数学建模思想探索与实践论文（精选8篇）
数学建模思想探索与实践论文 第1篇
数学建模思想探索与实践论文
摘要：运筹学与数学建模2门课程联系密切，在运筹学教学中，适当融入数学建模思想，能大幅度提高学生应用数学解决实际问题的能力.从运筹学教学中教学大纲的改革、教学环节的设计等方面进行了探索与实践.教学实践表明，将数学建模思想融入到运筹学教学中能提高课堂教学的效果，锻炼学生的动手实践能力.
关键词：数学建模;运筹学;教学实践
运筹学是信息与计算科学专业的一门重要的专业课，它是一门应用科学，广泛地应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据.在解决问题的过程中，为制定决策提供科学依据是运筹学应用的核心，而针对实际问题建立正确的数学模型则是运筹学方法的精髓.数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段，从一定意义上来讲，数学建模属于运筹学的一部分，模型的正确建立是运筹学研究中关键的一步.所以说，二者有着密切联系，在运筹学教学中应适当地融入数学建模思想[1]，能够培养学生理论应用于实践的能力，提高教学效果.
1运筹学教学中融入数学建模思想的必要性
数学建模和运筹学2个课程联系密切，也各有特点，但在实际教学中却不能很好地结合起来[2].运筹学教学中只注重讲授理论和解题方法，而忽略了与实际问题相联系，导致了学生在遇到实际问题时，不知从何处入手;在数学建模课程中则强调建模思想和方法的运用，注重的是建立起什么样的模型，而对模型的求解讲授得过少，导致很多时候学生在处理实际问题时虽然能够建立模型，但却不知如何求解.所以，在运筹学教学中要注意突出数学建模的思想，增强学生的数学应用意识[3].在运筹学教学过程中贯穿数学建模思想，使得教学过程不再是着力于单纯的知识灌输，而是注重培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，结合教学特点，充分发挥学生的动手能力，积极调动学生的学习兴趣[4]，使传统经典教学理论与最优化教学理论统一服务于教学实践，这是教学改革的方向.尤其是现代教育技术发达，使得课堂的容量增大，课堂上借助多媒体可以减少理论方法讲解的时间，适当运用规划软件可以大幅度降低运算所耗费的时间，这样节省下来的时间就可以更多地用来培养学生应用理论知识解决实际问题的的能力.因此，要在运筹学课程的教学中对运筹学教学内容进行精心处理，不能只偏重理论和解题方法的讲解，要积极地渗透数学建模的思想，从而在课堂上着重引导学生应用理论方法去解决实际问题，培养学生的建模意识.运筹学中数学规划、网络、图论和排队论等内容是数学建模一部分思想方法的汇集，在运筹学教学中渗透数学建模的思想，既能让学生对运筹学中枯燥的理论和方法有了深刻的理解，又能对后续数学建模课程的学习起到促进作用.
2数学建模思想融入运筹学的教学改革
国内外大量教师学者都通过实践对运筹学教学中数学建模思想的渗透进行了深入研究.如王定江[5]根据教学实践，阐述了运筹学教学中如何突出数学建模教育的思想;杨冬英[6]根据运筹学课程的特点，结合教学实践经验，提出了实行运筹学教学改革的一些建议和措施，指出数学建模活动是培养学生应用数学能力的重要手段，在运筹学教学中融入数学建模思想可以培养学生的创新能力和综合应用能力.山东大学数学系在打造运筹学国家精品课时将二者有机地结合起来，收到了很好的教学效果[7].2.1教学大纲的改革.在运筹学大纲的修订中，着重从2个方面来突出建模思想的融入.2.1.1设置课后上机实验.运筹学的学习，一方面让学生运用运筹学的理论和方法对实际问题进行抽象概括，找出其内在规律，构造出相应的数学模型;另一方面能通过逻辑推理或分析和计算，求解所建立起来的数学模型.而运筹学研究的优化算法能用来通过手工计算解决问题的规模是很小的，绝大多数根据实际问题建立起来的数学模型，约束和变量都很多，在求解过程中，如果不借助计算机，很难求得问题的解[8].计算机能为数学模型的求解提供可靠的平台，因此，设置课后上机训练.在上机内容的安排上，特别注意将纯粹的数学问题尽可能地转换成学生感兴趣的.实际问题，通过搜集大量优化模型的实例，选取与大纲内容相关的实际问题，供学生在课后上机实验中进行训练.学生在动手实践中既加强了对优化算法的理解，也锻炼了应用建模思想解决问题的能力.2.1.2改革考核方法.在成绩的考核上，传统的大纲中，从平时、期中和期末3个方面来考核，比重分别是20%，20%和60%.而期中和期末都是以试题的形式对学生进行考查，考查的内容以学生对基础知识、基本理论和方法的掌握程度为主，而对学生的知识应用方面考核的强度不大.因此，在考核方式上进行了调整，成绩考核分为2个部分平时和期末，各占50%.在平时考核中，除了考查学生出勤、作业、课下上机实践的完成情况外，还特别选取一些往届数学建模竞赛中典型的优化模型试题给学生作训练，分组实践，完成课程论文，而且加大对学生创新和动手实践方面的考核力度，激发学生应用数学知识解决实际问题的热情.2.2教学环节的改革.2.2.1将数学建模的优化思想渗透到运筹学相关环节的教学中.把数学建模的优化思想渗透到运筹学相关环节的教学中，在实际教学中，尽量多地采用案例教学，从实际问题出发，精选具有充分的代表性且源于实际问题的建模案例.在讲解线性规划问题解法时，以奶制品的生产与销售[9]为例，通过分析问题，选取适当的方法建立最优的数学模型，然后分析线性规划的特点，引入求解线性规划问题行之有效的方法单纯形法.进而再以此为例，加入整数约束，引出整数规划问题，讨论其与线性规划求解的区别，加深学生对知识的理解.通过逐步地掌握用运筹学算法去求解模型，让学生看到完整的过程，而不是仅仅了解枯燥的算法流程和优化理论，以此激发学生的学习兴趣.2.2.2将动式教学法引入课堂教学.要摒弃一堂灌的讲授式教学，将动式教学法引入课堂教学，适当安排教学计划，预留出一些学时，将课堂时间进行划分.针对运筹学模型的特点，选取学生易于接受的模型，课前给学生分配任务，课上给学生讨论分析的时间，发挥课堂上学生的主体作用，让学生积极主动地参与教学中来.在学习运输问题[10]时，课前先布置任务，给几个实例，让学生查阅资料，尝试建立相应的数学模型并进行求解.课上讨论和分析这些实例的特点，引入运输问题，进而让学生讨论问题求解所采用的方法，分析优缺点，结合运输表的特点引出表上作业法，并将其与单纯形法对比，发现方法的实质.这样通过不断的启发，充分调动学生的学习积极性，使学生不再被动地接收知识，达到培养学生分析问题和解决实际问题能力的目的.
3运筹学教学中融入数学建模思想的教学改革成效
信息与计算科学专业有2个方向，一个是软件与科学计算，一个是统计与优化，这2个方向都开设运筹学，在课程内容上都会着重学习优化算法，针对实际问题建立相应模型，设计相应算法.毕业生在就业面试和考核中，用人单位往往会提出一些实际问题，让学生分析，给出优化方案，以此考核学生解决实际问题的能力.以往很多学生对此手足无措，如今遇到类似问题，学生能参考平时训练的思路，能够动手实践，不再无从下手.因此，通过将数学建模与运筹学2门课程融合训练，学生的综合素质有了显著提高.从参加每年全国大学生数学建模竞赛和东三省数学建模竞赛的获奖情况来看，成果显著.，在“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛中共获黑龙江赛区的一等奖6组，二等奖12组，三等奖14组;东北三省数学建模联赛中共获得黑龙江赛区的一等奖2组，二等奖5组，三等奖4组.通过教学实践，让学生在解决实际问题中不仅提高了动手实践的能力，而且培养了其综合素质.
4结束语
运筹学教学改革实践说明，运筹学教学以数学建模的实际案例为背景，建模与优化算法二者并重，既可以培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，又保证了学生具备扎实的理论基础，符合新时期人才培养的要求.运筹学教学与数学建模相结合的教学改革不但丰富了运筹学课程的教学内容，改变了课程的教学形式，也提高了学生的学习兴趣，取得了显著的教学效果.
参考文献：
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数学建模思想探索与实践论文 第2篇
摘要：建模思想作为能有效引导学生理论联系实际，提高学生分析和解决实际经济问题能力的工具之一，得到越来越多的高校教学的关注。本文从当前高校经济学教学中所存在的问题和建模思想融入高校经济学教学的意义两个方面，论述了建模思想融入高校经济学教学的必要性。阐述了建模思想融入高校经济学教学的具体途径，强调在教学过程中注重经济术语表述口语化、案例教学推广深入化、建模工具运用日常化，以期促进学生树立建模思想，推动高校经济学教学的进一步深化。
关键词：教育改革 建模思想 经济学教学 教学目标
一、引言
宏微观经济学是教育部审定的经济管理类核心课程，是经济与管理类专业的专业基础课，在普通高校的教学过程中一直受到高度重视。如何使学生将学到的理论知识运用到实践当中，通过经济学教学改革完成宏微观经济学的教学目标，是许多普通高等院校经济管理专业教师共同关注的问题。阮守武认为经济学的教学关键是要让学生掌握经济学的基本原理和基本方法，以方法论的角度来看待经济学的发展，帮助学生建立起经济学的思维方式;李桂娥()提出借鉴剑桥大学研究型教学的经验，以创新教学理念为指导，以问题为导向，从课堂教学和课外指导两个方面开展研究型教学，对于培养学生的创新意识有显著作用;曹建忠()认为应将微观经济学课程教学改革的目标设定为培养学生的学习兴趣、帮助学生建立经济学的思维模式、提高学生分析实际问题的能力。
数学建模于20世纪80年代初，引入我国复旦大学、中国科技大学等课堂中。自“全国大学生数学建模竞赛”工作会议召开后，全国高校掀起数学建模热潮。建模思想作为能有效提升学生动手实践和创新思考能力的工具之一，越来越受到高校教师的关注。因此，如何将建模思想渗透到数学课程教学成为我国学者的研究热点，并且成果丰硕。然而，在宏微观经济学中也存在大量的数理模型，我国学者对于如何将建模思想融入高校经济学教学的研究略显不足。实践证明，经济学模型对培养学生的观察力、想象力、逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力起到了很大的作用。通过研究如何将建模思想融入到高校经济学教学中，把经济学理论知识与建模思想进行有效融合，引导学生理论联系实际，提高分析和解决实际经济问题的能力，这对于我国高校更好地完成宏观微观经济教学目标具有重要的理论与实践意义。
二、建模思想融入高校经济学教学的必要性
1.当前高校经济学教学中存在的问题
(1)缺乏对学生经济学思维的培养。作为经济学科的学生，除了需要掌握经济学原理之外，更重要的是要具有经济学的思维模式。然而经济学知识相较一些科目理论性强，原理、知识点深奥，初学者不易理解，教师大多重视知识的传承，为学生提供的案例性学习、探索性学习的机会比较缺乏，忽视了对学生经济学逻辑思维的培养。
(2)教学方法传统。现实教学中，经济学的教学方法普遍存在单一、枯燥等现象，“讲授-接受”式教学在一定程度上仍然居于主导地位，教师与学生在课堂上的交流互动较少，这必然导致教学质量和教学效果难以提高。传统的教学模式，虽使学生获得了暂时性的理解和记忆，但缺乏让学生进行独立思考和用经济学模型解决实际问题的训练，导致学生知识吸收的僵化。
(3)教学中建模案例的匮乏。经济学是应用性很强的社会学科，以理论教学为主的.教学方法使得学生在学习了理论之后，仍然不会运用这些理论分析实际问题，实际教学中，教师采取的措施多是单纯地套用经典案例，忽视了对建模案例的指导。
2.建模思想融入高校经济学教学的意义
(1)有利于推进高校经济学教学的进一步深化改革。现实教学中，经济学的教学方法普遍存在单一、枯燥等现象，灌输式教学在一定程度上仍然居于主导地位。在目前经济学教学目标中，要完成计划的教学内容，传统的经济学教学方式很难实现，而如果在教学过程中有效融入建模思想，就可以解决这一问题，促使经济学教学目标得以实质性的完成。可见，建模思想融入高校经济学教学，是经济学课程教学目标本身的需要，有利于推动高校经济学教学的进一步深化改革。
(2)有利于推进高校经济学应用型人才的培养。在经济学教学中，由于经济学知识相较一些科目理论性强，原理深奥，不易理解，学生在学习时容易表现出消极态度。把建模思想引入到经济学教学中，重点培养应用型本科人才分析问题、解决问题的能力，可促使学生应用经济学知识的能力在具体的建模过程中得到较大提高。同时，在建模过程中，学生需独立查阅相关的文献资料，进行针对性阅读并及时消化，将其应用到建模中来，可提高学生获取新知识以解决复杂问题的能力，有利于高校经济学应用型人才的培养。
(3)有利于激发学生学习兴趣，培养学生创新能力。在经济学教学过程中，教师在内容处理上，偏重理论与习题的讲解，往往由于内容单调，影响了学生的学习兴趣，而通过构建经济学模型可以改善学生对经济学学习主动性和积极性不高的情况。因为运用经济学模型解决的问题均源于实际的生活，所提出的问题容易引起学生的兴趣。同时，建模思维具有很大的灵活性，结果不唯一，学生可从不同角度，建立相应的模型来解决实际问题，有利于学生创新能力的培养。
三、建模思想融入高校经济学教学的途径
高校经济学教学融入建模思想的目的，就是促使学生学会运用数理模型和经济学模型，把现实中的经济问题进行提炼、进而采用模型对问题进行解答。建模思想体系的内容是培养学生在遇到实际经济问题时，首先要通过分析与推理，将实际问题用经济学语言加以表述，并提出一系列符合该问题实际背景的假设，建立起相应的经济学模型，进而寻求适当的计量工具来获取模型的结果，最后还需将模型的结果用通俗的语言表达出来，用于解决实际问题。具体途径如下：
第一步：实际问题的提出。结合日常生活，对于生活中出现的经济现象提出疑问。
第二步：提炼，抽象化。这一步是把实际问题进行提炼、简化，把实际问题抽象成经济术语。同时，收集必要的信息，弄清楚对象的特征，找出相对应的经济学理论。
第三步：形成模型假设。把问题融入经济学理论之后，需要提出一系列符合该问题实际背景的假设，为建立起相应的经济学模型做铺垫。
第四步：建立模型。基于模型假设，建立相关的经济学模型，并阐释模型原理，对问题进行量化处理，运用数理模型把现实中的经济问题进行提炼、抽象为数学问题。
第五步：求解模型。对模型求解，得出解决的方案。可以使用传统的解方程、画图、证明的方法，也可以使用计量经济学软件等。
第六步：在以上过程得出的结果后，将结果结合实际问题，进行说明和阐释，最终解决疑问。
同时，在教学过程中培养学生树立建模思想时，还需要注意以下几点。
1.经济术语表述口语化
在最初的教学阶段，由于经济学知识理论性较强，原理深奥，不易理解，学生在学习时会感觉到枯燥无味，容易表现出消极态度，学习积极性不高。所以，面对初学经济学的学生，首先要引导学生在可以触摸到的平常生活中去理解经济学的概念，用生活语言来解读经济学的各种概念，让学生觉得教材里的概念不是枯燥乏味的，而是与生活息息相关。譬如经济学中的价格弹性、机会成本、经济利润、道德风险等概念，任课教师需要用通俗易懂的语言并配备具体生动的例子进行讲解，这样既可以激发起学生的学习兴趣，又会加深学生对基本概念的理解，从而收到较好的教学效果。
2.案例教学推广深入化
融入建模思想的本质就是要联系实际。因此，在高校经济学教学过程中，我们不是仅仅在讲课的过程中偶尔插入几个例题，而是把联系实际的教学原则贯穿经济学教学全程。应该尽量结合实际，设计适宜的问题情境，引导学生参与教学活动，让学生体验到通过自己的思考能够解决实际的经济问题。因此，在课堂教学中，以具体案例作为教学内容，通过具体问题的建模范例，介绍建模的思想方法。同时，选取的例子要贴近教材内容，贴近学生认知水平，贴近现实生活实际。涉及的专业知识不能太多，且要易于理解。此阶段的重点是站在提高学生素质的高度，通过师生共同讨论，把渗透建模的意识作为首要任务，注重培养学生的阅读理解能力和应用模型解决实际问题的能力。比如我国股票市场多次暴涨暴跌，央行多次降准降息，全力护市，这些发生在现实中的经济学案例贴近学生认知水平，贴近学生生活实际，若把这一案例结合经济学教学中的货币政策、财政政策、IS-LM模型等相关知识对学生进行讲解，必能激发起学生探讨的积极性，从而达到培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.建模工具运用日常化
经济模型求解的过程一般比较繁琐，需要较强的数学功底，要求熟知模型的应用原理。随着教改不断推进，现代教学辅助仪器也在不断地进入课堂。从以前传统的黑板到十多年前的投影仪，再到现在的多媒体，这些现代仪器的应用，给现代教学带来了极大的方便。所以教师应充分利用这些辅助设施来提高自己的教学质量。尤其是计算机的普及，给经济学模型求解带来了很多的方便。教师如果能够好好利用计量软件的话，那么教学就可以达到事半功倍的效果。同时，教师还要引导学生加强课后练习，提高对软件的熟悉程度。课后练习是培养学生使用计量软件应用能力的重要环节，在设计课后练习题的时候，应该选择一些适合初学学生能较好操作的实际问题，这样既可以让学生掌握理论知识，又可以让学生获得用使用计算机解决实际问题的能力。
四、结语
宏微观经济学是教育部审定的经济管理类的核心课程，在普通高校的教学过程中一直受到高度重视。目前，由于高校经济学教学中存在理论知识传授重于思考能力培养、教学方法方式传统等一些弊端，导致知识固化，使得学生无法将学到的理论知识运用到实践当中。建模思想作为能有效提升学生动手实践和创新思考能力的工具之一，得到越来越多的高校教学的关注。高校经济学教学融入建模思想的根本，就是促使学生学会运用数理模型把现实中的经济问题进行提炼、抽象为数学问题，进而对问题进行解答。通过培养学生在遇到实际经济问题时，首先要通过分析与推理，将实际问题用经济学语言加以表述，并提出一系列符合该问题实际背景的假设，建立起相应的经济学模型，进而寻求适当的计量工具来获取模型的结果，最后还需将模型的结果用通俗的语言表达出来，用于解决实际问题，进而形成建模思想体系。另外，为了将建模思想有效地融入高校经济学的教学，在教学过程中，任课教师要注重经济术语表述口语化、案例教学推广深入化、以及建模工具运用日常化，从而推动高校经济学教学改革的进一步深化，推动高校经济学应用型人才的培养以及学生创新能力的提高。
参考文献
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数学建模思想探索与实践论文 第3篇
一、高职院校数学建模开展的必要性与可行性
高职数学教学的现状是, 源于本科, 自然成为本科数学的压缩版, 完全的公理化体系, 对于生源本来就不太理想的高职院校来说, 内容偏难, 教师传授的方法与手段也略显陈旧。 因此, 对于注重实用性的高职院校来说, 数学课往往不受重视, 能少开就少开, 能不开就不开, 数学课的空间被严重挤压。
而数学建模就是将各专业中实际的问题转化为数学模型, 其素材本来就脱胎于实际问题, 其实用性更是与高职教育的理念相契合。 另外, 高职数学建模不仅弱化了数学理论体系的严密性, 突出其实用性, 不再是空对空的理论, 学生可以参与进来, 去探索、发现, 一定程度上打消了学生对数学的畏难情绪。 通过参加全国大学生数学建模竞赛, 不仅提振了学生学习数学、钻研科学的兴趣, 更为学校在全国范围内打开了知名度, 一定程度上拓展了高职数学课的空间。
二、我校数学建模与建工专业结合的实践教学的经验
我校数学建模课已开展了几年, 在平时教学中, 任课老师倡导学生将掌握的数学基础知识 (尤其是微积分) 与自己的专业联系起来, 与实际应用问题联系起来, 逐渐形成自己的建模能力, 提高自己应用数学知识动手解决实际问题的能力。 任课老师也通过数学建模课, 将数学理论、思想、方法通过数学建模逐渐渗透到我校招牌专业———建筑工程中, 并与建工专业老师共同探讨建工类数学建模案例, 积累诸多的建筑类相关素材, 并将其加工整理为微积分模型, 一方面增加了《工程数学》的实用性, 另一方面提高了学生的参与度。
我校现在正在实施数学课改革, 就是将模块化教学引入进来, 数学课不再是以章节为单位, 而是以模块为单位, 例如将微积分分成函数模块、极限模块、导数模块、积分模块、微分方程模块等。 每个模块分若干案例, 例如导数模块分成导数意义案例、近似计算案例、最值案例等, 每次课要完成案例中的几项任务, 由任务驱动案例, 进而带动完成一个模块。 例如:函数最值模块就分成开区间案例和闭区间案例, 而开区间案例可由例如建筑力学中最大安全系数等相关专题作为若干任务。 而案例的完成过程就是一个完整的数学建模过程。
目前重构后的课程一定程度上改变了数学理论教学与实践脱节的现象, 学生慨叹微积分在各领域的应用广泛性与深入性, 从而提高了学生学习数学的兴趣, 也培养了学生的创新思维能力。
三、数学建模思想融入建工数学教学探索与案例
数学建模思想的“融入”不是简单的“插入”, 即将数学建模的例子插入数学课中, 或用几个学时讲解几个数学模型例子。 这样, 虽然在一定程度上可以提高学生对数学的学习兴趣, 但远远不能培养学生自己动手建立数学模型的能力, 而且这些应用实例往往会与课程的知识体系割裂。 应当在不影响微积分的课程体系的基础上, 尽量充分地与建工专业有机结合, 达到真正融入的效果。
接下来通过微积分中某些模块中代表性的案例说明我们具体的做法。
案例1:极限理论和专业知识的结合:
以混凝土的强度发展和龄期的关系为例, 在正常养护条件下, 混凝土的强度随龄期的增长不断发展, 最初7~14d内强度发展最快, 以后逐渐缓慢, 28达到设计强度, 28后强度仍在缓慢发展, 增长过程课延续数十年之久。
对于学生来说就很难理解, 实际上随着天数无限增大, 混凝土的强度岂不是也在无限增大, 但是强度再增大都是有一定的限制的, 这实际上就是微积分中的极限理论。 而上述案例便可作为建工专业学生讲授极限理论时引入的问题, 接着再进一步引入极限的理论。
案例2:积分理论和专业知识的结合:
以计算混凝土的方量为例, 下图是一个圆柱体的框架柱:计算混凝土方量时可以建立数学模型, 运用二重积分的方式得到混凝土的计划使用方量 (数学计算式子) 。
求解过程实际上运用的就是微积分中的定积分理论, 若用微元法将其加工整理还可得到任意构件的求解思路。 规则的构件如此, 推而广之, 如果涉及不规则的建筑结构构件, 应用积分的方式计算混凝土的方量更是既快捷又准确。
案例3:概率与极限理论和专业知识的结合:
任何一幢建筑物都是由屋盖, 楼板, 梁, 墙 (或柱) , 基础等构件组成, 这种构件在房屋中互相联结, 互相支承, 合理的构成各种形式的平面或空间体系, 起到建筑物的骨架作用。 这种骨架, 称为建筑结构, 简称结构。 结构的安全、稳定、耐久在设计与施工中是需要考虑的至关重要环节。 事实上, 从建筑结构的设计计算发展过程不难看出:在建筑计算理论方面, 正是运用了数学中的概率及极限理论才让建筑结构的设计计算手段发展到如今的先进水平。
近代:20世纪40年代:考虑砼塑性性能的破坏阶段计算方法, 采用了单一的安全系数;50年代: 极限状态计算, 规定了极限状态, 有三个系数, 荷载、材料系数和工作条件系数 (1966年规范) 。
近来:以概率论为基础的极限状态计算法, 89年规范 (GBI10-89) 及现今使用的规范 (GB50010-2002) 。
以上只是笔者重构建工类数学课过程中的部分例子, 而在高职教学里将数学建模的思想融入到建工类数学教学中肯定是一条值得探索和实践的路子。
以上仅是笔者在平时教学中遇到的问题及其自己的思考, 更是近年来积累的经验。 希望本文能对同行有一定的借鉴意义。
参考文献
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[2]赵国瑞.浅谈高职物流专业数学课程的开设.科教文汇, 2013.1.
数学建模思想探索与实践论文 第4篇
[关键词]：数学教学 数学思想方法 渗透 探索与实践
一、数学思想方法的类型和各自特征
学者朱成杰通过对中学生数学思维能力的研究，认为在中学阶段，学生的数学思想方法大致可以分为三类：宏观思想方法、逻辑思想方法和技巧思想方法。
对抽象数学知识的概括、对数学模型的建立以及通过一定的数学结论归纳和猜想都是宏观思想方法的体现。在教师教授学生数学知识是如何产生、如何发展，现实生活中的现象是怎么转变为数学知识的时候，都离不开抽象概括和归纳猜想等数学方法的应用，宏观思想方法中有一种方法叫做数形结合，这种思想方法可以充分体现数学学科内部的关联性和一致性。
分类法和演绎法、归纳法和反证法，这样的数学思想方法要求学生有一定的逻辑基础，演绎法的三段论式的主要形式正是一种非常精确的逻辑表达方式。
技巧性的思想方法通常应用更具体，其操作步骤是有一定规律的，换元、待定系数的确定和配方都是技巧性思想方法的包含内容。技巧性思想方法通过反复的练习可以达到熟练的程度，它属于智慧技能的一种。
二、数学教学中如何把数学思想方法渗透到其中
（一）教师要充分利用教材，发现教材中蕴含的数学思想方法
中学数学教学内容把具体的数学知识和数学思想方法融洽地结合到了一起，在教学内容的编排上是沿着具体的数学知识更深更广展开，但是数学思想方法却是隐蔽在具体的数学知识之中的，仅仅通过学生自学或者研究难以发现。所以，充分发掘数学教材中蕴含的数学思想方法这个责任就落在了教师的身上，教师应该充分把握中学数学教材整体，站在整体的角度上去考虑哪些数学知识点可以教导学生数学思想方法的提升，哪些数学思想方法可以通过具体的数学知识点加以展现。在中学数学的学习中，数形结合是一种非常重要的学习方法，教师可以弄清楚其在中学教学过程中大致的进程和进度安排，由于数形结合的思想方法会利用到数轴和平面直角坐标系，数形结合的教学贯穿整个中学数学学习的过程之中，为了让学生能够具体了解、掌握并熟练应用数形结合的知识，在初一、初二年级教师可以通过实数和数轴、一元一次不等式和数轴之间的关系让学生对数形结合有一个感性的认识，在初三年级通过一次函数（包括正比例函数、反比例函数）、二次函数的图像教学，让中学生掌握并熟练应用树形结合方面的知识。通过循序渐进的教学，中学生对数形结合的数学思想方法有了自己的见解和认识。
（二）教师在教学中要注重理念的更新，重视起数学思想方法的渗透
中学生无论从心理素质和思维结构上看，都已经到达了相对成熟的阶段，因此，中学数学的教学不应该停留在解决具体问题的层面上，而是应该教授学生如何解决问题，即解决数学问题的思想方法。授之鱼不如授之以渔，说得正是这样的道理。
如前文所述，数学思想构成了整个中学数学教材的骨架，它支撑起中学数学知识的建构。数学思想作为中学数学学习的灵魂，可以把各种看似孤立、毫无关联的具体知识点整合起来，使得各个零散的知识点优化组合，成为有序的数学知识结构。学生掌握了数学思想方法，才能灵活应用数学概念和数学知识，让它们能够相互联系、环环相扣，组成一个有机整体。
教师如果在课堂设计时较多的考虑到数学思想方法，那么教学质量就会比较好。在课堂中，教师面对的学生往往是几十个，几十个学生提出的疑问必然是多种多样的，并且现在新媒体技术不断更新和发展，学生了解知识的渠道越来越广，他们提出的问题也会越来越刁钻。这种情况下。教师要想能够识别学生提出的每个问题的根源，给学生满意的答复，就必须把教学上升到数学思想方法的高度。只有把数学思想方法渗透到教学中，教师才能把学生在学习过程中的迸发的思想火花找出来，才能鼓励学生在学习过程中创新、创造，吸引学生积极参与到教学活动中来，数学思想方法的教学可以让学生体会到学习中的参与感和自我满足感，让他们体会到自己成为学习主体的快乐。
（三）教师要把数学思想方法渗透到教学的每个方面和过程中
在学生解决具体的数学问题时，渗透数学思想方法。学生掌握数学思想方法，可以提高其解决问题的能力和水平。在整个中学的学习过程中，化归是一种应用最多的思想方法，教师要教导学生有化归意识，这样学生才能把复杂的问题简单化，把特殊的問题一般化，使解题方法简单优化。而数形结合的思想方法则使学生能够通过函数图形直接理解题意、解决问题。在解决数学应用题时，教师可以指导学生画图的方法来分析题目中的数量关系，使得问题简化。
数学思想方法的教学也可以在实践教学中得以展现。数学是源自生活的学科，生活中的很多场景能够体现数学的基本思想。教师可以设置有趣的、有意义的活动，在了解学生已有生活经验的基础上，帮助学生去探究生活之中的数学问题，去体会数学思想方法在生活中的应用。让学生感受到数学就在生活身边。正弦定理和余弦定理在实际生活中的应用就非常广泛，其在建筑学、航海学中的应用非常频繁。教师可以在设置海关追缉走私物品的小习题，帮助学生理解正弦定理和余弦定理在实际生活中的应用。
参考文献：
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数学建模思想探索与实践论文 第5篇
摘 要：《课程标准》提出：“教学的评价不仅是评定学生的学习成绩，更重要的是为了激励学生努力学习。”要注重对学生数学学习过程的评价，包括参与教学活动的程度、自信心、合作交流意识以及独立思考的习惯。教学思考的发展水平，包括书面考试、口试、作业分析、课堂观察，平时检测、课后分析等，要促进学生学习数学的自信心，促进学生的进一步发展。
关键词：成绩 考评 办法 实践
一、改“统考”，变“单一”考试为全面考查
1.重视课堂教学的考查。
传统课堂中教师的讲与学生的学都把学生的考查放在课堂之外，使考查学生的过程脱离教学实际，造成学生紧张的应试气氛，弄得学生晕头转向，不敢上课。课堂中考查学生，既有利于促进学生对数学重点内容的注意和记忆，将自己的精力均匀地集中于课堂，又能及时地反馈学生对本堂课掌握的程度，从而提高学生在课堂45分钟内掌握更多的知识，增强课堂教学效益。考查的形式可以是多种多样的，如课堂提问、课堂练习的完成、定时作业、课堂讨论、课堂抢答等。教师可根据学生完成的情况合理地打考评分，逐一记载。这样学生兴趣横生，兴致高涨，思维活跃，培养了学生参与课堂的意识，增强了教学效果。
2.重视学生口述能力的考查。
传统的数学课堂模式是学生在课堂上“鸦雀无声”、“一片肃静”，而今天或未来的数学教学只凭一张考卷是无法考查学生的动口能力的。因此数学教学应从“封闭型”变为“开放型”，课堂应由“一片肃静”变为学生的探讨声。教师应适当在每个教学班进行几次有声有色的学生讲课活动，讲授内容可以是课本中知识层次相对较浅的章节，或者是学生在课外辅导资料中学来的有代表性、典型性的数学概念和习题。讲授前教师先让学生各自准备所讲内容的学习目标、任务、注意事项，找到知识的重点、难点，编写讲授程序表，最后各自轮流上台讲解，由教师和其余学生一起评议打分，作为考查学生的一项内容记载下来。实践证明，笔试成绩好的`学生不一定就得高分，笔试成绩差的学生也会得到较高的评分。这种方法使学生在快乐中掌握了知识，改变了过去学生“不好意思”和口述表达能力差的现状。
3.重视对学生课后作业的考查。
课后作业是学生对课堂知识的巩固和记忆，是加深理解和应用知识的重要途径，是一种非常重要的学生实践活动，是检验学生知识是否掌握的重要手段。以往批阅作业只是对学生做题正确与否的裁决，现在不仅看作业的正确，而且每次或分阶段对学生作业的认真程度、各种解法、作业的卫生状况等进行评定，按甲、乙、丙、丁等多种等级换算成考查分，也作为平时考查分的一项内容记载。这样不仅有利于学生平时养成良好的作业习惯，也使教师对作业中出现的问题有提示，督导学生开动脑筋、积极思考，分析和解决问题的能力得到有效训练和提高;有利于教师定量分析学生对所学知识掌握的多少、自己教学的成功与失败，有利于教师改变和采用有效的教学方法。
4.重视对学生书面表达能力的考查。
期末与期终考试之前，教师可编写一定量的练习题，组织学生进行“预考”。题量要求不要太大，每人一至三四道，而且每位学生所做的题难易程度与本人实际能力相当。在一定的时间内，答错者不扣分，答对者给以评分，记载下来。如此考查，学生都有得分的可能，因此学生会认真地准备、主动地参与，减轻了“统考”中的心理压力，逐步培养了学生学习的积极性。
二、改“百分制”，用标准分数衡量学生成绩
主观印象和单纯打分来衡量学生是否努力学习，往往有很大的片面性。有的学生比较努力，但因评分不够高而说他没有用功，实在是冤枉;有的学生评分较高，教师说他很努力，其实他的潜能远未发挥出来，教师的评价实是“过奖”。因此要打破沿袭的“百分制”，评定学生成绩的依据采用统计法得到标准数据，对学生进行全面衡量。用x1、x2、xn表示学生的各项考核得分理n表示考查的次数，s表示标准差，公式如下：
由公式求出学生各项得分的平均分和标准差。S的大小表明某个学生成绩的稳定状态;x大小表示某个学生用功的程度。通过两公式的计算，教师可参考两个数据及平时学生的表现给每位学生合理地打出考查内容中的等级，记入学生的成绩报告单。这种方法能准确地评价每位学生成绩结果的真正优劣。
三、改进现有成绩报告单形式，全面评价学生
要打破家长用一次性成绩报告单衡量子女学习的习惯，让改进办法得到家长的认同。就目前而言，没有学生成绩的报告单家长难以认同，另外只写考分的成绩报告单有很大的片面性，不能全面反映学生的学习全过程。为此须对原有的成绩报告单进行修改，使之既能保留原来的优点，又能体现素质教育的特点和要求。
数学建模思想探索与实践论文 第6篇
重庆市丰都县包鸾中学 朱光才
【摘 要】教师在教学中应加强类比思想和方法的渗透与引导，强调类比的作用和意义，使学生更好地理解数学，促进自主学习与创新意识的培养，建构完整的数学知识结构，形成知识网络，提高数学学习的有效性。
【关键词】初中数学；类比思想；教学实践
在初中数学学习中，类比思想是理解概念，锻炼思维，构建知识网络的重要手段。为此，教师在教学中应加强类比思想和方法的渗透与引导，强调类比的作用和意义，使学生更好地理解数学，促进自主学习与创新意识的培养，建构完整的数学知识结构，形成知识网络，提高数学学习的有效性。
一、概念类比，理解本质辩异同
在初中数学教学中，数学概念的教学是重要的一环，对于概念本质的理解是学生学习数学的一个难点，如何有效的进行突破呢？进行概念的类比教学不失为一种有效的途径与方法。
在初中数学学习中有大量的概念，如果孤立地去理解与记忆这些概念，会成为学生学习的一个负担。但从概念的定义形式上看，有一部分概念的定义形式是相似的。通过这些概念之间的类比，进一步理解概念的本质。例如：三角形、四边形、多边形概念分别为：由不在同一条直线上的.三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。由在同一平面且不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做四边形。由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形。从概念的定义形式上来看，是对一类图形条件的限制，形式上是一致的，不同之处，一是三角形定义中没有“在同一平面”，二是组成线段条数，其他都是相一致的。通过这样的类比，学生能从一个新的角度与高度对这三个概念进行认识与理解，进一步理解概念的本质。
二、策略类比，讲究学法求效率
学生对新信息的接收是有意义的，是从已有的经验与知识出发来学习新知识的，在这一建构与认识过程中，类比起到了非常重要的作用，运用整体性解决问题策略类比的思想方法，能使学生轻松地掌握新的数学知识与方法，在探索中培养学生的创新思维，提高数学学习的效率。在教学反比例函数时，采用整体解决问题类比的思想，把正比例函数，一次函数图像性质作为原问题，教师引导学生自主探究、动手操作、合作交流，学习目标问题――反比例函数的图象与性质。教学流程设计如右。由于在教学中渗透了类比思想，在学习反比例函数k的几何意义时，学生得到了与课本不同的结果。学生类比正比例函数（正比例函数k的变化与它的图形产生直接的动态关系），在电脑上改变k的取值，通过实际的操作，发现如下新的规律：
生1：当k>0时，k越小，反比例函数的图象越来越靠近坐标轴；当k<0时，k越大，反比例函数的图象越来越靠近坐标轴。
生2：也可以用一句话来说，即｜k｜越小，反比例函数的图象越靠近坐标轴。
事实上，在备课时根本没有想到k与图象的这一关系，只是凭自己的教学经验。学生这一独立自主的发现，极大地震撼了我，使我认识到学生的潜力是无限的，同时也说明了在数学教学中类比思维的渗透，培养了学生的自主探索的能力，为学生的创新提供了思维的空间与方法。
在解决数学中的一个新问题时，学生可以通过联想，搜索学过的知识与解决问题的策略，找到一个原问题，通过与原问题的解决策略进行类比，用原问题的解决策略去解决目标问题。例如，教学“求多边形内角和”。学生通过联想搜索，回忆求四边形内角和的策略――把四边形分解为三角形，然后用三角形内角和得到四边形的内角和。是否可以用同样的策略来解决多边形的内角和呢？通过图形的分割即从多边形的一个顶点作对角线，把多边形分割成（n-2）个三角形，在利用三角形内角和就可以求的多边形的内角和等于（n-2）×180°。
知识只有构建成网络后，学生才能从更高的角度整体地把握知识，而知识结构类比就是建立知识网络的一种有效的好方法，它能揭示这些知识之间的内在联系。通过知识结构类比能使知识得到横向拓宽，也能进行递进的深化。
三、思维方式类比，突破难点会创新
数学思维的呈现形式常常是隐蔽的，难以从教材中获取，这就要求教师在数学教学中，有意识地、有目的地进行思维方法的渗透。通过数学思维的类比，不断在解决问题的过程中深化引导，学生的数学思维能力就会得到相应的提高。在“合并同类项”一课中创设了如下情景：
（1）实物归类
教师把学习用品、玩具、零食（形状有圆、方、三角形）混在一起，让学生按照自己的标准进行分类，要求学生回答以下问题：①你的分类的标准是什么？②假如分类标准一样，则分类是否唯一？③你有几种分类方法？
（2）多项式中项的归类
观察多项式-2x+8y- 4z+x- y回答下列问题：
①你想把哪些项归为一类？
②你是根据什么特征来分类的？那么3a2b-4ab2-3+5a2b+2ab2+2ab-6ab+8呢？（学生分小组进行讨论，并由代表集中发言，其他组进行补充完善）
实物归类的主要目的是让学生感受生活中存在分类现象，并且通过实物分类，让学生明确分类的标准与方法，事实上学生通过准确的实物分类理解了分类的意义与标准。
再出示多项式，让学生进行分类，学生一定会与实物分类进行类比，也会有不同的分类方法，比如对于-2x+8y-4z+x-y，有的学生利用系数的正负来进行分类，而同类项只是分类中的一种特殊情况。
数学学习要充分利用学生所熟悉的生活背景，把数学知识的学习融入到学生的生活中，通过“由表及里”类比，获得数学本质和模型。象上面生活中的分类方法与标准是原问题，是学生所熟悉的、了解的，由实物分类类比到数学分类，学生觉得数学并不是那样的神秘与抽象，离学生的生活是那样接近，把日常生活中普实的方法移植到比较抽象的数学中，从而更容易、更切实地理解数学思维，提高了学生学习的兴趣，降低了数学学习的难度，加强了数学与实际的联系。
四、反思类比，提高思维深刻性
利用类比方法可以深刻地理解概念、公式、定理的实质，分清新旧知识的联系和区别，也可以数题一法，概括出一类问题的解法规律。但也要防止生搬硬套、发生定势思维的错误。例如：
在七年级下册“线段”的学习中曾出现这么一题：一条线段上有n个点，问共有几条线段？
每个点出发可以画（n-1）条线段，n个点就构成n（n-1）条线段，但是每2个点之间按照上述方法计算重复了一次，所以要除以2，所以共有■n（n-1）条。
运用类比的思想，比较容易解决八年级下册“一元二次方程”中的一个问题：一次聚会，出席的每位代表都和其他代表各握一次手，统计结果表明，一共握手45次，问参加聚会的代表有多少人？
设参加聚会的代表有x人。每个人握手的次数是（x-1）次，x人就握了x（x－1）次，但是每2个人之间按照上述方法计算重复了一次。所以要除以2，则有x■（x－1）＝45。
数学建模思想探索与实践论文 第7篇
【摘要】数学思想的渗透，对小学数学课堂教学质量提升以及小学生数学学习能力的提高，具有积极的作用。主要阐述了在小学数学教学中渗透数学思想的必要性，并且就如何在小学数学教学中渗透数学思想提出了几点思考，旨在通过提高小学数学教学质量，推动小学生数学素养的不断发展。
【关键词】小学数学;数学思想;必要性
小学数学的学习与学其他基础性知识学科的学习不同，数学知识本身具有一定的抽象性，处在小学阶段的学生，其思维认知正处在一个成长发展的阶段。因此，其对于自身数学知识体系的构建能力还有待提高。在素质教育改革的教育背景下，数学教师要在小学数学课堂教学中渗透数学思想，培养学生的数学创造性思维，进而培养其数学素养。
一、在小学数学教学中渗透数学思想的必要性
一直以来，小学数学教师在教学过程中过于对数学新知识的讲解，重点培养学生的解题能力，旨在完成教学大纲的教学要求，确保学生得到一个较为理想的数学成绩，在教学过程中忽略了对小学生数学素养以及数学思想的培养，导致小学生在数学学习的过程中力不从心。1.数学思想的渗透，可以有效地激发小学生的数学学习兴趣。小学教育的一个特性就在于其自身的启发性，小学教育作为学生的启蒙教育，对学生的小学学习以及以后的学科学习具有重要的影响。小学阶段的`学生，其思考方式正处在一个养成阶段，在小学数学教学中渗透数学思想，可以帮助小学生养成一个科学的思考方法，培养小学生的数学思维，增强小学生对于数学知识的理解，激发学生对于数学知识学习的兴趣和积极性。2.是尊重学生主体地位的体现，满足了学生的数学学习需要。由于小学生的生活经验以及学习经验有限，导致其在接受数学知识以及学习数学方法等方面受到一定的束缚。随着数学学习程度的不断提高，学生需要掌握更为先进的数学学习方法，加强对小学生的数学思想渗透，提高学生对于数学知识的内化吸收能力，充分满足了学生的数学学习需求。3.实现了数学教学的统一性，提高了小学生数学学习理解能力。小学阶段的数学学习对于小学生数学学习能力的培养具有重要的现实意义。小学数学每一阶段的教学重点都不同，低年级的数学教学重在帮助学生扎实数学学习基础，而高年级的数学教学重在培养学生的数学学习能力。虽然每一阶段的数学教学重点存在一定的差异，但数学教学有着统一性，通过对学生数学思想的渗透教育实现了数学教学的统一性，将小学六年的数学教学有效的串联在一起。除此之外，随着教学难度的不断提高，小学生的数学解题能力以及对于数学知识的理解能力有了一定的提高，这都是数学思想发挥的重要作用。
二、小学数学教学中渗透数学思想的教学举措
1.深入挖掘数学教材，体现数学魅力。
数学教材中的数学概念、数学公式以及相关的数学练习题等都是数学思想的具象表现，数学思想是无形的，其存在于数学教材的方方面面。因此，数学教师要深入挖掘数学教材中的数学思想，并且在将其渗透在数学课堂教学中。数学教师要引导学生加强对数学教材的阅读学习，阅读数学教材中的数学背景知识等，使其充分发现数学的魅力，激发小学生的数学学习兴趣，激发小学生数学学习的内在动力。加强对数学教材中数学知识体系、数学问题等的剖析，引导小学生逐渐掌握小学数学的内在本质，在这个过程中，教师潜移默化的将数学思想传输给学生，实现了数学思想的渗透教育。
2.发挥数学课堂教学主阵地作用，渗透数学思想教育。
数学思想的渗透教育，主要还得依靠具体的教学过程得以实现。因此，数学教师要充分把握住课堂教学与学生数学概念形成的时机，通过不断创新数学课堂教学，渗透数学思想教育，充分发挥数学课堂教学的主阵地作用，引导学生积极主动地接受数学思想并将其内化为自身所有。首先，加强数学概念教学。数学概念是学生数学思想存在的重要载体，小学生对事物的认知能力正在发展阶段，数学教师要在这个过程中引导小学生充分了解相关的数学概念。数学教师可以结合多媒体教学课件，引导学生掌握科学并且完整的数学概念，掌握数学概念中所蕴藏的数学思想。其次，加强数学解题过程教学。数学解题过程是小学生学习数学方法、提高自身数学学习能力的重要阶段。数学教师要做好充分的教学准备工作，精心设计教学环节，引导学生通过数学解题推导，领会其中的数学思想。例如，在学习《平行四边形面积》这部分内容时，虽然课本中给出了计算平行四边形面积的数学公式，但数学教师要引导学生通过自主探索，寻找多样化的平行四边形面积计算方法，培养小学生多样化的解题能力。比如，我们可以将平行四边形按照对角线剪开，使其成为两个相等的三角形，然后通过计算一个三角形的面积，再乘2就可以得到这个平行四边形的面积了。除此之外，我们还可以将平行四边形通过剪拼的方法使其成为一个长方形，然后通过计算长方形的面积得出平行四边形的面积。在这节求平行四边形面积的数学课堂中，教师通过引导学生猜想、假设、推导、总结，掌握了多种求平行四边形面积的方法，使学生体会到“求一个新图形的面积还可以转化已学过的图形来解决”的数学转化思想，在提高学生数学解题能力的同时培养学生的数学思维。最后，引导学生发现数学规律。数学知识是无穷无尽的，但其也是相互关联的，每学一个新的知识点，都会牵扯到学过的旧知识，因此，数学教师要引导学生善于发现新旧知识点之间的密切联系，引导学生发现其中的数学规律，进而渗透学生的数学思想。
3.课后巩固拓展，培养学生数学创造性思维。
小学生的数学思想培养最先都是通过模仿实现的，数学教师在课堂教学中通过对经典例题的讲解，引导学生通过例题模仿掌握相关的数学学习方法，然后通过课后习题联系，进行数学知识的巩固拓展。在习题布置中，数学教师要适当的对经典例题进行改编，由此引发学生独立思考，进而激发其自主探究，培养学生的创造性思维。除此之外，数学教师要开展生活化的数学教学，在生活实例教学中培养小学生的数学思想。例如，在学习《轴对称图形》时，像课本中一些比较明显的蝴蝶、钟表等轴对称图形，学生都可以比较容易的掌握，教师可以布置一项生活化的作业，让学生寻找生活中的五个轴对称图形，拍下照片带到数学课堂中。学生在教学任务的驱使下，会积极主动的去寻找生活中的轴对称图形，如镜子、杯子、课本、桌子等，甚至是在学完这节课之后，学生会不自觉的发现生活中还有其他的轴对称图形，强化了学生对这部分的理解学习。由此学生可以发现数学与生活之间的密切联系，培养了小学生理论联系实际的数学思想，进而提高了小学生学以致用的学习能力。
三、总结
总而言之，当前小学数学教学质量以及数学思想培养都有待提高，新课程改革强调课程教育要培养学生的学科核心素养。小学生的学习能力正处在一个发展的初始阶段，因此，小学数学教师要充分抓住这个时机，加强对小学生数学思想的渗透教育。
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数学建模思想探索与实践论文 第8篇
关键词：高等数学,数学思想方法,渗透教学,创新教育
传统教学模式的改革多年来成效并不显著, 原因有: (1) 教师工作任务繁重, 在有限课时内把教学内容讲完, 必然疲于赶课;同时, 教师多年来养成的不合理教学方式必然会影响教学效果; (2) 学生个体差异明显, 学生数学基础参差不齐, 学习能力、积极性、主动性等方面存在差距, 也影响教学质量效果。大学数学教学中强化思想方法, 提高数学教育教学质量, 是当前亟待解决的一项课题。笔者从学生角度思考, 结合多年的教学实践经验, 提出高等数学教学中渗透数学思想的若干手段。
1通过直观式教学, 深化数形结合思想
直观能通过简单、形象和通俗的方式解释抽象的概念和结论, 使学生认识并掌握问题的本质, 深刻理解数学理论的内涵。数形结合就是将抽象的数学语言与直观的几何图像结合起来, 关键是代数问题与图形之间的相互转化, 数形结合思想源于抽象理论、概念的教学。高数教学中, 有意识地赋抽象概念以直观的“形态”与现实背景, 注重形象思维训练, 强调数的本质与形的直观相结合的意识及技能, 对有明显几何意义的概念 (如函数导数、定积分、偏导数、二重积分等) , 在给出概念时一定要结合图形讲解, 则学生容易接受, 记忆深刻, 解题中能灵活自如地运用。如在导数、定积分、偏导数、二重积分的讲解中, 强调几何意义与物理背景及其应用;在讲函数的极值, 最值概念及例题时, 引导学生想象平面曲线、三维空间曲面上的点。另外, 多媒体技术可以把数学语言、符号、图形、动画、视频等多种媒体有机集成起来, 让学生通过多个感觉器官来获取信息, 可提高教学效率, 增强教学的直观性、生动性和创造性。在教学中利用多媒体充分展示数学形象、直观的方面, 除了画直观示意图外, 还应设计动画展示数学量的形象变化过程。
2实施启发式教学, 渗透类比和归纳及演绎的思想
启发式教学是教师引导学生创造性解决未知问题的过程, 它发端于问题, 行进于问题, 终止于问题, 学生在教学过程中能保持较为稳定的学习兴趣与探索欲望, 展现应有的能动性、自主性、创造性。它支持学生从多角度, 不同方式进行思考, 并注重运用类比、转换、归纳及演绎等技巧的数学方法。高数教材中, 许多概念、定理结论 (如连续、导数、重要极限等) 都有多个不同的等价形式, 由于相同的结论, 在不同的问题环境下, 需要使用不同表达形式才能解决, 在教学中注重总结概念、结论的不同表达形式, 使学生加深对概念、结论的理解和掌握, 为以后解决较复杂的数学问题奠定基础。同时, 新概念、新知识的教学中, 尽量运用类比、归纳方法, 使不同部分的概念和内容前后联系, 彼此相融, 形成一个有机整体, 在教学中达到温故而知新的教学效果。如注意不定积分公式与导数公式类比、定积分与二重积分的概念、几何意义类比、平面曲线的弧长与空间曲面的面积类比、两类曲线与曲面积分类比、牛顿-莱布尼茨公式与格林公式类比等。在类比基础上归纳、总结和演绎, 可使教学内容结构紧凑、结论富有规律性, 便于学生理解和掌握。如积分换元法总结为:被积函数包含复合函数, 则往往意味着采用第一换元法, 且变换函数选为内函数;在其他情形下, 通常采用第二换元法。
3通过探究式教学, 渗透转化与化归思想
探究式教学是模拟科学家解决问题的过程, 使学生获得在真实生活情境中发现问题、解决问题的能力。转化与化归方法是探究式学习的主要途径, 能把未知或难以解决的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单问题, 并用已有知识和方法加以解决。转化与化归贯穿于整个高等数学教材的始终, 要善于从中挖掘和提炼相关的教学内容, 通过极限手段实现由未知问题到熟悉、规范甚至模式化、简单问题的等价性转化。在引出数列极限概念时, 用生活中常见的平面圆的面积, 空间球体的体积、表面积等问题。先将这些图形作形状上的特殊化:平面正多边形, 空间正多面体、圆柱面, 使其能用熟悉方法计算, 再取极限求面积, 则自然而然地引出数列及其极限概念。在讲定积分时, 先提出曲边梯形的面积计算问题, 通过对曲边梯形图形的形象思维, 在小范围内将小曲边梯形近似为同底的矩形, 计算矩形面积, 然后累加取极限, 达到等价转化问题, 解决问题的目地。此外, 对不定积分换元法、多元函数偏导数、可降阶的二阶方程教学内容的处理都可贯穿转化与化归思想。
4通过数学语言和符号的教学, 培养学生的抽象思维能力
数学具有内容丰富、含义精确、逻辑严密的语言符号, 其的表达形式简洁精确而又严谨, 掌握数学语言和符号是大学数学教学中一个重要方面, 在教学中必须予以重视并积极渗透。但是, 若仅进行符号变换, 逻辑推理, 而不涉及具体实际背景, 则又会让学生形成错觉:数学总是从概念到结论, 再从结论到概念, 与实际问题关系不大, 对数学产生了厌学感。在教学中必须保证讲解形象、直观为主, 同时又兼顾抽象思维。如导数、定积分、二重积分和两类曲线、面积分等都是新概念, 又能形成新方法, 在教学中要讲解清楚其几何意义与物理背景的同时, 也要重视将其抽象概括为“纯粹”的数学语言和符号的具体形式。数学语言和符号不仅简明扼要, 而且表达内容准确深刻, 是其他任何语言都无法比拟和取代的。在教学中使学生深刻理解这一点, 学会把实际问题用数学语言和符号表达的能力。
5教学过程与实际相结合, 强化模式化的数学思想
尽可能使教学内容与实际现象相联系、实际问题相结合, 渗透模式化的数学思维意识, 使学生对整个教材的内容在脑海中形成特定的数学模块与框架。能把遇到的问题, 通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理, 实现解题过程的熟悉化、简单化、直观化及标准化。在讲定积分时, 介绍曲边梯形的面积, 在定积分应用中渗透: (1) 直角坐标平面中的不规则图形看作多个曲边梯形的拼接; (2) 极坐标平面中的图形分解为若干特殊的扇形组合; (3) 平面曲线的弧长理解曲线上每一点对应的切线段拼接, 而每条切线段都是以自变量增量与因变量增量为直角边的三角形斜边长。这样就能将数学的多个知识点归结到一个点上, 达到以点带面的效果。运用这种模式化的思维方式, 不仅使学生在学习二重积分、三重积分时, 问题迎刃而解, 而且由这种模式化思想方法组织而成的数学知识久久不能抹去, 它还可以引导学生积极主动地思考其他类似的问题。
高等数学教学应贯穿两条主线:一条是明线即数学知识的教学, 一条是暗线即数学思想方法的教学。数学思想方法是数学的精髓, 是学生形成良好认知结构的纽带, 知识转化为能力的桥梁, 也是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体。教学的主要任务是把各种知识所体现的数学思想表层化, 把数学思想方法的教学渗透到数学知识的教学中, 这符合未来数学教育改革的趋势, 在教学中我们必须重视数学思想方法的渗透教学。
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