直线中的最值问题（精选11篇）
直线中的最值问题 第1篇
求直线中的最值问题方法:1.配方法针对二次函数.2.不等式法针对和 (积) 定的函数.3.数形结合法先作出函数的图象, 再利用函数图象的特征解题4.判别式法针对含参数的一元二次方程.
一、转化为求二次函数的最值
例1如图1, 某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面 (不改变方位) 建造一幢八层楼的公寓, 问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积.
解析:显然长方形的第四个定点一定在线段AB上, 设该点为M, 如图构造长方形MNDP, 并补出长方形QCDP,
所以MP=PQ-MQ=80-x, 又Q'A=20, Q'B=30,
由, 所以, 所以,
所以.
所以
当m故长方形一端落在AB边上离B点m处时公寓占地面积最大.
二、利用判别式求最值
根据已知条件建立含参数的一元二次方程, 再由方程有解的条件, 用判别式求解.
例2已知直线l:y=4x和点P (3, 2) , 点N是l上在第一象限内的点, 直线NP交x轴的正半轴于点M, 则△OMN的面积的最小值是.
解析:设M (a, 0) (a>0) , 则PM的方程为2x+ (a-3) y-2a=0.与y=4x联立, 得, 所以△OMN的面积为.所以解得S≥10 (S0舍) .当S=10时, a=5, N (1, 4) .故最小值为10.
三、数形结合求解最值
运用数形结合解题, 不仅直观, 易于寻找解题途径, 而且可避免复杂的计算和推理, 简化解题过程, 起到事半功倍的效果.
例3如图2, 已知点M (3, 5) , 在直线:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q, 使△MPQ的周长最小.
解:可求得点M关于l的对称点为M1 (5, 1) , 点M关于y轴的对称点为M2 (-3, 5) , 则△MPQ的周长就是|M2Q|+|QP|+|PM1|, 连M2M1, 则直线M2M1与y轴及直线x-2y+2=0的交点P、Q即为所求.
直线M1M2的方程为x+2y-7=0,
直线M1M2与y轴的交点坐标为Q (0, 27) ,
由方程组得交点，
所以点即为所求.
四、不等式法
对于符合一正、二定、三相等条件的最值问题, 常可用均值不等式来求解, 通过建立目标函数, 将直线方程问题进行转化.
例4已知定点A (0, 3) , 动点B在直线:y=1上, 动点C在直线:y=-1上, 且∠BAC=90°, 求△ABC面积的最小值.
解:设B (a, 1) 、C (b, -1) .因为AC⊥AB, 所以ab=-8, .当, 或
例5过点P (1, 4) 作直线与两坐标轴的正向相交, 当直线在两坐标轴上截距之和最小时, 求直线方程.
直线中的最值问题 第2篇
北京市第一七一中学 许绮菲
教学目标
1．复习、巩固和、差、倍、半角公式，使学生能够熟练运用公式解决典型的三角函数式的最值问题． 2．在学生掌握三角函数式最值的基本求解方法的基础上，引导学生在解决最值应用问题时，会引入角做变量列出目标函数，借助繁多的三角公式求解函数最值．
3．在教学过程中突出三角函数式与代数式的相互转化，训练学生灵活选择代数与三角变换两种工具，渗透“转化”数学思想．
教学重点与难点
重点是教会学生把三角函数式最值问题转化为代数式的最值问题，同时能够利用三角变换知识解决代数式的最值问题，恰当选取方法解决问题．
难点是培养学生利用三角变换工具解决问题的意识，体现三角变换的工具性．讲授难点是引导学生全面分析题目，恰当选取变量，正确列出较易求最值的目标函数．
教学过程设计
师：我们已经学过了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，变换多端，同时三角函数还具有单调性及有界性．今天我们来共同探讨三角变换中的最值问题．首先我请一位同学回答代数式的最值问题有哪些基本求解方法．
生：有利用函数单调性的方法，如最常用的二次函数法、复合函数法、分离变量法、方程法、换元法等． 师：这位同学回答很好．我们在学习三角函数式的最值问题时也希望大家注意总结方法．下面让我们看第一个例题．
例1 求y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值．
分析：这个函数式变量形式不统一，我们首先要设法统一变量再求其最值． 生：可以利用倍角公式统一变量，转化为二次函数求解．
因为cosx∈[-1，1]，所以ymax=12，ymin=0．
师：这个题目我们借助二次函数这一工具求最值，注意到了代数与三角变换间的沟通．下面我们看例2． 例2 求函数y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值与最小值． 生：这个题目既有“sinx”又有“cosx”，若用sin2x+cos2x=1求解，会出现根式，所以考虑把角度取半使其次数升高．
解
y=sinx·（1+cosx）+1+cosx =（1+cosx）·（1+sinx）
师：这位同学为了不出现根式而把角度减半以达到升次的目的，很好．但若把题目改为y=sinx+cosx+3sinxcosx+1，这样能否可行？对例2有没有更具有普遍意义的做法？
生：观察到（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故联
函数求解．于是得到例2的又一解法． 解
师：这位同学的解法更具有普遍意义，特别值得表扬的是这位同学在换元时注意到了等价性，即求出了t的取值范围．下面我们看例3．
例3 已知x2+y2=1，求u=3x+4y的值域．
分析：这个题目是代数式的最值问题，若用代数方法求解，要首先统一变元，这样就会出现根式，运算不够简洁．观察到x2+y2=1这一制约条件，联想到sin2x+cos2x=1，可令x=cosα，y=sinα．进行三角换元，利用三角公式求最值．
解 令x=cosα，y=sinα．则
所以u∈[-5，5]．
下面我们做三个练习：
练习1 已知x2+y2=4，求μ=3x+4y的值域．
（分别请三位同学板演．）
解1 令x=2cosα，y=2sinα，则
所以μ∈[-10，10]．
师：这三位同学都注意到所求函数的定义域，利用三角换元求解最值．一般来说，利用三角换元求解y=f（x）的最值问题的步骤为：1°求函数y=f（x）的定义域；2°根据求出的定义域设计换元，注意换元后给出一个能够保证其值域充满给定函数y=f（x）的定义域的新变量的最小取值范围，如练习2中要求x∈[-1，1]，令x=sinα后给出α∈
取值范围；3°利用三角公式求函数的最值．
利用换元法求最值不仅限于把变量x换为sinα或cosα，还可以换元为tanα，cotα等，要依所给函数而定；三角换元也未必只在代数式
函数转化为代数式求解，在求解最值问题时要恰当选取代数与三角两种工具，并能互相转化． 以上我们研究了函数式的最值问题，下面我们看几个最值应用问题，探讨如何利用三角这一工具解决问题． 例4 欲在半圆形铁皮（如图1）截取矩形，如何截取利用率最高．（半径为R）
分析：矩形ABCD的面积取决于CD的位置，而CD∥AB，故C点位置一旦取定，则D点位置也随之而定．C点在圆周上，连结圆心O与C点，则∠COB的大小便确定了C点的位置，故引入∠COB作为变量写出目标函数．
解
S=Rsinα·2Rcosα=R2sin2α，利用三角变换解最值应用问题的一般步骤是：1°全面分析题目，选择恰当的自变量；2°列出目标函数，确定自变量取值范围；3°利用三角变换公式求最值．
若我们把半圆形铁皮改为扇形铁皮，如何求解呢？请同学们练习．
练习4 在半径为R，中心角为α的扇形铁皮中（如图2）截取矩形，何时利用率最高．
（此题可利用正弦定理，即△ABC中，A，B，C为三内角，a，（给出时间让学生独立思考，请学生回答．）
生：与例4相似的有矩形ABCD面积由CD位置决定，CD∥AB，C点位置决定了矩形ABCD的面积，而∠COB的大小决定了C点位置．故引入∠COB为变量．这个题目与例4的区别在于目标函数较例4复杂．
解 设∠COB=θ，θ∈（0，α）．
在Rt△COB中，|BC|=Rsinθ，在△COD中，∠CDO=π-α，∠DOC=α-θ，由正弦定理，师：四个题目还可以略加改动．
练习5在中心角为α半径为R的扇形中如图截取矩形（如图3），何时利用率最高．
请同学们课下解决，并且总结这类有动点在圆周上的题目的解法． 下面我们再看一个例题：
例5 边长为α的正三角形ABC，其中心为O，过O的直线MN
分析：OM与ON的长度与过O的直线MN的倾斜程度有关，故引入∠AOM为变量，利用解三角形的知识表示出|OM|及|ON|，求解最值．
解 设∠AOM=α．
这个题目仍然是引入了角做变量，利用三角变换这一工具求解最值．这个题目限定自变量的取值范围直接影响结果，十分重要．
下面我们小结一下这节课．这节课我们主要研究了两个问题：即函数式的最值问题及最值应用问题．函数式的最值问题是最值应用问题的基础，解决函数式的最值问题的关键在于灵活地选用代数与三角两种工具，树立转化的数学思想，同时应注意一些典型方法的总结．解决最值应用问题的关键在于充分分析题目，选择恰当的自变量，列出相对简单的目标函数以便于求解最值．
作业
1．求下列函数的值域．
（2）已知（x+2y）2+y2=9，求u=x-y的最值． 3．求周长为定值P的直角三角形面积的最大值．
4．△ABC中，AB=AC=1，△ABC与以BC为边的正△BCD面积和为S，求S的最大值．
5．如图5，AB是半圆直径，延长AB到D，使BD=R，C为半圆上的动点，C在何处时，以DC为边的正△CDP与△OCD面积和最大．
课堂教学设计说明
“圆”中的最值问题 第3篇
一、 利用“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”求最值
例1 （2012·浙江宁波）如图1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，点D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________.
【解析】如图2，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF于点H.由圆周角定理可知：∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，由三角函数可求得EH=OE·sin∠EOH=OE. 再由垂径定理可知：EF=2EH=OE=AD，所以当AD最小时EF最小.由垂线段最短可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短.因为AB=2，∠ABC=45°，所以AD=BD=2，代入EF与AD的关系式即可求出EF的最小值为.
【点评】本题是一道融圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、动点于一体的综合应用题.根据运动变化，将两动点之间的最小值转化为点到直线的最小值，找出EF与直径AD的关系是解决本题的关键.
二、 利用“切线的性质”求最值
例2 （2011·浙江台州）如图3，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为________.
【解析】因为PQ为切线，所以△OPQ是直角三角形，所以PQ=.又因为OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小.根据垂线段最短知：OP=3时，PQ最小，根据勾股定理可求出PQ的最小值为.
【点评】切线的性质和垂线段最短是解决本题的关键.
例3 （2010·江苏苏州）如图4，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1. 若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）.
A. 2 B. 1
C. 2- D. 2-
【解析】如图5，根据三角形的面积公式知，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C上面半圆相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值为2，然后根据△AOE与△ADC相似求出OE的长为，所以BE最小值为2-，代入三角形的面积公式可得2-，故选C.
【点评】本题考查了坐标与图形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键.
三、 利用“轴对称”求最值
例4 （2014·贵州安顺）如图6，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点. 点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）.
A. B. 1
C. 2D. 2
【解析】如图7，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB最小时的点，PA+PB的最小值为AB′，由圆周角定理可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°.因为点B为劣弧AN的中点，所以∠BON=∠AON=30°.由对称性得∠B′ON=∠BON=30°，所以∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°，所以AB′=OA=，即PA+PB的最小值为.故选A.
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理、圆周角定理，熟记定理并做出图形，判断出PA+PB的最小值等于哪条线段的长度是解题的关键.
四、 利用“两点之间线段最短”求最值
例5 （2014·福建三明）如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点.连接AP，则AP的最小值是________.
【解析】如图9，取BC的中点E，连接AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连接AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，即AP2是AP的最小值.再根据勾股定理求出AE的长为，然后减掉半径可得AP的最小值为-1.
【点评】本题考查了勾股定理、最短路径问题，两点之间线段最短是解题的关键.
例6 如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________.
【解析】本题看似折叠的题目，好像与圆没有关系，实则是例5的拓展，因为在折叠的过程中，点D始终是定点，DF始终是定长，所以点F的运动路线为圆.如图11，连接AD交圆D于点F1，则AF1 的长度即为AF的最小值，利用勾股定理可求得AD=5，所以AF1=5-3=2，即线段AF长的最小值为2.
【点评】本题考查了转化的思想、勾股定理、最短路径问题，折叠问题转化为圆中最值问题是解题的关键.
以圆为载体的最值问题多以“小而精”的形式在中考选择、填空的压轴题频繁出现.所以，同学们在平时的学习中，要多注意练习、总结这类题型的解题方法，轻松面对圆中的最值问题.
“圆”中的最值问题 第4篇
一、利用“直线外一点到直线上各点的连线中,垂线段最短”求最值
例1 (2012·浙江宁波)如图1,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,点D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画 ⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为________.
【解析】如图2,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF于点H.由圆周角定理可知,由三角函数可求得. 再由垂径定理可知,所以当AD最小时EF最小. 由垂线段最短可知: 当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短.因为,∠ABC=45°,所以AD=BD=2,代入EF与AD的关系式即可求出EF的最小值为
【点评】本题是一道融圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、动点于一体的综合应用题.根据运动变化,将两动点之间的最小值转化为点到直线的最小值,找出EF与直径AD的关系是解决本题的关键.
二、利用“切线的性质”求最值
例2(2011·浙江台州)如图3,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为________.
【解析】因为PQ为切线,所以△OPQ是直角三角形,所以.又因为OQ为定值,所以当OP最小时,PQ最小.根据垂线段最短知:OP=3时,PQ最小,根据勾股定理可求出PQ的最小值为
【点评】切线的性质和垂线段最短是解决本题的关键.
例3 (2010· 江苏苏州)如图4, 已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、 (0,2),⊙C的圆心坐标为(-1,0),半径为1. 若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是().
【解析】如图5,根据三角 形的面积公式知, △ABE底边BE上的高AO不变, BE越小,则面积越小,可以判断当AD与⊙C上面半圆相切时,BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值为,然后根据△AOE与△ADC相似求出OE的长为,所以BE最小值,代入三角形的面积公式可得,故选C.
【点评】本题考查了坐标与图形的性质、 勾股定理、相似三角形的判定与性质,根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键.
三、利用“轴对称”求最值
例4 (2014·贵州安顺)如图6,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN= 30°,点B为劣弧AN的中点. 点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为().
【解析】如图7,作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB、OB′、AB′,则AB′与MN的交点即为PA+PB最小时的点,PA+PB的最小值为AB′,由圆周角定理可知∠AON= 2∠AMN=2×30°=60°.因为点B为劣弧AN的中点,所以.由对称性得∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°,所以,即PA+PB的最小值为.故选A.
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理、圆周角定理,熟记定理并做出图形,判断出PA+PB的最小值等于哪条线段的长度是解题的关键.
四、利用“两点之间线段最短”求最值
例5 (2014·福建三明)如图8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点D,P是上的一个动点.连接AP,则AP的最小值是________.
【解析】如图9,取BC的中点E,连接AE, 交半圆于点P2,在半圆上取点P1,连接AP1, EP1,可得,AP1+EP1>AE,即AP2是AP的最小值. 再根据勾股定理求出AE的长为然后减掉半径可得AP的最小值
【点评】本题考查了勾股定理、最短路径问题,两点之间线段最短是解题的关键.
例6如图10,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合), 沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是________.
【解析】本题看似折叠的题目,好像与圆没有关系,实则是例5的拓展,因为在折叠的过程中,点D始终是定点,DF始终是定长,所以点F的运动路线为圆.如图11,连接AD交圆D于点F1,则AF1的长度即为AF的最小值,利用勾股定理可求得AD=5,所以AF1= 5-3=2,即线段AF长的最小值为2.
【点评】本题考查了转化的思想、勾股定理、最短路径问题,折叠问题转化为圆中最值问题是解题的关键.
二次函数的最值问题修改版 第5篇
上的最值问题
数学组：王勇
一、教学目标：
1． 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法； 2． 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。
二、教学重点：二次函数最值求法
教学难点：二次函数在闭区间上的最值
三、教学过程：
二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题
问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值
练习：将题中条件x2,4改为（1）x3,0，（2）x3,4
小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。
如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢？
问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值
小结：注意分类讨论
以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢？
问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值
小结：对称轴的讨论是关键
练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2
f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值
（三）作业：
例谈中学数学中的最值问题 第6篇
【关键词】求最值 数学能力 常用方法 映射与反演 几何性质 函数 均值不等式
引言：在中学数学中，最值问题一直以来都是一个比较重要的问题。不仅涉及到一些著名的数学问题，还广泛应用于现实生活中。因此处理好最值问题对于研究其它问题有很大的帮助。那么怎样来处理最值问题呢？
徐治利先生曾说过：“如果谁能对于一些重要的关系结构巧妙地引进非常游泳且具有可行性反演 的可定映射 ，就能作出比较重要的贡献。”
在此主要谈谈如何利用“映射反演”的方法来处理中学数学中一些常见的最值问题。所谓的“映射”作为广义讲，就是指实现化难为易的某种对应方法或变换手段；而“反演”就是把变换后求得的解答再转换为原来问题要求的解答。
中学数学中的最值问题一般常见的可分为三类：
（一）与函数直接相关的。常见的有二次函数、三角函数求最值的问题。对于一些比较常见的一般来说都可以用下列方法解决：利用函数单调性、判别式法、换元法及导数极值的应用。
例1：求 在R上的最值。
法一：利用函数单调性，易知函数在 为增函数，在 为减函数，所以函数只有最大值既 时 ；
法二：利用判别式法，把y看成常数既方程 在R上有解即 ；
法三：利用导数求极值，易知函数在R上是连续的。即极值点为 为极值点，又 则 在 取得最大值。
对于一些比较简单的最值问题，以上的方法一般来说都可以解决，而且做法也比较简单。但对于一些比较复杂的问题就比较困难，这时候如果采取“映射反演”的方法把这些问题转化为上述比较简单的问题或一些比较简单的做法，做起来会事半功倍的。
例2：
以上的问题对于这一类型最值问题主要的方法在于寻求一个数学模型，然后把相应的最值问题进行变形，变形为简单常见的求函数最值情形。
（二）均值不等式的应用。对于均值不等式类型的最值问题一般来说主要把对应的最值问题转化为均值不等式的模型。
对于例5来说直接做比较困难，对于 三项之和虽然为定值但是等号取不到也就是说按照这种构造行不通。对于这个问题如果把这个式子两边同时平方，这时候 三项之和为定值，且等号能取到。由此对于一般的均值不等式的如果能够转化为上述模型解决起来会事半功倍。
（三）一些重要的几何性质的应用：利用映射与反演把一些比较复杂的有关几何的最值问题转化为一些比较简单的几何问题。如：三点共线、两点间线段最短、对成问题等等。
例4：立体几何问题 平面几何问题
（1） （2）
图1-1
从图1-1可以看出圆台侧面与扇环 的点与点之间存在一一对应关系。圆台侧面上最短的细绳即为扇环内 的长度。因此对于立体几何的问题如果能转化为平面几何问题，此时对应的问
题会更简单更易于入手。除了立体几何与平面几何的转换外，又如：
两线段的和最小的问题 点与点的共线与对称问题
例5：
由此可见对于中学数学中的最值问题，如果能利用映射与反演的方法来做，往往都会使问题简单化、明了化，更易于入手。但并不是所有的最值问题都可以按照这种方法来做。要应用映射与反演原则来解题一般要考虑以下几点：
1、能否在同一关系结构中构造出该问题的模型；
2、能否用另一知识、知识系统中的语言来改述与解决这个问题；
3、能否用特殊的技巧将题设或结论变形，从而找到某种对应手段，把问题映射到其他领域中去解决，然后再反演回原来的系统得出结果。
【参考文献】
[1]《数学教学中培养中学生阅读能力的实验与思考》许世红 罗华《数学教育学报》2001.2第10卷底1期
[2]《身边的数学》梁智勇 黄孟宜 潘欣等《中学生数学》2000.7
[3]《数学步步高同步学案》王朝银2010.5
求解数列中的最值问题 第7篇
在学习数列时, 我们经常会遇到求数列项的最值、前n项和Sn的最值等问题.有的同学遇到这类问题常感到束手无策, 不知如何求解.本文对这类典型例题进行解析, 希望能对大家有所帮助.
例1 已知
(A) 第12项 (B) 第13项
(C) 第12项或第13项 (D) 不存在
解析:我们可以先对通项公式进行变形:
注:考察数列的单调性应该从数列的通项公式入手, 熟练掌握部分函数的单调性是解决这类问题的捷径.
例2 已知数列的通项公式是
解析:本题的通项公式不如例1易变形, 我们也不可能一项一项的计算, 不妨先从判断数列的单调性入手.
由
可以得到:当n=8时, a8=a9;当n<8时, an+1>an;
当n>8时, an+1<an.于是当n=8或
n=9时an有最大值
注:如果数列的单调性不明显, 我们可以先计算若干项, 从而估计其变化规律, 但这并不能完全替代推理论证.
例3 一个首项为正数的等差数列{an}的S3=S11, 问该数列的前n项和Sn有无最大值?如果有, 求出相应的n;如果没有, 说明理由.
解析1:我们知道, 等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数, 因此我们可以把此问题转化为二次函数的最值问题.
根据题意, a1>0, S3=S11, 可知该数列是公差d<0的单调递减数列.可设Sn=An2+Bn (A≠0) , 由S3=S11得9A+3B=121A+11B=121A+11B, 于是B=-14A. 由d<0知
Sn=An2+Bn中A<0, 于是当
时, 二次函数Sn=An2+Bn有最大值.
解析2:根据分析1, 该数列是公差d<0的单调递减数列, 由于首项a1>0, 因此数列中的项一定会从某项开始由正数变为负数, 此时数列的前n项和Sn的值也就会开始减小, 问题在于数列从哪一项开始取负值.
由S3=S11可知a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=0, 根据等差数列的性质知a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8, 于是4 (a7+a8) =0, 即a7+a8=0.
由于公差d<0, 可知a7>0, a8<0.因此S7最大.
注:由等差数列的通项公式an=a1+ (n-1) d可知, 当d>0时数列是单调递增数列, 当d<0时数列是单调递减数列.这经常被作为数列项的最值的考点;由于等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数, 这也经常被作为数列前n项和Sn的最值的考点.
例4 设{an}为正项的等比数列, 它的前n项和80, 其中数值最大的项为54.前2n项和6560.试求此数列的首项a1与公比q.
解析:本题是关于等比数列项的最值问题.关键在于确定数列的单调性.
由S2n≠2Sn可知公比q≠1.
根据题意得
解得qn=81, a1=q-1.
由数列中的各项为正值可知q>0, 所以此数列为单调递增数列, 前n项中an最大, 于是可知an=54.
因为an=a1qn-1=54,
所以a1qn-1q=54q, 即81a1=54q.
由
.解得a1=2, q=3.
注:等比数列的单调性也是值得大家注意的问题, 主要是要求大家对幂的运算、指数函数的知识熟练掌握.
数列中的最值问题求法 第8篇
例1已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 且满足a2+a4=-22, a1+a4+a7=-21, 则使sn达到最小值的n是___.
解析一当Sn最小值时有根据等差数列的性质, 可得a2+a4=2a3=-22, ∴a3=-11, a4=-7, 可求得数列是公差为4的递增数列, an=4n-23, 由因为n为正整数, 所以n=5时和最小.
解析二由于数列{an}为等差数列, 因此其和为二次函数, 可用求二次函数的最值求法去求数列和最值.∵a2+a4=-22, a1+a4+a7=-21, ∴a3=-11, a4=-7, 由于数列{an}为等差数列, 所以an=4n-23, , 因为n为正整数, 所以n等于5时Sn最小
例2等差数列{an}中, a1=25, S17=S9, 问数列前n项之和最大?
解析一等差数列{an}的前n项和Sn为n的二次函数, 由S17=S9可知二次函数的对称轴为n=13, 因此数列的前13项之和最大.
解析二由S17=S9可知a10+a11+…+a17=0, ∴a10+a17=a1+a26=0, ∴s26=0.
由等差数列{an}的前n项和Sn为n的二次函数且经过原点, 因此对称轴为Sn=13, 所以数列的前13项之和最大.
例3设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S9>0, S10<0, 则中最大的是哪一项?
解析等差数列{an}的通项公式为n的一次函数, 因此an是关于n的单调函数, 由函数的单调性可确定an的最值.由S9>0, S10<0, 得a1+a9>0, a1+a10<0, 从而a5>0, a6<0,
所以等差数列{an}是首项大于零且公差小于零的递减数列, 所以中最大的是
例4已知公差不为0的等差数列{an}的前四项和S4=14, 且a1, a3, a7成等比数列.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 设Tn为数列的前n项和, 若2Tn<λ对n∈N*恒成立, 求整数λ的最小值.
解 (1) 设公差为d, ∵S4=14且a1, a3, a7成等比数列,
∵2Tn<λ对n∈N*恒成立, 即对∀n∈N*恒成立, 又, ∴整数λ的最小值为1.
本题是采用和的有界性来确定最值或范围.
例5已知数列{an}为等差数列且公差不为0, {bn}为等比数列, a1=b1=1, a2=b2, a4=b3. (1) 求{an}的通项公式.
(2) 设cn=n2an, 其前n项和为Sn, 求的取值范围.
解 (1) 设等差数列的公差为d, 有a2=1+d, a4=1+3d, ∵{bn}为等比数列, ∴a22=a1·a4, 即 (1+d) 2=1+3d∴d2=d, 又d≠0, ∴d=1.∴an=1+ (n-1) =n.
椭圆中的最值问题的解法 第9篇
一、定义法
例1 A (1, 1) , F1, F2为椭圆的左、右焦点, 点P是椭圆上任意一点, 求|PA|+|PF1|的最大值和最小值.
分析点A (1, 1) 在椭圆内, 欲求|PA|+|PF1|的最大值和最小值, 可转化为距离差再求, 由此可想到椭圆的第一定义|PF1|=2a-|PF2|.
解 |PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|, 如图, 连接F2A并延长交椭圆于P1, 延长AF2交椭圆于点P2, 由三角形三边关系知:-|AF2||PA|-|PF2||AF2|, 当且仅当P与P1重合时取左等号, P与P2重合时取右等号.
结论1设椭圆的左、右焦点分别为F1F2, A (x0, y0) 为椭圆内一点, P为椭圆上任一点, 则|PA|+|PF1|的最大值为2a+|AF2|, 最小值为2a-|AF2|.
例2 A (1, 4) , F1, F2为椭圆的左、右焦点, 点P是椭圆上任意一点, 求|PA|+|PF1|的最大值和最小值.
解析 点A (1, 4) 在椭圆外, 连接AF1交椭圆于点P, 此时欲求|PA|+|PF1|的值最小, 是求最大值的方法同例1为|PA|+|PF1|=15.
结论2 设椭圆的左、右焦点分别为F1, F2, A (x0, y0) 为椭圆外一点, P为椭圆上任一点, 则|PA|+|PF1|的最大值为2a+|AF2|, 最小值为|AF1|.
例3 A (1, 1) , F1, F2为椭圆的左、右焦点, 点P是椭圆上任意一点, 求的最小值.
分析 因离心率, 点A (1, 1) 在椭圆的内部, 欲求的最小值, 由椭圆的第二定义, 可把转化为P到椭圆的左准线的距离d.
解设椭圆的左准线为l, l的方程为, 由A作AN⊥l于N, AN交椭圆于P, 因为是P到相应准线的距离, 显然|P'A|+|P'N|>|PA|+|PN|, 所以的最小值为.
结论3 设椭圆的左、右焦点分别为F1 (-c, 0) , F2 (c, 0) , A (x0, y0) 为椭圆内一点, P为椭圆上任一点, 则的最小值为点A到此椭圆左准线的距离即为
二、二次函数法
例4已知点A (m, 0) , 椭圆点P在椭圆上移动, 求|PA|的最小值.
结论4 椭圆上的点P (x, y) 到定点A (m, 0) 或 (0, n) 距离的最值问题, 可以用两点间距离公式表示|PA|2, 通过动点在椭圆上, 消去y或x, 转化为二次函数求最值, 但要注意自变量的取值范围, 若函数中含参数时要注意其讨论的完备性.
三、三角换元法
例5 已知点P (x, y) 在椭圆上, 则求点P到直线l:3x-2y-16=0的距离d的最大值和最小值.
分析 若按例4那样将d转化为x或y的函数就太繁琐了, 为了统一变量, 减少未知数的个数, 利用椭圆的参数方程即三角换元, 就简单多了.
结论5 若点P (x, y) 在椭圆上, 则求点P到直线ax+by+c=0的距离d的最大值和最小值问题时, 可通过椭圆的参数方程、三角换元, 利用三角函数的知识求解.
四、判别式法
下面再看例5, 可把直线3x-2y-16=0平移使其与椭圆相切, 有两种情况, 一种情况可求最小值, 另一种情况可求最大值.
解令直线m:3x-2y+c=0, 将代入椭圆方程整理得16x2+6cx+c2-28=0, 由Δ=0, 即 (6c) 2-416 (c2-28) =0, 解得c=±8.
当c=-8时, 直线m:3x-2y-8=0与椭圆切于点P1, 则P1到直线l的距离为最小值, 也就是两平行线m与l的距离, 所以
当c=8时, 直线m:3x-2y+8=0与椭圆切于点P2, 则点P2到直线l的距离为最大值, 也就是两平行线m与l的距离, 所以
注:有些题目可以用多种不同的方法去求解, 我们要善于发现其最优解法, 以便减少失误, 提高解题速度.
结论6 椭圆上的动点到定直线l:ax+by+c=0距离的最值问题, 可转化为与直线l平行的直线m与椭圆相切的问题, 利用判别式求出直线m方程, 再利用平行线间的距离公式求出最值.
五、不等式法
例6 如图, 已知椭圆直线l过点A (-a, 0) , B (a, ta) (t>0) 交椭圆于M, 直线OM交椭圆于N, t∈[1, 2], a为定值, 求△AMN的面积S的最大值.
解直线l的方程为:
当a>2时, 在[1, 2]上是增函数, 因而S是减函数, 故t=1时,
结论7 椭圆中关于三角形或四边形的面积问题, 可先利用图形的面积公式求得面积函数, 然后利用不等式或函数的有关知识去求解.
浅谈高职数学中的最值问题 第10篇
1. 代数法
这个方法当中包含了四种具体的解决模式: ( 1) 配方法: 对于二次函数或者是能够转化为二次函数的求最值问题来说,配方法是一个简单有效的解决方法; ( 2) 判别式法: 对于函数当中最值问题的求解,有的时候可以从方程的角度来进行解答,这种思维方法就是判别式法; ( 3) 换元法: 利用给出的问题条件,用换元的方式将函数当中的一些变量消除,使问题从复杂变得简单化以便最值的求解. 在函数最值求解当中,最经常使用的换元法主要是代数换元法以及三角换元法; ( 4) 不等式法: 在进行函数最值求解的过程当中,基本不等式是相当重要的解题工具之一,要将一些给定约束条件的函数最值问题解决只要对不等式灵活的运用,效率能够极大的提升.
2. 向量法
在现代数学当中,向量是相当重要的工具之一,对于向量a和b,存在着一条不等式,a和b的内积小于或等于它们各自的模之积,即: a·b≤| a| | b| ,有时候利用向量的这个特性来进行函数最值的解答,会有快捷明显的效果.
3. 参变数法
在进行多元函数最值求解的过程当中,我们经常会将其中的一个或者是几个变量在局部固定之下看成是常数,然后再研究其他变量的变化情况,通过局部固定来进行对函数取值的判断,然后对其他的变量再慢慢进行固定观察.
4. 数形结合法
在数学中,一个极为重要的思想方法就是数形结合法. 将函数的几何意义罗列出来,然后再结合几何的背景,将代数的问题转变为几何问题,这样的方法可以让函数最值解决变得更加的直观简便.
5. 求导法
导数是高职数学当中的一个重要内容,利用求导法可以较为方便地解决函数的最值问题,应用高等数学的知识来对这种初等问题进行求解,对于解决高次函数的最值问题有一定的效果.
例5已知函数y = x5- 5x4+ 5x3+ 1,求该函数在[- 1,2]上的最值.
从上面的方法我们可以知道,函数最值的问题有着非常丰富的内涵和解法,特别是解法要根据不同的情况而灵活的运用,并没有固定的模式来进行函数最值的解答. 当然,求解最值问题的方法远远不止这些,例如,还有复合函数法,反函数法、单调性法等,这里只是对求最值问题的方法作一个部分的归纳. 对一个问题而言,有时需要几种方法并用,或者一个问题有多种解决方法,关键还是要具体问题具体分析,具体处理.
二、求解函数最值时要注意的问题
1. 注意定义域
在进行最值问题的求解时,计算的过程当中要时刻注意定义域是不是发生了改变. 在开始进行解题的时候我们要先对函数的定义域有所确定,而在解题的过程当中又要在变形时注意定义域是不是有改变,如果出现了新的变量要对变量的取值范围先进行确定,解题结束的时候要对求出来的函数取得最值相对应的自变量是不是在定义域当中进行检验. 为了能够更加直观的对这个问题有所了解,下面的这个例子给出错解和正解两种解题方法.
在这个解题的过程当中,因为两边的平方还有分母同时去掉之后直接的导致了函数的定义域得到扩大,这也是答案错误的主要原因.
2. 注意值域
对于函数的最值求解过程不仅是要对几种基本的初等函数值域熟悉,而且在解题的过程当中,要对函数取值范围的变化有密切的关注.
分析: 如果我们将y = 1代入上述的等式当中,那么等式中的x是解不出答案的. 所以我们能够知道y = 1并不在函数的值域之内. 事实上从上面的等式当中我们能够得出
知道了y∈[- 2,1) ,所以y只有最小值 - 2,而没有最大值.
在这里我们可以发现,用判别式法求函数的最值过程时,如果稍不注意就会将取值范围扩大,从而影响结果.
3. 区间上二次函数的最值问题
动二次函数在定区间上的最值: 在二次函数当中,它是随着参数的变化而相应的产生变化的,也就是说它所表现出来的图象是运动,但是它在所在的区间确实固定的. 这样的情况,我们一般称之为动二次函数在定区间上的最值. 在这一类的问题当中,参数如果是出现在开口,就要对开口向上以及开口向下这两种情况分别的进行讨论[3]. 参数如果出现在对称轴上,就要对区间是存在于对称轴的左侧、右侧还有中间这三种情况进行讨论,在比较特殊的时候,如对称轴在区间的中间,那么就要分两种情况进行讨论即对称轴是在靠近左端点还是靠近右端点这两种情况分析.
定二次函数在动区间上的最值: 二次函数当中,包含有参数而且所给的区间是变化的,这种情况我们称之为定二次函数在动区间上的最值. 如果二次函数是在闭区间上,那么它的最值只有可能存在于区间的端点或者是顶点处,而且最好还要对求出来的参数值进行验证以保证不会出现差错.
椭圆中面积的最值问题 第11篇
[椭圆中的三角形面积最值]
例1 已知椭圆C：[x24+y23=1]，若经过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆于A，B两点，求△ABF1面积的最大值.
解析 设直线AB的方程为[x=my+1][m∈R]，
把[x=my+1]代入[x24+y23=1]得，
[（3m2+4）y2+6my-9=0]，
显然[Δ>0]，设A[x1，y1]，B[x2，y2]，
则[S=12×2×y1-y2=][y1-y2]，
又[y1+y2=-6m3m2+4]，[y1?y2=-93m2+4]，
[（y1-y2）2=][（y1+y2）2-4][y1?y2=483m2+3（3m2+4）2]，
令[t=3+3m2]，则[t≥3，][（y1-y2）2=48t+1t+2]，
由于函数[y=t+1t]在[3，+∞]上单调递增，
所以[t+1t≥103]，故[（y1-y2）2≤9]，即[S≤3]，
故△ABF1面积的最大值等于3.
例2 已知椭圆[x22+y24=1]，过椭圆上的点P（1，[2]）作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点，求△PAB面积的最大值.
解析 设直线AB的方程为：[y=2x+b]，
代入[x22+y24=1]，得[4x2+22bx+b2-4=0]，
所以[Δ=8b2-16（b2-4）>0]，解得[b2<8].
设A[x1，y1]，B[x2，y2]，
则|AB|=[1+22][x1+x22-4x1x2]=[34-b22]，
点P到直线AB的距离[d=b3]，
∴ [SΔPAB=12AB?d=12b?][4-b22]
=[122-b2-42+16][≤][2]，
当且仅当b=±2时取等号，所以△PAB面积的最大值是[2].
总结 （1）选择合适的三角形面积表达式：①直接法：[SΔABC=12×底×高]，其中求底一般用到弦长公式，求高一般用到点到直线的距离公式；②割补法：用垂直于坐标轴的线段进行分割，并将垂直于坐标轴的线段当三角形的底边，高用点坐标表示.
（2）关于面积目标函数中变量的选择：①选择点坐标作为变量；②选择直线的斜率作为变量；③选择直线的截距作为变量；④同时选择直线的斜率和截距作为变量.
（3）关于直线方程形式的设法：①[y=kx+b]；②[x=my+n]. 选择不同直线方程的形式，可以起到减少分类讨论和简化运算的效果.
（4）面积目标函数最值的常见求法：一元函数法、基本不等式法、线性规划、三角换元法、代数换元法.
[椭圆中的四边形面积最值]
例3 设椭圆中心在坐标原点，点A（2，0），C（0，1）是它的两个顶点，直线[y=kx（k>0）]与椭圆相交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值.
[O][y][x][B][A][D][C]
解析 因为点A（2，0），C（0，1）是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程为[x24+y2=1].由椭圆的对称性知，点B，D关于原点对称，设点B（x0，y0）（x0>0），则[x204+y20=1]，即[x20+4y20=4]. 设四边形ABCD的面积为S，则S=S△ABD+ S△BCD
=2S△AOB+2S△COB=|OA|[?]y0+|OC|[?]x0=2y0+x0. 接下来可以用两种方法处理：
方法一（三角换元）：
∵ [x204+y20=1]，可设x0=2cos[θ]，y0=sin[θ]，
∴ S=2y0+x0=2sin[θ]+2cos[θ]=2[2]，
sin（[θ]+45°）≤2[2]，当且仅当[θ]=45°时取等号. 故四边形ABCD面积的最大值是2[2].
方法二（利用基本不等式）：
[S=2y0+x0=（x0+2y0）2]=[x20+4y20+4x0y0]
=[4+2?x0?2y0≤][x20+4y20+4]=2[2]，
当且仅当2y0=x0=[2]时取等号.
故四边形ABCD面积的最大值是2[2].
总结 椭圆中的四边形面积常见处理技巧是将四边形分割成若干个三角形的面积之和，再利用前面所讲的三角形面积计算技巧来处理. 此题将四边形ABCD的面积表示成关于点B的坐标（x0，y0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD的面积表示成关于k的函数，则运算量要大许多. 当然，本题还可以以AC为分割线，将四边形ABCD的面积转化为两个三角形△ACB和△ACD的面积之和.
[与椭圆面积有关的其他问题]
例4 已知点A（0，-2），椭圆E：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0）的离心率为[32]，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为[233]，O为坐标原点.
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
解析 （1）设F（c，0），由条件知，[2c=233]，得[c=3].
又[ca=32]，所以a=2，b2=a2-c2=1.
故E的方程为[x24+y2=1].
（2）当l⊥x轴时不合题意，故可设l：y=kx-2，P（x1，y1），Q（x2，y2）.
将y=kx-2代入[x24+y2=1]，
得（1+4k2）x2-16kx+12=0，
当Δ=16（4k2-3）>0，
即k2>[34]时，x1，2=[8k±24k2-34k2+1]，
从而|PQ|=[k2+1]|x1-x2|=[4k2+1·4k2-34k2+1].
又点O到直线l的距离d=[2k2+1].
所以△OPQ的面积S△OPQ=[12]d·|PQ|=[44k2-34k2+1].
设[4k2-3]=t，则t>0，S△OPQ=[4tt2+4]=[4t+4t].
因为[t+4t]≥4，当且仅当t=2，即k=±[72]时等号成立，满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时，k=±[72]，
l的方程为y=[72]x-2或y=-[72]x-2.
通过以上几个例子，我们发现解决椭圆中的面积最值问题往往采取割补法表示图形的面积，再利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数最值，以及利用函数的单调性、各种平面几何中最值的思想来解决. 同时分割方法的不同、设未知元的不同，会导致运算的繁简不同，在解题时应注意方法的优化.
