对数与对数运算教案（精选9篇）

对数与对数运算教案 第1篇

对数与对数运算

（三）课

型：新授课 教学目标：

能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题，加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力． 教学重点：用对数运算解决实践问题.教学难点：如何转化为数学问题 教学过程：

一、复习准备：

1.提问：对数的运算性质及换底公式？

2.已知 log23 = a，log37 = b, 用 a, b 表示log4256 3.问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？

（答案：12(10.0125)14 →1.01257→ xlg7lg612.4）

xx6lg1.012

5二、讲授新课：

1.教学对数运算的实践应用：让学生自己阅读思考P67~P68的例5，例6的题目，教师点拨思考：

① 出示例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：MlgAlgA，其中A是被测地震的最大振幅，A是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；

（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）② 分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？

③ 出示例2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个

00

时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：

（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？

④分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想

⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？

结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数P(57301)x；

21、例题选讲

例

1、已知：log188a,18b5,求log3645（用含a，b的式子表示）

例

2、计算log21log31log51

2589

例3，已lgxlgy2lg(x2y)求logx2y的值

三、巩固练习： 1.计算： 51log0.23；

log43log92log4132

22.我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？.P68、4

四、小结： 初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现象

五、作业P749、11、12 后记：

对数与对数运算教案 第2篇

授课人：

吴艳云

地点：高一（17）

时间：2012/10/17 课题：2.2.1对数与对数运算（3）教学目标

1.知识与技能：推导对数换底公式，培养学生分析、综合解决问题的能力，培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度。

2.过程与方法：让学生经历推导对数换底公式的过程，归纳整理本节所学知识。

3.情感态度与价值观：通过对数运算法则，对数换底公式的学习，培养学生探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用。

重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式 教学过程

一、情景设置

（1）对数的运算性质公式有哪些？

（2）y13(1001)x（人口增长问题），当y18时，x是多少？

二、换底公式

logab= logcblogcaa(a>0且a1,c>0且c1,b>0)证明：设

logb=，则ab，两边取以c为底的对数可得：

logcalogb，即logalogb

ccc

logcblogclog即logbalogaccba

通常取以10为底，或者取e为底

三、换底公式的应用

1解决情景（2）

2求证下列等式（1）logab=3例题讲解

m1m（2）lognb=logb

aanlogba例1 求下列各式的值

（1）log89log

32（2）

3logablogclogdloga

bcdlg9lg32lg32lg252lg35lg210解：（1）原式= 3lg8lg3lg2lg33lg2lg33

（2）原式=

练习求lgblgclgdlga1 lgalgblgclgdlog225log4log9的值

35实际问题的应用 例2（教材例5）

解：（1）lg20lg0.001lg20lg103lg2034.3

答：这是一次约为4.3级的地震（2）设5级、7.6级地震的最大振幅分别为

、

125lg1lg02.6lg2lg12.6lg2102.6

则7.6lg2lg01



212102.6398

答：7.6级地震的最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍。

1例3（教材例6）

解：设生物机体内碳14的含量为1，经过一年后的残留量为x，经t年后残留量为76.7％

57301(1)x 则 2tx0.767(2)由（1）得x1215730代入(2)得

12t57300.767

即

tlog10.767 57302t5730log10.76757302lg0.7672193 1lg2所以王堆古墓是近2200年前的遗址。

四、对数恒等式

（1）xlogax（a>0且a1，xＲ）任何一个实数x都可以表示成对数形式 a（2）axloga（a>0且a1，>0）任何一个正实数都可以表示成指数形式

求下列各式中的x

1（1）（2）logx（3）log1x3

2321log113解：（1）xlog12

333x2

（2）（3）两题由学生预习教材70—72页之后完成

五、小节：1学习换底公式及推导公式和对数恒等式 会用换底公式解决实际问题

六、作业不置：

对数与对数运算教案 第3篇

教材内容整合遵循的基本原则有两条，一是联系性原则，二是统筹性原则．下面简单谈谈这两条原则在教学实践中的运用．

一、联系性原则

从知识逻辑联系的角度看教材内容整合的必要性．两部分内容的联系点就是指数(运算)与对数(运算)的互逆关系．从直观性看，直接通过指数与对数各组成部分的对比，给出对数定义，指数中底数、指数、幂与对数中底数、真数、对数的概念一目了然．教材在2.2.1“对数与对数运算”中就使用了这种设计．从细节性看，从指数与对数的相互关系出发，利用指数与指数运算的相关性质，可以逐一推导出对数和对数运算的相关性质以及对数的换底公式．对数的难度在于学生对其概念的陌生，捅破入门这层窗户纸的关键就在于，充分利用指数与对数的关系，运用指数的相关知识，得出对数的相关知识．只要在教学中严格要求学生把每一种证明推导方法练熟，把细节的功夫做足做透，就不难收到由渐悟到顿悟的效果．

从新、旧知识教学衔接的角度看教材内容整合的必要性．

从初、高中衔接的角度看，指数与指数幂运算的相关知识，是切入“对数与对数运算”学习的最佳切入点．对数是学生在高中数学学习中遇到的第一个真正意义上的新知识点，这个“新”应该包括两层意思，一是知识的内涵与外延超出了学生原有基础的范围，对数运算是学生接触到的第一种超越运算，其运算性质不同于以往学生掌握的以四则运算为主体的初等代数运算，从对数的定义、性质到对数运算的基本性质，对于学生都是全新的概念．二是与学生原有知识的衔接相对不足．与对数相关的基础知识，在初中阶段，仅仅接触过简单的指数性质与指数运算，且仅涉及整数指数幂的情况．在完成了“指数与指数幂的运算”一节的学习后学生才将整数指数幂的性质与指数运算，扩大到了整个实数域，构建起了一个相对完整的知识体系，同时也为对数与对数运算的学习奠定了基础．

从认知角度看，“先夯实常量基础、后进行变量迁移”，是初等数学学习的最优路径．在初中，学生的数学学习正是从实数、代数式、方程等相关基础知识的不断完善开始，逐步过渡到了函数的学习．高中的函数学习，仍然坚持这一认知路径．指数与对数作为一对互逆的运算，性质相互贯通，运算相辅相成，在函数性质上又互为反函数，因此指数和对数中任何一处知识点的掌握程度，不仅影响到彼此相关知识点的掌握，而且影响到指数函数和对数函数的学习．从整体上抓好指数与对数运算的学习，就是拿到了指、对函数学习的一把钥匙．

二、统筹性原则

教材内容整合，前提是不能违背课程标准和教材设计根本思想．这就要求教师统筹兼顾，既要处理好待整合内容之间的关系，也要妥善处理好剩余内容与之间的关系，使其既要追求局部效果，也要服从于教材的整体设计．这就对教材内容整合提出了两个层次的要求，最高要求是要把剩余内容，根据联系性原则，有机地整合到其他内容中;最低要求是，整合不能背离教材对原教学内容的整体要求，即内容不脱节、时间不超时、难度不超纲．下面以上两节课剩余内容的处理为例，阐释这一原则在教学实践中的应用．

前面分别整合了两节课程的前半部分内容，其中2.1节剩余的内容是2.1.2“指数函数及其性质”，2.2节剩余的内容是2.2.2“对数函数及其性质”．这两节课程内容之间存在整合的可能性，而联系两部分内容的桥梁就是反函数．在教学设计中，可以进行两种设计:

一是通过指数函数与对数函数互为反函数的关系，完成由指数函数向对数函数的过渡．在教学设计中，在完成“指数函数及其性质”的教学后，可以充分利用教材73页的“探究”(探究内容是“在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量，如把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗?如果是，对应关系是什么，如果不是，请说明理由”)，引导学生，依据分类讨论思想对相应的对数函数的图像进行描点作图，进而给出对数函数的定义，并探讨其相关性质与图像特点，最后给出两者互为反函数的关系．

执行这种教学设计的前提，是在前期的教学中，学生对指数(运算)与对数(运算)的互逆关系掌握比较充分，运用得心应手．如果没有前一部分的整合，学生对指数(运算)与对数(运算)的关系理解尚不清晰，使用尚不成熟，这种教学设计就很难付诸实践．此外，在教学实践中，教师要对新课改以后的新要求精确掌控，比如，在反函数的教学中，“教科书只要求学生知道同底的指数函数与对数函数互为反函数，不要求学生讨论形式化的反函数，也不要求学生求已知函数的反函数”，在教学实践中，就不应把反函数作“定义化”处理，而徒增教学难度．

二是按照教材顺序，依次完成2.1.2“指数函数及其性质”与2.2.2“对数函数及其性质”的教学，并在最后指出两者具有互为反函数的关系．这是一种稳妥的教学设计，虽然由于前部分的内容整合，而使后面指、对函数的内容略显孤立，但是最后互为反函数的结论，依然突出了两节课之间的联系．教学设计，也较适宜普通班学生基础一般，或者年轻教师驾驭经验不足的情况，对于普通学生夯实基础、巩固提升，年轻教师积累经验、提高能力是一种不错的选择．

活用运算性质,巧化对数式子 第4篇

思路一 利用“logaMN=logaM+logaN”（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

方法一 lg50=lg（5×10）=lg5+lg10=lg5+1，所以（lg5）2+lg2×lg50=（lg5）2+lg2×（lg5+1）=（lg5）2+lg2×lg5+lg2=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1.

方法二 lg50=lg2+lg25=lg2+2lg5，所以（lg5）2+lg2×lg50=（lg5）2+lg2（lg2+2lg5）=（lg5）2+（lg2）2+2lg21g5=（lg2+lg5）2=1.

思路二 利用“loga=logaM-logaN”（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

方法三 lg5=1-lg2，lg50=2-lg2，所以（lg5）2+lg2×lg50=（1-lg2）2+lg2×（2-lg2）=（lg2）2-2lg2+1+2lg2-（lg2）2=1.

方法四 lg5=lg50-1，lg2=2-lg50，所以（lg5）2+lg2×lg50=（lg50-1）2+（2-lg50）lg50=（lg50）2-2lg50+1+2lg50-（lg50）2=1.

思路三 利用“loga=logaM-logaN”和“logaMN=logaM+logaN”（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）

方法五 lg5=1-lg2，lg2+lg50=2，所以（lg5）2+lg2×lg50=（1-lg2）2+lg2×lg50=1-2lg2+（lg2）2+lg2×lg50=1-2lg2+lg2（lg2+lg50）=1-2lg2+2lg2=1.

方法六 lg2=1-lg5，lg50=1+lg5，所以（lg5）2+lg2×lg50=（lg5）2+（1-lg5）（1+lg5）=（lg5）2+1-（lg5）2=1.

方法七 lg5=lg50-1，lg50+lg2=2，所以（lg5）2+lg2×lg50=（lg50-1）2+lg2×lg50=（lg50）2-2lg50+1+lg2lg50=lg50（lg50+lg2）-2lg50+1=2lg50-2lg50+1=1.

“积的对数”、“商的对数”和“幂的对数”运算性质，是对数运算中三条重要性质，灵活的单个或组合运用它们，在化简求值运算中往往会让解题步骤简单明了，甚至达到意想不到的结果，令人拍案叫绝.

1. 求值：lg14-2lg+lg7-lg18.

2. 求值：lg8+lg22+lg25+lg5×lg20.

1. 法一：原式=lg（2×7）-2（lg7-lg3）+lg7-lg（32×2）=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.

法二：原式=lg=lg1=0.

对数与对数运算教案 第5篇

（三）普通高中课程标准实验教科书人教A版必修1 第二章第二节 P66 教学目标

（一）教学知识点

1． 了解对数的换底公式及其推导；

2． 能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题。

（二）能力训练要求

会用loganbmmnlogab，logaN1logNa等变形公式进行化简．

（三）德育渗透目标

培养学生分析问题解决问题的能力．

授课类型：新授课 主要教学方法：讲授法

直观教具与教学媒体：粉笔、黑板 教材重点：对数换底公式的应用．

教材难点：对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。主要参考书：普通高中课程标准实验教科书人教A版必修1 教学过程

一、回顾旧知，引入课题

对数的运算法则

如果 a＞0，a  1，M＞0，N＞0 有：

loga(MN)logaMlogaNMlogalogaMlogaNNnlogaMnlogaM(nR)(1)(2)(3)

二、新授内容： 1.对数换底公式： logaNloglogxmmNa(a＞0 ,a  1，m＞0 ,m  1,N＞0)．

证明：设 loga N = x , 则 a = N．

两边取以m 为底的对数：log 从而得：x2.两个常用的推论:

maxlogmNxlogmalogmN

loglogmmNa ∴ logaNloglogmmNa．

①logablogba1，logablogbclogca1． nmlog② logambna． b（a,b＞0且均不为1）lgblga1； lgalgbnlgbmlganmlogb． 证：①logablogbanm ②logambnlgblgaa

三、例题讲解： 例1 已知log189a，185，求logb3645.例2．设log34log48log8mlog416，求m的值． 解：∵log34log48log8mlog3m，log416∴log3m2，即m＝9． 例3．计算：①51log0.23, ②

log273164log513．

解：①原式 = 55log0.2355log1515． ②∵log例4．P67例6 2716log332443log32，log34log3222log32，∴原式＝

23．生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占76.7%，试推算马王堆古墓的年代.例5．已知logax=logac+b，求x．

分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式．

解法一： 由对数定义可知：xa解法二： 由已知移项可得logxcblogacbalogacaca．

xabbaxlogacb

，即logcb．

由对数定义知：解法三：blog.ba

xca．

bbbaa

logaxlogaclogaalogaca

xca．

b

练习：教材P68第4题

四、课堂练习

1.已知 log23a，log37b, 用 a, b 表示log1a4256．

解：因为log23 = a，则

log32 , 又∵log37 = b, ∴log 42 562.求值lg20log log356log34225.log373log32log37log321ab3abb1.100

五、课堂小结

<1>换底公式及其推论;<2>换底公式可以用于对数式的化简、求值或证明。

六、课后作业： 课本习题2.2A组6、11、12题

板书设计

2.2.1对数与对数运算

（三）一、换底公式

二、例题讲解

logNloglogmmNaa 例1 已知log189a，185，求logb3645.(a＞0 ,a  1，m＞0 ,m  1,N＞0)． 例2．设log34log48log8mlog416，求m的值． 证明：设 loga N = x , 则 a = N． 例3．计算：①5x1log0.23, ②

log273164log．

两边取以m 为底的对数，得 例4 logmaxlogmNxlogmalogmN 例5．已知logax=logac+b，求x．

从而得：xloglogmmNa

三、课堂练习

∴ logaNloglogmmNa

四、小结

教学反思

对数与对数运算教案 第6篇

教学目的：

（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系；（3）掌握对数式与指数式的相互转化．

教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 一.引入课题

问题一：庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？

问题二：假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

问题三：求下列各式中的x,并指出求x,进行的是什么运算？(1)x22 求底数进行的是开方运算(2)x24

x(3)26

已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数 二.新课教学

（一）（讲一讲）对数的概念 若aN(a0,a1)，则x叫做以，．a为底．．N的对数（Logarithm）记作：xlogaN

其中a— 底数，N— 真数，logaN— 对数式 注意对数的书写格式． 说明：○（2）指数式与对数式的转化： axNlogaNx； 底数a 的取值范围：

真数N 的取值范围： 即负数和零没有对数。对数x的取值范围：

上述问题的结果：

（二）两种特殊的对数：

１．常用对数：我们将以10为底的对数

叫做常用对数，并记做

．

２．自然对数：无理数e=2.71828…,以e为底的对数

称为自然对数，并记做

（三）知识运用：

例1 1.将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：

（1）5625;（2）2=

4-6x11m

;（3）()=5.73;643(4)log116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.2

2.将下列对数式写成指数式

log116422(1)(2)

例2求下列各式中x的值: log1287(3)log100.012(4)loge10=2.303（1）log64x=2;（2）logx84（3）lg100=x;（4）.lne3x3

3.学习探究

探究任务：对数的性质

1、求下列各式的值：

（1）log1____log1____lg1____ln1___12 2

思考：你发现了什么？如何用对数式表示？（2）1log1____log22____lg10____lne___

思考：你发现了什么？如何用对数式表示？

log0.6log100log3（3）22___55___0.80.8___思考：你发现了什么？如何用对数式表示？ 结论

（1）1的对数是（）：（2）底数的对数是1：

loga1?

logaa?

logaNa?（3）对数恒等式：

logaann． 试一试：.求下列各式的值：

（2）lo2g1.（）1log525

1（3）lg100（04）lg0.00

116

2.求下列各式的值

(1)log1515

(2)log1

(3)log98 10.4

(6)(4)log2.56.25

(5)log3log3243 734

（四）课堂小结

（五）课后作业

1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)4＝16;（2）3=1;（3）4＝2;（4）2＝0.5;(5)5=625;(6)3=

2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7;

(5)log216=4;(6)log127=-3;(7)log320

x

x

11-2

;(7)()=16.941 33x=6;(8)logx64=-6;(9)log2128=7;(10)log327=a.3.求下列各式中x的值:(1)log8x=

4：求x的值 ①log4x=23;(2)logx27=;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.4313;②logx27=;③log5（log10x）=1.24

5.以下四个命题中,属于真命题的是（）（1）若log5x=3,则x=15（2）若log25x=（3）若logx

1,则x=5 21 5=0,则x=5（4）若log5x=－3,则x=125A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）6.对于a＞0,a≠1,下列结论正确的是（）

22（1）若M=N,则logaM=logaN（2）若logaM=logaN,则M=N（3）若logaM=logaN,则M=N 22（4）若M=N,则logaM=logaN

A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4）7.计算(1)求log84的值;

对数运算性质教案 第7篇

一、课标要求

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

二、教材分析

1、本节的地位和作用

对数是中学数学的重要内容之一。它是在学生学习了指数的基础上进行的，是对指数的运用与巩固，对数的运算性质更是对指数的运算性质的运用；同时，对数的学习为对数函数的学习做好充足的准备，起到承前启后的作用。

2、本节的主要内容

复习对数的定义，回顾对数与指数的联系与转化，进而猜测对数的运算性质与指数的运算性质的相关性；列举指数的运算性质，并推导出对数的运算性质；例题巩固，尝试对数运算性质的应用；介绍换底公式及其推导过程。

3、本节的重、难点

重点：对数运算的运算性质的推导及运用。

难点：对数运算的运算性质的推导及运用。换底公式的推导及运用。

三、学情分析

本节面对的是高一的学生，这一年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还不够严谨，需要教师合理的引导，充分发挥学生主动性，创设疑问，主动思考，逐步解决问题。学生已经掌握了指数的相关知识，本节更注重已有知识的运用，从而获得新知，补充已有的知识结构。

四、教学目标

1、知识与技能：

通过对数的运算性质的推导，巩固指数的运算性质，熟练指数与对数的转化，掌握对数的运算性质及其推导过程，会运用对数的运算性质进行对数的运算。

2、过程与方法：

经历对数的运算性质的推导，运用类比的数学思想，猜想并证明三个运算性质，尝试运用性质求解例题，体验对数的运算性质的运用。

3、情感、态度与价值观：

由指数、对数的联系入手，善于寻求事物之间的联系；在知识探究的过程中养成合理猜想、大胆探索和实事求是的精神，感受学习数学的乐趣。

五、教学方法

本节课采用问题探究式教学方法。教师引导学生由指数的运算性质出发，运用对数的定义，得出对数的一个运算性质，注重如何引导；其余由学生独立思考并类比上述过程得出，发现问题，自主探究，从而解决问题。

六、教学理念

建构主义：本节课是在指数的运算性质、对数的定义和对数与指数的转化上进一步学习的，通过对已有知识的复习和巩固，加深学生对已有知识的理解，同时降低新知识的难度，利于学生掌握。

七、教学过程

1、复习巩固

（1）对数的定义 一般地，如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN

（2）指数与对数的转化

ax=N(a>0且a≠1)

x=loga N 设计意图：回顾对数定义的形成，加深指数到对数的转化意识。并将其迁移到对数的运算性质的推导过程中。

（3）指数的运算性质（积、商、幂）

am·an=am+n ama n =am+n（am）n =amn 设计意图：复习指数的运算性质，为对数的运算性质的推导做准备。同时，暗含对数运算性质的研究方向：积、商、幂。

2、探究对数的运算性质

（1）积的对数：

loga(M∙N)=logaM+logaN 推导：am·an=am+n

令M=am,N=an,则M·N=am+n

由对数的定义可得：

logaM=m，logaN=n, loga(M∙N)=m+n

由m，n的等量关系可得：

loga(M∙N)=logaM+logaN 设计意图：引导学生推导，点明每一步的方法及依据。利于学生理解和掌握，同时为下一步独立推导性质2做铺垫。

（2）请同学们根据积的对数的运算法则，猜测第二条性质，即商的对数。并仿照上述过程推导。

猜测：积变商，和变差,即

loga(M N)=logaM−logaN 推导：am a n=am+n

令M=am,N=an,则M N=am−n

由对数的定义可得：

logaM=m，logaN=n, loga(M N)=m-n

由m，n的等量关系可得：

loga(M N)=logaM−logaN

设计意图：这一部分先由教师提问，学生思考得出运用“指数的运算性质”第二条，再由学生独立思考、推导，得出结论。最后教师和学生一同推导一遍，能纠正学生的错误，规范书写，再一次巩固。

（3）同理推导幂的对数的运算法则 logaMn=n logaM 推导：（am）n=amn

令M=am, 则Mn=amn

由对数的定义可得：

logaM=m，logaMn=n logaM

由m，n的等量关系可得：

logaMn=n logaM

设计意图：这一部分较前两条而言，难度增加，但基本步骤仍不改变，学生已经熟悉。先由学生尝试自己推导，在一起推导一次。提升能力。

3、对数运算性质的运用

例3：用logax, logay, logaz表示下列各式：（1）logaxy z ,(2)loga x2 y z 3

（1）logaxyz =logaxy-logaz=logax+logay-loga z(2)loga x2 y z 3 =loga（x2 y）-loga z3 =logax2+log a y-loga z3 =2logax+ 1 2 logay-1 3 logaz 设计意图：本题是对“对数的运算性质”的简单运用。例4：求下列各式的值：（1）log2（47 ×25）（2）lg 1005

（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2 ＋5×1=19（2）lg 1005 =lg1001 5 =15lg100=2 5

对数与对数函数探析 第8篇

1.对数的概念

(1) 对数的定义。

如果ax=N (a>0, a≠1) , 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作x=logaN, 其中a叫做对数的底数, N叫做真数。

(2) 几种常见对数 (见图1) 。

2.对数的性质与运算法则

(1) 对数的性质。

(1) 负数和零没有对数, 即对数的真数N>0, 底数大于0且不等于1;

(2) 1的对数为零, 即loga1=0;

(3) 底的对数等于1, 即logaa=1;

(4) aloga N=N;

(5) logaaN=N (a>0, a≠1) 。

(2) 对数的重要公式。

(2) logablogba=1, 推广logablogbclogcd=logad。

(3) 对数的运算法则。

如果a>0且a≠1, M>0, N>0, 那么:

(1) loga (MN) =logaM+logaN;

(3) logaMn=nlogaM (n∈R)

(4) logam Mn=n mlogaM。

3.对数函数的定义、对数函数的图像与性质

(1) 对数函数的定义

一般地, 函数y=logax (a>0, a≠1, x>0) 叫做对数函数, 其中x是自变量。

(2) 对数函数的图像与性质 (见图2) 。

如何确定图中 (见图3) 各函数的底数a、b、c、d与1的大小关系?

作一直线y=1, 该直线与四个函数图像交点的横坐标即为它们相应的底数, ∴0

4.反函数

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数, 它们的图像关于直线y=x对称。

指数函数y=ax (a>0, a≠1) 的定义域为R, 值域为 (0, +∞) , 对数函数y=logax (a>0, a≠1) 的定义域为 (0, +∞) , 值域为R。

题型一对数的化简与求值

例1 (1) 化简: (lg2) 2+lg2lg50+lg25; (2) 化简:23+log 4; (3) 已知loga2=m, loga3=n, 求a2m+n的值。

分析: (1) 、 (2) 为化简题目, 可由原式联想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻找解题思路; (3) 可先求出2m+n的值, 再用公式来求a2m+n的值。

解: (1) 原式= (lg2) 2+ (1+lg5) lg2+lg52= (lg2+lg5+1) lg2+2lg5= (1+1) lg2+2lg5=2 (lg2+lg5) =2。

(3) 方法一:∵loga2=m, ∴am=2, ∵loga3=n, ∴an=3,

故a2m+n= (am) 2an=43=12。

点评: (1) 在对数运算中, 先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简, 然后再运用对数运算法则化简合并, 在运算中要注意化同底和指数与对数互化。 (2) 熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧。

题型二比较大小

例2比较下列各组数的大小。

分析: (1) 引入中间量如“1”或“0”比较。 (2) 利用对数函数的图像及单调性。

(2) 方法一:∵0<0.7<1, 1.1<1.2,

即由换底公式可得log1.10.7

方法二:作出y=log1.1x与y=log1.2x的图像。

如图4所示。两图像与x=0.7相交可知log1.10.7

点评:比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见的题型, 解决此类问题的方法很多。

(1) 当底数相同时, 可直接利用对数函数的单调性比较。

(2) 若底数不同, 真数相同, 可转化为同底 (利用换底公式) , 或利用对数函数图像, 数形结合解得。

(3) 若不同底, 不同真数, 则可利用中间量进行比较。

题型三对数函数的性质

例3已知函数f (x) =logax (a>0, a≠1) , 如果对于任意x∈[3, +∞) 都有f (x) ≥1成立, 试求a的取值范围。

分析:当x∈[3, +∞) 时, 必有f (x) ≥1成立, 可以理解为函数f (x) 在区间[3, +∞) 上的最小值不小于1。

解:当a>1时, 对于任意x∈[3, +∞) , 都有f (x) >0。

所以, f (x) =f (x) , 而f (x) =logax在[3, +∞) 上为增函数,

∴对于任意x∈[3, +∞) , 有f (x) ≥loga3。

因此, 要使f (x) ≥1对于任意x∈[3, +∞) 都成立,

只要loga3≥1=logaa即可, ∴1

当0

∴f (x) =-f (x) 。

∵f (x) =logax在[3, +∞) 上为减函数,

∴-f (x) 在[3, +∞) 上为增函数。

∴对于任意x∈[3, +∞) 都有f (x) =-f (x) ≥-loga3。

因此, 要使f (x) ≥1对于任意x∈[3, +∞) 都成立,

只要-loga3≥1成立即可。

综上, 使f (x) ≥1对任意x∈[3, +∞) 都成立的a的取值范围是

点评:本题属于函数恒成立问题, 即在x∈[3, +∞) 时, 函数f (x) 的绝对值恒大于等于1。恒成立问题一般有两种思路:一是利用图像转化为最值问题;二是利用单调性转化为最值问题。这里函数的底数为字母a, 因此需对参数a分类讨论。

题型四与对数函数有关的综合问题

例4已知函数

(1) 求函数f (x) 的定义域;

(2) 讨论函数f (x) 的奇偶性;

(3) 讨论函数f (x) 的单调性。

分析:由真数大于0, 求定义域, 按奇偶性的定义判断其奇偶性, 单调性可按复合函数的单调性的规律判断。

解: (1) 令, 解得函数f (x) 的定义域为 (-∞, -b) ∪ (b, +∞) 。

(2) 函数f (x) 的定义域关于原点对称, 故函数f (x) 是奇函数。

(3) 令, 则u (x) 在 (-∞, -b) 和 (b, +∞) 上是减函数, 所以当0

当a>1时, 函数f (x) 在 (-∞, -b) 和 (b, +∞) 上是减函数。

例5对于函数f (x) =log (x2-2ax+3) 。12

(1) 若函数的定义域为R, 求实数a的取值范围;

(2) 若函数的值域为R, 求实数a的取值范围;

(3) 若函数在[-1, +∞) 上有意义, 求实数a的取值范围;

(4) 若函数的值域为 (-∞, -1], 求实数a的所有取值;

(5) 若函数在 (-∞, 1]上是增函数, 求实数a的取值范围。

分析:此题共有5个小题, 最后所求均是a的范围, 而已知又是常见的关于定义域、值域及函数的性质的条件, 概念性很强, 需要熟练运用对数函数与二次函数的性质求解, 解答本题需要非常准确地理解与掌握函数中的每个概念。

解:设u=g (x) =x2-2ax+3= (x-a) 2+3-a2。

(1) ∵u>0, 对x∈R恒成立, ∴umin=3-a2>0。

故a的取值范围为

(2) 能取遍 (0, +∞) 的一切值, 因此umin=3-a20。

a的取值范围为

(3) 函数f (x) 在[-1, +∞) 上有意义,

u=g (x) >0对x∈[-1, +∞) 恒成立,

因此按g (x) 的对称轴x=a分类, 则得:

故a的取值范围为

(4) ∵函数f (x) 的值域为 (-∞, -1],

∴g (x) 的值域是[2, +∞) ,

因此要求g (x) 能取遍[2, +∞) 的一切值 (而且不能多取) 。

由于g (x) 是连续函数,

所以命题等价于[g (x) ]min=3-a2=2, 故a=±1。

(5) 函数在 (-∞, 1]上是增函数圳g (x) 在 (-∞, 1]上是减函数, 且g (x) >0对x∈ (-∞, 1]恒成立, , 故a的取值范围为[1, 2) 。

对数及其运算课堂教学有效性研究 第9篇

关键词：有效性教学；教学设计；对数及其运算

数学作为基础学科，在知识讲解与概念分析上，要围绕学生的认知特点，关注学生的兴趣和创造力，从自主、合作、探究中营造数学教学环境，通过教学创新来提升课堂实效. 新课改对教学有效性提出了更高要求，推进了学科教学策略的运用，教师要善于从课堂教学资源中，挖掘教学技巧和方法，优化课堂组织，真正从有效教学中促进学生的全面成长.

数学课堂教学有效性研究

对于课堂教学有效性，要遵循学科教学规律，从满足学科教育价值需求上获得预定的教学目标. 教师作为课堂教学的组织者，在构建课堂教学内容，优化课堂教学环节，控制课堂教学进度，凸显学生主体地位等方面占据主导作用. 数学课堂有效性教学，主要是从数学教育价值上，将数学的科学性、思维性、数学文化等进行关联，并从学生数学素养提升上促进课堂教学效率. 高中数学新课标提出“学生的学习应该是现实的、有意义的、富有挑战的”，教师在构建“教”与“学”环境中，要从课堂教学目标、数学概念、公式、性质、定理的讲解中体现数学思想与数学方法，培养学生的数学思维能力和应用能力. 知识与技能作为数学三维目标的基础，强调学生从知识的学习和能力的培养上去实践、去创新. 当前，对于新课改工作的推进中，尽管很多教师也在丰富课堂教学上做出了努力，但对于课堂教学实效性仍然存在问题. 如教学目标缺乏明确，教师的自主性太大，随意增添或更改教学内容，忽视了学生自身的接受能力；还有教师课堂结构缺乏优化，课堂讲解占绝大部分时间，甚至还拖堂、课后作业做不完；还有教师在教学方法上忽视学生个体差异性；还有教师重视提问，忽视反馈，在强调师生互动中，重形式而轻结果；有些教师在多媒体资源应用上，存在滥用或不用，留给学生的课堂时间、思考时间有限，反而不利于课堂教学实效性.

以“对数及其运算”为例来构建课堂教学有效性

1. 课前准备环节

结合学生对已有知识的学习和掌握，从“对数及其运算”教学之前，首先要对指数、幂的运算进行回顾，从相互转换中来明确教学重点，增强学生的学习兴趣. 如在课堂导入中，引入“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，当取五次，剩余多少？学生从

的解题中得出. 同样道理，取多少次还有0.85尺？由此，假设x次，则有

=0.85. 问2013年我国国民生产总值为a亿元，按照每年8%的增长率，试问多少年我国的国民生产总值是2013年的2倍？假设x年，则有a（1+8%）x=2a. 对于上述计算方法，x都位于指数位置，那该如何去表示呢？今天，我们借助指数的问题，来学习新的内容，对数及其运算.

2. 课堂组织环节

课堂组织是对本节课程学习内容的统合过程，要让学生从中了解知识重点，激发学生的学习热情，引导学生从问题中来思考，来探索. 对数及其运算主要从几个探索活动中来完成. 如对于相关知识的计算、对于归纳猜想的运用、对于猜想的验证，以及结论的得出，引导学生从中体验知识的乐趣. 如对于对数的理解，可以从表示方法上来探讨. 当a（a>0且a≠1）的b次方为N，则记作ab=N，这时b是以a为底的N的对数，记作logaN=b. 其中a表示为对数的底数，N为真数. 我们从指数的表示方法，及对数的表示方法来看，两者之间有什么关系？a，b，N分别扮演什么角色？如有学生得出a为指数式中的底数，在对数中为对数的底数；有学生得出b在指数式中为指数，在对数式中是对数；还有学生得出N在指数式中为幂，在对数式中为真数. 总结如下：当ab=N与logaN=b之间的关系为：a既是指数底数，又是对数底数，b为指数且为对数，N为幂又为真数. 在知识探究环节，主要从指数式与对数式的关系中来探讨各变量的取值范围、指数式与对数式的转换方法以及对数的性质等内容. 如对于54=625转换为对数式为log5625=4；3-3=转换为对数式为log3=-3；在探究对数的性质时，可以从log21=________，lg1=________，ln1=________中来分析；1的对数为0，则表示为loga1=0；同时，对于log22=________，lg10=________，lne=________的结果如何去猜想？当a1=a，则有logaa=1.

3. 课堂总结与反思

从课堂教学过程来看，对于学生的参与性，如何调动？课堂氛围如何活跃？师生互动如何保障有序？这些问题，都需要进行思考，并从学生的表现中灵活安排. 事实上，在整个课堂组织环节，对于教学内容都是按照计划来推进的，学生的自主性要不断启发，从课堂氛围上来营造互动. 对数及其运算并非是简单的展示，更多的是从课堂重点、教学过程中，梳理数学思想，如归纳思想、猜想意识、类比方法等，让学生能够从对数式的表示上、对数的运算上来强化对概念的理解. 通过本节课堂的深入学习，学生能够在课堂组织中，留有思考的空间，为强化课堂教学实效创造条件.

课堂教学有效性评价标准研究

通过上述课堂实例的运用，对于高中数学课堂实效性研究，主要从三个方面进行评价.

1. 教学目标的有效性

教学目标是本节课程的主要方向，也是完成本节课程的具体内容. 教学目标在确定过程中，要围绕学生对已有知识的理解和掌握情况，从阶段性目标中进行延伸，兼顾长远目标. 一节课堂的目标是让学生从知识的学习中掌握一定的能力，能够从数学知识中渗透数学思维，学会必要的数学技能. 可见，将知识与技能、情感与态度、过程与方法作为三维目标，从知识学习到技能掌握，从过程学习到方法运用，从情感培养到态度端正等等来细化. 同时，对于教学目标要重点突出、主次明确，一节课，时间是有限的，在学生注意力上要进行合理分配，突出本节课程的主体，能够高效利用学生的注意力，而不能满堂灌.

2. 教学过程的有效性

教学过程是渗透知识、能力的过程，课堂教学的目标在于培养学生从知识中获取能力，从问题的发现、分析、解决中获得知识的过程. 课堂教学不仅要体现教学重点，还要对基础数学知识、学生行为、学生心理的引导，从课堂上激发学生的热情，增强学生的求知欲，能够从师生互动交流中营造和谐的课堂氛围. 让学生成为学习的主动者，从课堂的准备、新课程的导入、课堂知识的梳理、知识点的展示、课堂提问、以及课堂练习中，每一个环节都要渗透教学目标，让学生能够从中感受数学知识结构，能够从思考、分析中掌握学习方法. 同时，在设计教学过程时，要切合学生的身心发展实际，特别是与生活的联系，贴近学生，更能提升课堂教学实效.

3. 教学结果的有效性

课堂教学结果是建立在学生文本的基础上. 对于学生的个性成长，全面发展意义重大. 教学结果的有效性表现在：一是学生是否获得了进步，并非个别学生的进步，而是整个教育对象，从结果中来权衡教学方法是否得当，学生的认知能力是否提升；二是课堂教学要从基础知识和基本技能入手，让学生理解并掌握相应的学习方法，能够从知识的学习中理解，能够从理解中运用；三是课堂教学结果是否培养了学生的分析、解决问题能力，从学习的过程来看知识的掌握，从问题中来凸显知识的运用，从学生在解决实际问题的能力中来学以致用；四是尊重对学生个体差异的认识，特别是因材施教，要从不同学生智力结果、认知结构、心理发展差异上，针对不同的教學方法，合理有效地利用，而非统一标准去要求学生.