抛物线方程范文-盘古文库

抛物线方程范文

来源：火烈鸟

作者：开心麻花

2025-09-23

抛物线方程范文（精选10篇）

抛物线方程第1篇

1. 关于“如何引入课题”

在我们的日常生活中,抛物线有着重要而广泛的应用, 例如,探照灯就是利用抛物面的光学性质制作而成,将点光源发出的光,折射成平行光,照射到足够远的地方. 教师在引入课题的时候可以利用多媒体向学生展示一些类似的例子,让学生直观地感受抛物线,同时对比二次函数及其图像,向学生抛出“如何给出抛物线的定义”,从而引出新课.

2. 关于“抛物线定义的教学”

在介绍抛物线的画法时,教师应尽量创造条件,让学生亲自动手画出抛物线,引导学生细心观察动点的运动过程, 并用数学语言描述动点的运动规律,用心体会数学语言的精确性. 在画抛物线的过程中,使学生明白抛物线上的点所满足的几何条件,引导学生概括出抛物线的定义. 对抛物线的定义特别要强调的是定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过定点F垂直于直线l的一条直线. 如,到点F( 1,0) 和到直线l: x + y - 1 = 0的距离相等的点的轨迹为: x - y - 1 = 0,该轨迹是过定点F( 1,0) 且垂直于直线l: x + y - 1 = 0的一条直线.

同时,也可以恰当使用信息技术帮助学生理解抛物线的概念,例如几何画板等,以便让学生更直观地看到动点的运动轨迹. 但有时教师由于课时等因素的限制,一般都会在课下就做好课件,课堂上直接演示. 实际上用几何画板演示抛物线的形成过程时,建议教师让学生亲历课件制作的过程,演示过程中注意动点的运动速度的控制,引导学生边观察、边思考,这样的过程会有利于学生在动态变化中强化对几何概念的认识.

3. 关于“抛物线标准方程的教学”

由于在教学中圆锥曲线方程的推导都需要建立坐标系,故教师要引导学生有意识地加强对“如何建系”的思考, 例如抛物线方程的推导中为什么不将定点设在坐标系的原点处? 或是以定直线为y轴? 这样的思考无疑会有利于学生理解标准方程的意义,进而进一步理解解析几何的本质. 特别要注意的是,学生可能会提出各种建系的方式,为了使抛物线方程最后的形式简洁,教师应与学生共同分析并做计算,从而找到较好的建系方式. 与此同时还要强调动点所满足的几何条件,因为这是求曲线方程的关键.

还有在推导的过程中会遇到方程的化简. 在很多情况下,学生都会遇到类似的方程的化简、利用多个等式于不等式的关系解决如变量的取值范围等问题. 由于学生在初中阶段方程的学习仅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程组,以及可化为一元一次方程的分式方程,不等式的学习也仅限于一元一次不等式,高中阶段学习了一元二次不等式,教师从学生这样的经历不难看出,学生在学习本章时代数变形的学习经历是非常有限的,这就造成了一部分学生在具体的解题过程中缺乏信心、经验不足. 因而,建议教师结合学生遇到的具体困难,加强对学生的指导和示范,帮助学生积累代数变形的经验,提高代数推演的能力.

另外,一条抛物线由于它在坐标系内的位置不同方程也不同,于是希望学生自己归纳出抛物线开口向左、向上、向下三种情形下的方程,并求出相应的顶点坐标、焦点坐标. 建议画出表格的第一、第二列,引导学生根据抛物线的对称性将下表补充完整.

4. 关于“知识巩固”

考虑到抛物线的定义,几何图形,标准方程要求掌握, 所以在设置例题的时候要有梯度,例如: 求下列抛物线的焦点和准线方程:

同时,为了强调圆锥曲线的应用体现数学的应用价值, 可以选取实际应用的例子,帮助学生树立模型观念,为运用这些模型解决实际问题做了良好的铺垫.

5. 结束语

抛物线的标准方程第2篇

本课的名称：抛物线及其标准方程

1、知识与技能：

（1）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；（2）知道它们的简单几何性质；

（3）使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。（4）了解圆锥曲线的简单应用。

2、过程与方法：

（1）能初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程。

（3）体会抛物线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。

3、情感态度价值观：（1）了解抛物线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。（2）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望；

（3）通过抛物线的定义及其标准方程的学习，进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。

请说明导入环节在这堂课中的意义，以及信息技术如何起到优化作用。（300字左右）

1、通过多媒体展示图片，让学生直观的感受抛物线之美，对抛物线产生深刻的印象，调动了学生学习的兴趣。

2、尺规、绳子作图，师生动手，直观体验，增强学习兴趣。

3、几何画板辅助教学，动画演示，这样能够让学生清楚抛物线的形成过程及条件。第二步：技术支持的导入设计

导入语

时间

信息技术支持

生活中存在着各种形式的抛物线，观察下面的图片，找出图片中的抛物线

炸弹在空中运动的轨迹是抛物线,二次函数的图像也是一条抛物线，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？

信息技术支持的讲授环节优化

（二）第一步：设计前的分析

本课的名称：抛物线及其标准方程本课的教学目标和教学内容：

1、知识与技能：

（1）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；（2）知道它们的简单几何性质；

（3）使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。（4）了解圆锥曲线的简单应用。

2、过程与方法：

（1）能初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程。

（3）体会抛物线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。

3、情感态度价值观：

（1）了解抛物线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望；（3）通过抛物线的定义及其标准方程的学习，进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。

请简述讲授环节的目的和内容，并说明在讲授环节中，你是怎样应用信息技术的，以及信息技术是怎样起到优化作用的（300字左右）。

1、让学生掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.课件展示探究的点线面生成过程，让学生直观感受抛物线的定义，2、在探究抛物线的定义时，也是设计了几种方案。一种是用直尺和三角板两个最熟悉的工具画图：另一种是利用几何画板作出画抛物线的软件演示。但这两种方法都是让学生看到现成的东西，不容易让学生信服。

所以，我采用现场用几何画板制作画抛物线的过程，让学生正真感受抛物线的几何特征。

3、并根据探究推导抛物线的定义，根据定义推导抛物线的标准方程，并用图片展示四种形式的抛物线，最后用几何画板动态演示抛物线的形成，让学生从已有的知识出发，通过自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣，培养创造性思维的能力。第二步：技术支持的讲授设计

教学活动简述

探究一：如图：把一根直尺固定在画图板内直线L的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线L的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板的一点F，用一支铅笔，扣着绳子紧靠三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这是一条什么曲线呢？

信息技术支持

探究二：几何画板辅助教学，动画演示，这样能够让学生清楚抛物线的形成过程

如图，点F是定点，L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点，经过点H作MH垂直L，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹。你能发现点M满足的几何条件吗？

思考：

怎样建立坐标系,才能使抛物线的方程更简单？

探究三: 抛物线的标准方程有哪些不同的形式？并推导

信息技术支持的评价优化

（三）第一步：设计前的分析

说明：请根据本节课的教学过程，针对一至两个具体的教学活动进行评价设计，在表格呈现您设计此项评价的目的、所采用的评价方法、及需使用的信息技术工具。（注：两个评价设计不能雷同。）

本课的名称：抛物线及其标准方程本课的教学目标和教学内容：

1、知识与技能：

（1）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；（2）知道它们的简单几何性质；

（3）使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。（4）了解圆锥曲线的简单应用。

2、过程与方法：

（1）能初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程。

（3）体会抛物线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。

3、情感态度价值观：

（1）了解抛物线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望；

第二步：技术支持的评价设计

说明：在这一步里，请将你在该环节的教学、评价目的、评价方法和评价工具呈现在下表中。在“评价工具”一栏中，除量规外，其他均需信息技术的支持（请具体说明如何利用信息技术来优化评价环节，并截取重要画面，链接相应的文档）。

教学活动

课前准备

评价目的检测学生自主学习效果，查缺补漏．

检测理解程度

评价方法批阅预习作业学习小组成果展示

评价工具作业批改

课中探究活动量规表

课后：要求学生完成在当堂检测习题

学生自我评价知识掌握情况。

学生利用老师提供的答案进行自评。

抛物线方程第3篇

关键词：抛物线；翻转课堂；教学设计

一、研究背景及意义

圆锥曲线是高中课程的重要内容，抛物线是圆锥曲线之一，与之前学习的椭圆与双曲线相比相对比较复杂。此外，抛物线在初中阶段学习一元二次函数的时候接触过，学习者很可能将抛物线错误地定义为“二次函数的图像”。因此，如何更好地讲解《抛物线及其标准方程》显得尤为重要。

总结前人[1][2][3]所做的研究可以发现对于抛物线的教学设计研究者大都是在传统课堂的基础上进行的。《抛物线及其标准方程》这一节内容难度较大，整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。因此，仅利用课堂上45分钟时间，学生很难真正掌握这部分内容。

翻转课堂是教学流程变革所带来的，教学环节包括课前、课中、课后三个主要教学环节以及评价、诊断两个辅助教学环节[4]。利用“翻转课堂”进行《抛物线及其标准方程》教学。

通过课前，课中，课后这三阶段的教学，学生可以分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。因此，在翻转课堂的教学模式下研究抛物线及其标准方程是具有一定意义的。

二、教学案例

（一）教材分析

《抛物线及其标准方程》是选修2-1的第二章《圆锥曲线与方程》。教材内容的顺序是：曲线与方程-椭圆—双曲线—抛物线。可以减少了学生的认知障碍。

（二）学情分析

学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识。并且对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识。

（三）教学目标

（1）动手实践，体验抛物线的形成过程从中抽象出抛物线的几何特征；（2）掌握抛物线的定义和标准方程；（3）进一步感受类比，数形结合的重要思想方法；（4）感受抛物线的广泛应用与文化价值，体会数学美。

（四）教学重难点

教学重点：1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程。

教学难点：1.从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义；2.建立合适的坐标轴求解抛物线的解析式。

（五）教学过程

1.课前教学过程的设计（问题引导，观看视频）

（1）问题引人，温故知新。

教师活动1：思考以下几个问题：？做出函数的图象。？求到点F（0，2）与直线l：距离相等的点的轨迹方程，并作出其图象。

设计意图：激发学生的学习兴趣。

教师活动2：根据学生的回答，对以上问题进行总结，并且提出新问题：我们可不可以把抛物线定义为二次函数的图像呢？为什么？

设计意图：纠正学生头脑中“抛物线就是二次函数的图像”这一错误观念。

（2）动手操作，探究新知。

教师活动3：提问：那么抛物线到底是如何形成的呢？播放微视频（首先呈现生活中的抛物线，接着演示抛物线的形成过程，并给出操作步骤）。

设计意图：调动学生的学习兴趣，提高他们的动手实践能力。

教师活动4：提出问题：1.在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？2.在作图过程中，绳长，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量没有变？哪些量变了？

设计意图：引导学生发现抛物线的几何特征。

教师活动6：提出问题：试着给抛物线下个定义。

2.课中教学设计：（继续探究，小组讨论，观看视频）

（1）类比迁移，自主探究。

教师活动1：给出抛物线的定义。提问：类比之前学过的椭圆以及双曲线，试着选择合适的坐标系并求解抛物线的方程？

学生活动1：学生自己选择建系方式，并求出对应的抛物线方程，然后小组讨论，选出最佳建系方式，并求出其相应的抛物线方程。

教师活动2：播放微视频（总结学生可能会想到的三种建系策略，并用以前学习的二元一次函数图像的平移来解释选择坐标系的原因。）

设计意图：培养学生用类比法解决问题的能力；体现学生的主体地位。

教师活动3：思考：椭圆与双曲线各有两种标准方程，抛物线有几种呢？并思考原因。

学生活动3：小组讨论。并汇报各小组探究的结果。

教师活动4：思考抛物线的标准方程与其焦点坐标与准线方程的关系。

设计意图：加快解题速度。

（2）课堂作业，学以致用。

教师活动5：例1：？抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标与准线方程；

？一直抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。

（3）学生总结，教师提炼。

教师活动6：要求学生回忆本节课的教学，鼓励学生进行总结。对学生的小结进行补充。

3.课后教学设计（问题探究，拓展知识）

拓展作业：

初中我们已经知道对于一元二次方程y=ax2+bx+c的图像是抛物线，a影响其开口方向和开口大小，类比a对一元二次方程y=ax2+bx+c的图像的影响试着研究对于抛物线y2=2px，p对抛物线的影响。

设计意图：将课堂的数学探究活动延伸到课外，使学生进一步体会类比思想方法对于数学研究中的意义。

三、小结

《抛物线及其标准方程》整节内容需要学生充分理解和掌握的知识点比较多。传统课堂的45分钟显然不能使学生完全理解掌握全部知识点。因此，本节课笔者采用翻转课堂。课前，学生通过反复观看微视频进行深入的思考，并在老师的引导下，体会抛物线的基本特征，最后给抛物线下定义；课中，讨论与交流建系策略以及标准方程，通过观点的相互碰撞深化学生的认知。课后，布置相应的探究题，拓宽学生的思维。这样学生可以分阶段分步骤掌握这部分内容；另外，可以反复观看视频加深对内容的理解程度。这样可以达到分解知识内化的难度，增加知识内化的次数，从而有利于促进学习者更好的获得知识。

参考文献：

[1]刘为宏，赵瑜.《抛物线及其标准方程》教学新设计[J].中学数学研究，2013（5）：27-32

[2]武湛.《抛物线及其标准方程》教学实录与反思[J].福建中学数学，2015（12）：26-18

[3]方厚良.“抛物线及其标准方程”的教学思考[J].课堂教学研究，2014（1-2）：64-66

抛物线方程第4篇

选修2 -1第二章中共包括四部分内容《曲线与方程》《椭圆》《双曲线》和《抛物线》, 其中《抛物线》分两课时, 本节是第一课时。抛物线和椭圆、双曲线既有区别, 又有联系。区别主要有: 从形上, 椭圆是封闭的中心对称曲线; 双曲线是非封闭中心对称曲线; 抛物线是非封闭轴对称曲线; 从标准方程的个数上, 椭圆、双曲线各有两个, 而抛物线有四个。联系主要有: 三者都是圆锥曲线; 研究方法相同, 建立直角坐标系, 根据定义, 利用坐标法推导标准方程。

教材将《抛物线及其标准方程》安排在《椭圆》《双曲线》之后, 是对圆锥曲线知识的延续与完善, 同时又为后续研究《抛物线的简单几何性质》提供了线索和依据。在教材中起到了承上启下的作用。

二、教学目标

1. 三维目标

《新课程标准》要求: “经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程, 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形”。《高考考纲》要求: “了解抛物线在解决实际问题中的作用, 理解数形结合的思想”。这节课在教学中起到的作用是: “掌握抛物线的定义, 并推导出标准方程, 为以后用代数方法解决抛物线问题打下基础, 为解决实际问题提供有力工具”。

知识与技能: 了解抛物线的定义中定点与定直线的位置关系, 抛物线上点满足的条件; 掌握抛物线的焦点、准线方程的几何意义; 正确区分四种抛物线标准方程特征, 并能根据已知条件写出抛物线的标准方程。

过程与方法: 借助于生活实例, 直观感知抛物线形状; 通过折纸实验和观察几何画板中点的运动轨迹, 归纳概括抛物线定义; 经历抛物线标准方程的推导过程, 学会用坐标法求解抛物线标准方程, 提高观察、分析、类比、计算的能力。

情感、态度与价值观: 通过本节课的学习, 感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 体验解析几何的基本思想, 即数形结合思想、函数与方程思想。

2. 教学重点、难点

( 1) 教学重点及突破策略

抛物线是圆锥曲线之一。抛物线定义是推导抛物线标准方程及研究几何性质的基础, 是本节课其他知识产生的核心, 所以应让学生充分讨论理解其含义。

重点: 抛物线的定义; 根据具体条件求出抛物线的标准方程; 能根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

突破策略: 通过折纸实验、几何画板等教学手段, 突出重点“抛物线的定义”; 通过逐层递进式的问题设置, 突出重点“根据具体条件求出抛物线的标准方程; 能根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程”; 通过“牛刀小试”和“知识升华”等课堂练习进一步突出重点。

( 2) 教学难点及突破策略

推导抛物线标准方程时, 建立坐标系, 将几何问题代数化尤为重要。同时, 不同的曲线有不同的建系策略, 无法统一定论。抛物线标准方程因建系不同共有四种, 初学者很容易混淆。所以, 恰当的建系和分清四种方程都具有一定难度。

难点: 如何选择适当的坐标系推导抛物线标准方程; 正确区分四种抛物线标准方程的特征。

突破策略: 借助于小组活动, 学生之间相互启发, 降低思维难度, 有效地突破难点“如何选择适当的坐标系推导抛物线标准方程”; 通过让学生观察表格和全班交流等形式, 有效突破难点“正确区分四种抛物线标准方程的特征”。

三、教学设计

1. 模式介绍

本节本节课主要采用我校校本教学模式: “双互动、四统一”。“双互动、四统一”教学模式要求教师和学生恰如其分地扮演好教与学的角色, 师生要多维互动, 生生要经常互动, 人机要适时互动, 人与教材要深刻互动。教师要善于创境设疑, 导引探究, 启发深入, 收敛点拨; 学生要善于发现问题, 积极理顺问题, 大胆发散探究, 合理作出结论。具体模式为: 问题———发散———收敛———综合———创造。

2. 教学设计

本节课从学生熟悉的一元二次函数y = ax2 ( a≠0) 谈起, 借助于生活中的抛物线直观感知抛物线的形状, 并点出本节课的研究方向———抛物线及其标准方程。

为了突出重点, 突破难点, 本节课设置了三个探究, 以“问题———发散———收敛”模式展开。

探究1: 学生以学案为基础利用教师提供的卡片纸进行折纸, 并借此粗略画出抛物线的简图。结合作图过程, 归纳出曲线上的点所满足的几何条件。随之, 教师利用几何画板动态演示抛物线的生成过程, 完善之前的猜想, 归纳出抛物线的定义。

探究2: 以开口向右的抛物线为例, 以学习小组为单位, 根据抛物线的定义, 建立直角坐标系推导抛物线方程。之后, 全班交流, 教师借助于电子白板交互式完成学生的思路演示, 并归纳概括标准方程中“标准”的含义。

探究3: 类比于开口方向向右的抛物线标准方程的推导过程, 推导开口方向向左、向上、向下的抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程, 进而将抛物线的标准方程推广到四种。由于学生在探究2中一定程度上掌握了抛物线标准方程推导方法, 所以在此环节学生尝试独立探究, 完成表格。这样做, 可以有效提高学生观察、分析、类比、计算等能力。

抛物线几种标准方程确立后, 学生通过观察表格, 比较四种抛物线图像、标准方程、焦点坐标和准线方程的区别与联系, 归纳概括记忆方法: 左2次, 右一次, 一次定焦点, 焦点定开口, 开口定符号, 4倍要记住。

最后, 通过“例题剖析”“牛刀小试”和“知识升华”等环节以“综合———创造”的模式展开深化学生对本节课知识点的记忆与理解及提升解决问题的能力。

摘要：抛物线是圆锥曲线之一。抛物线定义是推导抛物线标准方程及研究几何性质的基础, 是本节课其他知识产生的核心, 所以应让学生充分讨论理解其含义。推导抛物线标准方程时, 建立坐标系, 将几何问题代数化尤为重要。同时, 不同的曲线有不同的建系策略, 无法统一定论。抛物线标准方程因建系不同共有四种, 初学者很容易混淆。所以, 恰当的建系和分清四种方程都具有一定难度。

关键词：抛物线,抛物线标准方程,教学设计

参考文献

[1]张祖忻, 朱纯, 胡颂华.教学设计——基本原理与方法[M].上海:上海外语教育出版社, 1992.

[2]孙玉恒, 李宁.“双互动四统一”教学范式探析[J].延边教育学院学报, 2010, (6) .

《抛物线及其标准方程》教学反思第5篇

在教学中结合新课标的思想，从三个维度出发，制定如下的教学目标：由实例感知，得出抛物线的定义，并推导出其标准方程，在实际应用中进一步体会数形结合的思想。使学生了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；知道它们的简单几何性质；使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。

同时能使学生初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。体会抛物线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。了解抛物线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和主动学习的欲望；通过抛物线的定义及其标准方程的学习，进一步体会数形结合的思想，养成利用数形结合解决问题的习惯。

抛物线方程第6篇

1.实验一 (操作实验) :探寻轨迹1

数学操作实验是指通过对一些工具、模型的动手操作, 创设问题情境, 学生自主探索数学知识, 检验数学结论 (或假设) 的学习活动.

1.1活动准备: (1) 准备工具:三角板, 直尺, 圆规, 铅笔, 8K白纸. (2) 把全班48人平均分成12个小组, 每组4人, 采用合作学习方式.

1.2问题:给定一定点F和一条定直线l, 如果动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离相等, 那么动点M的轨迹是什么呢? 请思考.

1.3实验设计: (1) 请找出一个到定点M与定直线l距离相等的点M1.学生作图:过F作直线l的垂线, 垂足为H1, 取FH1的中点即得M1 (图1略) . (2) 请再作一个满足条件的点M2. (同学们合作讨论, 教师巡查并和学生交流.) 学生作图:在l上取不同于H1的点H2, 连接FH2, 作FH2的中垂线, 再过H2作l的垂线交FH2的中垂线于点M2, 点M2即为所求作的点 (图2略) . (3) 请同学们根据点M2的作法, 再作出几个不同的点M3, M4, M5, …, Mi…, 用描点法画出这些点的轨迹, 并观察轨迹是什么图形? 学生作图:学生作出图像 (图3略) . (4) 师生交流. (5) 给出抛物线的定义.

1.4设计意图:设计该实验的主要目的是让学生在自主探索、动手实践、合作交流中形成数学概念, 体验习得知识的乐趣和获得成功的喜悦, 激发学生学习数学的兴趣, 培养科学探索精神.

2.实验二 (计算机实验) :探寻轨迹2

数学计算机实验是指借助于计算机 (包括图形计算器) 的快速运算功能和强大的图形处理能力, 模拟再现问题情境, 是引导学生自主探究数学知识、检验数学结论 (或假设) 的学习活动.

2.1活动准备 : (1) 准备工具 :笔记本电脑12台 , 要求安装几何画板. (2) 把全班48人平均分成12个小组, 每组4人进行合作学习.

2.2实验设计: (1) 各小组通过实验一作点的方法, 用几何画板作出动点 (图4略) . (2) 移动点H, 观察点M形成的轨迹 (图5略) . (3) 学生交流想法.

2.3设计意图:设计该实验的主要目的是因为实验一中学生徒手画的轨迹图像不够精确, 让学生运用几何画板作图再次验证动点M的轨迹, 呈现完美的图像.从而激发学生学习数学的兴趣, 同时使学生体验到现代信息技术给我们的学习和生活所带来的深刻变化.

3.实验三 (思维实验) :探求轨迹的标准方程

数学思维实验是指通过产生灵感、逻辑推理、数学演算等发现科学规律或结论的过程, 是引导学生自主探究数学知识、探求数学结论的学习活动.

3.1活动准备: (1) 准备工具:三角板, 直尺, 铅笔, 8K白纸. (2) 全班分成3大组进行合作学习.

3.2实验设计: (1) 请同学们思考, 如何建立适当的直角坐标系求解抛物线的标准方程. (学生思考, 总结或引导出三种典型的建系方法, 第一种是以过点F作l的垂线为x轴, l为y轴 (图6略) , 第二种是以过点F作l的垂线为x轴, 过点作x轴的垂线为y轴 (图7略) , 第三种是以过F作l的垂线为x轴, 过F到l的垂线段的中点作x轴的垂线为y轴 (图8略) .) (2) 分3组分别推导上图3种情况下的轨迹方程 (每组派一位同学板演) . (3) 展示3种情况得到的轨迹方程分别是:①y2=2px-p2;②y2=2px+p2;③y2=2px. (4) 让学生选出最简洁的式子③作为抛物线的标准方程, 并归纳标准方程的含义. (5) 请学生推导其余3种标准方程. (6) 学生交流想法.

3.3设计意图:此实验的重点放在建系和推导方程上 , 设计的目的是让学生动手实践去推导各种坐标系下动点M的轨迹方程, 亲身体验因建系的不同而导致方程的差异, 体会最优化的数学思想和数学建模的思想方法. 通过实验引导学生自主探究数学知识和探求数学结论.

4.实验四 (计算机实验 ) :验证二次函数图像满足抛物线定义

4.1活动准备 : (1) 准备工具 :笔记本电脑12台 , 要求安装几何画板. (2) 把全班48人平均分成12个小组, 每组4人进行合作学习.

4.2实验设计: (1) 运用几何画板作出二次函数y=x2+2x-1 (任意选取) 的图像. (2) 在 (1) 中画面作点F (-1, -7/4) 和直线y=-9/4. (3) 在函数y=x2+2x-1的图像上任取一点M, 过M作直线y=-9/4的垂线, 垂足为H, 再作线段MF和MH. (4) 度量线段MF和MH, 拖动点M, 观察线段MF和MH的度量变化值 (图9略) . (5) 引导学生分析总结出点F (-1, -7/4) 和直线y=-9/4即为该抛物线的焦点和准线. (6) 师生一起交流和分享学习体会.

4.3设计意图: 设计该实验的主要目的是因为学生初中就知道二次函数图像是抛物线, 但对图像的轨迹理解仅停留在是物体抛出去的轨迹这一层面上.学习了抛物线之后, 让学生亲自验证二次函数图像确实是满足抛物线定义的.通过这个实验, 学生体验到现代信息技术在给我们学习和生活带来便利的同时, 更重要的是培养学生敢于提出猜想、验证猜想的科学精神.

摘要：数学实验教学可以向学生提供充分从事数学活动机会, 帮助他们在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法.本文以“抛物线及其标准方程”设计为例, 谈谈从数学实验的角度出发进行数学课堂教学的设计及思考.

关键词：课例设计,数学实验,抛物线及其标准方程

参考文献

[1]邵光华, 卞忠运.数学实验的理论研究与实践[J].课程·教材·教法, 2007 (3) .

抛物线方程第7篇

本次环节设计分为:教学目标的定位, 课前准备, 课堂展示, 课堂研究, 课堂交流, 课堂汇报, 课堂训练与课后拓展等环节。

本课的教学定位是:重点是抛物线的定义和标准方程;难点是利用抛物线定义画抛物线的图像及标准方程的研究。

活动设计:课前给出问题、课上学生合作交流、老师引导研究方程得到最佳结果、巩固、拓展。

课前准备:将重难点分散到课前, 提前研究, 而且本节课首先是具体的操作问题, 有一定难度, 课前准备是很重要的。

课前具体的材料问题就是:若平面内一个动点Q到一定直线L与一个定点F的距离相等, 尝试画出动点Q的轨迹。

供每个小组填写的具体表格如图:

二、准备工作要细致全面, 课前设想要充分。

研究性学习法实施之前要做好细致的准备工作, 不能太粗线条, 每一个环节都要精心设计。

引入课题的设计: 开门见山, 课前研究结论在小组内交流, 然后小组代表展示。如果大多数学生都能画出下面的这个图形, 则说明学生已理解抛物线定义并会初步应用了。

(一) 对于难点:用定义画 “抛物线图像”的课前作业, 我也准备了充分的素材, 自己利用定义的方法画出了三条“抛物线”, 加强对定义的理解与应用。在课堂上利用多媒体展示, 启发学生思维。

(二) 适时给出抛物线的定义: 前面的交流学习过程一结束就由学生全面描述抛物线的轨迹的形成过程并给出定义:平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点F不在定直线l上) 。定点F叫做抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线。 (这里追问为什么定点F不能在定直线l上? 学生研究特殊情况发现是一条直线。 )

三、课堂上要实时的追加问题继续研究, 同时要给学生一个“有限的空间”展开研究。

设定点F到定直线l的距离为p (p为已知数且大于0) 。下面, 我们来求抛物线的方程。怎样选择直角坐标系, 才能使所得的方程取较简单的形式呢?

首先在黑板上画出四幅图, 目的就是给出一定的限制, 使他们出现四种情况。

让学生分小组充分议论, 老师辅导他们完成方程推导过程。最后每一组展示建立直角坐标系的几种方案。 (如果表达不够全面, 补救方案是其他小组补充我启发, 最后引导出结果。 )

接着老师要引导学生比较所得的4个方程, 应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢? 学生都会感受到建系的区别, 同时又会感受到实质都相同, 这样进一步加强了学生对数学美的认识, 从而喜欢上数学的简洁严谨之美。

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形 (见课本) 。

四、研究性学习的课堂“不应止步于课堂”而需要提供拓展研究的材料 (供学生课后自主探究) 。

例如本课我提供了如下拓展材料:

(1) 求证:方程y=ax2+bx+c (a≠0) 表示的是抛物线方程。

(2) 在工程中, 画拱宽为2a, 拱高为h的抛物线, 常用下面的画法:

1) 作矩形ABCD, 使得AB=2a, DA=h;

2) 分别取CD, AB的中点O, H把线段DA, OD, HA各n等分;

3) 如图连线得到各交点, 将交点连成光滑曲线, 就得到抛物线的一半;

4) 同样方法画出另一半。

你能说出上述画法的正确性吗?

海上大气波导的抛物方程法分析第8篇

关键词：大气波导,抛物方程,传输损耗

无线电系统在海上运作时,经常会发现电磁波的反常传播现象,电磁波在这种环境中会偏向地球表面传播,当射线曲率大于地球表面曲率时,则产生波导传播效应。大气波导现象较常出现在大面积水面上空,使雷达有可能观测到数倍于雷达正常探测距离处的目标,实现所谓超视距探测[1],并且大气波导可增加雷达测距、测角、测速的误差,使雷达探测出现大面积盲区,也可增加雷达杂波信号分布范围,降低雷达的分辨性能。因此研究海上大气波导现象及其对电磁波传播的影响具有较好的应用前景。

1 大气波导原理

大气影响电波传播的主要方式有吸收、折射、反射和散射等,海上大气波导对电波传播的折射影响最为显著。在大气波导环境中,发生电磁波传播时,非标准折射可引起无线电或雷达信号传播路径弯曲,这些电磁波可被陷获在波导层内传播到很远的地方。

1.1 大气波导出现判据

大气折射效应是由于大气折射指数不均匀分布造成的,由于折射指数n接近于1,通常用无线电折射率N来表示折射指数,折射率与气温、气压和水汽压有关[2]

$Ν = (n - 1) \times 10^{6} = \frac{A}{Τ} (Ρ + \frac{B e}{Τ}) = \frac{77.6}{Τ} (Ρ + \frac{4 810 e}{Τ}) (1)$

其中,T是大气绝对温度;P是大气压强;e是水汽压强,式中经验常数A,B对1~100 GHz的无线电频率有效。

若假设地球大气为均匀球面分层,由Snell定律证明修正折射率梯度

$\frac{d Μ}{d z} = \frac{d Ν}{d z} + 0.157 (2)$

如果修正折射率梯度 $\frac{d Μ}{d z} = 0$ 为无折射,电磁波的传播轨迹不发生弯曲,而沿直线传播,这是临界折射,此时所对应高度为波导高度。由于水平传播的射线实际上是向下弯曲的,其曲率大于地球表面曲率,则修正折射率梯度 $\frac{d Μ}{d z} ＜ 0$ 为正折射,此时电磁波将被陷获在地球表面一定高度的区域内来回反射,产生超折射现象,形成大气波导。

1.2 大气波导分类

根据波导层的具体情况,对流层波导分为贴地大气波导和悬空大气波导[3]。贴地大气波导根据与地面之间的关系分为蒸发波导、表面波导以及含基础层的表面波导。如图1所示。h为波导顶高度;h1为陷获层顶高度;h2为基础层底高度;d为波导厚度;d1为陷获层厚度;d2为基础层厚度;ΔM为波导强度。

蒸发波导在40 m高度以下近海面大气中,由一个较薄的陷获组成。蒸发波导是海洋大气中经常出现,发生概率80%以上,且存在时间长,早晚出现概率高。

表面波导和含基础层的表面波导一般是在300 m高度以下边界层大气中,波导顶层大气修正折射率小于地面的大气修正折射率。但在一定气象条件下,如海面或大的水面上逆温明显,且湿度随高度急剧下降的条件下,易于形成表面波导。

悬空波导是下边界悬空的大气波导,一般发生在3 000 m高度以下,波导顶层大气修正折射率大于地面的大气修正折射率,它通常是由一个悬空陷获层叠加到一个悬空基础层之上而构成,悬空波导的下边界高度一般距离地面数十米或数百米,在此高度上一般出现逆温层。这种波导形式与地球表面波导形式相比,产生的气象条件出现较少,出现概率较低。

2 抛物方程法

抛物方程模型应用于大气波导中,不仅能精确描述不规则地表结构的电磁参数和不均匀大气结构的折射率分布,能同时计算出不规则地形和复杂大气结构对电磁波影响,由于可以计算视距和超视距范围内的电波传播,具有稳定、准确的计算结果而被广泛应用。目前为止,分布抛物方程法(SSFT)可以计算光滑海面电波传播问题,但是不能处理不规则地形边界。Kuttler和Dockery提出了混合傅里叶变换(MFT)以及离散混合傅里叶变换的思想,而离散混合傅里叶变换(DMFT)恰好能计算不规则地形边界,稳定性好。

2.1 抛物方程原理

根据麦克斯韦方程组,设电磁场的时谐因子为e-iωt,在直角坐标系下,二维标量波动方程在折射率为n(x,z)的各向同性介质中的场ψ(x,z)满足赫姆霍兹方程

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} ψ}{\partial z^{2}} + k_{0}^{2} n^{2} ψ = 0 (3)$

式中,k0=ω/c为真空中的波数; $n = \sqrt{ε_{r}}$ 为媒质的折射指数;εr=ε/ε0为媒质的相对介电常数;ε和ε0分别为媒质和真空的介电常数。

对方程做进一步计算和抛物近似简化。假设抛物近似处理为

$| \partial^{u} / \partial x^{2} | ≪ | 2 i k_{0} \partial u / \partial x | (4)$

即忽略了 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ 项,这种近似对应了忽略后向散射区域,将传播精确限制在“近似水平”方向上,这样得到适合求远距离电波传播问题的窄角抛物方程

$\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} + 2 i k_{0} \frac{\partial u}{\partial x} + k_{0}^{2} (n^{2} - 1) u = 0 (5)$

其分布傅里叶变换的解为

u(x0+Δx,z)=e(ik0/2)[n2-1]ΔxF-1{(e-iΔx/2k0)p2F[u(x0,z)]} (6)

为解决阻抗表面的传播问题,利用离散混合傅里叶算法(DMFT)求解抛物方程,有限阻抗的边界条件通常采用以下的阻抗边界条件(Leontovich边界)条件来描述[4]

$\partial_{z} u |_{z = 0} + α u |_{z = 0} = 0 (7)$

根据混合傅里叶变换,对窄角抛物方程进行正余弦变换得到

$u (x + Δ x, z) = e^{i k_{0} Δ x (n^{2} - 1) / 2} {e^{i α^{2} Δ x / 2 k_{0}} e^{- α z} Κ (x_{0}) + \frac{2}{π} F_{s} \cdot$

$[\frac{α}{α^{2} + Ρ^{2}} e^{\frac{i p^{2} Δ x}{2 k_{0}}} V (x, p)] - \frac{2}{π} F_{c} \cdot [\frac{p}{α^{2} + Ρ^{2}} e^{\frac{i p^{2} Δ x}{2 k_{0}}} V (x, p)]} (8)$

其中

V(x,p)=αFs[eik0Δx(n2-1)/2u(x,z)]-pFc[eik0Δx(n2-1)/2u(x,z)] (9)

$Κ (x) = {\begin{cases} 2 α \int u (x, z) e^{- α z} d z, Re (α) ＞ 0 \\ 0, Re (α) \leq 0 \end{cases} (10)$

式中,Fs和Fc分别代表正弦变换和余弦变换;Re代表取实部,当垂直极化时Re(α)>0,水平极化时Re(α)<0。

求解中需采用数值方法,引入辅助函数,并利用后向差分格式[6]对辅助函数进行离散,求得上式窄角抛物方程。

2.2 边界条件的确定

抛物方程必须在一定的初始条件和边界条件下才能求得定解。构成区域的边界主要是下方的地表边界和上方的吸收边界,以及起始边界。

抛物方程模型上边界主要是吸收层,主要用来截断计算域,即电磁波在到达上边界时被完全吸收而不会反射或透射出计算域,在这里可以平缓地衰减到0。在设置上边界时,必须在有限高度范围内是电磁波满足索莫菲尔辐射条件,在z方向使用Tukey窗函数。

抛物方程模型的下边界则假设是光滑的良导体表面,通常满足奇对称(水平极化)和偶对称(垂直极化)条件,傅里叶变换则简化为单边正弦或余弦变换。

抛物方程的求解是一个初始值问题,初始场可通过发射天线的方向图函数进行傅里叶变换求得[5]。本文的天线模型采用的是高斯天线方向图函数。

3 传输损耗基本理论

利用上述模型和算法可以计算辐射源在不同大气折射条件下单程传播损耗的空间分布,传输损耗通常包括自由空间由于扩散引起的损耗和由于媒质对电磁波的吸收以及障碍物对电磁波的散射、反射和绕射等引起的损耗。根据电波工程理论可知传播损耗形式为

L=Lfs+20logF (11)

其中,Lfs是自由空间传输损耗,其形式为

Lfs=32.45+20logF+20logr (12)

式中,20logF为媒质中的传输损耗;F是传播因子;在直角坐标系下,传播因子可通过下面公式计算

$F = \sqrt{x} | u (x, z) | (13)$

4 数值模拟分析

影响雷达性能及通讯设备的波导类型主要是蒸发波导和表面波导,根据上述算法得到的标准大气、蒸发波导和表面波导的自由空间传播损耗分布图,以及蒸发波导条件下在一定波导高度和不同蒸发波导高度时传输损耗曲线,如图2所示。设定某辐射源系统参数如表1。

可以看出,图2(a)标准大气条件下大气修正折射率梯度始终为正值,电磁波远离地面传播,不会发生大气波导现象。图2(b)是波导高度为25 m的修正折射率剖面,从折射率曲线中看出在高度<25 m的大气层内,修正折射率梯度为负值,因此电磁波会在这一薄层内发生陷获作用,形成大气波导传播。图2(c)是在高度50~150 m的范围内,大气修正折射率梯度是负值,也能够形成大气波导传播,并且在距离300 km范围内电磁波没有明显衰减。比较可知,蒸发波导在陷获层内传波的损耗明显比标准大气的小。表面波导传播损耗比蒸发波导的小,并且表面波导、蒸发波导可以形成超视距传播,而表面波导比蒸发波导传播的距离更远。同时,由于波束分裂蒸发波导和表面波导均出现了一定的雷达盲区。

5 结束语

利用离散混合傅里叶方法研究了电磁波在海洋大气波导环境下的异常传播特征,并采用Matlab计算了

了光滑海面上标准大气、蒸发波导、表面波导的传播损耗分布图,通过伪彩色图分析大气波导对电磁波的陷获作用,可知蒸发波导和表面波导是形成海上超视距传播的主要因素。这些为雷达在大气波导环境下的应用提供了有力的依据,在军事领域具有较高的应用价值。

参考文献

[1]焦林,张永刚.大气波导条件下雷达电磁盲区的预报研究[J].西安电子科技大学学报:自然科学版,2007,34(6):989-994.

[2]Bean R,Dutton B E J.Radio Meteorology[M].USA:Dover Publications,1968.

[3]Hall M P M.对流层传播与无线电通信[M].梁卓英,张忠治,译.北京:国防工业出版社,1984.

[4]Kuttler R,Dockey G.Theoretical Description of Parabolic Approximation/Fourier Split-step Method of Representing Electromagnetic Propagation in the Troposphere[J].Radio Science,1991,26(2):381-393.

[5]Barrios A E.A Terrain Parabolic Equation Model for Propa-gation in the Troposphere[J].IEEE Trans.Antennas Propagat,1994,42(1):90-98.

抛物线方程第9篇

最近, 笔者仔细查阅了前几年在教学“抛物线及其标准方程”一课时的教案。整个教学过程是:

1. 教师由问题“平面内与一个定点F和一条定直线l (F

l) 的距离相等的点的轨迹是什么”来导入本节课;

2. 教师拿教具给学生作演示并得出结论:符合题意的点的轨迹是抛物线;

3. 告诉学生如何推导出抛物

线的标准方程, 并在大屏幕上显示出推导过程;讲解定义、标准方程及相关注意事项;

4. 教师讲解课本上的例题, 学生做练习。

反思这节课, 明显存在这样几个缺点: (1) 在教学过程中, 以教师的教为主体, 教师讲、学生练, 学生围着教师转, 学生失去了自主性和主动性; (2) 让学生死记数学公式, 机械地模仿教科书上解决问题的方法, 忽视了师生之间、生生之间应有的合作学习与情感交流, 丧失了学习过程中的情感性和发展性。姑且不谈这节课是如何令人感到拖沓冗长, 就训练学生思维能力而言, 笔者认识到这节课很有可能是无效的。同时, 在课堂提问中, 笔者提出的问题大多是陈述性问题, 并让学生围绕某一知识点进行大量的练习, 缺少对开放性创新题型的设置。

二、对“抛物线及其标准方程”一课的改进

1. 精心设置课前导入环节

笔者预想了两个方案:方案一, 鉴于学生已经学习过关于椭圆、双曲线的标准方程及相关性质, 因而可以采用直接导入本节课的主要内容“抛物线及其标准方程”的方法。方案二, 从椭圆和双曲线的第二定义入手, 即归结为平面内动点到定点和定直线的距离之比问题 (比值的范围不同, 所得到的曲线就不同。当比值在0到1之间, 动点的轨迹是椭圆;比值大于1, 动点轨迹是双曲线) 。这时可以提出问题:这些比值的范围还应有哪些?即它们的补集是什么?从而得出研究对象:比值等于1时动点的轨迹问题。这样就将本节课要研究的问题很自然地引出来了:平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是什么?

经过对这两种方案的研究比较, 笔者决定采用第二种方案来导入新课。因为这样的设计, 可以在向学生灌输类比的数学思想的同时, 也加强了知识的前后联系, 向学生展示了数学知识的系统性和完备性。并且, 在得出抛物线的定义后, 也可以让同学对生活中的抛物线图形进行深入思考, 阐述数学既来源于生活、亦可解释生活的理念。

导入后, 在有趣的教具的辅助下进一步拓展学生的视野, 使数学知识的发生及形成更为自然, 更能贴近学生的认知特征。

2. 在教学过程中培养学生自主探究的能力

对于抛物线的标准方程的推导, 笔者采取先由教师点拨 (设点F到直线l的距离为p[p>0]) , 再由学生自己合理建立直角坐标系、讨论整理出抛物线的标准方程的方法。由于学生建系方法不同 (或将定直线当做y轴, 或将定点当原点, 亦或按照标准方程的建系方法, 甚或将定点和定直线斜放于坐标系内) , 得到的方程式必然不同。教师要在肯定学生的研究成果的同时, 与学生一起选出最佳建系方法。这样做可以使每个学生都动起来, 自己探究知识的发生、发展过程, 而不是由老师直接给出答案, 更杜绝了让学生死记公式、机械模仿的授课现象。可以根据学生已有的知识水平 (掌握了椭圆、双曲线的相关知识, 可以根据椭圆、双曲线因焦点位置的不同而得出两种标准方程) , 让他们对椭圆、双曲线和类比抛物线进行对比, 得出抛物线因焦点位置的不同也可以有不同的标准方程的结论, 即加入抛物线标准方程的其他三种表达形式。

除了使用课本上的例题和练习以外, 笔者还设计了这样一组题:

1.平面上一动点M到点F (1, 0) 的距离与它到直线x=-1的距离相等, 求M点的轨迹方程。

2.平面上一动点M到点F (1, 0) 的距离比它到直线x=-2的距离小1, 求M点的轨迹方程。

3. 平面上一动点M到点F (1, 0的距离与它到直线x-1=0的距离相等, 求M点的轨迹方程。

让学生通过对这三道题的探究, 明白抛物线的定义中最重要的一点就是:定点不在定直线上。

经过这样一番精心准备, 实际的课堂效果非常好, 学生们的表现相当积极, 充分地展示了他们的聪明才智。

3.教学中特别注意了对不同层次的学生的关照

在完成如何建系求出抛物线的标准方程的教学过程中, 笔者特别注意了对不同层次的学生的关照。为了使大多数学生能够在课堂上完成对教学内容的充分学习, 笔者特意在小组活动后找了不同小组中的成绩中游或者中游偏下的学生到黑板前面为全班同学作讲解。

同学甲是以直线l为y轴, 以过点F且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系, 得到的方程为y2=2p x-p2 (p>0) ;同学乙是以过点F且与l垂直的直线为x轴, x轴与l相交于点K, 以线段K F的中垂线为y轴建立直角坐标系, 得到的方程为y2=2p x (p>0) ;同学丙是以点F为坐标原点, 以过点F且与垂直的直线为x轴建系, 得到的方程为y2=2px+p2 (p>0) 。

接着同学们开始点评, 有的认为乙的方法好, 因为乙最后得到的方程式简单;有的则评价乙没有从学生的思维角度来进行讲解, 即只知道告诉大家如何做, 而没有分析为什么这样做, 对此, 乙是这样解释的:“我们小组经过讨论后, 知道不同的建系方法会得到不同的方程, 所以我们在小组内又分成了三个小组, 分别使用了以直线l为y轴、以K F的中垂线为y轴、以点F为坐标原点 (x轴都相同) 三种方法来建系, 最后经过比较才得出这样的结论的。”原来如此!想不到他们的小组竟然想出了这种合作方式, 这种创新的意识不正是我们的课堂教学所急需的吗?

三、对教学过程的再反思

本节课的优点: (1) 在这堂课中, 学生不但学会了基础知识, 而且还体验了知识的推导过程, 尝试了有条理地思考问题和解决问题的过程。 (2) 让学生到讲台上针对某些内容进行讲解, 不仅使学生增强了自信心, 并且使之在参与授课的体验中, 进一步深入思考应该如何听课, 即不能只为听答案而听课, 而应该深究答案的渊源, 应该学会分析问题。 (3) 通过小组合作学习, 学生锻炼了自学能力, 培养了团队意识, 提高了人际交往能力, 学会了如何关怀和帮助他人、评价他人, 学会了承认他人的优点、容忍他人的缺点, 虚心学习、听取意见。

本节课存在的问题: (1) 在小组讨论时, 有的学生对自己要进行的探究比较茫然, 找不准思考问题的方向, 对所要完成的任务也搞不清楚。这就需要教师在备课时创设有效的情境, 把问题设计得恰到好处, 让这些问题有助于引导学生理解知识的核心和问题的本质。 (2) 个别学习成绩不太好的学生在小组讨论时不敢发言、不敢表态, 逐渐地远离了讨论的中心, 显得很被动。为了使全体学生都能够在课堂学习中获得有效提高, 教师必须要充分了解自己的学生, 了解他们的性格、知识水平等多方面的信息, 特别是对于成绩暂时处于下游的学生, 要从他们的实际认知水平出发合理设计课堂教学内容、采取适当的教学方法, 尽量避免无效的提问。同时, 在他们不能顺利、正确地作出回答时, 教师要热情地启发和鼓励他们, 让他们保持积极的学习情绪, 积极地参与进来, 而不是让课堂变成学习成绩好的同学的“一言堂”, 杜绝由老师替代思考转变为由好学生替代思考的现象。 (3) 做练习是数学教学的有机组成部分, 是学生学好数学的必要条件。做练习可以帮助学生对知识进行正确的理解、释疑、深化及反馈, 所以教师在教学中要注意在恰当的时间选择恰当的练习来帮助学生进一步巩固并提高所学知识;同时, 要加强对解题的指导, 对解题思想方法作必要的概括。而本节课中, 学生做的练习以口算为主, 笔答的时间少了些, 这么做虽然关注了对学生的思维能力的培养, 但忽视笔头上的练习, 无法展示和了解学生在做题过程中发生的错误, 更无法规范学生的做题步骤。这是需要再次改进的地方。 (4) 没有恰当地运用现代信息技术。若能在课件中动态地展示抛物线的开口方向、x与y的指数等, 那么在对抛物线的其他标准方程进行讨论时, 学生将会感到“柳暗花明又一村”。

从这次反思教学中笔者充分感受到:教师备课不能够只备书本上的内容, 更要备学生, 在充分了解学生的思维过程后, 多站在学生的角度来思考问题, 把握好讲课的“度”, 设计出符合学生认知规律的有质量的授课模式, 从而理性安排课堂, 改变“重讲轻练”“教师不敢放手”的现象。在实际教学过程时, 要渗透学法上的指导, 正确运用好基础知识和习题。因为基础知识的发生蕴含着数学思想和数学方法, 而数学思想和数学方法则是解决问题的途径和手段。所以教师要在课堂上适时对学生进行点拨, 做到“授之以渔”, 而非“授之以鱼”, 真正实施有效教学。