一元二次不等式讲义（精选11篇）

一元二次不等式讲义 第1篇

解一元二次不等式化为标准型。判断△的符号。若△＜0，则不等式是在R上恒成立或恒不成立。

若△＞0，则求出两根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。

2．解简单一元高次不等式

a．化为标准型。

b．将不等式分解成若干个因式的积。

c．求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。

3.解分式不等式的解

a．化为标准型。

b．可将分式化为整式，将整式分解成若干个因式的积。

c．求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。（如果不等式是非严格不等式，则要注意分式分母不等于0。）

4.解含参数的一元二次不等式

a．对二次项系数a的讨论。

若二次项系数a中含有参数，则须对a的符号进行分类讨论。分为a＞0，a=0，a＜0。

b．对判别式△的讨论

若判别式△中含有参数，则须对△的符号进行分类讨论。分为△＞0，△=0，△＜0。

c．对根大小的讨论

若不等式对应的方程的根x1、x2中含有参数，则须对x1、x2的大小进行分类讨论。分为x1＞x2，x1=x2，x1＜x2。

5.一元二次方程的根的分布问题

a．将方程化为标准型。（a的符号）

b．画图观察，若有区间端点对应的函数值小于0，则只须讨论区间端点的函数值。

若没有区间端点对应的函数值小于0，则须讨论区间端点的函数值、△、轴。

6.一元二次不等式的应用

⑴在R上恒成立问题（恒不成立问题相反，在某区间恒成立可转化为实根分布问题）

a．对二次项系数a的符号进行讨论，分为a=0与a≠0。

b．a=0时，把a=0带入，检验不等式是否成立，判断a=0是否属于不等式解集。

a≠0时，则转化为二次函数图像全在x轴上方或下方。

若f(x)＞0，则要求a＞0，△＜0。

若f(x)＜0，则要求a＜0，△＜0。

⑵特殊题型：已知一不等式的解集（含有字母），求另一不等式的解集（与原不等式系数大小相同，位置不同）。a.写出原不等式对应的方程，由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。

b.写出变换后不等式对应的方程，由由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。

c.将a中得到的关系变化后带入b的关系中，得到变换后方程的两根。

d.判断两根的大小，变换后不等式二次项的系数，从而写出所求解集。

一元二次不等式讲义 第2篇

第十二教时教材：目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握运用二次函数求解一元二次不等式的方法。过程 ：一、课题：一元二次不等式的解法先回忆一下初中学过的一元一次不等式的解法：如 2x-7>0 x>    y这里利用不等式的性质解题                                 从另一个角度考虑：令 y=2x-7 作一次函数图象：      xco引导观察，并列表，见 p17  略             当 x=3.5 时, y=0 即 2x-7=0当 x<3.5 时, y<0 即 2x-7<0当 x>3.5 时, y>0 即 2x-7>0结论：略 见p17注意强调：1°直线与 x轴的交点x0是方程 ax+b=0的解2°当 a>0 时,  ax+b>0的解集为 {x | x >x0 } 当 a<0 时,  ax+b<0可化为 -ax-b<0来解y二、一元二次不等式的解法同样用图象来解，实例：y=x2-x-6  作图、列表、观察-2  o      3    x 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2-x-6=0当 x<-2 或 x>3 时, y>0 即 x2-x-6>0当   -20 的解集：{ x | x < -2或 x >3 }不等式 x2-x-6 < 0 的解集：{ x | -2 < x < 3 }这是 △>0 的情况：若 △=0 ,  △<0 分别作图观察讨论得出结论：见 p18--19说明：上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c>0(<0) 当 a>0时的情况若 a<0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解三、例题 p19 例一至例四练习：（板演）有时间多余，则处理《课课练》p14  “例题推荐”四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法）五、作业：p21习题 1.5            《课课练》第8课余下部分

“五步法”解一元二次不等式 第3篇

在此基础之上, 以下用五个步骤解一元二次不等式.

第一步: 化为一般式

一般式即一元二次不等式的一般形式ax2+ bx + c > 0或ax2+ bx + c < 0 (a > 0) : 式子左边按未知量的降幂排列, 右边为0; 二次项系数a > 0; a, b, c为互质数. 若出现“≥”或“”情况相同.

第二步: 算Δ

算出化简所得一元二次不等式所对应一元二次方程根的判别式Δ的值, 并比较Δ与0的大小关系.

第三步: 求根

依据Δ与0的大小关系, 利用公式法求对应的一元二次方程的根.

说明: 由于大部分中职学生对解一元二次方程存在很大障碍, 为了避免方法灵活以至于无从下手, 笔者要求他们必须掌握公式法.

第四步: 画图像

依据Δ与根的情况, 以及a > 0, 作出对应二次函数的简图. 由于a > 0, 因此图像开口向上. 当Δ > 0, 抛物线与x轴有两个不相同的交点; Δ = 0, 抛物线与x轴有两个相同的交点; Δ < 0, 抛物线与x轴没有交点 ( 图像恒在x轴上方) .

说明: 只需简单画出图像与x轴的交点情况即可, 没有必要准确找出根的具体位置, 甚至可以省略y轴.

第五步: 找解集

“大于取两边, 小于取中间”是不变的法则. 若有“≥”或“”时, 连同方程的根一起取. 若Δ < 0, 抛物线可以看作是 ( 与x轴有两个不同的交点, 与x轴有两个相同的交点, 与x轴没有交点) 向上平移而得到的, 自然也就简单了.

下面以几个具体的题目做具体的体验, 巩固练习.

1. 解不等式x2- x - 6 > 0.

解 ( 由于不等式已经是我们要求的一般式, 于是进行第二步)

由已知可得

观察图像知:

原不等式的解集为{ x| x < - 2或x > 3} .

2. 解不等式 - x2+ 6x - 9 < 0.

解原不等式可化为

∴不等式所对应二次函数的图像为:

观察图像知:

原不等式的解集为{ x| x < 3或x > 3} , 即{ x| x≠3}

3. 解不等式2x2+ 3x - 6 < 3x2+ x - 1.

解原不等式可化为

观察图像知:

一元二次不等式常规解法 第4篇

例1 已知关于[x]的方程：[x2-2ax+a=0]有两个实根[α、β]，且满足[0＜α＜1，β＞2]，求实数[a]的取值范围.

分析 利用求根公式，将[0＜α＜1，β＞2]转化为关于[a]的不等式组，求[a]的取值范围，这样做计算将会很繁琐. 而利用根与系数的关系进行转化时，很难得到充要条件. 因此，考虑利用二次函数图象，数形结合寻找解决问题的充要条件.

设[y=f(x)=x2-2ax+a]，如图，若方程[f(x)=0]的两根分别在区间（0，1）和（2，+∞）内，即抛物线[y=f(x)]与[x]轴的两个交点分别位于原点与点（1，0）之间和点（2，0）的右侧. 由此可知，只需考虑[f(0)，f(1)，f(2)]的符号，而无需考虑判别式以及对称轴的位置，因此得出其充要条件为：[f(0)>0,f(1)<0,f(2)<0.]

解 设[f(x)=x2-2ax+a]，则方程[f(x)=0]的两个根[α、β]就是抛物线[y=f(x)]与[x]轴的两个交点的横坐标，如图，[0＜α＜1，β＞2]的充要条件是：

[f(0)>0,f(1)<0,f(2)<0.即a>0,1-a<0,4-3a<0.]解得[a>43.]

所以，当[a>43]时，方程的两个实根[α、β]，满足[0＜α＜1，β＞2].

点拨 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意用数形结合研究问题. 在应用数形结合思想解决与不等式有关的问题时，应考虑设辅助函数、利用函数图象来解决.

2. 韦达定理

例2 已知关于[x]的不等式[ax2+2x+c>0]的解集为[(-13,12)],求[-cx2+2x-a>0]的解集.

解析 由[ax2+2x+c>0]的解集为[(-13,12)]知,

[a>0],[-13、12]为方程[ax2+2x+c=0]的两个根.

由韦达定理得，[-13+12=-2a,-13×12=ca],

解得[a=-12,c=2].

∴[-cx2+2x-a>0]即[2x2-2x-12<0],

∴其解集为(-2,3).

点拨 已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是：先由不等式的解集求出根,再由韦达定理求系数.

3. 分类讨论

例3 已知[A={x |x-a＞0}],[B={x|x2-2ax][-3a2][＜0}]，求[A⋂B]及[A⋃B].

解析 [A={x|x＞a}，B={x|(x+a)(x-3a)＜0}]，

考虑集合[B]中[-a]与[3a]的大小关系，对字母[a]进行分类讨论：

（1）当[a＞0]时，[-a＜3a]，[B={x|-a＜x＜3a}]，

∵[-a＜a＜3a]，

∴[A⋂B={x|a＜x＜3a}]，[A⋃B][={x|x＞-a}].

（2）当[a=0]时，[A={x|x＞0}]，[B=∅]，此时，[A⋂B=∅]，[A⋃B={x|x＞0}].

（3）当[a＜0]时，[-a＞3a]，[B={x|3a＜x＜-a}]，

∵[3a＜a＜-a]，

∴[A⋂B={x|a＜x＜-a}]，[A⋃B][={x|x＞3a}].

点拨 分类讨论时，要求既不重复讨论，也不遗漏某些特殊情况，往往是数形结合、分类讨论交叉进行. 不等式的分类讨论常常围绕以下几点展开：（1）一元一次不等式的一次项系数. 该系数的符号与不等式解集的形态有关，所以若含有参数则要进行讨论. （2）一元二次不等式的二次项系数. 该系数若含有参数时，要讨论系数的符号. （3）二次不等式的判别式. 判别式△的符号决定解集的类型，所以若不等式系数中含有参数，往往要对判别式进行讨论. （4）在二次函数[f(x)]与[x]轴有两个交点[(x1，0)、(x2，0)]的情况下，求[f(x)>0]或[f(x)< 0]的解集，若[x1]、[x2]中含有参数，要对[x1]与[x2]的大小关系进行讨论.

4. 等价转换思想

例4 解不等式[ax2+bx+c>0]（[a>0]）.

解析 方法1（转化为解一元一次不等式组）:

[ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac-b24a]，

（1）若[Δ>0]，方程[ax2+bx+c=0]有两个实数根[x1=-b-b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，则[ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)>0].

∴[x-x1<0,x-x2<0,]或[x-x1>0,x-x2>0.]

∴[xx2].

∴不等式的解集为[{x|x<-b-b2-4ac2a]或[x>-b+b2-4ac2a}].

（2）若[Δ=0]，方程[ax2+bx+c=0]有两个相等的实数根[x1=x2=-b2a]，

则[ax2+bx+c=a(x-b2a)2>0].

∴[x1≠-b2a]，即不等式的解集为[{x|x≠-b2a}].

（3）若[Δ<0]，方程[ax2+bx+c=0]没有实数根，此时[ax2+bx+c>0]恒成立，

∴不等式的解集为[{x|x∈R}].

方法2（转化为解简单的绝对值不等式）:

[ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac-b24a>0]，

∴原不等式化为[a(x+b2a)2>b2-4ac4a].

（1）若[Δ>0]，则[|x+b2a|>b2-4ac2a]，

∴[x+b2a<-b2-4ac2a]或[x+b2a>b2-4ac2a]

∴不等式的解集为[{x|x<-b-b2-4ac2a]或[x>-b+b2-4ac2a}].

（2）若[Δ=0]，原不等式可化为[(x+b2a)2>0]，

∴不等式的解集为[{x|x≠-b2a}]

（3）若[Δ<0]，则不等式的解集为[{x|x∈R}].

点拨 解不等式时，一定要树立等价转化的思想，要保证每一步进行的都是不等式的同解变形（即等价变换）.

5. 变换主元

例5 若不等式 [2x-1>m(x2-1)]对满足[m≤2]的所有[m]都成立,求[x]的取值范围.

分析 对于[m∈[-2,2]],不等式[2x-1>m(x2-1)]恒成立,若将[m]视为主元,可利用函数的观点来解决，即利用函数的单调性解不等式.

解 原不等式化为[x2-1m-2x-1<0.]

令[fm=x2-1m-2x-1,(-2≤m≤2),]

根据题意有

[f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)<0,f(2)=2(x2-1)-(2x-1)<0.]

即[2x2+2x-3＞0,2x2-2x-1＜0.]

解得[-1+72

点拨 从表面上看，这是一个关于[x]的一元二次不等式，实际上是一个关于[m]的一元一次不等式，并且已知它的解集为[-2，2]，求参数[x]的取值范围.

6. 最值法

例6 已知当[x∈[0,1]]时[f(x)=x2+ax+3-a>0]恒成立，求[a]的取值范围．

解 只需[f(x)]在区间[0,1]上的最小值大于0即可.先求[f(x)=(x+a2)2-a24+3-a]在[0,1]上的最小值.

（1）当-[a2<0],即[a>0]时, [f(x)min=f(0)=3-a.]由[3-a>0]，得[a＜3]，则[0

（2）当0≤-[a2]≤1时，即-2≤[a]≤0时, [f(x)min=][f(-a2)=-a24+3-a].由[-a24+3-a]>0，得[-6

（3）当-[a2>1]，即[a<-2]时,[f(x)min=f(1)=4>0]恒成立．

综上所述，[a<3].

点拨 对于以下四种类型的不等式：[f(a,x)>0]或[f(a,x)≥0]，[f(a,x)<0]或[f(a,x)≤0.] 如果在确定其中一个字母范围的条件下，求另一个字母的取值范围，那么通常可以借助函数最值法加以处理.

7. 数轴标根法

例7 [x2-2x-8>0]

先用十字相乘法或公式法分解因式得到：[(x-4)(x+2)>0].

数轴标根法:[-2<4].

解集为[{x|x>4或x<-2}].

点拨 对[-x2-x+6>0]这种不等式怎么办呢？所以在这里说明一下，我们的不等式是这样的[ax2-bx+c>0]和[ax2-bx+c<0]，在这里规定：[a>0].如果你的不等式是[a<0]的情况，你就要在不等式的左右两边同时乘以-1还要变号，那么你的不等式就可以用我们的数轴标根法来求解了.

练习

1. 已知不等式[ax2+bx+c﹥0 (a≠0)]的解集为[{x|α﹤x﹤β,0<α﹤β}]. 求不等式[cx2+bx+a﹤0]的解集.

2. 设不等式[x2-2ax+a+2≤0]的解集为[M]，如果[M⊆]［1，4］，求实数[a]的取值范围.

3．解关于[x]的不等式[ax2-2(a+1)x+4>0][(a>0)].

4. 为使周长为20cm的长方形面积大于[15cm2]，不大于[20cm2]，它的短边多长？

5. 不等式[x2-ax-6a>0]的解为[xb]，且[b-a≤5(a≠b)]，求实数[a]的取值范围.

答案

1. [{x︱x<1β]或[x>1α}] 2. (-1，[187])

3. 当[a＝1]时，[{x|x∈R且x≠2}]；当[a≠1]时，[{x|x<2a或x>2}]；若[02a}]

4. [5-10

一元二次不等式习题[ 第5篇

1、x2+5x+6=

2、x2-5x+6=

3、x2+7x+12=

4、x2-7x+6=

5、x2-x-12=

6、x2+x-12=

7、x2+7x+12=

8、x2-8x+12=

9、x2-4x-12=10、3x+5x-12=11、3x+16x-12=12、3x2-37x+12=13、2x2+15x+7=14、2x2-7x-15=15、2x2+11x+12=16、2x2+2x-12= 22

练习：

1、解下列不等式：

（1）3x2-7x>10；（2）-2x26x50；

（3）x24x50 ；（4）10x233x200；

（5）-x24x40；（6）x2(2m1)x+m2+m<0；

（7）(x5)(3x)0；（8）(5-x)(3-x)<0；

x--4（9）(5+2x)(3-x)<0；（100；x+3

2x(11)0；4x2、(1)解关于x的不等式x22ax3a20

(2)解关于x的不等式x(1a)xa0.3、（1）若不等式ax2bxc0的解集是{x-3

（2）已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2

A.a<0;B.-20a<0;C.-20a0;........D.-20

不等式第二次课讲义 第6篇

1、排序不等式：anan1a1，bnbn1b1，则：

n

n

k

n

k

a

k

1bk

a

k1

bik

a

k1

k

bnk1(其中i1,i2,,in是1,2,,n的一个排列)

212

1例1：x,y,zR,求证：○



yzx



zxy



xyz

2xyz；○

x

yz



y

zx



z

xy

x

y

z102、均值不等式：MMaxa1,a2,,an,mMina1,a2,,an，则：

a1a2an

n

M

a1a2an

n



a1a2an

n

1a

11a2



1an

m

aaax

，注：记fxn

x

1x2xn

以上不等式即：ff2f1f0f1f 可猜测fx是单增函数，这就是幂均值不等式。



1例1○1；○2x,y,zR,且xyz1求：S例2：○

3x23y23z2

Txy2z3的最大值。例3：求ft48t

1t

3,t0的最小值。

例4：a,bR,ab1求Sa







11

b的最小值。ab

22

3、柯西不等式：akbkakbk

k1k1k1

n

akk1

n

nnn

n

最重要的变形：

k1

akbk

，(bi0)当且仅当a1:a2::anb1:b2::bn时取等。

b

k12

k

例5：求Sxyyx的最大值。

a

1例6：a1,b1，求证：○

b1



b

a1

28；○

a

a1



b

b1

8。

例7：x1,y1,求证：

例8：,为锐角，且

11x



11y



21xy

cossin





sincos

1，求证：



例9：a,b,cR,abc1，求证：

1abc



1bca



1cab



例10：a,b,c,d,e都是实数，且abcde8,a2b2c2d2e216求e的取值范围。

nakk1

n

n

通过以上例子，我们感受到了柯西不等式的推论：

k1

akbk

非常好用，我们把它

b

k1

k

推广。以下给出几个引理或定理，它们的证明你可以在教程中找到。切比雪夫不等式：

1

10aaa,0bbb，则：akbk○12n12n

nk1n

1

b1，则：akbk

nk1n

n

n

1

aknk11

aknk1

n

nn

b

k1n

k



 

20aaa,0bb○12nnn1

n



bk k1



1x1，nN，则：1x1nx 贝努力不等式：○

2x1，且x0，r1或r0，则：1x1rx○

r

3x1，且x0，0r1，则：1x1rx○

r

赫尔德不等式：ai,biR,p0,q1,1p



1q

1,则：

n

pqpq1当p1有：○ababkkkk

k1k1k1

n

n

p

n

nn

qpq2当0p1有：○akbkakbk

k1k1k1

n

1当m0或m1，则：权方和不等式：xi,yiR，○

k1



xk

m1m

yk



n

xkk1

n

m1

ykk1

m1

m

n

2当1m0，则：○

k1

xk

m1m

k

y



nxkk1

n

ykk1

m

q

注：当且仅当x1:x2::xny1:y2::yn时取等。证明时只需令：xkakbk,ykbk

pm1,直接运用赫尔德不等式。

nakk1bkk1

n

p

n

推论：ai,biR,p,qN,pq，则：

k1



akb

p

qk

n

1qp



q

注：证明可参考教程P311习题11

1例11：a,b,cR，且abc3，求证：○

1 12ab12bc12ca11132○

1ab1bc1ca2





222

例12：a,b,cR，求证：



abc



bca



cab



abc

例13：a,b,cR，求证：

aa8bc



bb8ca



cc8ab

1

例14：a,b,cR，且abc1求证：

例15：a,b,cR，求证：

abc

a1bc



b1ca



c1ab



910



bca



cab

1112 abc

n

例16：已知：a1,a2,,an是两两互异的正整数，求证：

k1

akk

n





k1

优质课一元二次不等式教案 第7篇

一、教学目标：

1、知识目标：理解“三个二次”的关系，从而 熟悉掌握看图象找一元二次不等式的解集。

2、能力目标：通过图像找解集，培养学生从“形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“ 从特殊到一般”的归纳概括能力。

3、情感目标：创设问题情境，激发学生的学习热情，强化学生参与意识及主体作用，培养学生的数学兴趣。

二、教学重点：一元二次不等式的图像解法。

三、教学难点：“三个二次”的关系，从图像上找一元二次不等式的解集。

四、教学过程：

（一）创设情境，引入新课

问题：在植树节，班上组织学生去城市绿化带植树，这个绿化带是长比宽多6米的矩形。假设树苗株距已经给定，提供的树苗恰好能栽满面积为40平方米的空地，那么矩形带长为多少时，树苗会不够栽？

这个问题两天前在微信群里就让学生讨论思考，学生们已经建立好了数学模型，大大的激发了学生的学习兴趣。

解决：设绿化带长为x m，则依题意有x(x6)40

整理为

定义：一般地，含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等

200）式。它的一般形式是ax2bxc（或者axbxc0(0），其中a0。

（二）复习旧知，确立思想 例：请同学们解下面的方程和不等式。1.2x60 2.2x60 3.2x60

为完成本题，首先将学生们每五人分为一组。让学生以小组为单位进行讨论，并派代表展示结果。结果如下图（教师随后展示的标准图）：

师生一起归纳出“三个一次”的关系：

①2x-6=0的解恰是函数y=2x-6的图象与x轴交点的横坐标x=3 ②2x-6>0的解集正是函数y=2x-6的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合x|x3 ③2x-6<0的解集正是函数y=2x-6的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合x|x3

“三个一次”的一般结论：

若ax+b=0(a>0)的解为x0，则函数y=ax+b的图象与x轴交点为（x0，0）①ax+b>0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图象在x轴的上方的点的横坐标的集合x|xx0

②ax+b<0(a>0)的解集正是函数y=ax+b的图象在x轴的下方的点的横坐标的集合x|xx0

（三）依旧悟新，引出“三个二次”的关系

师：我们一起来求解一元二次不等式x2x60,x2x60吧！

先让学生自己动手画出二次函数yx2x6的图像然后再用多媒体展示出标准图，如下：

学生以小组为单位继续对图像上纵坐标y=0、y>0、y<0所对应的横坐标x的取值范围进行讨论并派小组代表说出讨论结果：

①方程x2x60的解是x12或x23；一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴的交点。

②不等式x2x60的解集是x/x2或x3;一元二次不等式大于零的解集就是x轴上方二次函数图像对应的自变量x的取值范围。

③不等式x2x60的解集是x/2x3.一元二次不等式小于零的解集就是x轴下方二次函数图像对应的自变量x的取值范围； 此时，学生已经揭示“三个二次”之间的紧密关系，找到了利用二次函数图象来解一元二次不等式的方法，突破了本节课的重难点。

（四）归纳提炼，得出“三个二次”的关系

师：我们能不能进一步将特殊、具体的结论转化成一般结论呢？也就是如果把yx2x6变为, 这种情况下你还能根据图象与x轴的相对位置关系分别将Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况下相应不等式的解集表示出来吗？现在我们进行抢答把下面的表格填写完整。一、二、三！开始！

通过三轮抢答以及老师的引导完成了表格，从而揭示了“三个二次”的一般关系，同时也再一次强化了学生的数形结合思想，提高了学生归纳概括的能力，让学生体验到数学的乐趣。

注：表中

.（五）例题讲解，形成结论 例题：解下列不等式

21、-3x6x22、3、解：

1、因为二次项系数为-3<0,将不等式两边同时乘以-1，得

3x25x20的解为方程

所以3x25x20的解集为，1即原不等式解集为，1

2323

22、由于22-413-80,故方程x2x30没有实数根本，所以原不等式的解集为R.23、因为二次项系数4>0，44410.方程4x24x10的解为x1x211，所以原不等式的解集为。22

（六）运用新知，强化练习

2x1、6x400（让学生利用学到的知识自我解惑刚刚遗留的数学实际问题，长为多少时，树苗不够栽？）

22、x3x100

22x4x20

3、（七）反思小结，提高认识 解一元二次不等式的“四部曲”

（1）把二次项的系数化为正数；

（2）计算判别式Δ；

（3）解对应的一元二次方程；

（4）根据一元二次方程的根，结合图像，写出不等式的解集。概括为：一化正 → 二算Δ → 三求根 → 四写解集

（八）作业布置

浅谈一元二次不等式的解法 第8篇

一、一元二次不等式与一元二次方程及一元二次函数的关系

一元二次方程的根, 一元二次不等式的解集以及二次函数的图象结合起来解决问题.即一元二次方程根的分布转化为一元二次不等式求解, 一元二次不等式转化为二次函数的值域问题来求解.

例1解下列一元二次不等式:

解: (1) 因为Δ=42-423=16-24=-8<0,

所以方程2x2+4x+3=0没有实根.

所以2x2+4x+3<0的解集为.

(2) 原不等式等价于3x2+2x-8≥0圳 (x+2) (3x-4) ≥0圯x-2或

(3) 原不等式等价于16x2-8x+10圳 (4x-1) 20.

所以只有当4x-1=0, 即时不等式成立,

故不等式解集为

【注】一元二次不等式ax2+bx+c>0 (<0) (a≠0) 的解题步骤:

(1) 将二次项系数化为正数;

(2) 看判别式Δ的符号;

(3) 求出相应一元二次方程的根 (若根存在) ;

(4) 根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系, 结合不等号定解集.

有时通过因式分解, 直接求出方程的根.

二、与一元二次不等式有关的其他不等式的解法

1. 解含有绝对值的不等式, 关键是去掉绝对值符号.去绝对值的常用方法有:

(1) 依据绝对值的定义:即

(3) 平方法:将不等式两边同时平方去绝对值符号, 两边非负.

(4) 解含多个绝对值符号的不等式, 常根据绝对值的定义去绝对值符号, 求解过程不要漏掉区间端点的讨论, 以免漏解.

例2解下列不等式:

(1) 解法一: (定义法)

解法二: (平方法)

解得x>3或0x<1或x<0.

解法三: (图象法)

(2) 分别令x+2=0, x-1=0, 得原不等式的零点为-2, 1.

【注】解含绝对值不等式的关键是去绝对值符号, 常用的方法有定义法, 平方法, 零点分段法等, 有时也可以直接借助函数的图象求解.

2. 分式不等式的解法.

【注】解分式不等式时要慎重去分母, 当分母的符号恒为正恒为负时, 可直接去分母.

利用数轴标根法, 如图所示:

【注】解分式不等式时, 要特别注意同解原理, 不能随意去分母.一般可将一边化为零, 另一边分解因式, 在数轴上将各因式为零的根标出来, 然后根据各个因式在每个区间上的正负, 直接写出不等式的解集 (即数轴标根法) , 当分子分母含有公因式时, 不可随意约去.

三、含参一元二次不等式的问题

例4解关于x的不等式ax2- (a+1) x+1<0 (a>0) .

解:原不等式可化为 (x-1) (ax-1) <0.

(2) 当a=1时, , 原不等式可化为 (x-1) 2<0, 此不等式无解.

【注】方程根的大小影响了不等式的解集形式, 故以根的大小入手进行分类讨论, 即一元二次不等式解集的边界数就是对应方程的根.

例5已知不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切实数x恒成立, 求实数a的取值范围.

解:原不等式等价于 (a+2) x2+4x+a-1>0对一切实数恒成立, 显然a=-2时, 解集不是R, 因此a≠-2,

所以a>2.故a的取值范围是 (2, +∞) .

【注】不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数 (或恒成立) 的条件是当a=0时, b=0, c>0;当a≠0时, ;不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数 (或恒成立) 的条件是当a=0时, b=0, c<0;当a≠0时,

例6若1

思路分析:不等式的二次项系数为待定参数a, 故要先分a=0和a≠0两大类进行讨论, 然后结合数形结合法求解.

解法一:从函数图象与不等式解集入手, 不等式在 (1, 2]上恒成立, 即f (x) =ax2-2ax-1.

在x∈ (1, 2]时, 图象恒在x轴下方.

当a=0时, 不等式变为-1<0恒成立.

当a≠0时, 设f (x) =ax2-2ax-1, 对称轴x=1,

结合二次函数图象,

当a<0时, 只需f (1) 0, 得-1a<0,

综上可得a≥-1.

解法二:因不等式恒成立,

所以不等式对应的函数在 (1, 2]上的最大值恒小于0,

从而转化为二次函数在闭区间上的最值问题.

设f (x) =ax2-2ax-1,

当a=0时, f (x) =-1, 满足不等式f (x) <0;

当a>0时, f (x) 对称轴为x=1, 结合二次函数图象.

(1, 2]为f (x) 的增区间,

所以f (x) max=f (2) =-1<0成立, 所以a>0.

当a<0时, f (x) 对称轴为x=1, 区间 (1, 2]为f (x) 的减区间,

所以f (x) max=f (1) =-a-10,

所以a≥-1, 所以-1a<0,

综上所述a≥-1.

一元二次不等式的教学探索 第9篇

关键词：一元二次不等式；教学探索；数学

数学教学泛指对数学思维上的教学，比起去传授一个公式或者定律，数学教学更偏向于去教授一种思维思考的过程，数学思维的养成好坏是数学思维中最为重要的一部分。在目前的数学教学过程中，其主要是培养学生的数学思维品质、优化学生的数学思维，让学生养成一个良好的数学思考方式，而学习一元二次不等式需要的就是学生有一个相对于灵敏的思维，只有有一个良好的数学思维才能更好地帮助学生自身去学习和了解一元二次不等式。

1 课标解读

在进行高中一元二次不等式的教学中，首先应该做的就是对《普通高中数学课程标准（实验）》以及《考试大纲》进行一个解读，任课教师需要准确地把握好课标对于高中学生的整体要求。在我国的《普通高中数学课程标准（实验）》中曾经提起过，在现阶段的数学教学中，最为重要的就是要将学生和课堂融为一体，让学生主动地进行学习，所以针对这一目标就要求现在的数学教师在进行一元二次不等式的教学过程中，将实际生活进行引入，有效地帮助学生更快地接受新的知识，同时也让学生产生学习的兴趣。在教学大纲中提到，一元二次不等式在进行教学的过程中，需要遵循以下几点：①从实际的情境中抽象出一元二次不等式模型；②通过函数的图像来了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序。

2 对教材进行分析

教师在进行教学之前，首先要做的就是对教材进行解读。在《普通高中课程标准实验教科书·数学5必修》第三章中主要讲的就是一元二次不等式，根据对教材的分析可以发现，教材主要讲述的就是如何应用不等式来进行解题，针对这一问题教师可以在进行授课的过程中将实际生活应用在其中，帮助学生更好地学习。

3 学情分析

作为教师针对班级学生的学习情况来进行授课是最为重要的一个方面，教师可以在授课之前要求学生对第二天所要讲述的内容进行预习，并且对学生的预习情况进行考核和了解，这样可以帮助教师更好地了解到学生预习状态，以及学生对于这堂课所需要学习的知识点的接受能力。不仅如此，对于一个班级的学情进行分析还可以有效地帮助教师制定讲课计划，让教师了解到学生的不足和优势，在授课的时候也能发现和执行更好的方式方法，让学生可以在课堂中最大限度的学到知识。

4 教学重难点

教材是教师在进行授课时的最大依托，并且在进行考试的时候教材也是教师最为重视的一部分，想要更好地确定出教学过程中的重点、难点就需要深度的阅读教材，根据教材中所讲述的内容来进行分析，将教材中着重进行强调的部分进行加深，圈画出来，在授课的过程中针对这些进行强调和分析，帮助学生理解教学中重点和难点。在一元二次不等式这章中的重点和难点就是如何应用一元二次不等式来进行正确的解题，并且将其应用在实际生活中。

5 教学目标

在进行教学的过程中教学目标是十分重要的，没有了教学目标也就没有了前进的方向，所以在每一次新开章节的时候都需要针对这一章的知识来设定一个教学目标。对于一元二次不等式来说，其主要的教学目标就是让学生可以学会如何应用一元二次不等式来解决实际应用中的问题，但是其使用程度需要教师根据学生的预习情况，以及学生在进行学习的过程中的接受程度来进行最后的确定。

6 教学过程设计

如何能让学生快速的接受新的知识，一直都是教学过程中最大的难题，好的教学方法能够帮助学生和教师在最快的时间内进行学习。在进行一元二次不等式的时候，教师可以应用合作学习的方法以及多媒体教学来进行讲解，帮助学生更快、更好地学习一元二次不等式。而学生自身在进行这一章内容的学习时，需要针对不同的问题进行分析和讨论，要学会自我学习的同时也要学会如何进行合作学习。在进行教学设计的过程中，尽可能的避免一些过于陈旧的话题和例题，将一些新的话题引入以此来更好地增强学生的注意力和好奇心，提高学生的听课效率，帮助学生了解知识点。

7 教学设计说明

进行一元二次不等式的教学设计其目的就是帮助学生更好地学习，并且了解什么是一元二次不等式，让学生能够接受新的知识学习新的知识，并且将这些新的知识应用在实际生活中。

8 教学反思

根据实际的教学可以发现，针对一元二次不等式这一知识点学生的接受效果不同，但是由于这一章教授的时间相对于短所以往往会出现学生接受效果一般的问题。特别是在高三阶段，很多学生容易遗忘一元二次不等式这一知识点，甚至忽视这一知识点。这就要求了在进行一元二次不等式的教学过程中，在教学时间上需要加强，不仅如此在教学方法上依旧需要去寻找去探索、去发现是否有更好的教学方法。

9 总结

根据以上讨论可以知道，在进行一元二次不等式的教学过程中，需要教师对教材有一个十分深刻的了解，不仅如此更重要的是需要教师对于整个教学的过程有一个明确的方向和把握，在教学的过程中对于学生的学习态度和学习现状都需要有一个把握，只有这样才能真正地帮助学生更好地进行学习，并且让学生在学习的过程中更加轻松地去学到知识。以上就是本文所讨论的全部内容。

参考文献：

[1]黎梅梅.高中一元二次不等式有效教学设计研究[D].赣南师范学院，2014.

[2]刘国平.高中数学不等式必修课程教学的实践与探索[D].苏州大学，2010.

[3]何春林.新课程理念下一元二次不等式及其求解的教学[J].数学教学，2009，04：12-14+40.

[4]汪继波.“一元二次不等式及其解法”的教学实践与思考——兼探“导学评析教学模式”[J].福建中学数学，2011，12：34-36.

一元二次不等式及其解法教学反思 第10篇

塘沽中专-----戚卫民

我在13级电子班教室上了一节课，由此我进行了深刻的反思:

我教的是一个普通中专的班，学生基础比较差。因此，第一，课前组织很重要，给 学生 做思想 工 作，这 节 课很重要，是大家表现 自己 的好机会，同 学 们应该遵守纪律，积极发言，展示 自己 班良好的素质和班风。这样学生激情会高一些，自然课堂也会活跃一些。第二，把握本节课的难点，课前做好铺垫。一元二次不等式及其解法看上去好像很简单，但是它需要同学们有很好的基础，解一元二次方程的基础。而学生在初中只是熟悉用求根公式解方程，对于十字相乘法分解因式只有极个别会，对于这种情形我在课前把一元二次方程的解法好好的补了一下。还有二次函数的图象画法，也好好的复习一下，加深巩固，突破难点，使得这节课能顺利进行下去。

尽管这样我的课堂效果也不是很好，这是为什么呢？我陷入迷茫之中可能是我的学生不适应教学方式？可能是学生紧张？弄错？后来想想可能我没有好好地备学生。我觉得这节课的教案应该这样设计，可能会更好：课前引入去掉，应该在复习时让学生解一元二次方程，画二次函数图象，这样学生容易进入状态。然后直接导入新课，有特殊到 一般，由具体到抽象，逐步揭开解一元二次不等式的方法。给出例题应由浅入深，先给出形如这样的:(x-2)（x-3）<0

让他们好求方程的根，从而画图求不等式的解集，为后续例题做铺垫。作为教师我应该很规范的板书。以给学生榜样。然后给出形如这样的不等式：x²+3x-4≥0 由上道题的启示他们自然会去验证Δ，用十字相乘法求一元二次方程x²+3x-4=0 的根，画函数的图像，从而求出解集。从这两道题让他们自己归纳一下解一元二次不等式的步骤，再出课本习题，这样他们一定可以解出来，此种做法可以提高他们的解兴趣，把课堂气氛变得浓烈一些。接着给出-x²-3x+4>0提醒他们要把二项式系数变为正数。用课本课后题做练习。再给出x²-3x+4>0这种Δ<0 的情形，x²-4x+4>0Δ=0的情形。根据二次函数的图像学生应该可以解决。

数学《一元二次不等式》教学设计 第11篇

(一)教材的地位和作用

“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

(二)教学内容

本节内容分2课时学习。本课时通过二次函数的图象探索一元二次不等式的解集。通过复习“三个一次”的关系，即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系;以旧带新寻找“三个二次”的关系，即二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系;采用“画、看、说、用”的思维模式，得出一元二次不等式的解集，品味数学中的和谐美，体验成功的乐趣。

二、教学目标分析

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高一学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：

知识目标理解“三个二次”的关系;掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

能力目标通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

情感目标创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

三、重难点分析

一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具。本节课的重点确定为：一元二次不等式的解法。

要把握这个重点。关键在于理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。由于初中没有专门研究过这类问题，高一学生比较陌生，要真正掌握有一定的难度。因此，本节课的难点确定为：“三个二次”的关系。要突破这个难点，让学生归纳“三个一次”的关系作铺垫。

四、教法与学法分析

(一)学法指导

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此在教学中要不断指导学生学会学习。本节课主要是教给学生“动手画、动眼看、动脑想、动口说、善提炼、勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给了学生获取知识的途径、思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体;只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练”有新“获”，学生也才会逐步感受到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣;也只有这样做，课堂教学才富有时代特色，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

(二)教法分析

本节课设计的指导思想是：现代认知心理学建构主义学习理论。

建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动，学生应与一定的知识背景即情景相联系，在实际情景下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情景中。

本节课采用“诱思引探教学法”。把问题作为出发点，指导学生“画、看、说、用”。较好地探求一元二次不等式的解法。

五、课堂设计

本节课的教学设计充分体现以学生发展为本，培养学生的`观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。

(一)创设情景，引出“三个一次”的关系

本节课开始，先让学生解一元二次方程x2-x-6=0，如果我把“=”改成“”则变成一元二次不等式x2-x-60让学生解，学生肯定感到很突然。但是“思维往往是从惊奇和疑问开始”，这样直奔主题，目的在于构造悬念，激活学生的思维兴趣。

为此，我设计了以下几个问题：

1、请同学们解以下方程和不等式：

①2x-7=0;②2x-70;③2x-70

学生回答，我板书。

2、我指出：2x-70和2x-70的解实际上只需利用不等式基本性质就容易得到。

3、接着我提出：我们能否利用不等式的基本性质来解一元二次不等式呢?学生可能感到很困惑。

4、为此，我引入一次函数y=2x-7，借助动画从图象上直观认识方程和不等式的解，得出以下三组重要关系：

①2x-7=0的解恰是函数y=2x-7的图象与x轴

交点的横坐标。

②2x-70的解集正是函数y=2x-7的图象

在x轴的上方的点的横坐标的集合。

③2x-70的解集正是函数y=2x-7的图象

在x轴的下方的点的横坐标的集合。

三组关系的得出，实际上让学生找到了利用“一次函数的图象”来解一元一次方程和一元一次不等式的方法。让学生看到了解决一元二次不等式的希望，大大激发了学生解决新问题的兴趣。此时，学生很自然联想到利用函数y=x2-x-6的图象来求不等式x2-x-60的解集。

(二)比旧悟新，引出“三个二次”的关系

为此我引导学生作出函数y=x2-x-6的图象，按照“看一看 说一说 问一问”的思路进行探究。

看函数y=x2-x-6的图象并说出：

①方程x2-x-6=0的解是

x=-2或x=3 ;

②不等式x2-x-60的解集是

{x|x-2,或x3};

③不等式x2-x-60的解集是

{x|-23}。

此时，学生已经冲出了困惑，找到了利用二次函数的图象来解一元二次不等式的方法。

学生沉浸在成功的喜悦中,不妨趁热打铁问一问:如果把函数y=x2-x-6变为y=ax2+bx+c(a0)，那么图象与x轴的位置关系又怎样呢?(学生回答：△0时，图象与x轴有两个交点;△=0时，图象与x轴只有一个交点;△0时，图象与x辆没有交点。)请同学们讨论：ax2+bx+c0与ax2+bx+c0的解集与函数y=ax2+bx+c的图象有怎样的关系?

(三)归纳提炼，得出“三个二次”的关系

1、引导学生根据图象与x轴的相对位置关系，写出相关不等式的解集。

2、此时提出：若a0时，怎样求解不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0?(经讨论之后，有的学生得出：将二次项系数由负化正，转化为上述模式求解，教师应予以强调;也有的学生提出画出相应的二次函数图象，根据图象写出解集，教师应给予肯定。)

(四)应用新知，熟练掌握一元二次不等式的解集

借助二次函数的图象，得到一元二次不等式的解集，学生形成了感性认识，为巩固所学知识，我们一起来完成以下例题：

例1、解不等式2x2-3x-20

解：因为Δ0，方程2x2-3x-2=0的解是

x1= ，x2=2

所以，不等式的解集是

{ x| x ，或x2}

例1的解决达到了两个目的：一是巩固了一元二次不等式解集的应用;二是规范了一元二次不等式的解题格式。

下面我们接着学习课本例2。

例2 解不等式-3x2+6x2

课本例2的出现恰当好处，一方面突出了“对于二次项系数是负数(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解”;另一方面，学生对此例的解答极易出现写错解集(如出现“或”与“且”的错误)。

通过例1、例2的解决，学生与我一起总结了解一元二次不等式的一般步骤：一化正二算△三求根四写解集。

例3 解不等式4x2-4x+10

例4 解不等式-x2+2x-30

分别突出了“△=0”、“△0”对不等式解集的影响。这两例由学生练习，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。

4道例题，具有典型性、层次性和学生的可接受性。为了避免学生学后“一团乱麻”、“一盘散沙”的局面,我和学生一起总结。

(五)总结

解一元二次不等式的“四部曲”：

(1)把二次项的系数化为正数

(2)计算判别式Δ

(3)解对应的一元二次方程

(4)根据一元二次方程的根，结合图像(或口诀)，写出不等式的解集。概括为：一化正二算Δ三求根四写解集

(六)作业布置

为了使所有学生巩固所学知识，我布置了“必做题”;又为学有余力者留有自由发展的空间，我布置了“探究题”。

(1)必做题：习题1.5的1、3题

(2)探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0的解集为P，ax2+bx+c0的解集为M，ax2+bx+c0的解集为N，那么P∪M∪N=______________;②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+30的解集是R，求实数k的取值范围。

(七)板书设计

一元二次不等式解法(1)

五、教学效果评价