推理与证明知点总结-盘古文库

推理与证明知点总结

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来源：文库

作者：开心麻花

2025-09-19

推理与证明知点总结（精选8篇）

推理与证明知点总结第1篇

推理证明

一、合情推理与演绎推理

1．合情推理（合情推理对于数学发现的作用，为复数铺垫）

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：部分到整体，特殊到一般

【例1】观察以下不等式

13,22

2115122, 23

311171222234

41

可归纳出对大于1的正整数n成立的一个不等式1

表达式应为_________

【例2】十个圆能把平面最多分为多少份？92

（2）类比推理：特殊到特殊

111f(n)，则不等式右端f(n)的2232n2

① 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：（亮点）多面体二面角多边形；面平面角；面积边；体积线段长；面积；

【例3】在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（）

” ．类比

② 数列中的相关应用

9aabbb2{b}b2129n5【例4】已知为等比数列，则．若n为等差数列，a52，则n的类似结论为_____________

③ 圆锥曲线中的相关应用

【例5】在平面直角坐标系中，点，顶点的顶点、分别是离心率为的圆锥曲线时，有的焦．类似在该曲线上.一同学已正确地推得：当

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3地，当、时，有

.④ 函数中的相关应用

【例5】如图所示，对于函数，分向量的比为，线段

上任意两点的上方，设点在点的必在曲线段，则由图象中点上方可得不等式。请分析函数的图象，类比上述不等式可以得到的不等式

是．

⑤平面向量中的相关应用

【例6】设平面向量顺时针旋转30°后与的和为同向，其中，如果平面向量满足，且则下列命题中正确的为．

①

②③④

⑥ 不等式中的相关应用

【例7】研究问题：“已知关于的不等

式的解集

为，解关于的不等式

”，有如下解法：

解：

由，令，则，所以不等式的解集为．参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式Page 2 of

3的解集为．

2．演绎推理一般到特殊

【例6】有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录象机，我就一定能把它打开．看，我把它打开了．所

以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（）

A．大前提B．小前提C．结论D．以上都不是

二、直接证明与间接证明

1．综合法顺推，由因导果

综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．

2．分析法逆推，执果索因

分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法．

3．反证法

假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法．用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立

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推理与证明知点总结第2篇

1．下列几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

11D．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 2an－

1解析：选A.两条直线平行，同旁内角互补(大前提)

∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提)

∠A＋∠B＝180°(结论)

2．下列表述正确的是()

①归纳推理是由部分到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理

A．①②③B．②③④

C．②④⑤D．①③⑤

解析：选D.归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．

3．下面使用类比推理恰当的是()

A．“若a²3＝b²3，则a＝b”类推出“若a²0＝b²0，则a＝b”

a＋babB．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“ cc

a＋babC．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“c≠0)” ccc

nnnnnnD．“(ab)＝ab”类推出“(a＋b)＝a＋b” c

解析：选C.由类比推理的特点可知．

4．(2010年安徽省皖南八校高三调研)定义集合A，B的运算：A⊗B＝{x|x∈A或x∈B且x∉(A∩B)}，则A⊗B⊗A＝________.解析：如图，A⊗B表示的是阴影部分，设A⊗B＝C，运用类比的方法可知，C⊗A＝B，所以A⊗B⊗A＝B

.答案：B

5．(2009年高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16成等比数列． T1

2解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性：

设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4＝b1q，T8＝b1q＝b1q，121＋2＋„＋111266

T12＝b1q＝b1q，4681＋2＋„＋7828

T8T12422438

＝b1q，T4T8T82T12T8T12

即)²T4，故T4，成等比数列． T4T8T4T8

T8T12

答案：T4T8

6．等差数列{an}中，公差为d，前n项的和为Sn，有如下性质：(1)通项an＝am＋(n－m)d；

(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N，则am＋an＝ap＋aq；(3)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．

∴＝b1q，请类比出等比数列的有关性质．

解：等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以推出以下性质：

n－m

(1)an＝amq；

(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N，则am²an＝ap²aq；

(3)若m＋n＝2p，则am²an＝ap；

(4)当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．

练习

1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形 C．平行四边形D．矩形

解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.7598139b＋mb2，>>，„若a>b>0且m>0，则()

10811102521a＋maA．相等B．前者大 C．后者大D．不确定

b＋mb

解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得.a＋ma

3．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故此奇数(S)是3的倍数(P)”，上述推理是()

A．小前提错B．结论错 C．正确的D．大前提错解析：选C.大前提正确，小前提正确，故命题正确． 4．下列推理是归纳推理的是()

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆

B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2

C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆＝1的面积S＝πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇

解析：选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．

5．给出下列三个类比结论．

nnnnnnn

①(ab)＝ab与(a＋b)类比，则有(a＋b)＝a＋b；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；

2222222

③(a＋b)＝a＋2ab＋b与(a＋b)类比，则有(a＋b)＝a＋2a²b＋b.其中结论正确的个数是()

A．0B．1 C．2D．3 解析：选B.③正确．

6．观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为（）

A．Sn＝2n－2nB．Sn＝2n

C．Sn＝4n－3nD．Sn＝2n＋2n

解析：选A.事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n＝2时有S2＝4，分别代入即可淘汰B，C，D三选项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n－1项和，即Sn＝(n－1)³4(n－1)(n－2)2＋2n－2n.7．y＝cosx(x∈R)是周期函数，演绎推理过程为________．答案：大前提：三角函数是周期函数；小前提：y＝cosx(x∈R)是三角函数；结论：y＝cosx(x∈R)是周期函数．

8．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：

12222

①aa＋b)＝a＋2ab＋b；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a＝ab，则a

＝b.那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．

解析：对于①，当a＝i时，ai＋i－i＝0，故①不成立；

对于②④，由复数四则运算的性质知，仍然成立．

对于③，取a＝1，b＝i，则|a|＝|b|，但a≠±b，故③不成立．答案：②④

9．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，„，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于________．

解析：数列前几项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009，„每6项一循环，前6项之和为0，故前2009项包含334个周期和前5个数，故其和为2008＋2009＋1－2008－2009＝1.答案：1

10．用三段论的形式写出下列演绎推理．

(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等．解：(1)两个角是对顶角

则两角相等，大前提 ∠1和∠2不相等，小前提 ∠1和∠2不是对顶角.结论

(2)每一个矩形的对角线相等，大前提正方形是矩形，小前提正方形的对角线相等.结论 11.观察：

(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．解：若锐角α，β，γ满足α＋β＋γ＝90°，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.12．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.(1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．

解：(1)由已知a1＝5，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)²d＝5＋2(n－1)＝2n＋3.∴Sn＝n(n＋4)．

(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]，∴Tn＝4n＋n.22

初中数学几何推理与图形证明对策第3篇

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时, 推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类, 即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系, 要大胆地猜想图形中可能存在的关联性, 哪些点之间可以连成线, 也可从一点或一线入手, 或在一面中做出线段, 使其分成多面, 以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点, 并运用其特点进行推算。在平时的推理中, 我们应多看一些必要条件, 如平行、相等、相似等字眼, 也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维, 可以把看似没有关系的线段和面结合在一起, 这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系, 只有在同一空间下的线和面才可连接, 不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

(一) 掌握简单图形

初做立体几何题时, 学生会分不清几何与代数之间的差别, 有时也会用错方式和方法, 这时只要巧妙运用基本的几何图形, 就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见, 通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解, 在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的, 所以学生在做题时不用担心找不到解题方法, 只要把基本的图形从复杂图形中挑出来, 几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种, 有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形, 所以我们在运用基本图形时, 可以多变化几种形式, 如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等, 这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

(二) 图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时, 我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来, 一步一步地进行解答, 这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形, 我们可以根据已知条件来进行, 这样的分离方式不会遗漏任何条件, 并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单, 对学生解题就越有利, 所以在分析图形时, 积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中, 题目的各个给出条件都是很重要的, 通过这些, 我们可以知道哪些是已经知晓的, 可以直接用来解题, 哪些条件能够推出结论, 特别是在复杂的命题面前, 这些因素都要考虑。在解题中, 找到各种条件是很重要的, 把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键, 如从已知条件推出什么样的结论, 什么样的结论该由哪些条件推理得出, 包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤, 题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此, 掌握好各要素, 并加以分析, 在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

(一) 辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分, 辅助线可以分解图形, 更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时, 我们要仔细观察图形的特点, 比如, 三角形的辅助线多以某一顶点开始;而立方体的辅助线多是在空间中体现的, 有时甚至是在不同面连接而成。

(二) 合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力, 单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中, 只有找到几何推理的窍门并加以运用, 才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系, 以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后, 一定要标明各个线面的名称, 为后续的推理做铺垫。在几何推理中, 面面证明和线线证明是很重要的, 我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题, 所以在几何解题中, 我们要保持清醒的头脑, 知道辅助线的运用及合适的位置, 以便顺利完成几何题的推理过程。

摘要：初中数学中的几何推理与图形证明有很多的技巧和规律, 本文从几何的重要推理过程、基本图形的利用、题目要素的分析与辅助线的应用四个方面入手, 分析了其在几何推理与图形证明过程中的作用, 以期为初中数学几何推理与图形证明提供良好的对策。

关键词：初中数学,几何推理,图形证明

参考文献

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究:初中版, 2014 (10) .

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学, 2014 (104) .

推理与证明第4篇

例1 设函数[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，[f(x+2)=f(x)+f(2)]，则[f(5)=]（）

A. [0] B. [1] C. [52] D. [5]

解析法一：利用类比推理.

本题为抽象函数，只给出了性质，没有给出具体函数及特征，未给出解析式. 根据给出性质，与正比例函数相似，故可用正比例函数[y=kx]进行类比，由于[f(1)=12]，则[f(x)=12x]，该函数是奇函数，且满足[f(1)=12]， [f(x+2)=f(x)+f(2)]，即该函数符合题设条件，则[f(5)=52]，选C.

法二：利用演绎推理.

∵[f(x+2)=f(x)+f(2)]，令[x=-1]，

则[f(-1+2)=f(-1)+f(2)]，

∴[f(1)=f(-1)+f(2)]，

而[f(x) (x∈R)]为奇函数，[f(1)=12]，

则[f(-1)=-f(1)=-12]，

∴[f(2)=1]，∴[f(x+2)=f(x)+1]，

再令[x=1]得，[f(3)=f(1)+1=32]，

∴[f(5)=f(3+2)=f(3)+1]=[52]，选C.

点拨本题的两种解题途径，其一是类比推理，其二是演绎推理；如果作为解答题，类比推理的结论是不可靠的，作为选择题，由于四个选项中只有一个是正确的，暗示着符合题目的条件任何函数[f(x)]，则[f(5)]的值不会改变，既然如此，可选取一个特殊函数即可. 对于抽象函数的问题可以通过类比方法得出结论. 几种常见的抽象函数的类比函数可见下表：

[函数[f(x)]满足的条件&可类比函数&[f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)]&正比例函数 [y=kx]&[f(x1+x2)=f(x1)f(x2)]&指数函数[y=ax]（[a>0]，且[a≠1]）&[f(x1x2)=f(x1)+f(x2)]&对数函数[y=logax]（[x>0)]&[f(x1x2)=f(x1)f(x2)]&幂函数[y=xn]&[f(x1)+f(x2)=2f(x1+x22)f(x1-x22)]&余弦函数[y=cosx]&]

例2 在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第[2,3,4,⋯]，[n]堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第[n]堆第[n]层就放一个乒乓球，以[f(n)]表示第[n]堆的乒乓球总数，则[f(3)=] ；[f(n)=] （答案用[n]表示）.

[…]

分析要求出[f(3)]的值不难，但要求出[f(n)]的表达式，则必需寻找规律，能否从特殊到一般，探索其一般规律；如果[f(n)]的规律难找，可先求第[n]堆乒乓球的每一层的乒乓球的数量规律，然后再求这[n]层的乒乓球数量之和即为所求的[f(n)].

解法一：利用归纳推理.

设第[n]堆底层的乒乓球的数量为[an],

则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…，

[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2]，

根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即

[f(n)=a1+a2+⋯+an=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]

故[f(n)=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法二：利用递推关系.

由于第[n]堆底层的乒乓球的数量为

[1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=12(n2+n),]

而第2堆乒乓球比第1堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(2)-f(1)=12(22+2)]，

第3堆乒乓球比第2堆多一层，即多了第2堆的底层，则[f(3)-f(2)=12(32+3)]，

…

第[n]堆乒乓球比第[(n-1)]堆多了一层，即多了第[n]堆的底层，则[f(n)-f(n-1)=12(n2+n).]

以上[n]个不等式相加得

[f(n)-f(1)=12[(22+32+⋯+n2)+(2+3+⋯+n)],]

而[f(1)=1]，

故[f(n)=12[(12+22+32+⋯+n2)+(1+2+3+⋯+n)]]

[=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)]

[=n(n+1)(n+2)6].

法三：利用组合数的性质.

设第[n]堆乒乓球底层的的数量为[an],

则[a1=1]，[a2=1+2=3]，[a3=1+2+3=6]，…

[an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=C2n+1]，

根据题意，第[n]堆乒乓球的数量等于从第1堆开始到第[n]堆每堆最底层球数总和，即

[f(n)=a1+a2+⋯+an=C22+C23+C24+⋯+C2n+1，]

而[C22=C33]，

则[f(n)=C33+C23+C24+⋯+C2n+1]

[=C24+⋯+C2n+1=⋯=C3n+2,]

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

法四：归纳—猜想—证明.

由于[f(1)=1=1×2×36]，[f(2)=4=2×3×46]，

[f(3)=10=3×4×56,]…

猜想[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

下面用数学归纳法证明该结论.

（1）显然[n=1]时，猜想成立；

（2）假设[n=k]时猜想成立，

即[f(k)=k(k+1)(k+2)6]，

当[n=k+1]时，由法二知：

[f(k+1)-f(k)=12[(k+1)2+(k+1)]]

∴[f(k+1)=12[(k+1)2+(k+1)]+f(k)]

[=12[(k+1)2+(k+1)]+k(k+1)(k+2)6]

故[f(k+1)=16(k+1)(k2+5k+6)]

[=16(k+1)[(k+1+1][(k+1)+2],]

所以[n=k+1]时，猜想也成立.

综上，对任意正整数[n]猜想均成立，

因此[f(n)=n(n+1)(n+2)6].

点拨本题是一道既考查合情推理能力又考查演绎推理能力的题. 寻找第[n]堆乒乓球每一层的数量规律，需要观察、归纳、猜想的思想，再求和时需要严密的逻辑推理. 法三中求和大胆联想到组合数，法四则利用归纳猜想，需要较强的数学领悟能力. 法三、法四供大家参考.

例3 已知[a、b、c∈(0,1)]，求证：[(1-a)b、][(1-b)c、][(1-c)a]不能同时大于[14].

证法一：假设三式同时大于[14]，

即[(1-a)b>14,][(1-b)c>14,][(1-c)a>14.]

[∵ a、b、c∈(0,1)]，

[∴]三式同向相乘得[(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164]，

又[(1-a)a≤(1-a+a2)2=14.]

同理[(1-b)b≤14,][(1-c)c≤14.]

[∴ (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤164]，

这与假设矛盾，故原命题得证.

法二：假设三式同时大于[14]，

[∵ 00]，

[(1-a)+b2≥(1-a)b>14=12,]

同理[(1-b)+c2>12,][(1-c)+a2>12,]

三式相加得[32>32]，这是矛盾的，

故假设错误，所以原命题正确.

点拨 “不能同时大于[14]”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明，即正难则反.

当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法.

用反证法的步骤是：

①否定结论[⇒A⇒B⇒C]；

②而[C]不合理[与公理矛盾,与题设矛盾,与假设自相矛盾;]

③因此结论不能否定，结论成立.

例4 用数学归纳法证明等式：

[1-12+13-14+⋯+12n-1-12n=1n+1+1n+2][+⋯+12n]对所以[n∈N]均成立.

证明（1）当[n=1]时，

左式=[1-12=12]，右式=[11+1=12]，

∴左式=右式，等式成立.

（2）假设当[n=k(k∈N)]时等式成立，

即[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k]

[=1k+1+1k+2+⋯+12k]，

则当[n=k+1]时，

[1-12+13-14+⋯+12k-1-12k+12k+1-12k+2]

[=(1-12+13-14+⋯+12k-1-12k)+12k+1-12k+2]

[=(1k+1+1k+2+⋯+12k)+12k+1-12k+2]

[=1k+2+1k+3+⋯+12k+1+(1k+1-12k+2)]

[=1k+2+1k+3+1k+4+⋯+12k+1+12k+2]

[=1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+⋯]

[+1(k+1)+k+12(k+1).]

即[n=k+1]时，等式也成立，

由（1）（2）可知，等式对[n∈N]均成立.

点拨在利用归纳假设论证[n=k+1]等式成立时，注意分析[n=k]与[n=k+1]的两个等式的差别. [n=k+1]时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由[1k+1]变为[1k+2]. 因此在证明中，右式中的[1k+1]应与-[12k+2]合并，才能得到所证式. 因而，在论证之前，把[n=k+1]时等式的左右两边的结构先作分析常常是有效的.

由本例可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是[f(n)]与[n]的关系；二是[f(k)]与[f(k+1)]的关系.

例5 用数学归纳法证明：

[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12n-1)>2n+1][(n≥2,n∈N)].

证明（1）当[n=2]时，

左式=[(1+11)(1+13)=83=649]，右式=[5]，

∵ [649>5]， ∴[649>5]，

即[n=2]时，原不等式成立.

（2）假设[n=k(k≥2, k∈Z)]时，不等式成立，

即[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)>2k+1],

则[n=k+1]时，

左边=[(1+11)(1+13)(1+15)⋯(1+12k-1)(1+12k+1)]

[>2k+1(1+12k+1)=2k+22k+1]

右边=[2k+3]，要证左边>右边，

只要证[2k+22k+1>2k+3]，

只要证[2k+2>(2k+3)(2k+1)]，

只要证[4k2+8k+4>4k2+8k+3,]

只要证4>3.

而上式显然成立，所以原不等式成立，

即[n=k+1]时，左式>右式.

由（1）（2）可知，原不等式对[n≥2，n∈N]均成立.

点拨运用数学归纳法证明问题时，关键是[n＝k＋1]时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题. 在分析[f(k)]与[f(k+1)]的两个不等式，应找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法. 本题关键是证明不等式[2k+22k+1>2k+3]. 除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决.

例6 已知[f(n)=1+12+13+14+⋯+1n(n∈N),]求证：[n>1]时，[f(2n)>n+22].

证明（1）[n=2]时，

左式=[f(22)=f(4)=1+12+13+14=2512],

右式=[2+22=2]，

∵ [2512>2]， ∴ 左式>右式，不等式成立.

[n=3]时，

左式=[f(23)=f(8)=1+12+13+14+⋯+18],

右式=[3+22=52]，

左式-右式=[15+17-18>0]，

左式>右式，不等式成立.

（2）假设[n=k(k∈N, k≥3)]时不等式成立，

即[f(2k)=1+12+13+14+⋯+12k>k+22]，

当[n=k+1]时，

[f(2k+1)=1+12+13+14+⋯+12k+12k+1]

[+12k+2+⋯+12k+1]

[=f(2k)+12k+1+12k+2+⋯+12k+12k项]

[>k+22+12k+1+12k+1+⋯+12k+12k项]

[=k+22+2k2k+1=k+32=(k+1)+22,]

即[n=k+1]时，不等式也成立.

由（1）（2）可知，[n>1, n∈N]时，

都有[f(2n)>n+22].

点拨注意[f(n)]的意义，它表示连续自然数的倒数和，最后一项为[1n]. 可以通过第一步验证中加强对[f(n)]的理解，本题中验证了[n=]2、3两个数值，正是由于此原因（当然不是必要的）. [f(2n)]的表达式应为[f(2n)=]1[+12+13+14+15+⋯+12n-1+12n]. 因此在归纳法证明中，重视第一步的验证工作，许多难题的特殊情形启发我们的思路，甚至蕴含一般情形的方法.

【专题训练九】

1. 下面几种推理过程是演绎推理的是（）

A. 两条直线平行，同旁内角互补，如果[∠A]和[∠B]是两条平行直线的同旁内角，则[∠A+∠B=180°]

B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C. 某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人

D. 在数列[{an}]中，[a1=1,an=12(an-1+1an-1)][(n≥2)]，由此推出[{an}]的通项公式

2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）

A. 使用了归纳推理

B. 使用了类比推理

C. 使用了“三段论”，但大前提错误

D. 使用了“三段论”，但小前提错误

3. 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝[32]；

sin230°＋sin290°＋sin2150°＝[32]；

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝[32]；

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝[32].

4. 已知[a、b、c]都为正数，那么对任意正数[a、b]、[c]，三个数[a+1b、b+1c、c+1a]（）

A. 都不大于2 B. 都不小于2

C. 至少有一个不大于2

D. 至少有一个不小于2

5. 定义在[R]上的函数[f(x)]，满足[f(x+y)=f(x)+f(y)(x、y∈R)]，且[f(1 )=2]，那么在下面的四个式子：

①[f(1 )+2f(1 )+⋯+nf(1 )]；

②[fn(n+1)2]；

③[n(n+1 )]；

④[n(n+1)f(1 )].

其中与[f(1 )+f(2)+⋯+f(n)]相等的是（）

A. ①③ B. ①②

C. ①②③④ D. ①②③

6. 比较大小[7+6] [8+5]，分析其结构特点，请你再写出一个类似的不等式：；请写出一个更一般的不等式，使以上不等式为它的特殊情况，则该不等式可以是 .

7. 如果命题[P(n)]对[n=k]成立，则它对[n=k+2]也成立. 又若[P(n)]对[n=2]成立，则下列结论正确的是（）

A. [P(n)]对所有自然数都成立

B. [P(n)]对所有正偶数都成立

C. [P(n)]对所有正奇数都成立

D. [P(n)]对所有大于1的自然数都成立

推理与证明第5篇

初中新教材对推理与证明的渗透，也是从说理开始的，但内容比较少，也就是教材中的直观几何内容。很快便转向推理，也就是证明。刚开始推理的步骤，是简单的两三步，接着到四五步，后面还一定要求学生写清楚为什么。在学习这一部分内容的时候，好多学生在后面的括号里不写为什么，我便给他们举例小孩子学走路的过程，一个小孩刚开始学走路的时候，需要大人或其他可依附的东西，渐渐地，她会脱离工具自己走。学习证明的过程亦如此，起先在括号里写清为什么，并且只是简单的几步，然后证明比较难一点的，步骤比较多的。

随着社会的进步，中学教材加强了解析几何、向量几何，传统的欧式几何受到冲击，并且教材对这一部分的编排分散在初中各个年级，直观几何分量多了还加入了变换如平移变换、旋转变换、对称变换，投影等内容。老师们对内容的编排不太理解，看了专家的讲座，渐渐明白了：这样编排不是降低了推理能力，而是加强了推理能力的培养，体现了逐步发展的过程，把变换放到中学，加强了中学和大学教材的统一，但一个不争的事实是，对演绎推理确实弱了。

关于开展课题学习的实践与认识

新课程教材编排了课题学习这部分内容，对授课的老师，还是学生的学习都是一个全新的内容，怎样上好这部分内容，对老师、对学生而言，都是一个创新的机会。至于课题学习的评价方式，到现在为止，大多数省份还是一个空白，考不考?怎样考?学习它吧，学习的东西不能在试卷上体现出来，于是，好多老师对这部分采取漠视的处理方法;不学习吧，课本上安排了这部分内容。还有一部分老师觉得，课题学习是对某一个问题专门研究，很深!老师不知讲到什么程度才合理，学生不知掌握到什么程度。

经过几年的实践与这次培训的认识，我觉得课题学习是“实践与综合应用”在新课课程中的主要呈现形式，是一种区别于传统的、全新的，具有挑战性的学习，课本的编写者安排的主要目的是：

1.希望为学生提供更多的实践与探索的机会。

2.让学生通过对有挑战性和综合性问题的解决，经历数学化的过程。

3.让学生获得研究问题地方法和经验，使学生的思维能力、自主探索与合作交流的意识和能力得到发展。

4.让学生体验数学知识的内在联系，以及解决问题的成功喜悦，增进学生学习数学的信心。

5.使数学学习活动成为生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

推理与证明第6篇

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。推理与证明贯穿于数学的整个体系，它的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。

学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

《新标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现---猜想---证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。

推理与证明第7篇

【知识要点】

1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理

2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3．类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）【典型例题】

1、（2011•江西）观察下列各式：7=49，7=343，7=2401，„，则7

34201

1的末两位数字为（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011•江西）观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，„，则5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010•临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（）A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行

4、（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006•陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006•山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位数字为（）

8、（2006•辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A、自然数集 B、整数集 C、有理数集 D、无理数集

9、（2006•广东）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005•湖南）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），„，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004•安徽）已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+„+an-1，n≥

1、，则当n≥1时，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若数列{an}满足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），则a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，有，则运用归纳推理得到第11 行第2个数（从左往右数）为（）A、B、C、D、14、根据给出的数塔猜测1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、将n个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理过程利用的推理方法分别是（）（1）通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5；（2）函数f（x）=x2-|x|为偶函数；

（3）科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼． A、演绎推理，归纳推理，类比推理 B、类比推理，演绎推理，类比推理 C、归纳推理，合情推理，类比推理 D、归纳推理，演绎推理，类比推理

17、下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，„这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（）A、n B、1、（2011•陕西）观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011•陕西）观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 „

照此规律，第n个等式为 n+（n+1）+（n+2）+„+（3n-2）=（2n-1）2 ．

推理与证明知点总结第8篇

结合新课程改革, 中职数学教学一方面要为学生学习专业课提供必要的数学工具, 使学生具有学习专业知识的基础和能力, 另一方面要在初中文化的基础上, 进一步提高学生自身学习数学的素质。中职数学教学要根据教材的特点, 结合学生自身的数学能力, 按照课程目标的要求, 做好教学设计, 使学生能在生活中学会应用数学知识解决实际问题。结合笔者近几年的教学实践和经验, 谈一谈“定理、公式的推理与简单应用”课型的教学设计。

“定理、公式的推理与简单应用”的课型, 主要内容是对前面学过的简单概念、定义作出进一步的探究, 并能根据探究教学内容解决一些实际问题, 它一般是通过“思考观察—实验演示—推理证明—新知运用”的过程进行教学的, 具体操作流程如下:

一、导入学习内容, 揭示研究课题 (1~2分钟)

(一) 目的

引入课题, 展示目标。

(二) 过程

1. 巧妙导入。2.板书课题。

(三) 要求

1. 导入问题要简单、直接, 知识衔接自然顺畅。2.情境创设要形象、生动, 能激发学生的学习兴趣, 引起学生积极思考。

二、新知探究

(一) 目的

使学生获得一定知识与技能, 寻找到解决问题的思路和方法。

(二) 步骤

1. 出示探究问题, 或演示必要的实验背景。

(1~2分钟) 2.引导学生独立思考问题或实验操作。 (2~3分钟) 3.学生分组讨论交流。解决相关问题或根据实验操作猜想一定结论, 并归纳总结, 教师参与学生活动, 引导学生积极思考归纳。 (2~3分钟) 4.提问个别小组成员口述相关结论, 其他小组作出评议, 并上升为理论, 教师板书所归纳的结论。 (1~2分钟) 5.引导学生继续合作交流, 寻求说明或推理证明所得出的结论正确性的方法与过程, 并作出解答。 (5~9分钟) 6.引导学生分析说明定理、公式的用途。 (约2分钟)

(三) 要求

1. 思考问题与所得结论联系要紧密, 或演示实验要直观形象。

2.学生分组讨论一般6人一组, 好、中、后进搭配, 选两名组长以小老师的身份帮助学困生解决疑难, 检查解答情况。3.个别提问以学困生为主, 让他们尽可能暴露问题, 引起其他学生注意。4.在得出定理公式时, 学生一般用文字语言表述, 教师引导学生用图形、符号语言相结合叙述, 并明确出处和用途。

三、新知应用 (10分钟)

(一) 目的

通过典型例题巩固所学知识, 及时发现学生掌握知识情况, 查缺补漏。

(二) 过程

1. 展示典型例题, 学生独立读题。

2.引导学生分小组讨论寻求解题方法。3.个别学生在解决问题的过程中口头阐述解决问题的思路, 其他学生参观教师的练习册, 了解独立的答案, 回答, 及时发现典型的错误, 并写在黑板上。4.学生口述评价, 若有误, 引导学生分析错误原因并加以更正。5.鼓励学生表达不同意见, 推广多个解决方案, 培养学生的参与意识和创新能力。6.针对出现的典型问题进行点拨校正归纳, 小结解决问题的方法与规律。

(三) 要求

1. 题目数量为2道至3道, 且能直接引用相关定理、公式解决问题, 综合性较低, 问题较简单。

2.解题完毕后, 及时引导学生归纳方法, 总结经验, 为进一步训练打好基础。

四、反馈练习 (约10分钟)

(一) 目的

进一步加强巩固所学知识, 运用相关知识解决问题;检测教学目标实现情况。

(二) 过程

1. 布置课本练习题或作业题。

2.学生独立思考完成, 困难的学生可寻求帮助, 个别学生板演。3.各小组组长负责检查组员解答情况。4.师生共同订正答案, 进一步归纳渗透的思想和方法。

五、课时小结: (约2分钟)

(一) 目的

明确本节课学生知识点并梳理课程框架, 总结解题方法与规律。