$ (文献[4]中取pi (t) =0, σi (t) =-τi (t) ) ;

参考文献

[1]Hilger S.Analysis on measure chains—unified approach to continu-ous and discrete calculus.Results Math, 1990;18:18—56

[2]Boher M, Peterson A.Dynamic equations on time scales, an introduc-tion with applications.Boston:Birkhauser, 2001

[3]张炳根.测度链上微分方程的进展.中国海洋大学学报, 2004;34 (5) :907—912

[4]王侃民, 周军.具有多变时滞中立型微分方程的振动性.高校应用数学学报A辑, 2004;19 (1) :31—40

动力学方程第9篇

1.1 方程的导出

Appell(1855—1930)在他的《理性力学》第Ⅱ卷第465节“既适合完整系统又适合非完整系统的运动方程的普遍形式”[1]中,由动力学普遍方程

导出方程

其中δq1,δq2,···,δqk是任意的,而

相应的约束为

1.2 方程的另一种表述

Appell在其著作的第468节“用二阶函数取极值求得运动方程”中组建函数

则方程(2)写成形式

这样,Appell方程就用Appell函数取极值来得到了.

1.3 方程的应用

Appell举例说明方程的应用:(1)单个质点在极坐标中的平面运动;(2)绕定点运动的刚体.其后给出对包含伺服约束系统的应用.

上述为Appell《理性力学》中的结果,即著名的Appell方程(2)或方程(6).Appell还得到了其他形式的方程,见后面的式(30).

2 诸多名家对Appell方程的表述

本节介绍诸多名家对Appell方程的理解和表述.

2.1 Whittaker的表述

Whittaker在其名著《分析动力学》(1904年)[2]第107节“Appell方程”中写道:

“考虑任何动力学系统.令

是联系广义坐标q1,q2,···,qn的不可积方程,在完整系统中认为这些方程不存在.

“令S表记函数

其中mk为质点的质量.

“利用约束方程,将m个速度用另一些方程表示,相应坐标记作(p1,p2,···,pn-m).

“xk的改变用p1,p2,···,pn-m的改变表示为

其中πr(r=1,2,···,n-m)是坐标的已知函数:这类方程是不可积的.

“由此,∂xk/∂pr=πr有形式

其中α表记坐标的函数.求导数,有

因此

......因此,无论完整与否的动力学系统的方程表示为形式

这里S表记函数,而(p1,p2,···,pn-m)是数目等于系统自由度的坐标.

“显然,即使是p1,p2,···,pn-m不是真坐标而是伪坐标,结果都是对的.”

Whittaker的公式(8)∼公式(11)应写成如下形式

Whittaker将Appell方程写成式(12)的形式,可以是真坐标的,也可以是伪坐标的统一形式.

2.2 Marcolongo的表述

Marcolongo在他的《理论力学》(1912年)第2卷第105页给出方程[3]

称其为Gibbs和Appell形式.

Marcolongo给出的形式与Appell的相同,但称其为Gibbs和Appell形式.

2.3 Mac Millan的表述

Mac Millan在他的《刚体动力学》(1936年)[4]第156节“完整和非完整系统的Appell方程”中,由动力学普遍方程导出方程

Mac Millan给出的形式与Appell的相同.

2.4 范会国的表述

范会国在他的《理论力学》(1951年)[5]第262节“完整组及不完整组之运动方程式之普遍形式”中给出方程

范会国给出的形式与Appell的相同.

2.5 周培源的表述

周培源在其《理论力学》(1952年)[6]“Appell的方程”一节中给出

与Appell的一致.

2.6 蒲赫哥尔茨的表述

蒲赫哥尔茨在其《理论力学基本教程》下册(1957年)[7]第2章第14节“Appell方程式”中写道:

“Appell在1900年获得了一些方程式,这些方程式就其形式来说很接近第二类拉格伦日方程式,它们适用于非完整力学组(因而也适用于完整力学组,因为完整力学组是非完整力学组的特殊情形).”书中利用d’Alembert--Lagrange原理导出方程

导出的结果与Appell的相同.

蒲赫哥尔茨所指Appell方程式就其形式来说很接近第二类Lagrange方程,似不妥,或许是说后面的方程(30).

2.7 汪家訸的表述

汪家訸在其《分析动力学》(1958年)[8]第104节“Appell方程式及加速度能量式”中给出方程

这与Appell的一致.

2.8 Gantmacher的表述

Gantmacher在其《分析力学讲义》(1960年)[9]“非完整系统的Appell方程·准坐标”一节中给出Appell方程的两种形式.

令约束方程为

选广义速度的n个独立线性组合

设由式(19)和式(20)可解出所有广义速度,记作

其中his和hi是t和q1,···,qm的函数.量是广义速度的线性式,称为准速度,而符号πs为准坐标.其后,利用动力学普遍方程导出方程

指出,这个方程首先由Appell得到,并称为Appell方程,其中称为准加速度,而

称为加速度能.最后,给出两个注解:

(1)如果准速度取广义速度,得到方程

(2)Appell方程可应用于完整系统,此时所有速度是独立的.

Gantmacher给出准速度下的Appell方程(22).当准速度取为广义速度时得到广义坐标下的Appell方程(24).如果所有速度是独立的,就得到完整系统的Appell方程.这样从一般到特殊的表述是非常好的表述.

2.9 Lurie的表述

Lurie在其《分析力学》(1961年)[10]“Appell微分方程”一节中给出

这里约束方程为

由此解出l个速度

在“准速度下的Appell方程”一节中给出

Lurie先给出广义坐标下的Appell方程(25),其后给出准速度下的Appell方程.这样的表述是全面的.

2.1 0 Savin等的表述

Savin等在他们的《某些基本力学问题的发展史》(1964年)第1部分“非完整力学的发展史”中写到[11]:

“1899年Appell得到本质上不同于前人的力学系统的运动方程.这些方程无论对完整约束还是非完整约束,无论对真坐标还是伪坐标都是对的.不同于Chaplygin方程,Volterra方程,Voronets方程,只需事先组成不是广义速度而是广义加速度的二次函数,即不是一阶微分表示而是二阶微分表示.Appell方程有特别简单的形式

这些方程使作者有可能研究非完整力学一系列新的重要问题,也可以新观点审视早已解决的问题.

“1903年Appell得到非完整系统完整坐标下的新型运动方程

其中

而

这里ψi是广义速度的二次函数,其系数依赖于广义坐标,由下式确定

其中S为加速度能,而ϕ为广义加速度的齐二项式.Appell证明,修正项∆α有陀螺力性质.”[12]

Savin等介绍了众所周知的Appell方程(29),还介绍了为人少知的方程(30).式(30)中的T,Qi和式(33)中的S应理解为嵌入约束后的动能,广义力和加速度能.由Appell的证明知.如果这个式子不满足,则方程(30)不能用.这表明方程(30)对非完整约束是有限定的.

例1系统动能和约束分别为

嵌入约束后,则有

由式(33)知

由式(32)知

由式(31)知

因此

问题不能用方程(30).

例2Appell--Hamel例

问题的动能、势能和非完整约束分别为

嵌入约束后,有

于是有

问题可用方程(30).

例3二自由度系统为

可计算得

于是

当

时,有,方程(30)可用.这时,系统是Chaplygin系统.

例4单自由度系统为

按方程(30)列写运动方程,有

方程(30)给出

用带乘子方程验证这个方程是否正确,带乘子方程给出

消去乘子λ,得到

对比式(35)和(34),仅当

时才一致.因此,当g=0时,即约束为

时,方程(30)可用.再看Novoselov例,有

则

它满足式(36),因此,方程(30)可用.

尽管Appell的方程(30)不如方程(29)那样普遍,仍有其意义.首先,可证明Lindelöf方程是错误的,因为它比Lindelöf方程多出一些修正项;其次,方程(30)中不仅包含动能,还有加速度能,这表明仅用动能在广义坐标下不能表示非完整系统的运动方程.

2.1 1 Pars的表述

Pars在其《分析动力学》(1965年)[13]第12章“Gibbs--Appell方程”中给出

他是由函数对真实运动取极小值来导出的.指出,1879年由Gibbs得到,20年后由Appell详细研究.

Pars给出的Appell方程(37)是用广义坐标表达的,并称为Gibbs--Appell方程.

2.1 2 Neimark和Fufaev的表述

Neimark和Fufaev在他们的《非完整系统动力学》(1967年)[14]第3章第8节Appell方程中给出

其中点的速度写成形式

Neimark和Fufaev的书是世上第一部系统论述非完整力学的专著,他们给出的方程(38)是准速度下的Appell方程.

2.1 3 Dobronravov的表述

Dobronravov在其《非完整系统力学基础》(1970年)[15]第2章Appell方程中给出

并指出,如果约束不是理想的,会出现广义约束力Dµ*,有

Dobronravov是苏联著名非完整力学专家.他不仅给出理想约束下的Appell方程(40),还给出非理想约束下的Appell方程(41).

3 方程的称谓

Appell给出的方程被大多数学者称为Appell方程,仅Marcolongo和Pars称其为Gibbs--Appell方程.关于方程称为Appell还是Gibbs--Appell,Papastavridis的《分析力学》第706页有如下论述[16]:

“Gibbs versus Appell

“Appell在Pfaﬀ约束下的S方程有时称为Gibbs--Appell方程,如参考文献[13].然而,细心研究两位名人的原始论文显示,Appell的贡献(众多有份量的论文,独一无二专注这些方程的论著,再加上他著名Traité的扩充部分)完全高过了Gibbs的工作(他关于理论动力学简单论文的后两页).两者的主要差别是:Appell涉及非完整坐标和约束,而Gibbs仅涉及非完整系统坐标.他们的方法也是不同的:Gibbs由(少知的)Gauss原理微分形式导出他的方程,而Appell是由(最简单的)Lagrange原理得到的.

“因此,我们决定称它们为Appell方程.实际上,这与20世纪大多数最好力学家是一致的,如Voss,Heun,Routh,Whittaker,Gray,Hamel,Nordheim,Johnsen,Prange,Ames and Murnaghan,Levi-Civita and Amaldi,Mac Millan,Rose,Lanzos,Beghin,P´er`es,Synge,Lurle,Gantmacher,Novoselov,Dobronravov,Neimark and Fufaev,Mei et al.”

Papastavridis的上述论述从Gibbs和Appell的贡献对比,以及大多数学者的看法,说明称为Appell方程是合适的.

4 Appell方程的发展

4.1 Appell方程对非线性非完整约束系统的应用

设有非完整约束

取ε=n-g个准速度

设由式(42)和式(43)可解出所有广义坐标

于是

其中

取ε个彼此函数独立的准加速度

设由此可解出

令S*为用ωσ,表示的S,有

令S**为用ωσ,εσ表示的S*,有

于是有

而Appell方程在准速度和准加速度下表示为

方程(50)是一阶非完整系统最普遍形式的Appell方程[17,18].当取准加速度εσ为准速度对时间的导数时,Appell方程有形式

进而,取时,Appell方程有形式

Appell方程可推广到高阶完整系统和非完整系统.

4.2 Tzénoff方程

1953年保加利亚科学院院士Tzénoff在苏联科学院通报上发表论文“分析力学方程的新形式”[19],文中构造一个函数

其中为动能T对时间t的二次导数,为把T中广义速度当作常量时动能对t的二次导数,Qs为广义力.对完整系统,Tzénoff方程为

对一阶非完整系统,Tzénoff方程为

其中,为K中消去不独立广义速度所得表达式.

Tzénoff函数K与Appell函数R仅相差一些不含的项.Tzénoff方程可在准速度下表达,也可在准速度和准加速度下联合表达.Tzénoff方程可推广到高阶完整系统和非完整系统.

4.3 Appell方程的积分

Appell方程形式优美、简洁,但是还没有有效的积分方法.文献[20]研究了Appell方程的形式不变性,并借助Lagrange系统给出了Noether型守恒量.这篇论文被评为中国物理学会2012年度“最有影响论文奖”一等奖.寻求Appell方程有效的积分方法以及研究其动力学行为,仍是一个开放问题.

5 结语

动力学方程第10篇

旋转机械作为国家航空、动力、化工、能源领域中重要的机械装置, 在国民经济和国家安全方面, 都占有极其重要的作用, 大部分的旋转机械如汽轮机、压缩机、航空发动机等装置内部均有腔体盘鼓结构, 由于装置不合理的密封措施或者轴承安装等装配上的问题, 常常导致腔体进油或者润滑油泄漏, 流入腔体的积油所导致的装置运行故障时有发生[1,2,3], 而由实验观察到, 即使微量的腔体积油, 也会对腔体的运转产生极大的影响。带有微量积油的腔体可以称之为含液转子系统, 即在旋转部件空腔内积存有微量液体的转子系统, 若腔体内进入一定量的液体, 则旋转的液体与转子之间的相互作用会使得转子在一定的转速范围内出现运动失稳, 即积油自身出现严重的自激振动[4]。

自从Wolf[5]在1968 年首次提出积油转子存在自激不稳定区域后, 国内外众多学者对积液转子开展了试验和理论方面探索研究工作。Hendricks[6], Holm[7], Jorgense[8]分别报道了悬臂、对称支撑、弹性支撑条件下带有部分充液的刚性转子系统的稳定性和涡动性, Yoshizumi[9]建立了忽略转子不平衡、重力和陀螺效应的弹支充液转子系统的耦合动力学模型。国内复旦大学的张文和陶明德[10]基于梁模型和流体二维流动模型, 推导了充液转子的摄动方程, 得到了充液转子失稳判别的解析表达式, 浙江大学的祝长生[11,12]对部分充液的柔性转子, 刚性转子系统振动和稳定性进行了较为全面的研究, 从实验和理论方面分析了充液转子系统不稳定产生的过程, 失稳过程中系统的动力特性以及流体粘度、充液两对转子系统振动和稳定性的影响。

本文针对含有旋转腔体积油故障的转子系统, 提出一种双支撑转子系统力学简化模型, 将积油简化为集中质量油团, 通过拉格朗日方程, 建立系统动力学方程。由数值仿真, 分析了积油转子系统中转速对积油系统振动响应的影响, 以及积油转子系统的共振锁频现象。

1 积油转子系统的力学建模

1.1 动力学模型建立

将少量漏入的积液转换为集中质量油团建立的四自由度转子系统力学模型如图1 所示, 刚性轴左右各有两个弹性支撑轴承, 轴和圆盘一起旋转带动圆盘中简化的油团一起运动, 图1 中黑色球体表示简化的油团。不考虑轴的质量, 设圆盘质量为M , 油团质量为m , 转子两端由轴承B1和B2支撑, 并将支撑轴承简化为水平竖直刚度形式, 如图1 中的K1X, K1Y, K2X, K1Y所示, 油团旋转过程中的位移由Cξηz*坐标系内的轴向位移zB和角位移 α 共同决定, 设定转子系统转速为 Ω 。系统基本结构参数如表1所示。

在该模型中引入地面固定坐标系OXYZ和旋转坐标系Cξηz*, 其中OXYZ坐标系中O为坐标原点, Z轴为转子系统的旋转轴线, 即左右两支撑轴承的初始中心线, 该坐标系固定于地面, 坐标系Cξηz*为随转子旋转的旋转坐标系, 其中C为转子系统的几何中心。设定运转过程中不存在轴向位移, 当系统转速Ω=0时, 默认C点和O点重合, 则C点在OXYZ坐标系的位移向量。

1.2 坐标系建立

由于转子系统旋转过程中复杂的变形形式, 不仅需要考虑到其旋转过程中的平动位移, 还应考虑整个装置在运行过程中的转动位移, 为了准确刻画其运动形式, 引入以下坐标系, 如图2 所示。

(1) 依据转子几何中心C点建立坐标系CX′Y′Z′, 该坐标系在系统转速为0 时和坐标系OXYZ重合, 在旋转过程中和坐标系OXYZ各坐标轴平行。

(2) 设定转子系统在CX′Y′Z′坐标系内沿X′轴角度位移大小为 φX′, 原坐标系沿X′轴旋转角度 φX′得到CX′yz坐标系, 两坐标系转化向量为R1。

(3) 设定转子系统在CX′yz坐标系内沿y轴角度位移大小为 φy, 原坐标系沿y轴旋转角度 φy得到Cxyz*坐标系, 两坐标系转化向量为R2。

(4) 由于该转子系统为定转速旋转, 设定旋转坐标系Cξηz*, 该坐标系为固定坐标系Cxyz*旋转角度 θ 得到, 其中 θ =Ωt , 其值随着系统旋转而增大。

已知C点为转子系统的几何中心, G点为转子系统的质心, 由于系统会不可避免存在制造误差和不平衡受力, 几何中心和质心往往不重合, 故设C点和G点在Cξηz*坐标系内距离偏差为ε , 角度偏差为 β , 同时, 由于偏心的原因, 转子的极惯性轴和Cξηz*坐标系的 η 轴也存在一定的角度偏差, 设该角度为 χ , 旋转得到Gp1p2p3极惯性矩坐标系, 如图3所示。

表2中R1, R2, R3, R4转换矩阵表达式如下

1.3 基于拉格朗日能量求解的动力学方程

本积油转子系统力学模型中, 不考虑广义力项, 则系统的拉格朗日方程为如下形式:

其中, 方程广义坐标向量qi为:

系统动能为:

其中, 为转子质心的速度向量;为油团的速度向量;Ωp表示的为转子角速度向量转换到极惯性矩坐标系内的角速度向量;J表示的为转盘的转动惯量矩阵。

系统势能求解公式如下[14]:

其中, KXZ, KYZ分别表示的是系统在XZ平面的刚度矩阵和在YZ平面的刚度矩阵。

设油团在圆盘轨道内的运动阻尼为cB, 考虑瑞利阻尼函数, 则表达式中阻尼能量为

考虑系统整体阻尼因素的存在, 将系统阻尼考虑为瑞利阻尼, 即比例阻尼, 其求解公式如下

λ和η可由如下公式求得:

其中, ξ1, ξ2为阻尼系数, ω1, ω2为转子的一、二阶临界转速。

将方程 (4) , (5) , (6) 带入方程 (2) 中, 并加入系统整体阻尼, 得到该积油转子系统的四自由度动力学方程和耦合方程

由方程 (9) 可得系统的质量矩阵和刚度矩形式如下

式中

2 积油转子系统的数值仿真分析

基于系统动力学方程, 利用Runge-Kutta数值法对该二阶多元微分方程进行求解, 通过Matlab数值仿真, 采用时域、频域、三维谱图曲线分析了积油转子系统在不同转速下的响应形式[15]。

已知积油系统一阶固有频率为33.4 Hz, 设置仿真参数中积油质量为1.85 g, 体积为2 ml, 仿真测点为系统的几何中心C点, 设置仿真分析条件如下:采样频率为750 Hz, FFT分析取总采样数据点的后3 4 数据量, 三维谱图取每组800个数据点作为一组进行分析。

(1) 转速 Ω=10Hz

仿真测点振动响应分析的时域图如图4 (a) 所示, 频域图如图4 (b) 所示。

由图4可看出, 仿真测点的时频曲线达到稳定值, 频谱图只出现了单一的工频, 没有倍频成分。

(2) 转速 Ω= 20Hz

仿真测点振动响应分析的时域图如图5 (a) 所示, 频域图如图5 (b) 所示。

由图5 可以看出当系统转速上升到20 Hz后, 系统的时域波形出现了波形叠加, 整体振幅略高与转速为10 Hz时的振幅, 同时, 系统出现了多阶频率, 各频率成分的幅值变化较大, 但频率成分仍以工频成分占主导。

(3) 转速 Ω= 40Hz

仿真测点振动响应分析的时域图如图6 (a) 所示, 频域图如图6 (b) 所示。

图6 中, 系统的时域波形呈周期性变化趋势, 波形叠加较明显, 最大幅值较图4、图5成倍上升, 值得注意的特征是, 虽然系统转速已经越过临界转速, 但是系统临界转速时激起的共振仍然在系统振动中占主导成分, 同时, 由于此时转速接近临界转速, 振动幅值仍大于10 Hz、20 Hz时测点最大振幅。

(4) 转速 Ω= 60Hz

仿真测点振动响应分析的时域图如图7 (a) 所示, 频域图如图7 (b) 所示。

由图7 可以看出, 当系统转速上升到60 Hz时, 系统时域波形仍然为叠加波形, 波形平均幅值较40 Hz时下降较多, 但仍高于低转速时的系统振幅, 频谱图中仍有多种频率成分存在, 其中临界转速仍占主导成分, 由临界转速激发的共振幅值较40 Hz时也出现下降趋势, 但高于由系统工频激发的振动幅值。

(5) 位移频率三维谱图

考虑以上过临界转速后, 系统频谱中始终存在的临界成分, 为了从更大范围研究此临界成分, 对该转子系统由5 Hz到75 Hz绘制了位移频率三维谱图, 如图8所示。

由图8积油转子系统x轴方向的三维谱图可以看出, 当系统转速低于临界转速时, 系统以工频振动为主导成分, 振动幅值较小, 到达临界转速时系统振动幅值达到最大, 之后系统的工频振动恢复到较低幅值, 但系统的临界共振并没有随着转速的改变而消失, 而是在临界转速处长时间维持在高振幅状态, 此种振动形式即为积油转子系统的共振锁频现象。

3 结论

本文以旋转机械中常见的积油故障为主要研究对象, 通过模型简化建立了积油转子系统动力学模型, 并由数值仿真, 分析研究了转速对积油转子系统振动响应的影响。仿真结果表明, 积油转子系统在不同转速下的响应变化较为复杂, 在转速低于系统临界转速时, 系统的振动以工频振动为主, 当转速超过系统临界转速后, 系统表现出独特的共振锁频现象, 最大振幅始终维持在临界转速处, 并伴有一定幅值的工频振动。本结论验证了文献[4]中的实验和分析结果, 并为转子系统积油故障的辨识和处理提供了一定的理论支撑。

摘要：提出一种基于双支撑转子系统的力学简化模型, 分析了含有旋转腔体积油故障的转子系统动力学特性。首先, 将转子腔体中积油简化为集中质量油团, 采用拉格朗日方程, 建立了该系统的动力学方程, 基于方程解析, 分析了不同转速下系统的位移频率响应变化。结果表明, 积油转子在旋转过程中, 当转速超过系统临界转速时, 会出现共振锁频现象。