数学归纳思想范文（精选12篇）
数学归纳思想 第1篇
在中学数学的教和学中会接触到很多的数学基本思想方法,但是有一些思想方法不能严格地划分到某类当中,现对那些常用的数学基本思想方法做简单分类和说明.
一、从逻辑角度分
(一)演绎法
它是从一般性较大的前提推出一般性较小的结论的方法.例如,因为所有循环小数都是有理数,所以循环小数0.332是有理数.
(二)归纳法
它是从一般性较小的前提,推出一般性较大的结论的方法,可分为完全归纳法和不完全归纳法两种.
1. 完全归纳法
完全归纳法是根据某类事物中每一个对象的情况或每一子类的情况而作出关于该类事物的一般性结论的方法.
例如,设a、b、c分别是△ABC的三内角A、B、C的对边,证明了在锐角ABC中,;在直角△ABC中,;在钝角△ABC中,.在任意△ABC中,都有成立.
2. 不完全归纳
不完全归纳法是根据对某类事物中的一部分对象的情况,而作出关于该事物的一般性结论的方法.
例如,根据给出数列的前三项2,4,8,写出它的通项公式.
解析:由2,4,8可以猜想后面的数字是16,32,,2n,所以该数列是2,4,8,16,32,,2n,它的通项公式可能为an=2n,如2,4,8后为14,22,32,,n2-n+2,前三项也符合题设,所以2,4,8,的通项公式可能为an=2n或an=n2-n+2.
3. 类比法
类比法是根据两个或两类对象有部分属性相同,从而推出它们的其他属性也相同的方法.例如,代数中的分式与算术中的分数具有很多相似的性质,由算术中分数的基本性质:“分数的分子和分母都乘以或除以不等于零的同一个数,分数的值不变”,用类比法可以猜测代数中分式的基本性质:“分式的分子和分母都乘以或除以不等于零的同一个代数式,分式的值不变”.
4. 数学归纳法
对于与自然数有关的命题,一般都可以用数学归纳法证明,其逻辑基础是自然数公理.常用的有第一数学归纳法和第二数学归纳法.在中学数学教学中采用的是第一数学归纳法.其证明步骤为:
(1)当n=n0 (n0是第一个数,n0∈N+)时证明命题成立.
(2)假设n=k (k≥n0,k∈N+)时命题成立,那么证明当n=k+1时命题也成立.
综上所述命题对一切k∈N+都成立.
例如,证明数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19的通项公式an=2n-1.
证明:当n=l时,a1=21-1=1,等式成立.假设当n=k时,ak=2k-1,那么当n=k+1时,ak+1=ak+2=2k-1+2=2k+1=2 (k+1)-1等式成立,所以等式对于一切都成立.
二、从问题解决过程分
(一)观察法
人们为了认识事物的本质和规律,通过感觉器官或同时借助于一定的科学仪器,有目的、有计划地感知和描述各种自然现象自然发生的一种方法.在科学研究中,观察的含义还包括理解或理性上领会的意思.
例如,解方程.
思考方法:观察底数的数字特征,不难发现互为倒数,于是可设用换元法
完成解答.
(二)试验法
试验(实验)是人们根据一定的研究目的,运用一定的物质手段,在人为地控制或模拟自然现象的条件下,使自然过程或生产过程以纯粹的、典型的形式表现出来,暴露它们的天然条件下无法暴露的特征,以便进行观察、研究,探索自然界的本质及其规律的一种研究方法.
(三)分析法
从数学题的特征结论或需求问题出发,一步步地探求下去,最后达到题设的已知条件.表现为执果索因.
已知:设a,b∈R+,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
证明:要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.
又因a+b>0,
所以只需证a2-ab+b2>ab成立,
即a2-2ab+b2>0成立,
从而可得,只需证(a-b)2>0成立.
依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立.
由此命题得证.
(四)综合法
从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后得到待证结论或需求问题,表现为由因导果.
已知:设a,b∈R+,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
证明:a≠b⇒a-b≠0⇒(a-b)2>0⇒a2-2ab+b2>0⇒a2-ab+b2>ab.
注意到a,b∈R+,a+b>0,
由上式即得
所以a3+b3>a2b+ab2.
由此看出,分析法和综合法是两个互逆的方法.从寻求解题思路来看,分析法执果索因,常常根底渐进,有希望成功.因此,在解决各类问题时大都采用分析的思想进行考查;就表达过程论,综合法形式简洁,条理清晰,因此,表述解题过程是常用综合法.
(五)比较法
比较法是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法.数学中的比较是多方面的.可以把同类事物进行比较,揭示事物的普遍性和特殊性;也可以把不同类的事物进行比较,揭示它们的联系和区别;还可以从事物的动态过程中进行比较,揭示事物的发展规律.例如,在研究圆锥曲线时,如果注意从椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、图形、顶点坐标、对称轴、焦点坐标、离心率、准线、渐近线等方面进行比较,那么不仅可以加深对各类曲线特殊性的认识,而且还可以看到它们在讨论方法上的一致性,获得圆锥曲线的统一定义:圆锥曲线是平面内到定点(焦点)和定直线(准线)的距离之比是常数(e)的点的轨迹.
(六)分类法
根据事物的共同性与差异性,把具有相同属性的事物归入一类,把具有不同属性的事物各归入不同类.在每次分类时应当按照同一标准来进行,做到不遗漏、不重复,在中学数学教学中常用做分类讨论思想(方法).
例如:求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件.
解析:从a=0和a≠0两方面入手.
三、从证明问题角度入手分
(一)直接证明
直接证明是从命题的条件出发,根据已知的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性,直接证法是数学中经常采用的证明方法.
(二)间接证明
间接证明不是从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或改证它的等价命题为真,以间接地达到目的的证明方法.间接证法有反证法和同一法两种.
1. 反证法
反证法不直接证明命题“若p则q”,而是先肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,即从原命题的反论题“即p又┐q”入手,由p与┐q合乎逻辑的推出一个矛盾结果;根据矛盾律,两个互相矛盾的判断,不能同真,必有一假,断定反论题“即p又┐q”为假;从而根据排中律,两个互相矛盾的判断,不能同假必有一真,由此肯定命题“若p则q”为真.
求证:证明在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定是锐角.
证明:假设∠B不是锐角,则∠B是直角或钝角,那么∠B+△C≥180°与三角形内角和180°矛盾.所以假设不成立,原命题成立.
2. 同一法
对于符合同一原理的命题,当直接证明有困难时,可以改证和它等价的逆命题,只要它的逆命题正确,这个命题就成立,这种证明方法叫做同一法.同一法常用于证明符合同一原理的几何命题.
已知:设D、E分别是△ABC两腰AB、AC的中点,求证:DE∥BC.
证明:过D做DE'∥BC,交AC于E'(如图1所示).
注意到D为AB的中点,依平行线等分线段定理,有AE'=E'C,即E'为的AC的中点,而由已知条件可知,E也是AC的中点.
由于线段的中点是唯一的,所以点E'与点E重合;
从而,DE'合于DE.因此OE∥BC.
四、从数学方法论角度分
(一)公理化方法
在一个数学理论系统中,我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理,以此为出发点,利用纯逻辑推理的法则,把该系统建立成一个演绎系统的方法,就是公理化方法.在中学数学教学中,我们只能看到一种扩大了的几何公理体系,它是不严密的.比如人民教育出版社出版的高中数学课本《立体几何(全一册)》第一章平面,向学生介绍了三个公理(未加以证明).
(二)数学模型法
简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.
例如,有一个自来水厂,蓄水池中有水450吨,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水总量吨,现在开始向池中注水并同时向居民区供水,多少小时后蓄水池中的水量最少?
(三)化归方法
化归方法是将一个问题A进行变形,使其归结为另一已经解决的问题B,既然B已解决,那么A也就解决了.
在中学数学教学中用作转化思想或转化与化归思想,是中学数学思想方法的核心.
例如:若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.
思路:由ab=a+b+3,其中解出b,代入ab中,二元转化为一元,转化为求函数的值域,即,所以,
由a>1,所以.
数学中的化归方法,更精确些说是关系映射反演法.
(四)关系映射反演法
简称RMI方法.给定一个含有未知目标原象x的数学关系结构系统S,如果能找到一个可定映映射φ,将S映满S*(这时x*=φ(x)称为未知目标映象),则可以从S*通过一定的数学手续ψ把目标映象x*=φ(x)确定出来,从而通过反演即逆映射φ-1便可把x=φ-1(x*)确定出来.
中学数学中常用的换元法、解析法、三角法、复数法、图解法、构造法、初等变换法、函数法等具体方法本质上都是关系映射反演法在不同层次上的应用.
五、数形结合思想方法
数形结合思想方法就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来考查的思想,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的,它是中学数学中的重要思想方法之一,常表现为解析法、三角法、复数法、向量法、构图法等.
例如,直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是______.
分析:本小题主要考查了数形结合的数学思想方法.
解:曲线y=x2-|x|+a关于y轴对称,当x≥0时,y=x2-x+a=,结合图象要使直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,需解得.
六、函数与方程的思想方法
所谓函数与方程的思想方法,是指遇到实际问题时,设法列出函数关系式或方程式,通过对函数问题的研究及解决方程(或方程组)来确定数量关系或解决问题的一种思想方法.可以直接利用某些函数本身所具有的性质及运算法则来解决我们所遇到的问题,这就形成了我们解决问题时的一种基本思想方法,即函数与方程的思想方法.
例如,已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为______.
本题构造函数利用导数判断函数单调性.
当时,,
则f(n)在(,+∞)上是单调递增,
当时,f(n)在(0,)上是单调递减,
因为n∈N+,
怎样归纳文章的中心思想 第2篇
中心思想是文章的灵魂，它反映了作者的写作目的，反映了作者对一件事的立场、看法、主张。文章的中心思想一般都不直接在文章里写出来，我们必须认真阅读，深入思考，自己领会和归纳。
概括文章的中心思想有以下几种方法： 第一 分析文章的题目：
人们通常把文章的题目称为文章的“眼睛”，分析了这个题目，再去阅读文章，就能正确地把握文章的中心思想了
第二．分析文章的主要内容：
记叙文一般都是通过典型人物、典型事物，生动、形象的反映生活，所以大多数文章都可以用这种方法来阅读，要先读懂文章写了什么人，记述了什么事，主要内容概括出来了，就要进一步思考作者赞扬了什么，批评了什么，说明了什么道理，或抒发了什么感情。
第三．分析文章的开头和结尾
一篇文章的开头与结尾往往和中心思想有密切的关系。有的文章开头点题，开门见山，突出中心，总结性结尾的一些文章，往往在结尾时点明了中心思想。
第四．分析文章中的议论和抒情部分
有些文章运用了夹叙夹议或抒情结合的方法，在记叙中穿插一些作者的议论和抒情。这些议论和抒情的部分往往直接反映了文章的中心思想。
第五．分析文章中的关键词句
这种方法是概括中心思想的最基本的方法，抓住那些重点段落，重点句子和重点词语深入体会，就能正确地把握中心思想。
归纳写人文章的中心思想，要抓住人物的言行，通过想象来重现人物的形象，再体会人物的精神、品质；归纳记事文章的中心思想，要掌握事情的起因、经过、结果，认识它所体现的意义，归纳状物、写景文章的中心思想，要抓住所描写事物的特征，体会其中的感情，理解其中的含义；归纳论说文的中心思想，要弄清文章要说明什么，说明了什么。
归纳一篇文章的中心思想，一般可以分几步进行：
第一步：认真、反复地阅读文章，全面地理解文章的内容，想想这篇文章主要写了什么事或什么人。
第二步：反复思考，仔细体会文章究竟写了什么，怎样写的，说明了什么问题，表达了作者什么感情。
第三步：找出文章中的重点段落，中心句子和关键的词语，看看与表现中心思想有什么关系。
第四步：进行归纳，把经过自己动恼思考后的中心思想用简练的语言写出来。
第五步：阅读全文再仔细琢磨：写出来的中心思想是不是准确、全面？语句是否通顺？不妥之处再修改一下。
理清文章思路
文章的结构是文章思路的外在表现形式，它包括文中句与句的联系，段与段的关系，整体谋篇布局等，准确的分析文章结构，是把握文章脉络的重要手段，更是整体感知文章内容的基础。
（一）、结构与思路的关系。
文章的结构是指对材料的组织和安排的方法，它是文章思路的外在形式的表现。文章的思路则是文章按照一定的条理由此及彼表达思想的路径、脉络。文章的思路主要表现在文章的取材、线索、顺序、开头、结尾、过渡、照应以及段落层次的关系等方面。
文章的结构安排是由思路决定的，思路是结构安排的依据和理由。文章的结构组织是否严密、清晰；而思路是否清晰、严密，又表现他所写的客观事物是否形成了鲜明的印象、想法、态度和情感。
一般来说，段与段之间，句与句之间有并列关系、承接关系、递进关系、选择关系、总分关系、因果关系、假设关系和转折关系。从外部的语言标志入手，是分析段落组合结构关系的简捷途径。比如：“然后、接着”等词标志着承接关系；“而且、况且”等词标志着递进关系；“因此、由此看来”等词标志着选择关系；“但、可是、然而”等词标志着转折关系；“只有这样、这样”等词标志着条件关系；“意思是说、具体地说”等词标志总分关系。
（二）、分析结构、理清思路的方法。
1、要抓住文体特征，注意不同文体的结构思路。
记叙文的方法：①按时间先后顺序划分；②按地点的转换来划分；③按照人物的思想感情的变化发展的过程来划分；④按照文章内容的不同角度来划分；⑤按照“总—分—总”的逻辑顺序来划分。常按时间、空间、人物、事件、情感等结构全文。
说明文的方法：①并列式；②连贯式（按时间、空间顺序）；③递进式；④总分式等。常按时间、空间、逻辑等顺序结构全文。
2、要抓住文中的关键词语、句子。①文章中的关键的标志词语包括：
A、衔接上下文的，表示语法关系的关联词语：表示并列：“一方面„„另一方面„„”；表示承接：如“首先„„其次„„”；表示因果（总结的）：“因此”、“总之”、“由此看来”；表递进关系的：“更、而且” ；表示递进：“更加”、“而且”； 表语意转换：“相反”、“与此不同”；表转折的：“但是、相反、与此不同” ；
B、表指代性的词语，如“此”、“这”、“即”等； C、表态度的：如“我认为、我觉得、应该”。
②文中的关键句：如过渡句；前后照应句；文段的首、尾句；文中反复出现的语句。
3、注意文章常用的结构方式。
①总分式：包括总——分；分——总；总——分——总三种形式，是文章最常见的一种结构方式。②并列式 ③递进式 ④对照式
4、注意文中的标点，特别是分号。
5、注意文中表达方式的变换。
6、注意语句间组合关系，看其是否围绕同一中心话题。文章是由段落层次组合而成的，其内容是根据语段的大意来综合的，各语段间、层次间，不管怎样排列，但它所表达的内容都是要围绕中心的，各个语句间都有一定的语脉，我们在阅读时，要注意把握住这种关系，才能更好地理解文章的内容。
7、常用的文章结构层次分析法：
①时间推移分段法：注意抓住时间词。
②空间转换分段法：注意文中空间方位、地点的变换。
③内容性质分段法：主要根据文中所写人、物、事等内容的不同划分。
④情节过程分段法：按情节的展开过程分段。
⑤结构特点分段法：注意文体的结构特点、方式。
联系上下文解释词语在文中的意思
解题思路：
（a）先读懂全文，明白文章要表达什么，再在这个词语的上下句之间理解这个词语的意思。切记，不是机械查找词典上的意思。
例文：
古时候，有个老公公，他有两个儿子，哥哥叫阿力，弟弟叫阿智。两个人长得一模一样，邻居都夸这两个孩子长得好，长大都会有一番作为。老人也用心关注着他们的成长。
几年后，他们长高了。老人想考考他俩，就从集市上买回两把未开刃的斧头。老人对他们说：“今天我买回这两把斧头，明天你俩上山砍柴。要各砍各的，看谁砍得多，回来得早。”
第二天，兄弟俩按父亲的吩咐，各自行动了。
阿力想，要砍得快，砍得多，就得抓紧时间，他拿上斧头、扁担和绳子就匆匆上山了。到了山上，他拼命地砍呀，砍呀„„因斧子太钝，连砍几十下都砍不倒一棵小树，不多时，就累得腰酸背痛了。
阿智拿起父亲买的斧头，看斧刃厚厚的，就赶紧到井边去磨，不久，斧头就磨锋利了。他也拿上扁担、绳子上山去。到了山上，他抡起锋利的斧头，几下就砍倒了一棵小树。不多时就砍了两大捆。太阳刚刚偏西，他就背着沉重的柴回家了。阿力呢，直到太阳下山才背着不多的柴回到家里。
老人看到兄弟俩都回来了，走过去看看他俩的柴，又看看他俩的斧头，意味深长地说：“你们两个，上山早、花力气大的是阿力，下山早、砍柴多的是阿智。为什么差别这么大呢？这是因为阿智磨了斧头，这就叫做‘磨刀不误砍柴工’啊！孩子们，今后做事，不但要卖力气，还要多动脑筋呀！”
问题：联系上下文理解“磨刀不误砍柴工”的意思。要想做好一件事情，要动脑筋、想办法
（b）找出词语所在位置，圈出词语，然后认真阅读词语的前后，结合特定的语言环境理解词语。
例文：
夹丝玻璃非常坚强，受到猛击，仍然安然无恙，即使打碎了，碎片仍然藕断丝连的粘在一起。
安然无恙：本课指夹丝玻璃非常坚硬，遇到袭击，也不会破裂。藕断丝连：指玻璃虽然碎了，玻璃片仍然连在一起，不会伤人。（c）联系课文描写的情境理解词语意思。
例文：武松走了一程，酒力发作，热起来了，一只手提着哨棒，一只手把胸膛解开，踉踉跄跄，奔过乱树林来。
数学归纳思想 第3篇
关键词：数学思想方法；归纳；基本理念
在当前的数学教学中，数学思想方法在数学教学中已经必不可少，但是在具体的教学中，数学归纳演绎方法虽然受到了教育工作者的重视，但是学生的创新能力却没有受到教学工作者的重视。因此在数学教学中需要培养学生掌握一定的数学思想，以应对各种各样的数学问题。
一、数学归纳思想的基本内涵和意义
1.数学思想的重要性
在传统的数学教学中，主要的教学方向是对表面的数学知识进行讲解，也就是说在很长的一段时间里，数学思想方法被严重地忽视，这样下去学生的思维就会逐渐固化，因此，在初中的数学教学中，培养学生良好的思维能力显得十分重要。
2.归纳法是重要的数学思想方法
在数学学习中，归纳法是一种可以将不同的数学理论综合起来去看待的数学学习方法，同时更为重要的是其也可以成为进行数学探索发现的重要形式，同时数学归纳思想也在数学概念教学中发挥重要的作用，因为该方法可以帮助学生将特定的知识内容进行全面构建，特别是在初中数学学习的特殊时期，一些数学理念的建立都是靠归纳法发现的，学生在数学学习中的创造力在一定程度上也基本上是依靠归纳，所以说在学习中一旦没有归纳很可能就会丧失创新能力，而创新作为国家民族发展重要的推动力，必然不能被忽视，作为初中生必须很好地具备这种能力。在数学教学中，学生在解答一些数学问题时运用归纳思想，不仅可以很好地发现解决问题的基本规律，还可以在自身已经解决问题的基础上发掘该问题所透露出的客观存在的规律，并且可以提出富有建设性的命题，这样学生的创新性思维也会得到发展，同时在学习我们不难发现，其实归纳法是看待事物发展中透过普遍性去认识特殊性的，只有看到了事物发展中的特殊性，学生的归纳能力才能体现出来，所以说在数学教学中，教师应该把培养学生的归纳能力放在十分重要的位置，并且必须把这种思想与课堂教学有机结合起来。
二、数学归纳思想的基本特点
归纳思想是对事物规律总结和认识的过程，归纳思想的运用通俗来说就是在认识一些数学理念时，结合一些典型的案例，并对其进行观察分析，然后去总结其一般规律的过程，比如在分析a、b、c三者的基本规律时，a具有性质Z，c和c同样具备c的性质，此时学生在归纳时就可以看到这三者之间的共同规律，这样我们在分析问题时思路就会清晰明了。根据归纳方法的对象是否完全，我们可以将其分为完全归纳法和不完全归纳法，其中完全归纳法指的是在认识数学规律时完全肯定或者完全否定该对象所拥有的性质，并且根据该规律进一步推测出这种性质的一般结论，由于完全归纳法所分析的对象十分全面，因此，结论往往是正确的。不完全归纳法指的是在观察和分析数学理论时所考察的对象具备或者不具备某种性质的方法，从而去认定事物是否具备或者没有具备其基本属性的方法，由于这种方法所考察的对象不够全面，因此这种结论值得进一步推敲。
三、数学归纳思想给予教师的基本启示
首先根据教学中所遇到的基本问题对初中各个阶段的数学教师进行访谈，分析的重点主要集中在教学中是否运用了归纳思想、归纳思想教学的难点以及针对难点所采取的基本策略，从这三个方面进行分析。
针对刚刚进入初中的学生而言，如果在教学中直接讲归纳思想，这样对于抽象思维能力还不是很强的学生而言，显然是不合时宜的，比如，在学习代数的因式分解时，展开和合并的规律，有些逻辑思维较强的学生可能看了一遍后就能马上领悟，但是一些学生可能需要经过一段时间的练习后才会逐渐明白，其实归纳思想的教学难点主要集中在如何让学生发现不同数学问题中的共同点，这就需要教师循序渐进地引导。到了初中学习阶段，学生的逻辑思维能力已经有了一定的进步，但是还不够成熟，这时候教师可以先给学生一些简单的归纳推理问题让学生去探究，对于一些数学理论理解力比较强的学生而言，可能很快就找到了基本的内在规律，比如，一次函数的象限分布规律，只需要将k、b的正负关系弄明白就可以很快归纳出共同的规律，并且教师在教学中需要让学生善于观察不同函数图象的异同点，比如，反比例函数和正比例函数之间的异同点就需要学生自己去归纳总结。
综上所述，针对初中各个年级学生的基本情况，其对归纳思想的认识是随着不同年龄段和年级所学的知识不断产生变化的，总之是随着学生的学习能力基本呈现正比例发展的，对于刚进入初中的学生而言，其归纳能力和意识还比较弱，即其发展了基本规律但是还不善于运用数学语言加以表述，另外，由于学生的学习方法比较被动，教师给学生的一些数学概念和理论往往都是自己事先演绎好后给到学生的，学生归纳的机会比较少，因此，教师需要注重给学生提供一个观察问题、发现问题的平台，最后让其在实践中印证其归纳的理论。这样学生的归纳思想才会在具体的教学实践中得到体现，同时给教师的教学启示也会通过学生的学习状态展现。
参考文献：
[1]孟丽秀.合情推理模式在数列习题教学中的价值[J].数学教学通讯，2012（12）.
[2]侯庆盛.归纳推理在初中数学教学中的应用[J].数学学习与研究：教研版，2009（7）.
不等式中的数学思想方法归纳 第4篇
一、数形结合思想有利于简化解题过程
有些不等式有明显的几何背景.对于二次不等式求解集, 高次不等式的穿根法求解集, 就是借助几何图形而得.如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立联系, 则可设法构造图形, 将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形加以解决.这种数形结合法可以避免解不等式时求交集的运算, 解法简练、清楚, 是一种生动活泼的思维方式.用数形结合法解不等式问题的关键, 是要准确画出所构造的两个函数图象, 自变量的取值范围要准确定位.
分析:如果把不等式两边都看成函数的话, 这两个函数式都有其几何背景, 利用函数图象的交点横坐标判断原不等式的解的变化趋势, 是一种既直观又简捷的解题方法.
∴两函数图象在4
点评:“由数到形”与“由形到数”的交替转化, 就促成了不等式的合理解决.对于含有字母系数的不等式问题, 通过图形寻找解题思路, 直观而又简明, 因为在确定问题的解集时, 借助于图形体现了数与形的巧妙结合.此题若用代数方法求解, 需分类讨论解无理不等式, 不但易出错, 而且运算量大.
二、分类讨论思想有助于生成解题思路
在解不等式的过程中, 如果含有参数, 一般都要对参数进行分类讨论, 要会分析和寻找引起分类讨论的原因, 并能按一定标准进行讨论, 做到分类合理, 不重不漏.
例2%解关于x的不等式mx2+ (m-2) x-2>0 (m∈R) .
解: (1) 当m=0时, 原不等式可化为-2x-2>0, 即x<-1;
(2) 当m=-2时, 原不等式化为 (x+1) 2<0, 此时不等式无解;
点评:未知数的系数和多项式因子的变化情况都是引起分类讨论的因素, 因为既要考虑分式的分母为0的情况, 又要注意两个根大小的比较, 这样就形成不同层次的分类问题.解含有参数的一元二次不等式问题, 根据变形或解集形式的需要, 应就参数的多种情况按几个不同层次分类讨论, 每一层次的划分是在变形或解题过程中, 在探明“方向”后再进行分类讨论.
三、探索思想寻找解题思路
如果不等式的解是确定的, 由此寻求不等式中参数变化情况, 需要利用探索思想设想出合乎要求的一些条件.
∴当c≥1时, 原不等式对一切实数x都成立.
数学归纳思想 第5篇
1、怎么自强？
理想，自强的航标；战胜自我，自强的关键；扬长避短，自强的捷径。
2、应对挫折的有效方法
树立正确的人生目标；正确认识挫折，采取恰当的解决办法；应激发探索创新的热情；学会自我疏导。【⑴合理宣泄法，⑵移情法，⑶目标升华法。】
3、为什么要对未成年人给予特殊的保护？
未成年人代表着祖国的未来、民族的希望，肩负着实现中华民族伟大复兴的历史重任。然而，未成年人的生理、心理都不成熟，没有经济实力，缺乏自我保护能力。
4、保护未成年人的专门法律：未成年人保护法、预防未成年人犯罪法
5、在未成年人保护法中为我们设置了四道防线：家庭保护、学校保护、社会保护、司法保护。
6、善于斗争:违法犯罪分子往往是凶恶、狡猾的。我们在与其斗争时，既要勇敢，又要机智。特别是在双方力量对比悬殊的情况下，不要与其硬拼，而要讲究智斗，尽量减少不必要的伤亡，力求在保护自己的前提下，巧妙地将不法分子抓获。
数学归纳思想 第6篇
关键词： 函数 例题 思想方法
函数问题是初中数学基础知识的重要组成部分，也是每年中考必考的一大热点.其中蕴含的思想方法极为丰富，对学生观察、分析、解决问题的能力都有十分明显的提升作用.初中函数介绍了有关函数的一些最基础、最初级的知识，为学习高中函数知识打下了坚实的基础.本文结合初中函数的知识范畴，对解函数题常用的思想方法作简单的归纳及应用.
一、待定系数法
该方法主要用于求一次函数（正比例函数）、反比例函数、二次函数的解析式.它的一般步骤是（一设、二列、三解、四还原）：（1）先设待求函数关系式，其中包括未知的系数.（2）把自变量与函数的对应值代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程或方程组.（3）解方程（组）求出待定系数的值.（4）写出函数关系式.例如已知一次函数的图像经过点（-1，1）和点（1，-5），求这个函数的解析式.简析：本题考查用待定系数法求一次函数解析式.解：设所求函数关系式为：y=kx+b由题意，得1=-k+b-5=k+b.解这个方程组，得k=-3b=-2，这个函数解析式为：y=-3x-2.点评：用待定系数法求函数解析式或待定系数是每年中考考查的一大热点，它的解题思路就是按四个步骤进行.
二、数形结合法
该方法主要用于解答含有几何图形的函数题，这种类型的函数题最大的特点是数形结合，即用代数的方法研究几何问题.例如（2006年泉州中考18题）如左图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC的长为常数，点P从起点C出发，沿CB向终点B运动，设点P所走过路程CP的长为x，△APB的面积为y，则下列图像能大致反映y与x之间的函数关系的是（？摇 ？摇）
简析：解决本题的关键是读懂图意，表示出y与x的关系式，从而判断图像的形状.
解答：设BC的长度为常数k，则y=■×2×k-■×2x=k-x，那么此函数为一次函数，因为x系数小于0，所以应是减函数.故选C.点评：把几何图形放在平面直角坐标系中，将函数的概念与几何知识巧妙结合，解这种类型的函数题，常用数形结合法，这种方法常常用化“虚”为“实”，化“难”为“易”.
三、配方法
对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数通过配方变成顶点式y=a（x-h）■+k的形式，则得到顶点坐标（h，k），对称轴直线x=h；若a>0，函数y有最小值k；若a<0时，函数y有最大值为k.例如某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间.市场调查发现：若每箱发50元销售，平均每天可售出90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱.（1）写出售价x（元/箱）与每天所得利润w（元）之间的函数关系式；（2）每箱定价多少元时，才能使平均每天的利润最大？最大利润是多少？解：（1）依题意得：y=（x-40）[90+3（50-x）]或y=（x-40）[90-3（x-50）]；（2）由（1）得：y=（x-40）[90+3（50-x）]=-3x■+360x-900=-3（x-60）■+1200，∵a=-3<0抛物线开口向下，又40 四、分类讨论法 该方法解函数题的关键在于列出函数关系式，再进行分类讨论. 例如：甲、乙两旅行社服务质量相同，组织旅游去A地价格是每人400元，如果10人以上集体购票，甲旅行社给予每位游客七五折优惠；乙旅行社在优惠320元的基础上，每人享受8折优惠.试分别列出甲、乙两集体组团去A地的总收费用y（元）与参游人数x（人）的函数关系式，并帮助选择哪家旅行社的总费用较少.解：依题意得y■=400×0.75x即y■=300x，y■=400×0.8x-320即y■=320x-320，分类讨论：①当y■=y■时，解得x=16；②当y■>y■时，解得x<16；③当y■ 五、跨学科联系渗透法 该方法主要用于解决跨学科的函数问题.这种类型的函数题常与物理、化学进行有机滲透，体现了数学作为工具学科的本质特征. 例如：已知二氧化碳的密度p（kg/m■）与体积V（m■）的函数关系式是p=■.求当V=5m■时，二氧化碳的密度p，并说明二氧化碳的密度p随体积V的增大或减小而变化的情况，简析：这是一题应用反比例函数性质与物理相结合应用题.解：依题意得p=■=1.98（kg/m■），∵k>0，∴当CO■体积增大密度减小，体积减小密度增大.点评：跨学科函数题的关键是熟练进行学科知识联系，解决相应跨学科问题的知识间的相互渗透. 一、理想化法 理想化法是中学物理课本中研究物理现象和规律最基本、最广泛的方法, 在研究的过程中假设一些理想条件或忽略某些次要因素, 突出本质因素, 从而得到与实际情况近似的合理结果。 其一般包括两个方面:理想化实验和理想化模型。理想化实验是在真实实验的基础上, 通过对条件进行理想化处理, 进一步得出更本质的结论, 是一种假想实验或思想上的实验, 不能用真实实验直接探究或验证。例如伽利略论证惯性定律所设想的实验就是物理学史上著名的理想实验, 其认为若没有摩擦阻力, 从斜面滚下的小球将在无限长的水平面上永远运动下去。理想化模型可以说已经渗透到了课本中, 尤其在实验中常常用来代替客观原型。实验“探究单摆周期与摆长的关系”, 单摆就是实际摆的理想化模型, 实验过程中也采用了理想化处理, 假设悬线不可伸长, 悬点的摩擦和小球摆动过程中空气阻力不计, 等等;电学实验中把电压表看作内阻无穷大的理想电压表, 把电流表看作内阻为零的理想电流表;运动学中的质点、自由落体运动、匀速直线运动, 机械振动中的弹簧振子, 静电场中的点电荷、试探电荷、匀强电场等都进行了理想化处理。 二、等效替代法 等效替代法是物理实验中常用的研究方法, 是把一些复杂问题用简单的或已经解决的问题来代替, 但不会改变物理效果。比如“探究求合力的方法”实验, 先用两个互成角度的力拉橡皮条, 再用一个力代替这两个力使橡皮条伸长相同的长度, 两种情况下作用效果相同, 是一种等效替代, 把这一个力称为另外两个力的合力;“碰撞中的动量守恒”实验, 把小球水平速度的测量等效地转化为水平位移, 这种方法直观明了, 大大地简化了实验过程。 三、累积法 实验中一些微小量用常规仪器难以直接准确测量, 将其累积变大量测量的方法为累积法。例如“探究单摆周期与摆长关系”实验, 用秒表直接测量单摆做一次全振动的时间T, 误差很大, 这时, 可测量多次 (3050次) 全振动的时间t, 那么, 单摆的周期T=t/n (n为全振动次数) 。这种方法可提高测量准确度, 减小实验相对误差。在“测定金属电阻率”的实验中, 除了用螺旋测微器直接测量金属丝直径外, 还可将金属丝密绕在铅笔上, 由线圈的排列长度除以圈数得到金属丝直径。 四、模拟法 它是通过设计与物理现象或过程相似的模型, 并利用该模型间接研究原型的方法。典型实验就是电学部分“电场中等势线的描绘”, 由于直接描绘静电场的等势线很困难, 而恒定电流的电场与静电场相似, 因此用恒定电流的电场模拟静电场中等势线的分布情况;电场线可以形象地描述电场的分布, 形状通过实验来模拟;还有磁场线、铁棒的磁化和退磁、布朗运动等都是模拟的例子。 五、控制变量法 一个物理量或现象往往受很多因素的影响。保持其他因素不变, 研究某一因素与该物理量的关系, 称之为控制变量法。如在“探究加速度与力、质量的关系”实验中, 先保持物体质量不变, 分析加速度与力的关系, 再保持力不变, 分析加速度与质量的关系。最后综合分析得出它们之间的关系。“影响电荷间作用力的因素”、“探究导体电阻与其他因素的关系”实验也用到了该实验思想。 六、图像法 将物理量间的代数关系用图像方式来表示, 可清晰描述物理量之间的动态变化过程, 把物理量之间的相互依赖关系 (线性关系、周期性等) 形象直观地呈现出来, 能产生一般计算法所不能得到的效果。在振动和波的这部分内容中图像法是主角。简谐振动通过图像来描述单个质点位移随时间的变化关系, 简谐波也是运用图像来描述不同质点在同一时刻偏离平衡位置的位移;在“探究小车速度随时间的变化”、“测绘小灯泡伏安特性曲线”实验中都运用了此方法来处理数据。 七、放大法 为了提高测量精度, 把物理量的数值变大、作用时间延长、作用空间扩展的方法叫做放大法。对象不同, 放大时所使用的方法也各异。螺旋测微计、读数显微镜等测量仪器的机械部分都是采用螺旋测微装置进行的, 螺旋测微计就是把沿轴线方向微小移动量用可动尺上较大的旋转量表示出来;库伦扭秤实验中运用了两次放大:一方面微小的力通过较长的力臂可以产生较大的力矩, 使悬丝产生一定角度的扭转, 另一方面在悬丝上固定一平面镜, 它可以把入射光线反射到刻度尺上, 通过反射光线射到刻度尺上的光点移动, 就可把悬丝的微小扭转显现出来。将微小形变放大的具体应用还有卡文迪许引力实验等。 八、留迹法 利用特殊手段把一些转瞬即逝的现象记录下来可便于研究。在动力学实验中, 利用打点计时器在纸带上留下的点迹来记录小车或重物在不同时刻对应的位置, 通过分析点迹计算得出实验结果。“用打点计时器测速度”、“探究小车速度随时间变化的规律”、“探究加速度与力、质量的关系”等实验都用到此方法。另外, 用频闪照相机记录自由落体或平抛运动中小球的轨迹;在“电场中等势线的描绘”实验中, 用探针通过复写纸在白纸上留下的痕迹记录等势点的位置, 这些都是留迹法在实验中的巧妙应用。 总之, 在新课程改革的环境中, 我们必须摒弃“实验不重要、干讲比实做好、用动画代替真实实验”等错误的观念, 进一步重视落实实验教学的创新和实验仪器的配备, 深刻领悟真实实验中的思想方法, 这样才能全面促进实验教学的开展, 更好地为学生服务。 摘要：本文论述了存在于物理实验教学中的思想方法, 主要包括理想化法、等效替代法、累积法、模拟法、控制变量法、图像法、放大法和留迹法。 关键词：新课程改革,物理实验教学,思想方法 参考文献 [1]邱会.浅谈高中物理实验教学的策略与方法[J].数理化教学, 2007, (7) . [2]靳玉峰.关于高中物理实验教学的思考[J].基础教育, 2010, (10) . [3]李珍.新课程实施中高中物理实验教学模式探究[J].桂林师范高等专科学校学报, 2009, (12) . 今年兄弟俩的年龄加起来是55岁, 曾经有一年, 哥哥的岁数是弟弟今年的岁数, 那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的两倍。问哥哥和弟弟今年年龄各是多少岁? 分析与解:设哥哥今年x岁, 则弟弟是 (55-x) 岁。过去某年哥哥岁数是55-x岁, 那是在x- (55-x) 即2x-55年前;当时弟弟的年龄是 (55-x) - (2x-55) 即110-3x。列方程为 解得x=33 即哥哥今年33岁, 弟弟今年22岁。 2 向雷锋叔叔学习 小丽和小刚两个小朋友向雷锋叔叔学习, 准备把零用钱攒起来, 以后寄给希望工程, 帮助贫困地区的小朋友上学。小丽现有5元钱, 她计划每年节约11元;小刚现有3元, 他打算每年节约12元。问他们俩几年后钱数能一样多吗?如果他们俩准备一共凑足100元, 问需要几年? 分析与解:设x年后, 他们攒的钱数一样多, 则有: 解得x=2 设要凑足100元, 需要y年, 则有: 解得y=4 即两年后他们俩的钱数一样多, 他们俩一共凑足100元, 需要4年。 3 至少有几个人做的数学题 9月1日开学那天, 数学课代表向李老师汇报说:“我们六年级100个同学, 在暑假里一共做了1600道数学题。”李老师听了非常高兴, 立刻表扬了他们。接着李老师问课代表:“你知道这100个同学中, 至少有几个人做的数学题一样多吗?”课代表答不出来。同学们, 你能帮助课代表解答这个问题吗? 分析与解:把六年级的100人, 按3人一组来分, 可以分成33组还剩下1人。假设第一组3个人都没做题, 也就是每个人都做了0道题;第二组每人都做1道题;第三组每人都做2道题;这样第33组每人都做32道题。剩下的1个人要是和前面的99人做的题数不一样, 那么至少也要做33道题。这样100人共做了: 超过了1600题。要不超过1600题, 必须有1个同学或更多的同学少做题, 合起来一共要少做17道题。其实只要有1个同学少做题, 那么这个同学就可以归到做题少的那组去。这样一来, 那个组就会有4个人做的题数一样多。这就是说, 这100个同学中, 至少有4个人做的数学题一样多。 4 奇特的长跑 小明在400m长的环形跑道上练习长跑。上午8点20分开始, 小明按逆时针方向出发, 1分钟后, 小明掉头按顺时针方向跑, 又过了2分钟, 小明又掉头按逆时针方向跑。如此, 按1、2、3、4、分钟掉头往回跑。当小明按逆时针方向跑到起点, 又恰好该往回跑时, 他的练习正好停止。如果小明每分钟跑120m, 那么他停止练习时是几点几分?他一共跑了多少米? 分析与解根据题意, 小明在跑1、3、5、分钟时, 每次按逆时针方向, 比前一次增加120m。他停止练习时, 那次是按逆时针方向跑, 并离开起点的距离应是120和400的最小公倍数1200m。于是得出他沿逆时针方向跑了1200÷120=10 (次) 。他停止练习前那次跑了102-1=19 (分钟) , 他一共跑了1+2+3++19=190 (分钟) , 即3小时10分, 由此可求出停止练习时的时刻 (11时30分) 和停止练习时他一共跑了的路程。 即小明停止练习时是11时30分, 他一共跑了22800m。 5 五个少年 五个少年, 依次相差1岁, 在1994年共同发奋学习, 到公元2018年时, 他们都在科学上做出了很大贡献。那时他们的年龄也增长了, 他们五人在公元2018年的年龄之和正好是1994年的年龄之和的3倍。问在1994年时他们的年龄各是多少? 分析与解设年龄为中间数的一个少年在1994年是x岁, 则其余四人的年龄分别为x-2岁、x-1岁、x+1岁、x+2岁。 在1994年五人年龄之和为: 2018年五人年龄之和为: 因为这五个少年2018年的年龄之和是1994年年龄之和的3倍, 所以: 解得x=12 因此, 这五个少年的年龄分别为10岁、11岁、12岁、13岁和14岁。 6 明明的姐姐的岁数 李老师问明明的姐姐今年几岁了。明明的姐姐说:“4年前, 我的年龄正好是弟弟年龄的3倍。”李老师又问明明:“你姐姐今年几岁?”明明说:“姐姐今年的年龄是我今年年龄的2倍。”请问今年姐姐、弟弟各几岁? 分析与解设弟弟今年x岁, 姐姐今年2x岁。根据题意得, 即姐姐今年16岁, 弟弟今年8岁。 7 小勇跟爷爷去赶集 小勇跟爷爷去赶集, 看见集市的一角有44只白鹅和山羊, 它们共有100条腿。请问白鹅和山羊各有几只? 分析与解设白鹅为x只, 山羊则为 (44-x) 只。依题意可列方程: 解得x=38 中考作为选拔性考试, 更侧重于能力测试, 归纳能力的测试越来越得到出题者的重视.本文拟从枚举、类比、实验、统计与模式等方面对各地中考试题进行探索与分析. (一) 枚举归纳 枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有的某种性质得出这类事物的所有分子都具有该性质的逻辑方法.枚举归纳法只依靠所枚举的事例的数量, 因此它所得到的结论可靠性较低, 一旦遇到一个反例, 结论就会被推翻.但是枚举归纳法仍有一定的作用, 通过枚举归纳法得到的结论可作为进一步研究的假说. 例1 (2009本溪) 如图所示, 已知点A (0, 0) , B (, 0) , C (0, 1) , 在△ABC内依次作等边三角形, 使一边在x轴上, 另一个顶点在BC边上, 作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1, 第2个△B1A2B2, 第3个△B2A3B3, 则第n个等边三角形的边长等于__. 分析显然要求第n个等边三角形的边长, 需要求出第1个等边三角形的边长、第2个等边三角形的边长从中发现规律, 顺利解决.△ABC在平面直角坐标系下, 显然OB=, 通过计算可得出 解答案为 点评此题把图形的数量关系坐标化, 将其转化为长度关系, 并且一开始就没有给出第1个等边三角形的边长, 需要根据已知来求, 然后依次求第2个、第3个然后归纳得出一般结果.这类问题注重检验考生的学习潜能, 仅仅有死的知识是不行的, 还必须具备较强的逻辑判断能力、运算能力与归纳推理能力. (二) 类比归纳 类比归纳法是对两种或两种以上在某些关系上表现相似的对象进行对比, 作出归纳判断的一种科学研究方法.在中考中经常考查类比归纳法, 引导学生通过对知识的类比和归纳, 把知识由点连成线, 由线织成网, 使知识有序化、系统化, 从而使学生掌握知识内在的规律. 例2 (2008遵义) 如图1是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒, a, b是某行的前两个数, 当a=7时, b=__________. 分析一看到此题, 学生应该在头脑中马上映现出杨辉三角形的基本数表结构 (图2) , 对比杨辉三角形的性质, 通过观察、类比、归纳三角形数垒的特征, 当a=6时, 邻近的数字是16, 那么当a=7, 邻近的数字是22. 解答案为22. 点评此题以大家熟知的杨辉三角形为基本模型, 设计构造了一个新的数表, 在解决过程中需要头脑中映像出杨辉三角形的基本特征, 以此为依托, 发现两者的异同, 从而迅速准确地把握其数字规律, 从而有效解决问题. (三) 模式归纳 模式归纳是借助于已有的提供数、图表信息, 以此为依据, 构造数学模型, 进行归纳得出结论的过程.模式可以包括数的模式、形的模式、运动变化的模式、推理通信的模式、算法模式, 等等. 例3 (2007梅州) 将4个数a, b, c, d排成2行2列, 两边各加一条竖线记作, 定义=ad-bc.上述记号就叫做二阶行列式.若=6, 则x=______. 分析此题给出了一个新的运算规则, 学生需读懂这个运算规则, 然后根据运算规则, 将二阶行列式转化为一个一元二次方程, 从而获得解决. 解计算 (x+1) (x+1) - (1-x) (x-1) =6, 解得x=± 安徽余其权 考点1集合的基本概念 在学习集合的基本概念时,要理解集合元素的三大特征,理解列举法和描述法,能选择合适的语言来表示集合.在解题时,要注意集合中元素的互异性. (2)已知集合A={1,3,a},集合B={1,a２-a+1},若B⊆A,则a=_____. 解析:(1)集合A表示的是函数y = (4-x)1/2的定义域,集合B表示的是函数y=x２+1的值域,则A={x|x≤4},B={y|y≥1}, 故A∩B={x|1≤x≤4}. (2)若a２-a+1=3,即a２-a-2=0,则a =-1或a=2;若a２-a+1=a,即a２-2a+1 =0,则a=1.当a=1时,A中有两个相同的元素1,与集合元素的互异性矛盾,因此,a=1应舍去.所以满足题意的a的值为-1,2. 考点2集合的基本关系 反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.同时注意求真子集时千万不要忘记“空集是任何非空集合的真子集”.同时,A不是A的真子集. 例2 (1)设集合P={m|-1<m<0},Q ={m|mx２+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是( ). (A)PQ (B)QP (C)P=Q (D)P∩Q=Q 解析:(1)Q={m|mx２+4mx-4<0对任意实数x恒成立},对m分类: 1当m=0时,-4<0恒成立;2当m<0时,需要Δ=(4m)２-4×m× (-4)<0,解得-1<m<0. 由12知,-1<m≤0,所以Q={m|-1< m≤0}.故选A. (2)根据集合相等的含义,方程ax２+bx+ 1=0的解只有一个,为x=1.当a=0时,由x =1是一次方程bx+1=0的解,得b=-1. 当a≠0时,由x=1是二次方程ax２+bx + 1 = 0的两个相同的实数根, 得 考点3集合的基本运算 认清集合的本质特征,准确地转化为图形关系,是解决集合运算中的重要数学思想.一定要牢固掌握两个重要工具:韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借助数轴处理,而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理. (A)(-∞,0)∪(1,+∞) (B)(-∞,-3]∪(2,+∞) (C)(-∞,-3)∪(2,+∞) (D)(-∞,0)∪[1,+∞) (2)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则图1中阴影部分表示的集合为( ). (A){0,2} (B){0,1,3} (C){1,3,4} (D){2,3,4} 考点4集合中的含参问题 所谓集合中的参数问题,是指集合{p|p适合的条件}中“p适合的条件”里面含有参数的问题,解答这类问题类似于其他含有参数的问题,灵活性极强,难度也很大.在求集合中字母的取值范围时,要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号,否则会导致解题结果错误. 在有关子集问题的讨论中不要忽视对空集的讨论. 综合(1)(2),得m的取值范围是m≤3. 考点5集合的交汇题 将集合问题与其他知识交汇命题,既可以考查集合知识,又可以考查相关问题. 例5已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y ≥0},H={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω 内随机投一点P,则点P落入区域H的概率为( ). (A1 /3 (B)2 /3 (C)1 /9 (D)2/ 9 解析:作出两集合表示的平面区域如图3所示.容易得出Ω 所表示的平面区域为三角形AOB及其边界,H表示的区域为三角形OCD及其边界.容易求得D(4,2)恰为x=4,x-2y=0,x+y=6三线的交点.可得S△AOB=1 /2×6 ×6=18,S△OCD=1 /2×4×2=4.所以点P落入区域H的概率为4 /18=2 /9.故选D. 考点6四种命题及其关系 主要考查“若p则q”形式命题的四种命题的写法及其相互关系,以及真假判断,在判断真假的同时还考查对数学知识的理解和运用. 例6原命题为“若z１,z２互为共轭复数, 则|z１|=|z２|”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:设z１=a+bi,z２=a-bi,且a,b∈R, 则|z１|=|z２|=( a２+b２)1/2,因此原命题为真,所以逆否命题为真.当z１=2+i,z２=-2+i时,满足|z１|=|z２|,此时z１,z２不是共轭复数,因此原命题的逆命题为假,所以否命题为假.故选B. 考点7全称命题、特称命题及其否定 对一个全称命题或特称命题进行否定时, 通常将命题两个地方进行改变,一是量词要改变,二是结论要进行否定.判断全称命题与特称命题的真假时,主要根据命题本身涉及的知识进行判断,判断一个全称命题为真或一个特称命题为假,需要进行严格的逻辑推理,但可通过一个反例说明一个全称命题为假,举一个特例说明一个特称命题为真. 例7给出下列四个命题: 1命题“对任意x∈R,有x２≥0”的否定是 “存在x０∈R,有x０２≥0”; 2“存在x０∈R,使得x０２-x０>0”的否定是:“任意x∈R,均有x２-x<0”; 3任意x∈[-1,2],x２-2x≤3; 其中真命题的序号是(填写所有真命题的序号). 解析:对于1,“对任意x∈R,有x２≥0”的否定是“存在x０∈R,有x０２<0”,因此1错误. 对于2,命题“存在x０∈R,使得x０２-x０>0”的否定应是“任意x∈R,均有x２-x≤0”,因此2错.对于3,任意x∈[-1,2],x２-2x=(x- 1)２-1∈[-1,3],因此3正确.对于4,当x= 0时,,因此4正确.故填34. 考点8含有逻辑联结词的命题的真假判断 判断含有逻辑联结词的命题的真假时,应首先判断组成这个命题的每个简单命题的真假,然后根据真值表判断这个命题的真假.对于求参数的取值范围问题时,先把每个命题为真时参数的取值范围求出来,再根据含逻辑联结词的命题的真假,分析每个简单命题的真假情况,最后确定参数的取值范围. (A)命题p∨q是假命题 (B)命题p∧q是真命题 (C)命题p∧(﹁q)是真命题 (D)命题p∨(﹁q)是假命题 (2)设p:关于x的不等式aｘ>1的解集为{x|x>0},q:函数y=lg(x２-4x+a)的定义域为R.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则a的取值范围是. 解析:(1)对于命题p,取x=3,则3２>2３, 即9>8,因此命题p为真命题;对于命题q,取x=-π,则sin x=sin(-π/2)=-1,此时sin x>x,因此命题q为假命题.所以命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,命题p∧(﹁q)是真命题,命题p∨(﹁q)是真命题.故选C. (2)p真时,a>1;q真时,对任意x∈R,x２-4x+a>0恒成立,则 Δ=16-4a<0,即a >4. 若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则p,q是一真一假. 综上,a的取值范围为(1,4]. 考点9充分条件与必要条件的判断 判断充分、必要条件,一般有三种方法:定义法、等价法以及集合法.所以在判断充分、必要条件时应关注三点:(1)要弄清先后顺序.例如,“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B.(2)要善于举出反例.当从正面判断或证明一个命题的真假不易进行时, 可以通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化.例如,劭p是﹁q的必要不充分条件p是q的充分不必要条件. 例9设a,b∈R,则“a３-a２b<0”是“a< b”的( ). (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 解析:若a３-a２b<0,即(a-b)a２<0,则a ≠0,可得a<b,所以充分性成立.若a<b,则a -b<0,但是当a=0时,(a-b)a２=0,所以必要性不成立.故“a３-a２b<0”是“a<b”的充分不必要条件.故选A. 考点10充分条件与必要条件的探求 求一个命题的充分条件或必要条件时,一是直接对选项进行分析寻求,二是先求出充要条件,再在此基础上进行扩大或缩小范围得到相应的条件. (A)a<0 (B)0<a<1 /2 (C)1/ 2<a<1 (D)a≤0或a>1 解析:因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点函数y=-2ｘ+a(x ≤0)没有零点函数y=2ｘ(x≤0)与直线y= a无公共点.由数形结合,得a≤0或a>1.所以函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a>1,应排除D. 当0<a<1/ 2时,函数y=-2x+a(x≤0) 有一个零点,即函数f(x)有两个零点,此时0 <a<1/ 2是函数f(x)有且只有一个零点的既不充分又不必要条件,应排除B;同理,可排除C. 故选A. 考点11充分条件与必要条件的应用 在研究此类问题时,一定要注意区间端点值的检验,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 例11已知p:1<2ｘ<8,q:不等式x２- mx+4≥0恒成立.若劭p是劭q的必要条件,求实数m的取值范围. 解析:由p:1<2ｘ<8,得0<x<3. 又﹁p是﹁q的必要条件,所以p是q的充分条件.所以不等式x２-mx+4≥0对 x∈ (0,3)恒成立. 配套练习: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (A)(1,4)(B)(3,4) (C)(1,3)(D)(1,2)∪(3,4) 练习3给出以下四个命题:1若ab≤0,则a≤0或b≤0;2若a>b,则am２>bm２;3在 △ABC中,若sin A=sin B,则A=B;4在一元二次方程ax２+bx+c=0中,若b２-4ac<0, 则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、 逆否命题全都是真命题的是( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 练习5命题“x∈[1,2],x２-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ). (A)a≥4 (B)a≤4 (C)a≥5 (D)a≤5 练习6已知命题p:x２+2x-3>0;命题q:x>a,且﹁p是﹁q的一个充分不必要条件,则a的取值范围是( ). (A)[1,+∞)(B)(-∞,1] (C)[-1,+∞)(D)(-∞,-3] 练习7 (1)已知集合A={(x,y)|y=x+ 1},B={(x,y)|y=2x},则A∩B=. (2)设集合A={x,x２},且1∈A,则实数x =. 练习8 (1)已知集合A={x|log２x≤2}, B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=. (2)已知集合A={x|x２-2x-3≤0},B= {x|x２-2mx+m２-4≤0},若A∩B=[0,3], 则实数m的值为. 练习9已知集合M为点集,记性质P为 “对(x,y)∈M,k∈ (0,1),均有(kx,ky)∈ M”.给出下列集合: 1{(x,y)|x２≥y},2{(x,y)|2x２+y２< 1},3{(x,y)|x２+y２+x+2y=0},4{(x,y)| x３+y３-x２y=0}. 其中具有性质P的点集序号是. 练习10 (1)已知命题p:x>0,总有(x +1)eｘ>1,则劭p为. (2)已知f(x)=x２+2x+m,若同时满足条件:1x∈R,, f(x０)≤10,则m的取值范围是. 练习11设命题p:函数f(x)=(a-3/2)ｘ是R上的减函数,命题q:f(x)=x２-4x+3在[0,a]上的值域为[-1,3],若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数a的取值范围. 练习答案: 1.D.2.B.3.C.4.C.5.C.6.A. 7.(1){(1,2)}.(2)-1. 8.(1)4.(2)2. 9.24.对于1:取k=1 2 ,点(1,1)∈{(x,y)|x2≥y},但(1 2 ,1 2 )∉{(x,y)|x2≥y},因此 1是不具有性质P的点集. 对于2:∀(x,y)∈{(x,y)|2x２+y２<1}, 则点(x,y)在椭圆2x２+y２=1内部,所以对0 <k<1,点(kx,ky)也在椭圆2x２+y２=1的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x２+y２<1},因此2是具有性质P的点集. 对于3:原式可化为(x+1/ 2 )2+(y+1)2= 5 /4 ,点(1 /2 ,-1 /2 )在圆上,但点(1/ 4 ,-1 /4 )不在圆上,因此3是不具有性质P的点集. 对于4:∀(x,y)∈{(x,y)|x３+y３-x２y =0},对于∀k∈(0,1),因为(kx)３+ (ky)３- (kx)２· (ky)=k３(x３+y３-x２y)=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x３+y３-x２y=0},因此4是具有性质P的点集. 综上,具有性质P的点集是24. 10.(1)存在x０≤0,使得(x０+1)eｘ0≤1. (2)1<m≤2. 11.a的取值范围为(3/ 2 ,2)∪[5 /2 ,4]. 二、函数与导数部分 河南张桂霞 考点1函数的概念与表示法 对函数的概念与表示法考查的常见内容有:函数值的求解、表达式的求解以及根据函数的对应关系判断函数具有的一些特征等.利用函数的概念解题时,要抓住函数的定义域和对应关系两个核心要素,当函数的对应关系无法用解析式表示时,要从对应关系的本身进行分析判断. 例1设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数,函数g(x)(x∈N)表示x除以4的余数,对任意的x∈N,给出以下式子:1f(x)≠ g(x);2g(2x)=2g(x);3f(2x)=0;4f(x) +f(x+3)=1.其中正确的个数是( ). (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:当x是4的倍数时,可知f(x)= g(x)=0,所以1不正确;当x=2时,g(2x)= g(4)=0,而2g(x)=2g(2)=4,此时g(2x)≠ 2g(x),所以2错误;当x∈N时,2x一定是偶数,所以f(2x)=0正确,即3正确;当x∈N时,x和x+3中必有一个奇数、一个偶数,所以f(x)和f(x+3)有一个为0、一个为1,所以f(x)+f(x+3)=1正确,即4正确.故答案为C. 考点2函数的定义域 函数的定义域的考查角度有两个:一是单独考查,主要考查与分式、对数式、根式等有关的函数的定义域的求法,二是与函数的性质、导数的应用等交汇在一起进行综合考查.对于复合函数,其定义域确定的原则是:(1)如果函数f(x)的定义域是A,则f[g(x)]的定义域是使得函数g(x)∈A的x的取值范围.(2)如果f[g(x)]的定义域为A,则函数f(x)的定义域即是函数g(x)(x∈A)的值域. 例2若函数y=f(x)的定义域是[0,4], 则函数g(x)=f(x+1)/ lg x的定义域是_______ . 解析:因为y=f(x)的定义域为[0,4],所以g (x)中的x需满足即故函数g(x)的定义域是(0,1)∪(1,3]. 考点3分段函数 分段函数是高考的一个热点内容,主要考查分段函数的自变量或范围的求解、函数值的求解、参数值或范围的确定等.处理分段函数问题时,一定要明确自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应关系,代入求解. (A)1 (B)2 (C)0 (D)-1 考点4函数的单调性及其应用 函数的单调性是高考的热点内容,通常从以下几个方面考查:一是求具体函数的单调性或判断增减性;二是单调性的应用;三是与函数的奇偶性、周期性等结合起来进行考查.求函数的单调区间,务必先求函数的定义域,再研究单调问题. 例4 (1)函数f(x)=log1/２(2x２-3x+1) 的单调减区间是_____. (2)已知a为实数,f(x)=(x２-4)(x- a),若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求实数a的取值范围. 解析:(1)由2x２-3x+1>0,得函数的定义域是(-∞,1/2 )∪(1,+ ∞).令t=2x２-3x+1,则y=log1/２t.易得t=2x２-3x+1的单调增区间是(1,+ ∞),由复合函数的单调性知, f(x)的单调减区间是(1,+∞). (2)由题意可知f′(x)=3x２-2ax-4在(-∞,-2]和[2,+∞)上非负.f′(x)=3x２- 2ax-4的图象为开口向上过点(0,-4)的抛物线,由条件得所以实数a的取值范围为[-2,2]. 考点5函数的奇偶性及其应用 函数的奇偶性是高考的一个常考知识点, 常见考查角度有:一是判断具体函数的奇偶性, 常见方法有定义法、图象法、赋值法等;二是函数的奇偶性的应用,如求函数值、求解析式、求相关参数的值(范围)等;三是与函数的单调性、 对称性、周期性等融入一起进行综合考查. (2)已知函数F(x)=eｘ满足F(x)=g(x) +h(x),且g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,若 x∈ [1,2]使得不等式g(2x)- ah(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.. 考点6函数性质的综合应用 函数的单调性、奇偶性、周期性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题, 常常涉及一些抽象函数.对定义、性质、图象特征的熟练掌握和灵活应用是解决这类问题的关键. 例6 (1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点 (-3 4 ,0)对称,且满足f(x)= -f(x+3 2 ),又f(-1)=1,f(0)= -2,则f(1)+ f (2)+ f (3)+ … + f (2 015) =_____ . (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log２a)+f(log1２a)≤2f(1),则a的取值范围是. 解析:(1)由f(x)=-f(x+3 /2 ),得f(x) =-f(x+3 /2 )=f(x+3),所以f(x)是以3为周期的函数.又函数f(x)的图象关于点(-3 /4 , 0)对称,所以f(x)=-f(-x-3/ 2 ).所以f(x +3 /2 )=f(-3 /2-x),则f(x)=f(-x).所以f(-1)=f(1)=1.所以f(-1)+f(0)+f(1) =0.又因为2 015=3×671+2,所以f(1)+ f(2)+f(3)+…+f(2 015)=671×0+f(1) +f(2)=2. (2)由题意知a>0,又log1２a=log２a－１= -log２a.因为f(x)是R上的偶函数,所以f(log２a)= f (-log２a)= f (log1/２a).又f(log２a)+f(log1/２a)≤2f(1),所以2f(log２a) ≤2f(1),即f(log２a)≤f(1).又因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|log２a|≤1,则-1≤log2a≤1,即log21/ 2≤log2a≤log22,所以a ∈[1 /2 ,2].故填[1 /2 ,2]. 考点7指数函数 指数函数是高考的重点内容,考查内容主要有:一是指数幂的运算和幂值的大小比较;二是指数函数以及与指数函数有关的函数图象的应用;三是指数函数的性质及其应用. 例7 (1)已知函数f(x)=2ｘ-1/2x,函数则函数g(x)的最小值是 _______. (2)已知0≤x≤2,则的最大值为_______. 解析:(1)当x≥0时为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0.当x<0时,为单调减函数.所以g(x)>g(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0. 考点8对数函数 对数函数是高考的热点内容,主要考查三个方面:一是对数运算以及对数值的大小比较; 二是对数函数以及与对数函数有关的函数图象的应用;三是对数函数的性质及其应用. 例8 (1)设a=log32,b=log52,c=log23, 则( ). (A)a>c>b (B)b>c>a (C)c>b>a (D)c>a>b (2)若logａ(a２+1)<logａ2a<0,则实数a的取值范围是_____. (2)因为a2+1>1,loga(a2+1)<0,所以0 <a<1.又loga2a<0,所以2a>1,即a>1/ 2.所以实数a的取值范围是(1 /2 ,1). 考点9幂函数 对幂函数的考查主要涉及两个方面:一是幂函数解析式的确定及相关计算问题;二是幂函数的性质(奇偶性、单调性等). 2例9已知幂函数f(x)=xｍ2－２ｍ－３(m∈ Z)的对称轴为y轴,且其图象与x轴,y轴均无交点,则f(x)=______. 解析:因为函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.又其图象与x轴, y轴均无交点,所以m２-2m-3=(m-1)２-4 (m∈Z)是一个非正偶数.当m２-2m-3=0, 即m=-1或m=3时,f(x)=x０=1(x≠0); 当m=1时,f(x)=x－４.综上可知,f(x)=1(x ≠0)或f(x)=x－４. 考点10函数图象的识别 函数图象的识别是函数图象考查的一个热点内容,通常有两种形式:一是指已知函数解析式,从所给选项中选择出对应的函数图象,二是给出函数图象,选择对应的解析式. 例10函数的图象可能是( ). 解析:函数的定义域为{x|x≠ -1},其图象可由y=１０ｌｎ｜ｘ｜/x的图象沿x轴向左平移1个单位长度而得到,y=10ln|x| /x为奇函数,图象关于原点对称,所以y=10ln|x+1| /x+1的图象关于点(-1,0)成中心对称.可排除A,D.又x >0时,y=10ln|x+1|/ x+1>0,所以B不正确.故选C. 考点11函数图象的变换 变换图象是指给出一些基本图形,然后通过平移、对称、放缩、翻折等方式进行变换,得到新函数的图象,这是考查变图能力的主要方式. 函数图象的变换方式有对称变换、平移变换、坐标变换以及折叠变换等.对于选择题,还可以利用特殊值法(特殊点)、特性法(奇偶性,单调性, 最值)结合排除法求解,这样可以节约考试时间. 例11已知函数, 则f(1-x)的图象是( ). 解析:对于变换前的函数可知x=0时,函数值为1,变换后同样有1-x=0,即x=1时, 函数值为1,即变换后函数过点(1,1),只有答案D符合条件.故选D. 考点12函数图象的应用 应用图象是指善于借助函数的图象作为工具来分析问题、解决问题,实质上就是数形结合的思想.对于方程的根或函数的零点问题,常常可以转化为两个函数图象的交点问题,再利用函数图象来进行处理,非常直观、有效,其中准确作图是正确解题的基础,对能力要求较高. 例12若f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+1 /2|. 若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点 (互不相同 ),则实数a的取值范 围是______ . 解析:函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有互不相同的10个零点,即函数y=f(x),x∈ [-3,4]与y=a的图象有10个不同的交点.在坐标系内作出y=f(x)在一个周期内的图象,如图1,可知0<a<1/ 2.故填0<a<1/ 2. 考点13零点的个数 根据零点的定义,y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,所以方程f(x)=0根的个数就是函数y=f(x)零点的个数. 例13函数, 的零点个数为 _______. 解析:由, 得 x= -3;, 得x=e2.所以f(x)的零点个数为2. 考点14零点所在的区间问题 求解此类问题的关键是根据零点存在性定理进行分析判断. 例14函数f(x)=ln x-2/ x的零点所在的区间是( ). (A)(1,2) (B)(2,3) (C)(1 /e ,1) (D)(e,3) 解析:因为f(1)=0-2=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-2 /3>0,f(e)=1-2/ e >0,f(1 e )=-1-2e<0,所以f(2)f(3)<0. 所以函数f(x)=ln x-2/ x在区间(2,3)内存在零点.故选B. 考点15由零点存在求参数范围 已知函数有零点(方程有根)求参数范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接求方程的根, 再约束根的范围确定参数的范围;(2)分离参数法:先将参数分离,再转化为求函数的值域问题进行解决;(3)数形结合法:先对解析式进行适当变形,然后在同一坐标系中画出函数的图象, 进行观察求解. 例15若函数f(x)=2ax２+2x-3在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围为_____. 解析:若a=0,则f(x)=2x-3,f(x)=0得x=3 /2∉[-1,1],不合题意,因此a≠0. 下面就a≠0分两种情况讨论: (1)当f(-1)·f(1)≤0时,f(x)在[-1, 1]上至少有一个零点,即(2a-5)(2a-1)≤0, 解得1 /2≤a≤5 /2. (2)当f(-1)·f(1)>0时,f(x)在[-1,1]上有零点的条件是解得a>5 /2.综上,实数a的取值范围为[1/1 2 ,+∞) 考点16导数的几何意义 导数的几何意义的主要考查形式有:一是求曲线在某一点处的切线;二是求有关参数的值或范围.注意:过曲线上一点的切线,该点不一定是切点,所以要先设切点,然后求切点,也就是用待定切点法. 例16已知抛物线C１:y=x２+2x和C２: y=-x２-1/2,如果直线L同时是C１和C２的切线,称L是C１和C２的公切线,求公切线L的方程. 解析:由y=x２+2x,得y′=2x+2,则曲线C１在点P(x１,x１２+2x１)处的切线方程是y -(x１２+2x１)=(2x１+2)(x-x１),即y=(2x１+2)x-x21. 1 因为L是C１和C２的公切线,则12表示的是同一条 直线,所以消去x2得,解得x1= -1 /2 ,此时x2=-1 /2 ,点P,Q重合,两曲线有且仅有一条公切线,方程为y-x+1/ 4=0. 考点17导数的运算 导数的运算常见的考查方式有两种:一是单独考查,直接以常见函数为载体,考查导数四则运算法则及导数公式;二是与导数的应用融合在一起进行考查. 例17设函数f(x)=cos(31/2x+φ)(0<φ <π),若f (x)+f′ (x)是奇函数,则φ =_____. 考点18定积分(理科) 求曲边图形区域的面积问题,是高考考查定积分计算的常见题型,解决这类问题需要结合函数的图象,把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示.对不可分割图形面积的求解,先由图形确定积分的上、下限,然后确定被积函数,再用求定积分的方法计算面积. 例18求抛物线y２=2x与直线y=4-x所围成的 平面图形 的面积. 解法1:如图2,由得交点A (2,2),B(8,-4) 考点19利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性是高考重点考查的内容,常见考查形式为:一是求不含参数的函数的单调区间;二是求含有参数的函数的单调区间;三是已知函数的单调情况求参数的取值范围. 例19已知函数f(x)=x２-ax-aln(x -1)(a∈R),求函数f(x)的单调区间. 解析:已知函数f(x)的定义域是(1, 1若a≤0,则(a+2) /2≤1,f′(x)>0在 (1, +∞)上恒成立,所以当a≤0时,f(x)的单调增区间为(1,+∞). 2若a>0,则(a+2) /2>1,所以当x∈ (1, a+2 2 )时,f′(x)<0;当x∈ ((a+2 )/2 ,+ ∞)时, f′(x)>0.所以当a>0时,f(x)的单调减区间为(1,(a+2 )/2 ),f(x)的单调增区间为((a+2)/ 2 ,+∞). 考点20利用导数研究函数的极值(最值) 利用导数研究函数的极值(最值)也是高考考查的重点,常见考查形式有:一是求函数的极值和最值;二是已知函数的极值或最值求参数; 三是已知函数在给定区间恒成立,求参数的取值范围;四是利用最值证明不等式. 例20已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( ). (A)(-∞,0) (B)(0,1/2 ) (C)(0,1) (D)(0,+∞) 解析:f′(x)=ln x+1-2ax,由f(x)= x(ln x-ax)有两个极值点,得f′(x)=0有两个不等的实数解,即ln x=2ax-1有两个实数解,从而直线y=2ax-1与曲线y=ln x有两个交点.过点(0,-1)作y=ln x的切线,设切点为(x０,y０),则切线的斜率为k=1/x0,切线方程为y=1/x0(x-1).切点在切线上,则y0=x0/x0-1 =0.又切点在曲线y=ln x上,则,即切点为(1,0).所以切线方程为y=x1.再由直线y=2ax-1与曲线y=ln x有两个交点,知直线y=2ax-1位于直线y=0和y= x-1之间,如图3所示,其斜率2a满足0<2a <1,解得0<a<1 /2.故选B. 考点21导数的综合应用 导数的综合应用问题中,通常将函数、方程、不等式等问题结合起来,具有一定的难度和灵活性.常见的题型有:最值与不等式恒成立问题、方程有解或解的个数讨论问题、实际应用问题.求解时要注意对问题进行转化,常常运用到构造函数法、数形结合法等思想方法. 例21设函数f(x)=x２+bx-aln x. (1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x０是函数f(x)的两个不同零点,且x０∈(n,n+ 1),n∈N,求n; (2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈ (1,e)(e为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围. 解析:(1)由题意,得f′(x)=2x-a /x+b. 因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f′(2) =4-a /2+b=0. 令f(x)>0,得x>2,令f(x)<0,得0<x <2. 所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2, +∞)上单调递增.所以函数f(x)至多有两个零点,其中1∈(0,2),x０∈(2,+∞). 所以x０∈(3,4),则n=3. (2)令g(b)=xb+x2-aln x,b∈ [-2, -1],则g(b)为关于b的一次函 数且为增 函数. 根据题意,对任意b∈[-2,-1],都存在x ∈(1,e),使得f(x)<0成立,则[g(b)]ｍａｘ= g(-1)=x２-x-aln x<0在(1,e)上有解.令h(x)=x２-x-aln x,只需存在x０∈ (1,e)使得h(x０)<0即可. 所以φ(x)在(1,e)上单调递增,则φ(x)> φ(1)=1-a. 1当1-a≥0,即a≤1时,φ(x)>0,即h′(x)>0,h(x)在(1,e)单调递增,h(x)>h(1) =0,不符合题意. 2当1-a<0,即a>1时,φ(1)=1-a< 0,φ(e)=2e２-e-a. 若a≥2e2-e>1,则φ(e)<0,此时在(1,e)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立, 所以h(x)在(1,e)上单调递减,所以存在x０∈(1,e),使得h(x０)<h(1)=0,符合题意. 若2e2-e>a>1,则φ(e)>0,此时在(1,e)上一定存在实数m,使得φ(m)=0,所以在(1,m)上,φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,h(x)在(1,m)上单调递减.所以存在x０∈ (1,m),使得h(x０)<h(1)=0,符合题意. 综上所述,当a>1时,对任意b∈ [-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立. 配套练习: 练习1设函数若f(x0)>1,则x0的取值范围是( ). (A)(-1,1) (B)(-1,+∞) (C)(-∞,-2)∪(0,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞) 练习2 (1)若a=（ln 2 ）/2 ,b=（ln 3 ）/3 ,c=（ln 5）/ 5 , 则( ). (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c 练习3 (1)设1 5< (1 /5 )b< (1/ 5 )a<1,那么( ). (A)aａ<aｂ<bａ(B)aｂ<aａ<bａ (C)aa<ba<ab(D)ab<ba<aa (2)已知函数f(x)=2ｘ-2,则函数y= |f(x)|的图象可能是( ). (A)a>b>c (B)a>c>b (C)c>a>b (D)c>b>a 练习5已知则下列函数 的图象错 误的是( ). 练习6如图所示,阴影部分的面积是( ). (A)2（3）1/2 (B)9-2（3）1/2 (C)32 /3 (D)35 /3 练习7 (1)已知定义在R上的函数f(x) 满足2f(x)=f(x-1),若当 -1≤x<0时, f(x)=x(x+1),则当0≤x<1时,f(x) =______ . (2)在计算机 的算法语 言中有一 种函数 [x]叫做取整函数 (也叫高斯函数).它表示x的整数部分,即表示不超过x的最大整数.如 [2.5]=2,[2]=2,[-0.6]=-1.设函数f(x) =2[x]+[2x+6],若a∈(-2,-3 /2 )则f(a) = . 练习8 (1)的定义域是 . (2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[2, 5),则y=f(2x)的定义域是 . 练习9已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且对任意的a,b∈[-2,2],当a+b≠0时,都有,若f(m-1)-f(12m)>0,则实数m的取值范围是_____ . 练习10 (1)已知函数 (2)设x∈ (-1,1),且f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=2x-lg(1+x), 则f(x)= . 练习11 (1)已知函数y=f(x)是R上的奇函数且满足f(x+5)≥f(x),f(x+1)≤ f(x),则f(2 015)的值为 . (2)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/ y )=f(x)-f(y),f(2)=1,则不等式f (x)- f (1 /(x-3) )≤ 2的解集为_____ . 练习12 (1)已知在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是_____ . (2)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值 是_____ . 练习13若,则a的取值范围为_____ . 练习14对于实数a和b,定义运算“*”:,且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等 的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是_____ . 练习15函数f(x)=2x+x3-2在区间 (0,1)内的零点个数为 _____ . 练习16已知函数f(x)=logax+x-b(a >0且a≠1),当2<a<3<b<4时,函数f(x) 的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=_____ . 练习17已知函数若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为_____ . 练习18函数f(x)=ln x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是_____ . 练习19设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x +n),则f′(0)=_____ . 练习20已知函数f(x)=x2+aln x. (1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间; (2)若函数g(x)=f(x)+2/ x在[1,+ ∞) 上单调,求实数a的取值范围. 练习21若函数f(x)=ex-ax2-bx-1, 其中a,b∈R,e=2.71828… 为自然对 数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值. 练习22已知函数f(x)=x2ln x. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s); (3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当 练习答案: 1.D.2.C. 3.(1)B.(2)B. 4.A.5.D.6.C. 7.(1)1/ 2x(x-1).(2)-2. 8.(1)[4,6).(2)[0,2). 11.(1)0. (2)7.因为log2(m-2)+log2(2n-2)= log2(m-2)(2n-2)=3,所以(m-2)(2n-2) =23=8,且m-2>0,2n-2>0.所以4=(m-2)(n-1)≤(m-2+n-1 2 )2,可得m+n≥7,即当m=4,n=3时,m+n的最小值是7. 13.2 /3<a<3/ 2 或a<-1. 15.1. 16.n=2. 17.(1,2).画出函数f(x)的图象如 图2所示. 函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0). 当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1= a|x|的图象有3个交点.故a<2. 当直线y1=a|x|(x≤0)与曲线y=|x2+ 5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,此时,由, 得x2+(5-a)x+4=0.Δ=0,得(5-a)22-16=0,解得a=1,或a=9舍去),则当1<a<2时,两个函数的图象有4个交点.故实数a的取值范围是1<a<2 18.(-∞,2). 19.n!. 20.(1)f(x)的单调递减区间是(0,1). (2)a的取值范围为[0,+∞). 因此,当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a]. 当a≤1 /2时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1] 上单调递增,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b.当a≥e/ 2时,g′(x)≤0,g(x)在[0, 1]上单调递减,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.当1 2<a<e 2时,令g′(x) =0,得x=ln(2a)∈(0,1).所以函数g(x)在 [0,ln(2a)]上单调递减,在[ln(2a),1]上单调递增,于是g(x)在 [0,1]上的最小 值是g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b. 综上所述,当a≤1 /2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当1 /2<a<e 2时,g(x)在 [0,1]上的最小 值是g [ln(2a)]=2a 2aln(2a)-b;当a≥e /2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b. 22.(1)函数f(x)的定义域是(0,+ ∞). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1/e1/2), 单调递增区间是(1/e1/2,+∞). (2)当0<x≤1时,f(x)≤0.已知t>0,令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞). 由(1)知,h(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立. (3)已知s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s> 1,从而 三、平面向量部分 河南曹松峰 平面向量有着极其丰富的实际意义和背景,具有“数”与“形”双重身份,是“沟通代数、几何与三角函数的一种工具和桥梁”,在高中数学中占有重要地位,因此成为每年高考的一项必考内容. 纵观近年来全国各地的文、理科高考数学试卷,对平面向量的考查内容主要有:一是平面向量的线性运算及平面向量基本定理;二是平面向量的数量积;三是平面向量与其他知识的综合.从题型、难度来看,前两部分内容多以中、 低档选择、填空题的形式出现,但也有少量出现在客观题的“把关”位置,考查方向以学生的运算能力、逻辑推理能力和知识迁移能力为主;第三部分既有选择、填空题,也有解答题,有一定的难度.涉及的数学思想方法主要有:数形结合、化归与转化、函数与方程、分类讨论等. 考点1平面向量的运算及平面向量基本定理 单位向量、共线向量、相等向量等基本概念,向量的加法、减法和数乘等运算,都是平面向量中最基本的内容,几乎所有的向量问题都要涉及向量的线性运算.平面向量基本定理是向量坐标化的理论依据,是实现向量代数运算的关键,还是把平面内任意向量进行统一表示的基础,其重要地位和作用不言而喻.同学们在学习时,要注意结合向量数乘运算,理解平面向量的基本定理及其几何意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,熟练运用定理、算理、 运算律等实施计算和推证. 点评:把两个不共线的向量用同一个向量表出,时常需要借助于几何图形,充分利用向量的三角形法则或平行四边形法则来完成转化. 例2在下列向量 组中,可以把向 量a= (3,2)表示出来的是( ). (A)e１=(0,0),e２=(1,2) (B)e１=(-1,2),e２=(5,-2) (C)e１=(3,5),e２=(6,10) (D)e１=(2,-3),e２=(-2,3) 解析:只有e1=(-1,2)与e2=(5,-2)不共线,且a=2e１+e２,故选B. 点评:此题考查了平面向量的表示.由平面向量的基本定理可知,用两个不共线的非零向量作为一组基底,可以将平面内的任意向量表示出来. 点评:此题将平面向量基本定理和圆的基本性质相结合,情境设计新颖,知识结合贴切自然,侧重于“形”的考查.同学们应有意识地从 “数”与“形”两个不同的角度认识向量,进而解决有关问题. 解析:因为a∥b,所以sin 2θ=cos２θ,即2sinθcosθ=cos2θ,整理、化简,得tanθ=1 /2. 点评:此题由向量共线的坐标运算可以得到一个三角恒等式,从等式的结构入手,化弦为切,从而得解. 例5设D,E分别是△ABC的边AB,BC 解析:求解的关键是将进行向量分解,逐步用线性表出,再利用 “唯一性”比对,即可求得 考点2平面向量的数量积 向量的数量积运算是平面向量的核心内容.在研究几何元素之间的关系,如距离、夹角、 最值、取值范围等问题时,可借助平面向量数量积代数和几何的双重身份,使问题顺利得到解决.同学们在学习时,应在理解模、夹角、射影等概念的基础上,厘清数量积与实数乘积之间的区别,如,由a≠0,且a·b=0,不能推出b=0; 由a·b=b·c,不能推出a=c;(a·b)·c≠ a(b·c),等等. 例6已知向量a与b的夹角为60°,且a =(-2,-4),|b|=51/2,则a·b=______. 解析:因为,所以 例7如图1,在平行四边形ABCD中,已知 点评:此题利用向量的数量积定义巧妙地指明了三角形中的边角关系,重点考查向量的数量积运算、三角形面积公式等知识以及运算推理能力.正确进行向量的数量积运算是顺利解题的先决条件. 例9已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 解析:此题可以用向量法求解,但对于正方形中的向量问题,用坐标法解起来更为简捷.以A点为坐标原点,直线AB,AD分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),易得 点评:向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种常用方法.向量法便于研究涉及直线和各种位置关系的问题;坐标法使平面中的向量与它的坐标建立一一对应关系,以形思数, 以数解形,常常可以事半功倍. 点评:此题由两个向量垂直的位置关系,通过向量的数量积运算得到数量关系,进而联立方程组,解之可得向量a的模. 例11设a,b,c是非零向量,已知命题p: a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b, b∥c,则a ∥c,则下列命题中的真命题是( ). (A)p∨q (B)p∧q (C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨(﹁q) 解析:由于a,b,c是非零向量,且a·b= 0,b·c=0,所以可以得到a与b垂直,b与c垂直,但a与c不一定垂直,即a·c=0不一定成立.所以p为假命题.经判断命题q为真命题. 由复合命题的真值表可知A正确.故选A. 点评:此题巧妙地把向量的数量积和向量共线的有关内容设置成为命题,考查命题的否定和复合命题真假的判断,是向量与简易逻辑的完美融合,重点考查向量的基本概念与逻辑思维能力. 例12如图2,设P０是 △ABC边AB上一定点,满足P０B=1/4AB,且对于AB上任一点 (A)∠ABC=90ο (B)∠BAC=90ο (C)AB=AC (D)AC=BC 解法1(利用平面向量数量积的定义):当给出的平面向量的关系式中含有未知量时,常常利用向量数量积的公式及相关性质进行转化,得到与这个未知向量关联的变量的关系式. 本题可以尝试选择PB为变量,从将表示为PB的函数入手. 解法2(向量的坐标运算):如图3所示,建立平面直角坐标系,设A (a, 0),B(b,0),C(0,c),P(x, 0),则当x=b 2时有最小值.由条件知b /2=(b-a)/ 4 ,化简,得a+b=0,即AC=BC.故选D. 点评:此题主要考查平面向量的数量积运算,但由于题目的条件以动点变化的不等式恒成立的形式给出,使得题目的难度有所增大.解决此类问题的思路是转化为代数运算,关键是要明晰数量积运算的三个角度,一是直接利用定义,二是建立坐标系转化为代数运算,三是利用向量线性运算.无论选择哪种方法,都需要适当选择解题的突破口和解题方向. 考点3平面向量与其他知识的综合 由于平面向量具有几何与代数的双重身份,它与三角函数、解析几何、函数与不等式等知识的融合型试题常常成为高考命题的重要题眼.数学学科的考试注重学科的内在联系和知识的综合性,学科内在的联系包括各部分知识在发展过程中的纵向联系,以及各部分之间的横向联系;知识的综合性则是从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络的交汇点处设计试题,使对数学基础知识、基本技能的考查达到必要的思想深度. 解析:利用模长的计算公式可以将|b|转化为字母的代数运算.因为 点评:向量与不等式结合的题目实际上是以向量为载体考查不等式的知识,解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为不等式的问题,注意转化时不要把向量与实数的运算相互混淆. 例14已知抛物线C:y２=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k的取值可以是( ). (A)1 /2 (B)21/2/2 (C)21/2(D)2 解析:题目给出的数量积,表明两线段垂直,也就是给出了两个向量的坐标关系式.由题意知,抛物线C的焦点坐标为(2, 0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y２=8x,整理,得k２x２-4(k２+2)x+4k２=0. 设A(x１,y１),B(x２,y２),则 由123可解得k=2.故选D. 点评:近年来的高考试题突出了对向量与解析几何的结合考查,尤其是在客观题的编制上更是注重引入向量知识,通过向量实现形与数的转化,通过向量的坐标运算揭示图形的位置和数量关系.同学们可以通过利用向量的方法推导解析几何中的公式、定理的过程,体悟向量的工具性,逐渐树立应用向量的意识. (A)[4,6] 解法1:因为C的坐标为(3,0),且,所以动点D是以C为圆心的单位圆.设D(x,y),则.所以 解法2:因为C的坐标为(3,0),且,所以动点D是以C为圆心的单位圆.设 点评:此题求解的关键在于由向量的模为1,可以得到点D的运动轨迹是以C为圆心、1为半径的圆,求的范围问题可以转化为求函数最值或转化为距离问题,这样既可以实施代数运算,又可以数形结合解决问题. 例16设θ为两个非零向量a,b的夹角. 已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1,则有( ). (A)若θ确定,则|a|唯一确定 (B)若θ确定,则|b|唯一确定 (C)若|a|确定,则θ唯一确定 (D)若|b|确定,则θ唯一确定 解析:此题考查向量模的取值范围.由模长公式,可以尝试通过平方开根号的方法,将问题转化为向量的数量积运算.|b+ta|２=a２t２+ 2abt+b２,设f(t)=a２t２+2a·bt+b２,由于t∈ R,且a２≠0,该二次函数的最小值可在对称轴,即若θ确定,则|b|唯一确定,故选B. 点评:此题考查向量的模、数量积的运算、 二次函数的最值、三角函数等知识以及化归与转化的数学思想、推证运算能力,综合性较强, 有一定难度. (1)若|a|=|b|,求x的值; (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值. 解析:(1)题目给出了向量的模之间的关系,可以尝试把向量的模平方,将向量问题转化为三角函数问题. 点评:平面向量与三角函数相结合的题目, 大多是以三角函数题型为背景的一种向量描述,需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数的相关知识来解答,如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题等等. 例18如图4,在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在 △ABC三边围成的区域(含边界)内. 点评:此题考查了平面向量的坐标运算、平面向量基本定理等主干知识,第(2)问与线性规划相结合,对数形结合、化归与转化等数学思想方法的考查自然恰切,很好地体现了新课程的理念和高考的正确导向. 配套练习: 练习1已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为( ). (A)(3 /5 ,-4/ 5 ) (B)(4 /5 ,-3 /5 ) (C)(-3 /5 ,4 /5 ) (D)(-4 /5 ,3 /5 ) 练习2设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a/ |a|=b /|b|成立的充分条件是( ). (A)a=-b (B)a∥b (C)a=3b (D)a∥b且|a|=|b| 练习3已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b,则实数m等于( ). (A)-21/2(B)21/2 (C)-21/2或21/2(D)0 练习4已知平面向量a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题: 1给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; 2给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a =λb+μc; 3给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc; 4给定正数λ 和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc; 上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线. 则真命题的个数是( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 练习5已知a,b为单位向量,其夹角为45°,则(21/2a-b)·b=( ). (A)-1 (B) 0 ( C) 1 (D)2 练习6在四边形ABCD中,, ,则四边形的面积为( ). (A)51/2(B)2(5)1/2(C)5 (D)10 练习7设a,b为向量,则 “|a·b|= |a|·|b|”是“a∥b”的( ). (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 练习8已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( ). 练习10定义平面向量之间的一种运算 “⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b=mq-np,下面说法错误的是( ). (A)若a与b共线,则a⊙b=0 (B)a⊙b=b⊙a (C)对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) 练习13如图1,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O, 练习14向量a,b,c在正方形网格中的位置如图2所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ =____. 练习15设e１,e２为单位向量,且e１,e２的夹角为π/3 ,若a=e１+3e２,b=2e１,则向量a在b方向上的射影为. 练习20如图3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为. 练习21已知抛物线C:y２=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,如图4,若,则|QF| =__________. 练习22已知点A(1,-1),B(3,0),C(2, 1).若平面区域D由所有满足的点P组成,则D的面积为______. 练习23已知a= (cosα,sinα),b= (cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若|a-b|=21/2,求证:a⊥b; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若cos C=51/2/5 ,求A的值. 练习25小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A１,A２,A３,A４,A５,A６,A７,A８(如图5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X的分布列和数学期望. 练习答案: 1.A.2.C.3.C.4.B.5.B.6.C.7.C. 8.A.因为a,b是单位向量,且a·b=0,所以|即一个模为槡2的向量与c之差的模为1,可以在单位圆中解得故选A. 9.D.方法一:根据已知条件可知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2,以所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,设 10.B. 20.(2-sin 2,1-cos 2).根据题意可知, 圆滚动了2单位个弧长,点P旋转了2 1=2弧度,此时点P的横、纵坐标分 别为: 25.(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法有C８２=28种.X=0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=8/28=2/7. (2)两向量的数量积X的可能取值为-2, -1,0,1.当X= -2时,有2种情形;当X= -1时,有10种情形;当X=1时,有8种情形. 从而可进一步求出X的分布列和数学期望. X的分布列如下. 四、三角函数与解三角形部分 山东马继峰 考点1考查三角函数的概念 主要考查运用三角函数的定义求三角函数值. 例1已知角α 的终边经过点P (-2, 51/2),则cosα=( ). (A)2/ 3 (B)-2 /3 分析:先求出点(-2,51/2)到原点的距离, 然后运用余弦函数的定义求解. 考点2考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用 主要考查运用这两类公式进行三角函数式的求值、化简和证明. 点评:在利用平方关系式求值时,因为要进行开方运算,所以一定要注意对角的范围和三角函数符号的考查. 考点3考查三角函数的图象 主要考查三角函数和复合三角函数图象的画法、变换和应用,其中变换和应用是考查的热点. 例3已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图1所示,则f(0)=( ). (A)-2 /3 (B)-1 /2 (C)2 /3 (D)1 /2 分析:把函数图象和余弦曲线对照,易发现其上的点(7π /12 ,0)和(11π /12 ,0)分别对应着余弦曲线在周期[-π,π]上的点(-π /2 ,0)和(π/ 2 ,0). 又图象过点(π/ 2 ,-2 /3 ),根据上述信息列方程组,可求出参数A,ω,φ,即可确定函数解析式, 进而可求f(0). 解:依题意,可得 故选C. 考点4考查函数y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0)的性质 主要考查函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的定义域、值域(最值)、单调性、周期性、图象的对称性等性质.这是三角函数中的一个考查热点. 例4若函数f(x)=2sin(ωx+π/6)(ω>0)的图象与直线y=2的两个相邻交点之间的距离为 π,则函数f (x)的单调递增区间是_____. 分析:因为函数的最大值是2,所以函数f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点之间的距离应等于1个周期,据此,可求出ω 的值, 进而可求函数的单调递增区间. 考点5考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式 主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用. 分析:易发现,因此分别求出π/ 4+α,π /4-β的正弦值,即可运用两角差的余弦公式求解. 分析:把条件式等号右边的角α化为(α+β)-β,然后用两角差的余弦公式把条件式变形,从中即可求出tan(α+β)的值. 考点6考查二倍角的正弦、余弦、正切公式 主要考查二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用. 考点7考查简单的三角恒等变换 主要考查综合运用我们在必修4学习的三角公式,进行一些简单的三角恒等变换,解决化简、求值、证明等问题. 分析:先运用二 倍角的正 切公式求 出tan[2(α-π /6 )]的值,然后运用两角和的正 切公式求tan(2α+β). 分析:先依据条件式求出cosβ的值,然后运用降幂公式求cosβ/ 2. 分析:把条件式展开,从中构造出tan(α+ β),求出其值,进而求α+β的值. 考点8考查三角函数和三角恒等变换的综合问题 主要考查通过三角恒等变换化简三角函数式,进而研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等性质,有时还考查三角函数的图象变换、三角方程和三角不等式的解法. (1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间; (2)当a>0,且x∈[0,π]时,f(x)的取值范围是[3,4],求a,b的值. 分析:(1)先运用倍角公式和添加辅助角公式,把函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+h的形式,然后求其单调区间;(2)仍是先把函数化为Asin(ωx+φ)+h的形式,然后依据其函数值的范围,列方程组求a,b的值. 考点9考查正弦定理的应用 主要考查运用正弦 定理求三 角形的边 长和角. (A)15° (B)75° (C)105° (D)15°或75° 分析:先运用正弦定理,求出角C,再运用三角形内角和定理求A的值. 例13在△ABC中,BC=2,AB=31/2,则角C的取值范围是____. 分析:先运用正弦定理,用sin A表示出sin C,进而根据sin A的取值范围求出sin C的取值范围,再结合C<A求角C的取值范围. A,则C∈(0,π ).综上,可知角C的取值范围 考点10考查余弦定理的应用 主要考查运用余弦定理求三角形的边长和角. 例14在 △ABC中,a=1,b=71/2,B= 60°,则c=. 分析:因为已知角B和边b,所以可考虑运用余弦定理列方程,则此方程中只有一个未知数c,解之即得其值. (A)π /6 (B)π /3 (C)2π /3 (D)5π /6 分析:运用余弦定理的推论,从条件式中分离出cos A并求出其值,进而求A. 考点11考查正弦定理、余弦定理的综合应用 主要考查综合运用正弦定理和余弦定理求三角形的边长和角. (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 分析:先运用正弦定理,把sin C = 21/23sin B“化角为边”,然后联立a２-b２=31/2bc,这样,就可以用一边表示另外两边,最后运用余弦定理的推论求A的值. 点评:在本例中,正弦定理的主要功能是进行边角转化,余弦定理的推论的主要功能是求解.根据求解目标,准确运用正弦定理进行边角转化,是本例求解的一个关键. 例17在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=31/2acos B. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值. 分析:(1)运用正弦定理,把bsin A = 31/2acos B“化边为角”,即可求出tan B的值,进而求出B的值;(2)先运用正弦定理,把sin C= 2sin A“化角为边”,然后运用余弦定理求a,c的值. 解:(1)已知bsinA=31/2acos B,由正弦定理,得sin BsinA=31/2sin Acos B,即sinB=31/2· cos B,所以tanB=31/2.因为0<B<π,所以B=π/ 3. (2)已知sin C=2sin A,由正弦定理,得c= 2a.又由余弦定理,得b２=a２+c２-2accos B,即9 =a２+4a２-2a２,解得a=31/2,则c=2(3)1/2. 考点12考查解三角形的实际应用 主要考查运用解三角形知识解答实际应用问题,常见的问题有求距离、求角等. 例18如图2,某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC =60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角∠OAC= 15°,A地测得最高点H的仰角∠HAO=30°, 求该仪器的垂直弹射高度CH (结果保留根式). 分析:先在△ABC中运用余弦定理列方程求出AC的值,然后在△ACH中运用正弦定理求出CH的值. 解:设AC=x,则BC=x-40. 在△ABC中,根据余弦定理,可得BC２= BA２+CA２-2|BA||CA|cos ∠BAC,即(x- 40)２=x２+10000-100x,解得x=420,即AC =420. 所以该仪器的垂直弹射高度CH为140(6)1/2米. 评注:解三角形知识应用于实际,主要解决实际生活中的测量问题.解答此类问题和别的数学应用题解法一样,一般按建模———解模———回归的步骤进行. 考点13有关三角形的计算问题 主要考查解三角形与三角形面积的综合问题. 例19在△ABC中,若A=2π /3 ,a=7,c= 5,则△ABC的面积等于____ . 分析:先运用正弦定理,求出sin C,进而求出sin(A+C),即为sin B,最后运用三角形面积公式求其面积. 例20已知在 △ABC中,a=1,B=45°, S△ＡＢＣ=2,则b等于( ). (A)4( 2)1/2(B)3 (C)5 (D)411/2 分析:运用含sin B的面积公式,先求出c, 然后运用余弦定理求b. 点评:本例是一个与三角形的面积有关的问题.已知三角形的面积,求三角形的边或角, 有的可直接求解,有的则需借助正、余弦定理求解.求解时,常选用含有已知角的面积公式. 配套练习: 练习1若点P(m,n)(n≠0)为角420°终边上一点,则n/ m等于( ). (A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 练习3已知tanθ=2,则sinθcosθ =( ). (A)-2 /5 (B)2/ 5 (C)±2 /5 (D)4/ 5 练习4把函数y=cos(x-π /6 )的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值为( ). (A)π /12 (B)π/ 6 (C)π /3 (D)π /2 (A)ω=π/ 6 ,φ=π /3 (B)ω=φ=π/ 3 (C)ω=π/ 3 ,φ=π /6 (D)ω=6,φ=π /6 练习6已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0 <φ<π)为偶函数,其部分图象如图2所示,A, B分别为最高点与最低点,并且A,B两点间距离为2(5)1/2,则ω,φ的值分别是( ). (A)ω=π /2 ,φ=π /4 (B)ω=1/ 2 ,φ=π/ 2 (C)ω=π/ 4 ,φ=π/ 2 (D)ω=1/ 4 ,φ=π /2 练习7若直线x=π /4是函数f(x)=A· sin(x+φ)(A>0)的图象的一条对称轴,则y= f(π 4-x)是( )./ (A)奇函数且图象关于点(π/ 2 ,0)对称 (B)偶函数且图象关于直线x=π/ 2对称 (C)奇函数且图象关于直线x=π /2对称 (D)偶函数且图象关于点(π/ 2 ,0)对称 (A)1 /2 (B)-1 /2 (A)7 (B)1/ 7 (C)-7 (D)-1 /7 (A)3/ 2 (B)3/ 4 (C)1 /2 (D)-1 /2 (A)最小正周期为π的偶函数 (B)最小正周期为π的奇函数 (C)最小正周期为2π的偶函数 (D)最小正周期为π/ 2的奇函数 练习14如图3,在四边形ABCD中,B= C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( ). 练习21在锐角 △ABC中,BC=1,B= 2A,则AC的取值范围为____ . 练习23设 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=1/ 4 ,则sin B= ____. 练习24在△ABC中,若sin2A-sin2B =2sin Bsin C,c=3b,则角A的值为____ . 练习25如图4,为测得河 对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,在C处测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得 ∠BDC=45°,则塔AB的高是________米. (1)求cos A的值; 练习28为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪.如图5,要求在考点A周围1千米处不能收到手机信号.检查员抽查A考点,在考点正西约31/2千米B处有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手 机接通电话,以每小时12千米的速度沿 公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格? 练习29如图6,为绘制海底地貌图,测量海底两点C,D间的距离,海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,C,D在同一个铅垂平面内.用海底探测仪测得 ∠BAC=30°, ∠DAC=45°,∠ABD=45°,∠DBC=75°,A,B两点的距离为31/2海里. (1)求△ABD的面积; (2)求C,D之间的距离. 练习答案: 1.D.2.A.3.B.4.B.5.B.6.C. 8.D. 9.A. 10.B. 11.A. 12.D. 所以函数f(x)的值域为[-3,3 /2 ]. 28.如图所示,过点A作AM与公路所在的直线垂直于点M , 在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,所以△ACD是正三角形,所以CD=1千米. 由BC/ 12×60=5,得在BC和CD上各行使5分钟. 答:最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟考点才算合格. 29.(1)在 △ABD中,因为 ∠BAD = ∠BAC+∠DAC=30°+45°=75°,所以∠ADB =60°. (2)因为 ∠ABC= ∠ABD+ ∠DBC=45° +75°=120°,∠BAC= ∠BCA=30°,所以BC =AB=31/2,所以AC=3. 1.归纳推理之概念。归纳与推理不仅是数学中较为常见的一种思想过程，而且是在其他学科的学习以及日常生活中会常常使用到的一种思维方式。归纳与推理一般指，由个体或者特殊到一般的推理过程。 2.归纳推理之分类。归纳推理可以分为完全归纳推理及不完全归纳推理，划分依据为归纳对象是否完备。第一类完全归纳推理，是指，以某一类事物中的每一个对象，作为得出该类事物普遍性结论的依据。它能够作为数学中的一种严格推理的方法来使用。例如，在学习圆周率定理证明时，就是利用完全推理法，对圆心在角的内部、外部、边上三种情况进行证明之后，得出结论。第二类不完全归纳推理，是指以某类事物中的一部分对象作为推理对象，得出该类事物的一般性结论。从这里可以看出，不完全推理只是列举了事物对象中的一小部分，因此，结论与前提之间的联系并非必然存在。正因为如此，不完全归纳推理所得的结论不一定可靠，其不可作为数学的一种证明方法。但是，不完全归纳推理却是一种较为有用的发现方法。因此，其也在初中数学中被较为广泛的运用。例如，在探究数列的规律性时，教师可引导学生应用此方法。 二、初中数学归纳推理教学之意义 1.促进初中生思维的发展。通过大量的研究表明，初中生的思维处在由形象思维到抽象思维过渡的阶段，也就是说其思维还较难脱离具体的某种或者某个事物，较难离开事物的表象。一旦需要其解决的问题超出了他们现有的心理水平，思维就会无法继续，形成思维障碍。例如，在初中几何学习中，有对多边形对角线特性探索这一内容，因为在日常生活中难以见到多边形，在学习这一内容时就脱离了具体的图像，学生普遍较难理解。此时，根据学生的思维特征，进行归纳推理教学，就能够较好的促进学生抽象思维的发展，达成教学目标。 2.使得学生成为学习主体。作为一名初中数学教师，教学任务不仅仅只是将课本上的知识教授给学生，而更应当是培养学生思考问题、解决问题的能力，培养学生自主学习的习惯，激发起创造性思维。让学生能够在学习知识的同时，领会数学家在探求知识时摸索的过程，尝试进行归纳、推算、演绎，探索数学规律，成为学习的主体。例如，在教授有理数乘方这一知识点时，教师可以模拟拉面师傅做拉面的过程引导学生进行学习。教师可以让学生准备一些白色的长毛线当作拉面，自己亲自动手模拟做拉面的过程，并且在每次将面条对这之后的根数进行记录。最后将所得的数据进行整理，互相交流。教师引导，由学生将乘方的定义归纳出来。在这一过程之中，学生不仅能够亲自动手参与实践，而且能够通过一种较为真实的场景进行归纳推理，从而经历数学知识产生、发展的全过程，真正成为学习的主体。 3.培养学生实践能力及创新精神。归纳推理的过程，不仅仅是阐述和体验数学思想的过程，也是进行和证明数学猜想的过程。通过大量的时间可以看到，归纳法是一种具有创造性的方法，能够较好的引导学生思考问题、发现问题、解决问题。并且在实践中，大胆地去操作、观察、归纳及猜想。也正因为如此，归纳推理法在锻炼学生实践能力及创新精神方面起着无可比拟的作用。 三、初中数学归纳推理教学之策略 通过对实际教学工作的总结，主要提出以下几点策略实现初中数学归类推理教学： 1.合理设计归纳推理教学思路。无论采用何种教学方式进行数学课程的教学，教学思路的设计都十分重要。在运用归纳推理教学策略前，要进行合理的教学设计，主要包括以下几点： 首先，提出问题。例如，在学习有理数加法法则这一知识点时，教师运用归纳推理教学策略进行教学。在提出问题这一环节就要注意如何将学生由已有的知识引入到新的知识学习中来。在这一环节，教师可以先复习原有知识，并且从新知识点中最为简单的部分开始讲起。接着，教师可以给出一个实验模型。例如，足球比赛中赢球与输球的模型、教室中同学性别男与女的模型等，以此将抽象的有理数假发法则等概念由抽象化为具体。之后，教师可以与学生就以上模型进行讨论，并且对有理数加法法则进行归纳推理。 2.鼓励并引导学生互相交流与探索。长期以来，学生固有思维是教师教自己听，在与同学相互交流和合作探索学习方面存在着不足。而归纳推理教学法需要同学之间进行密切的合作，就同一知识点进行探讨，发表不同的看法，最终得出结论，并进行验证。因此，教师必须对学生之间的相互交流与探索进行充分的引导与鼓励。 四、结语 总而言之，归纳推理在初中数学课堂中是较为实用的一项教学策略。教师应当对这一教学策略的相关理论有所了解，并且注意在实践中进行总结和反思，力求领悟其精髓。 参考文献： [1]侯庆盛.归纳推理在初中数学教学中的应用[J].数学学习与研究（教研版），2009 [2]何云仙.归纳推理法在初中数学教学中的尝试[J].初中数学教与学，2004 一、数学归纳意识的价值 在中学数学教学中培养学生数学归纳意识有何作用和意义呢?笔者以为, 归纳教学是新一轮数学课程改革的突破口。长期以来, 数学教师因为过分强调数学形式理论的建构而忽视了数学方法的演变和过程, 这样的课堂教学所造成的是学生数学基本理论好, 但发现问题和解决问题的能力欠缺。数学归纳注重知识的探索, 它要求鼓励学生不断创新, 如果教师能在数学课堂上多采用归纳教学, 就可以不断开启学生的创新思维, 培养他们的创新意识和创新能力。 除了契合课改精神外, 归纳教学还能激发学生学习数学的兴趣。归纳教学一般是从具体生动的经验材料出发, 让学生通过探究归纳一般的数学规律。如果教师在讲授某些枯燥无味的数学定理、概念时, 能够将这些定理、概念背后的“归纳性材料”有机地融入课堂, 使学生在探究中体会数学发现的过程, 这样不仅可以让学生学到数学知识, 还能使其享受发现的乐趣。不仅如此, 学生通过自己的观察、实验得出的数学规律和数学方法印象也极为深刻, 因为“学习任何知识的最佳途径是让学生自己去发现, 这种发现使学生理解最深刻, 也最容易掌握内在的规律与联系”。 二、数学归纳意识的缺失 人人学有价值的数学, 人人都能获得必需的数学, 这是新一轮课程改革的理念, 许多教材还设置了“观察”“思考”“归纳”等栏目, 甚至还有专门的归纳性材料, 但在现实的教学中并不是每一位教师都能把这一理念付诸实践, 是哪些因素造成学生数学归纳教学的缺失呢? 首先是教师的教学方法难以真正改变。“复习巩固—讲授新知识—例题讲解—课堂练习—课堂小结”, 受传统教学思想的影响, 许多数学教师习惯用这一传统的演绎教学法, 把相关的知识点经过系统化后传授给学生, 而这种穿新鞋走旧路的教学模式在数学课堂上更是比比皆是。为了提高学生的数学成绩, 教师多讲几个知识点, 多分析几道不同类型的例题, 然后让学生多练习, 这样学生的考试成绩自然是提高了, 而教材中的归纳性材料和实实在在的分数相比自然就逊色多了。这样的教学模式从表面上看, 学生掌握的知识点是多了, 但真正深层次的东西学生并未完全掌握。 除了教师因素外, 现实中的大班化教学也极大地影响了学生数学归纳意识的培养。以笔者所在的学校为例, 每个班学生都有60人左右, 学生数学成绩参差不齐, 当教师有意识地创设某种归纳性教学情境时, 成绩好的学生很快能通过观察、探究, 得出结论, 而成绩不好的学生干脆就在等教师的答案。好生吃不饱, 程度差一点的学生吃不下, 长此以往, 程度差的学生很容易因为没有自信心而失去学习数学的兴趣, 为了提高升学率, 教师只好选择放弃教学中归纳意识的培养。 三、数学归纳意识的培养 著名教育家陶行知先生说:“真正的教育必须培养出能思考会创造的人, 而归纳方法是培养创新能力的前提和基础。”结合多年的教学实际, 笔者认为可以从以下几方面尝试培养学生数学归纳意识。 1. 创设归纳情境, 引导学生学会归纳 教材中的定理、公式都是经过千锤百炼的逻辑体系, 而它的发现过程常常被省略, 教学过程中教师要精心设计, 启发学生从粗略、定性、直观认识的问题开始, 让他们学会通过自己的观察、思考、探究, 归纳出这些定理、公式背后的数学规律。在讲授“一元二次方程根与系数的关系”这一节内容时, 我采用了这样的教学方式, 先随手写下题目x2+3x+2=0, 让学生计算答案, 当学生还在计算时, 教师迅速写出答案:x1+x2=-3, x1x2=2;紧接着教师让学生随手写出一个方程:x2-7x-8=0, 脱口而出:x1+x2=7, x1x2=8;经过观察, 学生开始第一次归纳:两根之和等于一次项系数的绝对值, 两根之积等于常数项。这样的结论是否正确呢?教师不急于下结论, 而是再给出方程, 继续验证, 很快, “绝对值”又被学生修改为一次项系数的“相反数”。在此基础上, 教师不断地引导, 学生反复地验证, 最后得出结论。如果教师只是由求根公式直接演绎出答案, 学生可以掌握这一知识点, 但缺少了猜想、归纳这一过程。 2. 运用类比方式, 让学生触类旁通 所谓类比, 就是已知的两类事物间具有某些共性, 从而推测它们在其他性质上也可能有相同点的一种推理方式。利用这种方法不仅可以得出一些有意义的结果, 也可以让学生学会触类旁通。比如, 我们可以将陌生的代数式与结构相似的代数式进行类比归纳, 也可以将陌生的图形与学生熟悉的图形进行类比归纳, 还可以将解题方法进行类比归纳, 最终让学生通过类比找出事物共性的地方, 从而拓宽学生的解题思路。在讲述“分式”时, 我把这节内容与“分数”联系在一起, 让学生分析它们之间的共性与不同点。因为学生通过观察很快可以归纳出分数与分式在形式上的相同点与不同点, 得出分式的定义, 最后教师又利用“公数的分母不能为0”, 探讨了分式的分母也不能为0, 为下节课分式的基本性质作了铺垫, 也激发了学生的学习兴趣。 3. 善于归纳总结, 在实践中自我提升 当教师在教学中有意识地创设教学情境, 引导学生归纳得到命题或规律方法后, 教师不要急于结束教学, 还可以在此基础上适当延伸, 让学生进一步思考, 从而最大限度地培养学生思维能力, 达到归纳教学的目的。比如, 在学生通过观察分数得出分式的定义后, 教师可以将类比“分数分母不为0”的性质延伸到“分式有意义的条件”“分式的值为0的条件”等内容, 让学生在实践中得到自我提升。高中物理实验教学中的思想方法归纳 第7篇
小学数学中的益智数学归纳 第8篇
中考数学试题的归纳模式 第9篇
高考数学高频考点归纳与分析(上) 第10篇
初中数学归纳推理教学策略初探 第11篇
浅谈学生数学归纳意识的培养 第12篇
