初三数学函数知识点（精选19篇）

初三数学函数知识点 第1篇

一、函数、方程、不等式

常用的数学思想方法：

⑴数形结合的思想方法。

⑵待定系数法。

⑶配方法。

⑷联系与转化的思想。

⑸图像的平移变换。

二、证明角的相等

1、对顶角相等。

2、角(或同角)的补角相等或余角相等。

3、两直线平行，同位角相等、内错角相等。

4、凡直角都相等。

5、角平分线分得的两个角相等。

6、同一个三角形中，等边对等角。

7、等腰三角形中，底边上的高(或中线)平分顶角。

8、平行四边形的对角相等。

9、菱形的每一条对角线平分一组对角。

10、等腰梯形同一底上的两个角相等。

11、关系定理：同圆或等圆中，若有两条弧(或弦、或弦心距)相等，则它们所 对的圆心角相等。

12、圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。

13、同弧或等弧所对的圆周角相等。

14、弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

15、同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

16、全等三角形的对应角相等。

17、相似三角形的对应角相等。

18、利用等量代换。

19、利用代数或三角计算出角的度数相等

20、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

三、证明直线的平行或垂直

1、证明两条直线平行的主要依据和方法：

⑴、定义、在同一平面内不相交的两条直线平行。

⑵、平行定理、两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。

⑶、平行线的判定：同位角相等(内错角或同旁内角)，两直线平行。

⑷、平行四边形的对边平行。

⑸、梯形的两底平行。

⑹、三角形(或梯形)的中位线平行与第三边(或两底)

⑺、一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。

2、证明两条直线垂直的主要依据和方法：

⑴、两条直线相交所成的四个角中，由一个是直角时，这两条直线互相垂直。

⑵、直角三角形的两直角边互相垂直。

⑶、三角形的两个锐角互余，则第三个内角为直角。

⑷、三角形一边的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形。

⑸、三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。

⑹、三角形(或多边形)一边上的高垂直于这边。

⑺、等腰三角形的顶角平分线(或底边上的中线)垂直于底边。

⑻、矩形的两临边互相垂直。

⑼、菱形的对角线互相垂直。

⑽、平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，或平分弦所对的弧的直径垂直于这条弦。

⑾、半圆或直径所对的圆周角是直角。

⑿、圆的切线垂直于过切点的半径。

⒀、相交两圆的连心线垂直于两圆的公共弦。

四、证明线段的比例式或等积式的主要依据和方法

1、比例线段的定义。

2、平行线分线段成比例定理及推论。

3、平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

4、过分点作平行线;

5、相似三角形的对应高成比例，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

6、相似三角形的周长的比等于相似比。

7、相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

8、相似三角形的对应边成比例。

9、通过比例的性质推导。

10、用代数、三角方法进行计算。

11、借助等比或等线段代换。

初三数学函数几何知识点总结

初三数学函数知识点 第2篇

(1)定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时，也称y是x的函数。

(2)本质：一一对应关系或多一对应关系。

有序实数对平面直角坐标系上的点

(3)表示方法：解析法、列表法、图象法。

(4)自变量取值范围：

对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义;

对于纯数学问题，自变量取值必须保证函数关系式有意义：

①分式中，分母≠0;

②二次根式中，被开方数≥0;

③整式中，自变量取全体实数;

初三数学函数知识点 第3篇

三角函数是一种重要的初等函数, 由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系, 成为研究其他部分知识的重要工具。因此三角函数与其他知识的交汇考查也是近几年高考考查的热点。

本文三角函数与各种数学知识的交汇作一些简单而粗略的论述:

一三角函数与不等式知识的交汇

二三角函数与三角形的基本知识的交汇

三角函数与解析几何知识方面的交汇

四三角函数与函数方程知识的交汇

例4:已知关于x的方程2cos2 (π+x) -sinx+a=0有实数解, 求实数a的取值范围。

解:由2cos2 (π+x) -sinx+a=0, 得2cos2x-sinx+a=0, 即2sin2x+sinx-2-a=0。

令sinx=t (-1≤t≤1) , 则方程2t2+t-2-a=0。

在区间[-1, 1]上有解。

五三角函数与平面向量的交汇

分析:本题考查三角函数与平面向量的综合应用, 利用平面向量的数量积及三角函数诱导公式的应用, 就可以判定出该三角形的形状。

六结束语

在知识的交汇点处命题, 是高考命题的一大热点, 只有对知识交汇点处的知识加以综合运用, 发散思维问题才能迎刃而解。

初三数学函数知识点 第4篇

【关键词】高中数学 函数 有效教学 策略

深化学生对函数知识的掌握，在高中数学课程的教学中非常重要，这部分知识也是重要的数学基础。教师要让学生对函数的概念与性质有良好认知的基础上，深化对学生函数应用能力的培养，要引导大家逐渐利用函数性质来解决很多综合性的复杂问题。这样才能够真正体现函数的应用价值，这也是高效的知识教学的一种直观体现。

一、深化学生对于函数概念的认知

函数课程在高中数学课本中占据着较大的篇章，教师要让函数内容的教学循序渐进的展开。首先，要保障学生们对于各种函数概念形成一定的认知，要让学生对不同的函数的定义有很好的领会。学生们会慢慢接触到各种不同的函数，教师首先要保障大家对每一种函数的概念有较好的理解与掌握，才不会混淆相关的概念，这也是保障学生们对于这部分知识有更好的理解与吸收的前提所在。

教师要尽可能地让概念的教学更为丰富形象，如果只是简单地从文字层面来解释概念，效果并不明显。教师可以将概念融入到具体的问题情境中来深化学生的理解与体会。例如，一学校打算建设矩形围栏，现有栏杆300米，求矩形栏杆的面积S和矩形长度x的关系？在解这一题时，学生会得出解析式为S=x（150-x），但有许多同学会因对函数概念不够熟练而忘记了对长度x定义域的分析，除上述概念以外，还有函数的单调性与定义域、函数的奇偶性与定义域、函数和不等式等概念，这些重要函数概念是学好函数的关键，在教学中教师应重视相关函数概念的教学。

二、让学生对函数性质有更好的应用

函数教学中，不仅要让学生们对不同函数的概念有准确把握，还要让学生们对于每一种函数的性质有深刻认知，这同样是教学中很重要的一个任务。对于函数性质的理解与掌握是这部分知识的教学中很重要的一项内容，这也是让学生能够灵活的应用函数来解决实际问题的基础。随着学生们接触的函数种类的不断增多，大家很容易将函数的性质弄混淆。教师可以透过一些灵活的教学模式，帮助学生更好的进行函数性质的区分。无论是对于函数的对比教学，还是在实际问题的解答中，深化大家对于函数性质的领会，这些方法都会起到很好的教学效用。

函数的性质主要有单调性、周期性、奇偶性及函数图象的性质，教师在重视函数概念教学的同时，也应当适当对这些性质作出一定的归纳和总结，让学生有条理性的理解这些性质。教师还可以就一些学生们容易混淆的内容进行有针对性的对比教学，这不仅能够帮助学生梳理自己的思路，这也能够避免知识间的混乱。此外，教师应重视“一题多解”教学，让学生在同一个问题中应用到多个函数性质。如在解决一些关于解方程、解不等式、值域的题目时，可以通过函数模型利用单调性解题，同一个问题同样也可以利用函数的周期性、奇偶性解题，这充分体现了函数性质在解决实际问题时可以发挥的功效，这个教学过程也能够避免学生对性质间的相互混淆，进而深化学生对于知识的理解与掌握。

三、对于数学思想方法的灵活渗透

函数性质能够在很多实际问题的解答中起到非常积极的效用，和函数有关的一些经典的数学思想，也是函数教学中学生们应当深化掌握的知识点。函数的知识在高中数学课本中更像是一个非常实用的工具，由之衍生出的各种数学思想在很多实际问题的解答中也能够发挥很好的效用。教师要有意识的在数学课堂上深化这些思想方法的教学，要让学生们更灵活地应用学到的知识点。这不仅能够促进学生解题能力的全面提升，也是学生数学素养的一种良好体现。

初三数学函数知识点 第5篇

1、勾股定理:直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。

2、如下图,在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角,则∠ A 的锐角三角函数为(∠ A 可换成∠ B :

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦

值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切 值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要 A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得 由 B A 对 边 邻边 C A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得 由 B A

6、正弦、余弦的增减性: 当 0°≤ α≤ 90°时, sin α随 α的增大而增大, cos α随 α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性: 当

0°<α<90°时, tan α随 α的增大而增大, cot α随 α的增大

而减小。

1.若α为锐角,则 0__sin α__1;0__cos α__1.2.已知 cosA=23 ,且∠ B=900-∠ A ,则 sinB=__ 3.计算: 2sin450-21 cos600= __ 4.计算: 2sin450-3tan600= __ 5.计算:(sin300+tan450 ·cos600= __ 6.若 0<α<900, sin α=cos600,则 tan α= __ 7.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, ∠ A=300,则 sinA+sinB=(A.1;B.23 1+;C.22 1+;D.41 8.已知 sinA=21(∠ A 为锐角 ,则∠ A=_________, cosA___, tanA=__________.9.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, AC=4, BC=3,则 sinA=(A.43;

B.34;C.53;D.54.10.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, sinA=22 ,则 cosB 的值是(A.21;B.2;C.1;D.22 11.当锐角 A>450时, sinA 的值(A.小于 22;B.大于 22;C.小于 2 D.大于 23 12.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ,圆心距为 6cm ,则这两圆 的位置关系是(A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 13.⊙ O 的半径为 5,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,则直线 l 与⊙ O 的位置关系是(A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确 定

14.在平面直角坐标系中,以点(2, 3为圆心, 2为半径的圆 必定(A.与 x 轴相离、与 y 轴相切 B.与 x 轴、y 轴都相离 C.与 x 轴相切、与 y 轴相离 D.与 x 轴、y 轴都相切 15.一条弧所对的圆心角是 90 ,半径是 R ,则这条弧的长是.16.若弧 AB 的长为所对的圆的直径长, 则弧 AB 所对的圆周角的 度数为 17.扇形的周长为 16,圆心角为 360 ,则扇形的面积是(A.16 B.32 C.64 D.16π

18.一个扇形的半径等于一个圆的半径的 2倍, 且面积相等.求 这个扇形的圆心角.19.半径为 6cm 的圆中, 60 的圆周角所对的弧的弧长为.20.半径为 9cm 的圆中, 长为 12cm π的一条弧所对的圆心角的度 数为.21.如图, A 是⊙ O 外一点, B 是⊙ O 上一点, AO• 的延长线交⊙ O 于点 C ,连结 BC ,∠ C =22.5°,∠ A=45°。求证:直线 AB 是⊙ O 的切线。

怎么才能学好初三的数学函数 第6篇

学习每一种函数，都要深刻理解其概念。数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明概括及反映，它是数学学科的精髓和灵魂，是学生进行计算、解题、证明的依据，也是培养学生思维能力的良好素材，因此函数的概念非常重要。

很多数学概念都是由生产、生活的实际问题抽象出来的，有些是由数学自身的发展与需要产生的，还有许多源于生活实际，概念的学习应联系实际生活。

二、数形结合是学好函数知识的有效方法

对于初中学生来说学习了三种函数：1.一次函数;2.反比例函数;3.二次函数。学习每一种函数都要求学生熟记每一种函数的图象，有利于对函数性质的掌握。对于一次函数，形如y=kx+b(k、b为常数且k≠0)，它的图象是一条直线，让学生明确b是图象与y轴交点的纵坐标，特别地，当b=0时是过原点的直线。当k>0时，图象由左向右上升，当k<0时，图象由左向右下降，由图象可知，y与x的增减变化情况及k与b的取值情况。反过来，知道了k与b的取值，就可以确定图象的大致位置。

三、加强与实际生活的联系

初三数学二次函数的解题方法 第7篇

图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢?解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。

1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____

分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。

2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。

二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。

分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x轴对称，a值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4;若关于y轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。

3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。

例3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________

初三数学函数知识点 第8篇

“锐角三角函数”是北师大版九年级下册第一章的内容甘肃地区考卷分值在12—16分,本知识点考查分为两类:第一类,特殊角的三角函数的识记;第二类,用三角函数解决现实生活中的问题.相比较初中所学的其他函数,三角函数相对简单,大部分同学对于第一类考题能轻易解答,少数同学出错主要在于对三角函数概念理解不到位, 对锐角三角函数不能对号入座, 第二类主要在于对实际问题没办法抽象为几何中直角三角形的有关问题.因此,针对中考试题研究分析,总结出三角函数知识点出题的特点和规律, 期待能预测今后本知识点考查的方式.

2.研 究方法

以14套中考题为研究对象,从题量分布,题型分布,所占分值,与其他知识点的联系,蕴含的数学思想方法,考察目的进行分析,期待能总结出考查的特点,规律,以及解答此类题的技巧,并能预测今后考查的方向.

3.研究结果的分析讨论

3.1题 量分布 ,题型分布 ,所占分值.

从题量分布来看,14套中考题中,涉及本知识点的考题共有29道,2012年题量在1—2道 ,2013年有四套 题都涉及 了两题,兰州卷涉及3题,2014年3套试题涉及2题,兰州卷和通用卷都涉及3道,说明题量稳重有所增加.预测今后甘肃地区本知识点还是以两道题进行考查.

从题型分布来看,2013、2014两年10套卷子有9套卷子以计算题和解答题考查,2014年天水卷以解答题考查,2012年兰州卷和通用卷用计算题和解答题考查,其余2套卷子只是出现在解答题的某一问中考查.除此之外,近三年兰州卷都用选择题对本知识点进行了考查,2014年通用卷用填空题进行了考查.预测今后主要还是以计算题和解答题为主进行考查.

从所占分值来看,2012年分值在10到15分之间,2013年分值在13到18分之间,2012年分值在13到18分之间,预测今后所占分值在15分左右.

3.2两类重点题型的考查形式与解答技巧

第一类:计算题.

例1(2013·甘肃通用卷)(本题6分)

(1)计算

(2014·兰州)(本题5分)

(1)计算

计算题是特殊角的三角函数和实数的运算,包括立方,开方,零次幂,负指数幂,绝对值,以及乘法运算结合起来考查这类题很容易丢分,需要考生对以上知识点都要熟知,而且要仔细,不能眼高手低,对学生的要求比较高,建议做两遍保证得分.熟记特殊角的三角函数值.

对于实数的相关运算,涉及以下6个方面,具体见表1.

第二类:解答题..

例2(2014·兰州24)本题8分如图,在电线杆上的C处引拉tanα31槡3线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).

解:过点A作AH⊥CD,垂足为H,

由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,

答:拉线CE的长为米.

此题主要 考查解直 角三角形 的应用. 要求学生 借助仰角关系构造直角三角形, 并结合图形利用三角函数解直角三角形.

例3(2012·兰州22)本题8分在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度,如图(1),虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高;如图(2),设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角θ1减至θ2,这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2,已知d=4m,∠θ1=40°,∠θ2=36°,求楼梯占用地板增加的长度(计算结果精确到0.01m,参考数据:tan4=0.839,tan36°=0.727).

解:由题意可知可得,∠ACB=∠θ1,∠ADB=∠θ2

答:楼梯占用 地板的长 度增加了0.62米.

此题主要考查了解直角三角形中坡角问题, 根据图像构建直角三角形, 进而利用锐角三角函数得出d2的值是解题关键.

这类题考查锐角三角函数的实际应用,解此类问题时,往往需先将实际问题抽象成数学问题,建立数学模型,再根据解直角三角形的有关知识进行求解, 正确作出辅助线也是解题的关键,然后将题目中的信息转化为数学文字,并将所得信息转化为直角三角形的边和角, 利用解直角三角形的方法进行求解.

解答题主要和以下知识点结合考查:(1)仰角俯角问题(2)方位角问题 ;(3)坡度坡角问题 ;(4)测量问题等.

3.3蕴含数学思想与考查目的

(1)在探索直角三角形中边角之间关系 ,以及特殊角的三角函数的过程中,发展观察、分析、解决问题的能力.

(2)能够解决与直角三角形有关的实际问题 ,把实际问题转化为数学问题,形成模型思想,培养分析问题和解决问题的能力.

(3)体会数形之间的联系 ,学会利用数学结合 ,从特殊到一般,转化等数学思想分析和解决问题.

(4)在实际生活中 ,学会利用本知识点解决问题 ,培养学生的数学应用能力.

4.结 语

三角函数是甘肃省中考必考内容之一, 主要以计算题和解答题这两类题型为主, 也可能在某一道解答题的某一问题来考查,分值在15分左右,题目难度适中.主要考查学生对特殊角三角函数的识记,以及三角函数的实际应用.今后还是以计算和解答两类题型为主进行考查,分值还是在15分左右,与我们的生活热点问题相结合.

摘要：为了解甘肃地区中考数学对“锐角三角函数”知识点出题的特点和规律,并以此预测今后本考点考查的形式,采用内容分析法,以2012—2014年甘肃省14套中考题为研究对象,对本知识点所占分值,题量设置,与其他知识点的联系,重点题型的解题技巧,所蕴含的数学方法,以及考查目的进行了分析.结果表明,在中考数学中本知识点以多种题型进行考查,主要考查特殊角的三角函数,以实际生活中的实例为载体考查学生解决问题的能力,主要方法是建立数学模型,蕴含的数学思想,数形结合,转化思想.

初三函数复习浅议 第9篇

1.函数是初中数学中重要的基础知识，属于初中数学的主体知识之一。它既是初中代数的终结，又是高中代数和解析几何的基础；函数思想贯思考和解决数学问题的重要思想，对分析和解决各种数学问题和实际应用问题具有重要的作用。融汇了配方法，换元法，待定系数法，反证法，数形结合，分类讨论，等价转化等数学方法，函数方法灵活多变，综合性很强，主要考察逻辑思维及分析和解决问题的能力。因此函数在中考试题中有重要的地位，是历届各地中考的重要考点，约占总分的20%～30%。

2.近年来的考试卷对函数的考查非常重视，有基本知识层面的，也有能力层面上的，更有创新层面上的如新定义的函数，新情境问题，函数本质的挖掘等。

3.初三函数复习不应是简单的知识重复，而是再认识，再提高的过程。复习中的最大矛盾是时间短，内容多，要求高，这就要求在上复习课时既要做到突出重要点，抓住典型，又能在高度概括中深刻揭示知识的内在联系，使学生在掌握规律中理解，记忆，熟练，提高。

二、复习建议

1.紧密联系教材，建立知识体系

从中考角度看，基础部分通常是课本题目的、变形、组合或引申。所以第一轮复习时，一定要深钻教材，通读函数的各个知识点。并分解成○1变量与函数，○2是一次函数与反比例函数和二次函数三大块。从而让学生在熟悉地基础上形成知识体系！

2.阐明知识系统，掌握内在联系

知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志。函数概念与性质是环环相扣，紧密相连，互相制约的，并形成了一个有序的网络化的知识体系，这就要求我们在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式、例题，只有这样，学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的，记忆才是鲜明的、牢固的、生动的，应用起来才是灵活的、广泛的。

3.注重数形结合，关注形象思维

数形结合是解决数学问题的重要思想方法之一，正是坐标系的建立，才使得用代数方法研究几何成为现实，函数不仅是以数论形的有利工具，而且函数本身又是数形结合的典范，尤其是函数、方程、不等式间的相互转化集中体现了函数与方程和数形结合的思想，何况函数与方程的相互转化常会起到化难为易、化繁为简的功效。 所以在函数复习中对此应该给予高度重视。

4.渗透数学思想，提升思维品质

“问题是数学的心脏，思想方法是数学的灵魂”，数学教育本身的任务之一就是理论思维、抽象能力的教育，教师的一切数学教育活动就是要培养学生认识真理，发现真理的能力，让学生在数学学习活动中学到以理服人，以理驭万物的本事；函数本身蕴函着丰富的辩证思想，十分有利于学生从变化发展中去认识事物的本质，进而让学生体会到思辨的乐趣。

数学思想是以具体的知识为依托的，在复习教学中，要重视知识的形成过程，着重研究解题的思维过程，有意识的渗透思想方法，使学生从更高层次去领悟，去把握，去反思数学知识，增强数学意识，提高数学能力。

5.精讲精练，以少胜多

例如、某公司生产A产品，成本2元，售价3元，年销售100万件。根据经验，如果每年投人x万元广告费，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是X的二次函数，它们的关系如下表：

■

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S与广告费 的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10到30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

初三数学二次函数的教学设计 第10篇

1、能列出实际问题中的二次函数关系式;

2、理解二次函数概念;

3、能判断所给的函数关系式是否二次函数关系式;

4、掌握二次函数解析式的几种常见形式.

从实际问题中感悟变量间的二次函数关系，揭示二次函数概念.学生经历观察、思考、交流、归纳、辨析、实践运用等过程，体会函数中的常量与变量，深刻领悟二次函数意义.

情感态度

使学生进一步体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力。

教学重点

理解二次函数的意义，能列出实际问题中二次函数解析式

教学难点

能列出实际问题中二次函数解析式

教学过程设计

一、情境引入

播放实际生活中的有关抛物线的图片，概括性的介绍本章.

二、探究新知

㈠、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系：

1.正方体的棱长是x，表面积是y,写出y关于x的函数关系式;

2.n边形的对角线条数d与边数n有什么关系?

3.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都必上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?

㈡观察所列函数关系式，看看有何共同特点?

㈢类比一次函数和反比例函数概念揭示二次函数概念：

初三数学函数知识点 第11篇

2.D 解析：把抛物线 向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 .

点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.

3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为 ,∴ 这条抛物线的顶点坐标为 .观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，∴ .

4.A 解析：把 配方，得 .∵ -1 0,∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线 ,∴ 当 1时， 随 的增大而增大.

5. B 解析：顶点为 当 时， 故图象顶点在直线 上.

6.C 解析：令 ，得

7.D 解析：由题意可知 所以 所以当

8.B 解析：因为当 取任意实数时，都有 ,又二次函数的图 象开口向上，所以图象与 轴没有交点，所以

9.B 解 析:由图象可知 .当 时， 因此只有①③正确.

10. D解析：因为二次函数与 轴有两个交点，所以 .(1)正确.抛物线开口向 上，所以 0.抛物线与 轴交点在 轴负半轴上，所以 .又 , (2)错误.(3)错误.由图象可知当 所以(4)正确.由图象可知当 ,所以(5)正确.

11.③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.

设 点A的坐标为( , ),点B的坐标 为( ).

不妨设 ,解 方程组 得 ∴ ( ,- ),B(3,1).

此时 , ,∴ .而 =16,∴ ≠ ,∴ 结论①错误.

当 = 时， 求出A(-1,- ),B(6,10),

此时 ( )(2 )=16.

由① 时， ( )( )=16.

比较两个结果发现 的值相等.∴ 结论②错误.

当 - 时，解方程组 得出A(-2 ，2),B ( ，-1),

求出 12, 2, 6,∴ ,即结论③正确.

把方程组 消去y得方程 ,∴ , .

∵ = ?| | OP?| |= ×4×| |

=2 =2 ,

∴ 当 时， 有最小值4 ，即结论④正确.

12.11 解析：

把它向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得

即 ∴

∴∴

13.-1 解析：故

14. 0 解析：根据二次函数的定义，得 ，解得 .又∵ ，∴ .∴ 当 时，这个函数是二次函数.

15.解析：

16.左 3 下 2 解析：抛物线 是由 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的.

17. (答案不唯一) 解析：由题意可知 要想抛物线与 轴的一个交点在(1,0)和(3，0)之间，只需 异号即可，所以

18.解析：把(-1，0)和(0，-1)两点代入 中，得

， ，∴ .

由图象可知，抛物线对称轴 ，且 ，∴ ，∴ .

∴

= ,故本题答案为 .

19.解:∵ 抛物线的顶点为 ∴ 设其解析式为 ①

将 代入①得 ∴

故所求抛物线的解析式为 即

20.(1)证明：∵

∴∴ 方程 有两个不相等的实数根.

∴ 抛物线 与 轴必有两个不同的交点.

(2)解:令 则 解得

21. 分析：(1)求出点A或点B的坐标，将其代入 ，即可求出a的值;

(2)把点 代入(1)中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用 求△BCD的 面积.

解：(1)∵ ,由抛物线的对称性可知 ,

∴ (4,0).∴ 0=16a-4.∴ a .

(2)如图所示，过点C作 于点E，过点D作 于点F.

∵ a= ,∴ -4.当 -1时，m= × -4=- ,∴ C(-1,- ).

∵ 点C关于原点O的对称点为点D，∴ D(1, ).∴ .

∴ ×4× + ×4× =15.

∴ △BCD的面积为15平方米.

点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.

22.(1)解：∵ 二次函数 的对称轴是 ，

∴ ,解得

经检验 是原方程的解.

故 时，二次函数 的对称轴是 .

(2)证明：①当 时，原方程变为 ，方程的解为 ;

②当 时，原方程为一元二次方程， ，

当 方程总有实数根，∴

整理得，

∵ 时, 总成立,

∴ 取任何实数时，方程 总有实数根.

23.解:(1)∵ 抛物线与 轴有两个不同的交点，∴ >0，即 解得c < .

(2)设抛物线 与 轴的两交点的横坐标为 ，

∵ 两交点间的距离为2，∴ .由题意，得 ,解得 ,

∴ ， .

24.解:(1)当 时, .

(2)当 时, ,

∴ 用8分钟与用10分钟相比 ,学生的接受能力减弱了;

当 时, ,

初三数学上册期中二次函数测试题 第12篇

1、 A2、售价为35元时，在半月内可获得最大利润3、（1）（2）

（3）4、①略 ②4倍5、（1）y= 2x 2-2ax+a2(2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.

运用三角函数知识解高考题 第13篇

例1 (2007年四川理11)如图1,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1、 l2、l3上,则△ABC的边长是()

解:过B作三条平行直线的垂线,如,图1所示,则有

即

将①代入②,可得

①2+③2,得,即.

故,选(D).

例2 (2008年重庆理4)已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为()

(A)(B)(C)(D)

解:由,可设(0°≤θ≤90。),则.由0°≤θ≤90°,得45°≤θ+45°≤135°,

从而.

故,选(C).

例3 (2008卷Ⅰ10)若直线通过点M(cosα,sinα),则()

解:由题意,有,即

所以

因为|sin(θ+φ)|≤1,

所以

平方后可得,选(D).

例4 (2008年江苏21C)在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆上的一个动点,求s=x+y的最大值.

解:已知椭圆的参数方程为

当θ=30°时,smax=2.

例5 (2009年全国卷Ⅰ理6)设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为()

解:依题意,可设a=(1,0),b=(0,1),c=(cosθ,sinθ).于是

故选(D).

例6 (2009年全国卷Ⅱ理16)已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为______.

解:如图2,设∠OME=θ,则.

所以BD=2BE

例7 (2009年安徽理14)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,如图3所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动,若,其中x、y∈R,则x+y的最大值是______.解:如图3建立平面直角坐标系,则

设∠AOC=θ,则.

所以(cosθ,sinθ)

所以并且有x,y∈R+.

故(x+y)max=2,填2.

例8 (2009年浙江理17)如图4,在长方体ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是______.

解:因为平面ABD⊥平面ABC,DK⊥AB,所以DX⊥平面ABC.

作KH⊥AF于H,连结DH,由三垂线定理有DH⊥AF.

设∠BAF=θ,由折之前的图形有tan∠BAC

在Rt△AHK中,KH=tsinθ,AH=t·cos△;在Rt△AHK中,AD=1,∠DAH=90°-θ,

所以DH=ADsin(90°-θ)=cosθ.

在Rt△ADK与Rt△DKH中,

故,填(,1).

初三数学函数知识点 第14篇

初中数学函数知识点 第15篇

4、一次函数y=kx+b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.

一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：(0，b)，(-k/b，0).即横坐标或纵坐标为0的点。

初中数学函数知识点 第16篇

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得

到(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)

6、正比例函数和一次函数及性质

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;

(3)解方程得出未知系数的值;

高一数学函数知识点 第17篇

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;

5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );

8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

浅谈高考三角函数知识的复习 第18篇

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。三角函数在高考试卷中占据了至少20分, 并且三角函数一般都比较简单, 是考试中最容易取得分数的知识点。因此, 三角函数的解题在高考总复习中应当得到教师的充分重视。针对这种情况, 笔者就高考复习阶段如何复习三角函数做出一定的解析, 希望给学生以及同仁们提供借鉴。

一、掌握数学三角函数公式是学好三角函数知识的基础

要学好三角函数必须要将函数的公式烂熟于心, 能够做到信手拈来。众所周知, 高中数学教学中, 三角函数的公式最多, 限制条件也多。但是, 不可否认的是, 三角函数的题目也相对较为简单。因此, 就应当引导同学们积极记住相关的公式, 当然公式仅仅记住是不管用的, 记住了却把它束之高阁是不能解决问题的, 因此就要将所学的公式付诸应用。在记忆公式方面没有什么固定的窍门, 但是教师可以引导学生通过象限来记忆公式, 将公式的推导过程向同学们解释清楚, 这样使学生做到“知其然, 知其所以然”, 这样必然利于同学们掌握公式, 学以致用。

二、利用图形解题是解决三角函数题型的关键

在三角函数的解题过程中, 题和图是不分家的, 二者相辅相成、相得益彰。题目若是解决不了, 画个图形往往能收到意想不到的效果。在实际的教学工作中, 我们不难发现, 作图往往是解决三角函数问题的一个重要突破口。当然, 我们知道, 三角函数也往往以图形的形式进行设题, 考察同学们题图结合的综合能力。事实证明, 只有将题和图掌握得都很好的同学, 才能又好又快地解决这类问题。

三、解决三角函数问题, 举一反三是学习的重要着力点

我们知道, 在三角函数的教学过程中, 出题人出题的突破点往往就是几个而已, 不会有太大的突破, 变化大多是数据或者顺序。针对三角函数出题万变不离其宗的特点, 教师就应当引导学生们总结出三角函数出题的特点, 这样不管题目如何变化, 学生总能从这种变化中找出教师帮助同学们总结出的模板, 这样学生们就可以轻易地取得分数。例如下题:

求:的最大值, 并求出相应的α、β的值。

根据题意, 我们就可以求解了。

这样以后同学们再遇到这样的问题, 就会很容易地解出来。

四、准备错题本, 随时纠错

在数学教学中, 千万不要忽略错题的重要作用, 错题反映了学生数学学习中的薄弱环节, 教师要让学生准备一些错题本, 准备纠错。纠错本并不是纠完错就可以放在一边了, 教师应当时时敦促学生们翻看纠错本, 从错题中找到自己的软肋, 做到温故知新。这样, 学生们就能够在重新遇到相似问题时正确而又快速地解答出来, 做到更加游刃有余地掌握三角函数的知识。

“锐角三角函数”的几个知识点 第19篇

知识点1 特殊角的三角函数值

（1） 30°角的三角函数值

求30°角的三角函数值，关键是利用“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”这一特征. 例如设30°角的对边为1，则斜边为2，可求得30°角的邻边为，如图1所示，由此可以求出30°角的三角函数值.

（2） 60°角的三角函数值

求60°角的三角函数值，可利用求30°角的三角函数值的三角形. 如图1所示，此时30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，由此可求出60°角的三角函数值.

（3） 45°角的三角函数值

求45°角的三角函数值，关键是利用 “含45°角的直角三角形是等腰三角形”这一特征. 例如设一条直角边为1，则另一条直角边也为1，斜边为，如图2所示，由此可求出45°角的三角函数值.

知识点2 解直角三角形的概念

在直角三角形中由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素. 这两个元素主要包括：一边一锐角（一条斜边和一个锐角或一条直角边和一个锐角）；两边（一条斜边和一条直角边或两条直角边）.

如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，c=5，如何求∠B、a和b呢？

由∠A+∠B=90°，∠A =50°，得∠B=90°-∠A=40°. 由sinA=，得a=c·sinA=5×sin50°≈5×0.766≈3.83. 由cosA=，得b=c·cosA=5×cos50°≈5×0.642 8≈3.21.

上述问题中，我们除直角外，已知一条边和一个锐角，可以求未知的另两条边和一个锐角.

解直角三角形过程中常用知识如下：

在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.

（1） 三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.

（2） 锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

（3） 边角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA=；sinB=，cosB=，tanB=.

（4） 直角三角形的有关定理：

①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

③射影定理：如图4所示，则有：

CD2=AD·DB，AC2=AD·AB，CB2=BD·BA.

④面积公式：如图4所示，则有：S△ABC=CA·CB=AB·CD.

知识点3 锐角三角函数应用中的几个重要概念

（1） 仰角、俯角：如图5所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA、OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角；把视线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角. 进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角.

（2） 坡角、坡度：如图6所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角.

一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h∶l，坡度通常写成1∶m的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. 于是i==tanα，显然，坡度越大，坡面就越陡.

（3） 方位角、方向角

方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角. 如图7所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角.

如图7所示，目标方向OA表示的方位角是50°，目标方向OB表示的方位角是110°，目标方向OC表示的方位角是250°.

方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角. 如图8所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角.

如图8所示，目标方向OA表示的方向角是北偏东35°，目标方向OB表示的方向角是南偏东75°，目标方向OC 表示的方向角是南偏西45°，也称西南方向，目标方向OD表示的方向角是北偏西40°.

（作者单位：苏州市工业园区星湾学校）

锐角三角函数是计算线段长度和角度的大小的重要工具，也是联系数与代数、空间与图形知识体系的纽带. 同时，在涉及测量、航海等实际问题时，利用锐角三角函数构造数学模型也体现了数学中的建模思想、转化思想和数形结合思想. 在中考中，这部分知识若与相似形、方程、函数、圆的知识相结合，会形成具有一定难度的综合题. 现将本章涉及的重要知识点透析如下：

知识点1 特殊角的三角函数值

（1） 30°角的三角函数值

求30°角的三角函数值，关键是利用“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”这一特征. 例如设30°角的对边为1，则斜边为2，可求得30°角的邻边为，如图1所示，由此可以求出30°角的三角函数值.

（2） 60°角的三角函数值

求60°角的三角函数值，可利用求30°角的三角函数值的三角形. 如图1所示，此时30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，由此可求出60°角的三角函数值.

（3） 45°角的三角函数值

求45°角的三角函数值，关键是利用 “含45°角的直角三角形是等腰三角形”这一特征. 例如设一条直角边为1，则另一条直角边也为1，斜边为，如图2所示，由此可求出45°角的三角函数值.

知识点2 解直角三角形的概念

在直角三角形中由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素. 这两个元素主要包括：一边一锐角（一条斜边和一个锐角或一条直角边和一个锐角）；两边（一条斜边和一条直角边或两条直角边）.

如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，c=5，如何求∠B、a和b呢？

由∠A+∠B=90°，∠A =50°，得∠B=90°-∠A=40°. 由sinA=，得a=c·sinA=5×sin50°≈5×0.766≈3.83. 由cosA=，得b=c·cosA=5×cos50°≈5×0.642 8≈3.21.

上述问题中，我们除直角外，已知一条边和一个锐角，可以求未知的另两条边和一个锐角.

解直角三角形过程中常用知识如下：

在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.

（1） 三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.

（2） 锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

（3） 边角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA=；sinB=，cosB=，tanB=.

（4） 直角三角形的有关定理：

①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

③射影定理：如图4所示，则有：

CD2=AD·DB，AC2=AD·AB，CB2=BD·BA.

④面积公式：如图4所示，则有：S△ABC=CA·CB=AB·CD.

知识点3 锐角三角函数应用中的几个重要概念

（1） 仰角、俯角：如图5所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA、OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角；把视线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角. 进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角.

（2） 坡角、坡度：如图6所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角.

一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h∶l，坡度通常写成1∶m的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. 于是i==tanα，显然，坡度越大，坡面就越陡.

（3） 方位角、方向角

方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角. 如图7所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角.

如图7所示，目标方向OA表示的方位角是50°，目标方向OB表示的方位角是110°，目标方向OC表示的方位角是250°.

方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角. 如图8所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角.

如图8所示，目标方向OA表示的方向角是北偏东35°，目标方向OB表示的方向角是南偏东75°，目标方向OC 表示的方向角是南偏西45°，也称西南方向，目标方向OD表示的方向角是北偏西40°.

（作者单位：苏州市工业园区星湾学校）

锐角三角函数是计算线段长度和角度的大小的重要工具，也是联系数与代数、空间与图形知识体系的纽带. 同时，在涉及测量、航海等实际问题时，利用锐角三角函数构造数学模型也体现了数学中的建模思想、转化思想和数形结合思想. 在中考中，这部分知识若与相似形、方程、函数、圆的知识相结合，会形成具有一定难度的综合题. 现将本章涉及的重要知识点透析如下：

知识点1 特殊角的三角函数值

（1） 30°角的三角函数值

求30°角的三角函数值，关键是利用“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”这一特征. 例如设30°角的对边为1，则斜边为2，可求得30°角的邻边为，如图1所示，由此可以求出30°角的三角函数值.

（2） 60°角的三角函数值

求60°角的三角函数值，可利用求30°角的三角函数值的三角形. 如图1所示，此时30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，由此可求出60°角的三角函数值.

（3） 45°角的三角函数值

求45°角的三角函数值，关键是利用 “含45°角的直角三角形是等腰三角形”这一特征. 例如设一条直角边为1，则另一条直角边也为1，斜边为，如图2所示，由此可求出45°角的三角函数值.

知识点2 解直角三角形的概念

在直角三角形中由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素. 这两个元素主要包括：一边一锐角（一条斜边和一个锐角或一条直角边和一个锐角）；两边（一条斜边和一条直角边或两条直角边）.

如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，c=5，如何求∠B、a和b呢？

由∠A+∠B=90°，∠A =50°，得∠B=90°-∠A=40°. 由sinA=，得a=c·sinA=5×sin50°≈5×0.766≈3.83. 由cosA=，得b=c·cosA=5×cos50°≈5×0.642 8≈3.21.

上述问题中，我们除直角外，已知一条边和一个锐角，可以求未知的另两条边和一个锐角.

解直角三角形过程中常用知识如下：

在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.

（1） 三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.

（2） 锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

（3） 边角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA=；sinB=，cosB=，tanB=.

（4） 直角三角形的有关定理：

①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

③射影定理：如图4所示，则有：

CD2=AD·DB，AC2=AD·AB，CB2=BD·BA.

④面积公式：如图4所示，则有：S△ABC=CA·CB=AB·CD.

知识点3 锐角三角函数应用中的几个重要概念

（1） 仰角、俯角：如图5所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA、OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角；把视线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角. 进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角.

（2） 坡角、坡度：如图6所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角.

一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h∶l，坡度通常写成1∶m的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. 于是i==tanα，显然，坡度越大，坡面就越陡.

（3） 方位角、方向角

方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角. 如图7所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角.

如图7所示，目标方向OA表示的方位角是50°，目标方向OB表示的方位角是110°，目标方向OC表示的方位角是250°.

方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角. 如图8所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角.

如图8所示，目标方向OA表示的方向角是北偏东35°，目标方向OB表示的方向角是南偏东75°，目标方向OC 表示的方向角是南偏西45°，也称西南方向，目标方向OD表示的方向角是北偏西40°.