证明线面垂直的专项练习（精选15篇）

证明线面垂直的专项练习 第1篇

勤志数学

线面平行与垂直的证明

1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；

（2）求三棱锥B-ACB1体积．

2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．

A

D

C

B

DA

1B1 1

求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC平面BDE．

3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；（Ⅱ）证明：平面SBC⊥平面SCD.4：已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分别为AB、FC的中点，且AB = 2，AD = EF = 1.（Ⅰ）求证：AF⊥平面FBC；（Ⅱ）求证：OM∥平面DAF.1．

25：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明 PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；

6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相

交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且AM=FN.求证：MN‖平面BCE.7：如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a（1）求证：直线A1B//平面ACD1（2）求证：平面ACD1平面BD1D；

8： 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC(2)AF⊥平面EDB.C

9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.10：如图，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MNCD；

P

N

D

C

A

M

B

11：如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：⑴AC⊥平面B1D1DB;

⑵求证：BD1⊥平面ACB1⑶ 求三棱锥B-ACB1体积．

D

A

B

C

D

1AB1

P

12: 四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC平面BDE.13：在三棱锥SABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点.①求证：EF∥平面ABC.②若SASC，BABC，求证：平面SBD⊥平面ABC.14：如图, 已知正三角形PAD, 正方形ABCD,B

平面PAD平面ABCD, E为PD的中点.（Ⅰ）求证：CDAE;（Ⅱ）求证：AE平面PCD.15：四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是

AB、PC的中点，PAAOa．

（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．（自己画图）

P

A

B

C

16：如图，在三棱锥PABC中，PC⊥底面ABC，ABBC，D、E分别是AB、PB的中点.（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：AB⊥PB；

证明线面垂直的专项练习 第2篇

证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线（重合或平行直接可得它与L1平行）

不妨假设L3过O点（可以通过平移得到），在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B（令OD=OB）则⊿OED ≌⊿ OFB（SAS）

延长DE、BF分别交L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等）。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB

因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB（M为L 上的任意点）所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF（SAS）

线面平行证明中的辅助线作法 第3篇

在证明线面平行的过程中, 我们通常采用第二种方法:将线面平行转化为线线平行的问题, 从而也将立体几何问题转化为平面几何问题。如此, 在平面中找到和已知直线平行的直线便成了解题的关键。教学过程中, 发现很多同学凭感觉去找那条直线。当然, 有时候数学的直觉对于解题好比是一把金钥匙, 它可以引导你顺利的解题。然而, 这种数学的直觉却是可遇不可求的, 能不能借助什么方法去找到那条关键直线而不是凭灵光一现呢?

一、理论依据

线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条线和交线平行。方法:找和已知直线、已知平面都相交的第三条直线, 则它和已知直线确定的平面与已知平面的交线就是平面内和已知直线平行的直线。 (如图1)

二、例题示范

如图2, 已知在三棱柱ABC-A1B1C1中, 点D是BC边上的中点。求证:A1B//平面AC1D。看完这个题目, 直觉就是想连接侧面AC1的另一条对角线A1C, 设对角线的交点为E, 连接DE, 这恰好是三角形A1BC的中位线, 从而实现了线段A1B的平移。为什么会想到这么作辅助线呢?除了这一种辅助线作法以外, 还有没有其他作辅助线的方法呢?下面我们就采用上面叙述的方法来做一做。在这个三棱柱中, 和线段A1B、平面AC1D都相交的线段有BC、A1C1、AB、A1A。其中, 每一条线段都可以和已知线段A1B构成一个新的平面, 通过找新平面和平面AC1D的交线, 从而实现线段A1B的平移。

方法一:确定线段BC, 它和线段A1B构成平面A1BC, 从而自然连接线段A1C。如图3所示, 连接A1C, 交AC1于点E, 连接DE (平面AC1D与A1BC的交线) , 则在三角形A1BC中, DE为其中位线, 有DE//A1B, 又因为A1B埭平面AC1D, DE奂平面AC1D, 所以A1B//平面AC1D。

方法二:确定线段A1C1, 它和线段A1B构成平面A1BC1, 过点B作BG//AC, 交AD的延长线于点G, 连接C1G (平面AC1D与A1BC1的交线) 。实际上, 此时可将三棱柱补全为一平行六面体, 如图4所示。则有C1G//A1B, 因为A1B埭平面AC1D, C1G奂平A面AC1D, 所以A1B//平面AC1D。

方法三:确定线段AB或A1A, 它和线段A1B构成平面A1B, 恰为三棱柱的侧面。延长B1B, C1D交于点J, 连接AJ (平面AC1D与A1B的交线) 。实际上, 此时可将三棱柱纵向拉升为原来的两个, 如图5所示。在JB1C1中, BD//1/2B1C1, 则BJ=BB1=AA1, 又BB1//AA1, 所以BJ//AA1, 即四边形AA1BJ是平行四边形, 所以AJ//A1B, 因为A1B埭平面AC1D, AJ奂平面AC1D, 所以A1B//平面AC1D。

三、小结

线面垂直的证明与应用 第4篇

例1如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.

求证：（Ⅰ）BC⊥平面PAB；（Ⅱ）AE⊥平面PBC；（Ⅲ）PC⊥平面AEF.

证明（Ⅰ）PA⊥平面ABC[⇒]

[PA⊥BCAB⊥BCPA⋂AB=A⇒BC⊥平面PAB.]

（Ⅱ）AE[⊂]平面PAB，由（Ⅰ）知

[AE⊥BCAE⊥PBPB⋂BC=B⇒AE⊥平面PBC.]

（Ⅲ）PC[⊂]平面PBC，由（Ⅱ）知

[PC⊥AEPC⊥AFAE⋂AF=A⇒PC⊥平面AEF.]

例2在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.

（Ⅰ）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.

（Ⅱ）当[a=4]时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.

（Ⅲ）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.

解析（Ⅰ）当[a=2]时，ABCD为正方形，则BD⊥AC.

又∵PA⊥底面ABCD，BD[⊂]平面ABCD，

∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.

故当[a=2]时，BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）当[a=4]时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.

∵ABMN和DCMN都是正方形，

∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=90°，即DM⊥AM.

又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，

故当[a=4]时，BC边的中点M使PM⊥DM.

（Ⅲ）设M是BC边上符合题设的点M，

∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.

因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.

例3正方形[ABCD]中，[AB=2]，[E]是[AB]边的中点，[F]是[BC]边上一点，将[△AED]及[△DCF]折起（如图），使[A、C]点重合于[A′]点.

（Ⅰ）证明：[A′D⊥EF]；

（Ⅱ）当[F]为[BC]的中点时，求[A′D]与平面[DEF]所成的角；

（Ⅲ）当[BF=14BC]时，求三棱锥[A′-EFD]的体积.

解析（Ⅰ）∵[A′D⊥A′E，A′D⊥A′F]，

∴[A′D]⊥平面[A′EF.∴A′D⊥EF].

（Ⅱ）取EF的中点G，连结[A′G、DG].

∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴[EF=2].

又∵[A′E=A′F=1]，

∴[∠EA′F=90°，A′G⊥EF]，得[A′G=22].

∵[A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′]，

∴[EF⊥平面A′DG.]

∴平面[DEF]⊥平面[A′DG.]

作[A′H⊥DG]于[H]，得[A′H]⊥平面[DEF]，

∴[∠A′DG为A′D与平面DEF]所成的角.

在Rt[△A′DG]中，[A′G=22]，[A′D=2]，

∴[∠A′DG=]arctan[24].

（Ⅲ）∵[A′D⊥平面A′EF]，

∴[A′D是三棱锥D—A′EF]的高.

又由[BE=1，BF=12]推出[EF=52]，

可得[SΔA′EF=54]，

[VA′－EFD=VD－A′EF]

[=13⋅SΔA′EF⋅A′D=13]·[54]·2=[56].

例4如图，在四棱锥[P-ABCD]中，侧面[PAD]⊥底面[ABCD]，侧棱[PA=PD＝2]，底面[ABCD]为直角梯形，其中[BC∥AD,AB⊥AD,][AD=2AB=2BC=2],[O]为[AD]中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32]？若存在，求出[AQQD]的值；若不存在，请说明理由.

解析（Ⅰ）在△PAD中，PA=PD,O为AD中点，

所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面[PAD⋂]平面ABCD=AD, [PO⊂]平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，

BC∥AD，[AD=2AB=2BC,]

有OD∥BC且OD=BC，

所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为[AD=2AB=2BC=2],在[Rt△AOB]中，[AB=1,][AO=1,]所以[OB＝2]，

在[Rt△POA]中，因为[AP＝2]，[AO＝1]，所以[OP＝1]，

在Rt[△PBO]中，

tan[∠PBO＝POBO=12=22,]

[∠PBO=arctan22.]

所以异面直线[PB与CD]所成的角是[arctan22].

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32].

设[QD＝x]，则[SΔDQC=12x].

由（Ⅱ）得[CD=OB=][2]，

在Rt[△POC]中， [PC=OC2+OP2=2,]

所以[PC=CD=DP], [SΔPCD=34⋅(2)2=32,]

由[VP-DQC=VQ-PCD],得[x=32]，

所以存在点[Q]满足题意，此时[AQQD=13].

例5已知[△BCD]中，[∠BCD=90°]，[BC=CD=1]，[AB]⊥平面[BCD]，[∠ADB=60°，E、F]分别是[AC、AD]上的动点，且[AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).]

（Ⅰ）求证：不论[λ]为何值，总有平面[BEF]⊥平面ABC；

（Ⅱ）当[λ]为何值时，平面[BEF]⊥平面[ACD]？

解析（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.

又[∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),]

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，

∴EF⊥平面ABC，又EF[⊂]平面BEF,

∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF.

又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴[BD=2,AB=2tan60∘=6,]

[∴AC=AB2+BC2=7.]

由[AB2=AE⋅AC],得[AE=67,∴λ=AEAC=67.] 故当[λ=67]时，平面[BEF]⊥平面[ACD].

例6如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，[∠ABC=60°],E、F分别是BC、PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为[62]，求二面角[E-AF-C]的余弦值.

解析（Ⅰ）由四边形[ABCD]为菱形，[∠ABC=60°]，可得[△ABC]为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE[⊂]平面ABCD，

所以PA⊥AE.

而PA[⊂]平面PAD，AD[⊂]平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.

又PD[⊂]平面PAD，所以AE⊥PD.

（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.

由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

所以当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，

在Rt△EAH中，AE=[3]，

此时tan∠EHA=[AEAH=3AH=62,]因此AH=[2].

又AD=2，所以[∠ADH=45°]，

所以[PA=2].

因为PA⊥平面ABCD，PA[⊂]平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC.

过O作OS⊥AF于S，连接ES，

则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=[32]，

AO=AE·cos30°=[32].

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，

SO=AO·sin45°=[324],

又[SE=EO2+SO2=34+98=304,]

在Rt△ESO中，cos∠ESO=[SOSE=324304=155,]

证明线面垂直的三步法 第5篇

王霖普

方法1

一条线垂直于平面内的两条直线

（构建等腰三角形高，勾股定理，三角形组相似产生互余角，或三角函数值证明相似，求出三角形中两角的三角函数值，若不是特殊值可能用到诱导公式，致使令一角为90度

方法2

三垂线定理

（1）与上面的法则配合使用

（2）射影定理继而构建三垂线定理

（3）由线面角，面面角诱导线面垂直

线面垂直练习题 第6篇

已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥

AC.例2如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.变式训练

如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.图10

例3如图11(1)，在直四已知AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；（2）设E是DC上一点，A1BD，并说明理由.棱柱ABCD—A1B1C1D1中，DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，试确定E的位置，使D1E∥平面

变式训练

如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：A1O⊥平面

GBD.图121、如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点

.求证：

证明空间线面平行与垂直 第7篇

 知识梳理

一、直线与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。

(2）判定定理： a

ba//ba//

//

（3）其他方法：a//a

a//

2.性质定理：a

 a//b

b

二、平面与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：两平面无公共点。

a//

b//

（2）判定定理：a //

b

abP

（3）其他方法：aa// //;// a//

//

2.性质定理：a a//b

b

三、直线与平面垂直

（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法

① 用定义.abac

② 判定定理:bcAa

b

c

a

③ 推论: b

a//b

（3）性质 ①

aa

ab②a//bbb

四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

a

（2）判定定理 

a

（3）性质

l

①性质定理

a

al

l②Al

P

PA垂足为A④PA

PPA

 “转化思想”

面面平行线面平行 线线平行 面面垂直线面垂直 线线垂直

例题1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；例

题2.如图，在棱长为2的正方体

ABCDA1B1C1D1中,O为BD1的中点,M为BC的中点,N为AB的中点，P为BB1的中点.（I）求证：BD1B1C；（II）求证BD1平面MNP；

例题3.如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且ACBCa，∠VDC0（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；



π． 2

π

（II）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．

Ｄ

例题4.（福建省福州三中2008届高三第三次月考）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H.BB

（1）求证：AE平面A1BD；

（2）求二面角DBA1A的大小（用反三角函数表示）；

A1

CHA

证明线面垂直的专项练习 第8篇

类型一：直线与平面平行的证明

【例１】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A点在底面A1B1C1上的射影是正△A1B1C1的中心.E为侧面BB1C1C对角线BC1上一点,且BE=2EC1,



证明：OE∥平面AA1C1C．

分析 (1) 从“量”上分析:①从BE=2EC1知E是一个三等分点(离C1较近);②从正△A1B1C1,O是△A1B1C1的中心,知O是△A1B1C1的重心,隐含O是B1C1边上中线的一个三等分点,与E点有遥相呼应之感；

(2) 从“形”上分析：由相似三角形的原理知延长CE与B1C1的交点必是B1C1的中点H,从而根据重心知识知A1、O、H共线,这样可形成△A1HC；同时可联想B1C1的中点是建立联系的纽带；

(3) 从方法上分析：应用线面平行的判定定理证明,设法在平面内找到平面外的直线OE的平行线,俗称“找线法”。

证明 连接CE并延长,交B1C1于点H,因为BC∥B1C1,BE=2EC1,所以△BCE∽△C1HE,且BC=2C1H,所以H点为B1C1的中点.

又因为点A在底面正△A1B1C1内的射影点O是△A1B1C1的中心,所以O是△A1B1C1的重心,显然A1、O、H共线.且A1O=2OH.

在△HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以△HEO∽△HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．

点拨

(1) 从图形上可联想有一个三角形,过OE且与平面AA1C1C有一条交线,故联想到B1C1的中点；

(2) 在添加辅助线时,易出现错误.如：连CE交B1C1于H点,连A1、O、H等形式的错误；

(3) 除用判定定理证明外,也可以构造平面与平面AA1C1C平行,利用面面平行的性质来证明。

总结:证明线面平行的方法有：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质定理等方法,常用的是线面平行的判定定理。

类型二：直线与平面垂直的证明

【例2】 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,侧面PAD是等边三角形,PB=PC=2,求证：PC⊥平面PAB.

分析 (1) 从“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本关系,作AH⊥BC垂足为H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在△ABC中由余弦定理易知AC=3,在△PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PC⊥PA；在△PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PC⊥PB；

(2) 从“形”上分析：应联想到PC应垂直平面PAB中两条相交的直线

PB,PA,AB中的其中两条即可,可联想连接AC,用勾股定理证明；

(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的判定定理,

设法在平面PAB内找到与PC垂直的两条相交直线。

证明 由条件易知在△PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PC⊥PB.在等腰梯形ABCD中,

由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,

作AH⊥BC于点H,得BH=12,所以在Rt△ABH中，∠ABH=60°；

又在△ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，

所以在△APC中,PA=1,AC=3,PC=2，满足勾股定理,即∠APC=90°,即PC⊥PA，

由上可知PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,所以PC⊥平面PAB．

点拨

(1) 本题从找线出发,联想到要证PC⊥PA与PC⊥PB,而PC⊥PA是本题的一个难点；

(2) 本题最终在△APC中利用勾股定理证得PC⊥PA,亦可以通过AB⊥平面PAC,证得PC⊥AB得到。

总结:证明线面垂直的方法有：定义法、线面垂直的判定定理法、面面垂直的性质定理等方法,常用的是线面垂直的判定定理。

恃国家之大，矜民人之众，欲见威于敌者，谓之骄兵。——魏相

类型三：利用线面平行、垂直的性质的探索性问题

【例3】 已知三棱锥PABC中,△ABC是边长为2的正三角形,PC⊥平面ABC,PA=22,E为PB的中点,F为AC的中点,试在线段PC上找一点Q,使得AE∥平面BFQ．

分析

(1) 从“量”上分析：△ABC为正三角形,PA=22,易得PC=2；从而知PB=22；

(2) 从“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；△PBC

为等腰直角三角形；同时可以联想在平面BFQ内有一条与ＡＥ平行的线；

(3)从方法上分析：利用线面平行的性质,通过线面平行得出线线

平行,从而确定Q点的位置。

解 因为△ABC是边长为2的正三角形,所以AC=2；

又因为PC⊥平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PC⊥AC,PC⊥BC,所以△PAC为直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以△PBC是以C为直角顶点的等腰直角三角形.不妨在PC上取一点Q,假设满足AE∥平面BFQ,则由线面平行的性质定理,连接CE交BQ于点H,连接HF,作出平面AEC.因为AE∥平面BFQ,

AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；

显然在△AEC中,F为AC的中点,所以H为EC的中点．

过E作EG∥BQ,交PC于点G；

在△CEG中,HQ∥EG,H为EC的中点,所以Q为GC的中点,故GQ=QC；

在△PBQ中,EG∥BQ,E为BP的中点,所以G为PQ的中点,故GQ=PG；

所以PG=GQ=QC,故Q为PC的一个三等分点且靠近C点；因为PC=2,所以QC=23．

点拨 (1) 取Q点形成平面BFQ,利用线面平行的性质定理得AE∥FH,从而知H为EC的中点；

(2) 在△PBC中求Q的位置,除了用本题的方法外,还可以把△PBC平面化,利用解析几何知识建立直角坐标系,求出Q点的坐标,从而确定Q的位置；

(3) 学理科的同学还可以通过建立空间直角坐标系,通过求Q的坐标,确定Q的位置。

总结:线面平行的探索性问题常用的解题步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 利用线面平行的性质得出线线平行；(3) 通过线线平行确定点的位置。

【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,

BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D为B1C1的中点,

证明线面垂直的专项练习 第9篇

一、空间向量及其数量积

1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或

或a。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A坐标为（x1，y1，z1）,点B坐标为（x2，y2，z2）则向量AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）即是终点坐标减起点坐标。222在空间，知道向量=（x，y，z

xyz 

2、空间向量数量积

① 已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫向量a与b的夹角，记作＜a，b＞规定，若0≤＜a，b＞≤，若＜a，b＞=

⊥。

② 已知空间两个向量a、b

COS＜a，b＞叫向量a、b的数量积，记作ab

COS＜，＞若⊥a＝０

③ 若已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）则ab＝x1x2+y1y2+z1z2，COS＜a，，称a与b垂直，记作a2

x1x2y1y2z1z

2x1y1z1x2y2z2222222

例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900,D1、E1分别为A1B1、A1C1中点，若BC=CA=CC1，求向BD1与AE1所成角的余弦值。

B

D1 1Ｃ

6练习：已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

F

C1B

1C

DB

二、利用向量证线线垂直与线面垂直

A1B

1，求向量BE1与DF1所成角的余弦值。

4例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证A1C⊥平面AB1D1

CC

练习：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P为DD1的中点，求证：B1O⊥平面PAC。

A

例3 如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M, N分别是AB ,PC中点（1）求证：MN⊥CD

（2）若∠PDA=45，求证：MN⊥平面PCD

6N M

B

C

练习：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱D1D中点，N是AD中点，P为棱A1B1上任一点。求证：NP⊥AM

作业：

A1

C1

M C 1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BB1中点，O是底面ABCD中心，求证：OE⊥平面D1AC.2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O ,M分别是BD1, AA1中点，求证：OM是异面直线AA1和BD1的公垂线.DA13、如图，直三棱柱ABC-—A1B1C1中，∠ACB=90，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两

条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：CD⊥平面BDM

6AB B1

4在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和BC的中点，M为棱B1B

上任一点，当

B1M

值为多少时能使D1M⊥平面EFB1 MB

A

E5、如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点，求证：AF⊥BD

C

A6、如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中B1C1=A1C1，A1B⊥AC1。求证：A1B⊥B1C

Ａ

证明线面垂直的专项练习 第10篇

一、线线垂直与线面垂直：

1、条件的正确填写：

（1）由线线垂直证明线面垂直的训练：

①如左图：由5个条件：可证：AB⊥平面PDC

②如左图：由5个条件：可证：AP⊥平面PBC

③如左图：由5个条件：可证：BC⊥平面PAC

（2）由线线垂直证明线面垂直的训练：2个条件

①如左图：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

②如左图：∵，PC平面PAC ∴BC⊥PC

③如左图：∵PE⊥平面，∴PE⊥AF

④如左图：∵⊥平面PAB，∴EF⊥AB

⑤如左图：∵⊥平面，∴AF⊥BC2、简单的证明题：

（1）已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC，（2）已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC，求证：PA⊥BC。求证：PA⊥平面ABC。、中等的证明题：

(1)如图，在三棱锥VABC中，VAVC,ABBC，求证：(2方体中，)正O为底面ABCD中心，.VBAC求证：BD平面AEGC

(3)AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB,(4)AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°

线面垂直的判定 第11篇

2.3.3直线与平面垂直的性质

2.3.4平面与平面垂直的性质

编制人：魏艳丽方玉辉审核人：高一数学组时间：2013.12.0

3【课前预习】

一、预习导学

1、直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________.2、垂直于同一条直线的两个平面____________.3、平面与平面垂直的性质定理：_________________________________________.4、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在___________.二、预习检测教材P71、P7

3【课内探究】

［例1］如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.［例2］如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.（1）求证：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.我主动，我参与，我体验，我成功第1页（共4页）

［例3］

10、在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；

（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积.［例4］如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由

.我主动，我参与，我体验，我成功第2页（共4页）

【巩固训练】

1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是

()

①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A．

4B．

3C．

2D．

1()()

2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是A．相交

B．平行

C．异面

D．相交或平行

3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为

m∥nm⊥α

⇒m∥n； ①⇒n⊥α；②m⊥αn⊥α

m⊥αm∥α⇒n⊥α.③⇒m⊥n;④n∥αm⊥nA．

4B．

3C．

2D．1D．重心

o

o

4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心

B．外心

C．内心

5.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为45和30.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()

A．3∶1

B．2∶1

C．3∶2

D．4∶3

6．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()

A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b不可能垂直，但可能平行 C．a与b可能垂直，也可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行

7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．

8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．

①a和b垂直于正方体的同一个面； ②a和b在正方体两个相对的面内，且共面； ③a和b平行于同一条棱；

④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主动，我参与，我体验，我成功第3

页（共4页）

求证：BC⊥AB.10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．

11．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

※12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA1

2的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大小．

证明线面垂直的专项练习 第12篇

31空间中的垂直关系

1．判断线线垂直的方法：所成的角是，两直线垂直；

垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直

PO,O推理模式： PAAaAO。

a,aAP

2．线面垂直

定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都，我们就说直线l和平面αl叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：。

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

3．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）

如果，那么这两个平面互相垂直。

推理模式：

两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

课后练习

1、（2008上海，13）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（）条件

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线l是异面直线AB1 和A1D的公垂线，则直线l与直线BD1的关系为（）

A．l⊥BD1B．l∥BD1C．l与BD1 相交D．不确定

1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点

(1)求证：CD⊥AE；

(2)求证：PD⊥面ABE.2、如图，棱柱ABCA1B1C1BCC1B1的侧面是菱形，B1CA1B

证明：平面AB1C平面A1BC13、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形。DAB60,AB2AD,PD 底面ABCD，证

明：PABD4、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点

（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M

面面垂直的性质

1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.S

A C2、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD

V D

C B3、如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4将

沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD 求证：ABDE4、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

(第4题

图)

CBD

教案《线面垂直的判定》 第13篇

线面垂直的判定

教学目标

1．知识与技能

掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及性质定理，并能应用．

2．过程与方法

通过“观察”“认识”“画出”空间图形及垂直关系相关定理的学习过程，进一步培养学生的空间想象力及合情推理能力．

3．情感、态度与价值观

垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．

教材分析

教材以旗杆与地面、书脊与桌面等日常生活中学生熟悉的实例人手，让学生在直观感知的基础上借助直角三角板形成直线与平面垂直的概念．然后以长方体模型为基础，让学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直呢?结合长方体模型中具体的线面关系，让学生进行操作确认，从而得到直线与平面垂直的判定定理．突出了长方体模型在帮助学生思考垂直关系中的作用．

在平面与平面垂直的判定这一节中，教材的展开思路与

教学目标

1．知识与技能

掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用．

2．过程与方法

在合作探究中，逐步构建知识结构；在实践操作中进一步发展学生的几何直观能力和空间想象能力．

3．情感、态度与价值观

垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．

教材分析

本节课是第6节的第一课时，是立体几何的核心内容之一．在学生学习了线面平行关

系之后，仍以长方体为载体，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初运用”的认知过程的一个再强化．

学情分析

学生已经学习了直线和平面、平面和平面平行的判定及性质，学习了两直线(共面或异面)互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力． 教学重点和难点

本节的重点：垂直关系的判定定理．

本节的难点：对直线和平面垂直判定定理的理解．

教学过程

问题提出

问题1空间一条直线与平面有哪几种位置关系?

问题2在直线与平面相交的位置关系中，哪种相交最特殊?

在我们的生活中，随处可见线、面的垂直：在操场上竖立的国旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、灯塔与海平面.思考

1如何用语言表述直线和平面的垂直关系?

直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．

用符号记作： l

用图形表示： a．

思考

2怎样判定直线与平面垂直呢?

思考

3 如果一条直线垂直于一个平面内的一

条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直?

 如果一条直线垂直于一个平面内的两条条直线，那么这条直线是否与这个平

面垂直?

 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平

面垂直?

 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线是否与这个

平面垂直?

抽象概括

直线和平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面．

关键：线不在多，相交则行

符号语言表示：若a,b,abP,且la,lb，则l

图形语言表示：

动手实践

过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上

（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？若不过顶点A翻折纸片呢？

（3）翻折前后垂直关系发生变化了吗？由此你能得到什么结论？

知识应用

例1如图所示，在Rt△ABC中，B90，P为△ABC所在平面外一点，PA平0

面ABC问：四面体P—ABC中有几个直角三角形?

解：因为PA平面ABC，所以 PAAB，PAAC，PABC．

所以△PAB，△PAC为直角三角形．

又PABC，ABBC，且PAABA，所以BC平面PAB．

又PB平面PAB，于是BCPB，所以△PBC也为直角三角形．

所以四面体PABC中的四个面都是

直角三角形．

例2如图所示，已知三棱锥A-BCD中，CACB,DADB,BECD,AHBE,且F为棱AB的中点，求证：AH平面BCD.证明：取AB的中点F，连接CF，DF，因为CA=CB，DA=DB，所以CFAB,DFAB,又CFDF

又CDF,所以AB平面CDF.平面CDF，于是ABCD,由已知BECD,且ABBEB,所以CD平面ABH.又AH平面ABH，于是CDAH,已知AHBE,且BECDE,所以AH平面BCD.课堂小结

判定直线和平面是否垂直，有两种方法：

(1)定义：强调是“任何一条直线”；

(2)判定定理：必须是“两条相交直线”．

线线垂直线面垂直

布置作业

课本习题1—6 A组5、6（1）B组2（1）

思考交流

1线面垂直的性质 第14篇

桃江一中，徐令芝

 教学目标：1.探究线面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力

2.对性质定理进行变式探究，培养学生发现问题，提出问题的能力

3.掌握线面垂直性质定理的应用，提高逻辑推理能力。 重点难点：线面垂直性质定理及其应用，定理变式探究

 教学过程：

一、知识回顾

1.直线和平面垂直的定义如何？

2.直线与平面垂直的判定定理?

二、新知探究

1.线面垂直的性质定理

先观察图片直观感知，再借助模型思考，由此抽象出线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行

证略。

点评：(1)反证法；（2）定理的作用。

2.性质定理的应用举例

例 1: 请在下面的横线上填上适当的条件,使结论成立。

am,an，则a∥b bm,bn

例 2: 如图，已知  l ,于点A，CBCA  于点B，a,aAB,求证：a∥l.点评：(1)证线线平行的方法；（2）线线关系与线面关系的反复转化。

3.性质定理的变式探究

(1)类比探究：

①交换“平行”与“垂直”

②交换“直线”与“平面”

(2)逆向探究：再对类比探究得到的两结论进行探究

点评：(1)学会发现问题，提出问题的方法；

(2)注意这些结论在解题中应用。

三、课堂小结

(1)知识方法；(2)数学思想。

四、课后作业

(1)书面作业；(2)课后探究。

证明线面垂直的专项练习 第15篇

1、点线面位置关系判定问题

解题方法与技巧：在判定点线面的位置关系时，通常有两个切入点（1）集合：点、线点、面的位置关系从集合的从属关系来判定；线、面都是点集，所以在考虑线面关系时从集合与集合的包含关系或者集合与集合的交、并、补关系来判定；（2）几何：把集合与几何关系结合来判定线线，线面，面面关系

例1、设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若，则；

②若l上两点到的距离相等，则；

③若

④若

其中正确的命题是

（）

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

解析：

①由面面垂直关系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。错误；②由点到面距离易知直线还可能和平面相交；③因为所以在平面β内一定有一直线垂直α所以正确④根据平行关系易知正确

答案选D

练习1、设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）

（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则

练习2、给定下列四个命题：

（）

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是

A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．②和④

练习3.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

练习4．顺次连接空间四边形各边中点所成的四边形必定是（）

A、平行四边形

B、菱形

C、正方形

D、梯形

练习题答案：练习1：B；练习2：

D；练习3：

C；练习4：

A；

2、空间中线面的平行垂直证明

例1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面

解析：

证明PC平行于面EBD，只需在面EBD内找一条直线和已知直线平行即可

E为中点，首先考虑构造等腰三角形中位线，取AC中点O连接EO即可

证明：取AC的中点O,连接EO，例2：三棱柱—中，为的中点，为的中点，为的中点，证明：平面∥平面

解析：面面平行的证明定理，证明两平面内两组相交直线平行，即把面面

平行问题转化为线线平行问题，按解决线线平行的思路即可解决问题

证明：连接BC1,EF

分别为BC、B1C1、BB1、CC1的中点，例3：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，为的中点，⊥，证明：⊥

解析：线线垂直的证明分同平面直线垂直证明和异平面垂直证明，在处理异平面垂直证

明问题时，优先考虑证明一直线垂直于另一直线所在平面，转化为线面垂直证明问题

即证明PD垂直于面BEF即可

证明：点

例4：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，证明：平面⊥平面

练习1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面

练习2：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面

练习3：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面

练习4：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习5：如图：三棱柱—中，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习6：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习7：如图：三棱柱—中，为的中点，为的中点，证明：∥平面

练习8：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是梯形，∥，，为的中点，证明：⊥

练习9：如图：直三棱柱—中，，、分别为、的中点，为的中点，证明：⊥

练习10：如图：四棱锥—中，⊥平面，⊥，，⊥，⊥，为的中点，证明：⊥

练习11：如图：四棱锥—中，底面是矩形，平面⊥平面，证明：平面⊥平面

练习12：如图：五面体中，是正方形，⊥平面，∥，证明：平面⊥平面

练习13：如图：四棱锥—中，⊥平面，是菱形，为的中点，证明：平面⊥平面