函数的最值范文（精选12篇）

函数的最值 第1篇

一.等量代换后, 使用重要不等式法:

注:一般对于分母较复杂的, 无约束条件的多元函数求最值, 常常对分母进行等量代换, 即简化分母, 然后用重要不等式。

二、降元方法:

多元函数求最值最常见方法是利用降元思想, 将n元降为n-1元, 以此类推, 最终降为一元问题, 而降维的手段常有消元减元, 捆绑减元和利用不等式减元等。

本题利用配方三元降为二元, 利用不等式将二元降为一元, 再用重要不等式顺利求解

三、换元法

对含等量关系的一些特殊状况, 代入消去往往较难实施时, 常发掘等量关系的参数形式, 进行三角换元, 以达到降元的目的。我们常遇到的是圆和椭圆的参数方程, 有些换元与三角公式的特质相关。

本题换元因素比较隐含, 这需要扎实的数学功底和洞察能力, 过程中又用到sin (2a+g) £1, 从而化为一元问题。

四、局部调整, 再用重要不等式求解

五、构造不等式求解

六、引进参数, 利用不等式求最值

求S的最小值 (2011年常州四市模拟题)

分析:此类问题是近年高考模拟题的常见题型, 学生很害怕, 常束手无策, 此类问题最常见办法是利用max³任何一个函数, min£任何一个函数, 构成不等式求解。

多元函数最值解题需要知识面较宽, 解题方法灵活多变, 解题时要从实际出发, 作出探索, 只有综合掌握以上方法并灵活运用重要不等式, 我们就能化难为易, 顺利找到解题途径。

参考文献

[1]《中国女子数学奥林匹克集锦》

二次函数的最值问题 第2篇

雷州市第一中学 徐晓冬

一、知识要点

对于函数fxax2bxca0，当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。当a0时，fx在区间R上有最 值，值域为。

二、典例讲解

例

1、已知函数fxx2x2，（1）、若x2,0，求函数fx的最大值和最小值。（2）、若x1,1，求函数fx的最大值和最小值。（3）、若x0,1，求函数fx的最大值和最小值。

例

2、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最小值。

变式

1、已知函数fxx2x2，xt,t1，求函数fx的最大值。

点评：本题属于二次函数在动区间上的最值问题，由于二次函数的对称轴是固定的，区间是变动的，属于“轴定区间动”，由于图象开口向上，所以求最小值1要根据对称轴x与区间t,t1的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端2点取得时，只须比较ft与ft1的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例

3、已知函数fxx22mx2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。

例

4、已知函数fxmx2x2，x1,2，求函数fx的最小值和最大值。点评：二次函数最值与抛物线开口方向，对称轴位置，闭区间三个要素有关。求最值常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值。

三、练习

1、已知函数fxx26x8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______________。

2、已知二次函数fxx22ax1a在区间[0,1]上有最大值为2，求实数a的值．

3、已知函数y4x24axa22a在区间0,2上有最小值3，求a的值。

4、若fx12a2acosx2sin2x的最小值为ga。（1）、求ga的表达表；（2）、求能使ga

5、已知fx43ax22xaaR，求f(x)在[0,1]上的最大值．

求分式型函数的最值问题 第3篇

【关键词】 数学 分式型函数 最值问题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-092-01

分式型函数的最值问题一直是高考常考点，但却是学生学习的难点。解决这类问题，一般是利用分离常量法或利用基本不等式及对勾函数[y=ax+■（ab>0）]来解决。

一、一次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用分离常量的方式，把函数式转变为常数与简单分式函数和差的形式，此类函数值y≠■.

例1. 求函数y=■的值域。

分析：这类问题一般是利用分离常量法解决，过程略。

解：函数y=■的值域是{y│y≠2}

例2. 求函数y=■的值域。

解：y=■=2-■

∵x2+1≥1 ∴0<■≤3

故函数y=■∈[-1，2）

点评：本题虽然分子和分母都是关于的二次式，但是因为没有一次项，故可以把x2看成一个整体，利用分离常量的方式进行分离，但要注意x2本身非负。类似的还有■，ax等。

二、二次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用拆分的方式，把函数式转变为对勾函数的形式，借助基本不等式或对勾函数求值域。

例3. 求函数y=■（x>0）的取值范围。

分析：此类问题一般是结合基本不等式解决。

解：y=■=2x+■-1≥2■-1（当且仅当x=■是等号成立）所以函数y=■∈[2■-1，+∞）.

变式练习：若例3去掉x>0函数值域是什么？

分析：本题不能利用基本不等式，要借助函数g（x）=2x+■， 如上图的函数g（x）∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

故y=■∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

三、一次比二次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般先取倒数，变成二次比一次型函数，再求值域。

例4. 求函数y=■（x>0）的值域.

解：y=■=■≤■（当且仅当x=■是等号成立）

∴函数y=■∈（0，■].

点评：本题如果没有这个条件，也可以仿照上面例4，借助对勾函数来解决。

例5. （2010辽宁）已知点P在曲线y=■上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .

解：y'=■=■

∵ex>0，∴ex+■+2≥4，（当且仅当x=0时等号成立）

∴k=y'∈[-1，0）

因为倾斜角，所以倾斜角α的取值范围是[■，π）.

点评：一般来讲高考题目所涉及的分式函数求值域的问题基本上就可以用以上几种方式解决。

三角函数中的最值问题 第4篇

三角函数的最值问题的类型很多, 其常见类型有以下几种.

一、形如y=a+bsinx (或cosx, x∈R) 的最值

方法:利用正、余弦函数的有界性解决.

三、形如y=asin2 x+bsinxcosx+ccos2 x (二次齐次) 的最值

方法:①形式为次数相同角相同, 次数不同角不同;

②二次的用二倍角公式降幂;

③用辅助角公式化为形如y=a+bsinx来解决;

③若含有常数项, 方法同上.

四、形如y=asin2 x+bsinx+c (x∈z) 的最值

方法: ①形式为次数相同角度不同或次数不同而角度相同.

②借助于二次函数在闭区间上的值域解决.

例4:如果|x|≤π/4 , 求函数f (x) =cos 2 x+sinx的最大值、最小值.

变式1:求函数y=cos2x-cosx+2的最小值;

变式2:求函数y=cos2 x-2acosx-a的最大值;

变式3:sin2 x+cosx+a=0有实数解, 求a的取值范围.

五、形如求或y=sinx-cosx+sinxcosx的最值

方法:用三角代换求某些代数函数的最值.

例6:求y=sinx-cos+sinx+cosx的最大值和最小值.

二次函数的最值问题修改版 第5篇

上的最值问题

数学组：王勇

一、教学目标：

1． 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法； 2． 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。

二、教学重点：二次函数最值求法

教学难点：二次函数在闭区间上的最值

三、教学过程：

二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题

问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值

练习：将题中条件x2,4改为（1）x3,0，（2）x3,4

小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。

如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢？

问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值

小结：注意分类讨论

以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢？

问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值

小结：对称轴的讨论是关键

练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2

f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值

（三）作业：

求二次函数在闭区间上的最值问题 第6篇

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.

（责任编辑钟伟芳）

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中学数学中的地位非常重要，它的单调性由a、b决定，即当a>0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递减，在[-b12a，+∞）上单调递增；当a<0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递增，在[-b12a，+∞）上单调递减.它的单调性比较复杂，因此对于求二次函数闭区间上的最值问题，特别是含参数的最值问题较麻烦，一直是高中数学中的难点.下面笔者分三种类型进行分析.

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.

（责任编辑钟伟芳）

二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在中学数学中的地位非常重要，它的单调性由a、b决定，即当a>0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递减，在[-b12a，+∞）上单调递增；当a<0时，f（x）在（-∞，-b12a]上单调递增，在[-b12a，+∞）上单调递减.它的单调性比较复杂，因此对于求二次函数闭区间上的最值问题，特别是含参数的最值问题较麻烦，一直是高中数学中的难点.下面笔者分三种类型进行分析.

一、定轴定区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间也确定时，可直接利用单调性求其最值.

【例1】已知函数f（x）=x2-2x+3，求满足下列条件的f（x）的最值.

（1）x∈[-1，0]；（2）x∈[2，3]；（3）x∈[0，3].

解析：f（x）=x2-2x+3的对称轴是x=1.

（1）f（x）=x2-2x+3在[-1，0]上单调递减；f（x）min=f（0）=3；f（x）max=f（-1）=6.

（2）f（x）=x2-2x+3在[2，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（2）=3.

（3）f（x）=x2-2x+3在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增；f（x）max=f（3）=6；f（x）min=f（1）=2.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定，所给区间确定时，需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例2】已知函数f（x）=ax2-x+2a-1（a为实常数）.设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.

解析：（1）若a=0，则f（x）=-x-1在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3.

（2）若a≠0，则f（x）=a（x-112a）2+2a-114a2-1，f（x）图像的对称轴是直线x=112a.

①当a<0时，f（x）在[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3；

②当0<112a<1，即a>112时，f（x）在[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2；

③当1≤112a≤2，即114≤a≤112时，g（a）=f（112a）=2a-114a2-1；

④当112a>2，即0

综上可得，g（a）=-3，a=0

6a-3，a<114且a≠0

2a-114a2-1，114≤a≤112

3a-2，a>112

.

当二次项系数不确定时，需要讨论二次项系数的符号，当二次项系数为0时，f（x）是一次函数，单调性确定，直接求最值即可；当二次项系数为正数时，函数开口向上，此时，需讨论对称轴与区间的位置；当二次项系数为负数时，函数开口向下，对称轴在区间的左侧，直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定，所给区间不确定时，仍需要讨论对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

【例3】已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的解析式.求h（t）的最小值.

解析：∵f（x）=x2+3x-5的对称轴为x=-312，

①当t+1≤-312，即t≤-512时，h（t）=f（t+1）=（t+1）2+3（t+1）-5=t2+5t-1；

②当t≤-312

h（t）=f（-312）=（-312）2+3×（-312）-5=-2914；

③当t>-312时，h（t）=f（t）=t2+3t-5；

综上可知：h（t）=t2+5t-1，t≤-512

-2914，-512

t2+3t-5，t>-312.

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间，不论哪种类型，解题的关键是弄清对称轴与区间的关系，要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大.

巧用数形结合求函数的最值 第7篇

数学家华罗庚曾经说过:“数缺形时欠直观,形离数时难入微.”在数学解题过程中巧妙地利用数形结合的思想方法,使数形相互结合,相互渗透,问题便能迎刃而解.

求函数最值的方法很多,但若能通过数形转化,构造几何图形,以形助数,常常可以达到事半功倍的效果.下面举例说明.

例1 已知x+y=1,求x2+y2的最小值.

解因为x2+y2表示点P(x,y)到原点O(0,0)距离的平方,所以问题转化为求直线x+y=1上点P(x,y)到原点O(0,0)距离平方的最小值,这个最小值即原点O(0,0)到直线x+y=1的距离的平方(如图1).

例2 设,求y的最小值.

解将y变形为

则y表示x轴上点P(x,0)到点A(5,1),B(1,-2)距离的和(如图2).又A,B在x轴的两侧,故所求最小值为|AB|=5.

例3 求函数的最值.

分析 考虑到,构造几何图形.

解 令,则有,其图形是椭圆在第一象限的部分.又由y=u+v知v=-u+y表示直线,y为其在v轴上的截距(如图3).因为直线与椭圆部分有公共点,所以当且仅当直线与椭圆部分相切时,y最大.由判别式法求得的最大值是3;当且仅当v=-u+y过点()时,的最小值是.

例4已知x,y∈R且x2+y2=1,求的最值.

解因为表示过点P(x,y)与点A(-2,-1)的直线AP的斜率,所以问题转化为求圆x2+y2=1上的点P(x,y)与点A(-2,-1)所连直线AP的斜率的最值,而当直线与圆相切时有最值(如图4).

设,则直线AP的方程是:y+1=k(x+2).因直线与圆相切,所以圆心到直线AP的距离等于1,由点到直线的距离公式得,解得k=0,.

所以的最大值是,最小值是0.

参考文献

刍议三角函数的最值之常见求法 第8篇

能利用有界性法、换元法等方法求某些简单的三角函数在给定区间上的最值, 并会把某些简单的实际问题化归成三角函数的最值问题来解决。

二、知识要点

1. 求三角函数的最值, 根据变换的方向不同, 通常有如下方法

(1) 三角方法。先通过三角恒等变换, 转换为y=Asin (ωx+ψ) +B。 (2) 代数方法。先通过变量代换转化为代数函数。 (3) 解析法 (也可以说数形结合法) 。 (4) 导数法。

2. 求三角函数的最值, 根据函数式特点不同, 通常有如下类型

三、考题解析

例1设 满足 , 求函数f (x) 在 上的最大值与最小值。

简解:∵由 得 , 因此 。∴由单调性可得, f (x) 的最大值为 , f (x) 的最小值为 。

例2当 时, 函数 的最小值为 () 。

方法1:∵ (易知tanx>0) , 故选C。

例3函数y=sin2x+sinx-1的值域为 () 。

例题4在直径为1的圆O中, 作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形, 其中y>x>0。

(1) 将十字形的面积表示为θ的函数; (2) θ为何值时, 十字形的面积最大?最大面积是多少?

简解: (1) 设S为十字形的面积, 则 。

(2) 方法1:由 (1) 化简得 , 其中 。当sin (2θ-φ) =1即 时, S最大。所以, 当 时, S最大。S的最大值为 。

函数的最值 第9篇

一、建立一次函数

例1 (2008年北京)如图1,动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线,与正方体表面相交于M、N.设BP=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()

本题给出了变量一自变量和因变量,给出了函数图象的选项,显然若能求出函数解析式,问题便解出,但却不是一件容易的事.改变研究视角是正确的选择:把MN向平面ABCD内作正投影,保持其长度不变,从而把空间问题转化为平面问题,在平面内研究函数关系即可顺利完成.

解:设正方体的棱长为a,由图形的对称性知点P始终是MN的中点,而且随着点P从点B向BD1的中点滑动,y值逐渐增大到最大,再由中点向点D1滑动,而逐渐变小,排除A、C.把MN向平面ABCD内正投影得M′N′(图2),则M′N′=MN=y,由于,所以.所以当时,,为一次函数,故选(B).

评注:MN向平面ABCD内作正投影是转化问题的关键.

二、建立二次函数

例2一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高20 m的桥上,一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进(如图3).现在小船在水面P点以南的40 m处,汽车在桥上Q点以西30 m处(其中PQ⊥水面),则小船与汽车间的最短距离为______.(不考虑汽车与小船本身的大小).

分析:本题是我们非常熟悉的一个数学模型,通过植入实际问题给予包装,给了我们全新的感觉.其实,解决问题的实质是没有变化的.

解析:设经过时间t汽车在A点,船在B点,(如图4),则AQ=30-20t,BP=40-10t,PQ=20.又AQ∥面α(水面),AQ在面α内射影是CP,知BP⊥CP,AC⊥BC.所以AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+(40-10t)2+(30-20t)2=100[5(t-2)2+9].t=2时,AB最短,最短距离为30 m.

三、建立根号下的二次函数

例3如图5,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若.

(1)求MN的长;

(2)当a为何值时,MN的长最小?

(3)当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角的大小.

解析:(1)作MP∥AB交BC于点P,NQ∥AB交BE于点Q,连结PQ.依题意可得MP∥NQ,且MP=NQ,即MNQP是平行四边形.所以MN=PQ.由已知,CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

所以,即.

所以.

(2)由(1)知:当时,,即M、N分别移动到AC、BF的中点时,MN的长最小,最小值为.(3)略.

例4正△ABC的边长为a,沿BC的平行线PQ折叠,使平面A′PQ⊥平面BCQP,求四棱锥的棱A′B取得最小值时,四棱锥A’-BCQP的体积.

分析:棱A′B忍的长是由A′点到PQ的距离变化而变化,因此我们可建立棱A′B与点A′到PQ的距离的一个函数关系式,从而求出棱A′B的最小值,进而求出体积.

即当时,.此时PQ是△ABC的中位线.

所以.

评注:对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后不变的数量关系和图形关系;同时还要仔细观察翻折前后图形的性质.很多情况下,我们都是把这类动态问题转化成目标函数,最终利用代数方法求目标函数的最值.

四、建立三角函数

例5如图7,已知在△ABC中,∠C=90°,PA⊥平面ABC,AE⊥PB交PB于E,AF⊥PC于F,AP=AB=2,∠AEF=θ,当θ变化时,求三棱锥P-AEF体积的最大值.

分析:θ的变化是由AC与BBC的变化引起的,要求三棱锥P-AEF的体积,则需找到三棱锥P-AEF的底面积和高.高为定值时,底面积最大,则体积最大.

解:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又因为BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.而AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF.

又因为AF⊥PC,PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC.而EF⊂平面PBC,所以AF⊥EF.

所以EF是AE在平面PBC内的射影.因为AE⊥PB,所以EF⊥PB,所以PE⊥平面AEF.

五、建立三次函数

例6求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值.

分析:要使球内接正三棱锥的体积最大,而高过球心,则可寻球高与半径之间的关系.

解:如图8所示,设正三棱锥高O1A=h,底面边长为a,由正三棱锥性质可知.又知OA=OB=R,则在Rt△OBO1中,,所以a2=3h(2R-h).

所以.(当且仅当时,取等号)所以正三棱锥体积最大值为.

说明:利用均值不等式法是解最值问题的常用方法.本例也可以用导数法求出最值,而且比较简捷.

建立函数法是一种常用的求最值方法,很多情况下,我们都是把这类动态问题转化成目标函数,最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多,在函数建成后,可用一次函数的端点法;二次函数的配方法、公式法;有界函数界值法(如三角函数等)及高次函数的导数法等.

练习题

1. 已知二面角α-DC-β大小是θ,A为面α内一点,△ADC的面积为S,且DC=m,过A作直线AB交平面β于B,使AB⊥DC且与β所成的角为30°.求当θ等于多少度时,△BDC面积取得最大值?并求出这个最大值.

2. 等边三角形ABC的边长为a,将它沿平行于BC的线段DE折起,使平面ADE⊥平面BDEC,若折叠后AB的长度为d,则d的最小值为()

3. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的菱形,侧棱长为2.当∠A1B1C1在[]上变化时,求异面直线AC1与A1B1所成角的取值范围,

数学导学案二次函数的最值问题 第10篇

掌握二次函数最值问题.

学习目标 (一)

二次函数y=ax2+bx+c在自变量取任意实数时的最值情况:

当a>0时, 函数在x=处取得最小值

当a<0时, 函数在x=处取得最大值

练习:

1. 抛物线y=2 (x+4) 2+7的开口方向是____, 顶点坐标为____, 对称轴是直线____, 当x=_____时, y有最____值为_____.

2. 抛物线y=-x2+6x+5的开口方向是________, 顶点坐标为_____, 当x=____时, y有最____值为____.

3.抛物线y=中, 当x=____时, y有_______值是________.

4. 二次函数y=-x2+mx中, 当x=2时, 函数值最大, 则其最大值是_______.

5. 已知二次函数y=x2-2x+c的最小值是-4, 则c=_______.

6. 二次函数y=ax2-4x+a的最大值是3, 则a=______.

学习目标 (二)

当自变量x在某个范围内取值时, 函数的最值问题.

练习:

7. 已知二次函数的图像 (0x3) 如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是 () .

A.有最小值0, 有最大值3

B.有最小值-1, 有最大值0

C.有最小值-1, 有最大值3

D.有最小值-1, 无最大值

8. 已知抛物线y=当1x5时, y的最大值是______, 最小值是______.

学习目标 (三)

二次函数的最值问题在实际生活中的应用.

练习:

9. 某学校要在围墙旁建一个长方形的生物苗圃园, 苗圃的一边靠围墙 (墙的长度不限) , 另三边用木栏围成, 建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.已知木栏总长为120米, 设AB边的长为x米, 长方形ABCD的面积为S平方米.

(1) 求S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围.

(2) 当x为何值时, S取得最大值?并求出这个最值.

10. 某工艺厂设计了一款成本为每件20元的工艺品, 投放市场进行试销后发现每天的销售量y (件) 是售价x (元/件) 的一次函数y=-10x+1000.

(1) 设该工艺品每天获得的利润为w元, 求出w与x的函数关系式.

(2) 如果该工艺品售价最高不能超过每件30元, 那么售价定为每件多少元时, 工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?

初中几何中的最值问题 第11篇

数学模型1：两点之间线段最短

① A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使PA+PB最小.

作法：连结AB交l于P，此点P即为所求.

② 如图，A，B在直线l的同侧，在l上求作一点P，使PA+PB最小.

分析　要解决这个问题，就是把同侧的两点转化成异侧的两点.只要找出点A关于直线l的对称点A，就可转化成①中的问题.

数学模型2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.

3. 已知：直线l和直线l外一点P，在直线l上求一点A，使PA最短.分析　根据“垂线段最短”

实际运用：

（1）一条笔直的公路同侧分别有A、B两个村庄，如图：现在要在公路L上建一个汽车站C，使汽车站到A、B两村庄的距离之和最小，请在图中找出汽车站的位置.分析　运用数学模型1中的②

（2） A，B两厂在一条河的同侧，拟在河边建一污水处理厂C，要求：A厂的污水经B厂连同B厂的一起排到河边污水处理厂C，要使铺设的管道的最短，请在图中找出污水处理厂C的位置.分析　从A到B只要根据“线段最短”，连接AB即可；从B到直线，根据“垂线段最短”，作BC垂直于直线，即可找出污水处理厂C.

知识拓展：

1. 直线l和l相交于点P，在直线l和l的交角内有一点A，在直线l、l上分别求一点B、C，使线段AB、BC、CA的和最小.

分析　本题中的最小值问题，所涉及的路径是由三条线段连接而成，将三条线段转化到一条直线上，根据两点之间线段最短即可求.

作法：

① 取点A关于直线L1的对称点A，点A关于直线l的对称点A2.

② 连结AA分别交直线l、l于B、C两点.

③ 连结AB、AC，此时AB与BC、AC的和最小.点B、C即为所求.2. 直线l∥直线l，并且l与l之间的距离为d，点A和点B分别在直线l、l的两侧，在直线l、l上分别求一点M、N，使AM、MN、NB的和最小.

分析　本题是研究AM＋MN＋NB最短时的M、N的取法，而MN是定值，所以问题集中在研究AM＋NB最小上.但AM、NB不能衔接，可将MN平移AA处，则AM＋NB可转化为AN＋BN，要AN＋BN使最短，显然，A、N、B三点要在同一条直线上.

作法：

① 将点A向下平移d个单位到A

② 连结AB交l于点N

③ 过N作NM⊥L，垂足为M

④ 连结AM，则线段AM、MN、NB的和最小.点M、N即为所求.

3. 直线l的同侧有两点A、B，在直线l上求两点C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的长为定值a，点D在点C的右侧.

分析　本题是研究AC+CD+DB的和最小，CD是定值，将三条线段的和转化成求AC+BD的最值，只要将AC向右平移a，即转化成数学模型1.

作法：

① 将点A向右平移a个单位到A

② 作点B关于直线l的对称点B

③ 连结AB交直线L于点D

④ 过点A作AC∥AD交直线l于点C，连结BD，则线段AC、CD、DB的和最小.点C、D即为所求.

中考链接：

1、（2011年?福州）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax－3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：

y=x+ 对称.

（1） 求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2） 求二次函数解析式；

（3） 过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值.

分析　（1）、（2）略

（3） 点H、B关于直线AK对称，HN+MN的最小值是MB（两点之间线段最短），HN+NM+MK的最小值就转化为MB+MK的最小值（数学模型1②），作点K关于直线AH的对称点Q，BM+MK的最小值是BQ，即：BQ的长是HN+NM+MK的最小值.

2. （2011年?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形.

（1） 直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；

（2） 动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH.设点P的运动时间为t秒.

① 若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；

② 点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最

小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由.

分析：

（1）、（2）① 略

② 连接BP、CH，四边形BPHC是平行四边形，BP=CH，BP+PH+HQ的最小值就转化为CH+HQ的最小值，根据两点之间线段最短，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ最小，即可找出H点，从而找出P点.

3. （2010年?南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点.

（1） 求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2） 以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3） 设直线AB上的点D的横坐标为-1，P（m，n）是抛物线y=ax2+bx+c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积.

分析　（1）、（2） 略

例谈二次函数在闭区间上的最值问题 第12篇

一、求定二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴都确定时, 要将函数式配方, 再根据对称轴和区间的关系, 结合函数在区间上的单调性, 求其最值.

【例1】 已知2x2≤3x, 求函数f (x) =x2-x+1的最值.

解:由已知2x2≤3x, 可得$0\le x\le \frac{3}{2}$, 即函数f (x) 是定义在区间$[0,\frac{3}{2}]$上的二次函数, 将二次函数配方得$f(x)=(x-\frac{1}{2}){}^2+\frac{3}{4}$, 其图象开口向上, 且对称轴方程$x=\frac{1}{2}\in [0,\frac{3}{2}]$, 故$f(x){}_{\max }=f(\frac{3}{2})=\frac{7}{4}‚f(x){}_{\min }=f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}.$

二、求动二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间确定而对称轴变化时, 应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论, 再利用二次函数的示意图, 结合其单调性求解.

【例2】 已知二次函数f (x) =ax2+4ax+a2-1在区间[-4, 1]上的最大值是5, 求实数a的值.

解:将二次函数配方得f (x) =a (x+2) 2+a2-4a-1, 其对称轴方程为x=-2, 顶点坐标为 (-2, a2-4a-1) , 图象开口方向由a决定, 很明显, 其顶点横坐标在区间[-4, 1]上.若a<0, 则函数图象开口向下, 当x=-2时, 函数取得最大值5, 即f (-2) =a2-4a-1=5, 解得$a=2-\sqrt{10}(a=2+\sqrt{10}$舍去) ;若a>0, 则函数图象开口向上, 当x=1时, 函数取得最大值5, 即f (1) =5a+a2-1=5, 解得a=1 (a=-6舍去) .综上讨论, 函数f (x) 在区间[-4, 1]上取得最大值5时, $a=2-\sqrt{10}$或a=1.

三、求定二次函数在动区间上的最值

当二次函数的对称轴确定而区间在变化时, 只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.

【例3】 已知函数f (x) =-x2+8x, 求f (x) 在区间[t, t+1]上的最大值g (t) .

解:函数f (x) =-x2+8x=- (x-4) 2+16, 其对称轴方程为x=4, 顶点坐标为 (4, 16) , 其图象开口向下.

(1) 当顶点横坐标在区间[t, t+1]右侧时, 有t+1<4, 即t<3, 当x=t+1时, g (t) =f (t+1) =- (t+1) 2+8 (t+1) =-t2+6t+7.

(2) 当顶点横坐标在区间[t, t+1]上时, 有t≤4≤t+1, 即3≤t≤4, 当x=4时, g (t) =f (4) =16.

(3) 当顶点横坐标在区间[t, t+1]左侧时, 有t>4, 当x=t时, g (t) =f (t) =-t2+8t.

综上,

四、求动二次函数在动区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴均在变化时, 亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论, 并结合其图形和单调性处理.

【例4】 已知y2=4a (x-a) (a>0) , 且当x≥a时, S= (x-3) 2+y2的最小值为4, 求参数a的值.

解:将y2=4a (x-a) 代入S的表达式得S= (x-3) 2+4a (x-a) =[x- (3-2a) ]2+12a-8a2.

S是关于x的二次函数, 其定义域为x∈[a, +∞) , 对称轴方程为x=3-2a, 顶点坐标为 (3-2a, 12a-8a2) , 图象开口向上.若3-2a≥a, 即0<a≤1, 则当x=3-2a时, Smin=12a-8a2=4, 此时a=1或$a=\frac{1}{2}$.若3-2a<a, 即a>1, 则当x=a时, Smin=[a- (3-2a) ]2+12a-8a2=4, 此时a=5 (a=1舍去) .