高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修（精选5篇）

高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修 第1篇

第 4 课时：§3.2 一元二次不等式（3）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.经历从实际情景抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法； 2.让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提高学习数学的兴趣．

3.培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。

二、过程与方法

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法；

三、情感、态度与价值观

1.激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.2.创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。【教学重点与难点】：

重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。难点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学方法：诱思引探教学法

3.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.复习:一元二次不等式axbxc0(a0)与相应的函数yaxbxc(a0)、相应的方程22ax2bxc0(a0)之间有什么关系？

12x232.解不等式:(1)x3x4；(2)x2x30；(3)(x1)(xx30)0；(4)． x11x22223．归纳解一元二次不等式的步骤：

（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．

二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P69例2）用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？

解：设矩形一边的长为x(m)，则另一边的长为50x(m)，0x50．由题意，得x(50x)600，2即x50x6000．解得20x30．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个

2面积大于600m的矩形．

用S表示矩形的面积，则Sx(50x)(x25)625(0x50)．

当x25时，S取得最大值，此时50x25．即当矩形的长、宽都为25m时，所围成的矩形的面积最大．

例2（教材P70例3）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元／件之间的关系为

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p1602x，生产x件所需成本为C50030x元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？

2解：由题意，得(16002x)x(50030x)1300，化简得x65x9000，解之得20x45．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．

例3（教材P70例4）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．

在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2,s乙0.05x0.005x2．问：甲、乙两车有无超速现象？

分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．

12000，解得x30或x40（不解：由题意知，对于甲车，有0.1x0.01x12，即x10x合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h．但根据题意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h．

对于乙车，有0.05x0.005x10，即x10x20000，解得x40或x50（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速．

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2三、巩固深化，反馈矫正

教材P71练习

四、归纳整理，整体认识

有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；

五、承上启下，留下悬念

六、板书设计（略）

七、课后记：

高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修 第2篇

教学目标：通过对解决具体问题过程与步骤的分析，理解并掌握算法的概念与意义，会用“算法”的思想编制数学问题的算法。

教学重点：通过实例体会算法思想，初步理解算法的含义． 教学难点：算法概念以及用自然语言描述算法． 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程：

一、创设情境

请大家研究解决下面的一个问题 问题1．写出你在家里烧开水的过程.一般地，第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.问题2．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡1 个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳。试问他们怎样渡过河去？请写出一个渡河方案。（通过学生讨论得出渡河方案与步骤如下）

S1 两个小孩同船过河去； S2 一个小孩划船回来； S3 一个大人划船过河去； S4 对岸的小孩划船回来； S5 两个小孩同船渡过河去； S6 一个小孩划船回来；

S7 余下的一个大人独自划船渡过河去；对岸的小孩划船回来；

S8 两个小孩再同时划船渡过河去。

二、活动尝试

广义地说为了解决某一问题而采取的方法和步骤，就称之为算法。做任何事情都有一定的步骤。例如：描述太极拳动作的图解，就是“太极拳的算法”；一首歌的乐谱，可以称之为该歌曲的算法。从小学到高中遇到的算法绝大多数都与“计算”有关的问题。

三、师生探究

例1：给出求1+2+3+4+5的一个算法.解： 算法1 按照逐一相加的程序进行

第一步：计算1+2，得到3；

第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；

第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；

第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.算法2 可以运用公式1+2+3+„+n= 第一步：取n=5；

第二步：计算

n(n1)直接计算 2n(n1)； 2 第三步：输出运算结果.算法3 按照累积相加的程序进行

第一步：让S=0，I=1 第二步：将S+I的值赋给S，I的值增加1 第三步：如果I比5大,则输出S,否则转第二步.（说明算法不唯一）例2：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤）

（可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性）

四、数学理论

通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法.在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.问题：我们要解决解决一类问题，我们可以抽象出其解题步骤或计算序列，他们有什么样的．．．．．．要求？

（1）算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系。算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决。（2）算法的五个特征

①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限地执行下去。

②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的。

③逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。

④不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可以有不同的算法。⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决。

五、巩固运用

例3：写出求1×2×3×4×5的算法。

步骤1：先求1×2，得到结果2；

步骤2：将步骤1得到的结果2再乘以3，得到6；

步骤3：将步骤2得到的结果6再乘以4，得到结果24； 步骤4：将步骤3得到的结果24再乘以5，得到120。例4：写出一个求整数a、b、c最大值的算法 解：S1 先假定序列中的第一个数为“最大值”。

S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果大于“最大值”，这时就假定这个数为“最大值”。

S3 如果序列中还有其它整数，重复S2。

S4 直到序列中没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是序列的最大值。即 S1 max=a。

S2 如果b>max，则max=b。S3 如果c>max，则max=c。S4 max就是a、b、c的最大值。

六、回顾反思

1、算法的定义：

算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。

2、算法的五大特征：

⑴逻辑性： 算法应具有正确性和顺序性。算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的基础，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都有确切的含义，组成了具有很强的逻辑性的序列。

⑵概括性： 算法必须能解决一类问题，并且能重复使用。⑶有限性： 一个算法必须保证执行有限步后结束

⑷非唯一性：求解某个问题的算法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。⑸普遍性： 许多的问题可以设计合理的算法去解决。如：如用二分法求方程的近似零点，求几何体的体积等等。

3、算法的表述形式：

⑴用日常语言和数学语言或借助于形式语言（算法语言）各处精确的说明。⑵程序框图（简称框图）。⑶程序语言。

七、课后练习

1．下列关于算法的说法中，正确的有（）①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2．在数学中，现代意义上的算法是指（）A．用阿拉伯数字进行运算的过程 B．解决某一类问题的程序或步骤

C．计算机在有限步骤之内完成，用来解决某一类问题的明确有效的程序或步骤 D．用计算机进行数学运算的方法

3．你要乘火车去外地办一件急事，请你写出从自己房间出发到坐在车厢内的三步主要算法S1，S2，S3 ．

4．任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.5．有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换。

6．写出求过两点M(-3,-1)、N(2,5)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。参考答案

1．C 2．C 3．乘车去火车站、买车票、凭票上车对号入座.4．第一步：输入任意正实数r；第二步：计算Sr；第三步：输出圆的面积S.5．解：算法步骤如下：

第一步：取一只空的墨水瓶，设其为白色； 第二步：将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；

2第三步：将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中； 第四步：将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中； 第五步：交换结束。6．解：算法：

高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修 第3篇

一、苏教版高中必修1、必修4函数图像变换编写的比较分析

1. 教学内容在深度、广度上充分注意了螺旋式上升

螺旋上升是教材编写应遵循的一般原则。螺旋体现在学习主题的相同而内容的深度、广度的不同;上升体现在层次的提升, 以及课程内容的深度、广度的适度加深上, 而不是简单地再现或重复[2]。

图像变换是高中函数学习的一项重要内容, 主要涉及到图像的平移、伸缩 (纵向和横向) 、翻折等。高中阶段对于这些变换的研究主要体现在指数函数、对数函数、三角函数图像的变换上。指数函数、对数函数图像的变换出现在高中数学必修1教材上, 三角函数图像的变换出现在高中数学必修4教材上。从指数函数到对数函数, 再到三角函数, 研究图像变换的载体改变了, 教学内容的深度也在改变;从平移变换到伸缩变换, 教学内容的广度也随之改变。教学内容的呈现顺序如下图所示。

2. 教学内容呈现的方式过于依赖合情推理, 未能做到螺旋式上升

引入合情推理和演绎推理是新课程教材的一大亮点, 它有利于在知识传授的同时渗透方法论的教育, 有利于帮助学生掌握科学的学习方法。教材编写者在编写教材时除了将“合情推理和演绎推理”作为独立的教学内容外, 同时还用合情推理和演绎推理来引领数学的发现。但在具体操作时, 尚存在教学内容呈现的方式过于依赖合情推理现象, 忽视学生已有的学习基础, 忽视学生思维发展规律的现象, 显得机械单一。这对学生科学的探究素养的形成是不利的。对苏教版高中教材指数、对数、三角函数图像变换编写进行比较, 可以发现这三部分教学内容在呈现方式上都强调了以图识性、数形结合的思想, 基本都按“作图观察理性思考得出具体结论般化”的方式编写。比较如下。

(1) 作图观察

(1) 指数函数图像平移变换作图如下:

(2) 对数函数图像平移变换作图如下:

(3) 三角函数图像平移变换作图如下 (由于相位变换、周期变换和振幅变换呈现的方式完全相同, 故此处只呈现相位变换教材编写的方式) :

(2) 理性思考

(1) 指数函数:函数y=2x-2中x=a+2对应的y值与函数y=2x中x=a对应的y值相等;

(2) 对数函数:函数y=log3 (x+2) 中x=a-2对应的y值与函数y=log3x中x=a对应的y值相等;

(3) 三角函数:函数y=sin (x+1) 图像上横坐标为t-1的点的纵坐标, 与函数y=sinx图像上横坐标为t的点的纵坐标相同。

(3) 得出具体结论

(1) 指数函数:将函数y=2x的图像向右平移2个单位长度, 就得到函数y=2x-2的图像;

(2) 对数函数:将函数y=log3x的图像向左平移2个单位长度, 就得到函数y=log3 (x+2) 的图像;

(3) 三角函数:函数y=sin (x+1) 图像可以看做是将函数y=sinx图像上所有的点向左平移1个单位而得到的。

(4) 一般化

(1) 指数函数:以“思考”的形式呈现:“函数y=ax+h与函数y=ax (a>0, a≠1, h≠0) 的图像之间有什么关系?”

(2) 对数函数:以“思考”的形式呈现:“函数y=loga (x+b) 与函数y=y=logax+ (a>0, a≠1, b≠0) 的图像之间有什么关系?”

(3) 三角函数:直接告知一般化结论:函数y=sin (x+φ) (其中φ≠0) 的图像可以看做是将函数y=sinx的图像上所有点向左 (当φ>0) 或向右 (当φ<0) 平行移动|φ|个单位长度而得到的。

教材教学内容的呈现强调了从特殊到一般, 利用归纳推理的方式进行数学发现, 再进行逻辑推理。这是一种常用的数学研究的方法, 学生在初三学习二次函数图像的变换时实际上已经接触这种方法了。但这种方法是否适用于所有不同学段的学生?学生在不断获取新知的过程中, 思维方式和学习能力是否始终不变?数学的重要结论是否一定要通过合情推理的形式发现呢?数形结合思想的运用是否一定要从形开始, 依图识性?能否依性作图?能否改变教学内容的呈现方式, 以适合不同层次学生发展的需要?

二、同一主题教学内容呈现的基本原则

1. 教学内容的呈现应尊重学生已有的认知水平

布鲁纳的结构主义课程观认为, 课程要以与儿童的思维方式相符合的方式尽早让学生掌握学科的基本结构, 随着年级的提升, 使学科的基本结构不断拓展和加深。教学内容的呈现, 应在学生原有认知结构基础上, 依据数学学习规律、相关内容在不同模块中的要求以及数学内在的逻辑联系, 以核心知识 (基本概念和原理、重要的数学思想方法) 为支撑和联结点, 循序渐进、螺旋上升地组织学习内容, 形成结构化的教材体系[1]。而如何使得教学内容在逻辑体系、思想方法等方面相对于原来的学习有所提升, 则要求教学内容在呈现方式上应尊重学生已有的认知水平, 恰当地把握学生的知识基础、年龄特征以及思维水平。

高一年级的学生在学习指数函数图像的平移变换之前, 在初三已经学习了二次函数图像的平移变换, 其研究方法是由特殊到一般, 运用的是归纳推理的方式。在学习指数函数图像的平移变换时, 继续沿用原先的方法, 有利于巩固所学, 掌握用归纳推理进行探究。在学完指数函数图像的平移变换后不久, 便开始学习对数函数图像的平移变换。如简单地重复原先的工作, 虽简单易操作, 但这样的呈现方式, 对于年龄不断增长, 思维水平不断提升的学生来说, 未免显得过于单一而稚化, 对科学探究方法的渗透是不利的。这些同一主题教学内容呈现时, 能否对探究的结论做到步步提升, 以利于新知的形成, 或是对探究的方法适度地改变, 使不同层次、不同学段的学生感受到不同方法带来的数学探究的乐趣。因此, 在呈现同一主题教学内容时, 我们应当充分尊重学生已有的认知水平。

2. 教学内容的呈现应坚持演绎推理与合情推理并重

合情推理和演绎推理是两种基本的逻辑推理, 是进行数学发现、数学建构的常用推理方式。苏教版高中数学教材以“问题情境学生活动数学建构数学运用回顾反思”的形式呈现教学内容, 有利于学生观察、实验、猜想和探究, 对学生合情推理技能的形成有积极的作用。但很多结论在发现以后, 只是进行了适当的“解释”, 而没有进行严格的论证。这种过多依赖合情推理的呈现方式, 对培养学生的理性思维能力是不利的。

苏教版必修1、必修4中函数图像平移、伸缩变换具体结论的给出, 基本都是以合情推理的方式, 且均是以归纳推理的方式发现的。事实上, 合情推理不是进行数学发现的唯一方式, 演绎推理同样在数学发现中发挥着重要作用。演绎推理和合情推理是相辅相成、相伴而行的, 比如说, 演绎推理的大前提一般都必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来, 而合情推理的结论又必须依靠演绎推理来证明其真伪性。教学内容在呈现方式上应坚持演绎推理与合情推理并重的原则, 以便更好地发挥数学对培养人的推理能力的作用[3]。

3. 教学内容的呈现应注重本质的揭示

教学内容的呈现如过分依赖合情推理, 过分追求外在的操作活动, 往往会造成一种“过度稚化”的现象。数学知识自身的逻辑体系影响着教材的编排, 时代在发展, 课程内容、呈现形式都在变化, 但其实质不变[4]。“过分强调儿童的需要和兴趣, 必然会影响知识的系统性和整体性, 破坏学科本身内在的逻辑联系”[5]。“数学教材必须展示数学的内在本质”[6]。例如, 在研究图像变化时, 由具体函数的特征归纳一般函数具有的规律, 由图形的特征去发现函数的性质, 是一种容易接受的方式, 但从思维层面上看, 也只是一种低层次的思维方式。对思维能力快速提高的高中生来说, 能否采用由数到形的研究方式, 即先理性地思考引发函数图像产生变化的本质原因是什么, 再思考函数解析式的变化会带来函数性质发生了怎样的变化?函数性质的变化会致使图像相应地产生怎样的变化?无疑, 这种回归到函数本质属性的探究在思维层面上要明显地高于简单的归纳发现。

三、对函数图像变换编写的建议

1. 用归纳推理的方式引领指数函数图像变换的呈现。

鉴于指数函数安排在必修1, 学生从初中升入高中不久, 尚处在初高中衔接阶段, 学生对高中的学习还很不适应, 这时还不宜变化太大, 应循序渐进, 故仍适宜用类似于研究二次函数图像变换的方式呈现指数函数图像变换。

2. 用类比推理的方式引领对数函数图像变换的呈现。

对数函数图像变换由于紧接着指数函图像变换, 故可以运用类比推理的方式提出问题, 引发学生思考, 然后再由形到数, 由特殊到一般地进行研究。但在对函数变换一般性结论总结的基础上, 可提出“函数y=f (x+a) 与函数y=f (x) 的图像之间有什么关系?”从而将特殊函数图像变换的规律提升到一般函数图像变换的规律。这也与函数一章的主题相吻合, 有利于揭示数学的本质。

3. 用演绎推理的方式引领三角函数图像变换的呈现。

由于在研究对数函数图像变换时, 已经研究了函数y=f (x+a) 与函数y=f (x) 的图像之间的关系, 故对于三角函数图像的平移, 可以在回归其函数本质的认识基础上, 以演绎推理的方式直接得出, 而无需再以归纳推理的方式进行;对于周期变换和振幅变换, 为了帮助学生认识导致图像变换的根本原因, 数学结论的发现不应还停留在依图识性的层面上, 而应让学生从解析式的变化上去认识函数性质的变化, 然后依性作图, 当然也可进一步通过计算机作图让学生有直观的感知。这种“理性思考得出具体结论作图验证般化”的呈现方式在思维层次上要高于原先的“作图观察理性思考得出具体结论般化”, 这正体现了思维的螺旋上升。

参考文献

[1]普通高中数学课程标准实验教科书编写委员会.普通高中数学课程标准教材的研究与编写.课程·教材·教法, 2005 (1) .

[2]孔凡哲.基础教育新课程中螺旋式上升课程设计和教材编排问题探究.教育研究, 2007 (5) .

[3]王晓辉, 赫晓玲.两类教材对初中生数学推理技能影响的比较研究.课程·教材·教法, 2007 (11) .

[4]杨慧娟, 裴昌根.60年来初中数学教材编写的历史沿革与启示——以人教版为例.数学教育学报.2011 (4) .

[5]曲铁华, 于桂霞.中国近代中小学教材改革.教育研究, 2006 (4) .

高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修 第4篇

中心投影和平行投影

教学目标：

使学生掌握函数图像的画法.教学重点：

函数图像的画法.教学难点：

函数图像的画法.教学过程：

Ⅰ.复习回顾

黄牛课件

高中数学 《基本不等式的证明》教案3 苏教版必修 第5篇

一、不等关系是普遍存在的问题1．限速10km/h 的路标，指示司机前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过10km/h.写成不等式是.问题2：设点A与平面的距离为d, B 为平面上的任意一点，则可得到不等式.d≤|AB| 必修5 第74 页问题1 今天的天气预报说：明天早晨最低温度为9℃，明天白天的最高温度为16℃，那么明天白天的温度t℃满足什么关系？

二、用不等式（组）来表示不等关系答案：9≤t≤16

二、用不等式（组）来表示不等关系问题2 某种杂志原以每本2.5 元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元销售量就可能相应减少2000 本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元呢？问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种规格。按照生产的要求，600mm 的钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：设截得500mm 的钢管x根，截得600mm 的钢管y根

二、用不等式（组）来表示不等关系练习1：某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.练习2: 学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19 人，如果每间住6人，只有一间不满也不空，求宿舍间数和学生人数.问题4 b 克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式.答案：

二、用不等式（组）来表示不等关系

三、不等式基本原理ab = 0 <=> a = b a-b < 0 <=> a < b 归纳逻辑过程：练习：